Jaime Carvalho e Silva. Manual de Matemática para o 12º ano Matemática A. Joaquim Pinto. NIUaleph 12. Vladimiro Machado LIVRO DE EXERCÍCIOS VOLUME 2

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1 Manual de Matemática para o 1º ano Matemática A NIUaleph 1 LIVRO DE EXERCÍCIOS VOLUME Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado 01

2 Título NiuAleph 1 - Livro de Exercícios para o 1.º ano de Matemática A Autores Jaime Carvalho e Silva (Editor) Joaquim Pinto Vladimiro Machado Capa e Design Elisa Silva Conceção Técnica Vítor Teodoro João Fernandes Colaboração António Marques do Amaral, Raul Gonçalves e Sofia Marques Imagens e fontes As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike ou Creative Commons Attribution As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvolvidas pela GUST Parte dos gráficos deste volume foram criados com o software livre Geogebra 4, disponível em ISBN Edição 1.ª edição/versão 1 Data 01 Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

3 Índice geral Volume 1 (Capítulos 1 a 8) Exercícios globais de.ª oportunidade Recomendações do GAVE Testes de tempo limitado Soluções Síntese Volume (Capítulos 9 a 17) Exercícios globais de.ª oportunidade Recomendações do GAVE Testes de tempo limitado Soluções Síntese

4 Índice Exercícios globais de.ª oportunidade 6 Capítulo 9 - Limites de funções 9 Capítulo 10 - Cálculo diferencial 1 Capítulo 11 - Aplicações do cálculo diferencial 15 Capítulo 13 - Funções trigonométricas 0 Capítulo 15 A Álgebra dos números complexos 4 Capítulo 16 - A Geometria dos números complexos 6 Recomendações do GAVE 31 Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real 33 Tarefas resolvidas 33 Tarefas propostas 37 Capítulo - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais 43 Tarefas resolvidas 43 Tarefas propostas 47 Capítulo 3 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conj. dos números complexos 48 Tarefas resolvidas 48 Tarefas propostas 5 Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos 53 Tarefas resolvidas 53 Tarefas propostas 55 Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas 56 Tarefas resolvidas 56 Tarefas propostas 59 Testes de tempo limitado 60

5 Teste 7 Funções Escolha múltipla 60 Teste 8 Funções Resposta aberta 6 Teste 9 Funções Resposta aberta 63 Teste 10 Funções Escolha múltipla e resposta aberta 66 Teste 11 Global - Escolha múltipla 70 Teste 1 Global - Escolha múltipla 7 Teste 13 Global - Resposta aberta 74 Teste 14 Global - Resposta aberta 75 Teste 15 Global 78 Soluções 81 Síntese 105

6 1. Exercícios globais de.ª oportunidade Capítulo 9 Limites de funções Pratica C9 1. Verifica que tende para por valores inferiores a.. Dá exemplo de uma sucessão tal que Observa os gráficos das funções e, em cada caso, indica justificando se existe limite no ponto Calcula: 6 Exercícios globais de.ª oportunidade

7 Considera as funções: ;. 5.1 Recorre à tua calculadora para estudares a existência de. 5. Observa o gráfico da função e indica e. 5.3 Calcula, analiticamente, e. 6. Considera as funções de variável real definidas por f (x) = 6.1 Determina o domínio de f e de g. 3 x 9 e g(x) = 4 3 ln x. 6. Averigua se os gráficos de f e g têm assíntotas verticais. 7. Relativamente às funções definidas no exercício anterior, averigua a existência de assíntotas horizontais dos seus gráficos. 8. Seja g uma função definida em + que admite uma assíntota horizontal y = 3. Qual o limite da sucessão (u n ) definida por u n = g(n) com n? 9. A figura seguinte é a representação gráfica de uma função real de variável real f. Exercícios globais de.ª oportunidade 7

8 9.1 Calcula: lim f (x) 9.1. lim f (x) x x + 9. Justifica que f é contínua à direita no ponto x =. x 7 se x Considera a função f (x) = (x + 9) se x > 8 uma função real de variável real Prova que f é contínua à direita em x = Prova que f é contínua à esquerda em x = O que podes afirmar acerca da continuidade de f no ponto x = 8? Porquê? 11. Lançou-se uma bola, verticalmente de baixo para cima. A altura h (em metros) a que a bola se encontra do solo é função do tempo t (em segundos) decorrido desde o lançamento e é dada pela expressão h(t) = 3x + 8x Passado 1 segundo do lançamento da bola a que altura se encontra esta do solo? E passados,5 segundos? 11. Prova, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que existe um instante c ]1.5,1.8[ ao fim do qual a bola se encontra a 5 metros do solo. Pensa e Resolve 1. Considera a função f definida graficamente no referencial da seguinte figura: 8 Exercícios globais de.ª oportunidade

9 Relativamente às seguintes proposições indica o seu valor lógico (verdadeiro ou falso): 1.1 h( 3 ) > 0, n n 1.3 h(3 1 ) = 1, n n 1. h( + 7 ) < 1, n n 13. Considera a função g representada graficamente e cujo gráfico tem as retas de equações x = 1, x = e y = 1 como assíntotas. Considera as sucessões (u n ), (v n ), (w n ) e (s n ) de termos gerais: u n = n +, v n = n, w = + ( 1)n, s n n = 1 n n Exercícios globais de.ª oportunidade 9

10 Estuda quanto à convergência as sucessões de termos gerais: 13.1 f (u n ) 13. f (v n ) 13.3 f (w n ) 13.4 f (s n ) 14. Prova, usando a definição de limite segundo Heine, que não existe lim g(x) quando x 0 x se x 0 g(x) =. 1 se x < 0 x 15. Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que: lim = lim x 0 + x x 0 x = 16. Considera a função definida por f : \ { 3} 6 x 1 x 3 Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que: 16.1 lim f (x) = 3 x lim x 3 + f (x) = 16. lim f (x) = lim f (x) = 1 x + x 16.5 não existe lim f (x) x lim x 3 f (x) = Calcula, se existir: x 7 + x lim x lim x x 6 x lim x 1 x 1 x Calcula, se existir: x 4 + x + 3 3x lim 18. lim x + 3x 4 + 4x x x Exercícios globais de.ª oportunidade

11 4x 5x + 6x lim 18.4 lim x 3x 5 + x x 19. Investiga as assíntotas dos gráficos das funções definidas por: x x 3x x 19.1 m(x) = + 1 x h(x) = x + + 4x 9 x (x 3) 19. r(x) = x 19.4 g(x) = x + 1 x x f (x) = x 3x + 11 x 0. Procura as assíntotas do gráfico da função g(x) = 3x + ln x. Reflete 1. Considera a função f definida graficamente por Seja (v n ) uma sucessão tal que v n = a 1 n, a. Qual o valor de a que faz com que: 1.1 lim f (v n ) = 1. lim f (v n ) = +. Encontra exemplos de funções f e g que tenham o zero comum e ainda: f (x) f (x).1 lim = 5. lim x g(x) x g(x) = + Exercícios globais de.ª oportunidade 11

12 f (x) f (x).3 lim =.4 lim x g(x) x g(x) = + 3. Considera a função definida por g(x) = 9 x. Encontra uma função f tal que: g(x) 3.1 lim x 3 f (x) = lim x 3 g(x) f (x) = + 3. lim x 3 + g(x) f (x) = 4. Será possível existirem duas funções descontínuas no ponto cuja soma seja contínua em? C10 Capítulo 10 Cálculo diferencial Pratica 1. Determina a derivada de cada uma das seguintes funções, aplicando as regras de derivação Exercícios globais de.ª oportunidade

13 1.15. Calcula a função derivada de cada uma das seguintes funções: Determina a expressão que define a derivada de cada uma das seguintes funções: Exercícios globais de.ª oportunidade 13

14 Pensa e Resolve 4. Considera a função f definida por. Verifica, recorrendo à definição, que. 5. Determina através da definição, a função derivada de cada uma das seguintes funções: , no ponto Seja f uma função, polinomial, tal que. Calcula, usando a definição, e determina o seu domínio. Determina: Reflete 7. Mostra que a função m(x) = x 1 não é derivável em. 8. Determina, usando a definição, a derivada da função. Qual o domínio de? 14 Exercícios globais de.ª oportunidade

15 C11 Capítulo 11 Aplicações do Cálculo Diferencial Pratica 1. Considera a função f, de domínio tal que a sua derivada é dada por f '(x) = 4 x, também de domínio. e x Estuda f quanto à monotonia e existência de extremos.. Considera a função h, definida por h(x) = ln(1 + x ) ln(x)..1 Determina o domínio de h.. Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos..3 Determina a abcissa do ponto de inflexão do gráfico da função h. 3. Considera a função f definida por f (x) = ln(x ). x 3.1 Determina o domínio de f. 3. Estuda a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico. 3.3 Mostra que f ''(x) = ln(x ) 6 x Determina as coordenadas dos pontos de inflexão do gráfico de f. 4. Estuda e representa graficamente a função f, definida por f (x) = ln 1 + x 1 x 5. Admite que a temperatura, T, em graus Celsius, do café numa chávena, t minutos após ter sido tirado de uma máquina, é dada por T(t) = A + T 0 A ( ) e 0.04t, (t 0), em que A é a temperatura ambiente, considerada como constante, e T 0 é a temperatura do café no instante em que acaba de ser tirado da máquina, ambas as temperaturas medidas em graus Celsius. 5.1 Determina quanto tempo demora o a temperatura do café a atingir os 10 C, no caso em que T 0 = 5 C e A = 0 C. Apresenta o resultado em minutos arredondados às unidades. Exercícios globais de.ª oportunidade 15

16 5. Mostra que T '(t) = 0.04 ( T 0 A) e 0.04t Estuda a monotonia da função T no caso em que T 0 > A. 5.. Estuda a monotonia da função T no caso em que T 0 < A. 5.3 Interpreta, no contexto do problema, e para cada um dos casos anteriores, as conclusões a que chegaste. 6. Considera qua a capacidade pulmonar média de um ser humano com idade superior ou igual a oito anos, é dada, em litros, em função da respetiva idade x, em anos, por + ln(x) C(x) = 100 x (x 8) 6.1 Mostra que C '(x) = ln(x) x. 6. Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina em que idade a capacidade pulmonar média é máxima. Apresenta a resposta com arredondamentos às unidades. 6.3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determina durante quantos anos é que o ser humano tem uma capacidade pulmonar média superior a 4 litros. Pensa e Resolve Apresenta o resultado arredondado às décimas. 7. Seja h a função definida por h(x) = e x. x Determina o domínio de h. 7. Determina a função derivada da função h. 7.3 Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos. 7.4 Escreve a equação da reduzida da reta, r, que passa pelo ponto P = (,1) e que é paralela à reta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa Usa as capacidades gráficas da tua calculadora para determinares, com uma aproximação às centésimas, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção da reta r com o gráfico de h. 8. Seja h uma função real de variável real definida por h(x) = x e + e x. 8.1 Determina o domínio de h. 8. Determina a função derivada da função h. 16 Exercícios globais de.ª oportunidade

17 8.3 Estuda h quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. 8.4 Justifica que h é uma função positiva, isto é, h(x) > 0, x D h. 9. O Sérgio trabalha numa empresa de ultracongelados, todos os dias tem que entrar dentro de uma das câmaras frigoríficas para preparar as encomendas a fim de serem distribuídas pelos clientes. Assim que entra na câmara a sua temperatura corporal começa a diminuir. Essa diminuição ocorre até ao instante em que ele sai da câmara, começando a subir de imediato, assim prosseguindo até atingir o valor inicial. Sabe-se que cada vez que o Sérgio entra numa das câmaras frigoríficas é provocada uma variação na sua temperatura corporal dada por T(t) = ( e 0.4t e ) 0.6t. em que T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo, em horas, decorrido em desde que o Sérgio entrou na câmara frigorífica. 9.1 Determina a temperatura corporal do Sérgio no instante em que entrou na câmara frigorífica. 9. Determina quanto tempo esteve o Sérgio dentro da câmara frigorífica. Apresenta o resultado arredondado às unidades. 9.3 Utiliza a calculadora para determinares quanto tempo é que a temperatura corporal do Sérgio foi inferior a 33. Apresenta o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades. 9.4 Calcula limt(t) e interpreta o resultado obtido, no contexto do problema, relacionan- t + do-o, inclusive, com o valor obtido na primeira alínea. 10. A D. Esmeralda acabou de fazer uma sopa e, às dez horas, colocou-a no frigorífico, onde nesse momento, a temperatura era de 6. Como era de esperar, assim que colocou a sopa no frigorífico, a temperatura dentro dele começou a aumentar, tendo atingido um valor máximo e voltado depois a diminuir, aproximando-se da temperatura inicial. Admite que a temperatura, T, no interior do frigorífico, medida em graus Celsius, t minutos após a sopa ter sido lá colocada, é dada por T(t) = te 0.03t, t 0. Nas duas primeiras alíneas, sempre que nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais Qual era a temperatura no interior do frigorífico às dez horas e um quarto? Apresenta o resultado em graus Celcius, arredondado às décimas. 10. Recorrendo à calculadora, resolve o seguinte problema: A que horas começou a temperatura no interior do frigorífico a diminuir? Exercícios globais de.ª oportunidade 17

18 Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades) Determina ao fim de quanto tempo é que a temperatura no interior do frigorífico estava a diminuir mais rapidamente. Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Reflete 11. Considera a função real de variável real, de variável real e de domínio definida por f (x) = x + 4. Considera, também a função h, definida por h(x) = f (x). Mostra que, tal como a figura sugere, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa também é tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa. 1. Considera a função f definida por f (x) = 3x 3(e x + 1). Na figura abaixo está representada, em referencial o. n. xoy, parte do gráfico da função f e o quadrilátero [AOBC ]. Os ponto A e C são os ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação y = 1 3 x 1 3 O ponto B pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual à de C. 18 Exercícios globais de.ª oportunidade

19 1.1 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determina um valor aproximado às centésimas da área do quadrilátero [AOBC ]. Se utilizares valores aproximados nos cálculos intermédios, utiliza, no mínimo três casas decimais. 1. Utiliza o teorema de Bolzano para garantires que existe, no intervalo π, π, uma abcissa de um ponto do gráfico de f em que a reta tangente ao gráfico é horizontal. 13. Considera a função f definida por f (x) = ln x + 1. x 13.1 Determina o domínio de f. 13. Mostra que a equação f (x) = 1 tem, pelo menos, uma solução no intervalo ]1,3[ Determina a função derivada de f Estuda f quanto à monotonia e determina o seu mínimo Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Seja r a reta que passa no ponto A de coordenadas (10,4) e que é paralela à reta t. Determina a equação reduzida da reta r. 14. Admite que o peso médio p de um cão de raça A, até aos oito anos de idade, é dado em quilogramas por p(t) = 3 kt se 0 t 16 log ( t ) + 16 se 16 < t 96 em que k é um número real e t é a idade do animal em meses Sem recorrer à calculadora, determina o valor de k sabendo que o peso do animal varia de forma contínua. 14. Relativamente a outra raça de cães, a raça B, o peso médio, em quilogramas, de um animal, desde a nascença até aos oito anos é dado por m(t) = 1.03 t + 15, sendo t a idade do animal em meses. Para que valores da idade é que os cães de ambas as raças têm o mesmo peso médio? Utiliza a calculadora gráfica para resolver esta questão. Apresenta o resultado em anos e meses. Exercícios globais de.ª oportunidade 19

20 15. Seja f uma função cuja derivada f é crescente no intervalo aberto ]a,b[. Mostra que o gráfico de f em ]a,b[ fica acima do da tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), isto é que, dado um ponto qualquer c de ]a,b[, se tem Sugestão: Estuda a função definida por. para todo o x no intervalo ]a,b[. C13 Capítulo 13 Funções trigonométricas Pratica 1. Calcula 1.1 lim x 0 tg(3x) sen(x) 1. lim x 0 tg(x) tg( 5x). Determina a expressão analítica da derivada das funções:.1 i(x) = x + cos(3x). j(x) = cos t 3sen 3 t 3. Calcula o declive da reta tangente ao gráfico da função g(x) = cos x nos pontos. 4. Para a função h(x) = sen3 + cos 3 x 3 em ]0, π [ indica: os intervalos em que são crescentes e em que são decrescentes e os extremos relativos de cada uma nos intervalos indicados. 5. Qual o sinal da expressão? 6. Determina o domínio da função. 7. Sabendo que determina e. 0 Exercícios globais de.ª oportunidade

21 8. Determina o período das funções: Calcula uma expressão analítica da função derivada de: Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico das funções: 10.1 no ponto. 10. no ponto. 11. Calcula, sem usar a calculadora, as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo das funções: em 1. As fases da Lua podem ser determinadas pela função: em que f (n) corresponde à percentagem da superfície lunar visível no dia n de observação. O dia 1 de janeiro de 013 corresponde a n = Que percentagem da Lua é visível nesse dia? 1. Determina o período da função. 1.3 De acordo com a função, em que dia se verifica a lua cheia, ou seja, em que dia teremos 100% da superfície visível? 1.4 Que percentagem da lua será visível no dia 18 de fevereiro? 13. Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de inflexão da função em. 14. A respiração pulmonar isto é a inspiração e expiração, apresentam ciclos periódicos em função do tempo, em descanso, que podem ser modelados pela função Exercícios globais de.ª oportunidade 1

22 em que r(t) representa o volume em litros para um ciclo de expiração e inspiração e t é o tempo em segundos. Determina: 14.1 O período da função. 14. No período calculado no exercício anterior, os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente O volume de ar inspirado. Pensa e Resolve 15. Sabendo que cos(a + b) = cosa cosb sena senb, determina uma expressão para: Considera o triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 5 cm. 5cm 16.1 Determina o valor do ângulo para o qual a área do triângulo é máxima. 16. Calcula o valor da área máxima. 17. Sendo e g(x) = 1 sen(x) mostra que verificam a igualdade sen(px) 18. Calcula lim x 0 sen(qx), p,q Determina o período das funções: Calcula uma expressão analítica da função derivada de: Exercícios globais de.ª oportunidade

23 Calcula os limites seguintes: Determina, sem usar a calculadora, as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo da função t(x) = e x (cosx + sen x) em. 3. Resolve as equações: Reflete sen(πx π) 4. Calcula lim x 1 ax a com. 5. A altura atingida por um objeto em movimento oscilatório é dado em função de t pela função f (t) = a cost +bsent + 5, em cm. Se para o tempo t = 0s, a altura do objeto é de 6 cm e a sua velocidade é v = 3 cm/s determina: 5.1 a e b. 5. A aceleração inicial do objeto. 6. Seja a função f (x) = 1 x sen x definida em [0;π]. 6.1 Determina a função derivada da função f (x). 6. Determina os intervalos de monotonia da função f (x). 6.3 Prova que a equação f (x) = 0 admite um zero no intervalo. Indica um intervalo de amplitude 0,01 que contenha um zero da função. 7. Determina as assíntotas, horizontais e verticais, da função. Exercícios globais de.ª oportunidade 3

24 8. Calcula os limites: tg x 8. lim x 0 x 9. Considera a expressão. Escreve a expressão em função de sen α e indica os valores para os quais a expressão é válida. 30. Com uma chapa metálica de forma retangular de 1m 3m, queremos construir uma caleira para colocar num telhado. Para isso devemos dobrar a chapa, como indica a figura, para formar a superfície lateral e o fundo. 3m 1m 0,3 0,4 0, Prova que o volume da caleira é dado pela função V(α) = 3(0,09 + 0,09 cos α)senα para. 30. Determina o volume máximo, em litros, da caleira. C15 Capítulo 15 A Álgebra dos números complexos Pratica 1. Calcula a soma e o produto dos complexos se z 1 = 3 i e z = + 3 i 4 Exercícios globais de.ª oportunidade

25 . Determina a diferença e o quociente quando z 1 = 5 i e z = 5 i 3. Escreve na forma a + bi o número complexo 1 + i 1 i + 1 i 1 + i. 4. Escreve na forma a + bi o número complexo. 5. Determina os números reais x e y de modo que. 6. Sejam os números complexos calcula: Resolve, em, a equação iz + 3 5i = Efetua as operações apresentando o resultado na forma a + bi ( ): 8.1 (3 + i) + (5 3i) ( 5i)(3 + i) Escreve na forma algébrica o número complexo 10. Resolve em as equações: Usa a fórmula do binómio de Newton para calcular. 1. Calcula. 13. Representa graficamente os números complexos, os seus simétricos e os seus conjugados: 3 4i; i; 1 i; 1 + i; 3 Exercícios globais de.ª oportunidade 5

26 Pensa e Resolve 14. Prova que é o inverso de. 15. Considera em a equação Prova que 1 é uma solução da equação. 15. Determina as soluções da equação. 16. Resolve em a equação. 17. Calcula na forma algébrica: Determina o número real a de modo que o número complexo pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. 19. Calcula os valores reais de k de modo que a parte real do número complexo Reflete 0. Calcula. 1. Para que valores de é verdadeira a igualdade?. Determina o conjunto solução da equação. 3. Mostra que se então z é um número real. 4. Representa no plano complexo os afixos de. 4.1 Prova que o quadrilátero de vértices é um paralelogramo. C16 Capítulo 16 A Geometria dos números complexos Pratica 1. Considera o número complexo z = cis π 6. 6 Exercícios globais de.ª oportunidade

27 1.1 Representa-o na forma algébrica. 1. Determina o módulo e o argumento de. 1.3 Determina.. Calcula o módulo do número complexo. 3. Escreve na forma o complexo. 4. Qual é o módulo do número complexo? 5. Determina o módulo e um argumento do número complexo tg π 3 i. 6. Representa na forma trigonométrica os números complexos: 6.1 3i 6. 1 i i 6 7. Escreve na forma algébrica os números complexos: Descreve o conjunto dos números complexos que satisfazem as condições: Im(z) = 9. Resolve em a equação e mostra que apenas uma das soluções elevada à quarta é um número real. 10. Determina na forma algébrica e trigonométrica as raízes quartas de Considera em a equação Determina na forma trigonométrica as soluções z 1 e z da equação, em que a parte Exercícios globais de.ª oportunidade 7

28 imaginária de é positiva. 11. Prova que 1. Escreve na forma algébrica e na forma trigonométrica o número complexo 13. Seja um número real tal que e sen θ = 5 5. Calcula o módulo e o argumento de: i( + i)(4 + i)(1 + i) 13. Pensa e Resolve 14. Resolve em a equação. 15. Calcula o valor de m para que o número complexo m + 4i tem o mesmo módulo que. 16. Dados os complexos e z = cis 5π 4 : 16.1 calcula na forma a + bi com ; 16. determina na forma trigonométrica. 17. Calcula, na forma trigonométrica, o número complexo u, sendo e as raízes que a equação admite em, supondo que, argumento de verifica a con- 8 Exercícios globais de.ª oportunidade

29 dição. 18. Sabendo que determina um argumento de onde é o simétrico de z. 19. No conjunto dos números complexos Mostra que. 19. Considera a equação: Deduz da alínea anterior uma solução da equação A equação tem outra solução. Escreve-a na forma trigonométrica Deduz da primeira alínea uma solução para a equação, apresentando o resultado na forma trigonométrica. 0. Escreve na forma trigonométrica os números complexos: ( 3 i) Seja o número complexo. 1.1 Escreve-o na forma a + bi. 1. Escreve-o na forma trigonométrica. 1.3 Calcula.. Considera em a multiplicação. Determina:.1 o produto na forma algébrica.. o produto na forma trigonométrica..3 deduz das alíneas anteriores o valor de cos 5π 1 e sen 5π 1. Exercícios globais de.ª oportunidade 9

30 3. Calcula o módulo e o argumento de, sabendo que e. 4. Escreve na forma trigonométrica os números complexos: Resolve em a equação. Reflete 6. Determina o conjunto dos pontos M do plano complexo de afixos z tais que z = + bi, onde b e varia no intervalo [0,+ [. 7. Determina os valores de tais que é um número real positivo. 8. Resolve em a equação. 9. Seja. Mostra que se e só se z é um número real. 30. Prova que a reta r que contém os pontos z 1 e z, é perpendicular à reta s que contém os pontos z 3 e z 4 se e só se arg z z 1 = ± π z 3 z Determina os números complexos z de modo que os números tenham o mesmo módulo. 30 Exercícios globais de.ª oportunidade

31 . Recomendações do GAVE No Relatório de setembro de 010 publicado pelo GAVE com o título Um olhar sobre os resultados dos exames nacionais podem-se encontrar informações muito interessantes sobre os aspetos em que os alunos revelam melhor e pior desempenho nos exames nacionais, assim como recomendações para a lecionação feitas a partir dessa análise. Documentos como estes são muito úteis para os alunos e os professores, embora em cada ano os alunos e as turmas possam exibir características muito variadas. Mesmo assim, as dificuldades mais comuns são reveladas por tais documentos. Entre os aspetos onde os alunos do ensino secundário têm melhor desempenho na disciplina de Matemática, segundo este relatório, estão os seguintes: a) No ensino secundário, os itens com melhor desempenho, independentemente da tipologia, convocam quase sempre operações mentais como transferir e, mais esporadicamente, argumentar, relacionar, interpretar. Os alunos também revelam facilidade nos itens de cálculo direto ou que apelem à leitura e seleção de informação. Entre os aspetos que os alunos do ensino secundário revelam mais dificuldades encontram-se: b) No ensino secundário, as maiores dificuldades prendem-se com a resposta aos itens que mobilizam operações mentais como argumentar/justificar, analisar, relacionar, em geral, e, muito pontualmente, transferir e classificar. Também é fraco o desempenho nos itens em que se solicita a concretização de raciocínio dedutivo e a interpretação em contexto. O GAVE conclui ainda que, tanto no Ensino Básico como no Ensino Secundário os alunos revelam algumas dificuldades comuns: c) os examinandos revelam fragilidades no domínio da compreensão da língua, na comunicação escrita, no recurso ao cálculo, na interpretação de novas situações e dificuldades em utilizar as capacidades gráficas da calculadora. Em função destas conclusões, o relatório do GAVE recomenda d) No ensino secundário, considera-se muito importante a lecionação dos problemas a partir de contextos reais e com a execução de cálculos mais complexos. Na conclusão deste relatório é afirmado que e) O documento que agora se conclui pretende, através da identificação de níveis de desempenho dos alunos, em sede de avaliação externa, contribuir para uma melhoria sustentada dos resultados, em consequência de um progressivo upgrade da qualidade dos saberes, das competências e do saber-fazer dos nossos alunos. Nesta ordem de ideias foram selecionados para esta segunda parte algumas tarefas que permitem desenvolver as capacidades identificadas neste relatório do GAVE como sendo as que colocam mais dificuldades aos estudantes. As tarefas são de índole muito variada, podendo ser itens de exames ou tarefas para a sala de aula, para trabalho em pequenos grupos ou para trabalho de autoestudo. Assim, a segunda parte do segundo volume deste Livro de Exercícios terá os seguintes capítulos: Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real Recomendações do GAVE 31

32 Capítulo - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais Capítulo 3 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números complexos Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas 3 Recomendações do GAVE

33 C1 Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real Tarefas resolvidas Tr 1. A temperatura T, em graus Celsius, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com. 1.1 A que temperatura está o forno quando é ligado? Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura? Justifica a tua resposta. 1. Sem resolver a equação T(m) = 143, justifica que é verdadeira a seguinte afirmação: «Num instante compreendido entre o 3.º e 4.º minuto, o forno atingirá a temperatura de 143.» 1.3 Determina a taxa média de variação da temperatura do forno no intervalo [0, 1]. 1.4 Diz qual o significado de e determina o seu valor Sangak Bakery por Ensie & Matthias, Resolução 1.1 Temos que. Logo, quando é ligado, o forno encontra-se à temperatura de 6. Como Recomendações do GAVE 33

34 concluímos que a temperatura de 180 é a temperatura para a qual o forno vai tender a estabilizar. O valor encontrado permite concluir que a temperatura do forno poderá ser tão próxima de 180 quanto se desejar, desde que o tempo durante o qual esteja ligado seja suficientemente grande. 1. A função T é contínua no intervalo [3, 4], pois é o quociente de duas funções contínuas (são polinomiais), não se anulando a função divisor nesse intervalo. Como T(3) = 141,5 e T(4) = 149, então T(3) < 143 < T(4). Logo, de acordo com o teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um ponto m do intervalo ]3, 4[ tal que se tem T(m) = 143. Assim, «num instante compreendido entre o 3.º e 4.º minuto, o forno atingirá a temperatura de 143». 1.3 Temos pelo que a taxa média de variação da temperatura do forno no intervalo [0, 1] é 77 /min. 1.4 O limite apresentado traduz a taxa (instantânea) de variação da temperatura do forno no instante em que é ligado e é igual à derivada lateral direita da função T(m) no ponto m = 0. Temos então. Um objecto metálico é colocado numa panela com água à temperatura de 100. Supõe que a temperatura da água se mantém constante. Para t = 30 s, a temperatura T do objecto é 50 e esta aumenta instantaneamente (nesse momento) na razão de por segundo. Determina a e b (reais), sabendo que a temperatura T do objecto em função do tempo t, em segundos, é dada por. 34 Recomendações do GAVE

35 Resolução É dado que T (30) =. Temos Assim. Por outro lado, é dado que T(30) = 50. Logo. Obtemos assim um sistema (não linear) envolvendo as duas constantes desconhecidas a e b: A estratégia mais eficaz para resolver este tipo de sistemas é tentar usar uma das equações para obter o valor de uma das variáveis (ou uma expressão presente na segunda equação) e depois substituir o valor obtido na outra equação. A partir da segunda equação obtemos, Esta expressão pode substituir-se na primeira equação para obtermos, ou seja,. Daqui vem, substituindo atrás. 3. Colocou-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada instante t (em minutos) a quantidade do produto ainda não dissolvido é (em gramas), com t Qual a quantidade de produto colocada inicialmente na água? 3. Estuda a monotonia da função definida em por e interpreta os resultados relativamente à situação inicial apresentada. 3.3 Ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 0 gramas de produto? 3.4 Considera a função Q, real de variável real, definida por. Estuda a existência de assíntotas do gráfico de Q. Resolução 3.1 Como podemos concluir que foram colocados inicialmente 30 gramas de produto na água. Recomendações do GAVE 35

36 3. Como concluímos que a derivada é sempre negativa pelo que a função é sempre decrescente. Temos ainda que e pelo que podemos concluir, no contexto da situação apresentada, que foram colocados inicialmente 30 gramas de produto solúvel no recipiente com água que, com o decorrer do tempo, se foi dissolvendo na água, diminuindo por consequência a quantidade de produto não dissolvido. Passado um tempo suficientemente grande a quantidade de produto ainda não dissolvido será, na prática, nula, pois se tornará mais pequena que o detetor. 3.3 Como Obtemos, aproximadamente, o valor,058, pelo que, como a função é decrescente, podemos dizer que ao fim de minutos ainda estão pro dissolver 0 gramas do produto. 3.4 A função não está definida quando o denominador é nulo. Temos Designemos o valor obtido por M. Temos então e a reta de equação x = M é uma assíntota vertical do gráfico de q. Para determinar as outras assíntotas é preciso calcular e E ainda e Assim, as retas de equação e são assintotas não verticais do gráfico da função q. 36 Recomendações do GAVE

37 4. Uma população de coelhos evolui de forma periódica, dependendo da existência de mais ou menos alimentação conforme as estações do ano e conforme os predadores (raposas sobretudo) são mais ou menos numerosos. Foram feitas as contagens que a tabela apresenta: meses coelhos Usando a regressão sinusoidal numa calculadora ou computador determina uma função seno que se ajuste aos dados fornecidos. 4. Usando a função obtida, estima quantos coelhos existiriam ao fim de 6 meses. Resolução 4.1 Pode-se recorrer a uma calculadora gráfica ou a um qualquer software de computador. Usando o software gratuito Geogebra obteve-se o que a imagem documenta: A função seno obtida é definida por. 4. Recorrendo à função obtida conclui-se que, sendo portanto 361 coelhos (aproximadamente) o número de coelhos existente passados 6 meses. Tarefas Propostas Tp 1. A função, é usada para determinar o valor de um carro (em euros) x anos depois da sua compra. Recomendações do GAVE 37

38 Old car por Bogdan Suditu, Qual é o custo inicial do carro? 1. Determina o custo do carro um ano e meio depois da compra. 1.3 Quanto desvaloriza o carro ao ano?. Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo t, em minutos. A fórmula é..1 Calcula, de acordo com a função f e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.. Uma pessoa memorizou 6 símbolos. Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa? 3. Considera as fórmulas da área do círculo de raio r, A = πr, e do volume da esfera de raio r,. 3.1 Determina A (r). Qual é o seu significado geométrico? 3. Determina V (r). Qual é o seu significado geométrico? 4. Para comparar a acidez de diferentes soluções, os químicos usam o ph. O ph é definido em termos da concentração, x, de iões de hidrogénio numa solução como: ph = log x. Calcula a taxa de variação de ph com respeito à concentração de iões de hidrogénio quando ph é Recomendações do GAVE

39 Vostok Space Rocket por greenacre8, Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela expulsão dos gases resultantes da queima de combustível numa câmara. Desde o arranque até se esgotar o combustível, a velocidade do foguetão, em quilómetros por segundo, é dada por. A variável t designa o tempo, em segundos após o arranque. 5.1 A massa inicial do foguetão é de 150 toneladas, das quais 80% correspondem à massa do combustível. Sabendo que o combustível é consumido à taxa de 0,75 toneladas por segundo, justifica que t pertence ao intervalo [0, 160]. 5. Prova que a taxa de variação média de v no intervalo [100, 150] é 0,05. Interpreta este valor no contexto da situação descrita. 6. Numa empresa o lucro L, originado pela produção de n peças, é dado em milhares de euros por onde k é uma constante real a determinar. 6.1 Sabendo que não havendo produção não há lucro, determina k e mostra que 6. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de euros? 6.3 Justifica que, apesar de o lucro ir aumentando à medida que o número de peças produzidas aumenta, essa variação vai sendo feita de modo cada vez mais lento. 7. Uma roda gigante tem um eixo de 0 metros (raio) e cada cesto fica, no mínimo, a 1 metro Recomendações do GAVE 39

40 do solo demorando 30 segundos a dar uma volta completa. Considera que um dos cestos da roda começa a girar no ponto mínimo e representa graficamente a distância da cesta ao solo (em metros) em função do tempo (em minutos). Determina uma expressão analítica da função. 8. Consulta o site do Instituto Hidrográfico de Portugal e faz um estudo da variação das marés ao longo de uma semana, num local à tua escolha. É um bom trabalho útil a quem quiser aproveitar ao máximo o Surf. 9. Uma companhia de eletricidade fornece energia a duas cidade diferentes A e B. As necessidades energéticas das duas cidades variam de forma previsível ao longo de um dia típico. 9.1 À meia noite, as necessidades energéticas da cidade A estão a um mínimo de 40 megawatts. Pelo meio dia a cidade atingiu o máximo de consumo energético com 90 megawatts e pela meia noite requer de novo apenas 40 megawatts. Seja f (t) a potência, em megawatts, necessária à cidade A, em função de t, o número de horas passadas desde a meia noite. Supondo que f se pode traduzir com uma relação trigonométrica simples, encontra uma fórmula possível para f (t). 9. As necessidades energéticas da cidade B diferem das da cidade A. Seja g (t) a potência, em megawatts, requerida pela cidade B em função de t, o número de horas passadas desde a meia noite. Supõe que. Nota: O endereço do Instituto Hidrográfico de Portugal é Determina a amplitude e o período de g (t) e interpreta esses valores no contexto da situação descrita. 9.3 Determina graficamente todos os pontos t tais que, e interpreta a tua solução em termos do consumo de energia das duas cidades. 9.4 A companhia de eletricidade está interessada em determinar o valor máximo da função,. Porque é que a companhia de eletricidade há-de estar interessada em conhecer esta função h? Determina um valor aproximado do máximo desta função. 40 Recomendações do GAVE

41 O Palácio da Bolsa no Porto Porto por Hugo Cadavez, O Vladimiro quer desenvolver um modelo matemático para prever o valor da ação de uma certa empresa cotada na Bolsa do Porto. Ele fez dois comentários em função do comportamento passado dessa ação: a) o seu valor tem uma componente cíclica que aumenta nos três primeiros meses do ano, cai nos seguintes seis e depois aumenta de novo nos últimos três; b) a inflação adiciona uma componente linear ao preço da ação. Por estas razões, o Vladimiro usa um modelo da forma onde t representa o tempo em meses desde janeiro de 010. Ele tem ainda a seguinte tabela de dados: Data Valor da ação 1/1/010 0,00 1/4/010 37,50 1/7/010 35,00 1/10/010 3,50 1/1/011 50, Determina os valores de m, b e A de modo que a função f se ajuste aos dados. 10. Durante que meses é que a ação se valoriza mais? 10.3 Durante que período do ano é que a ação perde realmente valor? 11. Imagina uma corda com uma extremidade livre que nós estamos a segurar. Se imprimirmos à extremidade livre da corda uma sacudidela vertical, uma onda propaga-se ao longo da corda. Suponhamos que, repetidamente, sacudimos a extremidade livre de modo que uma série periódica de ondas se propague ao longo da corda. Recomendações do GAVE 41

42 Esta situação pode ser descrita por meio de uma função de onda Aqui, x é a distância ao longo da corda medida em metros; y é a deslocação sofrida pela corda, relativamente à posição de repouso, medida perpendicularmente à corda; t é o tempo em segundos; A é a amplitude; é o comprimento de onda ( ), a distância que vai de um valor máximo ao valor máximo seguinte; e é o tempo que um comprimento de onda demora a passar. Suponhamos que, em determinada situação, se tem que A = 0,06 que k = π e que w = 4π Qual é o comprimento de onda do movimento? 11. Quantos valores máximos são atingidos por determinado ponto da corda em cada segundo? 11.3 Esboça o gráfico de y, supondo que t = 0, entre os valores x = 0 e x = 1, Que outros valores de t permitiriam obter um gráfico semelhante ao obtido na alínea anterior? 1. A profundidade da água na extremidade de um pontão num porto varia com o tempo devido às marés. Jetty por xlibber, A profundidade da água é dada pela fórmula onde p é a profundidade da água em metros e t o tempo em horas depois da maré vaza. Qual é a taxa de variação da profundidade da água 5 horas depois da maré vaza? 4 Recomendações do GAVE

43 (adaptado de exame da Nova Zelândia, 010) 13. Num laboratório de física foram registados os seguintes dados sobre a altura acima do solo de um peso agarrado a uma mola agarrada ao teto. Usando a tua calculadora determina uma função seno que se ajuste bem a estes dados (usa, por exemplo, a regressão sinusoidal na tua calculadora). Segundos 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 cm Uma população de raposas evolui de forma periódica, dependendo da existência de mais ou menos alimentação (sobretudo coelhos) o que varia com as estações do ano. Foram feitas as contagens que a tabela apresenta, meses raposas Usando a regressão sinusoidal numa calculadora ou computador determina uma função seno que se ajuste aos dados fornecidos. 14. Usando a função obtida, estima quantas raposas existiriam ao fim de 10 meses. C Capítulo - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais Tarefas resolvidas Tr 1. Determina o valor que a constante k deve ter para que o limite exista (isto é, seja um número real) e determina esse limite. (adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Espanha, 00) Resolução Se o limite do numerador for diferente de zero, o limite dado não existe visto que o denominador tem limite zero. Logo, o limite do numerador precisa de ser zero para que o limite do quociente possa dar um número real. Como Recomendações do GAVE 43

44 terá de ser. Assim, temos de calcular o limite. Temos de dividir o polinómio do numerador pelo polinómio do denominador, o que podemos fazer pela Regar de Ruffini. Obtemos x 13 x + 5 = ( x ) x 5. x 13 Logo lim x + 5 (x ) x 5 = lim = lim x 5 x x x x x = 3.. Considera a função real de variável real definida por f (x) = e.1 Determina as assintotas ao gráfico de f. x x +1.. Determina os intervalos de monotonia e estuda a existência de extremos relativos para a função f. Resolução.1 Como o domínio de f é toda a reta real, não tem assíntotas verticais. Vejamos se tem assíntotas não verticais. Temos: x x lim f (x) = lim e +1 = e 0 = 1 e portanto. x + x + Assim f tem a assintota. Temos ainda e portanto e não aparece outra assíntota.. Calculemos a derivada de f: 44 Recomendações do GAVE

45 Determinemos agora o sinal da derivada. Como a exponencial e o denominador são sempre estritamente positivos, o sinal da derivada de f é o sinal do polinómio. Como, a derivada será positiva no intervalo ] 1,1[ e será negativa nos intervalos ], 1[ e ]1,+ [. A derivada é nula nos pontos 1 e 1. Podemos agora escrever o seguinte quadro de variações: f f mínimo relativo máximo relativo Concluímos então que f tem Mínimo relativo para x = 1 e Máximo relativo para x = 1. Os valores de f são respetivamente, e. 3. Estuda a derivabilidade da função definida por e calcula a sua derivada. (adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Espanha, 00) Resolução A função f está bem definida em ]0,1[ pois. A função é derivável por ser a função composta de duas funções deriváveis (uma raiz quadrada e um polinómio) adicionada com um polinómio (função derivável). A função f também está bem definida em ]1,+ [ e nesse intervalo é derivável por ser a soma de um quociente de polinómios com um polinómio (funções deriváveis). Para calcular a derivada de f no seu domínio temos de calcular a derivada no intervalo aberto ]0,1[, no intervalo aberto ]1,+ [ e no ponto x = 1. No intervalo aberto ]0,1[ podemos aplicar as regras de derivação: Recomendações do GAVE 45

46 No intervalo aberto ]1,+ [ também podemos aplicar as regras de derivação: No ponto x = 1 teremos de estudar as derivadas laterais. Contudo, se a função não for contínua nesse ponto não poderá ser derivável e já não teremos de fazer todos os cálculos das derivadas laterais. Vejamos então se f é contínua para x = 1: Como os limites laterais são diferentes, a função f não é contínua para x = 1 e assim também não é derivável nesse ponto. Temos então que o domínio de é e 4. Resolve a equação x x+ = 3 x+3 + x+4. Resolução Como estamos a adicionar potências de bases diferentes, a estratégia adequada será colocar todas as potências da mesma base de um lado da igualdade e todas as potências da outra base do outro lado da igualdade. Obtemos assim sucessivamente: Aplicando agora logaritmos naturais a ambos os lados da desigualdade obtemos 46 Recomendações do GAVE

47 Trata-se agora de uma equação do primeiro grau pelo que é fácil obter a solução Tarefas Propostas Tp 5. Considera a função real de variável real definida por Determina os valores de a e de b sabendo que f é derivável. (adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Espanha, 00) 6. Considera a função real de variável real definida por Determina e lim f (x). x + 6. Determina os intervalos de monotonia e estuda a existência de extremos relativos para a função f. (adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Espanha, 00) O gráfico da função definida por tem pontos onde a tangente ao gráfico seja paralela ao eixo dos XX? E pontos onde a tangente ao gráfico seja paralela ao eixo dos YY? Em caso afirmativo determina-os. 8. Derivação logarítmica (adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Itália, 011) Um modo de calcular rapidamente a derivada de muitas funções é usar o processo conhecido por derivação logarítmica, que consiste em calcular primeiro o logaritmo da função de que se quer calcular a derivada. Usando este procedimento calcula a derivada da função definida por e. 9. Resolve a equação. 10. Resolve a equação. Recomendações do GAVE 47

48 11. Resolve a equação. C3 Capítulo 3 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números complexos Tarefas resolvidas Tr 1. Seja a um número real qualquer. Coloca o número complexo definido por 1 + ai na forma 1 ai trigonométrica. Sugestão: Escreve a na forma a = tg θ. Como aplicação da fórmula obtida coloca na forma trigonométrica 3 + i 3 3 i 3. Resolução Se colocarmos o número real a na forma a = tg θ temos que 1 + itg θ cos θ 1 + ai 1 ai = 1 itg θ = +isen θ cos θ isen θ Agora usamos o procedimento habitual para a divisão de números complexos: cos θ + i sen θ cos θ i sen θ cos θ + i sen θ = cos θ + i sen θ cos θ + i sen θ = cos θ i sen θ cos θ + i sen θ θ cos + θ sen Assim, concluímos que 1 + ai 1 ai = cos θ + i sen θ cos θ + sen θ θ = cos + i sen θ cos θ θ sen = cos θ + i sen θ 48 Recomendações do GAVE

49 aplicando as fórmulas trigonométricas da duplicação do ângulo. Apliquemos agora a fórmula obtida ao exemplo pedido. Temos de começar por colocar o número complexo na forma adequada para aplicar a fórmula obtida: 3 + i 3 3 i i = 1 i Será então e teremos de procurar de modo que a = tg θ. Claramente poderá ser pelo que. Podemos assim concluir que 3 + i 3 3 i i = 1 i = cos π 3 + i sen π 3. Resolve, no conjunto dos números complexos, o sistema Resolução iz w = i (1 i)z + ( + i)w = 1 + 4i Da primeira equação tiramos que w = iz i. Substituindo este valor na segunda equação obtemos (1 i)z + ( + i)(iz i) = 1 + 4i Como (1 i)z + iz 4i + i z i = 1 + 4i 3 4i + (i - 1)z = 1 + 4i vem que + 8i 3 4i + (i - 1)z = 1 + 4i z = i - 1 Efetuemos estes cálculos. + 8i z = i - 1 ( + 8i)(i + 1) = (i - 1)(i + 1) = i + 8i + 8i i i = = 5 3i Recomendações do GAVE 49

50 Substituindo este valor na expressão que define w vem: w = iz i = i(5 3i) i = 5i 3i i = 3i + 3 Logo, a solução do sistema é z = 5 3i w = 3 + 3i 3. Efetua os cálculos z = (1 + i 3) 5 + (1 i 3) 5 ; w = (1 + i 3) 5 (1 i 3) 5 Resolução Comecemos por colocar 1 + i 3 e 1 i 3 na forma trigonométrica. Temos 1 + i 3 = = ; 1 i 3 = =. O argumento de 1 i 3 = = é um valor tal que se tenha 1 = 1 + i 3 cos θ e 3 = 1 + i 3 senθ Terá de ser então e e concluímos então que podemos escolher Então 1 + i 3 = cis π 3. Do mesmo modo concluímos que 1 i 3 = cis π 3. Podemos assim escrever que z = (1 + i 3) 5 + (1 i 3) 5 = cis π + cis π = 5 cis 5π cis 5π 3 Como cis 5π 3 = cos 5π 3 + i sen 5π 3 = cos π + π 3 + i sen π + π 3 = cos π 3 i sen π 3 = 1 i 3 cis 5π 3 = cos 5π 3 5π + i sen 3 = cos 5π 3 i sen 5π 3 = cos π 3 + i sen π 3 = 1 + i 3 Logo 50 Recomendações do GAVE

51 z = 5 cis 5π cis 5π 3 = 5 1 i i 3 = 5 = 3 e, do mesmo modo, w = (1 + i 3) 5 (1 i 3) 5 = 5 1 i i 3 = i 5 3 = i Resolve, em, a equação. Resolução Fazendo obtemos a equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula resolvente: z 1 = = 1 + i 3 ou z = 1 i 3 Vamos agora determinar as raízes quadradas destes dois números complexos. Vamos passar estes números para a forma trigonométrica. Temos, se for z 1 = ρ cis θ = 1 + i 3, que e que terá de ser tal que e ; concluímos então que podemos escolher. Assim z 1 = 1 + i 3 = cis π 3. Identicamente vem que z = 1 i 3 = cis 4π 3. Precisamos agora de determinar as raízes quadradas destes números complexos. Pela fórmula de Moivre (NiuAleph, vol. 4, capítulo 16) vem que ; As outras duas soluções obtêm-se das raízes quadradas de : ; Recomendações do GAVE 51

52 Tp Tarefas Propostas 1. Dados os números complexos e, determina,, e.. Resolve em a equação z i + z i = Determina o(s) valor(es) que deve ter o parâmetro a de modo que o módulo do número complexo a + i + i seja igual a. 3.1 Determina o módulo e o argumento do número complexo tg π 3 i. 3. Escreve o número complexo z = tgα + i com. tgα i na forma trigonométrica e na forma (adaptado do exame de 1.º ano de Portugal de 1981) 4. Resolve, no conjunto dos números complexos, o sistema iz w = i (1 i)z + ( + i)w = 1 + 4i. 5. Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC] que tem um lado paralelo ao eixo horizontal e está inscrito numa circunferência de raio cm. Está também representado um triângulo [A B C ] que resultou da rotação do triângulo [ABC] de amplitude 15º em torno da origem. B E A A B O C C 5 Recomendações do GAVE y