Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando os Softwares Graph e WxMaxima

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1 Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando os Softwares Graph e WxMaxima Claudia Piva Depto de Física, Estatística e Matemática DeFEM, UNIJUÍ , Ijuí, RS Lecir Dalabrida Dorneles Depto de Física, Estatística e Matemática DeFEM, UNIJUÍ , Ijuí, RS A. Patricia Spilimbergo Depto de Física, Estatística e Matemática DeFEM, UNIJUÍ , Ijuí, RS Resumo: Neste trabalho pretendemos apresentar uma atividade desenvolvida com alunos do curso de Licenciatura em Matemática, em uma aula de Cálculo Diferencial e Integral II. O objetivo principal desta era apresentar uma aplicação de integrais definidas. Nossa proposta foi desenvolver uma atividade envolvendo o cálculo do volume de um sólido de revolução. Para isso, utilizamos dois softwares livres: Graph, na determinação da curva de contorno e WxMaxima, para o cálculo da integral definida. Percebemos que vários conceitos estudados anteriormente foram rediscutidos e reutilizados e também novos conceitos foram compreendidos, mostrando com isso a importância de atividades de aplicação e da utilização de softwares. Introdução Atualmente, professores e pesquisadores vivenciam intensa reflexão relacionada à incorporação das tecnologias no processo ensino-aprendizagem da matemática. Trabalhar a informática e os seus recursos tecnológicos ([5]) pode ser um caminho a ser seguido para ampliar as reflexões e solidificar o uso desses recursos amplamente utilizados em vários setores da sociedade. No cotidiano de nossas atividades docentes nos deparamos com situações onde os alunos nos questionam sobre a importância em aprender certos conteúdos. Muitas vezes mostramos que a aplicação nem sempre é direta. Diante destes questionamentos, alguns professores se propõem a apresentar situações que possibilitem visualizar alguma aplicabilidade de certos conteúdos. Neste trabalho queremos mostrar, além da aplicabilidade de integrais definidas, também o auxílio tecnológico que podemos desfrutar através do uso de softwares. Vale destacar que defendemos o uso de recursos tecnológicos em aulas de matemática, que já não cabe mais duvidar da importância sobre o professor dominar esta metodologia ([1]). A sociedade em geral funciona a base de tecnologias. Em cada ação que praticamos em nosso dia a dia, sempre há algo relacionado diretamente ou indiretamente com o mundo eletrônico, desde o celular até os pardais que controlam a velocidade dos automóveis. Partindo destes pressupostos, vamos então acoplar as tecnologias com a aplicabilidade de um conteúdo matemático. Nossa intencionalidade nesta situação é mostrar principalmente a aplicação de um conteúdo matemático e, além disso, que o uso de softwares se torna um facilitador neste processo 137

2 e, nesse sentido, entendemos que é preciso criar, organizar e orientar situações de aprendizagem, isto é, garantir um espaço para tais procedimentos ([3]). Só para situar, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, é abordado além das técnicas de integração, também a integral definida com as suas aplicações, entre elas, o cálculo do volume de sólidos de revolução. Partindo do pressuposto que o aluno tem o conhecimento da geometria espacial, no que se refere ao cálculo do volume de um sólido regular, propomos calcular o volume de um sólido, através da rotação de uma curva representativa do contorno deste sólido, girando em torno de um eixo fixo. Para tal, sugerimos aos alunos que escolhessem algum objeto, que seja identificado como um sólido de revolução, possível de ser medido em seu diâmetro e sua altura. Na seqüência, os alunos fizeram suas escolhas e foram orientados para a obtenção das medidas, utilizando para isso o paquímetro, que é um instrumento adequado para a situação. Para a realização desta atividade, percebemos a grande importância da utilização de softwares e para tal, fizemos uso de alguns já conhecidos e disponíveis em nosso site - SLM, apresentados em [4]. O site SLM Softwares Livres para o Ensino da Matemática, foi idealizado e criado a partir da realização de um projeto de extensão ligado ao Departamento de Física, Estatística e Matemática DeFEM da UNIJUÍ (Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul), o qual tem como objetivo principal, a busca, a identificação, a seleção e a classificação de softwares livres disponíveis na Internet, que podem ser potenciais para o ensino da matemática, buscando atingir os mais diferentes níveis de ensino. A escolha por softwares livres ([2]) se dá pelas vantagens que estes possuem, em relação aos pagos ou a aqueles em que teríamos que pagar a licença para podermos utilizar. Assim, para a atividade que estamos propondo, a escolha pelos softwares Graph e WxMaxima se deu pelo fato destes serem livres, acessíveis, simples e adequados para esta tarefa. Com relação ao software Graph, este foi utilizado para a obtenção da curva de contorno, onde percebemos que a curva escolhida e a ordem da mesma se adaptaram mais adequadamente ao contorno do sólido, enquanto que o software WxMaxima foi utilizado para determinar o volume do sólido, através do cálculo da integral definida. Apesar deste cálculo poder ser realizado manualmente, optamos pelo uso do software, pois o modelo que determina uma curva de contorno geralmente envolve coeficientes não exatos e com isso o cálculo da integral definida torna-se muito trabalhoso. Além disso, o modelo facilmente poderia ser melhorado se necessário, ou seja, se os resultados não fossem satisfatórios, novas medições poderiam ser realizadas, e novos modelos gerados tornando assim mais rápida a realização de um novo cálculo do volume. As medições do sólido Para obtermos as medidas do sólido, os alunos foram desafiados sobre quais as possíveis formas de realizarem esta tarefa. Após muitas sugestões, optaram pelo uso da fita métrica e do paquímetro. Assim, em primeiro lugar, orientamos os alunos para marcar o sólido verticalmente com a fita métrica e em seguida, a cada centímetro de altura encontrar a medida do diâmetro, com o auxílio do paquímetro, e determinar o raio em cada uma destas alturas. A utilização do paquímetro foi uma aprendizagem aos alunos, foi necessário realizar algumas experimentações para posteriormente obtermos as medidas dos sólidos escolhidos por eles. Além disso, discutimos com os alunos como obter dados mais precisos para que o modelo a ser gerado fosse o mais próximo possível do objeto real que cada um escolheu. Para tanto, decidimos que as medições fossem repetidas pelo menos duas vezes. A seguir os resultados dessas medições foram organizados em tabelas. Com os dados já tabelados, o próximo passo seria a determinação da curva de contorno. Neste momento, foi fundamental o uso de algum software que possibilitasse a escolha da curva de contorno que melhor descrevesse os dados obtidos nas medições e, que apresentasse o modelo matemático que determina esta curva. Vale salientar que geralmente estes modelos 138

3 apresentam coeficientes não exatos, o que se torna bastante trabalhoso obtê-los manualmente, através de diferentes métodos de aproximação, como por exemplo, mínimos quadrados. Para esta tarefa então, o software utilizado foi o Graph e, para melhor exemplificar, vamos apresentar neste trabalho, os momentos desenvolvidos durante a atividade, utilizando para isso, um dos sólidos escolhido por um aluno da turma, que está mostrado na Fig. 1. Fig. 1. Sólido escolhido por um aluno. A curva de contorno Após a realização das medidas e a organização dos dados em tabela, já no laboratório de informática, orientamos os alunos para seguir as indicações expressas em um roteiro, que foi previamente elaborado para a realização desta atividade. Para obter a curva de contorno, foi necessário dispor no software os dados coletados do sólido e, acessar o menu Função, marcar Inserir série de pontos, ou clicar no local indicado na Fig. 2 e seguir as orientações que são apresentadas pelo software, fazendo aparecer a janela (Fig. 2) que indica onde deverão ser digitados os dados dos sólidos. Ficou estabelecido que a variável X representaria a altura e, Y seria a variável representativa do raio. Figura 2. Janelas do Graph. 139

4 Após inserir as informações referentes às medidas encontradas no sólido e clicar em OK, aparecerá na tela à distribuição dos pontos. Para realizar a escolha da curva modelo devemos acessar o menu Função e escolher a opção Inserir ajuste de curva ou, clicar no local indicado na Fig. 3. Figura 3. Distribuição dos dados. Neste momento foi necessária uma discussão sobre a distribuição dos dados, observando o tipo de curva que deveria ser escolhida de forma que, melhor representasse esses dados. No exemplo que estamos mostrando, a curva escolhida foi polinomial de ordem quatro, pois é fácil perceber que a distribuição dos pontos se assemelha a uma curva representativa de uma função de quarta ordem. A escolha e a determinação do modelo a partir do software se tornam bastante rápida e eficiente, podendo ser alterada quantas vezes for necessário, até chegar ao melhor modelo (Fig. 4). A utilização do software mostra que este recurso é de fácil utilização e auto-explicativo e, portanto, um facilitador neste processo. Aqui você escolhe a curva e a ordem! Figura 4. Janela do Graph. 140

5 Com a ordem e o tipo de função já escolhida, clicando em OK o modelo foi gerado e apresentado no canto direito da tela, como mostra a Fig. 5. Este modelo, mostrado na Eq. (1), foi utilizado para o cálculo do volume f (x) 0, x 0, x 1, x 3, x 0, (1) Figura 5. Janela do Graph. O cálculo do volume Para o cálculo do volume do sólido, consideramos que a curva faria uma revolução em torno de um eixo fixo, neste caso o eixo x. Assim, a fórmula válida é dada pela Eq. (2), onde f(x) é o modelo (Eq. (1)) encontrado no Graph, e o intervalo de integração [a, b] considerado, foi aquele determinado pelas medições, ou seja, [1, 10]. b V [f (x)] 2 dx (2) a Para encontrar o valor do volume indicado pela Eq. (2), foi utilizado o software WxMaxima, pois o software Graph não realiza este tipo de cálculo. O resultado obtido, conforme mostrado na pi 3 3 Fig. 6 foi de cm, que transformado equivale a 379,2626 cm Percebemos, no desenvolvimento de nossas ações, que a aplicação de um conteúdo matemático numa situação real apresenta maior credibilidade, para os alunos, se puder ser validada, confrontando o resultado obtido através do cálculo, com a medida real. Esta validação nem sempre é fácil de ser realizada, porém na situação apresentada, é fácil verificar se o resultado encontrado pela Eq. (2) fica próximo da medida real do volume do sólido. Este procedimento de verificação foi sugerido aos alunos. Obviamente que devemos considerar erros de medidas em ambos os resultados. No exemplo que estamos expondo neste trabalho, foi realizada esta verificação, através da utilização de uma proveta. O resultado encontrado mostrou que o modelo utilizado se apresentou satisfatório visto que a medida encontrada pela Eq. (2) se aproximou da medida encontrada experimentalmente utilizando a proveta. A diferença encontrada 141

6 foi da ordem de aproximadamente 5 cm 3, a qual foi considerada satisfatória pelo aluno visto que as medidas obtida não foram realizadas com extremo rigor, por exemplo, não foi considerada a espessura do sólido. Figura 6. Janela do WxMaxima, para cálculo da integral apresentada na Eq. (2). Podemos marcar que o fato do resultado da medida real ser próximo do encontrado através da aplicação de integrais definidas, mostra que podemos usar a matemática em situações reais, e principalmente serve para significar o estudo de integrais. Em se tratando de alunos de Licenciatura, entendemos que é um indicativo de que vale a pena buscar aplicações de conteúdos matemáticos, bem como utilizar recursos computacionais adequados para resolver tarefas e obter resultados. Considerações Ao concluir este trabalho, esperamos de alguma forma ter contribuído com as discussões a cerca do uso das tecnologias, especialmente no ensino de matemática, visando à aprendizagem. Apostamos sempre na simplicidade de nossas propostas, mas apostamos ainda mais, nas possibilidades de ensino que só se efetivam quando se realiza ações de sala de aula. É de nossa prática que estamos falando e por isso com muita propriedade. Além disso, estamos tratando da formação de futuros profissionais do ensino e esperamos com trabalhos como este, estar influenciando na maneira em que estes irão atuar em sala de aula, ou seja, buscando alternativas didáticas. Nesse trabalho salientamos a importância do uso de softwares como essenciais e facilitadores para a obtenção dos resultados, que para a situação apresentada foram fundamentais. A discussão da aplicabilidade de integrais definidas, no cálculo de volume de um sólido de revolução, se tornou mais atraente para os alunos, visto que eles vivenciaram, na prática, todas as etapas para a obtenção dos resultados finais, desde a escolha do sólido até a determinação do volume de forma experimental. Portanto, acreditamos que atividades como esta, se mostram eficientes tanto para desenvolver conteúdo como para mostrar a importância do seu estudo. Muitos pesquisadores têm trazido em seus textos discussões que apontam para o potencial dos recursos tecnológicos para o ensino, este tema nos instiga, nos preocupa, porém, além desta preocupação estão as ações e, estas são ímpares para mostrar as vantagens ou desvantagens do uso das tecnologias no ensino. Por isso, estamos relatando e pretendemos continuar além de 142

7 realizando ações, socializando os resultados/constatações com aqueles profissionais que, de certa forma compartilham das mesmas idéias e objetivam mostrar na prática suas descobertas. Referências [1] M. C. Borba, M. C., M. G. Penteado. Informática e Educação Matemática, Autêntica, Belo Horizonte, MG, [2] A. Campos. O que é um software livre. Disponível em: <http://br-linux.org/faqsoftwarelivre/. Acesso em 10. dez [3] E. K. Fainguelernt. Entrevista, Educação Matemática em Revista SBEM, ano XI, n.16, p. 4-7, (2004). [4] C. Piva, L. Dorneles, A. P. Spilimbergo e A. F. Dosciati. Articulação entre álgebra e geometria de sistemas lineares em ambiente informatizado: uma experiência em curso de engenharia. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA, ENGENHARIA E SOCIEDADE ICMES 2009, 1, 2009a, Curitiba. Proceedings Curitiba, PR: 2009, 1 CD- ROM. [5] J. A. Valente. Computadores e conhecimento: repensando a educação. Campinas: NIED,

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