Probabilidade. Vítor Pereira

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1 Probabilidade Vítor Pereira

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3 CAPíTULO 1 Probabilidade 1.1. Experiência aleatória Uma experiência aleatória é um processo que pode ser repetido em condições idênticas tantas vezes quantas se queira e em que não se pode prever, em cada realização, qual o resultado que se se vai obter de entre um conjunto de resultados possíveis conhecido. Exemplos de experiências aleatórias: lançar um dado, medir o volume de precipitação em Braga no mês de Janeiro, contar o número de automóveis que passam por uma portagem durante um período de tempo xo. Apesar de não ser possível prever com exactidão o resultado de uma experiência aleatória, podemos identicar o conjunto dos resultados possíveis Espaço de resultados O espaço de resultados ou conjunto de resultados é o conjunto formado por todos os resultados possíveis associados a uma determinada experiência aleatória. Designa-se por E,S,U ou Ω. Exemplos de espaços de resultados: lançar um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, lançar consecutivamente dois dados Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (2, 1), (2, 2),..}, medir o volume de precipitação em Braga no mês de Janeiro Ω = R + 0, contar o número de automóveis que passam por uma portagem durante um período de tempo xo Ω = N 0. 3

4 4 1. PROBABILIDADE 1.3. Acontecimento Um acontecimento é qualquer subconjunto do espaço de resultados. Exemplos de acontecimentos: no lançamento de um dado sair um múltiplo de cinco A = {5} no lançamento de um dado sair um número par B = {2, 4, 6} no lançamento de um dado sair um número inteiro C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} no lançamento de um dado sair um número não positivo D = {} Alguns acontecimentos têm denominações particulares: Acontecimento elementar é todo o acontecimento que possui um único elemento, exemplo A; Acontecimento composto é todo o acontecimento que possui mais do que um elemento, exemplo B; Acontecimento certo é todo o acontecimento que coincide com o espaço de resultados, exemplo C; Acontecimento impossível é todo o acontecimento vazio, exemplo D. Como os acontecimentos são conjuntos podemos aplicar as operações usuais: o conjunto A B (A união com B) é o acontecimento em que A ou B ocorrem. o conjunto A B (A intersecção com B) é o acontecimento em que A e B ocorrem. o conjunto Ā (conjunto complementar de A) é o acontecimento em A que não ocorre, e denomina-se acontecimentos contrário de A. se A B (A subconjunto de B), no caso de A ocorrer então B também ocorre. Outras relações que deveremos ter presente são B \ A = B Ā Ā = A = Ω Ω = Denition 1. Dois acontecimentos A e B que não possuem resultados comuns, ou seja A B =, são incompatíveis.

5 1.4. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Espaço de acontecimentos. Qualquer conjunto A Ω é um acontecimento. O espaço de acontecimentos de uma experiência aleatória é o conjunto das partes de Ω, ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. O número de acontecimentos distintos é dado por 2 Ω onde Ω denota a cardinalidade, isto é, o número de elementos de Ω. Exemplo Na experiência aleatória lançar um dado, tem por espaço de resultados Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. número total de acontecimentos deniveis sobre Ω é O 2 Ω = 2 6 = Denição Axiomática de Probabilidade Denition 2. Uma probabilidade P é uma função que a cada acontecimento faz corresponder um valor positivo tal que: (1) P (A) 0, (2) P (Ω) = 1, (3) Se A B = então P (A B) = P (A) + P (B). Da denição de probabilidade podemos deduzir alguns teoremas: Teorema 1. A probabilidade do acontecimento impossível é 0, P ( ) = 0 Proof. Recorrendo à propriedade dos conjuntos Ω = Ω, podemos escrever que P (Ω ) = P (Ω) Como Ω =, e usando o ponto (3) da denição, podemos escrever P (Ω) + P ( ) = P (Ω) Recorrendo ao ponto (2) da denição temos 1 + P ( ) = 1 P ( ) = 0

6 6 1. PROBABILIDADE Teorema 2. A B = P (A) P (B) Se A B então B = A ( ( B Ā), sendo A e B A ) disjuntos ( os acontecimentos são incompatíveis). Consequentemente, pela alinea (3) da denição, P (B) = P (A) +P ( B Ā). Como P ( B A ) 0, alinea (1), concluimos que P (A) P (B). Diagrama de Venn Teorema 3. P (A) 1. Teorema 4. P ( Ā ) = 1 P (A) Teorema 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Podemos escrever P (A B) como a soma das probabilidades de acontecimentos incompatíveis P (A B) = P (A) + P ( B Ā) P ( B Ā) = P (A) P (A B) Podemos escrever P (B) como a soma P (B) = P (B A) + P ( B Ā) P (B) = P (B A) + P (A) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Exercise. Prove a veracidade das propriedades 3 e 4. Denition 3. Dois acontecimentos A e B são equiprováveis se tiverem a mesma probabilidade, P (A) = P (B). Leis de De Morgan. (1) A B = Ā B (2) A B = Ā B (3) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B) (4) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B)

7 1.5. EXERCÍCIOS AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Exercícios Axiomática de Probabilidade Ex Faça a demonstração das Leis de De Morgan (3) e (4). Ex Prove que P ( Ā B ) = P ( Ā ) P (B) + P (A B) Ex Seja E o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A E e B E). Tem-se que: P (A) = 0, 3 P (B) = 0, 5 Qual dos números seguintes pode ser o valor de P (A B)? (A) 0, 1 (B) 0, 4 (C) 0, 6 (D) 0, 9 Ex Seja S o conjunto de resultados (com número innito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos contidos em S. Nenhum deles impossível nem certo. Sabe-se que A B. Indique qual das armações seguintes é verdadeira. (A) P (A) > P (B) (B) P (A B) = 0 (C) P (A B) = 1 (D) P ( Ā ) P ( B) Ex No lançamento de dois dados com as faces numeradas de 1 a 6 considere os acontecimentos: A: A soma dos pontos é 5 B: A diferença entre o maior e o meno número é 3 Então, pode armar-se que: (A) A B = {(4, 1), (1, 4)} (B) A B = {(1, 4), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (3, 2), (5, 2)} (C) A B = {(3, 2), (2, 3), (3, 6), (6, 3)} (D) Nenhuma das respostas anteriores está correcta Ex Extraia 2 cartas de um baralho de 40 cartas e considere os acontecimentos: A: Sair uma carta de ouros e uma de copas B: Sair um rei e um ás Diga qual das armações é verdadeira: (A) Ā:Não sair carta de ouros nem de copas (B) A B:Sair rei de copas e ás de ouros (C) A B:Sair rei de ouro e ás de copas (D) Nenhuma das anteriores

8 8 1. PROBABILIDADE 1.6. Lei de Laplace Uma outra denição de probabilidade é dada pela Lei de Laplace. todos os acontecimentos elementares forem equiprováveis. Esta só é aplicável quando Denition 4. (Lei de Laplace) A probabilidade de um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis. Podemos representar isso da seguinte forma : Seja A um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória, cujo espaço amostral é Ω, tendo-se A Ω. Seja P (A) a sua probabilidade, então (1.6.1) P (A) = Exemplo O número de casos favoráveis a A O número de casos possíveis Suponhamos que existem 5 candidatos a um emprego para o qual existem 2 vagas. Os candidatos realizaram um teste que os permitiu ordenar de 1 até 5, sendo o 1 o melhor. candidatos são seleccionados aleatoriamente, qual a probabilidade dos acontecimentos: A - terem sido seleccionados os dois melhores? B - ter sido seleccionado o melhor e um dos dois piores? Ω = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) } Admitindo que os Repare-se que se a selecção é feita aleatoriamente, cada par de candidatos tem igual probabilidade de ser seleccionado, pelo que estamos numa situação de equilíbrio ou simetria,ou seja, os acontecimentos elementares são equiprováveis. Existem portanto 20 casos possíveis, Ω = 20. Como A = {(1, 2), (2, 1)}, obtemos P (A) = 2 20 = Relativamente ao acontecimento B, temos B = {(1, 4), (1, 5), (4, 1), (5, 1)}, donde P (B) = 4 20 = 1 5.

9 1.7. EXERCÍCIOS LEI DE LAPLACE Exercícios Lei de Laplace Ex Mostre que: P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (B C) P (A C) + P (A B C) Ex Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P (A) = P (B) = P (C) = 1 4 P (A B) = P (B C) = 0 P (A C) = 1 8 Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C ocorra. Ex Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: A B C = Ω;A B = ;B C = P (A) = 0.3;P ( B) = 0.7;P (C) = 0.5 Calcule P (A C) e P (A C). Ex Sendo A, B e C acontecimentos tais que P ( A B ) = 0.2, P (A B) = 0.3 e ( ) P (A B C) = 0.25, calcule P A B C. Ex Uma cidade de habitantes tem à sua disposição dois jornais diários: O Aurora e o O Conhecedor. Um inquérito revelou os seguintes dados: pessoas lêem diariamente O Aurora; pessoas lêem diariamente O Conhecedor; 5000 pessoas lêem diariamente os dois jornais. Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja leitor: a) De pelo menos um dos jornais; b) De nenhum desses jornais; c) Exclusivamente do jornal O Aurora. Ex Numa determinada universidade, no curso de Comunicação, Cultura e Organizações com 220 alunos dos dois sexos, anotaram-se as suas características relativamente aos hábitos de leitura de jornais diários. Os dados foram organizados na seguinte tabela: Tem hábitos de leitura A Não tem hábitos de leitura Homem H Mulher M Seleccionou-se aleatoriamente um aluno do curso de Comunicação, Cultura e Organizações. Calcule a probabilidade de: a) Ser homem e ter hábitos de leitura. B

10 10 1. PROBABILIDADE b) Ser mulher. c) Não ter hábitos de leitura sabendo que é mulher. d) Ter hábitos de leitura dado que é homem. Ex Uma urna contém 9 bolas brancas e 11 bolas pretas. Fazem-se duas extracções de uma bola. a) Se as extracções forem feitas com reposição, qual é a probabilidade de saírem 2 bolas com cores diferentes? b) Se as extracções forem feitas sem reposição, qual é a probabilidade de saírem 2 bolas com cores diferentes? Ex Num saco há 6 bolas verdes e 4 bolas azuis. Tira-se sucessivamente três bolas, vendo a cor e repondo cada bola no saco. a) Qual a probabilidade de tirar primeiro uma bola azul, depois uma azul e depois uma verde? b) Qual a probabilidade de tirar pelo menos uma bola azul? 1.8. Probabilidade Condicionada Denition 5. A probabilidade condicionada refere-se à probabilidade de um evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P (A B), lida "probabilidade condicional de A dado B" ou ainda "probabilidade de A dependente da condição B". P (A B) = P (A B) P (B) Note que a denição só faz sentido no caso de P (B) 0. Exemplo No exercício alínea d) (6) Tem hábitos de leitura Não tem hábitos de leitura A B Homem H Mulher M é pedido para calcular a probabilidade de, seleccionando aleatoriamente um aluno, este ter hábitos de leitura dado que é homem. acontecimentos: Neste contexto podemos denir, de acordo com a denição, os A: escolher um aluno com hábitos de leitura

11 1.9. EXERCÍCIOS PROBABILIDADE CONDICIONADA 11 B: escolher um aluno do sexo masculino A probabilidade condicionada é dada por P (A B) = P (A B) = P (B) = 22 = No caso particular a ocorrência de B não ter qualquer efeito sobre a probabilidade de acontecer A, temos que P (A B) = P (A). Tais acontecimentos dizem-se independentes. Esta relação permite-nos deduzir uma denição mais prática: P (A B) = P (A) P (A B) P (B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Denition 6. Dois acontecimento A Ω e B Ω são independentes se e só se P (A B) = P (A) P (B) Exercise. Demonstre o Teorema de Bayes que relaciona as probabilidades condicionades mútuas P (B A) = P (A B) P (B) P (A) 1.9. Exercícios Probabilidade Condicionada Ex Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade igual a 0.7 e não é louco nem ladrão com uma probabilidade de (1) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão. (2) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão. (3) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco. Ex Numa fábrica vericou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A probabilidade de ocorrer o defeito do tipo A é 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do tipo B é Sabendo que os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de: (1) Um artigo não ter qualquer defeito; (2) Um artigo ter defeito; (3) Um artigo com defeito ter um e um só tipo de defeito. Ex Mostre que se P ( B Ā) = P (B A) então A e B são independentes. 1 O acontecimento A B traduz a conjunção ser homen e ter hábitos de leitura

12 12 1. PROBABILIDADE Ex Numa amostra constituída por 100 indivíduos obtiveram-se os resultados apresentados no quadro seguinte: Com Bronquite Sem Bronquite Fumadores Não Fumadores (1) Diga, justicando, se os acontecimentos ser fumador e ter bronquite são independentes. (2) Calcule a probabilidade de um indivíduo que é fumador ter bronquite. Ex Seja Ω o espaço de resultados (com um número nito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos (X Ω e Y Ω). Apenas uma das armações seguintes não é equivalente à igualdade P (X Y ) = 0. Qual? (A) X e Y são acontecimentos incompatíveis. (B) X e Y não podem ocorrer simultaneamente. (C) Se X ocorreu, Y não pode ocorrer. (D) X e Y são ambos impossíveis. Ex Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ω e B Ω), com P (A) > 0. Sejam Ā e B os acontecimentos contrários de A e de B, respectivamente. Seja P (B A) a probabilidade de B, se A. Mostre que: P ( B) P (Ā B) P (A) = 1 P (B A) Ex Uma caixa contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiramse ao acaso, sucessivamente e sem reposição, 2 bolas da caixa. Considere os seguintes acontecimentos: B 1 - a bola retirada em 1º lugar é branca; B 2 - a bola retirada em 2º lugar é branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B 2 B 1 )? (A) (B) (C) 4 9 (D) 5 9

13 CHAPTER 2 Combinatória 2.1. Arranjos e permutações A Análise Combinatória tem por objecto o desenvolvimento de métodos que permitam contar, de uma forma indirecta, o número de elementos de um conjunto, agrupados sob certas condições. Considere o problema comum: Quantos códigos alfanuméricos distintos, de comprimento 8, é possível construir com as letras do alfabeto romano, considerando somente as letras minúsculas, e os algarismos de 0 a 9, (1) com repetição de caracteres (2) sem repetição de caracteres Um exemplo de um código aceitável é 2az43tv6 No total dispomos de 33 caracteres alfanuméricos, 23 letras e 10 algarismos, e com estes pretendemos preencher as 8 posições do código. 2 a z v 6 (1) Em cada posição poderemos utilizar qualquer um dos 33 caracteres disponíveis. Assim temos = 33 8 (2) O caracter utilizado numa posição já não se encontrará disponível na posição seguinte. Logo teremos = Implicitamente, na resolução das duas alíneas do exercício, utilizamos o Princípio Fundamental de Contagem. 13

14 14 2. COMBINATÓRIA Denition 7. Princípio Fundamental de Contagem: Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1 k 2... k n Torna-se evidente que a repetição ou não repetição de elementos se reecte na contagem. A ordem dos caracteres também constitui um aspecto importante. Os códigos 1234abcd e a1b2c3d4 são claramente distintos, apesar de serem constituídos pelos mesmos caracteres alfanumérico. Na alínea (1) do exercício escolhemos 8 caracteres de um conjunto de 33, com ordem e com repetição (reutilização). Esta escolha tem a denominação de Arranjo Completo e denota-se por 33 A 8, sendo n A k = n k Lê-se: Arranjos Completos (com repetição) de n elementos k a k Denition. Factorial: O factorial de um número inteiro positivo n é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n, e denota-se por n!. Exemplo: 6! = = 720 0! é um caso particular e é explicitamente igual a 1 (0! = 1). 1 Na alínea (2) do exercício escolhemos 8 caracteres de um conjunto de 33, com ordem e sem repetição. Esta escolha tem a denominação de Arranjo Simples, ou abreviadamente Arranjo, e denota-se por 33 A 8, sendo n A k = n! (n k)! Lê-se: Arranjos (simples) de n elementos k a k 1 A função factorial pode ser denida recursivamente da forma n! = {0! = 1 n! = n (n 1)!

15 A utilização de factoriais agiliza o cálculo de arranjos: 2.1. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES ! A 8 = (33 8)! 33! = 25! ! = 25! = No caso de arranjos simples n a n, ou seja, escolher com ordem e sem repetição n elementos de um conjunto de n, temos que n n! A n = (n n)! n! = 0! n! = 1 = n! Os arranjos de n a n, n A n, traduzem o número de formas diferentes de ordenar n elementos,ou seja, o número de permutações de n elementos. 2 P n = n! Em resumo Com ordem Sem ordem Arranjos Completos Com repetição n A k = nk [a prencher mais tarde] Arranjos Simples Sem repetição n A k = n! (n k)! Permutações n A n = P n = n! [a prencher mais tarde] Tabela 1 2 Em algumas calculadoras grácas os arranjos n A k são apresentados como n P k

16 16 2. COMBINATÓRIA 2.2. Exercícios Arranjos e Permutações Ex De quantas formas diferentes se pode responder às sete questões de escolha múltipla de um teste, sabendo que para cada questão há 4 opções? Ex Quantos vectores é possível construir com os vértices de um octógono regular? (1) Incluindo o vector nulo. (2) Sem o vector nulo. Ex Quantos números pares de 3 algarismos com 2 algarismos ímpares existem? Ex Quantos nºs naturais, escritos com algarismos todos diferentes, existem entre os n ºs 1000 e 3000? (A) 992 (B) 998 (C) 1002 (D) 1008 Ex Seja C o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todos os números naturais de 100 a 999) (1) Quantos elementos do conjunto C são múltiplos de 5? (2) Quantos elementos do conjunto C têm os algarismos todos diferentes? Ex Uma empresa de cofres atribui ao acaso um código secreto a cada cofre que comercializa. Cada código secreto é formado por 4 algarismos, por uma certa ordem. Escolhendose um cofre ao acaso, qual a probabilidade de o código ter exactamente 3 zeros? (A) 0, 0004 (B) 0, 0027 (C) 0, 0036 (D) 0, 004 Ex O código de um cartão multibanco é uma sequência de 4 algarismos como, por exemplo, (1) Quantos códigos diferentes existem com um e um só algarismo zero? (2) Imagine que um amigo seu vai adquirir um cartão multibanco. Admitindo que o código de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código desse cartão ter os 4 algarismos diferentes? Apresente o resultado na forma de dízima. Ex Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há um Ás, três guras (Rei, Dama e Valete) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). A Joana pretende fazer uma sequência com seis cartas do naipe de Espadas. Ela quer iniciar a sequência com o Ás, quer que as três cartas seguintes sejam guras e quer concluir a sequência com duas das nove restantes cartas desse naipe. Quantas sequências diferentes pode a Joana fazer? (A) 416 (B) 432 (C) 528 (D) 562

17 2.2. EXERCÍCIOS ARRANJOS E PERMUTAÇÕES 17 Ex Na gura está representado um hexágono regular com os vértices numerados de 1 a 6. Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em cada lançamento, selecciona-se o vértice do hexágono que corresponde ao número saído nesse lançamento. Note que, no nal da experiência, podemos ter um, dois ou três pontos seleccionados (por exemplo: se sair o mesmo número três vezes, só é seleccionado um ponto). Qual é a probabilidade de se seleccionarem três pontos que sejam os vértices de um triângulo equilátero? (A) 1 18 (B) 1 16 (C) 1 14 (D) 1 12 Ex Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotograa. De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados que junto na fotograa? (A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48 Ex Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. (1) Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Sejam os acontecimentos: A: O número escolhido é múltiplo de 5; B: O número escolhido tem os algarismos todos diferentes. Averigúe se A e B são, ou não, acontecimentos independentes. (2) Considere o seguinte problema: De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos é um número par? Uma resposta correcta a este problema é: 9 A 3 5 A 3. Numa pequena composição explique porquê. Ex Numa terra há só 4 médicos. Numa certa noite, adoecem 5 habitantes. Cada um deles escolhe, ao acaso, um dos médicos e chama-o pelo telefone. Qual a probabilidade de que não chamem todos o mesmo médico? (A) (B) (C) (D) Ex A ementa de um restaurante tem 10 sobremesas diferentes. Cinco clientes escolhem a sobremesa. A probabilidade de escolherem sobremesas distintas é: (A) 0, 0023 (B) 0, 0254 (C) 0, 3024 (D) 0, 5142 Ex Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros 123 (por esta ordem). Quantos números de telefone podem existir nessa região? (A)10 7 (B)10 4 (C)7 4 (D)

18 18 2. COMBINATÓRIA Ex Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira: ela terá quatro tiras verticais. Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor. Entre quantas bandeiras diferentes vai decidir a população da Colorilândia? (A) (B) (C) 5 4 (D) 1 Ex Quando se altera a ordem dos algarismos do número 35142, obtém-se outro número. Considere todos os números que se podem obter por alteração da ordem dos algarismos de Quantos desses números são múltiplos de 5? (A) 12 (B) 24 (C) 60 (D) 120 Ex Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário? (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 120 Ex Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dois dos quais são de Astronomia. De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois primeiros livros, do lado esquerdo, sejam os de Astronomia? (A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 60 Ex Num certo país existem 3 empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e C. Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos. Os números do operador A começam por 51, os do B por 52 e os do C por 53. Quantos números de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos nesse país? (A) (B) (C) (D) Ex Seja B o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. (1) Verique que o conjunto B tem 240 elementos. (2) Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B. Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número par? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Ex Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Escolhe-se ao acaso um desses números: (1) Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a 1. (Resultado na forma de percentagem arredondado às unidades). (2) Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que (Resultado na forma de dízima, com 3 casas decimais).

19 2.3. COMBINAÇÕES 19 Ex Dentro de um saco, estão nove cartões de igual textura e formato. Em cada um deles está desenhada uma das letras da palavra BORBOLETA. Se tirar sucessivamente quatro desses cartões e dispuser as respectivas letras pela ordem de saída, qual a probabilidade de obter a palavra LOBO? Ex Cinco amigos, Ana, Bruno, Carlos, Duarte e Ema, vão ao cinema e sentam-se ao acaso em 5 lugares consecutivos. A probabilidade de que a Ana que sentada ao lado do Bruno e do Duarte é: (A) 1 10 (B) 1 20 (C) 1 30 (D) 3 10 Ex Numa mesa redonda de nove lugares pretende sentar-se os noivos e sete convidados. De quantas formas distintas se podem distribuir de modo que os noivos quem juntos? Ex De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes num banco de sete lugares, sabendo que, em cada um dos extremos, ca uma rapariga? (A) 120 (B) 240 (C) 720 (D) Combinações Nem todas as escolhas implicam a existência de ordem. Considere o seguinte problema de contagem: Numa estante encontram-se 10 livros, dos quais se pretende escolher 4 para ler durante as férias de verão. Quantas selecções diferentes é possível efectuar? Claramente, neste caso, a ordem da escolha é indiferente. Uma possível estratégia de resolução consiste em calcular o número de arranjos simples e de seguida remover as escolhas repetidas que só diferem na ordem (que são permutações dos 4 livros escolhidos): 10 A 4 P 4 = 10! (10 4)! 4! = 10! (10 4)! 4! = A solução surge como sendo o número de formas diferente de escolher 4 livros de um conjunto de 10, sem ordem e sem repetição. Esta escolha tem a denominação de Combinação e denota-se por 10 C 4, onde n C k = n! (n k)! k! Lê-se: Combinações de n elementos k a k Actualizando a Tabela 1 temos: 3 Note que para qualquer selecção de 4 livros, os 10 A 4 arranjos incluiam as repectivas permutações P 4.

20 20 2. COMBINATÓRIA Escolhas Com ordem Sem ordem Arranjos Completos Com repetição n A k = nk Não faz parte do programa Arranjos Simples Combinações Sem repetição n A k = n! (n k)! Permutações n C k = n! (n k)! k! n A n = P n = n! Exercícios Combinatória Ex Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode formar o grupo? (A) 12 C 5 8 C 5 (B) 12 A 5 8 A 5 (C) (D) 12! 8! 5! Ex Considere todos os números pares com cinco algarismos. Quantos destes números têm quatro algarismos ímpares? (A) 5 5 C 4 (B) 5 5 (C) 5! (D) 5 5 A 4 Ex Uma estante tem oito prateleiras. Pretende-se expor, nessa estante, seis peças de porcelana: duas jarras iguais e quatro pratos diferentes. De quantas maneiras podem ser expostas as seis peças nas oito prateleiras, de tal modo que não que mais do que uma peça em cada prateleira? (A) 8 C 2 6 A 4 (B) 8 A 2 4! (C) 8 C 2 8 A 4 (D) 8 A 2 6 C4 Ex Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de literatura contemporânea. curso. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas da literatura contemporânea? (A) 3 C C 4 7 C 3 (B) 3 C C C 3 (C) 3 C 2 7 C 4 7 C 3 (D) 3 C 2 7 C C 3 Ex Numa turma com doze raparigas e sete rapazes, vão ser escolhidos cinco elementos para formar uma comissão. Pretende-se que essa comissão seja constituída por alunos dos dois sexos, mas tenha mais raparigas do que rapazes. Nestas condições, quantas comissões diferentes se podem formar? (A) 19 C 5 5 C C 5 5 C 2 (B) 12 C 4 7 C C 3 6 C 2 (C) 19 C C C 7 7 C 2 (D) 12 C 4 7 C C 3 7 C 2 4 As combinações com repetição de n elementos k a k podem ser calculados com n C k = (n+k 1)! (n 1)! k!

21 2.4. EXERCÍCIOS COMBINATÓRIA 21 Ex Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. disputadas foi: Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas (A) 10 C 2 (B) 10 C 10 (C) 10! (D) 10 9 Ex A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo três deles de música clássica e os restantes de Jazz. Pretende oferecer esses dez discos aos seus irmãos, o Ricardo e o Paulo, de modo que cada irmão que com o mesmo número de discos e que o Ricardo que com exactamente dois discos de música clássica. De quantas maneiras o poderá fazer? (A) 3 C 2 7 C 3 (B) 3 C 2 7 C 3 3 C 1 7 C 4 (C) 3 C C 3 (D) 3 C 2 7 C C 1 7 C 4 Ex Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos. Qual a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par? (A) 5 C 2 5 A 2 (B) 5 C 2 (C) 2 3! 5! 5 A 2 (D) 2 3! 5! Ex A Sandra tem dez chas de plástico, três das quais são verdes, sendo as restantes vermelhas. A Sandra empilha as dez chas, aleatoriamente, umas em cima das outras. Qual a probabilidade de as três chas verdes carem em cima? (A) 10 C 3 10 A 3 (B) 1 10 A 3 (C) 3! (D) 3! 7! 10! 10! Ex Sete amigos vão ao futebol ver um desao entre o clube Alfa e o clube Beta. Três deles são adeptos do clube Alfa e quatro são adeptos do clube Beta. No estádio sentam-se na mesma la, uns ao lado dos outros, distribuídos ao acaso. Qual é a probabilidade de os adeptos do clube Alfa carem todos juntos e os adeptos do clube Beta carem também todos juntos? (A) 3! 4! 7! (B) 2 3! 4! 7! (C) 2 3! 4! (D) Ex Num grupo de 20 congressistas, 8 só falam inglês, 5 só falam francês e 7 falam as duas línguas. 1 3! 4! Qual a probabilidade de dois congressistas, escolhidos ao acaso, poderem conversar sem auxílio de intérprete? (A) 5 C C C 2 20 C 2 (B) 7 (3 C C 4) 20 C 2 (C) 20 C C 2 (D) 5 C 2 7 C 2 8 C 2 20 C 2 Ex Cada uma de seis pessoas lança um dado com faces numeradas de 1 a 6. probabilidade de os números saídos serem todos diferentes? (A) 6! 6 6 (B) (C) 1 6! (D) 1 6 Qual a Ex Considere uma caixa de doze aguarelas, sendo uma de cada cor e também uma caixa de doze lápis de cera com as mesmas cores do que as referidas aguarelas. Retirou-se, ao

22 22 2. COMBINATÓRIA acaso, uma aguarela e um lápis de cera. Qual a probabilidade de ter obtido uma aguarela e um lápis de cera da mesma cor? (A) 1 12 (B) 1 24 (C) 1 12! (D) 1 24! Ex Para certo exame, os candidatos devem preparar 100 temas dos quais três, seleccionados ao acaso, sairão no exame. Um candidato apresenta-se a exame tendo preparado 1 4 dos temas. A probabilidade de que tenha acertado só dois dos temas que saíram é: (A) C C 3 (B) 3 25 C C 3 (C) C C 3 (D) 25 C C 3 Ex Escolhem-se aleatoriamente dois vértices distintos de um cubo. Qual a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles denido? (A) 1 8 C 2 (B) 4 8 C 2 (C) 1 8! (D) 4 8! Ex A Joana tem na estate do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia de Mello Brayner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da sua avó, decidiu escolher seis desses livros, para ler durante este período de lazer. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Brayner Andresen e três de Carl Sagan. (1) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha? (2) Admita que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler. Supondo aleatória a sequência pela qual estes livros vão ser lidos, qual a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Ex Um scal do Ministério das Finanças vai inspeccionar a contabilidade de sete empresas, das quais três são clubes de futebol prossional. inspecções vão ser feitas é aleatória. A sequência segundo a qual as sete Qual é a probabilidade de que as três primeiras empresas inspeccionadas sejam exactamente os três clubes de futebol? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. Ex Uma embalagem contém doze pastilhas com igual aspecto exterior, sendo três de ananás, três de cereja, três de laranja e três de morango. Esvaziando a embalagem após a compra e retirando quatro pastilhas ao acaso, qual a probabilidade de retirar uma de cada sabor? Ex Para inaugurar uma ponte em Cegonhas de Baixo, a respectiva Junta de Freguesia vai organizar uma feijoada. O principal clube desportivo da região, o Cegonhas Futebol Clube, foi convidado a fazer-se representar no almoço por três quaisquer membros da sua direcção. A Sr.ª Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves são dois dos sete elementos dessa direcção. Se a escolha dos três representantes for feita por sorteio, entre os sete elementos da direcção do clube, qual a probabilidade de a Sr. ª Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves irem ambos à feijoada? Apresente o resultado na forma de uma fracção irredutível.

23 2.4. EXERCÍCIOS COMBINATÓRIA 23 Ex Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram seleccionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados. (1) Sabendo que o treinador da Selecção Nacional opta por que Portugal jogue sempre com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes pode ele constituir? (2) Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores seleccionados, escolhidos ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa viagem? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Ex Uma das provas de atletismo é a estafeta metros planos em que cada equipa participa com 4 atletas. O clube Pés Voadores vai participar na prova, dispondo de 10 atletas para formar a equipa de estafeta. (1) Quantos conjuntos diferentes é possível constituir para formar a equipa de estafeta deste clube? (2) Formada a equipa é necessário estabelecer a ordem de participação dos atletas que a constituem. Por razões tácticas escolheu-se o João Rui para iniciar a prova, podendo os restantes atletas da equipa participar em qualquer posição. De quantas formas diferentes se pode organizar esta equipa? (3) Ao todo vão competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A colocação das equipas pelas 8 pistas é feita por sorteio. Qual é a probabilidade de que a equipa dos Pés Voadores corra na pista 1 não cando nenhuma equipa na pista 2?

24 24 2. COMBINATÓRIA 2.5. Triângulo de Pascal 0 C 0 Linha 0 1 C 0 1 C 1 Linha 1 2 C 0 2 C 1 2 C 2 Linha 2 3 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 Linha 3 4 C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 Linha 4. 1 Linha Linha Linha Linha Linha Linha 5. Da observação do Triângulo de Pascal podemos formalizar algumas propriedades: Propriedade 1: Cada linha do triângulo começa e acaba por 1. n C 0 = n C n = 1, n N Propriedade 2: Em cada linha, elementos igualmente afastados das extremidades têm o mesmo valor. n C p = n C n p, n, p N n p Um caso particular, o segundo elementos e o penúltimo elemento são iguais ao número da linha. n C 1 = n C n 1 = n, n N Propiedade 3: A partir da 2.ª linha, cada elemento (com excepção dos extremos) é a soma dos dois elementos imediatamente acima dele. n C p + n C p+1 = n+1 C p+1, n, p N n p n 2

25 2.6. EXERCÍCIOS TRIÂNGULO DE PASCAL 25 Propriedade 4: A soma da n-ésima linha do triângulo de pascal é igual a 2 n. n C 0 + n C 1 + n C n C n 2 + n C n 1 + n C n = 2 n, n N 2.6. Exercícios Triângulo de Pascal Ex A soma de todos os elementos de uma linha de Pascal é 32. Escreva essa linha. Ex Se o terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 120, qual é o penúltimo elemento dessa mesma linha? Ex O produto dos dois primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual a 32. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte? Ex C C 101 é igual a: (A) 1998 C 101 (B) 1996 C 100 (C) 1997 C 201 (D) 1998 C 201 Ex O quarto número de uma certa linha do triângulo de Pascal é A soma dos quatro primeiros números dessa linha é Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) 2634 (B) 2193 (C) 1581 (D) 1275 Ex Considere-se duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos: 36 a b O valor de b é: (A) 164 (B) 198 (C) 210 (D) 234 Ex a b c d e f g representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira? (A) c = 6 C 3 (B) c = 7 C 3 (C) c = 6 C 2 (D) c = 7 C 2 Ex O penúltimo número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 10. Qual é o terceiro número dessa linha? (A) 11 (B) 19 (C) 45 (D) 144 Ex Os quatro primeiros números de uma linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165. Então os três últimos números da linha seguinte são: (A) 36, 24 e 12 (B) 66, 12 e 1 (C) 220, 66 e 12 (D) 24, 12 e 1 Ex Uma certa linha do triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha?

26 26 2. COMBINATÓRIA (A) 14 C 5 (B) 15 C 5 (C) 14 C 6 (D) 15 C 6 Ex No triângulo de Pascal existe uma linha com onze elementos. Seja a o maior número dessa linha. Qual o valor de a? (A) 10 C 5 (B) 10 C 6 (C) 11 C 5 (D) 11 C 6 Ex A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de pascal é 21. Qual é o valor da soma dos três primeiros elementos dessa linha? (A) 121 (B) 151 (C) 181 (D) 211 Ex Considere a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhemse, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois serem iguais? (A) 1 35 C 2 (B) C 2 (C) C 2 (D) C 2

27 Solução de exercícios escolhidos 27