Gráfico de controle de regressão aplicado na monitoração de processos

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1 Jacob, Souza & Perera Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos LUCIANE FLORES JACOBI, MSC. Professora do Departamento de Estatístca UFSM. E-mal: ADRIANO MENDONÇA SOUZA, DR. Professor do Departamento de Estatístca UFSM. E-mal: JOÃO EDUARDO DA SILVA PEREIRA, MSC. Professor do Departamento de Estatístca UFSM. E-mal: Resumo Esta pesqusa tem por objetvo empregar o gráfco de controle de regressão, como ferramenta de controle estatístco, para montorar processos produtvos, onde uma varável de estado, que seja de nteresse, possa ser expressa como função de uma varável de controle. Exstem város estudos sobre o controle de varáves em processos produtvos, mas, na maora das vezes, são em relação ao controle de cada varável, separadamente, não podendo ser utlzados para um estudo comparatvo. Esta pesqusa, portanto, apresenta uma técnca efcente no controle smultâneo de varáves correlaconadas. Palavras-chave Gráfco de controle de regressão, Varáves correlaconadas, Controle estatístco do processo. Regresson control chart appled n process montorng Abstract The man purpose of ths research s to apply the regresson control chart as tool of statstcal control to montor productve processes, where a state varable that s of nterest can be expressed as functon of a control varable. Several studes exst to control varables n productve processes, but most of tme they are separately n relaton to the control of each varable, and however not could be used for a comparatve study. Ths research, therefore, t presents an effcent technque to control smultaneous by correlated varables. Key words Regresson control chart, Correlated varables, Statstcal process control. 46 Revsta Produção v. 12 n

2 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos INTRODUÇÃO A velocdade das nformações e as novas tecnologas estabeleceram um ambente globalzado de alta concorrênca em que preço, prazo, qualdade e flexbldade precsam ser atenddos. Devdo a esse fato, controlar as varáves envolvdas no processo de produção, de modo a torná-lo mas efcente, é uma das crescentes preocupações dos empresáros, pos, desta mane- ráfcos G ra, podem-se reduzr os desperdícos e utlzar sua plena capacdade. Mutos dos sstemas utlzados nas empresas necesstam de processos de acompanhamento e controle de produção, que aumentem a establdade de retorno fnancero e que permtam nvestmentos de médo e longo prazo. A preocupação com a qualdade dos produtos teve orgem com o surgmento da produção em maor escala, onde se constata o níco da era da nspeção formal. Contudo, somente com a ntrodução da admnstração centífca, de Taylor, é que a qualdade fo reconhecda como área funconal dentro do gerencamento de uma empresa (LEVINE, BERENSON, STEPHAN, 2000). Mas, com o crescmento da demanda, e a ntensfcação da produção em massa, necesstou-se substtur a nspeção 100% por uma nspeção por amostragem, surgndo, assm, os prmeros estudos sobre o controle das característcas de um processo produtvo. Esses estudos foram realzados por Walter Shewhart que, em 1924, desenvolveu um conjunto de concetos, que são as bases do moderno controle estatístco do processo. Shewhart, naquela época, preocupou-se em avalar a qualdade, observando apenas uma característca do produto (WERKEMA,1995; SIQUEIRA, 1997). Sabe-se, hoje, que as varáves envolvdas em um processo produtvo são, mutas vezes, correlaconadas, e que o controle ndvdual dessas varáves não é o mas ndcado. Nesse caso, a qualdade depende do efeto comum dessas varáves, em lugar do efeto de cada varável separadamente. E, assm, fez-se necessáro um outro conceto de gráfcos de controle, que pudessem se ajustar a esse tpo de processo. Os gráfcos de controle convenconas, como X-barra e proporção, não são capazes de fazer uma análse quando se tem um conjunto de varáves correlaconadas, mas o gráfco de controle de regressão é capaz de avalar o efeto conjunto dessas varáves. Por esse motvo, esse gráfco é muto utlzado em processos em que o efeto de uma varável dependente é uma função lnear de uma varável ndependente, fornecendo prevsões de comportamento e revelando como a relação entre as varáves está ocorrendo. Neste estudo, utlza-se a técnca de regressão lnear smples, combnada com a de controle de qualdade, no controle smultâneo de varáves correlaconadas. Autores como DPaola (1945), Mandel (1969) e Oln (1998) apresentaram estudos de como o gráfco de controle de regressão pode ser construído a partr de dados hstórcos e, utlzando-se desse gráfco, é verfcado se as novas observações do processo estão dentro dos níves estabelecdos. de controle convenconas, como X-barra e proporção, não são capazes de fazer uma análse quando se tem varáves correlaconadas. Após o estudo detalhado das teoras utlzadas neste trabalho, buscou-se exemplfcar essa metodologa, através de uma aplcação, utlzando-se dados coletados na empresa PRT, no setor de Engenhara de Saneamento e Meo Ambente. Os dados ocupados, para a aplcação da metodologa, foram coletados nas fchas preenchdas pelos motorstas dos camnhões compactadores. Com a aqusção dessas nformações, construu-se um banco de dados em uma planlha eletrônca que foram utlzados para: a estmação da equação de regressão, a determnação dos lmtes nferores e superores de controle e a construção do gráfco de controle de regressão através dos programas computaconas Statstca 5.1 (Statsoft). GRÁFICO DE CONTROLE DE REGRESSÃO Para controlar a qualdade de um produto, Montgomery (1997) dz que é necessára a dentfcação e a medção das varações ocorrdas no processo de produção por meo dos gráfcos de controle, que são ferramentas útes para a avalação do estado de controle estatístco do processo, pos servem para determnar se as varações que ocorrem são devdas a causas assnaláves ou a causas aleatóras. A necessdade de controle smultâneo, de varáves correlaconadas, está no fato de que, mutas vezes, as varáves parecem estar sob controle estatístco quando analsadas separadamente, mas, na verdade, o sstema poderá estar fora de controle (JACKSON, 1956). Construndo o gráfco de controle de regressão Quando a equação de regressão for empregada, com o objetvo de controle, é precso que a relação exstente entre a varável de nteresse e as varáves utlzadas para seu controle sejam do tpo causa-e-efeto. No entanto, a exstênca de uma relação de causa-e-efeto não é necessára se a Revsta Produção v. 12 n

3 Jacob, Souza & Perera equação for utlzada somente para predção. Nesse caso, somente será necessáro que as relações exstentes no conjunto de dados orgnal, usado para construr a equação de regressão, anda sejam váldas (Werkema & Aguar, 1996). Supondo-se que se está nteressado em fazer uma prevsão para um valor futuro y não observado correspondente a X = x. Se se usar o modelo de regressão lnear smples ajustado, dz-se que yˆ ˆ ˆ = α + β x é uma prevsão de y. Nota-se que a prevsão de y é gual ao estmador do valor esperado de y, para X = x, e o erro de prevsão é defndo por y ˆ y. Como se admte que cada nova observação, y, é ndependente das observações anterores (a partr das quas se obteve ŷ ), tal observação será também ndependente de ŷ. Assm, a dstrbução de probabldade de ŷ é dada por: 1 (x x) 2 2 ŷ N x ; e, α+β σ + n S α+β σ 2 xx tem-se que: em que σ 2 pode ser estmado por: = QME Para cada estmatva partcular da posção da reta de regressão, e para cada valor partcular de X, os lmtes do ntervalo de prevsão a (1 - α)100% são dados por: Para o uso em gráfcos de controle, sabe-se que a méda do processo pode varar em múltplos do desvo padrão, sto é, x± 3S, x± 2S,..., formando os lmtes nferor e superor de controle. Logo, utlzando-se o valor de S dado em (1), e substtundo-se em (2) o valor de t tabelado, por um valor múltplo do erro padrão, obtêm-se os lmtes superor e nferor de controle para o gráfco de controle de regressão: Y N( x ; ) E(y ˆ e y ) = 0 (x x) V(y y ˆ ) = V(y ) + V(y ˆ ) =σ +σ + n S xx e, logo: (x x) y ŷ N 0, σ n S XX n (y y) ˆ S = = n 2 1 (x x) 2 Ŷ± tγs 1+ + n Sxx α em que: γ= n 2, 2 (1) (2) (x x) 2 1 LSC = yˆ + 3S 1+ + ŷ n S xx LMC a bx ŷ = + = ŷ (x x) 2 1 LIC = yˆ 3S 1+ + ŷ n S xx Apesar de os gráfcos de controle de regressão serem conhecdos desde 1969, quando Mandel fez sua prmera aplcação, Oln (1998) comparou três métodos para a construção de lmtes de controles, que se basearam nos seguntes aspectos: Lmtes smples 3σ: yˆ ± 3σˆ Intervalos de predção: yˆ± k(x ˆ 0, γ) σ Intervalos de confança: yˆ ± c(x ˆ 0, γ, ασ ) em que as constantes k(x 0,γ) e c(x 0, γ, α) e os métodos usados para estmar µ(x, β) e var(y) dependem do modelo estatístco. O autor conclu que, embora os ntervalos de predção e confança pareçam ser tecncamente mas corretos de um ponto de vsta estatístco, os lmtes smples 3σ são recomendados, pos são de fácl compreensão, smples e smlares ao gráfco de Shewhart. Mandel (1969), na época, aplcou os lmtes smples consderando dos desvos em torno da lnha de mínmos quadrados, em vez de três desvos. Embora sabendo-se que os lmtes de controle, em torno da lnha de regressão, deveram alargar-se progressvamente, ao longo da méda, dos fatos fazem a aplcação do lmte de controle paralelo possível. Prmero, se a varação sobre a lnha de regressão não for muto grande, os lmtes de controle não serão curvos. Segundo, as lnhas de lmtes paralelas fornecem controle mas rígdo a dstâncas extremas da méda (MANDEL, 1969). Quando se consdera o conjunto de todos os valores possíves de X, os ntervalos formam uma banda de prevsão que pode ser utlzada para se organzar o gráfco de controle de regressão. Segundo Mandel (1969), o gráfco de controle de regressão dfere do gráfco de controle tradconal nos seguntes aspectos : A méda desgnada não é constante, e essa varabldade é dependente da magntude da varável ndependente; As lnhas dos lmtes de regressão são paralelas à lnha de regressão, o que é melhor que uma lnha paralela ao exo x, pos os lmtes de controle acompanham a tendênca exstente entre as duas varáves; A construção dos gráfcos de controle de regressão é mas complexa que a do gráfco de controle convenconal. (3) 48 Revsta Produção v. 12 n

4 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos Para se estabelecer o gráfco de controle de regressão, a partr dos dados, é necessáro, prmeramente, que se analse o dagrama de dspersão para verfcar a lneardade da relação e detectar pontos atípcos. Logo após, estabelecemse os lmtes de controle a partr dos dados hstórcos, que estão sob controle. Esses lmtes estáves são útes para se sobrepor um novo conjunto de dados, dessa manera, faz-se a comparação se o processo atual concorda com o anteror. Isto é, se está entre os lmtes nferor e superor de controle. Um snal fora de controle ndca uma nconsstênca entre o processo novo e o antgo. Neste estudo, quando um ponto stua-se acma do lmte superor de controle ndca que, provavelmente, a produtvdade fo sgnfcatvamente nferor ao nível de desempenho estabelecdo no período. Um ponto abaxo do lmte nferor de controle ndca uma possível melhora na produtvdade. Note-se que um ponto fora do lmte nferor de controle, embora sendo o ndcador de um bom desempenho, deve merecer uma atenção especal e ser nvestgado. Um novo gráfco de controle deve ser estabelecdo, se houver uma mudança sgnfcatva no nível do desempenho. Se a tendênca for um aumento na produtvdade, um novo gráfco poderá ser construído a partr dos novos dados. Mas, se a tendênca for uma perda sgnfcatva em produtvdade, então, um novo gráfco deverá ser estabelecdo somente se essa mudança for devda a uma causa constante do sstema. menos confáves do que prevsões baseadas em valores da varável ndependente contdos no ntervalo de valores prevamente observados. O smples fato de exstr uma forte assocação entre duas varáves não sgnfca que haja entre elas uma relação de O gráfco de controle de regressão é capaz de avalar o efeto conjunto de varáves correlaconadas. causa e efeto. Se chegarmos a uma reta de regressão, que se ajuste bem à relação entre X e Y, então haverá quatro possbldades: 1. Os valores de Y podem realmente depender dos valores de X, como supusemos até agora. 2. A relação observada pode ser completamente casual. 3. Pode haver uma tercera varável afetando X e Y. 4. Pode haver, efetvamente, uma lgação casual entre X e Y, mas é mportante que X esteja causando Y. Talvez tenhase determnado ncorretamente qual seja a varável dependente e qual a varável ndependente. APLICAÇÃO DA METODOLOGIA Prevsão em regressão Uma das aplcações mas correntes dos modelos de regressão lnear smples consste na prevsão do valor da varável dependente, Y, para um novo valor da varável ndependente, X. Utlzando-se o modelo de regressão, com esse propósto, é mportante que, ao se fazer prevsões, seja consderado o ntervalo relevante da varável ndependente. Esse ntervalo relevante engloba todos os valores de X, desde o menor valor até o maor, utlzados no modelo de regressão. Antes, porém, de começar a fazer prevsões, deve-se atentar para algumas advertêncas mportantes (DOWNING & CLARK, 2000): Qualquer prevsão baseada em um modelo de regressão é uma prevsão condconal, pos a prevsão da varável dependente está sujeta ao valor da varável ndependente. A reta de regressão é estmada utlzando-se dados passados. Essa reta não poderá predzer dados futuros se a relação entre X e Y se modfcar. Mutas prevsões de regressão procuram prever valores de Y em stuações em que o valor de X está fora do ntervalo de valores de X observados anterormente. Tas prevsões, conhecdas como extrapolações, são muto A degradação do meo ambente tem sdo alvo da preocupação de órgãos e nsttuções, sejam governamentas ou não, bem como das comundades, seus representantes e das pessoas em geral. Tal preocupação reca, fatalmente, sobre a geração do lxo e o mpacto que este processo causa ao meo ambente, alterando a qualdade de vda no planeta, prncpalmente no perímetro urbano. Sabe-se que lxo é qualquer resto que resulte de atvdade humana, podendo ser de orgem ndustral, doméstca, hosptalar, comercal, agrícola, de servços, entre mutas outras. Apresenta-se sob os estados: sóldo, sem-sóldo e líqudo, podendo ser classfcado em orgânco e norgânco. Os cclos naturas de decomposção, e recclagem da matéra, podem reaprovetar o lxo produzdo pelo ser humano. Contudo, uma grande parte desse lxo sobrecarrega o sstema. O problema agrava-se porque mutas das substâncas manufaturadas pelo homem não são bodegradáves, sto é, não se decompõem faclmente, tas como: vdros, latas e alguns plástcos, que não são bodegradáves e levam mutos anos para se decompor. A reutlzação do lxo, por meo da recclagem, tornou-se um método efcente para que não se tenha um acúmulo de resíduos e, assm, o que era consderado lxo passou a ser entenddo como resíduos que, na maora das vezes, são Revsta Produção v. 12 n

5 Jacob, Souza & Perera reutlzados, tornando os mpactos ambentas cada vez menores e protegendo, de certa forma, os recursos naturas exstentes no planeta. A estrutura dos órgãos públcos, em relação ao tratamento do lxo, é nadequada, desde a forma de coleta até o tratamento fnal, que são os aterros santáros, compostagem e ncneração. As cdades brasleras produzem cerca de 90 ml toneladas de lxo por da, sendo que 34 mlhões de habtantes urbanos não dspõem de coleta domclar. Na zona urbana, apenas 35% contam com rede públca de esgoto, enquanto que 34% da população lança dejetos a céu aberto. De um modo geral, nas cdades, o lxo é coletado por uma empresa contratada pelo governo, ou por partculares, pos, Q uando a equação de regressão for empregada, com o objetvo de controle, é precso que exsta uma relação de causa e efeto. devdo à crescente produção de resíduos, por parte da população, a tercerzação da coleta de resíduos sóldos compactáves apresentou-se como a melhor alternatva para as prefeturas e órgãos responsáves pelo servço. Nesse contexto, a Prefetura Muncpal de Santa Mara tercerzou esse servço, contratando a Empresa PRT Prestação de Servços. A empresa encontra-se totalmente preparada para executar essa tarefa, mas também encontra dfculdades em dmensonar a frota de camnhões compactadores para realzar a coleta dos resíduos, tanto na zona urbana como na zona rural. Essa dfculdade não é encontrada apenas na cdade de Santa Mara, mas, também, em outras localdades em que a empresa atua. Dessa forma, pretende-se fornecer à empresa os períodos de maor, e menor, volume de resíduos a serem coletados, pos com a dentfcação desses períodos, e dos valores de volumes em qulogramas, a mesma poderá dmensonar a frota necessára para a realzação dessa tarefa. O processo de coleta é uma mportante etapa no processo de tratamento de resíduos, pos é aí que os materas orgâncos e norgâncos devem ser coletados, separadamente, e a coleta seletva deve ser mplementada para que o processo de recclagem tenha o seu níco. Neste trabalho, apenas a coleta não seletva será abordada, sendo feta por camnhões compactadores que levam os resíduos ao aterro santáro da cdade de Santa Mara RS, localzado no Barro Salgado Flho. Para o recolhmento dos resíduos domclares e comercas da cdade de Santa Mara, a Empresa PRT dsponblza oto (08) camnhões compactadores, com capacdade méda de kg, cada, sendo, também, realzada a coleta do lxo hosptalar e, no centro da cdade, exste a coleta seletva. A empresa dvdu a cdade em 22 setores, a fm de obter um melhor desempenho da atvdade de coleta e um melhor aprovetamento do número de camnhões compactadores. Dos 22 setores, 5 possuem coletas dáras, enquanto que os outros possuem coletas alternadas, três vezes por semana, e aos domngos a coleta não é realzada. O prmero passo, junto à empresa, fo organzar os formuláros preenchdos pelos motorstas e montar as planlhas que servram como banco de dados. As varáves envolvdas no processo de recolhmento de resíduos são: a qulometragem percorrda pelo camnhão compactador, o volume líqudo de resíduos recolhdo, o tempo gasto no recolhmento e o consumo de combustível. As varáves do processo, analsadas nesse trabalho, foram: a qulometragem dára percorrda pelos camnhões e o volume de resíduos recolhdos por da. A varável qulometragem é nformada pelos própros motorstas, que anotam o valor ncal e o fnal da qulometragem do camnhão, tendo como ponto de referênca a empresa. Para este procedmento, um formuláro própro é utlzado pela empresa. Os valores do peso líqudo são fornecdos por um funconáro da Prefetura Muncpal de Santa Mara, que é encarregado da pesagem dos camnhões, na entrada e na saída do aterro, encontrando-se, assm, o peso líqudo de resíduos que fo depostado, servndo de base para o cálculo do pagamento mensal da empresa. A dstânca percorrda, em cada setor, é sempre a mesma, pos os percursos das rotas são predetermnados. A varabldade da qulometragem resde no fato de que, quando há aumento no volume de resíduos, os camnhões precsam r mas vezes ao aterro santáro, aumentando, dessa manera, a qulometragem percorrda e, conseqüentemente, o gasto com combustível e o tempo de recolhmento. Isso podera ser melhor dmensonado, se fosse possível dentfcar os períodos em que ocorresse excesso de resíduos. Dessa forma, um camnhão compactador, com maor capacdade, podera ser destnado à rota onde este fato ocorresse, trazendo uma economa de combustível, mão-de-obra e tempo, benefcando a empresa. Análse descrtva dos dados Neste tem, faz-se uma análse descrtva das varáves envolvdas no estudo, nos meses de julho, agosto e setembro de 2001, pos, dessa manera, será possível encontrar alguns pontos que mereçam uma maor atenção e que sejam passíves de verfcação. Nas Tabelas 1 e 2, apresentam-se as prncpas meddas descrtvas das varáves peso líqudo e qulometragem, respectvamente. 50 Revsta Produção v. 12 n

6 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos Verfcando-se a Tabela 1, percebe-se que no mês de julho o volume médo de resíduos coletados é nferor aos meses de agosto e setembro. Essa dferença gerou uma nvestgação ampla, no sentdo de se estabelecer as possíves causas desse declíno no volume de resíduos coletados, conforme mostrado no Quadro 2. Como o volume de resíduos coletados no mês de julho é nferor, em relação aos outros meses, conseqüentemente a qulometragem percorrda pelos camnhões também é menor para este mês, conforme mostrado na Tabela 2. Observa-se, na Tabela 2, que o coefcente de varação, para o mês de julho, é o mas alto, mostrando que ocorreu uma varação muto grande de qulometragem rodada pelos camnhões da-a-da. Essa mesma varação é observada para a varável peso, conforme mostra a Tabela 1. As tabelas acma apresentadas podem ser melhor vsualzadas por meo do gráfco de Box-plot, que é muto útl para a comparação entre as varáves, fornecendo uma boa vsualzação de suas varabldades, conforme pode ser vsto na Fgura 1. Tabela 1: Meddas descrtvas para a varável peso. Meses Valor de n Valor Mínmo Valor Máxmo Julho Agosto Setembro Notas: A varável é expressa em qulogramas (kg). n é o número de das com recolhmento no mês. Meddas Descrtvas Méda , , ,4 Desvo Padrão , , ,80 Coefcente de Varação 0,4871 0,1973 0,2512 Tabela 2: Meddas descrtvas para a varável qulometragem. Meddas Descrtvas Meses Valor de n Valor Mínmo Julho Agosto Setembro Notas: A varável é expressa em qulômetros (km). n é o número de das com recolhmento no mês. Valor Máxmo Méda 542, , ,7200 Desvo Padrão 366, , ,7697 Coefcente de Varação 0,6760 0,1403 0,1796 Fgura 1: Gráfco Box-plot para as varáves peso e qulometragem. Revsta Produção v. 12 n

7 Jacob, Souza & Perera Constata-se, pela Fgura 1, que as varáves peso e qulometragem possuem o mesmo comportamento. Como a medana está à mesma dstânca do 1 o e do 3 o quartl, exstem fortes ndcações de smetra nos dados. Além dsso, sendo a ampltude bem maor que a dstânca nterquartílca, conclu-se que há grande dspersão das observações. Para melhor observar o comportamento da varável volume líqudo (peso), traça-se um gráfco de seqüênca, mostrado na Fgura 2. Essa varável mede a quantdade total de resíduos recolhda, por da, na cdade de Santa Mara, sendo expressa em qulogramas (kg). Essa varável fo analsada no período correspondente aos meses de julho, agosto e setembro de Observa-se que exste uma mudança de nível na méda do processo, correspondendo ao mês de julho. Esse comportamento nspra uma nvestgação crterosa, para tentar dentfcar as causas do ocorrdo. Um dos motvos para o baxo volume de resíduos coletados, é que o mês de julho corresponde ao mês das féras escolares. Além dsso, foram dentfcadas mutas falhas nos relatóros, pos os motorstas que realzavam as coletas não preencham os formuláros. A qulometragem percorrda pelos camnhões é uma varável muto mportante, pos dela depende o gasto com combustível. A quantdade total da qulometragem percorrda pelos camnhões, por da, na cdade de Santa Mara, é mostrada no gráfco de seqüênca na Fgura 3. Essa varável fo analsada no período de julho a setembro de Observa-se, na Fgura 3, que houve uma mudança de nível na méda do processo. Essa mudança ocorreu próxma à observação 30, que corresponde ao período fnal de julho e níco de agosto. Observa-se, também, que a sére apresenta quatro observações atípcas do restante da massa de dados, conhecda como outler. Fgura 2: Gráfco representatvo do peso de resíduos recolhdos por da, em Santa Mara, de julho a setembro de Peso (kg) N o de observações Fgura 3: Gráfco representatvo da qulometragem percorrda pelos camnhões compactadores, por da, em Santa Mara, de julho a setembro de Qulometragem N o de observações 52 Revsta Produção v. 12 n

8 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos Análse de correlação nos dados O nteresse, neste trabalho, é construr um modelo de regressão que relacone a qulometragem dára, percorrda pelos camnhões compactadores (Y), à quantdade de resíduos coletados por da (X). Observe que a quantdade dára de resíduos coletados não pode ser controlada. O procedmento adotado consstu em observar as varáves resíduos coletados (x ) e qulometragem percorrda (y ) em cada um Q dos das do período analsado. uando Portanto, (x, y ) são varáves aleatóras, conjuntamente dstrbuídas, e as prncpas nferêncas de nteresse, que serão estabelecdas, estarão condconadas aos valores observados para X. Como o nteresse está em conhecer o tpo de relaconamento exstente entre a qulometragem percorrda pelos camnhões compactadores e a quantdade de resíduos coletados, um dagrama de dspersão fo construído a partr dos dados coletados e está apresentado na Fgura 4. A confguração dos pontos, neste dagrama, sugere a exstênca de um relaconamento lnear entre a qulometragem percorrda e a quantdade de resíduos coletados. Com o objetvo de quantfcar o relaconamento lnear entre X e Y, vsualzado a partr da análse do dagrama de dspersão, calculou-se o coefcente de correlação amostral entre X e Y. O coefcente de correlação amostral fo de r = 0,7773, o que revela que exste uma forte correlação postva entre as varáves. O dagrama de dspersão, apresentado na Fgura 4, revela três pontos que desvam de um padrão lnear e, conforme Mandel (1969), esta stuação é passível de uma nvestgação. Se esses pontos representarem uma condção não usual, podem ser excluídos dos cálculos do gráfco de controle de regressão, pos, nessa etapa, está-se nteressado em encontrar os lmtes de controle para o gráfco de regressão que revele uma stuação de establdade do sstema. Dessa manera, será possível uma comparação com etapas posterores do processo de coleta dos resíduos. Assm, o processo estável servrá como padrão. um modelo de regressão é escolhdo, deve-se verfcar se é adequado para os propóstos a que se destna. Investgando-se esses três pontos, verfcou-se que a qulometragem rodada pelos camnhões estava muto alta para o volume de resíduos coletados nesses das, não havendo, porém, nenhum motvo especal para sso, a não ser um possível engano nas anotações nas fchas de controle. Como as causas dos três pontos que desvaram do padrão lnear, mostrado na Fgura 4, não são constantes no sstema, foram excluídos do cálculo do gráfco de controle de regressão. Dessa manera, utlza-se apenas o processo consderado estável para se encontrar os lmtes de controle que servrão para montorar o processo futuro. Com a exclusão dos três pontos, construu-se o dagrama de dspersão, mostrado na Fgura 5, e calculou-se um novo coefcente de correlação. O novo coefcente de correlação amostral calculado, desconsderando os três das que desvaram do padrão lnear, fo de r = 0,9210, mostrando que a correlação entre as varáves é anda mas forte. Fgura 4: Dagrama de dspersão das varáves peso e qulometragem para os meses de julho a setembro de Qulometragem Peso (kg) Revsta Produção v. 12 n

9 Jacob, Souza & Perera Calculou-se, também, o coefcente de determnação que mede a proporção da varação, que é explcada pela varável ndependente no modelo de regressão, o resultado fo R 2 = 0,8482, o que sgnfca que 84,82% da qulometragem percorrda pelos camnhões compactadores pode ser explcada pela varabldade no volume de resíduos coletados. Como as varáves aqu estudadas são lnearmente correlaconadas, e o seu alto nível de correlação sugere que possa haver uma relação funconal entre elas, uma reta de regressão será ajustada, determnando as relações entre essas varáves. Ajuste da equação de regressão e adequação do modelo Construr um modelo de regressão lnear, de Y sobre X, consste em obter, a partr dos valores observados, uma reta que melhor represente a relação verdadera entre essas varáves. A determnação dos parâmetros dessa reta é denomnada ajustamento. Estmaram-se os valores dos parâmetros, da equação de regressão lnear smples, pelo método de mínmos quadrados, encontrando-se a segunte equação: ŷ = 124,82 + 0, 0063 x (4) (3, 29) (20,198) em que, nos parênteses, estão os valores da estatístca t, calculada para as estmatvas dos parâmetros. A equação (4) pode ser reescrta da segunte forma: Qulometragem (estmada) = 124,82 + 0,0063 (peso) (5) Quando um modelo de regressão é escolhdo, em uma pesqusa, deve-se verfcar se é adequado para os propóstos a que se destna. Uma ou mas característcas do modelo podem não se ajustar aos dados da amostra, então, é mportante nvestgar a aptdão do modelo (VASCONCELLOS & ALVES, 2000; GUJARATI, 2000). Para avalar se a reta de regressão, ajustada em (5), pode ser empregada como base de futuras análses, fo realzada a análse de resíduos (Veja Neter, et al., 1996). Os gráfcos de resíduos que foram construídos são apresentados nas Fguras 6 a 8. A análse destes gráfcos, e dos testes realzados, não ndcou a presença de quasquer nadequações do modelo de regressão. O gráfco de resíduos contra os valores ajustados é apresentado na Fgura 6. Neste gráfco, os resíduos estão stuados, aproxmadamente, em uma faxa horzontal centrada em e = 0. Analsando-se o gráfco da Fgura 6 não são percebdas quasquer ndcações de que os pressupostos de lneardade e homocedastcdade tenham sdo volados. Outro pressuposto do modelo de regressão, que deve ser consderado, é a ndependênca dos resíduos. Esse pressuposto é, geralmente, volado, quando os dados são coletados ao longo de períodos seqüencas de tempo, uma vez que um resíduo, em qualquer ponto no tempo, pode tender a ser dêntco a resíduos em pontos adjacentes no tempo (MADDALA, 1992; NETER, el al., 1996). Dado que os dados foram coletados daramente, num período consecutvo de 3 meses, os resíduos foram plotados ao longo do tempo, para a verfcação da exstênca de um padrão, o que nos mostra a Fgura 7. A partr da Fgura 7, observa-se que os pontos não tendem a flutuar para cma e para baxo, em um padrão cíclco. Esse padrão ndca que não há uma volação no pressuposto da ndependênca dos resíduos. Além do gráf- Fgura 5: Dagrama de dspersão das varáves peso e qulometragem, para os meses de julho a setembro, sem os pontos que desvam do padrão lnear. Qulometragem Peso (kg) (kg) 54 Revsta Produção v. 12 n

10 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos co de resíduos, a autocorrelação também pode ser detectada e medda pela utlzação da estatístca de Durbn-Watson. Essa estatístca mede a correlação entre cada resíduo para o período de tempo medatamente antecedente àquele de nteresse (VASCONCELLOS & ALVES, 2000). Desse modo, para os dados coletados, a respeto da empresa PRT, com uma varável ndependente e 75 observações, obtendo-se a probabldade exata do teste gual a p = 0,7751, podese conclur que não exste autocorrelação entre os resíduos. A análse de regressão basea-se, também, em que os erros seguem uma dstrbução normal. A condção de normaldade dos resíduos não é necessára para a obtenção dos estmadores de mínmos quadrados, mas é fundamental para a defnção de ntervalos de confança e testes de sgnfcânca. Ou seja, na falta de normaldade, os estmadores são nãotendencosos, mas os testes não têm valdade, prncpalmente em amostras pequenas. Entretanto, pequenas fugas da normaldade não causam grandes problemas (NETER, 1996). Fgura 6: Gráfco de resíduos contra os valores ajustados, para os dados coletados. Resíduos Valores Ajustados Fgura 7: Gráfco para resíduos ao longo do tempo para os dados analsados. Resíduos N o de observações Revsta Produção v. 12 n

11 Jacob, Souza & Perera O teste mas smples, e rápdo, é o teste gráfco que compara a freqüênca acumulada dos resíduos padronzados com a curva normal, conforme mostra a Fgura 8. A suposção de normaldade será válda se os pontos do gráfco estverem localzados, aproxmadamente, ao longo de uma lnha reta. Na vsualzação da lnha reta, devem ser enfatzados os valores centras do gráfco, e não os extremos. Usualmente, a vsualzação da aproxmação dos pontos, por uma lnha reta, é subjetva e, então, para completar a avalação da normaldade, deve ser realzado o teste de normaldade, baseado na estatístca de Lllefors. Pela vsualzação do gráfco da Fgura 8, percebeu-se que os pontos centras estavam localzados, de forma aproxmada, ao longo de uma reta. Assm, para confrmar esta ndcação, para n = 75 observações, encontrou-se a probabldade exata do teste p > 0,20, não se obtendo, dessa forma, ndcações de volação de normaldade. A avalação da valdade da suposção de normaldade fo a últma etapa da análse de resíduos para os dados da empresa. Nessa análse, não foram encontradas ndcações de falta da adequação do modelo de regressão e das suposções a ele assocadas. Estabelecendo o gráfco de controle de regressão Como o modelo de regressão adapta-se bem aos dados coletados, e nenhuma das pressuposções fo volada, estabelece-se o gráfco de controle de regressão para os dados coletados nos meses de julho, agosto e setembro de Para o gráfco de controle de regressão, a lnha central é a lnha de regressão ŷ = 124,82 + 0,0063x. Usando-se essa lnha de regressão, e duas vezes o erro padrão estmado da reta de regressão, em 123,01 (sto é, ± 2S), defndo em (1), o gráfco de controle, com lmtes de controle colocados a 95% de confança, estabeleceu-se como mostrado na Fgura 9. Observa-se que quatro pontos são detectados fora dos lmtes de controle, dos pontos no mês de agosto e dos pontos no mês de setembro. Os três pontos, acma do lmte superor de controle, ndcam que houve uma qulometragem muto alta para o volume de resíduos coletados nesses das, e o ponto abaxo, lmte nferor de controle, sugere que houve uma melhora na produtvdade do sstema, ou seja, para o volume de resíduos coletados, a qulometragem percorrda fo baxa. Mas, para se estabelecer os lmtes nferores e superores de controle, para o gráfco de controle de regressão, é necessáro que se excluam os pontos fora de controle, desde que esses pontos sejam devdos a causas assnaláves. Como para os dados coletados não se estabeleceu uma causa comum no sstema para os problemas ocorrdos, esses pontos foram retrados e um novo gráfco fo construído, conforme é mostrado na Fgura 10. Como um novo gráfco fo construído com os dados sem os pontos que estavam fora dos lmtes de controle, uma nova equação de regressão fo estabelecda para representar o processo sob controle, a qual será utlzada para montorar Fgura 8: Gráfco de probabldade normal para os resíduos dos dados estudados Valores esperados da normal 56 Revsta Produção v. 12 n

12 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos etapas futuras do processo, como sendo: ŷ = 71,9 + 0,0068x (6) (2,69) (29,83) Os valores da estatístca t estão entre parênteses, calculada para as estmatvas dos parâmetros. Logo, o gráfco de controle de regressão, para as varáves peso e qulometragem, é determnado a partr da lnha central ŷ = 71,9 + 0,0068x. Utlzando-se essa lnha de regressão, e duas vezes o erro padrão estmado da reta de Fgura 9: Gráfco de controle de regressão para as varáves peso e qulometragem, nos meses de julho, agosto e setembro. km Fgura 10: Gráfco de controle de regressão para as varáves peso e qulometragem, nos meses de julho, agosto e setembro, sem os pontos fora de controle. km Revsta Produção v. 12 n

13 Jacob, Souza & Perera regressão em 81,91 (sto é, ± 2S), o gráfco de controle, com lmtes de controle colocados a 95% de confança, fo novamente estabelecdo, como mostrado na Fgura 11. O gráfco de controle de regressão detectou treze pontos fora de controle, sendo que, destes, sete no mês de setembro, dos quas 5 estão acma do lmte superor de controle. Isto sgnfca que o camnhão coletor percorreu uma qulometragem maor do que devera, ndcando que houve um deslocamento extra do camnhão ao aterro santáro, devdo a um excesso de resíduos. Este problema sera resolvdo se o camnhão compactador fosse substtuído por um camnhão de maor capacdade. Nesse caso, a empresa está perdendo em tempo, pos o camnhão faz mas vagens ao aterro santáro com capacdade ncompleta, sem levar em consderação custos com combustível, desgaste com pneus e, mutas vezes, horas extras para os funconáros. Os pontos abaxo do lmte nferor de controle, neste estudo sgnfcam um aumento na produtvdade, mostram que uma grande quantdade de resíduos fo coletada, utlzando qulometragem menor que a habtual. O que podera ter ocasonado tas pontos, é o fato de, mutas vezes, alguns camnhões saírem em socorro de outros que estão realzando a coleta dára, para que o recolhmento seja mas rápdo. Mas, como a carga não é completada, e uma vez que o camnhão coletor só poderá r até o aterro santáro se estver com, no mínmo, a metade de sua capacdade, o veículo retorna à empresa com carga, sando no da segunte para o recolhmento normal sem sua total capacdade de coleta. CONCLUSÕES A técnca fo adequada e trouxe uma melhora para a empresa, pos dentfcaramse os pontos que estavam fora de controle. O gráfco de controle de regressão permtu observar que o sstema de coleta de resíduos não estava sendo realzado de forma satsfatóra, pos alguns pontos estavam fora dos lmtes de controle. Isso ndca que hava das em que a qulometragem percorrda pelos camnhões estava muto alta para o volume de resíduos recolhdos, ou seja, hava uma baxa produtvdade. Assm como hava das em que a qulometragem estava muto baxa para o volume de resíduos coletados, sugerndo, dessa forma, um aumento de produtvdade ou erro nos regstros. Vale ressaltar que a dstânca percorrda, em cada setor, é sempre a mesma, pos os percursos das rotas são predetermnados. A varabldade da qulometragem resde no fato de que, quando há aumento no volume de resíduos, os camnhões precsam r mas vezes ao aterro santáro, aumentando, dessa manera, a qulometragem percorrda e, conseqüentemente, o gasto com combustível e o tempo de recolhmento. Fgura 11: Gráfco de controle de regressão para as varáves peso e qulometragem, nos meses de julho, agosto e setembro, com os lmtes padrão para o processo. km 58 Revsta Produção v. 12 n

14 Gráfco de controle de regressão aplcado na montoração de processos Sendo assm, sugere-se um acompanhamento maor, pela empresa, nas varáves estudadas, com o ntuto de que, estando essas varáves sob controle, a empresa seja capaz de prever, com maor exatdão, o gasto de combustível dos camnhões compactadores. Deve-se ressaltar, anda, que durante o período analsado alguns fatos ocorrdos podem ter nfluencado o comportamento das varáves, como por exemplo: velocímetro estragado, balança quebrada, falta de anotações nos formuláros do volume coletado, da qulometragem de saída ou de chegada do camnhão. É mportante lembrar que, embora alguns pontos estejam fora dos lmtes de controle no gráfco de regressão, sso não sgnfca que o recolhmento dos resíduos não tenha sdo realzado, pos a empresa não fo notfcada nem pela população, nem pela contratante do servço. Salenta-se que a técnca fo adequada e trouxe uma melhora para a empresa, pos dentfcaram-se os pontos que estavam fora de controle. Além dsso, transformações nternas ocorreram na empresa, havendo uma melhor organzação do banco de dados e contratação de novos funconáros para atenderem ao montoramento deste setor. Em conseqüênca dessa medda, houve redução no gasto com combustível. Além dsso, detectou-se, no período de féras, uma redução no volume de resíduos coletados, pos tendo a cdade como sua prncpal vocação a unverstára, contando com mas de quatro unversdades, é de se entender que no período de féras haja um menor fluxo de pessoas e, conseqüentemente, um menor acúmulo de resíduos. Referêncas bblográfcas DIPAOLA, P.P. Use of correlaton n qualty control. Industral Qualty Control, v. 2, n. 1, p , July, LEVINE, D.M., BERENSON, M.L., STEPHAN, D. Estatístca: teora e aplcações. Ro de Janero: Lvros Técncos e Centífcos, p. MONTGOMERY, D.C. Introducton to statstcal qualty control. 3rd ed. New York: Jonh Wley, p. SIQUEIRA, L.G.P. Controle estatístco do processo, São Paulo: Ponera, p. DRAPER, N.R.; SMITH, H. Appled regresson analyss. New York: John Wley, p. GUJARATI, D.N. Econometra básca. 3. ed. São Paulo: Makron Books, p. JACKSON, J.E.; Qualty control methods for two related varables. Industral Qualty Control, v. 12, n. 7, p. 4-8, Jan MADDALA, G.S. Introducton to econometrcs. 2nd ed. Englewood Clffs: Prentce Hall, p. MANDEL, B.J. Statstcal programs of the Unted States post offce department. Industral Qualty Control, p , The regresson control chart. Journal of Qualty Technology, v. 1, n. 1, p. 1-9, NETER, J. et al. Appled lnear regresson models. 3rd ed. Irwn, p. OLIN, Bryan D. Regresson control charts revsted: methodology and case studes. In: Annual Fall Techncal Conference, 42º, New York, Proceedngs, New York, P SHEWHART, W.A. Economc control of qualty of qualty of manufactured product. New York: D. Van Nostrand, VASCONCELLOS, M.A.S.; ALVES, D. (Coord.) Manual de econometra. São Paulo: Atlas, p. WERKEMA, M.C.C. Ferramentas da qualdade: ferramentas estatístcas báscas para o gerencamento de processos. Belo Horzonte: QFCO, v. 3. WERKEMA, M.C.C., AGUIAR, S. Ferramentas da qualdade: análse de regressão: como entender o relaconamento entre as varáves de um processo. Belo Horzonte: QFCO, v. 7. Agradecmentos Agradecemos à FAPERGS (Fundo de Amparo à Pesqusa do Estado do Ro Grande do Sul) pelo auxílo fnancero que vablzou o desenvolvmento deste projeto (processo ) e à empresa PRT Prestação de servço pela dsponbldade dos dados. Revsta Produção v. 12 n