ASPECTOS E ESTRATÉGIAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA UTILIZANDO O CABRI GÉOMÈTRE

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1 ASPECTOS E ESTRATÉGIAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA UTILIZANDO O CABRI GÉOMÈTRE Armindo Cassol M s - UNESP SP Professor e pesquisador Unisinos, Unilasalle acassol@exatas.unisinos.br Margarida Hammer Especialização Professora e pesquisadora Unisinos marga@exatas.unisinos.br Este relato tem por finalidade discutir alguns resultados do projeto de pesquisa Cabri Géomètre II no Ensino de Geometria, desenvolvido por três pesquisadores, com um grupo de 8 licenciandos em Matemática da Universidade do Vale do Rio dos Sinos UNISINOS - 57 estudantes do ensino fundamental de escolas da região de abrangência da universidade e dois bolsistas do projeto. O projeto teve como objetivos: (i) qualificar o ensino da Geometria com o uso do software Cabri Géomètre II; (ii) avaliar os conceitos geométricos aprendidos com o Cabri e (iii) avaliar o ensino-aprendizagem da Geometria diante da dinâmica do Cabri. A apresentamos a análise de uma das atividades realizadas com os estudantes de ensino fundamental. A atividade consistiu em dividir estudantes do Ensino Fundamental, participantes do projeto, em grupos de quatro, cinco e seis participante e, nas áreas verdes do campus da UNISINOS, estes estudantes, orientados pelos pesquisadores e bolsistas, formaram polígonos com estacas, para representar os vértices, e barbante esticado entre as estacas, para representar os lados. Mediram ângulos e lados registrando-os numa planilha. Depois foram ao Laboratório de Informática onde, usando o Software Cabri Géomètre II, tentaram reproduzir na tela do computador o que haviam traçado, com estacas e barbante. Esta atividade propiciou aos pesquisadores uma riqueza de observações que dizem respeito aos objetivos da pesquisa. Dentre estas observações podemos citar: as

2 2 estratégias utilizadas por estudantes para reproduzir, no computador, o polígono desenhado no real; as razões que motivaram a adoção destas estratégias; as conseqüências que estas estratégias podem produzir; a identificação dos diversos objetos geométricos envolvidos; medições de ângulos e de lados com as dificuldades diante do uso dos instrumentos e da própria medição; a soma dos ângulos de polígonos obtendo fórmulas que mostraram abstrações e generalizações; a possibilidade de tratar de temas mais teóricos tais como a certeza matemática e interações provocadas pelas dificuldades na realização da atividade. O que aqui nos propomos a apresentar tem origem num projeto de pesquisa com um grupo de professores do Laboratório de Educação Matemática LAM - da Unisinos, onde utilizamos o software Cabri-Géomètre II para ensinar e aprender geometria. Envolvemos neste trabalho alunos do Curso de Licenciatura em Matemática, que já exerciam o magistério, e seus alunos do Ensino Fundamental. A participação dos licenciandos foi importante na pesquisa, pois suas contribuições deram informações sobre a adequação da linguagem nos textos, na dinâmica das atividades, e na organização e deslocamento dos grupos de alunos, para participarem dos trabalhos que foram realizados na Universidade. O relato que segue se refere a uma das atividades propostas aos alunos que mais nos trouxe questionamentos. Nela houve preocupação em explorar uma situação geométrica no real e sua representação no computador. Formaram-se grupos de quatro, cinco e seis alunos, que tiveram a incumbência de representar polígonos no pátio da Universidade. Utilizaram estacas para marcar os vértices e barbante para representar os lados. Depois, utilizando trenas, mediram estes lados. Os ângulos foram medidos com um transferidor de papel, cuja construção obedece a seqüência das figuras abaixo, pois, segundo seus professores, os estudantes teriam dificuldades no uso do transferidor convencional.

3 3 figura 1: discos de papel Organizou-se uma tabela onde se registraram as medidas aproximadas dos lados e dos ângulos, obtidas no disco de papel (figura 1) e medidas mais exatas obtidas com transferidor convencional. Isso proporcionou sanar o desconhecimento do aluno no manuseio deste instrumento de medida. Tabela Lado Estaca Ângulo Aproximado Ângulo Exato A-B A B-C B C-D C D-E D E-F E F-A F Soma XXXXX XXXXX Na etapa seguinte, os alunos foram instruídos a representar no computador, utilizando o Software Cabri Géomètre II, as figuras que tinham sido feitas no pátio. A escala utilizada foi 1:100. Para esta representação foram utilizadas duas estratégias: Na primeira estratégia deixamos os alunos agirem livremente. Eles foram reproduzindo, com o uso do computador, passos feitos na situação concreta. Marcaram os pontos onde estavam as estacas e em seguida desenharam os lados, usando segmentos. Traçaram um polígono com a ferramenta polígono do Cabri sobre o desenho pronto, pois o software só reconhece como polígono aquele feito com esta ferramenta. Assim, com a figura construída, pode-se calcular a área, medir o perímetro e pintar o polígono. Os resultados não coincidiram com a realidade, por isso começaram a

4 4 deslocar os vértices da figura (o Cabri tem um dispositivo que permite fazer isto) até chegar a um resultado próximo ao da atividade no pátio. As figuras abaixo são resultados da atividade realizada pelos alunos. Na segunda estratégia, com outro grupo de alunos, optou-se por um roteiro feito pelos pesquisadores, onde se explicavam detalhadamente os passos para traçar os lados e os ângulos, com as medidas realizadas no concreto. Com esta, os alunos conseguiram obter representações mais próximas dos desenhos realizados no pátio. Na primeira estratégia, os alunos tiveram muitas dificuldades, ficando impacientes e alguns abandonaram a tarefa. Na segunda estratégia, seguindo o roteiro, conseguiram chegar de maneira mais satisfatória ao resultado final, porém restringiu a sua criatividade. Após representação no computador, pediu-se a soma das medidas dos lados e dos ângulos internos do polígono. Estes resultados foram comparados com os da tabela e registradas as diferenças. Foram traçadas as diagonais do polígono, de um de seus vértices, dividindo-o em triângulos. A partir da informação de que a soma dos três ângulos de um triângulo é 180, os alunos foram questionados sobre a soma dos ângulos internos do polígono desenhado, com a seguinte pergunta: Se o polígono tivesse 7 lados, quanto seria a soma dos seus ângulos? Use o Cabri para descobrir a resposta

5 5 Seguem algumas respostas dos alunos: Se o polígono tivesse 7 lados, eu poderia fazer 5 diagonais, formando 5 triângulos, então iria fazer 5(triângulos) x 180 (ângulos internos) = 900. Rebeca, 8ª série 900, porque um polígono de 6 lados é 720 e com a soma de 180 sendo mais 1 triângulo dá 900. Amanda, 8ª série A seguir outra pergunta: Existe alguma relação entre o número de lados do polígono e número de triângulos obtidos na subdivisão? Qual é? Sim, é que a cada dois lados de um polígono verifica-se um triângulo interno. Polígonos de 4 lados tem dois triângulos, de 5 lados 3 triângulos, etc.. Amanda (7ª série) Sim, o número de lados de um polígono é 2 a mais da quantidade de triângulos que temos dentro dele. Cátia (7ª série) Sim, haverá sempre dois triângulos a menos do que a soma dos lados. ex(se tiver 10 lados haverá 8 triângulos); A soma dos lados -2 = a soma de triângulos. Assim se tiver 8 triângulos, é só fazer x 180 para saber a soma dos ângulos internos do polígono. Rebeca (8ª série) A intenção de encaminhar uma generalização com estas perguntas, pelas respostas obtidas, mostrou que alguns alunos chegaram a conclusões aceitáveis e argumentos bem construídos, o que mostra que a atividade alcançou o fim proposto. Situações práticas relacionadas com o ambiente computacional, nos mostraram um grande potencial para o ensino da geometria. Na construção e medição feitas no pátio, os alunos defrontaram-se com a surpreendente situação de ver um polígono real, pois agora os lados e os ângulos eram físicos, e não apenas traços e aberturas. A medição os colocou diante de instrumentos que necessitavam serem postos em posições convenientes, havia alinhamento de barbante a acertar, ângulos para ajustar e trenas para estender. A figura transferida para o computador mostrou que uma vez feita, a medição realizada pelo Cabri é exata; mostrou também a propriedade da soma dos ângulos de um polígono, a verificação da área; contrariamente ao que ocorreu na situação real. Pintar e modificar a aparência da figura podem servir de atrativo ao estudo da geometria.

6 6 A constatação de diferenças entre situações reais e suas representações, permitiu examinar a questão da exatidão em Matemática. Na passagem da representação da situação real para a tela do computador, o aluno teve que seguir princípios da geometria euclidiana, tais como igualdade de ângulos e igualdade de comprimentos, respeitando uma escala, abrindo-se a possibilidade para a aprendizagem de vários princípios da geometria. A interação dos alunos com os professores e dos alunos entre si foi um fator bastante positivo. A solução de algum problema ou descoberta feita era compartilhada com os mais próximos. Ficou claro, também, a necessidade de mudança na postura do professor neste tipo de aula. A dosagem nas intervenções do professor é uma das considerações que a pesquisa aponta. Se demasiada, haverá prejuízos na autonomia e na iniciativa do aluno. Se omisso em demasia, o aluno pode ficar disperso e sem ação. Por fim uma constatação que, embora óbvia, convém explicitá-la. O uso do computador em sala de aula exige mais investigações. Ainda não se sabe a medida e o momento para explorar o uso da informática. Não se tem clareza do conhecimento que é construído ou quais habilidades de pensamento são desenvolvidas com o uso de softwares matemáticos. Palavras chaves: Cabri Geometria Estratégias

7 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONGIOVANNI, Vicenzo; CAMPOS, Tânia M. M. ; ALMOULOUD, Saado. Descobrindo o Cabri-Géomètre: caderno de atividades. São Paulo: FTD, CASSOL, Armindo. Desafios: Uma estratégia para ensinar e aprender. Educação Matemática em Revista RS. Nº1, jan/jun de p CASSOL, Armindo. A geometria do triângulo com o Cabri-Géomètre II (software). Anais do IIV Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Santa Cruz do Sul: UNISC, GOMES, Antonio José Gouveia. Novas Matemáticas, a necessidade de mudar. Educação e Matemática, nº65, p , nov/dez, HAMMER, Margarida; CASSOL, Armindo. Aprendendo e ensinando com o Cabri- Géomètre II. XI EREM Encontro Regional de Educação Matemática. UNISINOS, p.27. HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos elementos da geometria plana em ambiente computacional Cabri-Géomètre II. Ilhéus: Editus, LOURENÇO, Marcos Luiz. Cabri-Géomètre II: Introdução e atividades. Catanduva: FAFICA, MINGA, Vigal. A minha experiência com o Cabri. Educação e Matemática. Nº37, p.9-13, 1ºtrim./1996. PAIVA, Maria auxiliadora Vilela et al. CABRI: Descobrindo a Geometria no Computador. Vitória, ES: LEACIM/CCE, PPGE/UFES, SANGIACOMO, Ligia et al. Explorando Geometria Elementar com o dinamismo do Cabri-Géomètre. São Paulo: PROEM, SANGIACOMO, Ligia et al. Geometria Plana com o Cabri-Géomètre: Diferentes Metodologias. São Paulo: PROEM, 1999.