Familiarização com tratamentos estatísticos na obtenção do valor verdadeiro de uma propriedade física obtida de um instrumento de medida.

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1 EXPERIMENTO 01: TEORIA DE ERROS E MEDIDAS 1. OBJETIVO Familiarização com tratamentos estatísticos na obtenção do valor verdadeiro de uma propriedade física obtida de um instrumento de medida. 2. INTRODUÇÃO 2.1. INSTRUMENTAÇÃO É o conjunto de técnicas e instrumentos usados para observar, medir, registrar, controlar e atuar em fenômenos físicos. Quando necessitamos determinar o valor de uma dada grandeza ou propriedade física, recorremos aos chamados instrumentos de medida que atuam, como extensões de nossos próprios sentidos, estes dispositivos exibem características que vão torná-los adequados ou inadequados ao trabalho experimental que se deseja realizar, portanto, não são perfeitos. As principais características de um instrumento são: Resolução: é a menor entrada que aplicada a um instrumento resulta em uma saída visível na leitura. Exatidão: é o quanto a graduação do instrumento se aproxima do padrão real. Também conhecida por ACURÁCIA. Precisão: indica a dispersão dos resultados em torno de um valor de referência, ou seja a medida da variabilidade de um processo de medição de qualquer grandeza. A precisão é normalmente considerada como sendo o dobro do desvio padrão de um conjunto de medidas. Quanto menor o desvio padrão, maior a precisão do instrumento. Se houver repetibilidade nos resultados, haverá precisão. Todos esses conceitos podem ser interpretados melhor com ajuda do desenho da figura 1. Figura 1. Os conceitos de precisão e exatidão podem ser melhor interpretadas visualizando o exemplo de um atirador querendo acertar no alvo. No primeiro caso, o atirador tem alta precisão, no entanto com baixa precisão. No segundo caso, o atirador além de ter baixa precisão em relação ao alvo, ele tem baixa exatidão. O ultimo caso, mostra um atirador com alta precisão e alta exatidão. 1

2 Rapidez: Também conhecida como velocidade de resposta ou, simplesmente, resposta. Representa a capacidade que um dado instrumento possui em acompanhar as variações temporais de uma dada grandeza em estudo. Sensibilidade: é a capacidade do equipamento de medida, acusar uma variação dinâmica da grandeza medida, ou seja, é a facilidade que um dado instrumento tem de detectar pequenas flutuações na grandeza que se está medindo MEDIÇÃO É um conjunto de ações, com uma instrumentação adequada, que têm por objetivo determinar o valor de uma grandeza de alguma propriedade física. Medição de uma grandeza: Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Por exemplo, na tabela 1 são apresentadas algumas grandezas físicas que são plenamente distinguidas. Tabela 1. Exemplos de algumas grandezas mensuráveis GRANDEZA Comprimento Tempo Massa UNIDADE metro (m) segundo (s) kilograma (kg) Mensurando: São grandezas específicas submetidas à medição. Por exemplo, a temperatura de fusão da água. Para obter esse valor de temperatura é necessário estabelecer as condições necessárias do ambiente ao redor da água a ser analisada. A figura 2 mostra a curva do processo de mudança de fase necessário para encontrar a temperatura de fusão da água. Figura 2. Curva temperatura versus calor da água. Observa-se a temperatura constante e a variação de calor necessário na mudança de fase. Tomando como referencia a figura 2, podemos concluir que em toda medição é necessário adotar um método de medição. Ou seja, de uma sequência lógica de operações que podem ser descritas genericamente e usadas na execução da medição. Além disto, também é necessário definir um procedimento de medição. Isto é, definir um conjunto de operações, descritas especificamente, usadas na execução de medições particulares de acordo com um dado método. Um procedimento (de medição) deve ser um documento com detalhes suficientes para permitir que um observador execute a medição sem informações adicionais. 2

3 2.3. MEDIDA É o resultado de uma medição, ou seja, é o valor atribuído a um mensurando obtido por medição. A medida é somente uma aproximação ou estimativa do valor do mensurando e, assim, só é completa quando acompanhada pela declaração de incerteza dessa estimativa. Em muitos casos, a medida é determinada com base a um conjunto de observações obtidas sob condição de repetitividade. Estimativa: Valor de uma estatística utilizada para estimar um parâmetro (uma média) da totalidade de medidas (em geral finito), obtidas como resultado de uma operação sobre uma amostra supondo um determinado modelo estatístico. Repetitividade de medições: Grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medição. Condições de repetitividade incluem: - mesmo procedimento de medição - mesmo observador - mesmo instrumento de medição sob as mesmas condições - mesmo local - repetição em curto período de tempo 2.4. ERROS E INCERTEZAS EM UMA MEDIÇÃO. Erro: Uma medição tem imperfeições que dão origem a um erro no resultado da medição. O erro de uma medição é sua diferença para o valor verdadeiro (que em geral não é acessível). Incerteza: Parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser razoavelmente atribuídos ao mensurando. O parâmetro pode ser um desvio padrão7 (ou um múltiplo dele) ou a metade do intervalo de uma escala. Em geral a incerteza de uma medição consiste de vários componentes que podem ser agrupados em duas categorias gerais: os que podem ser avaliados com auxílio de métodos estatísticos e os que necessitam de outros meios. Adicionalmente, a diferença entre a incerteza e o erro (seja ele qual for) é que o erro pode ser corrigido enquanto que a incerteza define um intervalo em que as medidas irão ocorrer com alguma probabilidade. Classificação dos erros Erros Grosseiros: Ocorrem devido a falta de prática ou distração do operador. Como exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de calculo, etc. Todos eles devem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições. Erro sistemático: é aquele causado por defeitos dos instrumentos, por exemplo, falta de calibração. Se um termômetro marca sistematicamente 1 C a mais, porque está descalibrado, nunca será possível eliminar esse erro, por mais cuidado que se tome. Deve-se recalibrar o termômetro. Para identificar e calcular esses erros, deve-se mudar o instrumento de medida. No caso de erros sistemáticos, as medidas serão afetadas em conjunto, sempre para mais ou para menos. Erros casuais: são aqueles causados em geral por variações nas condições em que as medidas foram feitas. Efetuando-se uma serie de medidas e tirando a média, consegue-se compensar de certa 3

4 maneira o efeito desse tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa da grandeza física que se quer medir. Tipos de Erros A incerteza esta inerente ao processo de medida, isto é, a incerteza nunca será completamente eliminada. Poderá ser minimizada procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros. Portanto, ao realizar medições é necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos. Aqui devem ser diferenciadas duas situações: incertezas em medidas diretas e incertezas em medidas indiretas. Incerteza de medidas diretas: São medidas realizadas diretamente darão incertezas de medida envolvidas com a característica do equipamento. Em alguns casos, esta incerteza direta é absoluta dado que o valor é o próprio erro atribuído à medida realizada. Em geral, adota-se como incerteza absoluta a metade da menor divisão da graduação do equipamento utilizado. Tabela 2. Diferentes equipamentos de medição e seus respectivos erros. Equipamento Menor divisão Incerteza associada Trena 1mm 0,5mm Régua (0-10cm) 0,5mm 0,25mm Régua (0-100cm) 1mm 0,5mm Paquímetro 0,05mm 0,025mm Micrometro 0,005mm 0,0025mm Balança 0,1g 0,05g Termômetro 1 o C 0,5 o C Em outros casos a incerteza de uma medida direta é relativa dado que a grandeza é determinada pelo quociente entre a incerteza absoluta da medida e o valor medido. Por exemplo, a tabela 3 mostra resultados de medições utilizando uma mesma balança (menor divisão = 0,1g). Mediu-se massa de um clip e de um aro metálico. Tabela 3. Dois objetos com a medida de massa, a incerteza absoluta e o cálculo da incerteza relativa. Objeto Medida Incerteza absoluta (g) 4 Incerteza relativa (%) Clip 7,00 g 0,05 (0,05/7)x100= 0,7 Aro metálico 472,00 g 0,05 (0,05/472)x100= 0,01 Incertezas de medidas indiretas: Iniciemos o estudo deste conceito com a seguinte questão: Como podemos fazer operações matemáticas com resultados de medidas escritas como (x± x)?. Ou melhor assim, como se propagam as incertezas x após a operação das medidas x?. A maioria das

5 grandezas físicas são derivadas e estão relacionadas a equações envolvendo operações de multiplicação, divisão, soma e subtração, etc. Portanto, a incerteza também entra nesse tipo de operações aritméticas e consequentemente se propaga. Por exemplo, o que acontece com a incerteza do produto x 1. x 2, se multiplicamos as duas medidas (x 1 ± x 1 ) (x 2 ± x 2 )? Tabela 4. Algumas equações envolvendo grandezas conhecidas. Observe que cada grandeza envolvida numa operação envolve também a incerteza dessa grandeza. GRANDEZA Força = m.a Trabalho = F.d Densidade = m / V Medidas envolvidas x1= m (&) x2 = a x1= F (&) x2 = d x1= m (&) x2 = V Este tipo de questionamento é observado com alguns exemplos da tabela 4 e a solução a este problema esta no uso de modelos estatísticos que não serão abordados aqui. No entanto, faremos uso dos resultados desses cálculos. Ou seja, as grandezas derivadas serão calculadas através de formulas conforme tabela 5. Portanto, as incertezas e/ou erros inseridos nas grandezas derivadas dependeram dessas operações. Tabela 5. Calculo da propagação de erros e das incertezas nas operações básicas Função das medidas ( ± ) e ( ± ) Operação Calculo de incerteza Multiplicação por uma =. =. constante Soma = + = ( ) +( ) Diferencia = = ( ) +( ) Produto Cociente Potenciação = = / = f = A + B f = A + B f = A + B 3. FUNDAMENTAÇÃO TEORICA O grau de precisão de um instrumento de medida deve estar de acordo com a natureza da peça que se quer medir. Em mecânica fina, a precisão de uso corrente pode atingir 0,01 mm. Os instrumentos de medida com maior precisão, de uso geral, são os paquímetros, micrômetros, relógio comparador, etc. 5

6 3.1. PAQUIMETRO O paquímetro é uma ferramenta de precisão para medir distancias entre dois pontos distintos. Esse instrumento é empregado em medições que exigem maior precisão do que pode ser obtido com instrumentos mais comuns, tais como régua ou trena, como por exemplo na fabricação de peças mecânicas. O paquímetro consta de duas réguas graduadas: a régua principal esta gravada com duas escalas diferentes (centímetros e polegadas); e a régua nônio, chamada também de vernier, a qual se desliza sobre a régua principal, figura 3. Figura 3. Componentes principais do paquímetro universal: (1) bicos externos (fixo e móvel), (2) bicos internos (fixo e móvel), (3) haste para medida da profundidade, (4) escala principal em cm, (5) escala principal em polegadas, (6) nônio em cm, (7) nônio em polegadas, (8) retentor do cursor. Uso do paquímetro: A base para o funcionamento do paquímetro é uma escala auxiliar, localizada no nônio, para leitura de frações da menor divisão da escala fixa. Por exemplo, no sistema métrico existem paquímetros em que o nônio possui dez divisões equivalentes a 9 mm na escala fixa, figura 4. Por tanto, há uma diferença de 0,1 mm entre o primeiro traço da escala fixa e o primeiro traço da escala móvel, que é a menor divisão da escala. Essa diferença é de 0,2 mm entre o segundo traço de cada escala; de 0,3 mm entre o terceiro e assim por diante. Escala Fixa Nônio Figura 4. Posição da escala fixa e o nônio do paquímetro quando os bicos estão fechados. Observe, deste paquímetro, as 10 divisões na escala móvel ocupam um comprimento de 9 mm. No entanto, tem paquímetros com nônios de 20 ou 50 divisões estendidos em 39 e 49 mm na escala fixa respectivamente. A leitura de um paquímetro é feita primeiramente tendo em consideração o número de divisões do nônio. Por exemplo, apresenta-se na figura 5 um paquímetro com um nônio de 20 divisões. Após disso, deve ser seguido os seguintes passos: 1 passo: leitura dos milímetros inteiros na escala principal do paquímetro (24 mm), 6

7 2 passo: leitura da fração de milímetro no nônio. Verificar onde ocorre a coincidência do traço da escala principal com a do nônio. No exemplo o valor é de 0,7 mm. 3 passo: adicionar as leituras da escala e do nônio. Portanto, a leitura final será 24,7 mm ou 2,47 cm. Figura 5. Leitura da distancia dos lados de uma porca com um paquímetro de 20 divisões. Leia na escala fixa o número de milímetros inteiros. Leia a parte fracionária observando qual traço do nônio coincide com algum traço da escala fixa e calcule o valor da fração multiplicando o número desse traço pela resolução. Seguidamente some o valor inteiro com fracionária para obter o valor final. O paquímetro é especialmente utilizado para medir as dimensões lineares internas, externas e de profundidade e de ressalto, tal como mostrado na figura 6. Figura 6. O paquímetro é o instrumento mais utilizado para diferentes situações de medição. 7

8 Resolução do paquímetro: As diferenças entre a escala fixa e a escala móvel de um paquímetro podem ser calculadas pela sua resolução. A resolução é a menor medida que o instrumento oferece. Ela é calculada utilizando-se a seguinte fórmula: çã = ú õ ô Por exemplo: Para o nônio com 10 divisões: çã = Para o nônio com 20 divisões: çã = Para o nônio com 50 divisões: çã = 3.2. MICROMETRO =0,1 =0,05 =0,02 Outro instrumento de medição direta para realizar medidas com melhor resolução do que o paquímetro é o micrômetro, que permite executar medições de até milésimos de milímetro (1 mícron = 1 µm = 10-6 m; em plural é chamada de micra) ou de milesimas de polegadas desde que estejam na capacidade de leitura. A figura 7 mostra o esquema de um micrometro que esta constituído de um parafuso especial, chamado de parafuso micrométrico. Cada passo do parafuso representa 0,5 mm na escala retilínea por volta completa do tambor com escala móvel, graduado em 0,01 mm. A leitura dos micrometros pode ser lida a olho, ou, se houver um nônio, pode ser lida diretamente na coincidência dos traços. Figura 7. Esquematização de um micrometro evidenciando as suas componentes constituintes. Uso do micrometro: O princípio de funcionamento do micrômetro assemelha-se ao do sistema parafuso e porca. Assim, há uma porca fixa e um parafuso móvel que, se der uma volta completa, provocará um descolamento igual ao seu passo. Desse modo, dividindo-se a cabeça do parafuso, pode-se avaliar frações menores que uma volta e, com isso, medir comprimentos menores do que o passo do parafuso. No micrômetro, quando as faces dos contatos estão juntas, a borda do tambor coincide com o traço zero (0) da escala retilínea, a qual coincide com o zero (0) da escala do tambor móvel. Para usar o micrometro colocamos um objeto a ser medido entre as esperas e rodamos o tambor até que seja alcançado o diâmetro do corpo. Para que não ocorra que a cada medida seja aplicada uma força diferente, o que ocasionaria um erro devido à elasticidade do corpo, devemos usar a catraca para encostar as esperas no objeto. Na Figura 8 vemos na escala linear de um micrômetro uma medida que é maior que 17,5 mm, pois foi ultrapassada a marca central entre o 17 e o 18. Olhando a escala de centésimos de mm, 8

9 vemos que ela marca 32, número que deve ser somado à medida da escala linear, resultando em 17,82. Figura 8. Exemplo de medida com o micrometro. Resolução dos micrometros. Dado que em cada volta completa do tambor corresponde ao deslocamento de um passo no parafuso micrométrico e visto que a escala circular possui n divisões, a resolução do micrômetro como sendo igual a: çã ( )= ú õ Um caso típico é o micrômetro com passo =0,5 e escala circular com 50 divisões, logo a resolução é de: = 0,5 =0,01 50 Tem outros casso onde a resolução nos micrômetros é 0,001mm;.001" ou.0001" RELOGIO COMPARADOR O relógio comparador é um instrumento de medição por comparação, dotado de uma escala e um ponteiro, ligados por mecanismos diversos a uma ponta de contato. O comparador centesimal é um instrumento comum de medição por comparação. As diferenças percebidas nele pela ponta de contato são amplificadas mecanicamente e irão movimentar o ponteiro rotativo diante da escala. Quando o ponta de contato sofre uma pressão e o ponteiro gira em sentido horário, a diferença é positiva. Isso significa que a peça apresenta maior dimensão que a estabelecida. Se o ponteiro girar em sentido anti-horário, a diferença será negativa, ou seja, a peça apresenta menor dimensão que a estabelecida. 9

10 Figura 9. Relógio comparador e suas principais partes. Existem vários modelos de relógios comparadores. Os mais utilizados possuem resolução de 0,01 mm. Uma volta da agulha maior do relógio também varia de acordo com o modelo, porém os mais comuns são de 1 mm, 10 mm,.250" ou 1". Como o mostrador contém 100 divisões, cada divisão equivale respectivamente a 0,01 mm, 0,1 mm, 2,5" ou 0,01". Uso do relógio comparador: Antes de tocar na peça, deve-se certificar de que o relógio se encontra em boas condições de uso. Alem disto, deve-se dar uma pré-carga para o ajuste do zero. Colocar o relógio sempre numa posição perpendicular em relação à peça, para não incorrer em erros de medida. A verificação de possíveis erros é feita da seguinte maneira: com o auxílio de um suporte de relógio, tomam-se as diversas medidas nos blocos-padrão. Em seguida, deve-se observar se as medidas obtidas no relógio correspondem às dos blocos. São encontrados também calibradores específicos para relógios comparadores. Figura 10. Calibração do relógio comparador. A agulha pode realizar giro horário ou anti-horário e dependerá do deslocamento da ponta. Caso a ponta seja deslocada para dentro do relógio o giro da agulha maior será horária. Já a agulha menor da leitura do número de volta da agulha maior e para este caso tem giro anti-horário. 10

11 A maneira de exemplo é mostrado na figura 11, a forma de uso do relógio comparador, cuja resolução e escala máxima é 0,01 mm e 10,00 mm respectivamente. Este instrumento é frequentemente usado em experimento de dilatação linear de metais onde a expansão é de algumas frações de milímetros. Figura 11. A posição inicial do ponteiro pequeno mostra a carga inicial ou de medição. Seguidamente, deve ser registrado se a variação é negativa ou positiva do ponteiro maior. Neste exemplo a leitura certa é 5,55 mm. 4. ATIVIDADE EXPERIMENTAL 4.1. EXPERIMENTO 1 ESTIMATIVA E ERRO PADRÃO DE UMA MEDIDA Utilizando um pendulo simples vamos calcular a aceleração da gravidade. Para isto será utilizado algumas ferramentas da estatística como a estimativa e precisão da estimativa. Estimativa: A estimativa do valor correto está dada pela média aritmética (N), de n valores obtidos: T é resultado do i-ésimo valor obtido. = 1 ( ) Precisão da estimativa: A dispersão dos valores obtidos pode ser calculada estimando o desvio padrão de tais valores: = 1 1 ( ) +( ) + +( ) Erro padrão da estimativa: À medida que se realiza mais medidas, a compensação dos erros aleatórios entre si vai melhorando e a estimativa do conjunto de medidas,t, vai se tornando uma grandeza mais precisa. O erro padrão da estimativa é definido como: = Trabalho. Para cada massa, deve ser feito uma tabela de dados contendo uma coluna de comprimento do pendulo e seu respectivo período. Para determinar o período em cada comprimento, deverá ser realizada pelo menos dez medições. Com isso, podemos calcular o período médio e seu respectivo desvio padrão. A tabela do apêndice A ajudará a ter maior clareza na hora de preencher seus dados. 11

12 4.2. EXPERIMENTO 2 INCERTEZA DE MEDIDAS DIRETAS Utilizando um paquímetro e/ou micrometro, cada grupo determinará o valor e seus respectivas incertezas, do diâmetro e altura dos cilindros utilizados no pendulo simples. Faça para os dois casos: Considerando o caso hipotético de um cilindro ideal e perfeito, onde a incerteza da medida será a incerteza do instrumento. Considerando o caso de um cilindro irregular. Neste caso, o grupo deve realizar pelo menos 12 medições da altura e 12 medições do diâmetro do cilindro EXPERIMENTO 3 PROPAGAÇÃO DAS INCERTEZAS EM MEDIDAS INDIRETAS Aplicando a teoria de erros em seus dados do experimento 2 (experimento anterior), calcule a área e volume e seus respectivos desvio padrão de cada cilindro. 5. DISCUSSÃO E ALGUMAS QUESTÕES Descreva o que o grupo observou nesta atividade experimental e discuta seus dados QUESTÃO Em um concurso público para professor o critério de aprovação leva em conta o desvio padrão após a realização das provas de física, didática, matemática, conhecimentos gerais e noções de informática. Sabendo que um candidato obteve nas provas respectivamente, 58 pontos, 53 pontos, 79 pontos, 71 pontos e 64 pontos. O desvio padrão é? 6. CONCLUSÕES Coloque seus resultados finais. Compare seus resultados dos materiais que foi utilizado. 7. BIBLIOGRAFIA [1] Serway e Jewett, Principios de Física, Vol. 2, 3ª edição, Thomson Learning Edições Ltda, [2] Moyses Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol. 2, 4ª Edição, Editora Edgard Blucher, [3] Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Vol 2, 8ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.,

13 FOLHA DE DADOS EXPERIMENTAIS Experimento 01: Teoria de Erros Componentes do grupo: NOME: NOME: NOME: NOME: Professor: Turma: Data: Dados experimentais Tabela 01. Tabela referencial para calcular o valor de um período com seu respectivo desvio padrão. Evento ( ) ( ) = = Erro padrão da media = Memorial de cálculos Utilizando a equação 1 preencha a tabela 02: Tabela 02. Valores das dimensões dos cilindros utilizado no pêndulo simples Material Diâmetro do cilindro Comprimento do cilindro Área do cilindro 13

14 HISTÓRIA DOS INSTRUMENTOS PAQUÍMETRO E MICROMETRO PAQUÍMETRO Os portugueses atribuem a invenção desta escala a João Pedro Nunes ( ), na forma latinizada escreve-se Petrus Nonius, a escala inventada por Nunes foi aperfeiçoada por Cristóvão Clavio e os franceses atribuem a invenção desta escala a Pierre Vernier ( ) que simplificou a escala dando-lhe a forma atual, e por isto são usados dois nomes diferentes para a mesma escala. MICRÔMETRO Jean Louis Palmer apresentou, pela primeira vez, um micrômetro para requerer sua patente. O instrumento permitia a leitura de centésimos de milímetro, de maneira simples. Com o decorrer do tempo, o micrômetro foi aperfeiçoado e possibilitou medições mais rigorosas e exatas do que o paquímetro. De modo geral, o instrumento é conhecido como micrômetro. Na França, entretanto, em homenagem ao seu inventor, o micrômetro é denominado Palmer. 14