Kely Diana Villacorta Villacorta Felipe Antonio Garcia Moreno. Cálculo Diferencial e Integral

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1 Kely Diana Villacorta Villacorta Felipe Antonio Garcia Moreno Cálculo Diferencial e Integral Editora da UFPB João Pessoa 14

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Reitora Vice-Reitor Pró-reitora de graduação Diretor da UFPB Virtual Diretor do CI MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZ EDUARDO RAMALHO RABENHORST ARIANE NORMA DE MENESES SÁ JAN EDSON RODRIGUES LEITE GUIDO LEMOS DE SOUZA FILHO EDITORA DA UFPB Diretora Supervisão de Editoração Supervisão de Produção IZABEL FRANÇA DE LIMA ALMIR CORREIA DE VASCONCELLOS JÚNIOR JOSÉ AUGUSTO DOS SANTOS FILHO Coordenador Vice-coordenadora Conselho Editorial CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO A DISTÂNCIA LUCIDIO DOS ANJOS FORMIGA CABRAL DANIELLE ROUSY DIAS DA SILVA Prof Dr. Lucídio Cabral (UFPB) Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB) Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Aleandre (UFPB) V71c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta. Cálculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta, Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros Aleandre. 1ª Edição Revisada. João Pessoa: Editora da UFPB, : il. ISBN: Curso de Licenciatura em Computação na Modalidade à Distância. Universidade Federal da Paraíba. 1. Cálculo diferencial.. Cálculo integral. 3. Cálculo. 4. Análise matemática. I. Título. CDU: 517./.3 Todos os direitos e responsabilidades dos autores. EDITORA DA UFPB Caia Postal 581 Cidade Universitária João Pessoa Paraíba Brasil CEP: Impresso no Brasil Printed in Brazil

3 Cálculo Diferencial e Integral i

4 Sumário 1 Números Reais Sistema dos Números Reais Adição e Multiplicação de Números Reais Subtração e Divisão de Números Reais Relação de Ordem Equações Desigualdades e Intervalos Inequações Resolvendo Inequações Inequações de Primeiro Grau Inequações de Segundo Grau Inequações Polinomiais Inequações Racionais Inequações Eponenciais envolvendo Polinômios Inequações Irracionais Valor absoluto Aioma do Supremo Recapitulando Atividades Funções 36.1 Funções Translações e refleões de uma função Funções comuns Função par e função ímpar Função periódica Função crescente e função decrescente Função definida por partes ii

5 . Função injetora, sobrejetora e bijetora Operações com funções Composição de funções Função inversa Recapitulando Atividades Limites Introdução Vizinhança Limites de uma função Propriedades dos limites Leis do limite Limites laterais Limites no infinito Limites infinitos Limites infinitos no infinito Assíntotas Recapitulando Atividades Continuidade Introdução Noção intuitiva Definição formal Tipos de descontinuidade Propriedades de funções continuas Continuidade de funções em intervalos Teorema de valor intermediário Funções inversas e continuidade Recapitulando Atividades iii

6 5 A Derivada Introdução Definição formal A Reta Tangente A derivada como função Derivadas laterais Reta normal Regras de derivação A derivada da composição de funções Teorema da função inversa Derivadas de funções elementares Derivadas de ordem superior Derivação Implícita Recapitulando Atividades Aplicações da Derivada Introdução Valores Etremos de uma Função Determinando Valores Etremos de uma Função Determinando os Pontos de Infleão e Concavidade da Curva y=f () Esboçando o gráfico de y = f () Teorema do Valor Médio Formas indeterminadas e a regra de L Hôpital Recapitulando Atividades A Integral Indefinida Introdução A Antiderivada Propriedades da Integral Indefinida Integrais Imediatas Método de Integração por Partes Técnicas de Integração Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas iv

7 7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica Integração de Funções Racionais O método de Hermite-Ostrogradski Integrais de Funções Irracionais Recapitulando Atividades A Integral Definida Introdução Somatórios Propriedades do Somatório Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios Partição de um Intervalo Fechado Aproimação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos Soma Superior e Soma Inferior Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores Integrais Inferiores e Superiores A Integral de Riemann Propriedades da integral definida Teorema do Valor Intermediário para Integrais Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral Mudança de Variável numa Integral Definida Integração por Partes numa Integral Definida Integrais Impróprias Integrais Impróprias com Limites Infinitos Integrais Impróprias com Limites Finitos Aplicações da Integral Definida Áreas de Regiões Planas Volume de um Sólido de Revolução Comprimento de Arco Área de uma Superfície de Revolução Recapitulando Atividades Referências Referências Bibliográficas Índice Remissivo 65 v

8 Prefácio BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO Acesse para verificar se há uma versão mais o Histórico de revisões, na início do livro, para verificar o que mudou entre uma versão e outra. Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciatura em Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de um curso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma não tão rigorosa, isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamos nas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com eemplos e com uma quantidade razoável de atividades para uma fiação do conteúdo, de tal forma que resulte de máimo proveito aos estudantes. A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básica de Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto recomendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máima quantidade de atividades. No primeiro capítulo se faz uma apresentação aiomática dos números reais e suas principais propriedades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto matemático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para a teoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulo introduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no seto capítulo apresentamos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodos de integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamos de algumas das aplicações desta. Sabemos que eistem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentado aqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deiando a prova de todos esses resultados a posteriori. Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes conceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real. João Pessoa, agosto de 13. Kely D. V. Villacorta Felipe A. G. Moreno vi

9 Público alvo O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância. 1 Como você deve estudar cada capítulo Leia a visão geral do capítulo Estude os conteúdos das seções Realize as atividades no final do capítulo Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo NA SALA DE AULA DO CURSO Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina Caias de diálogo Nesta seção apresentamos as caias de diálogo que poderão ser utilizadas durante o teto. Confira os significados delas. Nota Esta caia é utilizada para realizar alguma refleão. Dica Esta caia é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares. Importante Esta caia é utilizada para chamar atenção sobre algo importante. Cuidado Esta caia é utilizada para alertar sobre algo que eige cautela. 1 Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringe a esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB. vii

10 Atenção Esta caia é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso. Os significados das caias são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intenções dos autores. Vídeos Os vídeos são apresentados da seguinte forma: Figura 1: Como baiar os códigos fontes: Nota Na versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada. Isto é o qrcode ( contendo o link do vídeo. Caso você tenha um celular com acesso a internet poderá acionar um programa de leitura de qrcode para acessar o vídeo. Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicando diretamente sobre o link. Compreendendo as referências As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado: Referências a capítulos Prefácio [vi] Referências a seções Como você deve estudar cada capítulo [vii], Caias de diálogo [vii]. Referências a imagens Figura [i] viii

11 Nota Na versão impressa, o número que aparece entre chaves [ ] corresponde ao número da página onde está o conteúdo referenciado. Na versão digital do livro você poderá clicar no link da referência. Feedback Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. Ao final de cada capítulo você será convidado a fazê-lo, enviando um feedback como a seguir: Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. Nota A seção sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livroscontribuicao.adoc. Figura : Eemplo de contribuição i

12 Capítulo 1 Números Reais OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles e suas principais propriedades; Determinar as raízes de uma equação dada; Determinar o conjunto solução de uma inequação dada; Dominar o conceito de valor absoluto; Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais; Familiarizar-se com o Aioma do Supremo. O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas refleões por parte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos, ou seja, 1,,3,... Os números inteiros, tão grandes quanto 1, já eram utilizados no Egito em épocas como 3 a. C. Na aritmética de números inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egípcios e babilônios, podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desenvolvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números racionais. Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êito no desenvolvimento da aritmética e da álgebra, e a notação que eles usavam também era superior a dos egípcios, com a diferença que eles trabalhavam na base 6 e não na base 1. Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII, mediante a tradução de tetos árabes, porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, e muito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século XVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações. Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como e π, já tinha se apresentado aos matemáticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemáticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem atualmente utilizada. 1 / 65

13 Embora seja muito interessante apresentar o construção do conjunto dos números reais passo a passo, o foco deste livro não é o construtivo, pois assumiremos que eistam certos objetos, chamados de números reais, que verificam os 11 aiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedades dos números reais que serão apresentadas aqui, ou estão entre estes aiomas, ou podem ser deduzidas a partir deles. Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, equações, inequações, valor absoluto, Aioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a teoria apresentada. 1.1 Sistema dos Números Reais Um conjunto não vazio de suma importância, para o bom entendimento de toda a teoria apresentada neste livro, é o conjunto dos números reais, denotado por R. Cada elemento de R é chamado de número real. Os números reais são identificados por pontos numa reta. E essa identificação dá-se da seguinte maneira: π 5 Dada uma reta (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fiamos o ponto da reta, logo, a cada número real se identifica com o ponto que está situado a unidades à direita do, se >, e com o ponto situado a unidades à esquerda do, se <. Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, para cada número real há um único ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta há um único número real correspondente. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferenciação entre ambos elementos. Logo, o sistema dos números reais, denotado por (R;+; ;<), é o conjunto R fornecido de duas operações, adição (+) e multiplicação ( ), de uma relação de ordem (<) (lê-se menor que) e de um aioma chamado Aioma do Supremo. Para simplificar a notação usaremos somente R Adição e Multiplicação de Números Reais Embora as operações de adição e multiplicação sejam duas operações aritméticas com as quais estamos muito acostumados desde o início dos nossos estudos na escola, a adição e a multiplicação de números reais são duas operações internas em R e são definidas, formalmente, como segue: Adição Dados a e b R eiste um único w R, chamado de soma de a e b, tal que w = a + b. Multiplicação Dados a e b R eiste um único z R, chamado de produto de a e b, tal que z = a b. A adição e multiplicação de números reais são regidos pelos seguintes aiomas: Aioma 1 a + b = b + a, a,b R. / 65

14 Aioma (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c R. Aioma 3 Eiste o número real zero, denotado por, tal que a + = + a = a, a R. Aioma 4 Para cada número real a eiste um real chamado de oposto de a, denotado por a, tal que a + ( a) =. Aioma 5 a b = b a, a,b R. Aioma 6 (a b) c = a (b c), a,b,c R. Aioma 7 Eiste o número real um, denotado por 1, tal que a 1 = 1 a = a, a R. Aioma 8 Para cada número real a, diferente de zero, eiste um número real chamado de inverso de a, denotado por a 1 ou 1 a, tal que a a 1 = a 1 a = 1. Aioma 9 a(b + c) = a b + a c, a,b,c R Nota a. Os Aiomas 1 e 5 são conhecidos como aiomas comutativos para a soma e multiplicação, respectivamente; b. Os Aiomas e 6 são conhecidos como aiomas associativos para a soma e multiplicação, respectivamente; c. O Aioma 9 é conhecido como aioma distributivo e relaciona a adição e multiplicação de números reais. O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações. Teorema 1.1 Sejam a, b e c R. Então: i. Os números, 1, a e a 1 são únicos; ii. a = ( a); iii. Se a, então a = (a 1 ) 1 ; iv. a = a = ; v. a = ( 1) a; vi. a ( b) = ( a) b; vii. ( a) ( b) = a b; 3 / 65

15 viii. Se a + c = b + c, então a = b; i. Se a c = b c e c, então a = b;. a b = se, e somente se, a = ou b = ; i. a b se, e somente se, a e b ; ii. a = b se, e somente se, a = b ou a = b. Nota e 1 também são conhecidos como elementos neutros para a adição e para a multiplicação, respectivamente; 1.1. Subtração e Divisão de Números Reais Subtração Dados a e b R, a diferença de a e b é definida como a b = a + ( b). Divisão ou quociente Dados a e b R, com b, a divisão ou quociente de a e b é definida como a b = a (b 1 ). Teorema 1. Sejam a, b, c e d R. Então: i. a b = (b a); ii. a b = c se, e somente se, a = b + c; iii. Se b, então c = a se, e somente se, b c = a; b iv. a (b c) = a b a c; v. Se b e d, então a b ± c d = a d ± b c. b d Relação de Ordem Aioma 1 Em R eiste um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R ++, que satisfaz as seguintes propriedades: i. Se a R, então a R ++ ou a R ++ ou a = ; ii. Se a R ++ e b R ++, então a + b R ++ e a b R ++. Definição 1.1 Sejam a, b R. Diz-se que: i. a é menor que b, denotado por a < b, se, e somente se, b a R ++ ; ii. a é menor ou igual que b, denotado por a b, se, e somente se, a < b ou a = b. 4 / 65

16 Nota a. a < b é equivalente a b > a e leia-se b é maior que a ; b. Da mesma forma, a b é equivalente a b a e leia-se b é maior ou igual que a. O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem. Teorema 1.3 Dados a, b, c e d R. Então: i. a = b ou a < b ou a > b; ii. a. Se a, então a > ; iii. se a < b e b < c, então a < c; iv. se a < b, então a + c < b + c; v. Se a < b e c < d, então a + c < b + d; vi. Se a < b e c >, então a c < b c; vii. Se a < b e c <, então a c > b c; viii. Se < a < b e < c < d, então a c < b d; i. Se a, então a e a 1 têm o mesmo sinal, isto é: a. Se a >, então a 1 >, b. Se a <, então a 1 < ;. Se < a < b, então < b 1 < a 1 ; i. Se a < b <, então b 1 < a 1 < ; ii. a b > se, e somente se, (a > e b > ) ou (a < e b < ) ; iii. a b se, e somente se, (a e b ) ou (a e b ) iv. a b < se, e somente se, (a < e b > ) ou (a > e b < ) ; v. a b se, e somente se, (a e b ) ou (a e b ) vi. Se a e b, então a < b se, e somente se, a < b ; vii. a + b = se, e somente se, a = e b =. Nota No Teorema 1.3 temos que: a. O item(i) é conhecido como Lei da tricotomia; b. O item(iii) é conhecido como Lei transitiva; c. O item(iv) é conhecido como Lei da monotonia para a soma. 5 / 65

17 Importante a. Se a e b são dois números reias tais que a = b, diz-se que a é a raiz quadrada de b, denotada por b. Por eemplo, e são raízes quadradas de 4, já que ( ) = = 4, e 3 e 3 são raízes quadradas de 3, pois ( 3) = ( 3) = 3. b. Pelo item(ii) do Teorema 1.3, não eiste a R e b < tal que a = b. Em outras palavras, no conjunto dos números reais não eiste raiz quadrada de números negativos; c. Se a =, então deduz-se que a =. Portanto, =. Definição 1. Uma desigualdade é uma epressão algébrica que contém relações como <,, >,. Desta forma temos que: < y < z significa que < y e y < z; < y z significa que < y e y z; y < z significa que y e y < z; y z significa que y e y z. Mais ainda, sejam, y e z R tais que < y < z. Então estas desigualdades são repŕesentadas na reta real da seguinte maneira: Figura 1.1: Distância entre e y, e distância entre y e z Ou seja, está à esquerda de y, a uma distância de y unidades e z está à direita de y, a uma distância de z y unidades. 1. Equações Definição 1.3 Uma equação é uma afirmação que se estabelece entre duas epressões algébricas mediante uma igualdade. 6 / 65

18 Eemplo 1.1 Tipos de Equações Equação de Primeiro grau 3 4 = Equação de Segundo grau 4 5 = Equação Racional Equação Irracional = = 3 Equação Eponencial 3 3 (5+1)/3 = 9 3(+1)/5 Definição 1.4 Dada uma equação. Diz-se que um número real a é uma raiz da equação, ou é um zero da equação se ao substituir a variável da equação por a, a igualdade for verdadeira. Além disso, resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes. Eemplo 1. Dada a equação temos que: 4 5 = a. Os números reais 1 e 5 são raízes da equação de segundo grau acima, pois ( 1) 4( 1) 5 = e (5) 4(5) 5 = ; b. Porém, o número real 4 não é uma raiz, pois (4) 4(4) 5 = 5. Nota Para resolver uma equação é necessário por em evidência, de alguma forma, a variável, ou incógnita, da equação. 7 / 65

19 Eemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equações a = = 8 5 = 8 6 = = 5. Portanto, 5 é a raiz de = 8. b = = = = 4 = 4 8 = 1. Portanto, 1 é a raiz de = 1 3 c. + 1 =. + 1 = = 1. Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3, para b = 1, podemos concluir que + 1 = não tem solução em R. d. 4 3 =. Método 1 (Fatorando) 4 3 = (4+3)( 1) =. Pelo item () do Teorema 1.1 para a = 4+3 e b = 1, temos que (4 + 3)( 1) = = ou 1 = = 3 4 ou = 1. Método (Completando quadrados) 4 3 = () + ( 1 4 ( 1 4) 3 = ( 1 ( () 4) + 1 ) = ) = = 7 4 ou 1 4 = 7 4 = 3 ou = = 3 ou = 1. 4 Método 3 (Usando a fórmula de Bhaskara ou o Discriminante ) Dada a equação 4 3 =, temos que = ( 1) 4(4)( 3) = 49 e = ( 1) ±. Então, = 1 ± 49 (4) 8 ou = 3 4. = 1 ± 7 8 Portanto, 3 4 e 1 são as raízes de 4 3 =. = 8 8 ou = 6 8 = Desigualdades e Intervalos 8 / 65

20 Definição 1.5 Dados a e b R, com a < b. Um intervalo é um subconjunto de R e podem ser classificado em: Intervalos Limitados 1. Intervalo Aberto: (a,b) = { R : a < < b}. Intervalo Fechado: [a,b] = { R : a b} 3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = { R : a < b} 4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = { R : a < b} Intervalos Ilimitados 1. Intervalo Aberto: i. (a,+ ) = { R : a < } ii. (,a) = { R : < a}. Intervalo Fechado: i. [a,+ ) = { R : a } ii. (,a] = { R : a} 3. A Reta Real: (,+ ) = R Nota Os intervalos semiabertos [a, b) e (a, b] também podem ser referenciados como intervalos semifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente. Eemplo 1.4 Dados os intervalos: A = [ 5,], B = (,3] e C = (,6), 9 / 65

21 temos que: a. A B = [,] b. A C = / c. B C = (,3] d. A B = [ 5,3] e. A C = [ 5,6) f. B C = (,6) 1.4 Inequações Definição 1.6 Uma inequação é uma afirmação que se estabelece entre duas epressões algébricas mediante uma desigualdade. Eemplo 1.5 Tipos de Inequações Inequação de Primeiro grau Inequação de Segundo grau 3 4 Inequação Racional 4 5 < / 65

22 Inequação Irracional > 3 Inequação Eponencial 3 3 (5+1)/3 < 9 3(+1)/5 Definição 1.7 Diz-se que um número real a é solução da inequação, ou satisfaz uma inequação, se ao substituir a variável da epressão por a, a desigualdade se faz verdadeira. Eemplo 1.6 Seja a inequação Então: 4 5 < a. O número real 4 é uma solução da inequação de segundo grau acima, pois (4) 4(4) 5 = 5 < ; b. Porém, os números reais 1 e 5 não são soluções, pois ( 1) 4( 1) 5 = e (5) 4(5) 5 = ; Definição 1.8 O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado de conjunto solução, denotado por C. S. Resolver uma inequação significa encontrar seu C. S.. Nota Se não eistem soluções reais para a inequação, então diz-se que C. S. é vazio, e se escreve, C. S. = / Resolvendo Inequações Inequações de Primeiro Grau As inequações de primeiro grau numa variável são da forma: a + b > ou a + b < ou a + b ou a + b, com a. Então, para resolver estas inequações consideramos, sem perda de generalidade que, a >. Assim, i. a + b > ii. a + b < > a b < b a C. S. = ( a b,+ ) ; C. S. = (, a) b ; iii. a + b a b iv. a + b a b C. S. = [ a b,+ ) ; C. S. = (, a] b. 11 / 65

23 Eemplo 1.7 Resolvamos as seguintes inequações de primeiro grau: a < < 8 5 < 8 6 = < ( 5. Portanto, C. S. =, ). 5 b = 1. Portanto, C. S. = [ 1 ),+. c. 3 4 < < + 3 < + 4 < 6 < 3. Portanto, C. S. = (,3) Inequações de Segundo Grau As inequações de segundo grau numa variável são da forma: a +b+c > ou a +b+c < ou a +b+c ou a +b+c, com a. Suponhamos, sem perda de generalidade, que a >. Antes de mostrar como resolver este tipo de inequação, devemos lembrar a fórmula de Bhaskara: Se a + b + c =, então = b ±, a onde = b 4ac é conhecido como o discriminante. Assim: Se <, então esta equação não tem raízes em R; Se, então esta equação terá as seguintes raízes r 1 = b a ou r = b + a em R. Caso I Se =, então a + b + c = tem uma única raiz, isto é, r = r 1 = r. Portanto: i. a + b + c > se, e somente, C. S. = R \ {r}; ii. a + b + c < se, e somente se, C. S. = /; iii. a + b + c se, e somente se, C. S. = R; iv. a + b + c se, e somente se, C. S. = {r}. Caso II Se >, então a + b + c = tem duas raízes diferentes, com r 1 < r. Portanto: 1 / 65

24 i. a + b + c > se, e somente, C. S. = (,r 1 ) (r,+ ); ii. a + b + c < se, e somente se, C. S. = (r 1,r ); iii. a + b + c se, e somente se, C. S. = (,r 1 ] [r,+ ); iv. a + b + c se, e somente se, C. S. = [r 1,r ]. Caso III Se <, então a + b + c = não tem raízes em R. Portanto: i. a + b + c > se, e somente, C. S. = R; ii. a + b + c < se, e somente se, C. S. = /; iii. a + b + c se, e somente se, C. S. = R; iv. a + b + c se, e somente se, C. S. = /. Eemplo 1.8 Resolvamos as seguintes inequações: a. < 3 + < <. Como = ( 3) 4(1)( 4) = 5 >, então 3 4 = tem duas raizes reais diferentes: r 1 = ( 3) (1) = 3 5 = = 1 e r = ( 3) + (1) = = 8 = 4. Aplicando o item(ii) do Caso II, pois r 1 < r, temos que C. S. = ( 1,4). Embora já tenhamos encontrado o conjunto solução para a inequação dada, a seguir apresentamos métodos alternativos para determiná-lo. Método 1 (Decompondo) < < ( 4)( + 1) <. Logo, pelo item(iv) do Teorema 1.3 temos que ( 4)( + 1) < ( 4 < e + 1 > ) ou ( 4 > e + 1 < ) ( < 4 e > 1) ou ( > 4 e < 1) 1 < < 4 ou / ( 1,4). Método (Completando Quadrados) < < < ( 4 3 < ) ( 5 ( 4 8 )( + 3 ) ( ) 5 < ( 3 5 )( ) < ) < ( 4)( + 1) <. Assim, trabalhando de forma analoga ao Método 1 acima, temos que ( 4)( + 1) < ( 1,4). Método 3 (Encontrando o quadro de sinais) < < ( + 1)( 4) <. Os valores de para os que ( + 1)( 4) = são = 1 e = 4 (raízes de cada fator). Logo, Figura 1.: Quadro de sinais 13 / 65

25 b. + 1 < Nesta figura observamos que ( + 1)( 4) <, se ( 1, 4). Portanto, C. S. = ( 1,4). Para 1 < temos que = () 4(1)(1) = 16 <. Então, do Caso III item(ii), se segue que + 1 = não tem raízes em R. Portanto, C. S. = /. c Para 4 3 temos que = ( 1) 4(4)( 3) = 49 >, então 4 3 = tem duas raizes reais diferentes: r 1 = ( 1) (4) = = 3 4 e r = ( 1) + (4) = = 8 8 = 1. Portanto, aplicando o item(iii) do Caso II, pois r 1 < r, C. S. = (, 3 4] [ 1,+ ) Inequações Polinomiais Seja o polinômio de grau n: P() = a n n + + a 1 + a onde a, a 1,...,a n são contantes e a n >, n N. Então, as inequações polinomiais numa variável são da forma: P() > ou P() < ou P() ou P(). Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequações são resolvidas de acordo com a natureza das raízes da equação polinomial P() =. Desde que P() tem grau n, então esta equação pode ter no máimo n raízes em R. Vamos denotar cada uma destas raízes por r 1, r,...,r n. Caso I Se P() = tem n raízes diferentes em R, com r 1 < r < < r n 1 < r n, então alternamos o sinal + e nos intervalos consecutivos delimitados por estas raízes, começamos assinando o sinal + ao intervalo mais a direita, isto é, aquele intervalo à direita da raiz r n, veja a figura a seguir: Logo, i. P() > se, e somente, pertence à união dos intervalos abertos com sinal +, isto é: a. Se n é par, então C. S. = (,r 1 ) (r n,+ ); b. Se n é ímpar, então C. S. = (r 1,r ) (r n,+ ); ii. P() < se, e somente se, pertence à união dos intervalos aberots com sinal, isto é: 14 / 65

26 a. Se n é par, então C. S. = (r 1,r ) (r n 1,r n ); b. Se n é ímpar, então C. S. = (,r 1 ) (r n 1,r n ); iii. P() se, e somente, pertence à união dos intervalos fechados com sinal +, isto é: a. Se n é par, então C. S. = (,r 1 ] [r n,+ ); b. Se n é ímpar, então C. S. = [r 1,r ] [r n,+ ); iv. P() se, e somente se, pertence à união dos intervalos fechados com sinal, isto é: a. Se n é par, então C. S. = [r 1,r ] [r n 1,r n ]; b. Se n é ímpar, então C. S. = (,r 1 ] [r n 1,r n ]; Caso II Seja r k uma raiz de P() = com multiplicidade maior ou igual que. Então: i. Se a multiciplicidade de r k é par, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I sem considerar r k para a obtenção dos intervalos que definem o C. S. ii. Se a multiciplicidade de r k é impar, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I considerando r k para a obtenção dos intervalos que definem o C. S. Caso III Se alguma raiz de P() = não é real, então ela não é consideradas na obtenção dos intervalos que definem C. S.. Em outras palavras, o C. S. será obtido seguindo os procedimentos dos casos anteriores com as raízes reais. Eemplo 1.9 Resolvamos as seguintes inequações: a. ( 1) 4 ( + )( + 4) Fazendo P() = ( 1) 4 ( + )( + 4) =, temos que as raízes de P() = são r 1 = 4, r = e r 3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r 3 é 4. Então, aplicando o Caso II item(i), r 3 = 1 não será considerada para a obtenção dos intervalos que definem o C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma P(), podemos aplicar o item iv(a) do Caso I, considerando, somente, as raízes r 1 = 4, r =. Ou seja, pertence à união dos intervalos com sinal ( ). Veja a figura a seguir: Portanto, C.S. = [ 4, ]. b. ( 3) 5 ( + 16)( 16)( 4 + 1) > Desde que: + 16 = e = não tem raízes em R 15 / 65

27 temos que, pelo Caso III, + 16 e não serão consideradas na obtenção dos intervalos que definem C. S. Além disso, Assim, 3 = ( + 3)( 3) e 16 = ( 4)( + 4). ( 3) 5 ( + 16)( 16)( 4 + 1) > ( + 3) 5 ( 3) 5 ( 4)( + 4) >. Fazendo P() = (+ 3) 5 ( 3) 5 ( 4)(+4) =, temos que as raízes de P() = são r 1 = 4, r = 3, r 3 = 3 e r 4 = 4. Note que tanto r como r 3 têm multiciplicidade 5. Do Caso II item(ii) r e r 3 serão consideradas para a obtenção dos intervalos que definem o C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma P() >, podemos aplicar o item(ia) do Caso I, para todas as raízes r 1 = 4, r = 3, r 3 = 3 e r 4 = 4. Ou seja, então pertence à união dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir: Portanto, C.S. = (, 4) ( 3, 3) (4,+ ) Inequações Racionais Sejam os polinômios: P() = a n n + + a 1 + a e Q() = b m m + + b 1 + b onde a, a 1,...,a n,b, b 1,...,b m são contantes, a n > e b m >, n, m N e Q() é um polinômio diferente de zero. Então, as inequações racionais numa variável são da forma: P() Q() > ou P() Q() < ou P() Q() ou P() Q(). Para resolver este tipo de inequações, devemos saber que: i. ii. iii. iv. P() > P()Q() > ; Q() P() < P()Q() < ; Q() P() P()Q() e Q() ; Q() P() P()Q() e Q(). Q() Logo, fazendo ˆP() = P()Q(), procedemos como nos casos anteriores para ˆP() em ordem a obter o C.S. Nota Q() implica que os intervalos que contêm alguma das raízes da equação Q() = devem ser abertos nesses etremos. 16 / 65

28 Eemplo 1.1 Resolvamos a seguinte inequação: a. 4 > + 4 > + Logo, pelo item(i) acima, + ( + )( 4) ( ) < < 4 ( 4) 8 ( 4) < 1 ( 4) >. 1 > ( 4) >. ( 4) Fazendo P() = ( 4), temos que as raízes de P() = são r 1 = e r = 4. Como a inequação é da forma P() >, podemos aplicar o item i(a) do caso I, pois consideraremos todas as raízes. Ou seja, pertence à união dos intervalos com sinal (+), conforme a figura a seguir: Logo, C. S. = (,) (4,+ ). b. ( + ) 1 + ( 1)( + ) ( + ) + 1 ( + ) 1 + ( 1)( + ) ( + ) + 1 ( + ) 1 + ( 1)( + ) ( ( + 1) + ( 1)( 1)( + 1) ( 1))( + ) ( 1)( + 1) Logo, pelo item(iv) acima, ( + 1)( + ) ( 1)( + 1) ( + 1)( + ) ( 1)( + 1). ( + ) + 1 ( + 1)( + )( 1)( + 1) e ( 1)(+1) Desde que + 1 = não tem raízes reais, esta epressão não será considerada para a obtenção de C.S. Assim, ( + 1)( + )( 1)( + 1) e ( 1)( + 1) ( + )( 1)( + 1) e ( 1)( + 1) Fazendo P() = ( + )( 1)( + 1), temos que as raízes de P() = são r 1 =, r = 1, r 3 = e r 4 = 1. Pela nota acima ( 1)( + 1) implica que os intervalos 17 / 65

29 que tenham r = 1, r 3 = e r 4 = 1 devem ser abertos nestes etremos. Desde que a inequação é da forma P(), podemos aplicar o item iii(a) do caso I, pois consideraremos todas as raízes. Ou seja, pertence à união dos intervalos com sinal ( ), veja figura a seguir: Logo, C. S. = [, 1) (,1) Inequações Eponenciais envolvendo Polinômios Sejam f () e g() duas epressões que envolvem polinômios, na variável. Então, as inequações eponenciais envolvendo polinômios numa variável são da forma: onde a >, a 1. a f () > a g() ou a f () < a g() ou a f () a g() ou a f () a g(), Para resolver este tipo de inequação, são considerados dois casos. Caso I Se a > 1, então os epoentes da inequação preservam a mesma ordem, isto é: i. a f () > a g() se, e somente se, f () > g(); ii. a f () < a g() se, e somente se, f () < g(); iii. a f () a g() se, e somente se, f () g(); iv. a f () a g() se, e somente se, f () g(). Caso II Se < a < 1, então os epoentes da inequação invertem a ordem, isto é: i. a f () > a g() se, e somente se, f () < g(); ii. a f () < a g() se, e somente se, f () > g(); iii. a f () a g() se, e somente se, f () g(); iv. a f () a g() se, e somente se, f () g(). Logo, o conjunto solução de cada item é obtido resolvendo esta última inequação, usando os procedimentos vistos nos casos anteriormente. 18 / 65

30 Eemplo 1.11 Resolver as seguintes inequações: a. (5+)/4 > 4 4(+1)/5 (5+)/4 > 4 4(+1)/5 (5+)/4 > ( 4(+1)/5) 1 4 (5+)/4 > 4(+1)/(4 5) (5+)/4 > (+1)/5 Como a inequação é da forma a f () > a g(), com a = > 1, podemos aplicar o item i do caso I, isto é (5+)/4 > (+1)/ Assim, agora precisamos determinar o C.S. de > > Portanto, C.S. = ( 7,+ ) (7 + ) > > > + 1. Desde que 5 5(5 + ) 4( + 1) > 7 + > > 7. b. ((,3) (3+)(+1)) 1 + (,9) ((,3) (3+)(+1)) 1 + (,9) (,3) (3+)(+1) + (,3) (3+)(+1) + (,3) +5. (,9 3 ) +5 Como a inequação é da forma a f () > a g(), com a =,3 < 1, podemos aplicar o item iv do caso II, isto é (,3) (3+)(+1) + (,3) +5 Assim, agora precisamos determinar o C.S. de (3 + )( + 1) (3 + )( + 1) + (3 + )( + 1) + (3 + )( + 1) Desde que + 5 (3 + )( + 1) ( + 5)( + ) + Como 4 8 = ( 3)( + 3), então ( 3)( + 3) + 19 / 65.

31 Pelo item(iv) de Inequações Racionais temos que ( 3)( + 3) + ( 3)( + 3)( + ) e +. Fazendo P() = ( 3)( + 3)( + ), temos que as raízes de P() = são r 1 =, r = 3, r 3 = + 3. Como a inequação é da forma P(), podemos aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, pertence à união dos intervalos com sinal ( ), veja figura a seguir: - 3 Lembre que, pela nota acima, + implica que o intervalos que tenham r 1 = devem ser abertos neste etremo. Portanto, C. S. = (, ) [ 3, + 3] Inequações Irracionais Sejam os polinômios: P() = a n n + + a 1 + a, Q() = b m m + + b 1 + b e R() = c l l + + c 1 + c onde a, a 1,...,a n,b, b 1,...,b m,c, c 1,...,c l são contantes, a n >, b m > e c l >, n, m e l N. Então, os casos particulares das inequações irracionais numa variável, que trabalaremos, são da forma: Caso I Para as inequações da forma: P() > Q(), P() Q(), P() < Q() e P() Q(). Temos as seguintes equivalências: i. ( ) P() > Q() P() e Q() ii. ( ) P() Q() P() e Q() ou ou ( ) P() e P() > Q () ; ( ) P() e P() Q () ; iii. P() < Q() P() e Q() > e P() < Q (); iv. P() Q() P() e Q() e P() Q (). Caso II Para as inequações da forma: P() + Q() >, P() + Q(), P() ± Q() k, k >, P() + Q() < e P() + Q(). Temos as seguintes equivalências: i. P()+ ( ) Q() > P() e Q() > ii. P() + Q() P() e Q() ; ou ( ) P() > e Q() ; / 65

32 iii. P() ± Q() k, k > P() e Q() e P() (k Q()) ; iv. P() + Q() < C.S. = /; v. P() + Q() P() = e Q() =. Caso III Para as inequações da forma: P() Q() > e P() Q() Temos as seguintes equivalências: i. P() Q() > P() e Q() e P() > Q(); ii. P() Q() P() e Q() e P() Q(). Eemplo 1.1 Resolvamos as seguintes inequações: a. < 5 Aplicando o item iii do Caso I, para P() = e Q() = 5, temos que: < 5 e 5 e < (5 ) Logo, b. 8 ( )( + 1) e 5 e < ( )( + 1) e 5 e 9 < 7 ( )( + 1) (, 1] [,+ ); 5 (,5]; 9 < 7 (,3). Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) (, 1] [,+ ) (, 5] (, 3) = (, 1] [,3). Portanto, C.S. = (, 1] [,3). Aplicando o item iv do Caso I, para P() = 8 e Q() =, temos que: 8 8 e e 8 = Logo, 8 e e 8. 8 (,8]; R; 8 [8,+ ). 1 / 65

33 c. + 5 < Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) (, 8] R [8, + ) = {8}. Portanto, C.S. = {8}. Aplicando o item iii do Caso I, para P() = + 5 e Q() =, temos que: Logo, + 5 < + 5 e > e + 5 < = 5 e > e < 5. 5 (, 5]; R; < 5 (5,+ ). Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) (, 5] R ( 5, + ) = / Portanto, C.S. = /. Note que não é necessário fazer as contas acima para obter C.S. = /, pois + 5, pela definição da raiz quadrada, logo, + 5 < é uma inequação não válida. Caso IV Para as inequações da forma: P() n Q() R(), P() n Q() R(), P() R() n Q(), P() R() n Q() e n P() n Q(), com n 1 e impar. Temos as seguintes equivalências: i. ii. iii. iv. P() n Q() R() P() n Q() R() P()Q() R() P()Q() R() ; ; P() R() n Q() P() R()Q() ; P() R() n Q() P() R()Q() ; v. n P() n Q() P() Q(). / 65

34 Nota Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV, porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ou por > ou <, respectivamente. Caso V Para as inequações da forma: P() n Q(), P() n Q(), P() R() n Q(), n P() Q() e com n e par. Temos as seguintes equivalências: P() R() n Q(), n P() n Q(), i. P() n Q() P() e Q() ; ii. P() n Q() P() e Q() ; iii. P() R() n Q() Q() > e P() R() ; P() iv. R() n Q() Q() > e P() R() ; n v. ( ) P() Q() P() e Q() ou ( ) P() e P() Q n () ; vi. n P() Q() P() e Q() e P() Q n (); vii. n P() n Q() P() e Q() e P() Q(). Nota Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V, porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ou por > ou <, nas inequações que envolvam P(), Q() e R(), respectivamente. Eemplo 1.13 Resolvamos as seguintes inequações: a. + 5 ( 4) 7 81 Desde que n = 7 é um número impar, podemos aplicar o item ii do Caso IV, para P() = + 5, Q() = 7 81 e R() = 4. Assim, temos que: + 5 ( 4) ( 4)(81 ) 3 / 65

35 b. Por outro lado, + 5 ( 4)(81 ) + 5 ( 4)(9 )(9 + ) + 5 ( 4)( 9)( + 9) + 5 ( 4)( 9)( + 9) e pelo item(iii) de Inequações Irracionais temos que + 5 (+5)( 4)( 9)( + 9) e ( 4)( 9)(+9). ( 4)( 9)( + 9) Fazendo P() = (+5)( 4)( 9)(+9), temos que as raízes de P() = são r 1 = 9, r = 5, r 3 = 4 e r 4 = 9. Pela nota acima ( 4)( 9)( + 9) implica que os intervalos que tenham r 1 = 9, r 3 = 4 e r 4 = 9 devem ser abertos nestes etremos. Desde que a inequação é da forma P(), podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois consideraremos todas as raízes. Portanto, C.S. = (, 9) [ 5, 4) (9, + ) + 5 ( 4) 6 81 Desde que n = 6 é um número par, podemos aplicar Aplicando o item iii do Caso V, para P() = + 5, Q() = 6 81 e R() = 4, temos que: + 5 ( 4) > e Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que Assim, 81 > e Logo, ( + 5)( 4) e > e ( + 5)( 4) e 4. ( + 9)( 9) < e ( + 5)( 4) e 4. ( + 9)( 9) < ( 9,9); ( + 5)( 4) [ 5,4]; 4 (,4) (4,+ ). Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) ( 9, 9) [ 5, 4] (,4) (4,+ ) = ( 9, 5] (4,9). Portanto, C.S. = ( 9, 5] (4,9). Caso VI Para as inequações da forma: P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () e P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () 4 / 65

36 i. Se n i > e par, para todo i = 1,...,k. Temos as seguintes equivalências: a. P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () Q 1 () > e Q () > e... e Q k () > e P() R() ; b. P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () Q 1 () > e Q () > e... e Q k () > e P() R(). ii. Se n i 1 e impar, para todo i = 1,...,k. Temos as seguintes equivalências: a. b. P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () P() R()Q 1 ()Q ()...Q k () ; P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () P() R()Q 1 ()Q ()...Q k (). iii. Se n i > e par, para todo i = 1,...,l, e n i 1 e impar, para todo i = l + 1,...,k. Temos as seguintes equivalências: a. P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () Q 1 () > e... e Q k () > e P() R()Q l+1 ()...Q k () ; b. P() R() n 1 Q1 () n Q ()... n k Qk () Q 1 () > e... e Q k () > e P() R()Q l+1 ()...Q k (). Nota Caso os n i s dos l primeiros radicais, não sejam pares, reodenamos os n 1 Q1 (), n Q (),..., n k Qk () de tal forma que que isto seja verdadeiro. Eemplo 1.14 Resolvamos as seguintes inequações: a. 4 ( 13) Desde que n 1 = 4, n = e n 3 = 6, ou seja todos pares, podemos aplicar o item i(b) 5 / 65

37 do Caso VI, para P() = 4, Q 1 () = 4 9, Q () = 1, Q 3 () = 6 4 e R() = 13. Assim, temos que: 4 ( 13) > e 1 > e 4 > e Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que Assim, 4 13 ( 4)( 13) e > e 1 > e 4 > e > e 1 > e 4 > e ( 4)( 13) e 13 (+3)( 3) > e > 1 e > 4 e ( )( + )( 13) e 13. Logo, ( + 3)( 3) > (, 3) (3,+ ); > 1 (1,+ ); > 4 (4,+ ); ( )( + )( 13) (, ] [,13]; 13 (,13) (13,+ ) Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, 3) (3, + ) (1, + ) (4, + ) (, ] [, 13] (, 13) (13, + ) = Portanto, C.S. = (3, 13). b. 4 ( 13) Desde que n 1 = 3, n = 9 e n 3 = 5, ou seja todos impares, podemos aplicar o item ii(a) do Caso VI, para P() = 4, Q 1 () = 3 9, Q () = 9 1, Q 3 () = 5 4 e R() = 13. Assim, temos que: 4 ( 13) ( 13)( 9)( 1)( 4) Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que 4 ( 13)( 9)( 1)( 4) ( 4)( 13)( 9)( 1)( 4) e ( 13)( 9)( 1)( 4) ( )( + )( 13)( 3)(+3)( 1)( 4) e ( 13)( 3)(+3)( 1)( 4). Fazendo P() = ( )( + )( 13)( 3)(+3)( 1)( 4), temos que as raízes de P() = são r 1 = 3, r =, r 3 = 1, r 4 =, r 5 = 3, r 6 = 4 e r 7 = 13. Desde que a inequação é da forma P(), pelo item iv(b) do Caso I de Inequações Polinomiais, temos que (, 3) [,1) [,3) [4,13). Portanto, C.S. = (, 3) [,1) [,3) [4,13). 6 / 65

38 c. 4 ( 13) Reescrevendo 4 ( 13) como 4 ( 13) temos que n 1 = 6, n = 4 e n 3 = 7, ou podemos aplicar o item iii(b) do Caso VI, para l = e k = 3 e P() = 4, Q 1 () = 6 1, Q () = 4 4, Q 3 () = 7 9 e R() = 13. Assim, temos que: 4 ( 13) > e 4 > e 4 ( 13)( 9) Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que 4 ( 13)( 9) ( 4)( 13)( 9) e ( 13)( 9). Assim, 1 > e 4 > e 4 ( 13)( 9) 1 > e 4 > e ( 4)( 13)( 9) e ( 13)( 9) > 1 e > 4 e ( )( + )( 13)( + 3)( 3) e ( 13)(+3)( 3). Logo, > 1 (1,+ ); > 4 (4,+ ); ( )( + )( 13)( + 3)( 3) (, 3] [,] [3,13]; ( 13)( + 3)( 3) (, 3) ( 3,3) (3,13) (13,+ ). Assim, pertence à interceção destes intervalos, isto é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, 3) (3, + ) (1, + ) (4, + ) (, ] [, 13] (, 13) (13, + ) = Portanto, C.S. = (4, 13). 1.5 Valor absoluto Definição 1.9 O valor absoluto de um número real, denotado por a, é definido como: a = { a, se a a, se a <. 7 / 65

39 Desde o ponto de vista geométrico a representa a distância entre o ponto da reta real a e a origem. _ a a a a Da mesma forma, a b = b a se interpreta como a distância entre os pontos a e b. b-a = a-b a b Eemplo = 7; = ; 4.3 = 4.3; 53.7 = 53.7 = Teorema 1.4 Sejam a e b R, então: i. a e a = se, e somente se, a = ; ii. ab = a b ; iii. a + b a + b. A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um número real verifica. Teorema 1.5 Sejam a, b e c R, então: i. a = a ; ii. Se b, então a = b se, e somente se, a = b ou a = b; iii. a = b se, e somente se, a = b ou a = b; iv. a = a = a ; v. Se b, então a = a b b ; vi. Se a < c < b, então c < ma{ a, b }; a. Se < a, então a < c < b; b. Se b <, então b < c < a; vii. Se b >, então c < b se, e somente se, b < c < b; viii. Se b, então c b se, e somente se, b c b; i. c > b se, e somente se, c > b ou c < b;. c b se, e somente se, c b ou c b; i. a b se, e somente se, a b e a b ; ii. a < b se, e somente se, a < b e a < b ; iii. a b a b a + b. 8 / 65

40 Eemplo 1.16 Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto: a. 3 5 = 4. Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = 3 5 e b = 4, temos que: 3 5 = = 4 ou 3 5 = 4 = 3 ou = 1 3. Portanto, 1 3 e 3 são raízes de 3 5 = 4. b = 9. Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = e b = 9, temos que: = = 9 ou = = 1 ou 7 4 = 6. Porém pelo item(i) do Teorema 1.4, 7 4, assim e 7 4 = 6 <, é uma igualdade impossível, isto é, 7 4 = 6 não tem raízes. Então, só devemos analisar 7 4 = 1. Novamente, pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = 7 4 e b = 1, temos que: 7 4 = = 1 ou 7 4 = = 4 ou = 4 5 = 4 ou 19 = 4 = 5 4 ou = Portanto, 5 4 e 19 4 são raízes de = 9. c = Denotemos por E() a equação = Para determinar as raízes desta equação, precisamos igualar cada valor absoluto a zero, pois precisamos aplicar a definição do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos =, = 4 e = 1. Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir: Caso 1: Se < 1, então +1 < +1 = 1, < 3 = + e 4 < 5 4 = + 4. Logo, E() é equivalente a = 5 5. Assim, = 19 e 19 (, 1). Caso : Se 1 <, então + 1 < = + 1, 3 < = + e 5 4 < 4 = + 4. Logo, E() é equivalente a = Assim, = 1 e 1 [ 1,). 9 / 65

41 Caso 3: Se < 4, então < = + 1, < = e 4 < 4 = + 4. Logo, E() é equivalente a = Assim, = 5 7, porém 5 7 [,4). Caso 4: Se 4, então = + 1, = e 4 4 = 4. Logo, E() é equivalente a +3 1 = Assim, = 19, porém 19 [4,+ ). Portanto, 19 e 1 são as raízes de = Eemplo 1.17 Resolvamos as seguintes inequações com valor absoluto: a. + 1 < Pelo item(ii) do Teorema 1.5 para a = + 1 e b = temos que: + 1 < ( + 1) < e ( + 1) < Caso 1 Encontremos o C.S. de ( + 1) < Pelo item(i) do {bf Teorema 1.5} para $b=-(+1)$ e $c={ˆ++1}$ temos que: (+1) < > (+1) ou ++1 < ( (+1)) ++1 > 1 ou ++1 < > ou + < Logo, ( + )( + 1) > ou ( + 1) < (, ) ( 1,+ ) C.S.1 = (, ) ( 1,+ ). Caso Encontremos o C.S. de ( + 1) < Novamente, pelo item(i) do {bf Teorema 1.5} para $b=+1$ e $c={ˆ++1}$ temos que: ( + 1) < > ( + 1) ou < ( + 1) + > ou < ( + 1) > ou ( + )( + 1) < Logo, (, 1) (,+ ) C.S. = (, ) ( 1,+ ). Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S. e C.S., isto é, ( ) ( ) (, ) ( 1,+ ) (, 1) (,+ ) = (, ) (,+ ) Portanto, C.S. = (, ) (,+ ). 3 / 65

42 b < Pelo item(vii) do Teorema 1.5 para c = + 3 e b = temos que: < > e (4 + 3) < + 1 < > 3 ( e 4 3 < + 3 ) + 3 e < > 3 ( e < e ) > > 3 ( (4 + 3)( + 1) (4 + 3)( + 1) ( + 3) e < e > 3 ( ( ) ( ) ) ( + 3) e < e > > 3 ( ) e < ( + 3) e > Caso 1 ) > Encontremos o conjunto solução de < Desde que = + 1 não tem raízes reais, então C.S.1 = ( 1,+ ). Caso ( + 3) Encontremos o conjunto solução de >. Daqui, r 1 = 3 + 1, r = 1 e r 3 =, então C.S. = ( 3, 1) (,+ ). Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.1, C.S. e > 3 4, isto é, ( ) ( ( ( 1, + ) 3 ) ) ( (, 1 (,+ ) 3 ) ) 4,+ = (,+ ) Portanto, C.S. = (,+ ) 1.6 Aioma do Supremo Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A R, vejamos alguns conjuntos importantes em R: O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto Se n N, então n é dito de número natural. N = {1,,3,4,...}. 31 / 65

43 O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto Se z Z, então z é dito de número inteiro. Z = {..., 4, 3,, 1,,1,,3,4,...}. O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto Q = Se q Q, então q é dito de número racional. { a b : a Z e b Z, com b }. O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto I = { R : Q}. Se I, então é dito de número irracional. Assim, verifica-se que: Z = N {} N, N Z Q R, R = Q I e Q I = /. Nota a. Entre os números irracionais temos:, 3, 7 4, 7,... π = 3, e =, b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que: Entre dois números racionais eiste um número infinito de números irracionais; Entre dois números irracionais eiste um número enumerável de números racionais. Definição 1.1 Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que: i. A é limitado superiormente se eiste M R tal que M, A. O número M é chamado de limitante superior de A. ii. A é limitado inferiormente se eiste m R tal que m, A. O número m é chamado de limitante inferior de A. 3 / 65

44 iii. A é limitado se eiste L > tal que L, A. Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente. Eemplo 1.18 a. Os conjuntos N e ( 1,+ ) são conjuntos limitados inferiormente, em particular m = 1, m = são limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos não limitados superiormente. b. Os conjuntos (,4] e N são conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M = são limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos não limitados inferiormente. { } c. Os conjuntos 3z : z Z \ {} e { R : 7} são conjuntos limitados, em particular por 4. Definição 1.11 Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que: i. s R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se: a. s é limitante superior de A, isto é, s, A. b. Se b R e b < s, então eiste A tal que b < s. Em outras palavras, o supremo de um conjunto é o menor de seus limitantes superiores. ii. r R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se: a. r é limitante inferior de A, isto é, r, A. b. Se c R e r < c, então eiste A tal que r < c. Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto é o maior de seus limitantes inferiores. Nota Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos são chamados máimo de A, denotado por ma(a), e mínimo de A, denotado por min(a), respectivamente. Eemplo 1.19 Dados os conjuntos temos que: A = ( 1, 9 ] { } 1, B = 4 k : k N e C = { Q : } a. Inf(A) = 1, Sup(A) = 9 = ma(a). Portanto, A é limitado. 4 b. Inf(B) =, Sup(B) = 1 = ma(b). Portanto, B é limitado. 33 / 65

45 c. Inf(C) = = min(c). Porém, C não é limitado superiormente, logo, não tem supremo. Portanto, não é limitado. O aioma a seguir completa os aiomas que definem o sistema dos números reais. Aioma 11 (Aioma do Supremo) Todo subconjunto B / de R e limitado superiormente, possui um supremo s = Sup(B) R. Teorema 1.6 Seja A R com A /. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo. Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele será apenas enunciado. O seguinte princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar várias propriedades referentes aos números inteiros. Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem) Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo. 1.7 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre o conjunto dos Números Reais com o intuito de fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos próimos capítulos. Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os aiomas que regem a adição e multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as principais propriedades da substração e divisão. Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois elementos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suas principais propriedades foram revisadas. Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equações, inequações e valor absoluto, além de terem sido apresentados eemplos ilustrativos. Por último, mas não menos importante, o aioma do supremo e o princípio da boa ordem foram apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente, supremo, ínfimo, máimo e mínimo. No próimo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre funções, já que esta teoria é fundamental para, por eemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais. 1.8 Atividades 1. Encontre M tal que: i. M, R. ii. ( ) M R. iii < M, (,4). iv < M, (,5). 34 / 65

46 v < M, (3,7). vi se < 1. viii < M, se + 1 < 1.. Encontre as raízes reais das seguintes equações: i. 1 4 = ii =. iii. 4 8 =. iv. 4 = v. 1 = Encontre o conjunto solução das seguintes inequações: i. 3 8 < 5. ii. 3 5 >. iii. ( + 6)(4 4 ). iv v >. vi vii. 15 > + 1. viii > i. 4 > < 1. ( i ) Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 35 / 65

47 Capítulo Funções OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real; Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função; Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora; Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composição de funções; Encontrar a inversa de uma função, se ela eistir; Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo às funções definidas no conjunto dos números reais. Ao relacionarmos o espaço em função do tempo a intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade da luz a que ela é eposta; ou uma pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importante é o conceito de função, pois este nos permite compreender as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto, neste capítulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos o capítulo dando a definição formal deste objeto matemático, que é o objetivo de estudo deste capítulo e de todos os outros..1 Funções Em diversas situações, apresentam-se relações que eistem entre um conjunto de objetos e outro conjunto de outros objetos, por eemplo: quando calculamos a área de um círculo, esta depende do raio do círculo; a distância que um objeto viaja a uma velocidade constante ao longo de um percurso depende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade variável, denotada por y, depende do valor de outra quantidade variável, denotada por. Dizemos então que y é uma função de e a escrevemos como y = f (). 36 / 65

48 Entrada f Saída f() Definição.1 Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B, denotada por f : A B, é uma regra que associa um único elemento f () B a cada elemento A. f A f() B Associados a uma função temos os conjuntos: domínio, imagem e gráfico de uma função, e a seguinte definição estabelece estes conceitos. Definição. Seja a função f : A B. Então: i. O domínio da função f é o conjunto { A : f () B}, e é denotado por Dom( f ); isto é, o domínio de f é o subconjunto de A cujos elementos são todos os valores de entrada possíveis da função f. ii. A imagem da função f é o conjunto { f () B : A}, e é denotado por Im( f ); isto é, a imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos são todos os valores de f () conforme varia ao longo do conjunto A. iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da função f é o conjunto {(,y) R R : y = f ()}, e é denotado por Graf( f ). 37 / 65

49 Nota Seja uma função f : A B. a. A notação y = f () (leia-se y é igual a f de ) epressa que y é o valor de f em, neste caso, é denominada variável independente e y variável dependente. b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se Im( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B. c. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variável real. d. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência y = f (), então: i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior subconjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e resulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função. ii. Os valores de para os quais f () = são as coordenadas, para os quais o gráfico de f intersecta o eio. Estes valores são denominados zeros de f, raízes de f () = ou pontos de corte de y = f () com o eio. e. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma função. Por eemplo, como o gráfico de uma função f no plano y é o gráfico da equação y = f (). Os pontos do gráfico são da forma (, f ()), ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada correspondente. Eemplo.1 Para f definida a seguir, determinemos o domínio, a imagem e seu gráfico: a. Sejam A = {1,,3,4}, B = {5,6,7,8,9} e f : A B definida por f () = +. Desde que f (1) = 1 + = 3, f () = + = 4, f (3) = 3 + = 5, f (4) = 4 + = 6, verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são 3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item (a) da figura abaio b. Seja f : R R definida por f () = 1. A função f dada está definida para todo R, eceto = ; assim Dom( f ) = R \ {}. Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y: y = / 65

50 Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação, o gráfico de f (veja o item (b) da figura abaio) sugere que Im( f ) = R \ {}. Para provar isto, resolvamos a equação acima para, em termos de y: y = 1 = 1 y. Agora está evidente que essa epressão está definida para todo y R, eceto para y =. Portanto, Im( f ) = R \ {}. y y y Graf( f ) Graf( f ) Im( f ) Dom( f ) (a) (b) (c) Graf( f ) 6 c. Seja f : (,5] [1,1) definida por f () = ( 3) + 1. Da definição de f temos que Dom( f ) = (,5]. Por outro lado, à medida que varia sobre o intervalo (,5], o valor de ( 3) + 1 varia sobre o intervalo [,9); assim, o valor de f () varia sobre o intervalo [1, 1). Portanto, Im( f ) = [1, 1). Nesse caso, f é uma aplicação de (,5] sobre [1,1) e Im( f ) pode ser escrita como f ((,5]) = [1,1). Veja o item (c) da figura acima. A próima nota nos diz que nem toda curva no plano é o gráfico de uma função. Teste da Reta Vertical Uma relação f : R R com domínio localizado no eio horizontal e a imagem localizada no eio vertical é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no máimo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o item (b) não corresponde a uma função. y y = f () y L P Q R Graf( f ) T S Graf( f ) (a) (b) 39 / 65

51 .1.1 Translações e refleões de uma função Esta seção se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções. Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções relacionadas. Teorema.1 (Testes de simetria) i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eio y se, e somente se, subtituindo-se por em sua equação obtém-se uma equação equivalente; ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eio se, e somente se, subtituindo-se y por y em sua equação obtém-se uma equação equivalente; iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se por e y por y em sua equação obtém-se uma equação equivalente. Esboçando gráficos Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra função já conhecida, y = f (). Seja o gráfico de y = f () apresentado no item (a) da figura abaio. Então o gráfico de: y = f () é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eio. Veja o item (b) da figura abaio; y = f ( ) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eio y. Veja o item (c) da figura abaio; y = f () é obtida transladando a parte do gráfico original que se encontra abaio do eio ( f () < ) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima do eio ( f () ). Veja o item (d) da figura abaio; y y = f () y y = f () y y y = f () f() (a) (b) y = - f () y = f () y = f (- ) (c) y = f () (d) Sejam k > e h >. Então o gráfico de: y = f () + k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima. Veja o item (a) da figura abaio; y = f () k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baio. Veja o item (a) da figura abaio;. y = f ( + h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a esquerda. Veja o item (b) da figura abaio; y = f ( h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a direita. Veja o item (b) da figura abaio; 4 / 65

52 y = f ( h) + k se obtém efetuando uma dupla translação h unidades para a direita horizontalmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaio. y y = f () + k y = f () y y = f (+h) y = f (-h) y y = f ( - h) + k k k h h k h y = f () (a) y = f () - k y = f () (b) (c) Eemplo. Dadas as seguintes funções: a. f () = ; b. f () = ; c. h() = + 1; d. i() = ( + 1) ; e. j() = ( 1) ; f. k() =. Nas figuras abaio encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas. y y y y = + 1 y = y = 1 y = y = - (a) (b) (c) y y y y = ( +1) y = y = y = y = ( -1) - - y = - (d) (e) (f) 41 / 65

53 .1. Funções comuns Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo. Função linear É a função definida por f () = m + b, onde m e b são constantes. O domínio da função linear é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta com coeficiente angular, ou inclinação, m que intersecta o eio em (,b); veja o item (a) da figura abaio. Casos particulares a. Quando b =, a função f () = m passa pela origem; no item (b) da figura abaio vemos a ilustração destas retas, para valores diferentes de m. b. Quando m = 1 e b =, a função f () = é chamada de função identidade, também denotada por Id(), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante; veja o item (c) da figura abaio. c. Quando m =, a função f () = b é chamada de função constante e, nesse caso, Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaio. y y = m + b y = - 4 y = - y y = y = 3 y = 5 y y = y b y = b Dom( f ) = R Im( f ) = R (a) (b) (c) (d) Dom( f ) = R Im( f ) = {b} Função valor absoluto É a função definida por f () =, R. Da definição de valor absoluto, temos: = = {, se ;, se <. O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [,+ ); veja o item (a) da figura abaio. Função raiz quadrada É a função definida por f () =,. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) = [,+ ) e sua imagem é Im( f ) = [,+ ); veja o item (b) da figura abaio. Função raiz cúbica É a função definida por f () = 3, R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaio. 4 / 65

54 y y y y = y = y = 3 Dom( f ) = R Dom( f ) = [, + ) Dom( f ) = Im( f ) = [, + ) Im( f ) = [, + ) Im( f ) = (a) (b) (c) 8 Função polinomial de grau n É a função definida por f () = a n +a 1 n 1 + +a n, R, onde a,a 1,...,a n são constantes reais, a e n N {}. O domínio da função polinomial é Dom( f ) = R, porém, sua imagem depende de n. Casos particulares a. f () = n, n N: i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [,+ ), seu gráfico é simétrico em relação ao eio y com formato geral de uma parábola, y =, embora não sejam realmente consideradas assim quando n >, e cada gráfico passa pelos pontos ( 1,1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaio. ii. Se n é ímpar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem com formato geral de uma cúbica y = 3, e cada gráfico passa pelos pontos ( 1, 1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaio. iii. Quando n cresce, no intervalo ( 1,1) os gráficos ficam mais achatados e nos intervalos (, 1) e (1,+ ) cada vez mais próimos ao eio y; b. Função quadrática ou função polinomial de ( grau: f () = a + b + c, a. O gráfico desta função é uma parábola de vértice b ) b,c. a 4a ) i. Se a >, a parábola se abre para cima e Im( f ) = [c b 4a,+ ; veja o item (c) da figura abaio. 8 8 ii. se a <, a parábola se abre para baio e Im( f ) = da figura abaio. R R ] (,c b ; veja o item (d) 4a iii. O valor máimo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f c b é o valor máimo ou mínimo da função. 4a ( b ) = a y = 6 y = 4 y = y (a) Dom( f) = R Im( f) = [, + ) 8 y = 7 y = 5 y = 3 y (b) Dom( f) = R Im( f) = R c y b 4a (c) b a c y b 4a (d) b a 43 / 65

55 Função racional É a função definida por f () = a n + a 1 n a n b m + b 1 m b m, R. Esta função é o quociente dos polinômios P() = a n + a 1 n a n e Q() = b m + b 1 m 1 + +b m, onde a,a 1,...,a n,b,b 1,...,b m são constantes reais, a,b e n,m N {}. O domínio da função racional é Dom( f ) = { R : Q() } R \ { R : Q() = }. Casos particulares a. f () = 1 n, n N: i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {}, sua imagem é Im( f ) = R \ {}, seu gráfico é semelhante ao gráfico de y = 1 e cada gráfico passa pelos pontos ( 1, 1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaio; ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {}, sua imagem é Im( f ) = [,+ ) e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y = 1, e cada gráfico passa pelos pontos ( 1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaio; iii. O fato de / Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto no Capítulo 4; iv. Quando n cresce, nos intervalos (, 1) e (1,+ ), os gráficos ficam mais achatados e nos intervalos ( 1,) e (,1) cada vez mais próimos ao eio y: b. f () = n, n N: i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R\{ 1}, sua imagem é Im( f ) = R \ {} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (c) da figura abaio; ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (,1] e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da figura abaio. y y y y y = 1 y = Dom( f) = R\ {} Im( f) = R\ {} Dom( f) = R\ {} Im( f) = [, + ) 8 Dom( f) = R\ {- 1} Im( f) = R\ {} Dom( f) = R Im( f) = (, 1] (a) (b) (c) (d) Função algébrica É qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão ou etração de raízes). Todas as funções racionais são algébricas, porém eistem outras funções mais compleas inclusas nesse conjunto. Os gráficos desse tipo de função variam amplamente e, assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas, veja os itens (a), (b) e (c) da figura abaio. 44 / 65

56 y y y 4 y = (1 - ) / y = 3 1/3 (+ ) y = /3 (+) Dom( f ) = R Im( f ) = R Dom( f ) = R 3 Im( f) = - 9 4, + 4 [ ) Dom( f ) = R Im( f ) = [, + ) 8 (a) (b) (c) Função trigonométrica Eistem 6 funções básicas trigonométricas, sen(), cos(), tg(), sec(), cossec() e cotg(). Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaio nos itens (a) e (b), respectivamente. y 1 y = sen() y 1 y = cos() 3-1 (a) 3 3 Dom( f ) = R Im( f ) = [-1, 1] (b) -1 3 Função eponencial É da forma f () = a, onde a base a > é uma constante positiva e a 1. Em todos os casos, o domínio é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = (, + ). Os gráficos para as bases, 3, 5, 7 são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaio. y = 5 - y = 3 - y = - y = 7 - y 1 y 1 y = 7 y = 5 y = 3 y = y 1 y = log y = log 3 y = log 5 y = log 7 (a) Dom( f ) = R Im( f) = (,+ ) 8 (b) (c) Dom( f) = (,+ ) Im( f) = R 8 Função logarítmica É da forma f () = log a, onde a base a > é uma constante positiva e a 1. Esta função é a inversa das funções eponenciais. Em todos os casos, o domínio é Dom( f ) = (,+ ) e sua imagem é Im( f ) = R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica para a =, 3, 5, / 65

57 Função sinal É denotada por sgn(), R, leia-se sinal de e está definida por sgn() = 1, se < ;, se = ; 1, se >. O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = { 1,,1}. Seu gráfico é apresentado no item (a) da figura abaio. y y y = sgn() y = Dom( f ) = R Im( f ) = {-1,, 1} (a) (b) - -3 Dom( f ) = Im( f ) = R Função maior inteiro É denotada por, R, leia-se maior inteiro de e está definida por = n se, e somente se, n < n + 1, n Z Isto é, representa o maior número inteiro que não supera. O domínio da função maior inteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) da figura acima. Propriedades da função maior inteiro a. 1 <, R; b. Se n Z + n = + n, R; c. Se f () = a, com a, a longitude do intervalo onde a função permanece constante é l = 1 a. Eemplo.3 Dada a função maior inteiro : a. Se = 3,1415 = 3; b. Se = 3 = 3; c. Se = 1,5 = ; d. Se [, 1) = ; e. Se [ 1,) = 1; f. Se [,1) = ; g. Se [1,) = / 65

58 Eemplo.4 Esbocemos os gráficos das seguintes funções: a. f () = 3 b. f () = Pela definição, 3 = n n 3 < n + 1 n 3 < n O gráfico desta função é 3 apresentado no item (a) da figura abaio. A amplitude do intervalo onde a função permanece constante é l = Pela definição, = n n < n + 1 3n 3 < 3n. O gráfico desta 3 3 função é apresentado no item (b) da figura abaio. A amplitude do intervalo onde a função é constante é l = 1 1 = 3. 3 y y = 3 y y = (a) -3 (b).1.3 Função par e função ímpar Definição.3 i. Uma função f : R R é chamada par se para todo Dom( f ) se verifica Dom( f ) e f ( ) = f (). 47 / 65

59 y y y y y = y = n y = 1 n 1 y = 1 n +1 Dom( f) = R Im( f) = [, + ) 8 Dom( f) = R\ {} Im( f) = [, + ) 8 Dom( f) = R Im( f) = (, 1] Figura.1: Em todos os gráficos de funções pares n é par. ii. Uma função f : R R é chamada ímpar se para todo Dom( f ) se verifica Dom( f ) e f ( ) = f (). y y y = n y y y = Dom( f) = R Im( f) = R y = 1 n Dom( f) = R\ {} Im( f) = R\ {} y = n Dom( f) = R Im( f) = R Figura.: Em todos os gráficos de funções ímpares n é ímpar. Nota a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eio y, uma vez que f ( ) = f (), um ponto (,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (,y) estiver no gráfico. Uma refleão através do eio y não altera o gráfico; b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f ( ) = f (), um ponto (,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (, y) estiver no gráfico..1.4 Função periódica Definição.4 Uma função f : R R é dita periódica se eiste um número real t tal que para todo Dom( f ) se verifica: i. +t Dom( f ); ii. f ( +t) = f (). O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados é denominado de período de f. 48 / 65

60 Eemplo.5 As seguintes funções são periódicas: a. f () =, R. De fato, notamos que f (+1) = (+1) + 1 = +1 ( +1) = = f () e desde que não eiste outro número real t tal que < t < 1 e que seja o período de f, assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaio. y 1 f() = y 1 f() = sen() (a) Dom( f ) = R Im( f ) = [, 1] (b) b. f () = sen(), R. Afirmamos que o período de f é t = π. De fato, f ( + π) = sen( + π) = sen() = sen() = f (); veja o item (b) da figura acima..1.5 Função crescente e função decrescente Definição.5 Seja f uma função definida em um intervalo I e 1 e dois pontos em I. i. Se f ( ) > f ( 1 ) sempre que 1 <, então dizemos que f é crescente em I; veja o item (a) da figura abaio. y y f( ) f( 1 ) f( 1 ) f( ) a I 1 b a 1 ii. Se f ( ) < f ( 1 ) sempre que 1 <, então dizemos que f é decrescente em I; veja o item (b) da figura acima. I b Nota Uma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é descendente, em ambos casos, da esquerda para a direita. 49 / 65

61 Eemplo.6 A função f () = 4, veja gráfico abaio, é crecente nos intervalos [,] e [,+ ), e decrescente nos intervalos (, ] e [,]. y 4 f() = Função definida por partes Definição.6 Uma função f : R R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partes diferentes de seu domínio. f () = f 1 (), se I 1 ; f (), se I ;.. f n (), se I n ; onde I i Dom( f i ), i, Dom( f ) = n i=1 I i e I i I j = /, i, j {1,,...,n}, i j. Eemplo.7 A função ( + 1) + 1, se (, 1);, se [ 1,1); f () = 1, se [1,π); cos(), se [π,+ ); é definida por partes, com Dom( f ) = (, 1) [ 1,1) [1,π) [π,+ ) = R, e na figura abaio podemos ver seu gráfico. y 1 f() π 5 / 65

62 . Função injetora, sobrejetora e bijetora Nesta seção, apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Definição.7 Seja f : A B uma função. Diz-se que: i. f é injetora se f ( 1 ) = f ( ), implica que 1 = para todo 1, Dom( f ). Ou equivalentemente, 1, Dom( f ), com 1, temos que f ( 1 ) f ( ). ii. f é sobrejetora ou sobre se para todo y B eiste A tal que f () = y. Em outras palavras, f : A B é sobrejetora se Im( f ) = B. iii. f é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora. Nota a. A função injetora também é conhecida como função univalente ou um a um, já que eiste uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem. b. Geometricamente, uma função definida por y = f () é injetora se, ao traçar retas paralelas ao eio, essas intersectam o seu gráfico em não mais de um ponto; veja figura a seguir. y y Eemplo.8 a. A função f : R R definida por f () = 3 +, é injetora. De fato, se f ( 1 ) = f ( ) = = 3 1 =. Além disso, f é sobrejetora desde que se y R, eiste = y ( ) ( ) y y tal que f () = f = 3 + = y. Portanto, podemos concluir que f é bijetora. b. A função f : R [,+ ) definida por f () = é sobrejetora pois Im( f ) = [,+ ). Porém, não é injetora, pois 1 = e = geram a mesma imagem, isto é, f ( ) = 4 = f (). Portanto, f não é bijetora. 51 / 65

63 ..1 Operações com funções Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo de operações entre funções, produzindo outras novas. Definição.8 Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se que f e g são iguais se: i. Dom( f ) = Dom(g); ii. f () = g(), Dom( f ) = Dom(g). Eemplo.9 As funções a. f () = e g() = (6 4 3 ) são iguais desde que Dom( f ) = Dom(g) = R e f () = g(). b. f () = ( )( 5) e g() = 5 são diferentes, pois Dom( f ) = (,] [5, + ) e Dom(g) = [5, + ), ou seja, Dom( f ) Dom(g). Definição.9 Sejam f e g duas funções reais de variável real com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectivamente. Define-se: A função soma A função diferença A função produto ( f + g)() := f () + g(), Dom( f + g) = Dom( f ) Dom(g). ( f g)() := f () g(), Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g). ( f g)() := f () g(), Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g). A função quociente ( ) f () := f () g g(), A função valor absoluto ( ) f Dom = Dom( f ) (Dom(g) \ { : g() = }). g f () := f (), Dom( f ) = Dom( f ). A função produto de uma constante por uma função (c f )() := c f (), Dom(c f ) = Dom( f ), onde c R é uma constante real. 5 / 65

64 Eemplo.1 Sejam f () = 9 e g() = Caculemos os domínios: 1 4. Encontremos as regras de correspondência das funções: f + g, f g, f g, 8g, ( ) f, g. g Dom( f ) = { R : 9 } = [ 3,3]; Dom(g) = { R : 14 } ( =, 1 ] [ ) 1,+ ; [ Dom( f ) Dom(g) = 3, 1 ] [ ] 1,3 a. ( f + g)() = f () + g() = , [ 3, 1 ] [ 1,3]; b. ( f g)() = f () g() = 9 1 4, [ 3, 1 ] [ 1,3]; c. ( f g)() = f () g() = 9 1 4, [ 3, 1 ] [ 1,3]; d. ( 8g)() = 8g() = 8 1 4, (, 1 ] [ 1,+ ); ( ) f e. () = f () 9 g g() =, [ 3, ) ( 1,3]; f. g () = g() = 1 4 = 1 4, (, 1 ] [ 1,+ )..3 Composição de funções A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analóga direta na aritmética usual. Definição.1 Sejam f : A B e g : B C duas funções reais tais que Im( f ) Dom(g) /. A composição de g com f, denotada por g f, é a função g f : A C definida por: (g f )() := g( f ()). O domínio da função composta g f é dado por Dom(g f ) = { R : Dom( f ) e f () Dom(g)}. Na seguinte figura, ilustramos a função composta g f 53 / 65

65 f g A B C Dom( f ) Dom( g ) g f f (g()) Nota Falando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação de substituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede. Eemplo.11 Sejam as funções f () = 6 e g() =. Encontremos g f e f g. a. (g f )() = g( f ()) = g( 6) = 6, logo, o domínio da g f é Dom(g f ) = { R : Dom( f ) e f () Dom(g)} = { R : R e 6 } = [3, + ) b. ( f g)() = f (g()) = f ( ) = 6, logo, o domínio da f g é Dom( f g) = { R : Dom(g) e g() Dom( f )} = { R : e R} = [, + ) A seguinte figura ilustra cada uma destas composições. y y (g f )() = (f g )() = Nota Deste eemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é, g f e f g, em geral, são diferentes. 54 / 65

66 Eemplo.1 Sejam as funções Encontremos f g. f () = { se < 1; 3 se ; g() = Neste caso cada uma das funções é definida por partes: f () = { f1 () se Dom( f 1 ); f () se Dom( f ); g() = { se < ; se 4. { g1 () se Dom(g 1 ); g () se Dom(g ). Logo, o domínio de f g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f 1, f, g 1 e g, isto é: a. f 1 g 1 : Dom( f 1 g 1 ) = { R : Dom(g 1 ) e g 1 () Dom( f 1 )} = { R : (,) e (,1)} = { R : (,) e ( 1,+ )} = ( 1, ) Então, ( f g)() = f 1 (g 1 ()) = f 1 ( ) =, ( 1,). b. f 1 g : Dom( f 1 g ) = { R : Dom(g ) e g () Dom( f 1 )} = { R : [4,+ ) e (,1)} = { R : [4,+ ) e (, 1 } ) = / Portanto, neste caso a composição f 1 g não esta definida. c. f g 1 : Dom( f g 1 ) = { R : Dom(g 1 ) e g 1 () Dom( f )} = { R : (,) e [,+ )} = { R : (,) e (, ]} = (, ) Então, ( f g)() = f (g 1 ()) = f ( ) = 3, (, ). d. f g : Dom( f g ) = { R : Dom(g ) e g () Dom( f )} = { R : [4,+ ) e [,+ )} = { R : [4,+ ) e [1,+ )} = [4, + ) Então, ( f g)() = f (g ()) = f 1 () = 8 3, [4,+ ). Portanto,, se (, ); ( f g)() = 3, se ( 1,); 8 3, se [4,+ ). 55 / 65

67 Propriedades da composição de funções Sejam f,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Então se verifica que: a. ( f g) h = f (g h) b. f Id = f = Id f c. ( f + g) h = f h + g h d. ( f g) h = f h g h e. f g) h = ( f h) (g h) ( ) f f. h = f h g g h.4 Função inversa Dada uma função f : A B, gostaríamos de saber como o efeito de uma função pode ser invertido para enviar o resultado de volta e obter o valor de onde veio. Nossa resposta seria: se f () = y, então = f 1 (y), mas não necessariamente sempre obtemos uma função. De fato, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetora ou f não é injetora. Se f não é injetora, eistem pelo menos dois elementos 1, A tais que: f ( 1 ) = y e f ( ) = y então 1 = f 1 (y) e = f 1 (y). Portanto, a (relação) inversa de f, f 1, não é uma função de B em A. Se f : A B é injetora, então a inversa f 1 : B A é uma função injetora e é chamada de função inversa de f Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaio, respectivamente. No item (c) é apresentada a interpretação da função inversa. A f B A f B A f B 1 y 1 f -1 (a) f -1 y 1 y f -1 (y) = y = f() (b) f -1 (c) Propriedades da função inversa Seja f uma função. Então: 56 / 65

68 a. f tem inversa se, e somente se, f for injetora; b. Se f 1, a inversa de f, eiste. Então: i. Dom( f 1 ) = Im( f ); ii. Im( f 1 ) = Dom( f ); iii. ( f 1 f )() =, Dom( f ); iv. ( f f 1 )(y) = y, y Dom( f 1 ); v. os gráficos de y = f () e y = f 1 () são simétricos com respeito à reta L : y = ; veja o item (a) da figura abaio. c. Sejam as funções f e g injetoras. Se eiste g f, então (g f ) 1 = f 1 g 1. y y = f () L: =y y L: =y y = f -1 () y = f () y = f -1 () (a) (b) Nota Seja f uma função real definida por y = f () a qual tem função inversa f 1. Para encontrar a regra de correspondência da f 1, colocamos em evidência em termos da variável y. Assim, obtemos = f 1 (y); porém a convenção de representar a variável independente por e a variável dependente por y, faz com que escrevamos f 1 em função de, isto é, trocando as variáveis e y em = f 1 (y), para obter y = f 1 (). Eemplo.13 Encontremos a função inversa da função f () = 5 3, se [, 6]. Verificamos que f ( 1 ) = f ( ) = =, assim, f é injetora. Por outro lado, desde que y = f (), então y = 5 3, [, 6]. Pondo em evidência a variável obtemos que = y + 3, para [,6], logo, determinamos a variação da variável y 5 = y [,6] y y y 7 y [ 3,7] Assim, = y , para y [ 3,7], permutamos por y, isto é, y =, para [ 3,7]. 5 5 Portanto, f 1 () = + 3, para [ 3,7]. 5 No item (b) da figura acima podemos ver os gráficos de f e f / 65

69 .5 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos o importante conceito de função com o intuito de fazer com que o aluno determine com precisão o domínio, a imagem e o gráfico de uma função real dada; estes conceitos também foram abordados e foram apresentados diversos eemplos ilustrando esses tópicos. Nas seções subsequentes, apresentamos alguns casos particulares de funções, com as quais vamos a lidar no decorrer deste livro, assim como as operações aritméticas e composições que as envolvem. Por último, e não menos importante, a teoria sobre a inversa de uma função foi apresentada. No próimo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre limites, o qual nos permitirá definir com prescisão a noção de continuidade, a qual é uma das ideias mais importantes e mais fascinates de toda a matemática..6 Atividades 1. Seja f a função definida por: i. f () = ii. f () = + 1. iii. f () = iv. f () = 5 Em cada caso, calcule f (), f ( ), f ( 1 3 ).. Se f () = a + b é tal que f (3) = 1 e f ( 3) = 6, encontre f (). 3. Sejam f e g funções definidas por:, se ; 1, se =. Encontre Dom(g). f () = { 1, se 1,, se 1 < ; e g() = f () + f ( ). 4. Sejam f e g funções definidas por: Encontre ( f + g)(), { f () =, se < 1, se 1. ( f g 5. Seja f : Dom( f ) [,1] definida por: e g() = ) () e esboce seus respectivos gráficos. { 1, se, se <. i. f () =. ii. f () = +. iii. f () = 1 3. Em cada caso, determine Dom( f ). 6. Seja f : Dom( f ) (,6] definida por f () = Determine Dom( f ), e verifique se f é injetora e sobrejetora. 58 / 65

70 7. Determine Dom( f ) das seguintes funções: i. f () = 3. ii. f () = 3. iii. f () = Seja a função f definida por: 4 i. f () =, se ; 3, se =. iii. f () = ( 1) 3, se < ; 1, se 3;, caso contrário. ii. f () = { 4, se < 3; 5, se 3. iv f () = ( ). Em cada caso esboce o gráfico de f, determine Dom( f ) e Im( f ). 9. Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares: i. f () = 3 +. ii. f () = + 4. iii. f () =. iv. f () = Sejam f () = 3 + e g() = + a, determine o valor de a tal que ( f g)(3) = (g f )(a 1). 11. Sejam f e g duas funções, determine f () se: i. g() = 1 e f (g()) = 1. ii. g() = + 3 e f (g()) = Sejam f e g funções definidas por: f () = Encontre ( f g)(). { +, se 1 1, se > 1. e g() = {, se < 1, se. 13. Se f () = + c e f (c) = f 1 (c ), determine o valor de: i. f () f 1 (). ii. f (1) f 1 (1). 14. Dada a função f () = 9 4,. i. Prove que f é injetora. ii. Determine a função f 1. iii. Determine Dom( f 1 ). 15. Determine a função inversa, caso ela eista, das seguintes funções: i. f () = 4, (, ). ii. f () =, [,1]. 59 / 65

71 16. Sejam as funções definidas por: f () = , se e ; g() = 4 16, se [,4]; h() = + 1, se [ 1,+ ); i() = 1, se [1,+ ). i. Determine: a. ( f g) 1 e Dom ( ( f g) 1). b. h 1 ( f g) 1 e Dom ( h 1 ( f g) 1). c. i ( f g) 1 e Dom ( i ( f g) 1). d. i ( f g) 1 e Dom ( i ( f g) 1). ii. Verifique se h ( f g) 1 é injetora. iii. Esboce o gráfico de ( f g) 1. Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 6 / 65

72 Capítulo 3 Limites OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Interpretar geometricamente a definição de limite de uma função; Interpretar adequadamente a propriedade de unicidade do limite; Determinar o valor de limites de funções elementares; Conhecer as indeterminações da forma,, entre outras; Aplicar os teoremas sobre limites de funções na resolução dos eercícios. 3.1 Introdução Neste capítulo, trataremos a teoria dos limites de uma função, uma das ideias mais importantes e fascinantes da Matemática, a qual é indispensável conhecer por ser um dos pilares dos conceitos de continuidade, derivada, integral, etc. 3. Vizinhança Embora a definição de vizinhança, no sentido topológico, seja muito abstrata, é necessário ter alguma noção sobre este conceito. Neste livro, o espaço em que trabalhamos é R, portanto, a seguinte definição é suficiente para cumprir nossos objetivos. Definição 3.1 Dados a, δ, δ 1, δ R, com δ, δ 1, δ > : i. Chama-se vizinhança aberta do ponto a ao intervalo (a δ 1,a + δ ); ii. Chama-se bola aberta de centro a e raio δ ao intervalo (a δ,a + δ); iii. A bola aberta de centro a e raio δ é denotada por B(a;δ), isto é, B(a;δ) = (a δ,a + δ). 61 / 65

73 Nota Toda bola aberta é uma vizinhança, a recíproca não necessariamente é verdade. O item (a) da figura a seguir ilustra uma vizinhança, enquanto que o item (b) ilustra uma bola de centro a e raio δ. Eemplo 3.1 a. Os intervalos seguintes são vizinhanças abertas do ponto a = 5: (5 3,5+) = (,7), δ 1 = 3 e δ = ; (5 13 ) ( ) 14,5 + 4 = 3,9, δ 1 = 1 3 e δ = 4. b. Os intervalos seguintes são bolas abertas do ponto a = 5: ( B(5;) = (5,5+) = (3,7), δ =, B 5; 1 ) ( = ,5 + 1 ) ( 14 = 3 3, 16 ), δ = Propriedades das vizinhanças Dados a, δ, δ 1, δ R, com δ, δ 1, δ >, verifica-se que: a. B(a;δ) = { R : a < δ}; b. A interseção de duas vizinhanças de centro a é uma vizinhança de centro a, ou seja: onde δ = min{δ 1,δ }. B(a;δ 1 ) B(a;δ ) = B(a;δ) 3.3 Limites de uma função Antes de definir o conceito de limite, apresentaremos a noção intuitiva do mesmo no eemplo abaio. 6 / 65

74 Eemplo 3. Sejam as funções f e g definidas pelas regras de correspondências: { f () = + 1, se 1 e g() = + 1 se 1; 3 se = 1. Das respectivas definições, observamos que para = 1, f () não está definida, ou seja, f (1) não eiste, enquanto que g(1) = 3. Porém, o comportamento de ambas funções é eatamente o mesmo numa vizinhança de 1 ecluindo o ponto 1 dessa vizinhança, e pode ser descrito da seguinte forma: Para valores de próimos a 1, com 1, os valores de f () e g() se aproimam do número L =. No caso de f, dizemos que é o limite de f () quando tende (ou se aproima) a 1; De forma semelhante, no caso de g, dizemos que é o limite de g() quando tende a 1. Notamos que o limite de f, quando tende a 1, não depende de f (1), pois este valor não eiste, e sim dos valores que a função f toma quando está próimo de 1. Definição 3. Sejam f : R R uma função, L R e a um ponto que não, necessariamente, pertence a Dom( f ), porém, toda vizinhança de a contém pontos de Dom( f ). Se para cada ε > é possível encontrar um δ > que depende de a e ε, tal que Dom( f ), a e < a < δ f () L < ε, então diz-se que f se aproima do limite L quando se aproima de a, e escreve-se: lim f () = L, a leia-se L é o limite de f () quando tende a a ou o limite de f quando tende a a é L. Nota a. A definição acima pode ser reescrita usando a notação de vizinhanças: lim a f () = L, se e somente se, ε >, δ > tal que Dom( f ) B(a;δ), a f () B(L;ε); b. O conceito de limite implica na ideia de f () poder ser tão próimo de L quanto quizermos sempre que for escolhido suficientemente próimo de a. 63 / 65

75 Eemplo 3.3 Seja f () = 4 5. Se lim f () = 3. Quão próimo de deve estar para que f () 3 <,1? Fazendo ε =,1, queremos que f () 3 < ε. Para encontrar um δ adequado, notamos que f () 3 = = 4 <,1. Dessa última desigualdade, obtemos que <,5. Portanto, se está distante de em menos de,5, então f () está distante de 3 em menos de,1. Passos para determinar um δ para dados f, L, a e ε > Os passos para determinar um δ tal que para todo são: < a < δ f () L < ε 1. Decompor o termo f () L numa epressão onde apareça o termo a, isto é, f () L = a g() ;. Encontrar um δ 1 >, valor inicial para δ, com o intuito de limitar a epressão g(), isto é, i. Se < a < δ 1, então, ii. Se a < ε K, então, < a < δ 1 K > : g() < K; f () L = a g() < a K; { 3. Fazer δ = min δ 1, ε }. K a K < ε f () L < ε; Portanto, < a < δ implica que f () L = a g() < ε, o que prova que lim f () = L. a 64 / 65

76 Algumas recomendações a. Ao considerar valores para δ 1, tais que < a < δ 1 : i. podemos considerar δ 1 = 1 ou números menores. ii. devemos verificar que g() eista (a δ 1,a + δ 1 ). b. Ao limitar g(), dado δ 1, devemos lembrar algumas propriedades de desigualdades e valor absoluto: i. se < a < δ 1, então a δ 1 < < a + δ 1 ; ii. se a < y < b, então y < ma{ a, b }; iii. se a < y < b, então y < k onde k = ma{ a, b }; c. Dados < δ < δ. Se δ verifica a definição de limite, então δ também verifica a definição de limite. Eemplo 3.4 a. Se f () = 5 +, provemos que lim 3 f () = 5. Dado ε >, devemos encontrar um δ tal que < 3 < δ f () 5 < ε. Dos passos passos estabelecidos acima, temos que: f () 5 = = 5 3 = Para δ 1 = 1, busquemos K > : < 3 < < K. De fato: 3 < 1 < < 4 4 < < 8 5 < + 1 < < 9, multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela epressão 3 obtemos: < 9 3. Logo, deduzimos que 9 3 < ε quando 3 < ε. Em resumo, dado ε >, δ = { 9 min 1, ε } tal que 9 Portanto, lim 3 f () = 5. < 3 < δ f () 5 = < 9 3 < ε. b. Se f () = + 3, provemos que lim f () = / 65

77 Dado ε >, devemos encontrar um δ tal que: < 5 < δ f () 4 < ε. De forma análoga ao eemplo do item anterior, temos que f () 4 = = 3( 5) 3 Por outro lado, se consideramos δ 1 = 1 obtemos = < 5 < 1 4 < < 6 1 < 3 < < 1 3 < < 1. Multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela epressão 3 5 obtemos: Em resumo, dado ε >, δ = min < 3 5 < ε 5 < ε 3. { 1, ε } tal que 3 5 < 5 < δ f () 4 = 3 3 < 3 5 < 3ε 3 = ε. Portanto, lim 5 f () = Propriedades dos limites A primeira propriedade que apresentamos é uma das mais utilizadas dos números reais. Propriedade 3.1 Seja R. Se < ε para todo ε >, então =. Na sequência, os resultados apresentados são importantes para o domínio da teoria dos limites. Teorema 3.1 (Unicidade do limite) Se o limite de uma função eiste, então este limite é único. Em outras palavras, se eistem L 1 e L R tal que: então L 1 = L. lim f () = L 1 e lim f () = L, a a É natural esperar que sejam verificados os seguintes resultados: Teorema 3. (Teorema da comparação) Sejam f e g duas funções tais que: 66 / 65

78 i. f () g(), B(a;δ) com a; ii. lim a f () = L e lim a g() = M. Então, L M, isto é, lim a f () lim a g(). O teorema seguinte é uma consequência do Teorema da comparação. Teorema 3.3 (Teorema do confronto) Sejam f, g e h três funções tais que: i. f () g() h(), B(a;δ), com a; ii. lim a f () = lim a h() = L. Então, lim a g() = L. Teorema 3.4 Sejam f e g duas funções tais que: i. lim a f () = ; ii. Eiste M > tal que g() < M, B(a;δ), com a. Então, lim a f ()g() =. 3.5 Leis do limite Para calcular limites de funções que são combinações aritméticas de funções que pussuem limites conhecidos, podemos utilizar as seguintes regras simples. Teorema 3.5 Sejam c R uma constante, f e g duas funções tais que lim a f () = L e lim a g() = M, então: i. lim a c = c; ii. Regra da soma: iii. Regra da diferença: lim ( f () + g()) = lim a a lim ( f () g()) = lim a a iv. Regra da multiplicação por uma constante: f () + lim g() = L + M; a f () lim g() = L M; a ( ) lim (c f ()) = c lim f () = cl; a a 67 / 65

79 v. Regra do produto: vi. Regra do quociente: Se M, então lim ( f () g()) = lim a a f () lim g() = L M; a lim a 1 g() = 1 lim g() = 1 M e lim f () a a Os seguintes corolários são consequências diretas do teorema anterior. Corolário 3.1 Se lim a f i () = L i, para i = 1,,...,n, então: i. lim a ( f 1 () + f () f n ()) = L 1 + L L n ; ii. lim a ( f 1 () f ()... f n ()) = L 1 L... L n. lim f () g() = a lim g() = L M. a Corolário 3. Se lim a f () = L e n Z, então [ ] n lim [ f a ()]n = lim f () = L n. a Se n, então para que lim a [ f ()] n eista, L deve ser diferente de zero. Corolário 3.3 Se f () = b n + b 1 n b n, onde b, b 1,..., b n são constantes, então: lim (b n + b 1 n b n ) = b a n + b 1 a n b n = f (a). a Teorema 3.6 Se lim a f () = L e uma das condições seguintes é verificada: i. L e n é qualquer inteiro positivo ou ii. L < e n é qualquer inteiro positivo ímpar; então lim n f () = n lim f () = n L. a a 68 / 65

80 Eemplo 3.5 Calculemos os seguintes limites: ( a. lim ) Do Teorema 3.5, temos que: b. lim 18 ( lim ) ( ) ( ) ( ) = 5 lim 3 lim + lim 4 = 5(4) 3() + 4 = 18. Ou de forma alternativa, do Corolário 3.3, temos que: 4 lim f () = f () = 5(4) 3() + 4 = 18. Desde que lim ( ) = (18) = 16 > e n = 4 >, do Teorema 3.6, temos que: 18 3 c. lim lim 18 4 = 4 lim ( ) = 4 16 =. 18 Desde que lim( 5 4 ) = 54, lim( 3 6) = e n = 3 >, do Teorema 3.5, do Teorema 3.6 e da regra do quociente, temos que: lim = lim = 3 lim (5 4 ) lim (3 6) = 3 54 = 3 7 = / 65

81 Nota f () a. Dado um limite da forma lim, com lim f () = e lim g() =, não é possível a g() a a aplicar a regra do quociente do Teorema 3.5. Neste caso, diz-se que o limite é um limite indeterminado da forma. b. Em geral, as formas indeterminadas são:,,,,, 1 e c. Em todos esses casos, devemos usar alguns artifícios que permitam eliminar a indeterminação. Um dos artifícios mais usados é fatorar no numerador e no denominador, se possível, o termo ( a), para depois simplificá-lo e obter uma nova epressão que não seja indeterminada. Por último, calcular o limite da nova epressão. Isto será ilustrado no seguinte eemplo. Eemplo 3.6 Calculemos os seguintes limites: 16 a. lim b. lim Ao analisar o numerador e o denominador desse quociente, observamos que temos uma indeterminação da forma, pois lim 4 ( 16) = e lim (3 + 1) =. 4 Porém, observamos que o termo ( + 4) pode ser fatorado de cada um deles, pois Logo, 16 = ( + 4)( 4) e = 3( + 4). 16 lim = lim ( + 4)( 4) 4 3 ( + 4) = lim = lim ( 4) = (8) = 8 3. Da mesma forma que o item acima, esse limite tem uma indeterminação da forma. Para resolver tal problema, precisamos racionalizar o numerador, isto é, multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por : lim lim ( + 3 3)( ) = lim ( = lim 3) ( ) = ( ) = lim = 1 = / 65

82 Nota Para racionalizar, precisamos lembrar que: (a n b n ) = (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b ab n + b n 1 ) } {{ } fator racionalizante { }} { (a n + b n ) = (a + b) (a n 1 a n b + a n 3 b... ab n + b n 1 ) Eemplo 3.7 Calculemos os seguintes limites: a. lim Esse limite tem uma indeterminação da forma, nesse caso, devemos fazer uma dupla racionalização: lim (3 5 + )( )(1 + 5 ) = lim 4 (1 5 )(1 + 5 )( ) b. lim ( = lim 4)(1 + 5 ) 4 ( ) ( 4) = lim = = 6 = 1 3. Aqui temos a indeterminação da forma, e observamos que = 4 (1 + ) = (1 + ) (1 + 4 ) (1 + ) 3 + (1 + ) (1 + 4 ) 3 = (1 + ) 3 + (1 + ) (1 + 4 ) 3. Logo, calcular o limite acima é equivalente a calcular lim [ (1 + ) 3 + (1 + ) ] = (1 + 4 ) 3 71 / 65

83 lim [ (1 + ) 3 + (1 + ) (1 + 4 ) 3 ] = Portanto, 8 c. lim lim = = 1. Assim como nos casos anteriores, a indeterminação é da forma e poderíamos fazer uma dupla racionalização, porém, os cálculos se tornariam muito complicados. Por outro lado, observando as quantidades sub-radicais, notamos que elas são iguais, o que será útil se fizermos uma mudança de variável com o intuito de simplificar a epressão. Escolhe-se uma variável que seja igual à quantidate sub-radical e o epoente desta variável é o minimo múltiplo comum dos índices dos radicais. Em nosso caso: Como m.m.c(,3) = 6 fazemos y 6 =, notemos que 64 implica que y, e quando substituímos no limite acima, obtemos: 8 y 3 8 lim 64 3 = lim 4 y y 4 = lim (y )(y + y + 4) y + y + 4 y (y )(y = lim = = 3. + ) y y + + d. lim Novamente, a indeterminação é e precisamos fazer uma mudança de variável para eliminar os radicais. Como m.m.c.(3,4) = 1 e desde que + 1, fazemos + 1 = y m.m.c.(3,4) = y 1, logo implica que y 1, + 1 = y 1, = y 1 1, = 3 y 1 = y = 4 y 1 = y 3, e quando substituímos no limite acima obtemos: Porém, lim = lim (y 1 1) y 4 + y 3 1 y 1 (y 1 1)y 4 + y 3 1. y 1 1 = (y 1)(y 11 + y y + 1) e y 3 1 = (y 1)(y + y + 1). Assim, (y 1 1) y 4 + y 3 1 lim y 1 (y 1 1)y 4 + y 3 1 (y = lim 1)(y 11 + y )y 4 + (y 1)(y + y + 1) y 1 (y 1) (y 11 + y ) y 4 + (y 1)(y + y + 1) (y 11 + y )y 4 + y + y + 1 = lim y 1 (y 1)(y 11 + y ) y 4 + y + y + 1 = = / 65

84 3.6 Limites laterais Quando calculamos lim a f () = L, o problema real é determinar um número L para o qual os valores de f () se aproimam quando tende a a. Porém, em R, ao dizer que tende a a é necessário analisar dois casos: i. tende a a por meio de valores menores que a, isto é, tende a a pela esquerda; e ii. tende a a por meio de valores maiores que a, isto é, tende a a pela direita. Veja o item (a) da figura abaio. Quando precisamos calcular os limites laterais o problema é mais simples, já que este depende do comportamento da função f () quando se aproima de a somente pela esquerda ou somente pela direita; veja o item (b) da figura acima. Definição 3.3 Seja f uma função definida no intervalo (c,a), com c < a. Diz-se que o número L 1 é o limite lateral de f (), quando tende a a pela esquerda, denotado por lim a f () = L 1, se ε >, δ > : < a < δ f () L 1 < ε. Definição 3.4 Seja f uma função definida no intervalo (a,d), a < d. Diz-se que o número L é o limite lateral de f () quando tende a a pela direita, denotado por lim a + f () = L, se ε >, δ > : < a < δ f () L < ε. Teorema 3.7 Se f é uma função definida numa vizinhança do ponto a, e L R, então lim f () = L se, e somente se, lim a a f () = lim f () = L. + Em outras palavras, o limite de uma função eiste se, e somente se, os limites laterais eistem e são iguais. a 73 / 65

85 Nota a. O lim a f () não eiste nos seguintes casos: i. algum dos limites laterais não eiste; ii. os limites laterais eistem, porém, são diferentes. b. Se a função f é definida por partes para < a e para > a, para encontrar o lim a f () é necessário calcular os seus respectivos limites laterais. Eemplo 3.8 a. Seja a função f definida por: Calculemos lim f (), caso eista., se < ; f () = 4, se = ; 8, se >. Como f tem diferentes regras de correspondência para < e >, precisamos calcular os limites laterais: Limite lateral quando tende a pela direita, isto é, < : lim f () = lim ) = 8 4 = 4; + +(8 Limite lateral quando tende a pela esquerda, isto é, < : lim f () = lim = = 4. Comparando estes limites laterais, além deles eistirem, ambos são iguais. Portanto, o f () eiste e lim lim b. Seja a função f definida por: f () = 4. Calculemos lim f (), caso eista. Analisando f, temos que 1 f () = f () = 4 16 = = / 65

86 Logo, f pode ser reescrita por partes em : 1 64, se < ; f () = 1 64, se. Então, para calcular lim f (), precisamos calcular os limites laterais: Limite lateral quando tende a pela esquerda, isto é, < : 1 64 lim = 1 ; Limite lateral quando tende a pela direita, isto é, > : 1 64 lim = 1 +. Comparando estes limites laterais, observamos que embora eles eistam, não são iguais. Portanto, o lim f () não eiste. c. Seja a função f definida por: Calculemos lim f (), caso eista. 3 7 f () = + 3 Desde que o máimo inteiro forma parte desta função, precisamos analisar os limites laterais numa vizinhança de 3 7, porém < 3 7 < 3, então analisemos: Limite lateral quando tende a 7 3 pela esquerda e, ou seja, < 7 3 : Logo, 6 3 < 7 3 = 6 e =, daqui lim = lim = Limite lateral quando tende a 7 3 pela direita, e < 3, ou seja, com 7 3 < 3: Logo, 7 3 < 8 3 = 7 e =, daqui lim = lim = 8 3. Comparando esses limites laterais, observamos que embora eles eistam, não são iguais. Portanto, o lim f () não eiste / 65

87 3.7 Limites no infinito Antes de apresentar a definição eata desse conceito, consideremos a função f () = e seu respectivo gráfico: Analisando essa função, notamos que quando cresce ilimitadamente, denotado por +, o valor de f () se aproima de 1, ou seja, lim f () = 1, + e quando decresce ilimitadamente, denotado por, o valor de f () se aproima também de 1, ou seja, lim f () = 1. Esses limites são conhecidos como limites no infinito. Definição 3.5 Sejam a, L R. i. Se f : (a,+ ) R, diz-se que L é o limite de f () quando tende a +, denotado por f () = L, se lim + ε >, N > : > N f () L < ε; ii. Se f : (,a) R, diz-se que L é o limite de f () quando tende a, denotado por f () = L, se lim ε >, M > : < M f () L < ε. A seguir apresentaremos propriedades aritméticas que nos ajudam com os cálculos de limites no infinito. Teorema 3.8 Seja n N. Então: lim + 1 n = e lim 1 n =. 76 / 65

88 Teorema 3.9 Sejam c R uma constante, f e g duas funções definidas nos intervalos (a,+ ) e (b,+ ), respectivamente, com a, b R. Se então: lim f () = L e lim g() = M, + + i. lim + c = c; ii. lim [c f ()] = c + [ ] lim f () + = cl; iii. lim f () + g() = lim f () + lim g() = L + M; iv. lim f () g() = lim f () lim g() = L M; v. lim f () g() = lim f () lim g() = L M; vi. Se M, então: lim + 1 g() = 1 lim g() = 1 M e lim f () + g() = + lim f () + lim g() = L M. + Nota a. Quando as propriedades são estabelecidas de forma análoga às apresentadas no resultado anterior. b. Quando temos que calcular os limites no infinito de uma função racional na prática, podemos dividir tanto o numerador como o denominador pela maior potência de do denominador que aparecer na epressão dada. Logo, é aplicado o critério do Teorema 3.8. Eemplo 3.9 Calculemos os seguintes limites no infinito: a. lim Pela observação anterior, dividimos o numerador e o denominador por (maior potência do denominador) e obtemos: b. lim lim = lim = lim + lim + (7 8 + ) ( ) = = / 65

89 Nesse caso, dividimos o numerador e o denominador por 6 e obtemos: c. lim lim = lim = ( 1 lim lim Dividimos o numerador e o denominador por e obtemos: d. lim lim = lim = ( lim + lim + ) ( ) = + = ) ( ) = = 3. Para que possamos aplicar a metodologia dos eemplos anteriores, precisamos epressar a função como um quociente e, para isso, devemos racionalizar, isto é: ( )( ) lim = lim + 4 = lim = lim Desde que, considera valores negativos que tendem para, podemos dividir por =, e obteremos: lim = lim = = 1. e. lim + Portanto, lim = Observamos que considera valores positivos, assim, dividimos o numerador e o denominador por e obtemos: 78 / 65

90 lim = lim = = Limites infinitos Antes de apresentar a definição eata desse conceito, consideremos novamente a função f () = e seu respectivo gráfico: Analisando essa função, notamos que quando tende a pela direita, f () cresce ilimitadamente, ou seja, lim f () = +, + e quando tende a pela esquerda, f () decresce ilimitadamente, ou seja, lim f () =. Esses tipos de limites são conhecidos como limites infinitos. Definição 3.6 Sejam a R e uma função f : i. Diz-se que o limite de f () é + quando tende ao ponto a, denotado por lim a f () = +, se K >>, δ > : < a < δ f () > K. ii. Diz-se que o limite de f () é quando tende ao ponto a, denotado por lim a f () =, se M >>, δ > : < a < δ f () < M. 79 / 65

91 Neste caso, também são definidos os seguintes limites laterais: lim f () = +, lim a + f () = +, lim a f () =, lim a f () =. a + Nota a. Desde que os símbolos + e não são números reais, nenhum dos limites infinitos eistem. b. O termo o limite eiste será usado somente quando o limite é um número real. Teorema 3.1 Seja n N. Então: { 1 1, se n é ímpar; lim = + e lim + n n = +, se n é par. Eemplo 3.1 Alguns casos particulares do Teorema 3.1 são: 1 lim + 5 = +, lim = +, lim 1 3 =, lim = +. O seguinte resultado apresenta algumas propriedades que nos permitem calcular limites infinitos. Propriedades dos limites infinitos Sejam a, M R, com M, tal que: lim a f () = e lim g() = M. a a. Se M > e f () tende a, através de valores positivos, então, g() lim a f () = + ; b. Se M > e f () tende a, através de valores negativos, então, g() lim a f () = ; c. Se M < e f () tende a, através de valores positivos, então, g() lim a f () = ; d. Se M < e f () tende a, através de valores negativos, então, g() lim a f () = +. 8 / 65

92 Eemplo 3.11 Seja a função f definida por: Calculemos lim f () e lim f () f () = Quando avaliamos f () para = 1, observamos que f (1) = 3. Das propriedades vistas acima, podemos concluir que os dois limites desejados são infinitos. Porém, precisamos estabelecer o sinal de cada um deles. Para determinar isto, fatoramos o denominador e analisamos se f () se aproima a por valores positivos ou negativos. Assim: lim 1 (4 3 1) = 3 >. lim 1 ( ) = lim 1 (1 )( + ), porém: i. Se 1 (muito próimo a 1), então < 1: 1 > e + >. Logo, lim 1 (1 )( + ) = +, ou seja, (1 )( + ) por valores positivos. ii. Se 1 + (muito próimo a 1), então 1 < : 1 < e + >. Logo, lim 1 +(1 )( + ) =, ou seja, (1 )( + ) por valores negativos. Portanto, lim 1 = = + e lim = 3 =. Eemplo 3.1 Calculemos os seguintes limites: a. lim lim + 4 = lim + + ( ) ( + ) = lim 1 + = b. lim 4 4 lim = lim 4 16 = lim 4 ( 4) 16 = lim (4 )(4 + ) 4 ( 4) = =. c. lim / 65

93 Desde que 4, temos [3,4) = 3, logo, 4 lim 4 4 = lim = lim = 1 = Limites infinitos no infinito Da mesma forma que os limites em números reais, os limites no infinito podem deiar de eistir, por eemplo, quando valores de f () crescerem ou descrescerem ilimitadamente quando + ou. Para formalizar esse conceito, temos a seguinte definição. Definição 3.7 Seja f uma função. Se Dom( f ) contém algum intervalo da forma (a,+ ), então: i. lim f () = + K, M > : > M f () > K; + ii. iii. iv. lim f () = K, M > : > M f () < K; + lim f () = + K, M > : < M f () > K; lim f () = K, M > : < M f () < K. O item i dessa definição significa que para valores de grandes suficiente (positivos), os valores correspondentes a f () também serão grandes (positivos). Os itens ii, iii e iv são interpretados de forma análoga. Agora, apresentamos as seguintes propriedades de limites infinitos no infinito. Teorema 3.11 Sejam f e g duas funções, onde f verfica: i. Se lim g() = ±, então, ± ii. Se lim g() =, então, ± iii. Se lim g() = L, então, ± lim f () = ± ± lim ( f () + g()) = ± e lim ( f () g()) = ± ; ± ± lim ( f () g()) =. ± lim ( f () + g()) = ± ; ± 8 / 65

94 iv. Se lim g() = L, L >, então, ± v. Se lim g() = L, L <, então, ± f () lim ( f () g()) = ± e lim ± ± g() = ± ; f () lim ( f () g()) = e lim ± ± g() = ; Nota O Teorema 3.11 pode ser resumido da seguinte forma, dada uma constante k, temos que: a. k + (+ ) = + b. k + ( ) = c. (+ ) + (+ ) = + d. ( ) + ( ) = e. (+ )(+ ) = + f. ( )( ) = + k g. (+ )( ) = h. ± = { i. (+ ) n = +, n Z + j. ( ) n +, se n é par positivo; = { {, se n é ímpar positivo; +, se k > ;, se k > ; k. k(+ ) = l. k( ) =, se k < ; +, se k <. Nota Sejam P() = a n + a 1 n a n e Q() = b m + b 1 m b m dois polinômios de grau n e m, respectivamente, então: a. lim P() = lim (a n + a 1 n a n ) = lim a n ; ± ± ± se n > m; P() b. lim ± Q() = lim a n + a 1 n a n ± b m + b 1 m 1 = + + b m a b se n = m; se n < m. Eemplo 3.13 Calculemos os seguintes limites: a. lim + ( ) lim + ( ) = lim + ( 81 ) = b. lim lim = lim = lim 83 / = +.

95 c. lim O limite é da forma /. Dividimos o numerador e o denominador por =, >, + 9 obtemos lim = lim = lim = d. lim + 4 Esse limite é da forma /. Logo, precisamos dividir o numerador e o denominador por =, <, obtendo lim e. lim ( 4 3 ) = lim = lim = 1. Devido ao fato que lim 4 3 = lim 4 = + e lim =, temos que lim ( 4 3 ) = (+ ) ( ) = +. f. lim + ( 4 3 ) Esse limite é da forma, logo, precisamos racionalizá-lo. lim ( ) = lim = lim = Assíntotas Definição 3.8 Diz-se que a reta L é uma assíntota do gráfico y = f () se a distância entre a reta L e o ponto A que se movimenta ao longo do gráfico y = f (), tende a zero quando A tende ao infinito. Em outras palavras, lim Dist(L,A) =. A 84 / 65

96 Proposição 3.1 A reta = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f () se alguma das seguintes condições for verificada: i. lim a f () = ± ; ii. lim f () = ± ; a + iii. lim f () = ±. a Proposição 3. A reta y = c é uma assíntota horizontal do gráfico y = f () se uma das seguintes condições for verificada: i. lim f () = c; + ii. lim f () = c. 85 / 65

97 Proposição 3.3 A reta y = m+b, m é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f () se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada: f () i. lim + ii. lim f () = m e lim ( f () m) = b; + = m e lim ( f () m) = b. Nota a. Se ao calcular os valores de m e b (quando + ) um dos limites não eiste, a curva não apresenta assíntotas oblíquas à direita. De forma análoga, se m ou b não eiste, quando, então a curva não apresenta assíntotas oblíquas à esquerda. b. Se m = e b é finito, a assíntota é horizontal. c. Se uma função f () é fracionária, as possíveis assíntotas verticais são obtidas nos valores de que anulam o denominador de f (). Se esses valores eistem, devemos comprovar se o seu limite é infinito. Eemplo 3.14 Encontremos as assíntotas, da função f definida por: a. f () = i. Assíntotas verticais: observamos que = 3 é um zero do denominador, e + 9 lim = 3 3 e + 9 lim = +. Logo, = 3 é uma assíntota vertical. 86 / 65

98 ii. Assíntotas horizontais: encontremos c R tal que c = lim ± f (). + 9 lim ± 3 = ± Porém, + e não são números reais, então não eistem assíntotas horizontais. iii. Assíntotas oblíquas: dada a reta y = m + b encontremos m e b definidos na proposição acima, ou seja, b. f () = f () + 9 m = lim = lim ± ± 3 = b = lim ( f () m) = lim ± ± Logo, a assíntota oblíqua é a reta y = = lim ± = 3. i. Assíntotas verticais: observamos que = 1 é um zero do denominador, e ( ) ( + 1 lim ) + 1 =. e lim = +. Então, = 1 é uma assíntota vertical. ii. Assíntota horizontal: encontremos c R tal que c = lim f (). ± ( ) + 1 lim ± = ±. Portanto, f não tem assíntotas horizontais. iii. Assíntotas oblíquas: ( f () m = lim = lim ± ± + b = lim ( f () m) = lim ± ± Logo, não eiste assíntota oblíqua. ) = 1; ( ) = ±. Eemplo 3.15 Encontremos as assíntotas e o gráfico da função f definida por: a. f () = Fatorando os termos de f, temos que f () = i. Interseção com os eios: ( 1)( 3). Logo, Dom( f ) = R \ {1} Eio y : = então f () = 3, assim, (,3) é um ponto de interseção. 87 / 65

99 . Eio : f () =, então 1 = 1, = 3, assim, ( 1,), (3,) são os pontos de interseção. ii. Assíntotas verticais: = 1 é um zero do denominador e lim = + e lim = Portanto, a reta = 1 é assíntota vertical e Dom( f ) = R \ {1}. iii. Assíntotas horizontais: não eistem devido a que iv. Assíntotas oblíquas: Por outro lado, 5 3 lim = ±. ± 1 f () 5 3 m = lim = lim =. ± ± ( 1) Assim, f () m = = b = lim ( f () m) = lim ± ± 1 = 3. = Portanto, a reta y = 3 é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f (). O gráfico é apresentado no item (a) da figura abaio. b. f () = Fatorando os termos dentro da raiz, temos que f () = 3 ( 3) ( + 3). Logo, Dom( f ) = R. i. Interseções com os eios: 1. Eio y : = então f () = 3, assim (,3) é um ponto de interseção.. Eio : f () = então 1 = 3, = 3, assim ( 3,), (3,) são os pontos de interseção. ii. Assíntotas verticais: desde que f não possui denominador, então não eistem assíntotas verticais. 88 / 65

100 iii. Assíntotas horizontais: não eistem, devido a que iv. Assíntotas oblíquas: 3 lim ± f () m = lim = lim ± ± b = lim ( f () m) = lim ± ± = ± = 1; = 1. Portanto, a reta y = 1 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (). O gráfico é apresentado no item (b) da figura acima Recapitulando Neste capítulo, apresentamos o conceito de limite com o intuito de que o aluno entenda a importância do assunto e, assim, dar continuidade ao nosso estudo. Porém, para definir o limite foi necessário conhecer a definição de vizinhanças e bolas abertas, por tal motivo o capítulo foi iniciado com esses conceitos. Nas seções subsequentes, as principais propriedades e leis sobre limites foram apresentadas. Desde que a obtenção de um limite não é sempre direta, isto é, avaliando a função no ponto em questão, a definição de limites laterais foi introduzida. Dando continuidade ao nosso estudo, também foram considerados os casos onde o ponto em questão cresce ou decresce ilimitadamente, tal assunto é conhecido como limites ao infinito. O conceito de limites infinitos foi apresentado para definir o fato em que o limite solicitado tende a +, ou quanto mais próimo se esteja do ponto em questão. Desde que essa teoria analisa os pontos onde a função estudada tem um comportamento crítico, foi necessário complementá-la com a introdução da definição das assíntotas verticais, horiozontais e/ou oblíquas, já que esse conceito estabelece, caso elas eistam, o comportamento da função próima delas. Diversos eemplos foram apresentados ilustrando todos esses conceitos. No próimo capítulo, apresentaremos as noções básicas de continuidade, uma teoria totalmente dependente do domínio de limites. A continuidade é uma das ideias mais importantes e mais fascinantes de toda a matemática, pois apesar da palavra contínua parecer intuitivamente clara, não é fácil imaginar uma boa definição para tal ideia. 3.1 Atividades 1. Aplicando a definição de limite, demonstre os seguintes limites: i. lim(3 ) = iv. lim =. 1 4 ii. lim 3 v. lim 7 = = 1. iii. lim 7 vi. lim = = / 65

101 1 vii. lim 64 3 = lim = 5. viii. lim 1 i. lim = i. lim = 1. = 3. ii. lim = 1.. Calcule os seguintes limites: i. lim ii. lim n n iii. lim 1 3 n 5 + n. 3 6 iv. lim v. lim 4 1. vi. lim vii. lim. viii. lim i. lim 5.. lim i. lim. ii. lim iii. lim iv. lim v. lim vi. lim vii. lim (. viii. lim + 1) ( 1). i. lim Se f () = m + 3 3m, encontre os valores de m, de modo que lim f () = m 17. m m 4. Se lim 1 5. Se lim 6. Se lim 1 f () 1 3 = 4 e lim 1 g() f () = 6, calcule lim 1 1 g(). f ( + ) g( + ) = 8 e lim 4 k 1 1 = L, encontre lim 7. Calcule os limites indicados, se eistirem: f () = 3, calcule lim g() k i. lim f (), onde f () = 4, se ; 5, se =. + 1 ii. lim f () e lim f (), onde f () = / 65

102 iii. lim f (), onde f () = {, se ; 8, se >. iv. lim f (), onde 6, se < ; f () = 6, se = ; 3, se >. ( 36 ) ( / 1 + ) 1 v. lim vi. lim 1. + vii. lim viii. lim i. lim lim i. lim Calcule os seguintes limites no infinito: i. lim. ii. lim iii. lim ( +. iv. lim ). ( ( 16 v. lim ). vi. lim ) n 5 (5 )( + 3) vii. lim n + n. viii. lim. + ( i. lim + ( + 5).. lim ). + ( 3 i. lim ) ii. lim Calcule os seguintes limites infinitos: i. lim iii lim + 6. ii. lim 4 iv. lim 16 ( ). 91 / 65

103 1. Calcule o limite indicado: [ 1 i. lim iii. lim + 1. ] (. ii. lim iv. lim ). [ ]. v. lim h h + h h 3 + 3h + 3h 8 + 6h h h + 1 h 11. Encontre as assíntotas do gráfico da função f, e trace o gráfico mostrando as assíntotas. i. f () = ii. f () = iii. f () = iv. f () = v. f () = vi. f () = vii. f () = , se < ; + 4. viii. f () =, se. i. f () =, se < 1; 1. f () = , se Calcule as constantes a e b, de modo que se verifique a condição: ( 3 3 ) i. lim a b = ; + 3 ii. iii. lim lim + ( a b ) = ; ( a b 4 ) =. + +, se 9; 81, se < 9 e. 9 Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 9 / 65

104 Capítulo 4 Continuidade OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Interpretar geometricamente a definição de continuidade de uma função; Compreender o conceito de continuidade de uma função em um ponto; Determinar a partir do gráfico de uma função se esta é contínua ou não; Provar se una função é contínua ou não em um ponto dado, e no seu domínio todo. 4.1 Introdução O conceito de continuidade em matemática é o que utilizamos no nosso cotidiano, isto é, continuidade implica numa ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desequilibrem o gráfico. Geometricamente, uma função f é contínua no seu domínio quando seu gráfico não tem quebras ou espaços em nenhum ponto que pertença ao domínio. Isto é, seu gráfico pode ser traçado sem tirar o lápis do papel. Quando o cálculo começou a ser desenvolvido, a maioria das funções eram contínuas e, portanto, não se sentia a necessidade de se aprofundar quanto ao significado eato de continuidade. Foi em meados do século XVIII que se apresentaram algumas funções descontínuas em coneão com os problemas da física, fato que obrigou os matemáticos no início do século XIX a eaminar cuidadosamente o significado dos conceitos de função e continuidade. Embora o significado de continuidade pareça claro atualmente, não era fácil imaginar uma boa definição naquela época. Somente em 181, foi apresentada uma definição satisfatória de continuidade usando o conceito de limite. Esta abordagem e suas principais propriedades serão epostas a seguir. 4. Noção intuitiva Consideremos uma função f e um ponto c R. Intuitivamente, quando falamos de uma função contínua podemos entender que o gráfico da função f pode ser descrito como uma curva contínua que não apresenta quebras ou espaços. Para tornar essa ideia mais precisa, necessitamos compreender em que casos poderiam acontecer essas quebras ou espaços. Na figura a seguir esses casos são apresentados. 93 / 65

105 A função f não está definida em a. Veja o item (a); O limite de f () não eiste quando tende a a. Veja os itens (b) e (c); O valor da função e o valor do limite em a são diferentes. Veja o item (d). y y = f() a (a) (b) (c) (d) Agora, apresentamos a definição formal desse conceito. 4.3 Definição formal Definição 4.1 Sejam f : R R uma função, A R e a A. Diz-se que f é contínua em a se as seguintes condições são verificadas: i. f (a) eiste, ou seja, a Dom( f ); ii. lim f () eiste; a iii. lim f () = f (a). a Diz-se que f é descontínua em a se alguma dessas condições não é verificada em a. Além disso, diz-se que f é contínua em A se ela é contínua para todo a A. Nota a. Diz-se que f é contínua no ponto a Dom( f ) quando é possível tornar f () arbitrariamente próima de f (a), desde que se tome suficientemente próimo de a. b. Ao contrário da definição de limite (veja o capítulo anterior), só faz sentido indagar se f é contínua no ponto a quando a Dom( f ). c. Ao investigar a continuidade de uma função f em um ponto ou em um conjunto, é fundamental ter sempre em conta o domínio de f. 94 / 65

106 Eemplo 4.1 a. Seja a função f () = Determinemos se f é contínua em 3. { 3 4, se 3; 5, se = 3. i. Da definição de f temos que f (3) = 5. Logo, f (3) eiste, isto é, 3 Dom( f ); ii. Lembremos que lim f () eiste se, e somente se, lim f () = lim f (). Então, analisemos esses limites laterais: lim 3 f () = lim 4) = 5 e lim f () = lim 4) = 5. (3 + +(3 3 Assim, lim 3 f () eiste e é igual a 5. iii. Logo, lim 3 f () = 5 = f (3). Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 3; veja o item (a) da seguinte figura. y 3 3 y 5 y = f() 8 3 y = f() 4 y = f() b. Seja a função (a) (b) (c) 3, se 1 < < 1 e 4; 8 f () = 8, se = 4. 3 Determinemos se f é contínua em 4. i. Da definição de f temos que f (4) = 8. Então, f (4) eiste; 3 3 ii. lim f () = lim = lim ( ) ( 4)( + 4) 4 ( + ) ( 4) = + 4 lim = ; iii. Assim, lim 4 f () = 8 3 = f (4). Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 4; veja o item (b) da figura acima. 95 / 65

107 c. Dada a função f () = Determinemos se f é contínua em 1 e 3. Analisemos a continuidade em 1:, se < 1; + 1, se 1 < 3; 3 + 4, se 3 <. i. Da definição de f, vemos que f (1) = 1. Assim, f (1) eiste; ii. Para afirmar que lim 1 f () eiste, analisemos os limites laterais neste ponto: lim f () = lim ) = 1 e lim f () = lim + 1) =. 1 1 ( ( Embora esses limites laterais eistam, eles não são iguais, logo, concluímos que f () não eiste. lim 1 Portanto, f não é contínua em 1 ou, em outras palavras, f é descontínua em 1. Analisemos a continuidade em 3: i. Da definição de f, vemos que f (3) = 4. Assim, f (3) eiste; ii. Para afirmar que lim 3 f () eiste, analisemos os limites laterais: lim 3 f () = lim + 1) = 4 e lim f () = lim ( ( 3 + 4) = 4. 3 Desde que ambos limites laterais eistem e são iguais, concluímos que eiste f () e é igual a 4. lim 3 iii. Dos resultados prévios, concluímos que lim 3 f () = 4 = f (3). Portanto, pela Definição 4.1, a função f é contínua em 3; veja o item (c) da figura acima. 4.4 Tipos de descontinuidade No caso de uma função não ser contínua em um determinado ponto, podemos classificar esta situação como: Descontinuidade evitável ou removível Diz-se que a função f : R R tem descontinuidade evitável ou removível em a se: i. o número lim a f () eiste; ii. a Dom( f ). Veja o item (a) da figura a seguir; iii. a Dom( f ), porém lim a f () f (a). Veja o item (b) da figura a seguir. 96 / 65

108 y y = f() a (b) Logo, podemos evitar ou remover a descontinuidade de f definindo a nova função: { f (), se a; F() = lim f (), se = a. a Notemos que essa função está definida em = a e lim a F() = F(a). Portanto, ela é uma função contínua. F é chamada de etensão contínua de f em a. Descontinuidade não evitável ou irremovível Descontinuidade de primeira espécie Diz-se que a função f : R R tem descontinuidade de primeira espécie em a se os limites laterais lim f () e lim f () a a + eistem, ou seja, são finitos, porém, diferentes; veja o item (a) da figura a seguir. y y y = f() y = f() a a (a) (b) Descontinuidade de segunda espécie Diz-se que a função f : R R tem descontinuidade de segunda espécie em a, se lim a f () não eiste, ou seja, se algum dos limites laterais é ± ; veja o item (b) da figura acima. 97 / 65

109 Eemplo 4. Determinemos os valores de para os quais a função f é descontínua, e verifiquemos se nesses pontos a descontinuidade é removível ou não. a. f () = Da definição de f, observamos que ela pode ser reescrita como + 9, isto é, f () = = ( + 9) ( + 3) ( 3) ( + = 3) ( + 9, 3) com ±3, Porém, quando 3 e 3 temos que: ( lim f () = lim + 9 ) = e ( lim f () lim + 9 ) = Logo, = 3 e = 3 são pontos de descontinuidade evitáveis da função f. Portanto, podemos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f : { F() = + 9, se ±3; 18, se = ±3. b. f () = Novamente, da definição de f, notamos que ela pode ser reescrita como + 3, ou seja, f () = Porém, quando 1 e 4 temos que: lim 1 = ( 4) ( 1)( + 3) ( 4) = + 3, com 1, 4, ( 1) f () = lim ( + 3) = 4 e lim 1 4 f () = lim ( + 3) = 7. 4 Então, = 1 e = 4 são pontos de descontinuidade evitável de f. Logo, podemos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f : + 3, se 1, 4; F() = 4, se = 1; 7, se = , se 1; c. f () = 8 3, se 1 < < 3; + 3, se 3. Desde que, f é uma função definida por partes, e todas essas partes são funções lineares, os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos = 1 e = 3. Analisemos se f realmente é descontínua em algum destes pontos, e o tipo de descontinuidade: Para = 1: 98 / 65

110 d. f () = i. f (1) = 5; ii. lim 1 f () = 5. De fato: lim 1 iii. lim 1 f () = 5 = f (1). Para = 3: f () = lim + 3 = 5 e lim f () = lim 3) = (8 1 1 i. f (3) = 6; ii. lim 3 f () não eiste. De fato, analisando os limites laterais: lim 3 1 f () = lim 3) = 1 e lim f () = lim + 3) = 6. (8 + +( 3 3 notamos que, embora eles eistam, são diferentes. Portanto, a função f é contínua em = 1 e tem descontinuidade de primeira espécie no ponto = sgn( 1) se 5 < < e 3; , 9, se < 5 e 3; 3 9, se = 3; 4 3, se = 3. Eaminando a função f () para 5 < < temos que: 3 1, se > 1; = 1 e sgn( 1) =, se = 1; 9 1, se < 1. Assim, ela pode ser reescrita como: , se 5 < < e 3; Porém, f () = 9, se < 5 e 3; 3 9, se = 3; 4 3, se = = ( + 3)( ) ( + 3)( + 3) 99 / 65 = , com 3, + 3

111 Então, 9 ( 3)( + 3) = 3 ( 3)( + 1) = + 3, com , se 5 < < e 3; + 3 f () = + 3, se < 5 e 3; + 1 9, se = 3; 4 3, se = 3. Agora, analisemos a continuidade de f em = 3, = e = 3. Para = 3: i. f ( 3) = 9 4 ; ii. lim f () eiste. De fato, 3 iii. lim f () = = f ( 3). Para = : i. f () = 3; ii. lim f () eiste. De fato, lim f () = = 9 4 ; 9 lim f () = lim = 3 e lim f () = lim = 3; iii. lim f () = 3 = f (). Para = 3: i. f (3) = 3 ; ii. lim 3 f () eiste. De fato, lim f () = = 3 ; iii. lim 3 f () = 3 = f (3). Portanto, f é contínua em cada ( 5, 5). Embora a Definição 4.1 seja de fácil entendimento, devemos ressaltar que para as demostrações de resultados teóricos, precisamos usar a definição de continuidade em relação de ε e δ, isto é: Definição 4. Seja f : R R uma função e um conjunto A Dom( f ). Diz-se que f é contínua em a A se: 1 / 65

112 ε >, δ > : A e a < δ f () f (a) < ε. Além disso, a função f é contínua em A, quando f é contínua para todo a A. Eemplo 4.3 a. Dada a função f : R R definida por f () = k, onde k é uma constante. Provemos que f é contínua em R. Consideremos a R arbitrário e ε >. Para qualquer δ > e R se tem: a < δ f () f (a) = k k = < ε. Logo, f é contínua no ponto a (veja a Definição 4.). Como a foi escolhido arbitrariamente, f é contínua em R. b. Dada a função f : R R definida por f () =. Provemos que f é contínua em R. Consideremos a R arbitrário e ε >. Precisamos resolver a desigualdade f () f (a) = a = a + a a ( + a ) < ε. Considerando δ 1 = 1, obtemos que a < δ 1 = 1 implica que < a +1. Substituindo na desigualdade acima obtemos f () f (a) a ( + a ) a ( a + 1) < ε ε assim obtemos que a < a + 1 = δ. Logo dadoε >, eiste δ = min Logo, f é contínua em R (veja a Definição 4.). { } ε 1, > tal que a < δ f () f (a) = ε. a Propriedades de funções continuas O cálculo da continuidade pode ser simplificado com frequência usando o seguinte teorema, pois este nos proporciona as regras básicas das operações aritméticas envolvendo funções contínuas. Teorema 4.1 Sejam f e g duas funções reais contínuas no ponto a. Então i. k f é contínua em a, onde k é uma constante; ii. f ± g é contínua em a; iii. f g é contínua em a; 11 / 65

113 iv. f é contínua em a, sempre que g(a) ; g v. 1 é contínua em a, sempre que g(a) ; g vi. f é contínua em a. Nota Do Teorema 4.1, obtemos: a. Toda função polinomial f () = a n + a 1 n a n, a é contínua em R. b. Toda função racional g() = a n + a 1 n a n b m + b 1 m b m é contínua em Dom(g). c. As afirmações recíprocas do Teorema 4.1 não necessariamente são verdadeiras. Por eemplo, pode acontecer de f + g ser contínua em a, sem que as funções f e g o sejam. De fato, se considerarmos as funções f,g,h : R R definidas por: f () = {, se ; 1, se > ; g() = { 1, se ;, se > ; h() = { 1, se ; 1, se > ; não é difícil provar que são descontínuas em =. Porém as funções são funções contínuas em R. f () + g() = 1, f () g() = h() = 1, R Os próimos resultados nos dizem que a propriedade da continuidade é conservada na composição de funções contínuas. Teorema 4. Sejam as funções reais f : A B R e g : B R. Se f é contínua em a A e g é contínua em b = f (a) B, então g f é contínua em a. Teorema 4.3 Sejam as funções reais f : A B R e g : B R, com i. Im( f ) B; ii. lim f () = b; a iii. g é contínua em b. ( ) Então lim g( f ()) = g lim f () = g(b). a a 1 / 65

114 Eemplo 4.4 a. Calculemos lim Considerando g() = e f () = 5 + 4, temos que g( f ()) = f () = 49 e g é contínua no ponto = 49, pelo Teorema 4.3 temos que: lim 3 ( ) lim = lim g( f ()) = g lim f () = g(49) = 49 = Como 1 b. Demonstremos que para todo n N, lim ± n =. Considerando f () = 1 e g() = n, verificamos que lim f () =. Além disso, g é uma ± função contínua para todo n N e (g f )() = g( f ()) = 1, então, pelo Teorema 4.3, n temos que: lim ± ( 1 n = lim g( f ()) = g ± lim f () ± ) = g() =. 4.6 Continuidade de funções em intervalos Ao consideramos o conjunto A sendo um intervalo aberto, obtemos a seguinte equivalência das Definições 4.1 e 4.: Definição 4.3 Seja a função f : (a,b) R. Diz-se que f é contínua em (a,b) se f é contínua em todo (a,b). Desde que na Definição 4.1 se eige a eistência dos limites laterais no ponto em questão, esta não pode ser provada nos pontos etremos de um intervalo semiaberto ou fechado. Para contornar tal situação, precisamos dos conceitos de continuidade nos pontos da fronteira. Definição 4.4 i. A função f é contínua pela direita em a se lim f () = f (a); a + ii. A função f é contínua pela esquerda em a se lim f () = f (a). a Definição 4.5 Seja a função f : (a,b] R. Diz-se que f é contínua em (a,b] se: i. f é contínua em (a,b); ii. f é contínua pela esquerda em b. 13 / 65

115 Definição 4.6 Seja a função f : [a,b) R. Diz-se que f é contínua em [a,b) se: i. f é contínua em (a,b); ii. f é contínua pela direita em a. Definição 4.7 Seja a função f : [a,b] R. Diz-se que f é contínua em [a,b] se: i. f é contínua em (a,b); ii. f é contínua pela direita em a; iii. f é contínua pela esquerda em b. Eemplo 4.5 a. Seja f () =, R. Demonstremos que f é contínua pela direita em todo n Z e que não eiste lim n f (). Fiando um n Z, temos que provar que: b. Seja f () = lim n f () = f (n) e lim f () lim f () = + n + n Da definição de f () =, temos que, para todo [n, n + 1): = n e lim f () = lim = lim n + n + n = n. n + Além disso, f (n) = n, o que implica que f () = é contínua pela direita em n. Por outro lado, para [n 1,n) temos que = n 1 e lim f () = lim = lim 1) = n 1. n n n (n Notamos que, embora esses limites laterais eistam no ponto n, eles são diferentes. Portanto, lim f () não eiste. n 9, determinemos os intervalos onde f é contínua. 4 Da definição de f temos que Dom( f ) = [ 3, ) (, 3], logo, f é contínua em ( 3, ) (, 3). Agora, analisemos a continuidade nos pontos = 3 e = 3. Como lim 3 f () = = f ( 3) e lim f () = = f (3), + podemos concluir que f é contínua em Dom( f ) / 65

116 c. Seja 9, se < 3; 4 f () = sgn( 16), se e ; 4 9, se > 3; determinemos os intervalos onde f é contínua. Da definição de f podemos reescrevê-la como: 4 9, se (, 3); 9, se [ 3, ) (,3]; 4 f () = 1 1, se [,); 1, se (,); 4 1, se = ; 9, se (3,+ ). Daqui, temos que Dom( f ) = (, 3) [ 3, ) [,) (,) {} (,3] (3,+ ) = R \ {} e como f é definida por partes, devemos analisar a continuidade nos pontos = 3, =, = e = 3. Nos outros pontos do domínio, ou seja, nos intervalos (, 3),( 3, ),(,),(,),(,3) e (3,+ ), a função f é contínua. i. Para = 3, temos que: f ( 3) =, lim f () = 3 + lim = e lim f () = 3 lim =. Assim, f é contínua em = 3. Portanto, f é contínua em (, ). ii. Para =, temos que: 15 / 65

117 f ( ) = 1 3, lim f () = lim 1 = lim f () = lim 4 = +. Assim, concluímos que f não é contínua em = pela esquerda, porém é contínua em = pela direita, portanto é contínua em [,). iii. Para =, temos que: f () = 1, lim f () = lim = + e lim f () = lim 1 = 1. Assim, concluímos que f não é contínua no ponto = nem pela direita, nem pela esquerda. iv. Para = 3, temos que: f (3) =, lim f () = lim = e lim f () = lim e 9 =. Assim, concluímos que f é contínua no ponto = 3. Portanto, f é contínua em (,+ ). Portanto, f é contínua nos intervalos: (, ), [,), (,) e (,+ ). 4.7 Teorema de valor intermediário As funções contínuas em intervalos possuem propriedades que as tornam particularmente úteis na matemática e em suas aplicações. A principal propriedade é conhecida como Teorema de Bolzano ou do Valor Intermediário. Teorema 4.4 (Teorema de Bolzano ou do Valor Intermediário) Sejam f : R R uma função contínua no intervalo fechado [a,b] com a < b e w um valor qualquer estritamente compreendido entre f (a) e f (b). Então eiste, no mínimo, um c (a,b) tal qual f (c) = w. A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. O Teorema 4.4 diz que qualquer reta horizontal y = w que intersecta o eio y entre os valores f (a) e f (b), intersectará a curva y = f () pelo menos uma vez no intervalo [a,b]. Em outras palavras, uma função contínua em um intervalo não passa de um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios. f(b) y y = f() y y = f() f(b) > y w f(a) a c b f(a) > f(b) < a c b f(a) < a c y = f() b (a) (b) (c) 16 / 65

118 Corolário 4.1 Sejam f : R R uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f não se anula em nenhum ponto de [a,b], então, f () tem o mesmo sinal em todo [a,b]. O item (a) da figura acima ilustra o Corolário 4.1. Nessa figura, podemos observar que f () > em todo [a,b]. Porém, no item (b) podemos ver que f () > em todo [a,c) e f () < em todo (c,b], e no item (c) temos que f () < em todo [a,c) e f () > em todo (c,b], isto é, devido a f (c) =, ou seja, eiste um ponto em [a,b] no qual f se anula. Corolário 4. Seja f : R R uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se f (a) e f (b) são diferentes de zero com sinais opostos, então eiste, no mínimo, uma solução para f () = no intervalo (a,b). Os itens (b) e (c) da figura acima mostram a interpretação geométrica do Corolário 4. nos casos em que f (a) > e f (b) <, e f (a) < e f (b) >, respectivamente. Em algumas problemas é importante saber se em um intervalo eiste o máimo ou o mínimo de uma função. O próimo resultado nos garante tal fato. Teorema 4.5 (Teorema de Weierstrass) Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto um valor máimo M quanto um valor mínimo m neste intervalo. Isto é, eistem 1, [a,b] tais que: f ( 1 ) = m, f ( ) = M e m f () M para qualquer [a,b]. Nota Em qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes, não são condições necessárias. 4.8 Funções inversas e continuidade Desde que o gráfico de qualquer função inversa f 1 é o reflo do gráfico de f ao longo da reta y =, e o gráfico de f, quando ela é uma função contínua, não pode ter interrupções, então f 1 deve também ser uma função contínua. O seguinte teorema estabelece formalmente esse resultado. Teorema 4.6 (Teorema da continuidade da função inversa) Seja f : R R uma função contínua e injetora em Dom( f ). Então f 1 é contínua em Dom( f 1 ); em outras palavras, f 1 é contínua em cada ponto de Im( f ). Na figura seguinte podemos ver uma ilustração do Teorema / 65

119 y y = f() y = f -1 () Corolário 4.3 Seja f : R R uma função contínua e estritamente crescente ou decrescente no intervalo [a,b]. Então: i. f é invertível em [a,b]; ii. f 1 é estritamente crescente, ou descrescente, em [a,b]; iii. f 1 é contínua em [a,b]. Nota f estritamente crescente ou decrescente implica que f é injetora em [a, b]. 4.9 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos o conceito de continuidade em etapas, partindo de uma noção informal e intuitiva para uma definição matemática precisa. Percebemos que o conceito de limite é fundamental para o bom entendimento e desenvolvimento desta teoria. O conceito de descontinuidade e os tipos de descontinuidade de uma função foram apresentados, pois é necessário saber reconhecer, dada uma função, se esta é contínua ou descontínua. Também aprendemos como evitar, ou remover, uma descontinuidade, caso seja possível. A definição de continuidade em intervalos foi apresentanda, isto é, envolvendo intervalos da forma: (a,b), [a,b], [a,b) e (a,b]. Diversos teoremas foram vistos para nos ajudar a mostrar se uma função é ou não contínua. E concluímos o capítulo mostrando como a continuidade de uma função está relacionada com a sua inversa. Eemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos esses itens. Desde que já estudamos limites e continuidade, podemos no proímo capítulo avançar para as noções básicas sobre derivada, conceito muito utilizado para resolver uma ampla gama de problemas, tais como determinação de retas tangentes e valores etremos de uma função dada, entre outras aplicações. 4.1 Atividades 1. Demostre, usando ε e δ, que as seguintes funções são contínuas em a: 18 / 65

120 i. f () = 8 + 7, a = 1. ii. f () = 3, a = 1.. Determine se a função é contínua ou descontínua em a. Caso seja descontínua, indique o tipo de descontinuidade: { { 5 3, se 1; i. f () = ii. f () =, se 1; 1, se = 1; 1, se < 1; a = 1. a = 1. +, se 1; 1, se 3 < ; iii. f () = 1, se 1 < < 1; iv. f () = 1, se < < ;, se 1 ; 5, se 3; a = 1, a = 1. a =, a =. 3. Encontre, se possível, um número L R para que a função f seja contínua no ponto a. Justitique sua resposta , se < 1; i. f () =, se 4; 4 ii. f () = 1, se > 1; L, se = 4; L, se = 1; a = 4. a = ±1., se < ; iii. f () = 4, se > ; iv. f () = L, se = ; a = ±. a = 3. { 4 v. f () =, se < ; L, se ; a = ±. 3, se 3; 3 L, se = 3; 4. Sejam as funções f e g. Determine se as funções f, g, f + g, f g, f g e f g ponto = : são contínuas no ( ) , se ; + 1, se ; i. f () = g() = 1, se = ; 1 4, se = , se ; 1 4, se ; ii. f () = g() = 1, se = ;, se =. 5. Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funções: 19 / 65

121 i. f () = iii. f () = 3 1, se 1; 1 8, se = 1. ii. f () =. iv. f () = 3 + 9, se 3; v. f () =, se >. vii. f () = 4, se < 4; 4 +, se > 4. 16, se > 1, 1; 1 i. f () = sgn( 1 1), se < 1. sgn( 3 1), se 3; +, se < ;, se = , se ; 3, se =. 8 3, se < 8; vi. f () = 3, se , se < ; viii. f () = 1, se.. f () = 9, se 3 < ; , se < < 5;, se > 5. ( 4) 6. Determine a continuidade nos intervalos que se indicam: 16 4, 4 se ±; i. f () = 8, se = ; 8, se = ; em (, ), (, ], (,], [,], [,), [,+ ) e (,+ ) , se 1, ; 3 + ii. f () = 4, se = 1; 4, se = ; 11 / 65

122 em (,1), (,1], (1,), [1,], [,+ ) e (,+ ). iii. f () = ( 1) em [,]. 7. Indique se a função é ou não contínua no intervalo onde tem sido definida. + i. f () = 3 1, < < , se 5 < < 5, ±4; 16 ii. f () = 1, se = 4; 8. iii. f () =, se = 4; ( 1) +, se < < 4, 1; 1 1, se = Determine os valores de a e b de forma que a função dada seja contínua no seu domínio a, se < ; a( 3, se < 8; ) i. f () = 3a + b, se 1; ii. f () = ab, se = 8; 6 b, se > Determine os intervalos onde a função f é contínua. 16 i. f () = 6. ii. f () = 3 4. iii. f () = iv. f () =., se > 8. 7 b v. f () = , se 1;, se 1 < 4; 8 15, se > Analise a continuidade da função h i. h = f g 1 onde , se ; f () = 3 +, se 1; g() = 1,, / 65

123 ii. h = f g e g f onde f () = sgn(); g() = 3. iii. h = f g onde f () = + ; g() =, se < ;, se. iv. h = g 1 f 1 onde + 1, se 1; f () =, se ; 3 + 1, se 8; g() = 3, se > 1. Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 11 / 65

124 Capítulo 5 A Derivada OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Calcular a derivada de uma função como limite do quociente de incremento quando o incremento na variável independente tende a zero; Interpretar geometricamente o conceito da derivada; Determinar a equação da reta tangente e normal em um ponto dado de uma curva; Aplicar os teoremas, para encontrar as derivadas de funções polinomiais e radicais; Calcular a derivada da composição de funções e a da inversa de uma função; Deduzir as fórmulas para encontrar as derivadas trigonométricas, logarítmicas, eponenciais e trigonométricas inversas; Derivar uma função dada implicitamente. 5.1 Introdução A derivada de uma função é mais um dos conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral. A ideia da derivada originou-se de um problema geométrico: encontrar a reta tangente em um ponto de uma curva. Porém, o conceito da derivada foi formulado apenas no século XVII, quando o matemático Fermat estudou como determinar os máimos e mínimos de determinadas funções. 1 A ideia de Fermat foi muito simples e pode ser entendida com o auílio da figura acima. Dada uma curva, suponha que em cada um de seus pontos há uma direção definida que pode ser dada pela 113 / 65

125 tangente. Cada uma dessas tangentes é indicada na figura por um segmento de reta tracejada. Fermat observou que nos pontos onde a curva alcança um ponto máimo ou mínimo, 1 e na figura, a reta tangente é horizontal. Portanto, o problema para encontrar esses valores etremos se reduz a localizar tangentes horizontais. Isso nos conduz à questão mais geral da determinação da direção da reta tangente e normal em um ponto arbitrário da curva. A tentativa de resolver este problema foi o que levou Fermat a descobrir algumas das ideias primárias referentes à derivada. Naquela época, não se tinha uma coneão entre o problema de encontrar a área de uma região limitada por uma curva e o problema de encontrar a tangente em um ponto de uma curva. O primeiro a unir essas ideias foi Newton. No entanto, Newton e Leibniz, de forma independente, foram os primeiros que compreenderam a verdadeira importância dessa relação e a eploraram para desenvolver as ideias básicas do Cálculo Diferencial e Integral até conseguir que problemas, até então sem solução, fossem resolvidos facilmente utilizando os novos métodos e, assim, inauguraram uma etapa sem precedente no desenvolvimento da matemática. Neste capítulo, apresentamos o conceito de derivada, a relação que eiste entre ela e as retas tangente e normal, as principais regras de derivação, derivadas de funções elementares e derivação implícita. 5. Definição formal Na seguinte definição apresentamos o conceito mais importante deste capítulo: Definição 5.1 Sejam f : R R uma função e um ponto a Dom( f ). Diz-se que: i. f é derivável (ou diferenciável) em a se o limite eiste; ii. f (a) é a derivada de f em a; f (a) := lim h f (a + h) f (a) h iii. f é derivável (ou diferenciável) em A, se A Dom( f ) e f é derivável em a para todo a A. Nota a. Ao fazer a mudança de variável = h+a na Definição 5.1, obtemos que h implica a, o qual resulta na forma equivalente de f (a): f f () f (a) (a) = lim ; a a b. A notação f (a) deve-se ao matemático Lagrange, mas também são usadas as seguintes notações: D f (a), d f () d, ḟ (a) e estas se devem ao matemáticos Cauchy, =a Leibniz e Newton, respectivamente. 114 / 65

126 Eemplo 5.1 Encontremos a derivada das seguintes funções no ponto = 9: a. f () = Da definição da derivada e de f, temos que b. f () = f f (9 + h) f (9) (9 + h) 9 (9) = lim = lim = lim(18 + h) = 18. h h h h h Da definição da derivada e de f, temos que f f (9 + h) f (9) 9 + h 3 (9) = lim = lim = lim h h h h h 9 + h 3 h( 9 + h + 3) = lim h h + 3 = 1 6. c. f () = 1 Da definição da derivada e de f, temos que 1 f f (9 + h) f (9) (9) = lim = lim 9 + h 1 9 h h h h = lim h h 9h(9 + h) = lim h 1 9(9 + h) = A Reta Tangente A ideia básica para obter a reta tangente à curva f no ponto a Dom( f ) é se aproimar com retas secantes à curva que passam pelo ponto (a, f (a)). Veja isso na figura abaio. Prova-se que quando os pontos d, d 1,...,d n vão se aproimando do ponto d, as inclinações das retas secantes f ( i) f (a) i a variam cada vez menos quando nos aproimamos do ponto a, isto é, tendendo ao valor limite constante f (a). f( 1 ) f( ) f( n ) f() L T dn d1 d f(a) d a n / 65

127 Pelo eposto anteriormente, podemos definir a reta tangente em um ponto. Definição 5. Sejam f : R R uma função derivável em A Dom( f ) e um ponto a A. A reta tangente à curva y = f () no ponto (a, f (a)) é a reta de equação: L T : y f (a) = f (a)( a). De forma mais simples, diz-se que L T é a reta tangente a y = f () em a. y f(a) L T f a Eemplo 5. Encontremos a equação da reta tangente L T à curva: a. y = no ponto (9,81) Do eemplo anterior, temos que a inclinação de L T em = 9 é f (9) = 18. Assim, a equação de L T em (9,81) é b. y = no ponto (9,3) y 81 = 18( 9) ou de forma equivalente y = Do eemplo anterior, temos que a inclinação de L T em = 9 é f (9) = 1 6. Assim, a equação de L T em (9,3) é c. y = 1 ( no ponto 9, 1 ) 9 y 3 = 1 6 ( 9) ou de forma equivalente y = Do eemplo anterior, temos que a inclinação de L T em = 9 é f (9) = 1 ( 81. Assim, a equação de L T em 9, 1 ) é 9 y 1 9 = 1 1 ( 9) ou de forma equivalente y = / 65

128 5.4 A derivada como função Na seção anterior, obtivemos a derivada de y = f () no ponto = a. Agora, definiremos a derivada como uma função deduzida de f. Definição 5.3 Seja f : R R uma função. Então, a função f é definida por f f ( + h) f () () := lim, h h se este limite eistir, e será denominada de função derivada de f. O domínio dessa função é denotado por Dom( f ) e definido por Dom( f ) = { Dom( f ) : f () eiste }. Além disso, as notações mais comuns para a derivada de y = f () são: f (), d f () d, dy d, y, D f (), ḟ (). A notação d f (), leia-se derivada de f () com respeito a. d Eemplo 5.3 a. Seja c R. Provemos que a função constante f () = c, é derivável e f () =, R. Da definição da derivada e de f, temos que: f f ( + h) f () c c () = lim = lim = lim =. h h h h h Portanto, f é derivável e f () =, R. b. Seja a, b R, a. Provemos que a função f () = a + b é derivável e f () = a, R. Da definição da derivada e de f, temos que: f f ( + h) f () a( + h) + b (a + b) ah () = lim = lim = lim h h h h h h = a. Portanto, f é derivável e f () = a, R. c. Seja n N. Provemos que a função f () = n é derivável e f () = n n 1, R. Para n = 1, a prova é trivial. Assumamos que n : 117 / 65

129 f () = lim h f ( + h) f () h ( + h) n n = lim h h n vezes { }} { [( + h) ][ ( + h) n 1 + ( + h) n + + n 1 ] = lim h h n vezes { }} { = lim ( + h) n 1 + ( + h) n + + ( + h) n + n 1 ] = n n 1. h [ Portanto, f é derivável e f () = n n 1, R. d. Provemos que a função f () = não é derivável no ponto =. Da definição de f e analisando o limite: f ( + h) f () f (h) f () h lim = lim = lim h h h h h h, notamos que este limite não eiste, pois lim derivável no ponto =. h + h h = 1 e lim h h h = 1. Portanto, f não é 5.5 Derivadas laterais Desde que a derivada é um limite, é importante saber o que acontece quando nos aproimamos por meio de valores menores e maiores do ponto analisado, na epressão da derivada. Definição 5.4 Seja f : R R uma função e a Dom( f ). i. A derivada pela esquerda de f no ponto a, denotada por f (a), é definida por se este limite eiste. f (a) = lim h f (a + h) f (a) h ii. A derivada pela direita de f no ponto a, denotada por f +(a), é definida por se este limite eiste. f +(a) = lim h + f (a + h) f (a) h 118 / 65

130 Nota Ao fazer a mudança de variável = h + a na Definição 5.4, obtemos que h implica a ; e h + implica a +. Assim, obtemos as formas equivalentes da definição das derivadas laterais: f (a) := lim a f () f (a) a e f +(a) f () f (a) := lim. a + a Analisando as Definições 5.1 e 5.4, obtemos o seguinte critério de diferenciabilidade. Proposição 5.1 A função f : R R é derivável no ponto a Dom( f ) se, e somente se, as derivadas laterais f (a) e f +(a) eistem e são iguais. O próimo resultado mostra que funções não são diferenciáveis em pontos de descontinuidade Proposição 5. Se a função f : R R é derivável no ponto a Dom( f ), então f é contínua no ponto a. Nota a. A recíproca da Proposição 5. não é necessariamente verdadeira. Se consideramos a função f () =, sabemos que ela é contínua em =. Porém, pelo item (iv) do eemplo anterior, ela não é derivável em =. b. Para encontrar as derivadas laterais das funções definidas por partes nos pontos onde a função muda de regra de correspondência é útil ter em mente as seguintes propriedades: i. Se f é derivável para todo < a, lim f () = f (a) e lim f () = L eiste, então, a a f (a) = L. ii. Se f é derivável para todo > a, lim f () = f (a) e lim f () = L eiste, então, a + a + f +(a) = L. Eemplo 5.4 a. Seja a função f definida por: f () = {, se < 1; a + b, se 1. Determinemos os valores de a e b para que f (1) eista. 119 / 65

131 Considerando que f (1) eiste, então f é contínua no ponto = 1. lim f () = lim f () e, assim, obtemos que 1 = a + b Por outro lado, Logo, obtemos Pela nota anterior, temos que f () = {, se < 1; a, se > 1. f (1 ) = lim f () = e f (1 + ) = lim f () = a, e como f (1) eiste, resulta a =. Finalmente, da condição a+b = 1 obtemos que b = 1. b. Determinemos se a função f definida por: é derivável no ponto =. f () = {, se ;, se > ; Da definição de f, temos que f ( f ( + h) f () h ) = lim = lim h h h h = 1, f ( + f ( + h) f () h ) = lim = lim h + h h + h = lim h =. h + Portanto, a função não é derivável no ponto =, porém, é contínua no ponto =. c. Seja a função f definida por: f () = Provemos que f é derivável no ponto =. {, se é racional;, se é irracional. Da definição da derivada no ponto =, obtemos que f f (h) f () f (h) f (h) () = lim = lim = lim h h h h h h Agora, analisemos f (h) e f (h) h. Como { h f (h) =, se hé racional;, se h é irracional, então, { f (h) h, se hé racional; h =, se h é irracional, Assim, em qualquer um dos dois casos, lim h f (h) h =. Portanto, f () =. 1 / 65

132 Dada uma função f definida em um intervalo aberto, dizemos que f será derivável no intervalo aberto quando houver derivadas em cada ponto do intervalo. Porém, quando lidamos com um intervalo que é semi-aberto, fechado ou ilimitado, f não está definida nos etremos desse intervalo, já que as derivadas são limites bilaterais. Nesta situação, dizemos que f é diferenciável se f for diferenciável em cada ponto do interior do intervalo e se eistir a derivada lateral apropriada em cada etremo do intervalo. 5.6 Reta normal Ao considerar a interpretação geométrica da derivada em um ponto, entendemos como a equação da reta tangente, denotada por L T é obtida. Agora vamos a analisar a reta perpendicular a esta. Definição 5.5 Seja f : R R uma função derivável no ponto = a. A reta que passa pelo ponto (a, f (a)) e é perpendicular à reta tangente da curva y = f () no ponto (a, f (a)) é chamada de reta normal da curva y = f () no ponto (a, f (a)), denotada por L N, e se: i. f (a), então a equação da reta normal é ii. f (a) =, então a equação da reta normal é L N : y f (a) = 1 f ( a); (a) y f(a) L N : a =. L N L T f a Eemplo 5.5 a. Seja f () = + 3, encontremos as equações da reta tangente L T e da reta normal L N à curva y = f () no ponto (,3). Desde que as equações de L T e L N no ponto (,3) dependem de f (), calculemos este valor f f ( + h) f () () = lim = lim(h + ) =. h h h 11 / 65

133 Assim, as equações das retas tangente e normal à curva y = f () no ponto (,3) são: L T : y 3 = ( ) L T : y 1 = ; L N : y 3 = 1 ( ) L N : + y 8 =. b. Determinemos (a, f (a)) e as equações das retas tangente e normal à curva y = f () =, sendo que a reta tangente é paralela à reta y 4 =. O nosso problema aqui é encontrar o ponto (a, f (a)) no qual a reta esta definida. Porém, a reta paralela y 4 = nos dará essa informação. Calculando a derivada f f (a + h) f (a) (a) = lim = lim( 1 a h) = 1 a. h h h Como as inclinações de y 4 = e L T são iguais, então f (a) = 1. Logo, destas duas equações, obtemos que a = 1. Portanto, o ponto de tangência é ( 1, f ( 1)) = ( 1,), e as equações das retas tangente e normal são: respectivamente. L T : y = + 3 e L N : y = + 1, c. Dada a reta L N, normal à curva y = f () = 4 no ponto (a, f (a)). Se L N passa pelo ponto (33,), determinemos o valor de a e as equações de L T e L N. Como f () =, a inclinação de L T no ponto (a, f (a)) é f (a) = a. Por outro lado, a inclinação da reta L N que passa pelos pontos (33,) e (a, f (a)) é Logo, 1 f (a) = f (a) a 33 = a 4 a 33 a 3 7a 33 = (a 3)(a + 6a + 11) =. Em consequência, a = 3, pois é a única raiz real da equação acima, e as equações das retas tangente e normal são: respectivamente. L T : y = 6 13 e L N : y = , 5.7 Regras de derivação Nesta seção apresentamos algumas regras que nos possibilitarão calcular derivadas de diversos tipos de funções de forma mais eficiente, sem ter que aplicar a definição a qual envolve limites. 1 / 65

134 Teorema 5.1 Sejam f e g duas funções deriváveis em e seja k uma constante. Então, as funções são deriváveis em. Além disso, k f, f ± g, f g, 1 g e f g i. (k f ) () = k[ f ()] ii. ( f ± g) () = f () ± g () iii. ( f g) () = f () g() + f () g () iv. Se g(), então, ( ) 1 a. () = g () g [g()] ; ( ) f b. () = f () g() f () g () g [g()]. Teorema 5. Se f 1, f,..., f n são funções deriváveis em, então: i. f 1 + f f n é derivável em e ii. f 1 f... f n é derivável em e ( f 1 + f f n ) () = f 1() + f () f n() ( f 1 f... f n ) () = f 1 () f ()... f n () + f 1 () f () f 3()... f n () f 1 () f ()... f n 1 () f n() + f 1 () f ()... f n 1 () f n(). Eemplo 5.6 Calculemos f () da função f definida por: a. f () = Do Teorema 5., aplicando a propriedade da soma de derivadas, temos que: b. f () = ( + + 1) 3 f () = ( ) = (6 5 ) + ( 4 ) (3 3 ) + () = 6( 5 ) ( 3 ) + = Do Teorema 5., aplicando a propriedade do produto de derivadas, temos que: f () = ( + + 1) 3 + ( + + 1)( 3 ) = ( + 1) 3 + ( + + 1)3 = ( ). 13 / 65

135 c. f () = n, com e n N Da definição de f notamos que ela pode ser reescrita como f () = 1. Logo, do Teorema n 5.1, temos que d. f () = + 3, f () = ( ) 1 n = nn 1 n = n n 1, R \ {}. Aplicando a regra da derivada para a divisão, Teorema 5.1, obtemos que f () = ( + 3) ( ) ( + 3)( ) (1)( ) ( + 3)( 1) 5 ( ) = ( ) = ( ). e. f () = a5 + b 4 + c a + b + c Da definição de f observamos que ela pode ser reescrita como f () = 1 a + b + c (a5 + b c), onde a + b + c é uma constante. Logo, pelo Teorema 5.1 f () = 1 a + b + c (a5 + b 4 + c) 1 = a + b + c (5a4 + 4b 3 ). Nota a. Se f () = n, n Z, obtemos que f () = n n 1. b. Se c é uma constante em R e f () = c, então f () = c c 1. Por eemplo, se f () = /3 então f () = 3 1/ A derivada da composição de funções Nesta seção apresentamos uma epressão a qual representa a derivada de uma composição de funções em termos das derivadas das funções que a compõem, o qual é de grande ajuda quando queramos derivar funções mais complicadas usando funções mais simples. Teorema 5.3 (Regra da cadeia) Sejam f : A R e g : B R duas funções tais que Im( f ) B. Se f é derivável no ponto a Dom( f ) e g é derivável no ponto b = f (a) B, então g f é derivável em a e a derivada é: (g f ) (a) = g ( f (a)) f (a). 14 / 65

136 Corolário 5.1 Seja f uma função derivável em a e h() = [ f ()] n, onde n é uma constante, então a função h é derivável em a e h (a) = n[ f (a)] n 1 f (a). Nota Em particular, dos resultados anteriores, obtemos que: a. Se y = y(t) e t = t() são duas funções deriváveis, então, dy d = dy dt dt d, dy onde dt = y (t) e dt d = t (). b. Se y = f () é uma função derivável com dy d e possui inversa = f 1 (y), então, d dy = 1 dy/d ; c. Se y = y(t) e = (t) são duas funções deriváveis com d dt dy d = dy/dt d/dt ; d. Se f () = [u()] n e u() é derivável, então,, então, f () = n[u()] n 1 u (); e. Se f () = u() e u() é derivável, com u() >, então, f () = u () u() ; f. Se f () = u() e u() é derivável, com u(), então, f () = u() u() u (). Eemplo 5.7 a. Encontremos f usando o item (d) da nota acima, onde f é definida por: i. f () = ( 4 + 1) 3 f () = 3( 4 + 1) ( 4 + 1) = 3( 4 + 1) (4 3 ) = 1 3 ( 4 + 1). ii. f () = ( ) 3 15 / 65

137 g () = 3( ) 99 ( ) = 9( + 4)( ) 99. [ ] + 18 iii. f () = h () = 18 [ + ] 17 ( ) + = 18 [ + b. Sejam y = t 4 t +t e t = ( + 1) 4, calculemos dy d. Do item (a) da nota anterior, temos que: Substituindo t por ( + 1) 4, obtemos que ] 17 [ ( ) ( + ) ( ) dy d = dy dt dt d = [4t3 t + 1][4( + 1) 3 ][]. ] 7( + )15 = ( ) 17. dy d = [4( + 1) 3 ( + 1) + 1][8( + 1) 3 ] = 8[( + 1) 6 ( + 1) 4 + ( + 1) 3 ]. c. Se f () = 7 (5 3 + ) 3, determinemos f (). Observamos que f () = (5 3 + ) 3/7. Assim f () = 3 7 (5 3 + ) 4/7 (5 3 + ) = d. Seja f () = , determinemos f (). Do item (f) da nota acima, temos que: f () = ( ) = 1 = ( ) (6) = e. Sejam f ( + 1) = + 8 e g( + 1) = f ( ), determinemos g (4). 3(1 3) 7 7 (5 3 + ) 4. ( 3 ) (3 8) 3(3 8) Fazendo z = + 1, temos que = z 1, f (z) = (z 1) + 8 e g(z) = f (z 3). Logo, Aplicando a regra da cadeia, temos que f (z) = 4(z 1). g (z) = f (z 3)(z 3) = 4((z 3) 1) = 4(z 4). Portanto, para z = 4( ou = 3), obtemos que g (4) = 4(4 4) =. 16 / 65

138 f. Sejam f () = 1 e y = f ( ) 1, determinemos dy + 1 d. Fazendo z = 1, temos que y = f (z). Aplicando a regra da cadeia, obtemos que + 1 dy d = dy dz dz d = f (z) ( + 1) = z z 1 Substituindo z por 1 dy, temos que + 1 d = 1 ( + 1). ( + 1). 5.9 Teorema da função inversa No Capítulo, estudamos a função inversa e como ela modifica o efeito da função da qual é inversa. Esse resultado é um dos teoremas fundamentais da matemática, pois garante, dada uma função derivável, a eistência da inversa e a derivabilidade desta. No teorema seguinte, analisaremos a relação de reciprocidade entre as derivadas de f e f 1. Teorema 5.4 Seja f definida e derivável em um intervalo aberto I. Se f () para todo I, então f possui inversa f 1, derivável e ( f 1 ) () = 1 f ( f 1 ()). Eemplo 5.8 a. Seja f () = 3 7. Determine o valor de ( f 1 ) em =. Aplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f 1 ) em =. De fato, observamos que = f (3), o que resulta em f 1 () = 3 e Portanto, f () = 3 f (3) = 3(3) = 7. ( f 1 ) () = 1 f ( f 1 ()) = 1 f (3) = 1 7. b. Seja f () = com dominio Dom( f ) = [ 1,+ ). Determine o valor de ( f 1 ) em = 6. Aplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f 1 ) em = 6. De fato, devemos identificar a f 1 (6) 6 = f () = = obtemos = 3, = 1; 17 / 65

139 porém como somente deve eistir uma única solução, descartamos = 3, pois 3 Dom( f ) = [ 1,+ ). Assim 1 = f 1 (6), alem disso f () = + f (1) = (1) + = 4. Portanto, ( f 1 ) (6) = 1 f ( f 1 (6)) = 1 f (1) = Derivadas de funções elementares Na sequência apresentamos algumas fórmulas de derivadas que correspondem a certos tipos de funções. Função Eponencial Sejam f,g : R R, u() uma função derivável, e a R, com < a 1. Se f () = a e g() = a u(), então, f () = ln(a)a e g () = ln(a)a u() u (). Função Logarítmica Sejam f,g : R ++ R, u() uma função derivável, e a R, com < a 1. Se f () = log a () e g() = log a (u()), então, f () = log a (e) Se a = e, então log e () = ln() e f () = 1. e g () = log a (e)u (). u() Funções Trigonométricas Sejam f,g : R R, e u() uma função derivável. Função Seno Se f () = sen() e g() = sen(u()), então, Função Coseno Se f () = cos() e g() = cos(u()), então, Função Tangente Se f () = tg() e g() = tg(u()), então, f () = cos() e g () = cos(u())u (); f () = sen() e g () = sen(u())u (); f () = sec () e g () = sec (u())u (); 18 / 65

140 Função Cotangente Se f () = cotg() e f () = cotg(u()), então, f () = cossec () e g () = cossec (u())u (); Função Secante Se f () = sec() e g() = sec(u()), então, f () = tg()sec() e g () = tg(u())sec(u())u (); Função Cossecante Se f () = cossec() e g() = cossec(u()), então, f () = cotg()cossec() e g () = cotg(u())cossec(u())u (); Funções Trigonométricas Inversas Sejam f,g : R R, e u() uma função derivável. Função Arco Seno Se f () = arcsen() e g() = arcsen(u()), então, f () = 1, com < 1, e u () 1 g () =, com u() < 1; 1 u () Função Arco Coseno Se f () = arccos() e g() = arccos(u()), então, f () = 1, com < 1, e 1 g () = u (), com u() < 1; 1 u () Função Arco Tangente Se f () = arctg() e g() = arctg(u()), então, f () = 1 1 +, com R, e g () = u () 1 + u, com u() R; () Função Arco Cotangente Se f () = arccotg() e g() = arccotg(u()), então, f () = 1 1 +, com R, e g () = u () 1 + u, com u() R; () Função Arco Secante Se f () = arcsec() e g() = arcsec(u()), então, f () = 1 1, com > 1, e g () = Função Arco Cossecante Se f () = arccossec() e g() = arccossec(u()), então, u () u(), com u() > 1; u () 1 f 1 () = 1, com > 1, e u () g () = u(), com u() > 1. u () 1 19 / 65

141 5.11 Derivadas de ordem superior Nesta seção, abordaremos a situação de derivar sucessivamente uma função (sempre que for possível). Definição 5.6 Seja f : R R uma função derivável. i. Se f é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada segunda de f e é denotada por ( f ) = f (), D f (), d f () d, f (); ii. Se f é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada terceira de f e é denotada por ( f ) = f (), D 3 f (), d 3 f () d 3,... f (); iii. Desta forma, derivando sucessivamente a função f, se a derivada de ordem (n 1) de f é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada n ésima de f e é denotada por ( f (n 1) ) = f (n), D n f (), d n f () d n. Proposição 5.3 (Fórmula de Leibniz) Suponhamos que as funções u() e v() têm derivada de ordem n no mesmo conjunto A R. Então, y = u v é derivável até a ordem n em A e y (n) = (u v) (n) = ( ) n u (n) v + ( ) n u (n 1) v onde u () = u, v () = v, u (1) = u, v (1) = v, u () = u, v () = v, etc. ( ) n u (n k) v (k) + + k ( ) n u v (n) n Eemplo 5.9 Sejam as funções f,g : R R e h : [4,+ ) R definidas por: f () = Encontremos f (), g () e h () , g() = e h() = ( ) 3 1 a. f () = implica que f () = Logo, f () = ( f ()), isto é, f () = ( 4 + 3). ( 4 + 1) 3 13 / 65

142 b. g() = implica que 3 g 185 () = (1 + 4 ), com. Logo g () = (g ()), isto é, g () = 63 ( ) (1 + 4 ) 3, com. c. h() = ( ) 3 1 implica que h () = ( ), com 3 1 > 4. Logo h () = (h ()), isto é, h () = , com 4. 4(3 1) 3 Eemplo 5.1 Sejam as funções f,g : R R definidas por: Encontremos a. f (), f () e f (); b. g (), g () e g (); se eistem, para todo R. f () = 3 e g() = a. Da definição de f (), podemos reescrevê-la como: Logo, f () = { 4, se ; 4, se <. { 3, se ; 3, se <. { f 3 () =, se > ; 3, se < ; { f 6, se > ; () = 6, se < ; { f 6, se > ; () = 6, se < ; Analisando as derivadas laterais, para =, temos que: f () = f () =, f ( ) = 6 e f ( + ) = 6. Portanto, f () não eiste para todo R. 131 / 65

143 b. Usando o mesmo raciocínio do item acima, temos que: { g 4 () = 3, se ; 4 3, se < ; { g 1 () =, se > ; 1, se < ; { g 4, se > ; () = 4, se < ; Analisando as derivadas laterais, para =, temos que: Portanto, g () eiste para todo R. g () = g () = g () =. Eemplo 5.11 Calculemos a n ésima derivada de f, definida por: a. f () = a n n + a n 1 n a 1 + a, com a n ; Notemos que f () é um polinômio de grau n. Logo Além disso, f () = a n n n 1 + a n 1 (n 1) n + + a + a 1 ; f () = a n n(n 1) n + a n 1 (n 1)(n ) n a ;. f (n) () = a n n!. b. f () = 1, com f (k) () =, R e k n + 1. Da definição de f, podemos reescrevê-la como f () = (1 + ) 1. Logo, derivando sucessivamente f, temos que: c. f () = 1 +, com 1. f () = 1(1 + ) = 1 (1 + ) ; f () = ( 1)( )(1 + ) 3 = ( 1)! (1 + ) 3 ;. f (n) () = ( 1)n n! (1 + ) n / 65

144 Da definição de f, podemos reescrevê-la como f () = ( + 1) 1, com 1. Logo, derivando sucessivamente f, temos que: f () = ( + 1) ; f () = ( + 1) 3 ; f () = 3( + 1) 3 ; d. f () = 6 + 5, com e f (n) () = ( 1) n+1 n 1 n! ( + 1) n+1. Da definição de f, podemos reescrevê-la como a soma de frações: f () = 17 5 ( ) ( + 3) 1, com e 3. Logo, derivando sucessivamente f, temos que: f () = 17 5 ( ( ) ) ( ( + 3) ) ; f () = 17 5 ( ( ) 3 ) ( ( + 3) 3 ) ; e. f () = 1 +, com 1.. f (n) () = ( 1)n 5 ( ) 17 ( ) n ( + 3) n+1. Da definição de f, podemos reescrevê-la como f () = (1 + ) 1 para > 1. Logo, derivando sucessivamente f, temos que: f () = 1 (1 + ) 1 = ; f () = (1 + ) = (1 + ) ; 3 f () = 3 3 (1 + ) 5 = 3 3 (1 + ) 5 ; 133 / 65

145 f (4) () = (1 + ) = 4 4 (1 + ) ; 7. f (n) () = ( 1) n (n 5) (n 3) n. (1 + ) n Derivação Implícita Funções definidas eplícita e implicitamente Até o momento, trabalhamos apenas com funções descritas pela equação y = f (). Esse tipo de função é chamada de eplícita, pois y é epressa eplicitamente em termos de. Porém, eistem outras situações nas quais será necessário lidar com equações como y + 1 =, y 7 3y 5 + 7y cos() = ou y =, que são denotadas por E(,y) =, e definem uma relação implícita entre as variáveis e y. Em alguns casos, seremos capazes de epressar a variável y eplicitamente em termos de. Por eemplo, dada a equação E(,y) : y + 1 = temos que E(,y) = define de forma implícita as funções f 1 e f onde ou seja, f 1 () = 1 e f () = 1, y = f 1 () e y = f (). Se nosso objetivo é derivá-la, então aplicamos as regras de derivação conhecidas. Porém, dada uma equação E(, y) = muitas vezes não é simples encontrar as funções eplicitamente definidas por ela, por eemplo: E(,y) : y 7 3y 5 + 7y cos() =. Contudo, y ainda é definida como uma função de. Assim, diz-se que E(,y) = define y implicitamente como uma função de, e para obter a derivada de forma usual, devemos determinar dy/d por intermédio de Derivação Implícita, que será descrita nesta seção. No entanto, eistem também casos que E(,y) = não define nenhuma função, por eemplo: y =. Por esta razão precisamos estabelecer uma definição deste assunto. Definição 5.7 Diz-se que E(,y) = define a função f implicitamente se o gráfico de y = f () coincide com alguma porção do gráfico da equação E(,y) =. 134 / 65

146 Eemplo 5.1 Seja E(,y) : = y 4, ressaltemos que esta equação não define nenhuma função em y, pois uma reta vertical corta em dois pontos o seu gráfico (veja o item (a) da figura abaio). No entanto, se resolvemos E(,y) = para y em termos de, obtemos as equações y = 4 e y = 4, y L E(,y) = y L y = f 1 () (a) (b) y = f () cujos gráficos são porções do gráfico de E(,y) =. Veja também o item (b) da figura acima. Assim, E(,y) = define implicitamente as funções f 1 () = 4 e f () = 4. Derivação Implícita Felizmente, dada a equação E(, y) = não é necessário resolvê-la, ou seja, colocando y em termos de a fim de obter as derivadas das funções definidas implicitamente por ela. Para ilustrar esse fato, calcularemos as derivadas de f 1 e f, do eemplo anterior, de duas formas. Eemplo 5.13 Primeira forma Do eemplo anterior, temos que Então, f 1 () = 4 e f () = 4. f 1() = e f () = Segunda forma Usando derivação implícita para obter a derivada podemos diferenciar ambos lados da equação E(,y) : = y 4, ou seja, d d [] = d d [y4 ] 1 = 4y 3 y 1 4y 3 = y. Logo, se nesta última epressão substituímos y = ± 4, obtemos y = e y = , o que está de acordo com as derivadas obtidas para f 1 e f. 135 / 65

147 Eemplo 5.14 Usando derivação implícita, encontremos y se: a. y + 1 = Logo, d [ y + 1 ] = d d d [] yy 1 + = yy = 1. y = 1 y. b. y =. Logo, d [ y ] = d d d [] yy = yy = 4 3. y = 3 y. c. y 7 3y 5 + 7y cos() =. Logo, d [ y 7 3y 5 + 7y cos() ] = d d d [] 7y 6 y 15y 4 y + 14yy cos() + sen() = (7y 6 15y y)y = cos() sen(). y = cos() sen() 7y 6 15y y. 136 / 65

148 Nota No último eemplo, as respostas apresentadas envolvem tanto quanto y. A fim de obter uma solução que envolva somente, teríamos de resolver a equação original, ou seja, obter y de forma eplícita e, então substituir em cada uma das soluções dadas. Fazendo isto para os itens (i) e (ii), temos que: (i) y + 1 = y = ± 1 y = ± 1 1. (ii) y = y = ± 9 4 y = Porém, para o item (iii) isto é impossível de ser feito, assim, somos forçados a deiar a fórmula de y em termos de Recapitulando Neste capítulo, apresentamos o conceito da derivada. Novamente, percebemos que esse conceito, assim como o de continuidade, depende da teoria de limites, e este limite é tão importante que possui a notação específica y. As definições da derivada e da reta tangente foram estabelecidas para um ponto dado. De certa forma, a derivada pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à curva y = f () em um ponto dado. Além disso, diferente do conceito de continuidade, podemos pensar na derivada como uma função. Desde que a definição da derivada depende da obtenção de um limite, quando a variável se aproima do ponto analisado, os conceitos de derivadas laterais são estabelecidos. Além disso, a definição da reta normal à curva dada é apresentada. Depois disso, apresentamos as regras de derivação para as operações aritméticas, a derivada da composição de funções e o teorema da função inversa. Tendo a teoria necessária para a obtenção da derivada, as derivadas de funções elementares foram apresentadas. Como a derivada de uma função é uma outra função, podemos recorrer repetidamente à obtenção da derivada destas novas funções, e a isto dá-se o nome derivadas de ordem superior. Por fim, apresentamos a derivação implícita, teoria que lida com a obtenção da derivada de equações, na qual a função a ser derivada não necessariamente tem uma representação eplícita. Eemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos esses assuntos. No próimo capítulo, apresentaremos algumas aplicações da derivada. Por eemplo, com ajuda da derivada de primeira e segunda ordem, aprenderemos métodos para analisar o comportamento de uma função em um conjunto dado e obteremos com uma maior precisão o seu gráfico Atividades 1. Usando a definição, calcule a derivada no ponto indicado: i. f () = 1 + 9, a = 7. ii. f () = iii. f () = 1 + +, a = 3. iv. f () = 1 + 3, a = , a = / 65

149 v. f () = 3 3, a = 3. vi. f () = 1, a = 4. vii. f () = 3 5 +, a = 4. vii. f () = 9, a = 5. i. f () = + 3 5, a =.. Encontre f () e indique o seu domínio da função definida por: i. f () = ii. f () =. 3 + iii. f () = + 1. iv. f () = v. f () = 3. vi. f () = vii. f () = a + b c + d. viii. f () = a + a a. a i. f () = +.. f () = a. i. f () = + +. ii. f () = Determine a derivada de f definida por: ( i. f () = arccos() + 1 ln 1 ) ii. f ()=ln(+1 1) iii. f () = 1 sen( 5 ) 1 4 sen( ). iv. f () = arctg() (arcsen()) 3. v. f () = vii. f () = sen() cos() sen() + cos(). vi. f () = (1 + ln(sen()))n. ( ( ( sen cos. viii. f () =. ) )) i. f () = 6 (1 cos()). ( ) 1 sen(). f () = ln. 1 + sen() ( ) i. f () = ln + a ( ) + sen() + cos(). ii. f () = arctg. + a sen() cos() ( iii. f () = tg e ln(arctg(1/3 )) ). iv. f () = 1 e arctg()+ 1 ln() / 65

150 v. f () = 1 ( ) ln 1 ( 1 arctg(). vi. f () = ln + ) + 1. vii. f () = sen ( cos () ) cos ( sen () ). viii. f () = sen 3 ( sen (sen()) ). vii. f () = ln ( 4tg()+1 tg() 4tg()+1+ tg() ). viii. f () = ln ( 1 ) sen() i. f () = ln arctg sen(). sen() ii. f () = + a + a ( ln + + a ). ( sen() ) ii. f () = ln sen() 1. ( ln (sen()) + 3 ln (sen()) 3 ). 4. Determine se f, definida a seguir, é derivável no ponto dado: i. f () = 3 3 ( 3)+ 3 3, a = 3. ii. f () = 4, a =,. iii. f () =, a =. iv. f () =, a = 1, 3, 5. v. f () = { 1, < 1; (1 ), 1; a = 1. vi. f () = {, < 1;, 1; a = 1. { vii. f ()=, < 1; 1, 1; a = 1. viii. f () = { 4, < ;, ; a =. +, < ; i. f () =, < ; 4 +, ; a =,. 5. Encontre os valores de b e c da função f para que a derivada eista no ponto dado. i. f () = { 3, ; b + c, > ; a =. ii. f () = {, < 1; b + c, 1; a = 1. iii. f () = { b + c, < ; 1, ; a =. iv. f () = { + b + 3, 1; 4b + c, > 1; a = Encontre os valores de b e c tal que a função f, definida a seguir, seja diferenciável em todo seu domínio. { i. f () = b, < 1; + c, 1; ii. f () = 1 b + c, 1., > / 65

151 7. Obtenha a equação ou equações das retas tangentes à curva i. y = e perpendicular à reta 6y + 1 =. ii. y = (7 6) 1/3 e perpendicular à reta 1 7y + = iii. 3 y = 14 + y no ponto (, 3). iv. ( + y) = a ( y) na origem de coordenadas. v. y = 4 6 e perpendicular à reta y + 6 =. vi. y = 1 nos pontos onde esta curva se intersecta com o eio. vii. y = + 9 que passam pela origem de coordenadas. + 5 viii. y = 1 e perpendiculares à reta + 4y 3 =. 7 i. + 4y 4 8y + 3 = que passam pelo ponto ( 1,3).. y + 4a = que passa pelo ponto (,1). 1. Encontre a equação ou equações das retas normais à curva: i. y = ln() e paralela à reta y + 3 =. ii. y = 16 + na origem. iii. 4 y = 36 paralelas à reta + 5y = 4. iv. y = + y no ponto (3,1).. Obtenha o gráfico de f e determine f (a), f +(a) e f (a), se eistem, onde f e a são definidos a seguir: i. f () = ( 1), [,], a = 1. ii. f () = (5 ), [4,6], a = Determine dy, usando derivação implícita: d i. e y = + y. ii. ln(y) + y = k. ( y iii. arctg = ) 1 ln( + y ). iv. y 3 = y + y. ( y v. y = arctg. vi. sen(y) cos(y) + cos(y) =. ) vii. ysen() cos( y) =. viii. sen(y) + cos(y) = tg( + y). i. 3 + a y + by + y 3 = y 4 = y. i. y = arcsen() arcsen(y). ii. a y + y = a. iii. 4 y 4 y 4 + y = 6. iv. y 5 y y 5 = / 65

152 v. y + 3 y + 4 y 3 =. vi. y + a = y. vii. y = arcsen() arcsen(y). viii. y = + arctg(y). i. 3 + y y + y 3 =.. 3 3ay + y 3 = a 3. i. 3 y + y 3 = 7 8. ii. ( + y)3 + ( y) 3 = 4 + y 4. ii. ( + y) + ( y) = 3 + y 3. iv. ( + y)y 3 = y. v. y a = y. 4. Em cada um dos eercícios do item (11) acima, determine d dy relação de y, ou seja, a = g(y). usando derivação implícita em 5. Encontre a derivada de y = ( f ()) g() onde: i. f () = + 1, g() = sen(). ii. f () = 1 +, g() = arctg(). iii. f () = e, g() =. iv. f () =, g() =. v. f () =, g() = sen(). vi. f () =, g() = ln(). vii. f () = ln(), g() =. viii. f () = sen(), g() = cos(). i. f () = cos(), g() =.. f () =, g() =. i. f () = e + ln() 8, g() = + y y. Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 141 / 65

153 Capítulo 6 Aplicações da Derivada OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Estabelecer se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo; Determinar os valores etremos, se eistirem, de uma função dada; Determinar os pontos de infleão, se eistirem, e os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baio de uma função dada; Esboçar o gráfico de uma função dada; Conhecer o Teorema de Valor Medio e suas generalizações; Aprender a regra de L Hôpital para determinar os valores de limites indeterminados da forma /, /,,, 1, e. 6.1 Introdução Neste capítulo, estudaremos várias aplicações da derivada. Uma das aplicações mais importantes e úteis da derivada está na determinação dos valores máimos e mínimos de uma função, pois eistem muitos problemas práticos envolvendo esta teoria. De fato, conheceremos os critérios da primeira e da segunda derivada de uma função para determinar seus valores etremos, seus pontos de infleão e os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baio. Logo, com a ajuda desta teoria e dos conteúdos apresentados nos capítulos anteriores, poderemos esboçar o gráfico de uma função com maior precisão. Depois, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e suas generalizações, o qual é útil quando queremos garantir a eistência de determinados pontos com certas propriedades envolvendo a derivada. Além disso, usaremos a teoria das derivadas para calcular tipos específicos de limites indeterminados, esta técnica é conhecida como a Regra de L Hôpital. 6. Valores Etremos de uma Função Já sabemos que as funções contínuas sobre um intervalo fechado alcançam seu valor máimo e seu valor mínimo em pontos deste intervalo. Porém, até o momento não dispúnhamos de um método para encontrá-los. Nesta seção resolveremos esse problema. 14 / 65

154 Definição 6.1 Seja a função f : R R. Diz-se que: i. f tem um valor máimo relativo, em um ponto Dom( f ) se eiste uma vizinhança B( ;δ 1 ), de, tal que f ( ) f (), B( ;δ 1 ) Dom( f ); ii. f tem um valor mínimo relativo, em um ponto Dom( f ), se eiste uma vizinhança B( ;δ ), de, tal que f ( ) f (), B( ;δ ) Dom( f ); iii. f tem um valor máimo absoluto, em um ponto Dom( f ), se f ( ) f (), Dom( f ); iv. f tem um valor mínimo absoluto, em um ponto Dom( f ), se f ( ) f (), Dom( f ). Na figura abaio podemos ver esses conceitos ilustrados: f ( ) * * ( ) Nota a. Máimos e mínimos relativos podem também ser chamados de máimos e mínimos locais; b. Máimos e mínimos absolutos podem também ser chamados de máimos e mínimos globais; c. Os valores máimos (absolutos ou relativos) e mínimos (absolutos ou relativos) são chamados de valores etremos. d. Todo máimo absoluto é um máimo relativo e, de forma análoga, todo mínimo absoluto é um mínimo relativo; e. Uma função pode ter infinitos valores etremos; f. Se o domínio de uma função for ilimitado ou um intervalo aberto ou semiaberto, ela pode não ter valores etremos. Este fato é ilustrado no próimo eemplo. 143 / 65

155 Eemplo 6.1 Dada a função f () = 3, determinemos seus valores etremos, caso eistam, para os diferentes domínios: a. Dom( f ) = R f não tem valores etremos, pois f é ilimitada neste domínio. Veja o item (a) da figura abaio. b. Dom( f ) = [,] f tem valores etremos em e, com valor mínimo absoluto f ( ) = 8 e valor máimo absoluto f () = 8. Veja o item (b) da figura abaio. y y y y y = f() y = f() y = f() y = f() (a) (b) (c) (d) c. Dom( f ) = (,] f não tem valores mínimos relativos, pois / Dom( f ), porém tem um valor etremo em, com f () = 8. Veja o item (c) da figura acima. d. Dom( f ) = (,). f não tem valores etremos, pois, / Dom( f ). Veja o item (d) da figura acima. Teorema 6.1 (Teorema do Valor Etremo) Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto um valor máimo absoluto M quanto um valor mínimo absoluto m neste intervalo. Isto é, eistem 1, [a,b] tais que: f ( 1 ) = m, f ( ) = M e m f () M para qualquer [a,b]. A seguinte Nota ilustra algumas possíveis localizações dos valores etremos de uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] 144 / 65

156 Nota y = f() y = f() y = f() y = f() (a) (b) (c) (d) a. No item (a), f tem valores etremos em e 1, e estão no interior de [a,b]; b. No item (b), f tem valores etremos nas etremidades do intervalo a e b; c. No item (c), f tem valores etremos em 3, ponto interior de [a,b], e na etremidade a; d. No item (d), f tem valores etremos em 4, ponto interior de [a,b], e na etremidade b. No Teorema 6.1, as hipóteses do intervalo ser fechado e limitado, e a função ser contínua, são hipóteses fundamentais, sem estas, as conclusões não são válidas. Por eemplo, a função f () = ln() é contínua no intervalo aberto (, 1), porém, não tem valores etremos. 6.3 Determinando Valores Etremos de uma Função Teorema 6. Seja f : R R uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b). i. Se f () >, para todo (a,b), então f é crescente em [a,b]; ii. Se f () <, para todo (a,b), então f é decrescente em [a,b]. Proposição 6.1 (Condição suficiente da derivada primeira para valores etremos) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) = (c δ,c +δ) Dom( f ), uma vizinhança, de c. Se f é contínua em B(c;δ) e derivável em B(c;δ), eceto talvez em c. i. Se f () >, para todo (c δ,c), e f () <, para todo (c,c + δ), então f (c) é um valor máimo relativo de f ; ii. Se f () <, para todo (c δ,c), e f () >, para todo (c,c + δ), então f (c) é um valor mínimo relativo de f. Teorema 6.3 (Condição necessária da derivada primeira para valores etremos) Sejam f : R R uma função e c um ponto interior de Dom( f ). Se f possui um valor máimo ou um mínimo relativo em c e se f esta definida em c, então f (c) =. 145 / 65

157 Nota a. O Teorema 6.3 nos diz que a primeira derivada de uma função é sempre zero em um ponto interior do seu domínio em que a função tenha um valor etremo e a derivada seja definida. Assim, os únicos pontos em que f pode ter valores etremos são: 1. pontos interiores em que f = ;. pontos interiores em que f não eiste; 3. etremidades do domínio de f. b. f (c) = implica que a reta tangente à curva y = f (), no ponto P = (c, f (c)), é uma reta horizontal. A figura a seguir ilustra esse fato nos pontos P 1 = (, f ( )), P = (, f ( )), P 3 = (, f ( )) e P 4 = (, f ( )). f * * Proposição 6. (Condição suficiente da derivada segunda para valores etremos) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponhamos que f é duas vezes diferencíavel em B(c;δ). i. Se f (c) = e f (c) <, então f (c) é um valor máimo local de f ; ii. Se f (c) = e f (c) >, então f (c) é um valor mínimo local de f ; iii. Se f (c) = e f (c) =, então não temos nenhuma conclusão, isto é, f (c) pode ser um valor etremo ou não. A definição apresentada a seguir resume essas informações. Definição 6. um ponto interior do domínio de uma função f em que f é zero ou indefinida é um ponto crítico de f. A Proposição 6.1, o Teorema 6.3 e a Definição 6. nos permitem estabelecer o seguinte critério para determinar os valores etremos de uma função contínua: Critério da derivada primeira para encontrar valores etremos 1. Determinar os pontos críticos da função f ;. Se c é um ponto crítico, devemos determinar o sinal de f (), primeiro para < c, suficientemente próimos, e depois para c <, suficientemente próimos: i. Se o sinal muda de para +, então f (c) é um valor mínimo relativo; 146 / 65

158 ii. Se o sinal muda de + para, então f (c) é um valor máimo relativo; iii. Se não eiste variação do sinal, então f não eistem valores etremos em c. Determinando os intervalos de crescimento e decrescimento de f Do Teorema 6. e da Proposição 6.1, podemos concluir que para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função f é suficiente determinar os pontos críticos de f e os pontos onde f não esteja definida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, e analisamos se f é positiva ou negativa em cada um destes intervalos. A Proposição 6. e a Definição 6. nos permitem estabelecer o seguinte critério para determinar os valores máimos e/ou mínimos relativos de uma função contínua: Critério da derivada segunda para encontrar valores etremos 1. Determinar os pontos críticos da função f ;. Se c é um ponto crítico, calcular f (c): i. Se f (c) >, então f (c) é um valor mínimo relativo; ii. Se f (c) <, então f (c) é um valor máimo relativo; iii. Se f (c) = ou f (c) não eiste, então este critério não pode ser aplicado. Eemplo 6. Determinemos os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores etremos de f : a. f () = Dom( f ) = R;. Da definição de f, temos que f () = = 6( + 4)( ). Logo, os pontos críticos são: = 4 e =. e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são: (, 4), ( 4, ) e (, + ). Intervalos Sinal de f Cresc. ou Decresc. (, 4) + cresce ( 4, ) decresce (, + ) + cresce Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores etremos, temos que: f ( 4) = 169 é um valor máimo relativo, em = 4; f () = 47 é um valor mínimo relativo, em =. b. f () = / 65

159 1. Dom( f ) = R \ {1};. Da definição de f, temos que f () = 4 ( 1) + 3 ( + 1)( 3) = 3 ( 1). Note que, = 1 não é um ponto crítico, pois 1 / Dom( f ). Logo, os pontos críticos são: = 1 e = 3. e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são: (, 1), ( 1,1), (1,3) e (3,+ ). Intervalos Sinal de f Cresc. ou Decresc. (, 1) + cresce ( 1, 1) decresce (1, 3) decresce (3, + ) + cresce Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores etremos, temos que: f ( 1) = 7 3 é um mínimo relativo; f (3) = 17 3 é um máimo relativo. c. f () = 3 1/3 ( + 4) /3 1. Dom( f ) = R;. Da definição de f, temos que f () = Logo, os pontos críticos são: ( + 4)/3 /3 + 1/3 ( + 4) 1/3 = /3 ( + 4) 1/3. = 4, = 4 3 e =. e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são: ( (, 4), 4, 4 ), ( 43 ) 3, e (,+ ). Intervalos Sinal de f Cresc. ou Decresc. ( (, 4) ) + cresce 4, 4 ( 3 decresce 4 3, ) + cresce (, + ) + cresce Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores etremos, temos que: 148 / 65

160 f ( 4) = é um máimo relativo; ( f 4 ) = é um mínimo relativo; 3 f () =, porém não é etremo relativo. { 16 ( + 3) d. f () =, se 7 1; 1, se > 1 1. Dom( f ) = [ 7,+ ); + 3. Da definição de f, temos que f () =, se 7 < < 1 16 ( + 3)., se > 1 Note que, = não é um ponto crítico, pois f () = está definida para todo > 1, e < 1; = 7 não é um ponto crítico, pois não pertence ao interior de Dom( f ). Logo, os pontos críticos são: = 3 e = 1. e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são: ( 7, 3), ( 3, 1) e (1, + ). Intervalos Sinal de f Cresc. ou Decresc. ( 7, 3) + cresce ( 3, 1) decresce (1, + ) decresce Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores etremos, temos que: f ( 3) = 4 é um máimo relativo; f () = não é etremo relativo. 6.4 Determinando os Pontos de Infleão e Concavidade da Curva y=f () Os conceitos de pontos de infleão e concavidade são muito úteis no esboço do gráfico de uma curva. Na figura abaio, no item (a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos próimos de c o gráfico de f estará acima da reta tangente à curva y = f (), no ponto P = (c, f (c)). Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Como f () é a inclinação da reta tangente à curva, no item (b) observa-se que no intervalo (a,b) a derivada f () é crescente. 149 / 65

161 y y y = f() y = f() P a (a) c b a b (b) Geometricamente falando, isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que sobre a curva da esquerda para a direita. Analogamente, o inverso vale para uma função que tem concavidade voltada para baio no intervalo (a,b), isto é, o gráfico de f estará abaio da reta tangente à curva y = f (), no ponto P = (c, f (c)), veja o item (a) da figura a seguir: y y P y = f() y = f() a c (a) b a b (b) No item (b) da figura acima, vemos que quando a concavidade é voltada para baio a reta tangente gira no sentido horário à medida que nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f () é decrescente em (a,b). Assim, temos a seguinte definição: Definição 6.3 Sejam f : R R uma função e (a,b) intervalo, com (a,b) Dom( f ). Diz-se que a curva y = f () é: i. côncava para cima em (a,b) se f () for crescente neste intervalo; ii. côncava para baio em (a,b) se f () for decrescente neste intervalo. Nota Tendo em vista que a reta tangente à curva y = f (), no ponto P = (c, f (c)), divide o plano em dois semiplanos (um superior e outro inferior). Logo, dizer que a curva é côncava para cima no ponto P significa que seu gráfico encontra-se no semiplano superior, ou que a reta tangente se encontra por baio da curva. De forma análoga, dizer que a curva é côncava para baio no ponto P significa que seu gráfico encontra-se no semiplano inferior, ou que a reta tangente se encontra por cima da curva. 15 / 65

162 Definição 6.4 Sejam f : R R uma função e c Dom( f ). Diz-se que P = (c, f (c)) é um ponto de infleão de f, Se f é contínua em c, e eiste um δ > tal que as concavidades nos intervalos (c δ,c) e (c,c + δ) são diferentes. Em outras palavras, um ponto de infleão é um ponto em que o gráfico de uma função possui uma reta tangente e há mudança de concavidade. Ponto de Infleão f ''(c) = f ''() < f ''() > f c Proposição 6.3 (Teste da segunda derivada para concavidade) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f é derivável em B(c;δ) e f (c). i. Se f (c) >, então f é côncava para cima no ponto P = (c, f (c)); ii. Se f (c) <, então f é côncava para baio no ponto P = (c, f (c)). Corolário 6.1 Se f é derivável duas vezes em B(c;δ) Dom( f ) e P = (c, f (c)) é um ponto de infleão de f, então f (c) =. Proposição 6.4 (Condição suficiente para pontos de infleão) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f é duas vezes derivável em B(c;δ), eceto talvez em = c, porém contínua em = c, e i. f (c) = ou não eiste f (c); ii. f tem sinais opostos em (c δ,c) e em (c,c + δ). Então, P = (c, f (c)) é um ponto de infleão. Das Proposições 6.3 e 6.4 podemos estabelecer o seguinte critério para encontrar os pontos de infleão de uma função contínua f : Critério para determinar os pontos de infleão de uma função 1. Encontrar os valores de para os quais f é zero ou indefinida, chamaremos tais valores de pontos críticos de infleão (pci);. Se c é um pci, devemos determinar o sinal de f (), primeiro para < c, suficientemente próimos, e depois para c <, suficientemente próimos: i. Se f () muda de sinal, então o pci avaliado gera o ponto de infleão P = (c, f (c)); ii. Se não eiste variação do sinal, então o pci avaliado não gera nenhum ponto de infleão; 151 / 65

163 Determinando os intervalos de concavidade da curva y = f () Da Definição 6.3 e da Proposição 6.4, podemos concluir que para determinar os intervalos de concavidade da curva y = f () é suficiente determinar os pci de f, e os pontos onde f não esteja definida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, e analisamos se f é positiva ou negativa em cada um destes intervalos. Eemplo 6.3 Determinemos os intervalos de concavidade para cima e para baio, e os pontos de infleão de f definida por: a. f () = Dom( f ) = R;. f é contínua em Dom( f ); 3. Da definição de f, temos que f () = ; 4. Da definição de f, temos que f () = = 1 3 (3 ); Logo, os pontos críticos de infleão são: = e = /3. e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baio são: ( (,),, ) ( ) e 3 3,+. A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: Intervalos Sinal de f Concavidade (,) ( ) + para cima, ( 3 para baio 3,+ ) + para cima b. f () = Portanto, P 1 = (, f ()) = (,) e P = ( 3, f ( )) ( 3 = 3, 79) 3 são pontos de infleão. O item (a) da figura abaio mostra o gráfico dessa função. { ( 3), se 3; 3 3, se < 3 1. Dom( f ) = R;. f é contínua em Dom( f ); 3. Da definição de f, temos que f () = ( 3), se > 3; 1 3 3, se < 3. ( 3), se > 3; 4. Da definição de f, temos que f () = 9 3, se < 3. ( 3) 5 Logo, o ponto crítico de infleão é = 3, pois para = 3, f não eiste, e os intervalos 15 / 65

164 onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baio são: (,3) e (3,+ ). A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: Intervalos Sinal de f Concavidade (,3) para baio (3,+ ) + para cima Portanto, P = (3, f (3)) = (3,) é ponto de infleão. O item (b) da figura abaio mostra o gráfico dessa função. y y y f f f f (a) (b) (c) c. f () = Dom( f ) = R \ {5};. f é contínua em Dom( f ); 3. Da definição de f, temos que f () = 6 ( 5) ; 4. Da definição de f, temos que f () = 1 ( 5) 3 ; Note que, = 5 não é um ponto crítico de infleão, pois 5 / Dom( f ). Portanto, f não tem pontos de infleão, e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baio são: (,5) e (5,+ ). A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: Intervalos Sinal de f Concavidade (,5) para baio (5,+ ) + para cima O item (c) da figura acima mostra o gráfico dessa função. Proposição 6.5 (Condição suficiente de concavidade e pontos de infleão com a n ésima derivada) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) Dom( f ) uma vizinhança de c. f tem derivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ), Suponha que f (c) = f (c) = = f (n 1) (c) = e f (n) (c). 153 / 65

165 i. Se n é par e f (n) (c) >, então f é côncava para cima em = c; ii. Se n é par e f (n) (c) <, então f é côncava para baio em = c; iii. Se n é ímpar, então P = (c, f (c)) é um ponto de infleão da curva y = f (). Proposição 6.6 (Condição suficiente de valor etremo e pontos de infleão com a n ésima derivada) Sejam f : R R uma função e B(c;δ) Dom( f ) uma vizinhança de c. f tem derivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ), Suponha que f (c) = f (c) = = f (n 1) (c) = e f (n) (c). i. Se n é par e f (n) (c) >, então f tem um valor mínimo em c; ii. Se n é par e f (n) (c) <, então f tem um valor máimo em c; iii. Se n é ímpar, então P = (c, f (c)) é um ponto de infleão da curva y = f (). Eemplo 6.4 Determinemos os valores etremos e pontos de infleão de f definida por: a. f () = ( ) 6 Da definição de f, temos que f () = 6( ) 5, f () = 3( ) 4, f () = 1( ) 3 f (4) () = 36( ), f (5) () = 7( ) e f (6) () = 7. Logo, a equação f () = admite uma única solução em =. Como f () = f () = f () = f (4) () = f (5) () =, f (6) () > e n = 6 é par, então aplicando a Proposição 6.6, eiste um valor mínimo de f em =, isto é, o valor mínimo é f () =, e não eistem pontos de infleão. b. f () = ( ) Da definição de f, temos que f () = 5( ) 4, f () = ( ) 3, f () = 6( ) f (4) () = 1( ) e f (5) () = 1. Logo, a equação f () = admite uma única solução em =. Como f () = f () = f () = f (4) () =, f (5) () > e n = 5 é ímpar, então aplicando a Proposição 6.6, P = (, f ()) = (,5) é um ponto de infleão da curva y = f (), e não eistem valores etremos. 154 / 65

166 6.5 Esboçando o gráfico de y = f () O esboço do gráfico de uma função é muito importante, pois com ele podemos determinar o seu comportamento em R. Para esboçar o gráfico de uma função, precisaremos da teoria de limites, de continuidade e de derivadas. O procedimento é o seguinte: 1. Determinar o domínio de f, Dom( f );. Determinar as interseções com os eios; 3. Verificar a simetria da função, a eistência de assíntotas, os limites nos etremos de Dom( f ) e nos pontos de descontinuidade, a fim de determinar o comportamento da função nesses pontos; 4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores etremos da função; 5. Determinar os intervalos de concavidade para cima e para baio, e os pontos de infleão; 6. Esboçar o gráfico da função com informações obtidas. Eemplo 6.5 Esboçe o gráfico de f definida por: a. f () = 5 1. Dom( f ) = R \ {5};. Interseções com os eios: Com o eio y: para =, temos que f () = /5 Com o eio : para f () =, temos que = 1 ou = Logo, os pontos de interseção com os eios são: (,/5), ( 1,) e (,). 3. O gráfico não é simétrico com respeito ao eio y pois f ( ) f () Assíntota vertical: = 5 porque lim 5 f () = e lim f () = + ; + Assíntotas horizontais: não eistem porque 5 lim f () = e lim f () = + ; + Assíntotas oblíquas: y = + 4 é a única oblíqua porque f () lim = 1 e lim ( f () ) = 4. ± ± 4. Da definição de f, temos que f () = ( 5). Logo, os pontos críticos são = 5 3 e = 5 + 3, e os intervalos onde analisaremos o crescimento ou decrescimento de f são: (,5 3 ), (5 3,5), (5,5 + 3 ) e (5 + 3,+ ). A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: 155 / 65

167 Intervalos Sinal de f Cresc. ou Decresc. (,5 3 ) + crescente (5 3,5) decrescente (5,5 + 3 ) decrescente (5 + 3,+ ) + crescente Então, f (5 3 ) é um valor máimo e f (5 + 3 ) é um valor mínimo. 5. Da definição de f, temos que f () = 36 ( 5) 3. Logo, não eistem pontos críticos de infleão, pois 5 / Dom( f ) e os intervalos onde analisaremos a concavidade para cima ou para baio de f são: (, 5) e (5, + ). A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: Intervalos Sinal de f Concavidade (,5) para baio (5,+ ) + para cima 6. Portanto, o gráfico de f é o item (a) da figura a seguir: y f y f f f b. f () = 4 (a) (b) 1. Dom( f ) = R \ {,};. Interseções com os eios: (,); 3. O gráfico de f não é simétrico em relação ao eio y porque f ( ) f (). Assíntotas verticais: = e =, porque lim lim Assíntota horizontal: y = ; Assíntotas oblíquas: não eistem. f () = e lim f () = + ; + f () = e lim f () = + ; / 65

168 4. Da definição de f, temos que f () = + 4 ( 4). Logo, não eistem pontos críticos, e os intervalos onde analisaremos o crescimento ou decrescimento de f são: (, ), (, ) e (, + ). Porém, neste caso não será necessário fazer este analise, já que, f () < para todo Dom( f ). Assim, f é decrescente em Dom( f ). 5. Da definição de f, temos que f () = ( + 1) ( 4) 3. Logo, = é um ponto crítico de infleão, e os intervalos onde analisaremos a concavidade para cima ou para baio de f são: (, ), (,), (,) e (,+ ). A análise dos sinais de f () é mostrada na tabela a seguir: Intervalos Sinal de f Concavidade (, ) para baio (,) + para cima (,) para baio (,+ ) + para cima Assim, para =, temos que o ponto P = (, f ()) = (,) é um ponto de infleão; 6. Portanto, o gráfico de f é o item (b) da figura acima. 6.6 Teorema do Valor Médio O Teorema do Valor Médio para derivadas é importante na teoria de cálculo por conta das muitas propriedades das funções que podem ser deduzidas a partir dele. Por eemplo, sabemos que funções constantes têm derivadas iguais a zero, mas poderia eistir uma função mais complicada cujas derivadas fossem sempre zero? A seguinte teoria nos diz sobre esse assunto. Teorema 6.4 (Teorema de Rolle) Sejam f : R R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) tal que f (a) = e f (b) =, então eiste pelo menos um ponto c (a,b) que verifica f (c) =. f a c 1 c c 3 c 4 b 157 / 65

169 Nota No Teorema 6.4: a. a condição de continuidade de f em [a,b] é obviamente muito importante, pois garante que o gráfico de f não tenha saltos bruscos dentro de [a,b]. b. o resultado continua sendo válido se a hipótese f (a) = e f (b) = for substituída por f (a) = f (b). A figura a seguir ilustra este fato: f f a c b a c 1 c c 3 b c. afirma-se que a curva deve ter pelo menos uma reta tangente horizontal em algum ponto do intervalo (a, b). Teorema 6.5 (Teorema do Valor Médio ou de Lagrange) Sejam f : R R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Então, eiste pelo menos um c (a,b) tal que ou equivalentemente, f (c) = f (b) f (a), b a f (c)(b a) = f (b) f (a). y f(b) y = f() B P f(a) A a c b Frequentemente, a seguinte etensão do Teorema do Valor Médio é útil. Ela é conhecida na literatura como o Teorema Generalizado do Valor Médio de Cauchy: Teorema 6.6 Sejam f e g : R R funções e (a,b) um intervalo. Suponha que f e g são continuas em [a,b], deriváveis em (a,b), com g(a) g(b) e g (), (a,b). Então, eiste pelo menos um c (a,b) tal que 158 / 65

170 f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). Nota Devemos observar que tanto o Teorema 6.6 quanto o Teorema do Valor Médio não especificam a posição eata do valor médio ou valores médios, já que em muitos casos essa é uma tarefa difícil. Contudo, a utilidade real desses teoremas está no fato de que eles garantem a eistência de um ponto, ou pontos, e as concluções que podemos tirar desse fato. A prova dos seguintes resultados pode ser obtida aplicando o Teorema do Valor Médio e o Teorema 6.6. Teorema 6.7 (Teorema da função constante) Se f () =, para todo (a,b), então f é uma função constante em (a,b). Teorema 6.8 (Teorema da diferença constante) Sejam f e g funções contínuas em [a,b]. Então, f () = g () para todo (a,b) se, e somente se, f () = g() + k, onde k é uma constante. 6.7 Formas indeterminadas e a regra de L Hôpital Em muitos eemplos das seções e capítulos anteriores, calculamos o limite de um quociente f ()/g() onde o numerador f () e o denominador g() tendem a ou. Nos eemplos desse tipo diz-se que o quociente f ()/g() adota uma forma indeterminada. Uma maneira de resolver esses problemas é obtendo polinômios de aproimação para f () e para g(). Algumas vezes o trabalho pode ser abreviado com o uso de uma técnica de derivação denominada de regra de L Hôpital Caso I: Forma indeterminada / Teorema 6.9 Suponha que lim f () = e lim g() =, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I, a a que g (), I e com p R ou p = + ou p =. Então, f () lim a g () = p, f () lim a g() = p. 159 / 65

171 Nota f () a. Se lim a g também resulta numa indeterminação /, então podemos aplicar a regra de L Hôpital repetidas vez até obter, p R ou p = + ou p = (). b. Na notação a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, a pode ser substituído pelos limites laterais a ou a +. Eemplo 6.6 Calculemos os seguintes limites: a. lim 1 e Fazendo f () = 1 e e g() =, temos que b. lim sen() lim f () = e lim g() =. Logo, podemos aplicar a regra de L Hôpital. Das definições de f () e g(), temos que f () = e e g () = 1. Assim, 1 e Portanto, lim =. 1 e (1 e ) e lim = lim () = lim =. 1 Fazendo f () = sen() e g() =, temos que lim f () = e lim g() =. Logo, podemos aplicar a regra de L Hôpital. Das definições de f () e g(), temos que f () = cos() e g () = 1. Assim sen() Portanto, lim = 1. c. lim tg() sen() sen() (sen()) cos() lim = lim () = lim = 1. 1 Fazendo f () = tg() e g() = sen(), temos que lim f () = e lim g() =. 16 / 65

172 Logo, podemos aplicar a regra de L Hôpital. Das definições de f () e g(), temos que f () = 1 sec () e g () = 1 cos(). Porém, lim f () = e lim g () = Desde que o quociente das derivadas f () g tende à forma indeterminada /, da Nota () anterior, podemos aplicar a regra de L Hôpital repetidas vezes até eliminar essa indeterminação. Neste caso, aplicaremos duas vezes mais a regra de L Hôpital, ou seja, até a derivada de ordem 3. Assim lim tg() sen() ( tg()) = lim ( sen()) = lim 1 sec () 1 cos() 1 sec () lim 1 cos() (1 sec ()) tg()sec () = lim (1 cos()) = lim sen() tg()sec () lim sen() Portanto, lim tg() sen() =. ( tg()sec ()) (1 + 3tg ()) = lim (sen()) = lim cos =. () Caso II: Forma Indeterminada / Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regra de L Hôpital aplica-se à forma indeterminada /, da mesma forma que /, ou seja, se f () ± e g() ±, quando a, então Nota f () lim a g() = lim f () a g (). f () a. Se lim a g também resulta numa indeterminação / ou /, então podemos aplicar a regra de L Hôpital repetidas vez até eliminar a () indeterminação; b. Na notação a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, a pode ser substituído pelos limites laterais a ou a +. Eemplo 6.7 Determinemos os limites da forma / : e a. lim + Desde que lim + e = + e lim + = +, obtemos e lim + e Portanto, lim + = +. = lim + (e ) ( ) = lim e + = lim e + = / 65

173 b. lim π/ + tg() 5 sec() + 4 Desde que lim tg() = e lim π/ + tg() 5 lim π/ + sec() + 4 = Portanto, ln() c. lim + 4 tg() 5 lim π/ + sec() + 4 = 1 sec() =, temos que π/ + lim (tg() 5) π/ + (sec() + 4) = lim π/ + Desde que lim ln() = + e lim 4 = +, temos que + + ln() Portanto, lim + 4 =. ln() lim + 4 = lim (ln()) + (4 ) = lim + sec () sec()tg() = 1 = lim + lim 1 π/ + sen() = 1. 1 =. Caso III: Forma Indeterminada Para determinar lim f ()g(), quando lim f () = e lim g() =, a função f ()g() deve ser a a a epressa de forma que adote uma das formas indeterminadas: / ou /. Em outras palavras, podemos reescrevê-la como f () lim f ()g() = lim a a 1 g() ou g() lim f ()g() = lim, a a 1 e assim, podemos aplicar as regras estabelecidas anteriormente. f () Eemplo 6.8 Determinemos os limites da forma : ( ) 1 a. lim + 1/4 sen ( ) 1 Desde que lim + 1/4 = + e lim sen =, fazendo z = 1, temos que + + se, e somente se, z +, logo, ( ) 1 sen(z) cos(z) lim + 1/4 sen = lim = lim z + z z + 1 z = lim z + zcos(z) =. 16 / 65

174 b. lim + ln() Desde que lim = e lim ln() =, temos que + + ln() lim ln() = lim + + 1/ = lim 1/ + 1/ = lim 3 +( ) =. Caso IV: Forma Indeterminada Para determinar lim( f () g()), quando lim f () = ± e lim g() = ±. Devemos analisar a a a as seguintes possibilidades: i. Se ao tentar calcular este limite temos algumas destas epressões: (+ ) (+ ), ( ) ( ), (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), então estamos diante de uma forma indeterminada do tipo. Estes limites são denominados indeterminados, pois eiste um conflito sobre qual dos dois termos domina, no final das contas. ii. Se ao tentar calcular um limite temos algumas destas epressões: (+ ) + (+ ), ( ) + ( ), (+ ) ( ), ( ) (+ ), elas não são indeterminadas, pois devemos lembrar que: (+ ) + (+ ) = (+ ) ( ) = +, ( ) + ( ) = ( ) (+ ) =. Então, no caso de ter alguma das formas indeterminadas, precisamos utilizar a equivalência: ( 1 f g = f.g g 1 ) f ( 1 Desde que lim f ().g() = e lim a a g 1 ) =, então podemos aplicar o Caso III. f Eemplo 6.9 Determinemos o limite que é da forma : Desde que lim tg() = + e lim π/ lim sec()) π/ (tg() π/ lim sec()) = π/ (tg() lim e aplicando o Caso III indeterminação /. sec() = +, temos que (tg().sec()) π/ ( 1 lim (tg().sec()) π/ sec() 1 ) = lim tg() π/ 163 / 65 ( 1 sec() 1 ). tg() ) ( 1 sec() 1 tg() ( ). 1 tg().sec()

175 Porém, Assim, e Portanto, tg().sec() = sen() cos () e 1 sec() 1 tg() = 1 sen(). cos() ( ) 1 ( cos ) () = = cos()(sen () cos ()) tg().sec() sen() sen, () ) ( ) 1 sen() ( cos () + sen ) () = = cos() cos () ( 1 sec() 1 tg() ( 1 sec() 1 ) tg() ( ) 1 = tg().sec() lim sec()) = π/ (tg() lim 1 cos () cos()(sen () cos ()) sen () π/ = = 1 cos (). sen () cos 3 ()(sen () cos ()). sen () cos 3 ()(sen () cos ()) = 1 + = +. Caso V: Potências indeterminadas Os limites da forma 1, e podem, as vezes, ser tratados em função de um logarítmo, que por sua vez pode ser resolvido usando a regra de L Hôpital. Este procedimento pode ser justificado pela continuidade da função eponencial e o teorema que fala sobre a continuidade da composição de funções. Em outras palavras: Proposição 6.7 Se lim a ln( f ()) = L, então lim f () = elim ln( f ()) a = e L. a Nota Se lim a ln( f ()) também resulta em alguma indeterminação já vista, então podemos aplicar a regra de L Hôpital repetidas vez até eliminar dita indeterminação. Eemplo 6.1 Determinemos os seguintes limites: a. lim +(1 + ) 1/ Notemos que essa indeterminação é da forma 1. Fazendo f () = (1 + ) 1/, determinemos lim ln( f ()). Como + ln ( (1 + ) 1 ) 1/ = ln(1 + ) = ln(1 + ) 164 / 65

176 b. lim + 1/ pela regra de L Hôpital, temos que Portanto, lim +(1 + ) 1/ = e 1 = e. ln(1 + ) lim + = lim + (1 + ) = 1 Notemos que essa indeterminação é da forma. Fazendo f () = 1/, determinemos ln( f ()). Como lim + ln( 1/ ) = 1 ln() ln() = pela regra de L Hôpital, temos que Portanto, lim + 1/ = e = 1. ln() 1/ lim + = lim + = lim 1 + =. 6.8 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos algumas aplicações da derivada. Entendemos como ela nos ajuda a estabelecer se uma função está crescendo ou decrescendo em um intervalo dado. Aprendemos os conceitos de máimo e mínimo, absolutos ou relativos. Desde que a derivada por si própia é uma função, ela pode ser derivável caso satisfaça certas condições. Assim, as derivadas de ordem superior também nos auiliam a entender mais ainda o comportamento de uma função, caso elas eistam. Especificamente, com a ajuda da segunda derivada, podemos encontrar os pontos de infleão de uma curva dada e saber se ela é côncava para cima ou para baio. Novamente, o domínio desse conceito é fundamental, pois nos auilia no esboço de gráficos de funções. Também foram apresentados teoremas de suma importância para a compreensão dos conceitos de máimo e mínimo, entre eles, o Teorema do Valor Médio. Por último, mas não menos importante, as derivadas nos auiliam também no cálculo de limites indeterminados como, por eemplo ou, entre outros. Para encontrar os valores desses limites recorremos à Regra de L Hôpital. No próimo capítulo, apresentaremos a integral, que pode ser vista como a operação inversa da derivada, propriedade que é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo. 6.9 Atividades 1. Determine os pontos críticos e intervalos onde a função é crescente e decrescente, assim como os máimos e mínimos relativos: 165 / 65

177 i. f () = ; ii. f () = ; iii. f () = ; iv. f () = 1 ( ) 4/5 ; v. f () = 1 ; vi. f () = (1 ); vii. f () = + 3 ; viii. f () = ; i. f () = 1 ln( ) ;. f () = + ; i. f () = ln(1 ); ii. f () = ln(1 + ); iii. f () = 3 ( a ) ; iv. f () = ( )ln() 3 + 4; v. f () = 6 16 ; vi. f () = ln(); vii. f () = e 4 ; viii. f () = 3 4 ; i. f () = ( 1) ( 3) 3 ;. f () = ln (); i. f () = arctg() ( ) 3 arctg 1.. Determine se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo indicado. Caso afirmativo, encontre os valores que o verificam; caso contrário, dê uma razão que justifique sua resposta. i. f () = + ; em [,]. ii. f () = + 9; em [,4]. iii. f () = 3 3; em [,]. iv. f () = + 1 ; em [,4]. 1 v. f () = 4 ; em [,]. [ vi. f () = 9 4 ; em 3, 3 ]. vii. f () = { + 3, se < 3; 15, se 3; viii. f () = em [ 1,5]. em [,]. + 4, se < ; i. f () = 4 3, se < 1; 6 se 1 ; + 1 em [,].. f () = em [,]. 3, se 1; 1, se > 1; { 4, se 1; 8 4, se > 1; 166 / 65

178 i. f () = iii. f () = 3 3 ; em [,]. ii. f () = ; em [ 9, 4]. 4 ; em [ 1,] , se < ; iv. f () = 5 +, se 11; 1 + ( 11) 3 se > 11; em [ 4,1]. 3. Construa os gráficos das funções indicando os pontos de descontinuidade, os pontos críticos, os intervalos onde é crescente e decrescente, os máimos e mínimos relativos, os pontos de infleão e os intervalos de concavidade: i. f () = ( + 4) 3 ; ii. f () = 1 ; iii. f () = 3 /3 ; iv. f () = ( + ) ; v. f () = ln( + 1); vi. f () = 3 3 ; vii. f () = arctg(); viii. f () = arcsen() 1 ; i. f () = ( 1) arctg() ;. f () = + 1 ( ) ( + 1) arctg 1 ; i. f () = cos()cos(); ii. f () = sen() + cos(); iii. f () = sen 3 () + cos 3 (); iv. f () = ) ln( ; v. f () = ( + 1)ln ( + 1); ( ) vi. f () = 1 ln ; vii. f () = ( + )e ; viii. f () = 3 1 ; i. f () = ( + ) ;. f () = 4 1 ( ) ; i. f () = ; ii. f () = ; iii. f () = ( ) 1/3 ; iv. f () = arctg(ln()); v. f () = e cos(). 167 / 65

179 4. Determine os seguintes limites aplicando a regra de L Hôpital: i. lim sen() tg() ; ii. lim π ( arctg() ln ) ; iii. lim a m a m n a n ; e e v. lim sen()cos() ; e 1 iv. lim cos() 1 ; e e vi. lim sen() ; vii. lim e cos() + 1 ( i. lim ln() 4 ln(1 + )4 4 + ; viii. lim sen() ; ) ( 1 ;. lim 1 ln() ( ) 1 sen() i. lim ; ii. lim ; iii. lim 1 ) ; ln() 1 1 ; iv. lim π/ (sen())tg(). Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. 168 / 65

180 Capítulo 7 A Integral Indefinida OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Compreender o significado da integral indefinida; Familiarizar-se com as fórmulas básicas de integração; Aplicar corretamente os métodos de integração; Determinar as integrais de funções racionais e irracionais. 7.1 Introdução No estudo da derivada, o problema básico da derivação é: dado o recorrido de um ponto móvel, calcular sua velocidade, ou dada uma curva, calcular sua inclinação, isto é, obter, a partir de uma função, outra função chamada de derivada. Neste capítulo, o problema básico da integração é o caso inverso da derivação: dada a velocidade de um ponto móvel em cada instante, encontrar sua trajetória, ou dada a inclinação de uma curva em cada um de seus pontos, calcular a curva, ou seja, encontraremos ou determinaremos uma função original que chamaremos de antiderivada. Por tal motivo, aprenderemos algumas das técnicas para encontrar as antiderivadas aplicando as regras de derivação estudadas no Capítulo A Antiderivada Estudar o cálculo diferencial trata-se, principalmente, de: dada uma função, encontrar sua derivada. No entanto, muitas aplicações importantes do cálculo têm uma relação com o problema inverso, isto é: dada uma função f definida em um intervalo I, encontrar uma função F cuja derivada seja a função f, ou seja, F () = f () para cada pertencente ao intervalo I. Mais formalmente, temos a seguinte definição. Definição 7.1 Diz-se que a função F é uma antiderivada da função f no intervalo I, se F () = f (), I. 169 / 65

181 Eemplo 7.1 Sejam as funções f () = 4 3 e g() = e, com R. Da Definição 7.1, as funções F() = 4 e G() = e, com R, são antiderivadas de f e g em R, respectivamente, em outras palavras: F () = ( 4) = 4 3, e G () = (e ) = e, R. No entanto, F 1 () = 4 + 5, F () = 4 + ln(π), e F 3 () = 4 + 1π 4 e, também são antiderivadas da função f, pois se derivarmos cada uma delas obteremos 4 3. De forma análoga, G 1 () = e 6, G () = e + π e, e G 3 () = e ln() 199 também são antiderivadas da função g. Nota Se F() é uma antiderivada de f () em um intervalo I, então F() + c é também uma antiderivada de f () em I, onde c é uma constante real. Em outras palavras, a antiderivada de uma função nunca é única, salvos os casos em que são especificadas algumas condições adicionais. Proposição 7.1 Sejam I um intervalo aberto, f : I R e F : I R uma antiderivada de f. Se F 1 : I R é também uma antiderivada de f, então eiste uma constante c R tal que F 1 () = F() + c. Definição 7. Sejam I um intervalo aberto, f : I R e F : I R uma antiderivada de f. A Integral Indefinida de f é o conjunto de todas as antiderivadas de f definidas em dito intervalo e é denotada por: f ()d = F() + c, onde c é uma constante real denominada de constante de integração. 17 / 65

182 Nota a. Dada a integral indefinida f ()d = F() + c. Diz-se que: i. f () é o integrando; ii. f ()d é o elemento de integração; iii. é a variável da integral; iv. o símbolo é denominado símbolo da integral. v. A equação acima deve ser lida como: a integral de f () em relação a é igual a F() mais uma constante. b. Da Definição 7., deduzem-se as seguintes propriedades: i. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando, isto é: ( ( d f ()d) = f ()d) = (F() + c) = f (); d ( ) ( ii. d f ()d = f ()d) d = f ()d; iii. Se f é uma função derivável em I, então uma antiderivada de f é f. Logo, iv. Desde que d ( f ()) f () = d, deduz-se que f ()d = f () + c; d ( f ()) = f () + c. c. A partir dessas observações, pode-se concluir que a integral indefinida é interpretada como uma operação inversa da diferenciação. Isto é, ao aplicar a integral indefinida ao diferencial da função f (), esta resulta na função f () mais a constante de integração. Eemplo 7. Do eemplo anterior, obtém-se: 4 3 d = 4 + c e e d = e + c. 171 / 65

183 Nota O significado geométrico da antiderivada F() da função f () é que qualquer outra antiderivada de f () é uma curva paralela ao gráfico de y = F(). No item (a) da figura abaio podemos ver uma interpretação geométrica geral e no item (b) vemos a ilustração das antiderivadas da função f () = e, isto é, F() = e + c. y y y = F() + c y = F() y = F() - c y = e Eemplo 7.3 Determinemos as seguintes integrais indefinidas: a. ln()d b. Desde que d( ln() ) = ln()d, obtemos que ln()d = ln() + c d Desde que d ( 1 ( ) ) arctg + c = d = 1 d, obtemos que d = 1 ( ) arctg + c. 7.3 Propriedades da Integral Indefinida Os seguintes resultados são análogos aos obtidos para as derivadas da soma e do produto com um escalar. Proposição 7. Se f e g são duas funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k R é uma constante, então as funções f ± g e k f admitem antiderivadas em I e tem-se: 17 / 65

184 i. ii. [ f () ± g()]d = f ()d ± g()d; [k f ()]d = k f ()d. Eemplo 7.4 Determinemos a seguinte integral indefinida (e ln())d Pela Proposição 7. e os eemplos anteriores, temos que: (e ln())d = e d 4 3 d + ln()d = (e + c 1 ) ( 4 + c ) + (ln() + c 3 ) = e 4 + ln() + c onde c = c 1 + c + c 3. Nota No decorrer deste capítulo, usaremos somente uma única constante de integração para a soma de duas ou mais funções. 7.4 Integrais Imediatas Seja uma função f derivável. Se f é conhecida, então deduz-se que: f ()d = f () + c ou equivalentemente d ( f ()) = f () + c. Quando isso acontece, diz-se que tal integral é uma integral imediata. Na sequência, listamos algumas integrais imediatas de funções elementares e de outras funções que serão de muita utilidade. Por conveniência, usamos a variável u em lugar de, porque, como veremos nas próimas seções, u pode ser uma função do tipo u = u(). Fórmulas elementares de integração du du = u + c. u = ln u + c u n du = un+1 + c, para n 1 4. e u du = e u + c n + 1 au ln(a) + c a u du = 6. sen(u)du = cos(u) + c cos(u)du = sen(u) + c 8. tg(u)du = ln sec(u) + c cotg(u)du = ln sen(u) + c 1. sec(u)du = ln sec(u) + tg(u) + c 173 / 65

185 cossec(u)du = ln cossec(u) cotg(u) + c cossec(u) cotg(u) du = cossec(u) + c sec (u)du = tg(u) + c 14. sec(u)tg(u)du = sec(u) + c 16. cosh(u)du = senh(u) + c 18. sech (u)du = tgh(u) + c. sech(u)tgh(u)du = sech(u) + c cossec (u)du = cotg(u) + c senh(u)du = cosh(u) + c tgh(u)du = ln cosh(u) + c cossech (u)du = cotgh(u) + c. cossech(u)cotgh(u)du = cosh(u) + c du a + u = 1 ( u ) a arctg + c, a > 4. a du a u = 1 a ln u + a u a + c, a > 6. du u u ± a = ln + u ± a + c du u a = 1 a ln u a u + a + c, a > du ( u ) a u = arcsen + c, a > a du 8. u u a = 1 ( ) u a arcsec + c, a > a a 9. u du = 1 [ u ( u a u + a arcsen + c, a > a)] u 3. + a du = 1 [ u u + a + a ln (u + )] u + a + c u 31. a du = 1 [ u u a a ln u + ] u a + c Nota Para verificar cada uma dessas fórmulas podemos derivar o lado direito da equação com respeito à variável u. Eemplo 7.5 Mostremos que De fato, du u a = 1 a ln u a u + a + c, para a >. ( ) d 1 du a ln u a u + a = 1 [ ] d (ln u a ln u + a ) = 1 [ 1 a du a u a 1 ] = 1 u + a u a. 174 / 65

186 Portanto, du u a = 1 a ln u a u + a + c. Eemplo 7.6 Determinemos as seguintes integrais indefinidas: a. (a b )d, para a, b R. b. (a b )d = ( 3 + 1) 4 3 d (a b 3 )d = a d b 3 d = a b4 4 + c. Fazendo u = 3 + 1, temos que du = 3 d. Logo, ( 3 + 1) 4 3 d = u 4 du = t5 5 + c = (3 + 1) 5 + c. 5 c. ( m n ) d, onde m, n 3 4 e m + n 3. Antes de determinar essa integral, precisamos reescrever f : ( m n ) = m m+n + n = m 1 m+n 1 + n 1 = 4m 1 m+n 1 + 4n 1. Logo, ( m n ) d = = ( ) 4m 1 m+n 1 + 4n 1 4m 1 d m+n 1 d + d 4n 1 d = 4m+1 4m+1 m+n+1 m+n+1 + 4n+1 4n+1 + c = 4m+1 4m m+n+1 m + n n+1 4n c. Nota Em alguns casos, é necessário fazer uma mudança de variável no integrando com o intuito de torná-lo mais simples de ser resolvido. 175 / 65

187 Eemplo 7.7 Determinemos as seguintes integrais indefinidas, fazendo uma mudança de variável: a d Fazendo u = 5 + 1, obtemos que du = 5 4 d, então, b. 5e 1 e d d = d = 1 5 u 1/7 du = u6/7 + c = ( 5 + 1) 6 + c. Fazendo u = e, obtemos que du = e d, então, 5e d = 5 1 e du 1 u = 5arcsen(u) + c = 5arcsen(e ) + c. c. senh() cosh() (1 + senh ()) 5 d Fazendo u = 1 + senh (), obtemos que du = senh()cosh()d, então, senh() cosh() 1 (1 + senh ()) 5 = du u 5 = 1 u 4 u 5 du = 1 ( 4) + c = 1 8(1 + senh ()) 4 + c. d. arcsen( ) d Fazendo u = arcsen( ), obtemos que du = 1 1 d arcsen( ) d = = d. Portanto, udu = u + c = ( arcsen( ) ) + c = arcsen ( ) + c. e. f. + ( ) 4 d Fazendo u =, obtemos que du = d. Logo, + 4d u + 4 u 4 du = (u 3 + 4u 4 )du = 1 u 4 3 u 3 + c = 3 + 6( ) 3 + c. 176 / 65

188 Fazendo u = + 4, obtemos que u = + 4 e d = udu. Logo, + 4d = (u 4)uudu = (u 4 8u )du = 5 u5 8 3 u3 + c = u3 15 (6u 4) + c = ( + 4)3/ (6 16) + c. 15 Nota As vezes é necessário manipular a forma da função a ser integrada e obter uma epressão equivalente, novamente, com o intuito de facilitar a determinação da integral. Eemplo 7.8 Determinemos as seguintes integrais indefinidas: a cos(5 + 4) 1/ d Antes de recorrer ( ) a alguma fórmula elementar, é necessário usar a identidade trigonométrica cos = 1 + cos(θ) ( ) θ θ ou, equivalentemente, 1 + cos(θ) = cos em cos(5 + 4), para epressá-la de uma forma fácil de trabalhar. Ou seja, + + [1 + cos(5 + 4)] = = = [ ( )] cos ) cos( ( ) ( ) cos = cos. 4 8 Assim, cos(5 + 4) 1/ d = ( ) cos 1/ d. 8 Agora, fazendo u = 5 + 4, temos que du = / d ou equivalentemente 16 5 du = 1/ d. Logo, ( ) cos 1/ d = 3 cos(u)du = 3 sen(u) + c / 65

189 b. Portanto, e 3 (1 ) 4 d cos(5 + 4) 1/ d = 3 ( ) sen + c. 8 Notamos que no integrando, o denominador pode ser reescrito como uma potência. De fato, multiplicando tanto o numerador como o denominador por e, temos que: e 3 (1 ) 4 = e (e 3 (1 ) 4 )e = e e 4 (1 ) 4 = e (e e ) 4, assim, fazendo u = e e, obtemos du = e d ou, equivalentemente, du = e d, o que resulta em: e 3 (1 ) 4 d = e d du (e e ) 4 d = u 4 = 1 3u 3 + c = 1 3e 3 (1 ) 3 + c. c. ( 1)d ( + 1) Novamente, dividindo o numerador e o denominador do integrando por, obteremos: 1 (1 ( 1 ) 1) ( + 1) = ( ) = ( ) + 1. Fazendo u = + 1 (, temos que du = 1 1 )d e u = + 1. Logo, ( 1)d ( + 1) = (1 1 ) d ( + 1 ) + 1 = du u u = 1 arcsen u + c. d. Portanto, d (1 + ) 3 ( 1)d ( + 1) = 1 ( ) + 1 arcsen + c. Manipulando o integrando, temos que ele pode ser reescrito como Logo, fazendo u = , obteremos du = d 1 +. Assim, 178 / 65

190 du d = = u u 1/ du = u + c. Portanto, d = c. (1 + ) Método de Integração por Partes A ideia básica da integração por partes consiste em determinar a integral original mediante o cálculo de outras integrais, as quais pressupomos são menos complicadas de ser resolvidas. Sejam as funções u e v deriváveis no intervalo I, pela regra da derivada do produto, temos a equação: d(uv) = udv + vdu, que pode ser reescrita como udv = d(uv) vdu. Integrando ambos lados desta igualdade obtém-se a fórmula udv = uv que é conhecida como fórmula de integração por partes. Ou seja, vamos decompor o elemento de integração em dois fatores u e dv. Normalmente, escolhe-se como u a parte do integrando que se simplifica com a derivação, logo, dv será o fator restante do elemento de integração. Nota Quando determinamos v a partir da integração do seu diferencial, ou seja, dv, não será necessário considerar a constante de integração. De fato, observamos que se considerarmos dita constante c, teremos v + c em vez de v, então, udv = u(v + c) vdu, (v + c)du = uv + cu vdu cu = uv vdu. Em outras palavras, considerando ou não essa constante, ela não figurará no resultado final. Eemplo 7.9 Determinemos as seguintes integrais usando o método de integração por partes: a. ln()d Se considerarmos u = ln() e dv = d, então du = 1 d e v = d =, como já foi mencionado, não é necessário considerar a constante da integração. Aplicando a fórmula de integração por partes, obtém-se: ln()d = uv d vdu = ln() = ln() d = ln() + c. 179 / 65

191 b. ln()d c. Considerando u = ln() e dv = d, temos que du = d e v = ln()d = uv ln ( + ) 1 + d vdu = ln() d 3 = 3 3 ln() 1 3 d = 3 3. Logo, d = 3 ln() c. Considerando u = ln ( + ) 1 + e dv = d, temos que du = d 1 + e v =. Então, ln ( + ) 1 + d = uv vdu = ln ( + ) 1 + d 1 + = ln ( + ) c. d. ( + + 3)cos()d Considerando u = e dv = cos()d, temos que du = ( + 1)d e v = cos()d = sen(). Logo, ( + + 3)cos()d = uv vdu = sen() Aplicando novamente a integração por partes à última integral temos: Logo, Portanto, u = + 1 du = d; dv = sen()d v = sen()d = cos(). ( + 1)sen()d = uv ( + 1)sen()d. vdu = + 1 ( cos() cos() ) d = + 1 ( + + 3)cos()d = sen() cos() + sen() 4 + c. ( + 1)sen()d = sen() sen() cos() + c 4 = sen() cos() + c / 65

192 e. e d Ao considerar u = e dv = e d, temos que du = d e v = obtemos: e d = e. Assim, f. e d = uv ( + 3 1)e d vdu = e e e d = e 4 + c = e ( 1) + c. 4 Ao considerar u = e dv = e d, temos que du = ( + 3)d e v = e d = e. Assim obtemos ( + 3 1)e d = uv vdu = 1 ( ( + 3 1)e + 3 ) e d; aplicando novamente a integração por partes à última integral temos: u = + 3 du = d; dv = e d v = e d = e. Logo, ( + 3 ) ( e d = + 3 ) e ( 1 e d = + 3 ) e e = ( + 1)e 4. g. Portanto, sen(3)d ( + 3 1)e d = 1 ( + 3 1)e ( + 1) e = ( + ) e + c. Ao considerar u = e dv = sen(3)d, temos que du = d e v = Assim, obtemos: sen(3)d = cos(3). 3 h. sen(3)d = uv e a cos(b)d, onde a,b >. vdu = cos(3) ( cos(3) ) 3 3 d = cos(3) 3 + sen(3) +c / 65

193 Ao considerar u = e a e dv = cos(b)d, temos que du = ae a d e v = cos(b)d = sen(b). Assim, obtemos b e a cos(b)d = 1 a b ea sen(b) b ea sen(b)d = ea b sen(b) a b e integrando novamente por partes a última integral e a sen(b)d i. Dessa forma, obtemos e a cos(b)d = uv u = e a du = ae a d; dv = sen(b) d v = sen(b)d = cos(b). b vdu = ea b sen(b) a [ 1 b b ea cos(b)d + a b ] e a cos(b)d. Desde que e a cos(b)d aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência e somamos a constante de integração: e a cos(b)d = ea a (bsen(b) + acos(b)) + c. + b sec 5 ()d Em primeiro lugar, vamos reescrever essa integral: sec 5 ()d = sec 3 () sec ()d. Agora, apliquemos a integração por partes, escolhendo: Dessa forma, obtemos: sec 5 ()d = uv u = sec 3 () du = 3sec 3 ()tg()d; dv = sec ()d v = sec ()d = tg(). vdu = tg()sec 3 () 3sec 3 ()tg ()d = tg()sec 3 () 3sec 3 ()(sec () 1)d = tg()sec 3 () 3 sec 5 ()d + 3 sec 3 ()d que resultará em: 4 sec 5 ()d = tg()sec 3 () + 3 sec 3 ()d. 18 / 65

194 Integrando, novamente, por partes a última integral u = sec() du = sec()tg()d; dv = sec ()d v = sec ()d = tg(). Logo, sec 3 ()d = 1 sec()tg() + 1 sec()d = 1 (sec()tg() + ln sec() + tg() ). Assim, 4 sec 5 ()d = tg()sec 3 () + 3 (sec()tg() + ln sec() + tg() ). Portanto, sec 5 ()d = 1 4 tg()sec3 () + 3 (sec()tg() + ln sec() + tg() ) + c. 8 j. arctg()d k. Escolhendo u = arctg() e dv = d obtemos que du = d e v = arctg()d = uv vdu = arctg() d = arctg() 1 ( cos() + sen() 1 (sen() ) d. d =. Assim, ) d = arctg() 1 ( arctg()) + c = ( + 1) arctg() + c. Usando a identidade sen () + cos () = 1, reescrevemos essa integral como: cos() + sen() 1 (sen() ) d = = = cos() + sen() sen () cos () (sen() ) d cos()(cos() 1) sen()(sen() ) (sen() ) d cos()(cos() 1) (sen() ) d sen() (sen() ) d. 183 / 65

195 cos()(cos() 1) Agora, determinemos a integral (sen() ) d. Aplicando integração por partes, escolhemos: u = cos() du = sen() d; dv = (cos() 1) (cos() 1) (sen() ) d v = (sen() ) d = 1 (sen() ). Assim, cos() + sen() 1 (sen() ) d = = ( uv ) vdu sen() (sen() ) d ( ) cos() sen() + sen() (sen() ) d sen() (sen() ) d = cos() sen() + c. l. e (1 + ln()) d Separando essa integral como a soma de duas integrais temos: e (1 + ln()) e d = d + e ln()d. Aplicando a integração por partes na segunda integral temos: u = ln() du = 1 d; dv = e d v = e d = e. m. Assim, e (1 + ln()) e [ d = d+ uv e arctg() (1 + d ) 3/ Observamos que: ] vdu e arctg() (1 + d = ) 3/ e [ = d+ e arctg() 1 + (1 + ) d. Assim, aplicamos a integração por partes da seguinte forma: u = 1 + du = 1 (1 + d; ) 3/ dv = earctg() (1 + ) d v = e arctg() (1 + ) d = earctg(). e e ] ln() d = e ln()+c. 184 / 65

196 Assim, e arctg() (1 + d = uv ) 3/ vdu = earctg() 1 + Novamente, aplicando integração por partes na segunda integral: resulta: u = du = (1 + ) dv = earctg() (1 + ) d v = earctg() ; e arctg() (1 + ) 3/ = earctg() [uv 1 + = earctg() ] vdu [ e arctg() e arctg() (1 + d. ) 3/ 3/ d; ] e arctg() (1 + d ) 3/ n. = earctg() earctg() e arctg() (1 + ) 3/. e arctg() Desde que (1 + aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência e ) 3/ somamos a constante de integração. Portanto, senh () (cosh() senh()) d e arctg() ( 1)earctg() (1 + = ) 3/ + c. 1 + Ao multiplicar e dividir a integral por obtemos: senh ()d senh() (cosh() senh()) = senh() (cosh() senh()) d e escolhemos: u = senh() dv = du = senh() (cosh() senh()) d v = cosh() senh() d; senh() (cosh() senh()) d então, senh ()d (cosh() senh()) = uv vdu = = 1 = cosh() senh(). senh() d (senh() cosh()) + senh() (senh() cosh()) 1 + c. 185 / 65

197 o. e sen() ( cos 3 () sen() ) cos () Observamos que: d e sen() ( cos 3 () sen() ) cos () d = e sen() cos()d sen() sen() e cos () d. Aplicando a integração por partes a cada uma destas integrais. Para a primeira, escolhemos: u = du = d; dv = e sen() cos()d v = e sen() cos()d = e sen() ; então, e sen() cos()d = uv vdu = e sen() e sen() d. Para a segunda, escolhemos: u = e sen() du = e sen() cos()d; dv = sen() sen() cos () d v = cos () d = 1 cos() ; que resultará em: sen() sen() e cos d = uv () Portanto, e sen() ( cos 3 sen() ) cos () vdu = esen() cos() d = = e sen() d = e sen() sec() e sen() d. e sen() cos()d esen() sen() [ cos () d ] [ ] e sen() e sen() d e sen() sec() e sen() d = ( sec())e sen() + c. 7.6 Técnicas de Integração Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado Caso I d p + q + r Caso II d p + q + r Nesses casos é suficiente completar os quadrados no trinômio e aplicar as fórmulas (3), (4), (5) ou (6), de acordo com o caso correspondente. 186 / 65

198 Eemplo 7.1 Determinemos as seguintes integrais: 3d a b. c. Completando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (4), obtemos: 3d = 3 d ( + 1) 4 = 3 8 ln c. d + 1 Completando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (3), obtemos: d d + 1 = d ( 1) + 9 = 1 3 arctg ( 1 3 ) + c. Completando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (7), obtemos: d = d ] [ ( + 3) + 9 = ln c. d. 5d 8 1 Completando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (6), obtemos: 5d 8 1 = 5 ( ) d + 4 = 5arcsen + c. 4 ( + 4) Caso III (a + b)d p + q + r Nesses casos, usaremos o seguinte artifício: Caso IV (a + b)d p + q + r a + b = a aq (p + q) p p + b. 187 / 65

199 O termo (p + q) é a derivada do trinômio quadrado. Assim, (a + b)d p + q + r = a ( (p + q)d p p + q + r + b aq ) p = a ( p ln p + q + r + b aq p d p + q + r } {{ } ) I A. I A Por outro lado, (a + b)d p + q + r = a p ( (p + q)d p + q + r + b aq ) p = a ( p p + q + r + b aq ) I B. p d p + q + r } {{ } I B Observe que as integrais I A e I B são determinadas pelos Casos I e II, respectivamente. Eemplo 7.11 Determinemos as seguintes integrais: (3 5)d a b. Desde que ( ) = + 6, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 6 e, assim, 3 5 = 3 ( + 6) 14. Então: (1 4)d (3 5)d = 3 ( + 6)d d ( + 3) + 9 = 3 ln( ) 14 ( ) arctg + c. 3 Desde que ( ) = , aplicamos o artifício para p = 9 e q = 6 e, assim, 1 4 = 9 (18 + 6) Então: (1 4)d = 9 (18 + 6)d d (3 + 1) 4 = ln c. c. ( )d / 65

200 Desde que ( ) = + 1, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 1 e, assim, = 1 ( + 1) + 7. Então: ( )d = 1 ( + 1)d d ( + 5) 4 = ln c. d. (4 + 5)d ( + 3) Desde que ( + 3) = + 3, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 3 e, assim, = 5 ( + 3) 7. Então: (4 + 5)d ( + 3) = d 7 d ( ) + 3 = 5 9 ln ln c Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Nesta subseção, usaremos alguns artifícios para resolver algumas integrais que envolvem funções trigonométricas e, para isto, será necessário lembrar das seguintes identidades: 1. sen (u) + cos (u) = 1;. sec (u) tg (u) = 1; 3. cossec (u) cotg (u) = 1; 4. sen (u) = 1 cos(u) ; 5. cos (u) = 1 + cos(u) ; 6. cosh (u) senh (u) = 1; 7. sech (u) tgh (u) = 1; 8. cotgh (u) cossech (u) = 1; 9. senh (u) = cosh(u) 1 ; 1. cosh (u) = cosh(u) + 1. Caso I sen m ()cos n ()d e senh m ()cosh n ()d. Consideram-se dois subcasos: Subcaso a Um dos epoentes m ou n é um inteiro positivo ímpar i. Se m é um número ímpar e n é qualquer número, então epressamos a integral da seguinte forma: 189 / 65

201 sen m ()cos n ()d = senh m ()cosh n ()d = sen m 1 ()cos n ()sen()d; senh m 1 ()cosh n ()senh()d. ii. Se n é um número ímpar e m é qualquer número, então epressamos a integral da seguinte forma: sen m ()cos n ()d = sen m ()cos n 1 () cos()d senh m ()cosh n ()d = senh m ()cosh n 1 () cosh()d Em qualquer destes subcasos, podemos usar as identidades trigonométricas (1) e (6). Eemplo 7.1 Determinemos as seguintes integrais: a. sen 3 ()cos 4 ()d sen 3 ()cos 4 ()d = sen 3 ()cos 4 ()d = (sen ()cos 4 () ) sen()d = ((1 cos ())cos 4 () ) sen()d. b. Na última integral, fazemos u = cos(), então du = sen()d. Portanto, sen 3 ()cos 4 ()d = senh 5 () cosh()d (1 u )u 4 ( du) = = cos5 () (5cos () 7) + c. 35 (u 4 u 6 )du = u5 5 + u7 7 + c senh 5 () cosh()d = = = ( ) senh 4 ()cosh 1/ () senh() d ( ) (cosh () 1) cosh 1/ () senh() d ( ) cosh 9/ () cosh 5/ () + cosh 1/ () senh() d Na última integral, fazemos u = cosh(), então du = senh()d. Portanto, senh 5 () ( cosh()d = u 9/ u 5/ + u 1/) du = 11 u11/ 4 7 u7/ + 3 u3/ + c. = 11 cosh11/ () 4 7 cosh7/ () + 3 cosh3/ () + c. 19 / 65

202 Subcaso b Se m e n são inteiros positivos pares, serão usadas as identidades trigonométricas (4), (5), (9) ou (1). E ao efetuar as operações, serão obtidos termos que contêm potências pares e ímpares de cos(u) ou cosh(u). Os termos que têm potências ímpares integram-se como o Subcaso a. Os termos que têm potências pares reduzem-se usando, sucessivamente, as identidades trigonométricas indicadas. Eemplo 7.13 Determinemos as seguintes integrais: a. sen ()cos 4 ()d b. sen ()cos 4 ()d = senh 4 (3)d ( )( ) 1 cos() 1 + cos() d = 1 (1 + cos() cos 8 () cos 3 () ) d = 1 ( 1 + cos() 1 + cos(4) ) d 1 (1 sen ())cos()d 8 8 = 1 ( cos() 1 ) cos(4) d 1 (1 sen ())(cos()d) 16 = 1 ( sen() 1 ) 8 sen(4) 1 ( sen() 1 ) 16 3 sen3 () + c = 1 ( sen(4) ) + sen3 () + c ( ) cosh(6) 1 (cosh senh 4 (3)d = d = (6) cosh(6) + 1 ) d ( ) cosh(1) + 1 = cosh(6) + 1 d = (cosh(1) 4cosh(6) + 3)d = 1 96 senh(1) 1 1 senh(6) c. Caso II tg m ()sec n ()d;. tgh m ()sech n ()d; 4. cotg m ()cossec n ()d; cotgh m ()cossech n ()d. Consideram-se dois subcasos: 191 / 65

203 Subcaso a Se m é um inteiro positivo ímpar, então epressamos a integral da seguinte forma: tg m ()sec n ()d = cotg m ()cossec n ()d = tgh m ()sech n ()d = cotgh m ()cossech n ()d = tg m 1 () sec n 1 ()tg()sec()d cotg m 1 ()cossec n 1 ()cotg()cossec()d tgh m 1 ()sech n 1 ()tgh()sech()d cotgh m 1 ()cossech n 1 ()cotgh()cossech()d Logo, usam-se as identidades trigonométricas () e (3) ou (7) ou (8), respectivamente. Eemplo 7.14 Determinemos as seguintes integrais: tg 3 () a. sec 4 () d tg 3 () tg sec 4 () d = () sec sec 5 () (tg()sec())d = () 1 sec 5 (tg() sec()) d () (sec = 3 () sec 5 () ) (tg()sec())d. Fazendo u = sec(), temos que du = tg() sec() d. Logo, tg 3 () sec 4 () d = (u 3 u 5) du = u + u c = 1 sec () sec 4 () + c = 1 4 cos ()(cos () ) + c. b. cotg 5 ()d c. cotg cotg 5 4 () ()d = cossec() (cotg()cossec())d (cossec () 1) = (cotg() cossec()) d ( cossec() ) = cossec 3 1 () cossec() + ( cotg() cossec()) d cossec() Fazendo u = cossec(), temos que du = cotg()cossec() d. Logo, ( cotg 5 ()d = u 3 u + 1 u tgh 3 () sech()d = cossec4 () 4 )du = u4 4 u + ln u + c + cossec () ln cossec() + c. 19 / 65

204 tgh 3 () sech()d = tgh () sech() (tgh()sech())d d. 1 sech () = (tgh()sech())d ( sech() ) = sech 1/ () sech 3/ () ( tgh() sech()) d Fazendo u = sech(), temos que du = tgh()sech() d. Logo, tgh 3 () ( ) sech()d = u 1/ u 3/ () du = ( u 5 ) u5/ + c ( = sech() ) 5 sech5/ () + c cotgh 5 ()cossech 3 ()d = sech() 5 ( sech () 5 ) + c. cotgh 5 ()cossech 3 ()d = cotgh 4 ()cossech ()(cotgh()cossech())d = (1 + cossech ()) cossech ()(cotgh()cossech())d = (1 + cossech ()) cossech ()( cotgh()cossech())d Fazendo u = cossech(), temos que du = cotgh()cossech() d. Logo, cotgh 5 ()cossech 3 ()d = (1 + u ) u du = = u7 7 u5 5 u3 3 + c = cossech7 () 7 cossech5 () 5 (u 6 + u 4 + u )du cossech3 () 3 + c. Subcaso b Se n é um inteiro positivo par, então epressamos a integral da seguinte forma: tg m ()sec n ()d = cotg m ()cossec n ()d = tgh m ()sech n ()d = cotgh m ()cossech n ()d = tg m () sec n ()sec ()d cotg m ()cossec n ()cotg()cossec ()d tgh m ()sech n ()sech ()d cotgh m ()cossech n ()cossech ()d Logo, usaremos as identidades trigonométricas () e (3) ou (7) ou (8), respectivamente. 193 / 65

205 Eemplo 7.15 Determinemos as seguintes integrais: a. tg 3/ ()sec 4 ()d tg 3/ ()sec 4 ()d = = = tg 3/ ()sec ()(sec ())d tg 3/ ()(1 + tg ())(sec ())d (tg 3/ () + tg 7/ ())(sec ())d. b. Fazendo u = tg(), temos que du = sec ()d. Logo, tg 3/ ()sec 4 ()d = (u 3/ + u 7/ )du = 5 u5/ + 9 u9/ + c = 5 tg5/ () + 9 tg9/ () + c. cossec 4 ()d cossec 4 ()d = cossec ()(cossec ()d) = (1 + cotg ())( cossec ()d) c. Fazendo u = cotg(), temos que du = cossec ()d. Assim, tgh ()sech 4 ()d cossec 4 ()d = (1 + u )du = u u3 ( 3 + c = cotg() + 1 ) 3 cotg3 () + c. tgh ()sech 4 ()d = tgh ()(1 tgh ()) ( sech () ) d = (tgh () tgh 4 () ) (sech ()d) d. Fazendo u = tgh(), temos que du = sech ()d. Assim, cossech 6 ()d tgh ()sech 4 ()d = (u u 4) du = u3 3 u5 5 = 1 3 tgh3 () 1 5 tgh5 () + c. 194 / 65

206 (cotgh cossech 6 ()d = () 1 ) ( cossech () ) d = (cotgh 4 () cotgh () + 1) ( cossech () ) d Fazendo u = cotgh(), temos que du = cossech ()d. Assim, cossech 6 ()d = (u 4 u + 1)du = u5 5 + u3 3 u = 1 5 cotgh5 () + 3 cotgh3 () cotgh() + c Caso III sen(m) cos(n) d; cos(m) cos(n) d; senh(m) senh(n) d; sen(m) sen(n) d; senh(m) cosh(n) d; cosh(m) cosh(n) d. Para determinar as integrais deste caso precisamos das seguintes identidades trigonométricas: 1. sen(m) cos(n) = 1 [sen((m n)) + sen((m + n))];. sen(m)sen(n) = 1 [cos((m n)) cos((m + n))]; 3. cos(m) cos(n) = 1 [cos((m n)) + cos((m + n))]; 4. senh(m) cosh(n) = 1 [senh((m + n)) + senh((m n))]; 5. senh(m)senh(n) = 1 [cosh((m + n)) cosh((m n))]; 6. cosh(m) cosh(n) = 1 [cosh((m + n)) + cosh((m n))]. Além disso, são usadas também: sen( u) = sen(u), cos( u) = cos(u), senh( u) = senh(u) e cosh( u) = cosh(u). Eemplo 7.16 Determinemos as seguintes integrais: a. sen() cos(3) d 195 / 65

207 b. c. d. sen() cos(3)d = 1 = 1 cos(3) cos(4) d cos(3) cos(4)d = 1 = 1 senh(3) senh(4) d senh(3)senh(4)d = 1 = 1 senh() cosh(4) d [sen( 3) + sen( + 3)]d [sen(5) sen()]d = 1 1 cos(5) + 1 cos() + c. [cos(3 4) + cos(3 + 4)]d [cos( ) + cos(7)]d = 1 sen() + 1 sen(7) + c. 14 [cosh(3 + 4) cosh(3 4)]d [cosh(7) cosh()]d = 1 14 senh(7) 1 senh() + c. senh() cosh(4)d = 1 = 1 [senh( + 4) + senh( 4)]d [senh(5) senh(3)]d = 1 1 cosh(5) 1 cosh(3) + c Integração por Substituição Trigonométrica Seja u = f () uma função de. Em muitos casos é possível calcular uma integral efetuando uma substituição trigonométrica adequada às funções da forma: R(u, u + a )du, R(u, a u )du ou R(u, u a )du, onde R é uma função racional. Apresentamos os casos para calcular essas integrais: Caso I R(u, u + a )du, a >. Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função: 196 / 65

208 As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem. Caso II R(u, a u )du, a >. Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função: sen(θ) = u a As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem. Caso III R(u, u a )du, a >. Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função: sec(θ) = u a θ = arc sec( u a) u = a sec(θ) du = a sec(θ) tg(θ)dθ As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem. Eemplo 7.17 Determinemos as seguintes integrais: a. d / 65

209 Aplicando o Caso I, consideramos: tg(θ) = ( θ = arc tg ; 3) = 3tg(θ) d = 3sec (θ)dθ. + 9 = 3sec(θ). Fazendo as respectivas substitui- Além disso, sec(θ) = ções temos: d tg (θ)3sec (θ)dθ = = 9tg (θ)sec(θ)dθ 3sec(θ) = (sec (θ) 1)sec(θ)dθ = 9 (sec 3 (θ) sec(θ))dθ [ ] 1 = 9 (tg(θ)sec(θ) + ln tg(θ) + sec(θ) ) ln tg(θ) + sec(θ) + c = 9 (tg(θ)sen(θ) ln tg(θ) + sec(θ) ) + c [ = 9 ] ln c 3 [ = ln + ] c. 3 b. d d Esta integral pode ser reescrita. Aplicando o Caso I, consideramos: 4 + (3) tg(θ) = 3 ( ) 3 θ = arc tg ; 4 4 = 4 3 tg(θ) d = 4 3 sec (θ)dθ = 4sec(θ). Fazendo as respectivas subs- Além disso, sec(θ) = tituições temos: d = = sec (θ)dθ 16 9 tg (θ) sec(θ) = 3 sec(θ)dθ 64 tg (θ) = 3 16 cotg(θ)cossec(θ)dθ = 3 16 cossec(θ) + c = c = c. cos(θ) sen (θ),dθ 198 / 65

210 c. ( 5) 4 d Esta integral pode ser reescrita sen(θ) = ( 5) d. Aplicando o Caso II, consideramos: 4 ( ) ( θ = arcsen ) ; = + sen(θ) d = cos(θ)dθ. Além disso, cos(θ) = 4 = cos(θ). Fazendo as respectivas substituições temos: 4 ( 5) 4sen(θ) 1 d = cos(θ)dθ = (4sen(θ) 1)dθ 4 cos(θ) = 4cos(θ) θ + c = ( ) 4 arcsen + c. d. d 1 Aplicando o Caso II, consideramos: sen(θ) = = sen(θ) θ = arcsen(); d = cos(θ)dθ. Além disso, cos(θ) = 1. Fazendo as respectivas substituições temos: d 1 sen (θ) cos(θ)dθ = = sen (θ)dθ = 1 (1 cos(θ))dθ cos(θ) = 1 ( θ sen(θ) ) + c = 1 (θ sen(θ) cos(θ)) + c = 1 (arcsen() ) 1 + c. e. ( 3) ( d + 3) 3/ Esta integral pode ser reescrita como III, consideramos: sec(θ) = + 1 ( 3)d (( + 1) 4). Aplicando o Caso ( + 1) 4 ( ) + 1 θ = arcsec ; = 1 + sec(θ) d = sec(θ)tg(θ)dθ. 199 / 65

211 Além disso, tg(θ) = substituições temos: + 3 ( 3) (4sec(θ) 5)sec(θ)tg(θ)dθ ( + 3) 3/ d = 4tg (θ)tg(θ) = + 3 = tg(θ). Fazendo as respectivas (cossec (θ) 5 4 cotg(θ)cossec(θ) ) dθ 4sec (θ) 5sec(θ)dθ = 4tg (θ) f. 3 9 d = 5 cossec(θ) cotg(θ) + c 4 5( + 1) = c. Aplicando o Caso III, consideramos: sec(θ) = 3 = 3sec(θ) Fazendo as respectivas substituições temos: ( θ = arcsec ; 3) d = 3sec(θ)tg(θ)dθ. 3 7sec 3 9 d = (θ)3sec(θ)tg(θ)dθ 7sec 4 (θ)tg(θ)dθ = 9sec (θ) 9 sec (θ) 1 ( = 7 (1 + tg (θ))sec (θ)dθ = 7 tg(θ) + 1 ) 3 tg3 (θ) + c = ( 9) 3/ + c Integração de Funções Racionais Consideremos dois polinômios: P() = b m m + b m 1 m b 1 + b e Q() = a n n + a n 1 n a 1 + a, uma função racional é o quociente desses dois polinômios, isto é: R() = P() Q(). Diz-se que a função racional R() é própria se o grau de P() for menor que o grau de Q(); caso contrário, diz-se que é imprópria. Se R() é uma função racional imprópia, ao dividir o numerador pelo denominador, R() pode ser reescrita como a soma de um polinômio e uma função racional própria, isto é: R() = P() S() = C() + Q() Q(), / 65

212 onde o grau de S() é menor que o grau de Q(). Nesta seção, trataremos apenas de funções racionais próprias, já que nosso interesse é apreender como integrar as funções do tipo: P() Q() d. Consideremos os seguintes casos: Caso I onde a,b,c são constantes. A + B a + b + c d, 1. Completam-se os quadrados no denominador: a + b + c = a ( + b ) ( + c b ) ; a 4a. Faz-se a substituição z = + b e, assim, a integral transforma-se em: a A + B mz + n a + b + c d = a(z + n) dz = m zdz a z + n + n dz a z + n. Para realizar o cálculo dessas integrais, usam-se as fórmulas básicas de integração. Caso II Quando Q() se decompõe em um produto de fatores lineares diferentes, teremos: Q() = a n ( α 1 )( α )...( α n ), com α 1 α... α n, a função racional P() se epressa como uma soma de frações simples: ( P() Q() Q() d = A1 + A + + A ) n d, α 1 α α n onde A 1,A,...,A n são constantes a serem determinadas. Caso III Quando Q() se decompõe em fatores lineares repetidos, isto é, supondo que o fator linear ( a) se repete p vezes: Q() = a n ( a)( a) ( a) ( α p+1 )( α p+ )...( α n ), } {{ } p vezes a função racional P() se epressa como uma soma de frações simples: Q() ( P() Q() d = A1 a + A ( a) + + A p ( a) p + A p A ) n d α p+1 α n onde A 1,A,...,A n são constantes a serem determinadas. 1 / 65

213 Caso IV Quando Q() se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis diferentes teremos: Q() = a n ( + b 1 + c 1 )( + b + c )( + b 3 + c 3 )( α 4 )...( α n ), a função racional P() se epressa como uma soma de frações simples: Q() ( P() Q() d = A1 + B 1 + A + B + b 1 + c 1 + A 3 + B 3 + b + c + A A ) n d, + b 3 + c 3 α 4 α n onde A 1,A,...,A n,b 1,B,B 3 são constantes a serem determinadas. Caso V Quando Q() se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis, assim como os fatores quadráticos podem ser repetidos, teremos: Q() = a n ( + b + c) ( α 3 )...( α n ), a função racional P() se epressa como uma soma de frações simples: Q() ( P() Q() d = A1 + B 1 + b + c + A + B ( + b + c) + A A ) n d, α 3 α n onde A 1,A,...,A n,b 1,B são constantes a ser determinadas. Eemplo 7.18 Determinar as seguintes integrais: a d Fatorando o denominador Q() = 3 + = (+1)( 1)(+). Logo, aplicando o Caso II, esta integral pode ser epressa como: 4 ( d = Calculando as constantes A,B,C: = A B 1 + A C + B 1 + C ) d. + = A( 1)( + ) + B( + 1)( + ) +C( + 1)( 1). ( + 1)( 1)( + ) Igualando os numeradores: = A( + ) + B( ) +C( 1) e ordenando temos = (A + B +C) + (A + 3B) A + B C. / 65

214 Por igualdade de polinômios, temos que: A + B +C = 4 A + 3B = 9 A + B C = 1 A = 3 B = C = 1 substituindo na integral, obtemos: 4 ( d = ) d + b. 5 7 ( 3)( ) d = 3ln ln 1 ln + + c = ln ( + 1) 3 ( 1) + + c. Fatorando o denominador Q() = ( 3)( ) = ( 3)( )( + 1). Logo, aplicando o Caso II, esta integral pode ser epressa como: ( 5 7 ( 3)( ) d = Calculando as constantes A,B,C: A 3 + B + C ) d ( 3)( ) = = A 3 + B + C + 1 A( )( + 1) + B( 3)( + 1) +C( 3)( ). ( 3)( )( + 1) Igualando os numeradores: 5 7 = A( ) + B( 3) +C( 5 + 6) e ordenando temos 5 7 = (A + B +C) + ( A B 5C) A 3B + 6C. Por igualdade de polinômios, temos que: A + B +C = A B 5C = 5 A 3B + 6C = 7 A = B = 1 C = 1 substituindo na integral, obtemos: ( 5 7 ( 3)( ) d = ) d + 1 = ln 3 ln ln c = ln ( 3) ( )( + 1) + c. 3 / 65

215 c. + 1 ( + 1) ( 3) d Aplicando o Caso III, esta integral pode ser epressa como: ( + 1 ( + 1) ( 3) d = Calculando as constantes A,B,C: + 1 ( + 1) ( 3) = A B ( + 1) + C 3 A B ( + 1) + C ) d. 3 A( + 1)( 3) + B( 3) +C( + 1) = ( + 1). ( 3) Igualando os numeradores: + 1 = A( 3) + B( 3) +C( + + 1) e ordenando temos + 1 = (A +C) + ( A + B + C) 3A 3B +C. Por igualdade de polinômios, temos: A +C = A + B + C = 3A 3B +C = 1 substituindo na integral, obtemos: + 1 ( + 1) ( 3) d = d A = 13/16 B = 3/4 C = 19/16 d ( + 1) d 3 = ln ( + 1) + 19 ln 3 + c. 16 d d Fatorando o denominador Q() = = ( + 3). Logo, aplicando o Caso IV, esta integral pode ser epressa como: Calculando as constantes A,B,C: d = ( ) A B +C + d = A B +C = A( + 3) + B +C (. + 3) Igualando os numeradores: = (A + B) +C + 3A. Por igualdade de polinômios, temos A + B = 4 A = C = B = 3A = 6 C = substituindo na integral, obtemos: d = d d = ln + ln c = ln() ( + 3) + c. 4 / 65

216 e d + 4 Fatorando o denominador Q() = = ( +4)( +1). Logo, aplicando o Caso IV, esta integral pode ser epressa como: ( + 1 A + B d = C + D ) d. + 4 Calculando as constantes A,B,C,D: = A + B C + D + 4 = (A + B)( + 4) + (C + D)( + 1) ( + 1)( + 4). Igualando os numeradores: = A( 3 + 4) + B( + 4) + C( 3 + ) + D( + 1) e ordenando = (A +C) 3 + (B + D) + (4A +C) + 4B + D. Por igualdade de polinômios, temos: A +C = 1 B + D = 3 4A +C = 4B + D = 1 A = 1, B = 3 C =, D = 11 3, e substituindo na integral, obtemos: d = + 4 d d d d + 4 = 1 ln arctg() + ln arctg ( ) + c. f ( 1) ( + + ) d Aplicando o Caso V, esta integral pode ser epressa como: 3 ( ( 1) ( + + ) d = Calculando as constantes A,B,C,D: ( 1) ( + + ) = A 1 + A 1 + B ( 1) + C + D + + B ( 1) + C + D ) d. + + Igualando os numeradores: = A( 1)( + + ) + B( + + ) + (C + D)( 1) ( 1) (. + + ) = A( 3 + ) + B( + + ) +C( 3 + ) + D( + 1) = (A +C) 3 + (A + B C + D) + (B +C D) A + B + D. 5 / 65

217 Por igualdade de polinômios, temos: A +C = 1 A + B C + D = B +C D = 3 A + B + D = 4 e substituindo na integral, obtemos: ( 1) ( + + ) d = 18 5 A = 18 5, B = 5, C = 7 5, D = 44 5, d 1 5 d ( 1) + 1 (7 44)d = 18 5 ln 1 + 5( 1) + 7 ( + )d d c g. d ( + 1) = 18 5 ln 1 + 5( 1) ln arctg( + 1) + c. 5 Aplicando o Caso V, esta integral pode ser epressa como: ( d A ( + 1) = B +C D + E ) ( + 1) d. Calculando as constantes A,B,C,D,E: 1 ( + 1) = A B +C D + E ( + 1) = A( + 1) + (B +C)( + 1) + (D + E) ( + 1). Igualando os numeradores: 1 = A( ) + B( 4 + ) +C( 3 + ) + D + E = (A + B) 4 +C 3 + (A + B + D) + (C + E) + A. Por igualdade de polinômios temos: A + B = C = A + B + D = C + E = A = 1 A = 1 B = 1 C = D = 1 E = e substituindo na integral, obtemos: ( d 1 ( + 1) = ) + 1 ( + 1) d = ln 1 1 ln ( + 1) + c = 1 ln ( + 1) + c. 6 / 65

218 7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski Para encontrar integrais da forma A + B ( d, n = 1,,3,... + b + c) n onde + b + c é uma epressão quadrática irredutível, a integral deve ser reescrita da seguinte forma: A + B ( + b + c) n d = P() ( + b + c) n 1 + C + D + b + c d, onde P() é um polinômio de grau < (n 1) = grau de ( + b + c) n 1 e os coeficientes de P(), assim como os valores de C e D, calculam-se derivando ambos membros e aplicando o método da seção anterior. Método de Hermite-Ostrogradski Se na função racional P(), Q() se decompõe em fatores de multiplicidade, teremos: Q() Q() = ( a 1 ) α 1 ( a ) α...( a r ) α r ( + b 1 + c 1 ) β 1...( + b s + c s ) β s, E assim, a integral pode ser epressada da seguinte forma: P() Q() d = f () g() Q 1 () + Q () d, onde Q 1 () := m.d.c(q(),q ()) é o máimo divisor comum dos polinômios Q() e da sua derivada Q () e Q () = Q(). Além disso, f () e g() são polinômios com coeficientes Q 1 () indeterminados, cujos graus são menores numa unidade que os polinômios Q 1 () e Q (), respectivamente. Os coeficientes de f () e g() são determinados derivando a última equivalência da integral. Eemplo 7.19 Determinemos as seguintes integrais: d a. ( + 1) ( + 1) d Desde que Q() = ( + 1) ( + 1), temos que Q () = ( + 1)( + 1)( ). Além disso, Como então, Q 1 () = m.c.d(q(),q ()) = ( + 1)( + 1); Q () = Q() Q 1 () = ( + 1) ( + 1) ( + 1)( + 1) = ( + 1)( + 1). d ( + 1) ( + 1) = f () Q 1 () + g() Q () d d ( + 1) ( + 1) = A + B +C D ( + 1)( + 1) + + E + F ( + 1)( + 1) d. 7 / 65

219 Derivando a equação anterior, obtemos: 1 ( + 1) ( + 1) = D5 + ( A + D + E) 4 + ( B + D + E + F) 3 ( + 1) ( + 1) + (A B 3C + D + E + F) + (A C + E + F) + B C + F ( + 1) ( + 1). Por igualdade de polinômios, temos: D = A + D + E = B + D + E + F = A B 3C + D + E + F = A C + E + F = B C + F = 1 substituindo na integral, obtemos: A = 1 4, B = 1 4, C =, D =, E = 1 4, F = 3 4, b. d ( 3 1) d d ( + 1) ( + 1) = = = = = ( + 1)( + 1) ( + 1)( + 1) d 4( + 1)( + 1) ( + 1)( + 1) d 4( + 1)( + 1) 1 [ ] d d d + 1 d 4( + 1)( + 1) 1 [ ln ln + 1 arctg() ] + c 4 4( + 1)( + 1) + 1 ln ln arctg() + c. 4 Desde que Q() = ( 3 1) resulta que Q () = 6 ( 3 1). Além disso, Como então, Q 1 () = m.c.d ( Q(),Q () ) = 3 1 e Q () = Q() Q 1 () = (3 1) 3 1 = 3 1. Derivando a equação anterior, obtemos: d ( 3 1) = f () Q 1 () + g() Q () d d ( 3 1) = A + B +C D + E + F ( 3 1) = (3 1)(A + B) (A + B +C)3 ( 3 1) + D + E + F 3 1 d.. 8 / 65

220 Ao igualar os numeradores: 1 = ( 3 1)(A + B) 3 (A + B +C) + (D + E + F)( 3 1) = D 5 + ( A + E) 4 + ( B + F) 3 + ( 3C D) + (A E) B F. Por igualdade de polinômios, temos: D = A + E = B + F = A =, B = 1 3, C =, 3C D = D =, E =, F = A E = 3, B F = 1 substituindo na integral, obtemos: d ( 3 1) = 3( 3 1) d = 3( 3 1) 3 [ 1 3 d ] d = = 3( 3 1) [ ln ln ( )] + 1 arctg + c 3 3 3( 3 1) ln ( ) + ( ) arctg + c Integrais de Funções Irracionais Como vimos nas subseções anteriores, as funções racionais possuem integrais que podem ser epressas como combinações lineares finitas de funções elementares. Porém, isto não acontece com as funções irracionais, salvo em alguns casos particulares. Eaminaremos agora alguns critérios para resolver integrais desse tipo. Caso I (A + B) a + b + c d. Para calcular esse tipo de integrais, precisaremos completar o quadrado no trinômio a + b + c: ( a + b + c = a + b a + c ) ) ( = a ( ba b + + a 4a + c b 4a = a + b ) 4ac b + a 4a assim, (A + B) a + b + c d = a ( + b a (A + B) ) + 4ac b 4a Logo, faz-se a substituição z = + b e aplicam-se as fórmulas básicas de integração. a 9 / 65 d.

221 Eemplo 7. Determinemos a integral ( + ) 4 d Completando quadrados, obtemos: 4 = 5( + + 1) = 5 ( + 1). Assim, ( + )d 4 = ( + )d 5 ( + 1). Fazendo z = + 1, temos que = z 1 e d = dz. Logo, ( + )d 4 = (z 1 + ) 5 z dz = (z + 1) 5 z dz = zdz + 5 z dz 5 z = ( ) z 5 z + arcsen + c 5 = ( ) arcsen + c. 5 Caso II ( ) a + b R, n d, c + d onde a,b,c,dsão constantes, n N e ad bc. Para calcular essas integrais, faz-se a substituição: z = n, e pondo em evidência, obtemos: a + b c + d = b dzn cz n a d = nzn 1 (ad bc) (cz n a). Logo, calculamos a integral composta de uma função racional na variável z. Eemplo Determinar a integral 1 + d. Pelo critério estabelecido, z 3 = 1 e, assim, 1 + = 1 z3 1 + z 3 d = 6z dz (1 + z 3 ). 1 / 65

222 Substituindo na integral, teremos: d = z 1 + [ z3 6z ] 1 z 3 (1 + z 3 ) [ = 6 = 6 6 A z 1 + dz = 6 z 3 (1 z 3 )(1 + z 3 ) dz = 6 B z Cz + D z + z Ez + F ] z dz z + 1 [ 1 z z + 1 z + z + z + 1 z ] z dz z + 1 z 3 (z 3 1)(z 3 + 1) dz = ln z 1 + ln z ln z + z ln z z + 1 ( ) z 1 3arctg + ( ) z + 1 3arctg + c 3 3 = ln z 1 1 ln (z + z + 1)(z z + 1) 3arctg ( ) 3 z + c. + 1 Caso III R (, ( ) a + b p1 /q 1, c + d ( ) a + b p /q,..., c + d ( ) ) a + b pk /q k d, c + d onde a,b,c,d são constantes tais que ad bc, p 1, p,..., p k,q 1,q,...,q k Z, sendo R uma função racional. Para calcular essas integrais, devemos transformá-las numa integral de uma função racional na variável z, mediante a substituição de z n = a + b, onde n é o mínimo c + d múltiplo comum dos números q 1,q,...,q k. Eemplo 7. Determinemos a integral d 1 + Pelo critério estabelecido, z 6 = 1 +, assim, 6z 5 dz. Substituindo na integral, teremos: d = { z = z 3 = 1 +, além disso, = z6 1 d = (z 6 1) + z 3 z 6z 5 dz = 6 z 3 (z 1 z z 3 )dz = 6 = 6z 4 [ z 1 [ z (z 15 z 9 + z 6 + z 3 16 ] )dz = 6 16 z1 5 + z7 7 + z4 + c 4 16 z6 5 + z = 6 3 ( + 1) [ ( + 1) 16 ] + c ] + c / 65

223 Caso IV P n () a + b + c d, onde P n () é um polinômio de grau n. Para calcular esse tipo de integral, temos que epressá-las como: P n () a + b + c d = Q n 1() a d + b + c + λ a + b + c, onde Q n 1 () é um polinômio de grau (n 1), com coeficientes indeterminados e λ R, os quais são calculados ao derivar a última epressão. Eemplo 7.3 Determinemos a integral + 1 d Pelo critério estabelecido, epressamos a integral como: Derivando essa epressão, obtemos: + 1 d = (A + B) λ d = A (A + B)( 1) λ Multiplicando em ambos etremos por + 1, resultará em: = A( + 1) + (A + B)( 1) + λ = 4A + (B 3A) + A + λ B. Por igualdade de polinômios, temos: 4A = B 3A = A + λ B = { A = 1, B = 3 4, λ = 1 8, e substituindo na integral, obtemos: + 1 d = ( ) = = d + 1 d ( 1/) + 3/ ln c. 1 / 65

224 Caso V d ( α) n a + b + c. Para calcular esse tipo de integral, devemos transformá-las em integrais do Caso IV usando a substituição t = 1 α o qual implica que α = 1 t. Eemplo 7.4 d Determinemos a integral ( ) + 3 Podemos reescrever a integral como: d ( ) + 3 = Fazendo t = 1 + 1, temos que + 1 = 1 t d ( ) + 3 = e d = dt t. Assim, 1 t 3 d ( + 1) 3 ( + 1) 4. dt t 1 t 4 = Logo, resolvemos a última integral usando o critério do Caso IV: t dt 1 = (At + B) 4t dt + λ, 1 4t 1 4t derivando essa epressão, obtemos: t = A 1 4t 4t(At + B) + λ. 1 4t 1 4t 1 4t t dt 1 4t. E multiplicando em ambos etremos por 1 4t, resultará em: t = A(1 t ) 4t(At + B) + λ = 8At 4Bt + A + λ. Por igualdade de polinômios, temos: 8A = 1 4B = A + λ = { A = 1 8, B =, λ = 1 8. Substituindo na integral, obtemos: t dt = t 1 4t 1 4t dt = t 1 4t 1 4t arcsen(t). 13 / 65

225 Portanto, substituindo na integral original: d ( ) + 3 = t dt 1 4t = t 8 1 4t 1 16 arcsen(t) + c = + 3 8( + 1) 1 ( ) 16 arcsen + c. + 1 Caso VI m (a + b n ) p d, onde, m, n, p são números racionais. Para calcular esse tipo de integral, devemos aplicar as condições de CHEBICHEV e, assim, a integral pode ser epressa como uma combinação finita de funções elementares somente nos três casos seguintes: a. Quando p é um número inteiro; b. Quando m + 1 é um número inteiro fazemos a substituição z s = a+b n, onde s é o divisor n da fração p; c. Quando m p é um número inteiro fazemos a substituição z s = a n + b, onde s é o n divisor da fração p. Eemplo 7.5 Determinemos as seguintes integrais a. 3 (1 + ) 3/ d b. Aplicamos o critério de CHEVICHEV: m + 1 n = = é um número inteiro, então, z = 1 + = z 1, d = zdz ; z 3 (1 + ) 3/ d = (1 + ) 3/ 1 ( d = z ) 3/ zdz = 1 (z 1)z 3 zdz = 1 (1 z )dz = = 1 ( z ) c = z c. d ( z + 1 z ) + c 14 / 65

226 Escrevemos a integral como: d = 3 Aplicamos o critério de CHEVICHEV: m + 1 n m + 1 n 3 = + 1 = não é um número inteiro, / (1 + 3/4 ) 1/3 d. + p = 3 1 = 1 é um número inteiro, então, 3 z 3 = 3/ /4 = 1 z 3 1 = 1 (z 3 1) 4/3, d = 4z (z 3 1) 7/3 dz, subtituindo d = 3 [ ( (z 3 1) 4/3] 3/ ) z 3 ( 4z )(z 3 1) 7/3 dz 1 = 4 zdz = z + c = 3 ( 3/4 + 1 ) + c. Caso VII R(, a + b + c)d, onde a,b,c R. Calcula-se uma integral dessa forma usando a substituição de Euler, que permite transformar o integrando numa função racional na variável t. Dessa maneira, podemos apresentar 3 subcasos: Subcaso a Se c, a mudança de variável é a + b + c = t + c. Ao elevar ao quadrado, resultará em: a +b+c = t + ct+c (a t ) +(b ct) = [ (a t ) + b ct ] =. Ao eliminar a solução =, obtemos = ϕ(t), que é uma função racional em t, e d = ϕ (t)dt que também é uma função racional em t. Portanto, R(, a + b + c)d = R ( ϕ(t), tϕ(t) + c ) ϕ (t)dt, onde o integrando do segundo membro é uma função racional em t. 15 / 65

227 Eemplo 7.6 d Determinemos Fazendo = t + 1, ao elevar ao quadrado, obtemos + = t + t. Eliminando a solução =, teremos: substituindo na integral: d = = = t 1 t, d = (t t + ) ( t ) dt, t 1 t dt t 1 (t t + ) ( t ) dt ( ( t 1 t t ) + 1 ) = = ln t 1 + c = ln (t t + ) ( t ) dt (t 1)(t t + t ) ( t ) c. Subcaso b Se a, a mudança de variável é a + b + c = a + t. Ao elevar ao quadrado, resultará em: a + b + c = a + at +t b + c = at +t = t c (b at). Obtemos = ϕ(t), que é uma função racional em t, e d = ϕ (t)dt que também é uma função racional em t. Eemplo 7.7 d Determinemos Fazendo = +t, ao elevar ao quadrado obtemos = + t +t. Assim, [ = t 1 t ] 1 t, d = +t 1 (1 + t) dt, substituindo na integral: d = [ t ] +t 1 (1 + t) dt dt t ( 1 t ) = 1 1 t 1 t +t t 1 = ln t 1 t c = ln c. 16 / 65

228 Subcaso c Se o trinômio a + b + c tem duas raízes reais r,s, nesse caso, a mudança de variável é a + b + c = t( r). E ao elevar ao quadrado, resultará em: a + b + c = a( r)( s) = t ( r) a( s) = t ( r). Da última igualdade, obtemos = ϕ(t), que é uma função racional em t, e d = ϕ (t)dt que também é uma função racional em t. Eemplo 7.8 d Determinemos 3 + Desde que 3 + = ( )( 1) 3 + = ( )( 1) = t( 1), elevando ao quadrado e simplificando o fator ( 1), obtemos ( ) = t ( 1). Assim, substituindo na integral: d 3 + = = = t 1 t, d = t (1 t ) dt, t (1 t ) dt dt ( t ) ( t ) = 1 t t 1 t 1 t = ln ln + ( 1) + c. ( 1) t t + + c 7.7 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos o conceito da integral indefinida como o problema inverso da derivação. Por isso, foram estudados diversos métodos de integração como, por eemplo, as fórmulas provenientes das propriedades de derivação direta (integrais imediatas e método de integração por partes), as técnicas para integrar funções que contêm um trinômio quadrado. Estudamos também formas de lidar com epressões que contêm funções trigonométricas. Apresentamos, ainda, a técnica da substituição trigonométrica, bem como algumas metodologias para o tratamento de funções racionais, como o método de Hermite-Ostrogradski e, por último, foram apresentados alguns critérios para resolver funções irracionais. Essas técnicas serão retomadas no próimo capítulo, onde apresentaremos a integral definida e suas principais aplicações, que são de suma importância para o cálculo das mesmas. 7.8 Atividades 1. Determine as seguintes integrais indefinidas: i. ( + 3)d. ii. 17 / d.

229 d 7 iii. ( 8). iv d. 3 4 v d. vi. 1 5d vii. 5 + d. viii. 1 cos (1 4) d. i. cos(7 + 4)d.. e 5 d. d i. ln () d. ii. 4 e d. e 3 e cos 3 () iii. d. iv. 1 sen() d. ( 5 + 1) 1/5 + v. d. vi. d d ln(ln()) vii. 1 + sen(). viii. ln() d. d i. e 1.. d 4 + 5cos 5 (). d i. e + 4. ii. ( ln + ) d. d 1 iii.. iv. + cos()d. + 1 ( ) v d. vi. sen(8) 9 + sen 4 (4) d. sec() tg() vii. sec() + tg() d. viii. sec 3 ()d. i. ( 1) 5 e 4 d.. ln() 3 (ln() 1) 3 d. e i. (4 3ln()) 4 e d. ii. + e + 6 d.. Integrando por partes, encontre as seguintes integrais indefinidas: (7 i. ln()d. ii. + 3 ) e d. ln() iii. sec ()d. iv. 3 d. v. cos(ln())d. vi. arctg ()d. ln(ln()) d vii. d. viii. cos() sen()). e arctan() i. (1 + ) d.. d. i. e cos(e )d. ii. e a sen(b)d. 3. Determine as seguintes integrais indefinidas que contêm um trinômio quadrado: i. d ii. d / 65

230 d iii ( )d v d vii i. + 8 d. iv. d vi. + 8d. viii. 3d d. 4. Determine as seguintes integrais trigonométricas: i. sen ()d. ii. cos 5 ()d. iii. cos 7 ()sen 3 ()d. iv. senh 3 ()d. v. sen (3)cos 4 (3)d. vi. cotg 5 ()d. vii. sec 4 () cotg 3 ()d. viii. tgh 6 ()sech 4 ()d. i. sen(3)sen(5)d.. sen 5 ()cos 8 ()d. i. sen 3 ()cos 3 ()d. ii. sen 4 ) cos ) d. d iii. sen ()cos 4 (). iv. d sen 5 ()cos 5 ). sec (π) v. cos 6 (π) d. vi. sen()sen()sen(3)d. vii. sen(4) cos(5)d. viii. cosh(3) cosh()d. i. sen 3 ()cos(3)d.. senh ()cosh(5)d. 5. Encontre as seguintes integrais usando substituição trigonométrica: 4 + i. (16 ) 3/ d. ii. 6 d. 5 iii. d. iv. 16 d. v. + 7 d. vi. d vii. 9 d. viii. + 1 d. d i. ( + 5) 3/ d. i. 8 4 d. ii. (a d. ) 3/ d iii. ( + 1) 3 +. iv. d ( + 1) 1. e v. (e e + 5) d. vi. 3 (9 ) d. 7 1 vii. (9 ) 1/ 4 d. viii. d. 19 / 65

231 ( + 3) i. ( 1)( + 1) 1/ d.. 3 ( 4 d. 4) 1/ d i. ( + 1) + 1. ii. d 3 1. ( + ) 1/ d iii. d. iv. + 1 (4 ) 3/. v. (4 ) 5/ d. vi. d ( ) 1/. e d 3arcsen() vii. (e + 8e + 7) 3/. viii. (1 ) d i. 4.. d Determine as integrais das seguintes funções racionais: 5/ d i. ( 1)( + 3)( 4) d. ii d. d iii. (a ), a >. iv. 1 3 d v d. vi d. 3 1 vii. 4 3 d. viii. 3 ( + )( + 1)( 1) d i. ( + 3)( + )( 1) d d i. 5 4 d. ii. ( + 1) 3 d. + 1 iii d. iv. 3 7 ( + 3)( + 1) d. d v. ( + 1). vi. d vii. ( ) 3 ( 5) d. viii d. + 3 i. ( + )( 1) d d. + 1 i d. ii d. d iii. ( + + 5) 3. iv. 6 3 ( + 1) d v d. vi d. 1 vii. 3 d. viii ( + 1)( + 1) d. + 3 i. ( + 1) ( + 4) d d. d i. (4 + )(1 + ). ii. d iii. ( + ) d. iv. d 3 +. / 65

232 d v. ( 4 1). 5 8 vii d. i. vi. viii. 3 4 ( + 1)( + 1) d. l. d d. ( 1)( + 1) d. 7. Determine as seguintes integrais pelo método de Hermite-Ostrogradski: 7 + i. ( + + 1) d. ii. d ( + 1) 4 d. d iii. ( 4 1). iv. d 4 ( 3 + 1) v. 3 ( + 1) d. vi. d 4 ( 3 + 1) vii. ( ) ( + 4) d. viii ( + 1) 3 d i. ( + ) d ( 1) 3 d. i. ( + ) ( + 4) d. ii. d ( 4 1) Determine as seguintes integrais irracionais: d i. ( + ) ii. ( + 3 ) d. + 1 iii. d. iv. d 3 ( 3 1). d v vi. d e vii. 4 e + 1 d. viii. d i. + d.. d. 1 i. d. ii d. 3 5 iii. d. iv. d d v vi. d 4 1. d vii viii. 1 4 d. 3/4 3 i. (1 )d d. d i ii. d. 4 (1 + 4 ) 3 d 6 iii.. iv. 3 ( + 1) ( 1) d. 5 1 / 65

233 d v. (1 + 3 d. vi. ) + 1. d vii. ( + ) +. viii. d ( + 1) 1. i d.. ( 3 + 1) d. ( ) /3 i. ( ) /3 + 3 d. ii. d + 1. d iii. +. iv d d v. ( + 5) vi. d vii. + 1 d. viii d. Feedback sobre o capítulo Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso. / 65

234 Capítulo 8 A Integral Definida OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Conhecer o significado geométrico da integral definida; Dominar as propriedades de somatórios; Identificar a eistência das funções integráveis; Aplicar as propriedades de integral definida nos seus cálculos; Interpretar os teoremas fundamentais do cálculo integral; Interpretar corretamente a integral definida na aplicação do cálculo de áreas de regiões planas, volume, longitude de arco, etc. 8.1 Introdução A integral definida é um dos pilares do cálculo; é também uma ferramenta essencial para determinar quantidades importantes para a matemática, tais como áreas, volumes, comprimentos de curvas, entre outros. A ideia por trás da integral definida é independente a da integral indefinida, ou seja, não é como a operação inversa da derivada. Assim, poderemos calcular efetivamente as quantidades requeridas, dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, somando-as para obter uma aproimação do valor desejado, que no limite torna-se eatamente o valor desejado. Historicamente, as noções da integral definida remontam à Antiguidade, mas o conceito foi estabelecido apenas na era moderna como consequência da contribuição de muitos matemáticos tais como Newton e Leibniz, porém, foi o matemático Riemann, no século XIX, quem formulou o conceito utilizado atualmente. Neste capítulo, trataremos da integral definida e estudaremos suas principais propriedades, dentre as quais ressaltamos os teoremas fundamentais do cálculo, que se relacionam com os conceitos da antiderivada de integral indefinida e da integral definida; estudaremos ainda as integrais impróprias úteis no tratamento de intervalos ilimitados; e por fim, apresentaremos algumas aplicações da integral definida no cálculo de áreas, volumes e comprimento de uma curva. 3 / 65

235 8. Somatórios Sejam i, m, n Z com m i n, e f uma função definida para cada [a,b], a notação a soma dos termos f (m), f (m + 1),..., f (n), isto é, n f (i) = f (m) + f (m + 1) + f (m + ) + + f (n) i=m n i=m f (i) representa onde a letra grega (sigma) denota o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite inferior e n é o limite superior. Por eemplo, se f (i) = i 3, m = 3 e n = 7, então, n f (i) = i=m 7 i=3 i 3 = = Propriedades do Somatório Sejam k uma constante e f uma função definida para cada i Z. Então: n k = (n m + 1)k; i=m n i=m k f (i) = k n i=m f (i). Em particular, se m = 1, então Propriedade Distributiva Propriedades Telescópicas n i=1 k = nk. n ( f (i) ± g(i)) = i=m n f (i) ± i=m n g(i). i=m n ( f (i) f (i 1)) = f (n) f (m 1); i=m n ( f (i + 1) f (i 1)) = f (n + 1) + f (n) f (m) f (m 1). i=m Em particular, se m = 1, então: n i=1 n i=1 ( f (i) f (i 1)) = f (n) f (); ( f (i + 1) f (i 1)) = f (n + 1) + f (n) f (1) f (). Eemplo 8.1 Calculemos o valor dos seguintes somatórios: 4 / 65

236 a. b. 1 i=5 ( i i 1 + ). Pela Propriedade Distributiva, temos que: n i=1 1 i=5 ( ) i i 1 + = 1 i=5 ( i i 1 ) 1 + i=5 No primeiro somatório, aplicamos a Propriedade Telescópica para f (i) = i, m = 5 e n = 1, e obtemos: 1 i=5 ( ) i i 1 = f (1) f (5 1) = 1 4 = 1 = 8. No segundo somatório, aplicando a primeira propriedade, resultará em: Portanto, 1 i=5 [ (i + 1) (i 1) ] 1 i=5 ( ) i i 1 + = = ( ) = i=5 ( i i 1 ) 1 + i=5. = =. Considerando f (i) = i, temos que f (i + 1) = (i + 1) e f (i 1) = (i 1), logo, da Propriedade Telescópica, teremos: n i=1 [ (i + 1) (i 1) ] = (n + 1) + n 1 = n + n = n(n + 1). Nota Uma observação importante do último eemplo é que (i + 1) (i 1) = 4i e ao substituir no somatório, resultará em: n i=1 4i = n(n + 1) n i=1 i = n(n + 1). Ou seja, obtemos a fórmula da soma dos n primeiros números naturais. 8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios Partição de um Intervalo Fechado 5 / 65

237 Definição 8.1 Seja [a,b] é um intervalo fechado. Uma partição do intervalo [a,b] é o conjunto de pontos, 1,,..., n tais que a = < 1 < <... < n = b, e é denotada por P, isto é, P = {, 1,,..., n }. i-ésimo subintervalo a= 1... i-1 i... n-1 n =b Nota a. Toda partição P divide [a, b] em n subintervalos fechados; b. A largura de cada subintervalo [ i 1, i ] para i = 1,,...,n é denotada por i = i n i 1 e verifica-se que i=1 i = b a; 1 i n a= 1... i-1 i... n-1 n =b c. Denomina-se norma ou diâmetro da partição P o número P = ma{ i : i = 1,,...,n}; d. Quando o intervalo [a, b] divide-se em n partes iguais, a largura da cada subintervalo é = b a. Nesse caso, os etremos de cada subintervalo são: n = a, 1 = a +, = a +,... i = a + i,... n = b Aproimação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos Seja f : [a,b] R uma função contínua e não negativa ( f () ) em [a,b]. Seja R a região plana limitada pelos gráfico de y = f (), pelas retas = a e = b, e pelo eio. Assim, R é chamada de região abaio do gráfico de f, do ponto a até b, veja a figura a seguir: y R a b 6 / 65

238 Seja P = {, 1,,..., n } uma partição de [a,b]. Para cada subintervalo [ i 1, i ], escolhemos um ponto u i tal que f (u i ), seja o valor mínimo de f nesse subintevalo, com i = 1,,...,n. Assim, temos o conjunto de pontos u 1, u,..., u n. Dessa forma, construímos n retângulos cujas bases são as larguras de cada subintervalo de P, isto é, i cujas alturas são f (u 1 ), f (u ),..., f (u n ), respectivamente. Logo, as áreas desses retângulos são: respectivamente. f (u 1 ) 1, f (u ),... f (u n ) n, A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular inscrito em R (veja o item (a) da figura a seguir) e a área desse polígono, denotada por I(P), é da forma I(P) = n f (u i ) i. i=1 y a= De forma análoga, para cada subintervalos [ i 1, i ], escolhemos um ponto v i tal que f (v i ), seja o valor máimo de f nesse subintevalo, com i = 1,,...,n. Assim, temos o conjunto de pontos v 1,v,...,v n. Logo, construímos n retângulos cujas bases são as larguras dos subintervalos de P, isto é, i, e cujas alturas são f (v 1 ), f (v ),..., f (v n ), respectivamente. Assim, as áreas destes retângulos são f (v 1 ) 1, f (v ),... f (v n ) n, A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular circunscrito em R (veja o item (b) da figura acima). Logo, a área desse polígono, denotada por C(P), é da forma C(P) = Denotando por A R à área da região R, temos que: n f (v i ) i. i=1 I(P) A R C(P). Desta forma, para cada partição P do intervalo [a,b], I(P) e C(P) podem ser vistas como aproimações de A R. Além disso, fica evidente que, quando P, essas aproimações irão se tornar cada vez melhores e tender a A R no limite. Se o intervalo [a,b] for dividido em n partes iguais, cada subintervalo tem largura, podemos reescrever cada soma acima como: n n ( ) b a n n ( ) b a I(P) = f (u i ) = f (u i ) e C(P) = i=1 i=1 n f (v i ) = f (v i ). i=1 i=1 n Além disso, P implica que n +. 7 / 65

239 Definição 8. Sejam f : [a,b] R uma função contínua e não negativa no intervalo [a,b], A R a área da região plana limitada pelo gráfico de y = f (), as retas = a, = b e o eio. Então, A R é definida por A R := lim n + ( n i=1 f (c i ) onde c i é arbitrariamente escolhido no subintervalo [ i 1, i ]. ) unidades, Eemplo 8. Calculemos a área da região R usando retângulos inscritos e retângulos circunscritos. a. R é limitada pelo gráfico de y = + 1, as retas =, = 3 e o eio. O gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaio. Nesse caso, f () = +1, a = e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [,3] em n partes iguais, ou seja, = 3 = 3 n n. Usando retângulos inscritos Nos itens (b) e (c) da figura acima, vemos duas partições de [,3], para n = 6 e n = 1, respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [, 3], ela alcança um mínimo relativo no etremo esquerdo de cada subintervalo, logo, u i = a + (i 1) = (i 1) 3 n = 3 n i 3 n e f (u i ) = u i + 1 = 3 n i 3 + 1, i = 1,...,n. n Portanto, usando a fórmula dada, temos que: ( [ 3 3 A R = lim n + n n i ]) n n i=1 = lim n + ( 9 n n + i=1i 3 ( 1 3 ) n 1 n n) i=1 ( 9 n(n + 1) = lim n + n + 3 ( 1 3 ) ) ( ( 9 n = lim ) ( )) n n n + n n = 15 unidades. Usando retângulos circunscritos Nos itens (d) e (e) da figura acima, vemos duas partições de [,3], para n = 6 e n = 1, respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [, 3], ela alcança um máimo relativo no etremo direito de cada subintervalo, logo, 8 / 65

240 v i = a + i = i 3 n = 3 n i e f (v i) = v i + 1 = 3 i + 1, i = 1,...,n. n Portanto, usando a fórmula dada, temos que: ( [ ]) 3 3 A R = lim n + n n i + 1 n i=1 = lim n + ( 9 n n i=1i + 3 n ) n 1 i=1 ( 9 n(n + 1) = lim n + n + 3 ) ( ( 9 n n = lim ) ) + 3 n + n = 15 unidades. b. R é limitada pelos gráficos de y =, = 3 e o eio. O gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaio. Nesse caso, f () =, a = e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [,3] em n partes iguais, ou seja, = 3 = 3 n n. y y y= R (a) 3 Usando retângulos inscritos Nos itens (b) e (c) da figura acima vemos duas partições de [,3], para n = 6 e n = 1, respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [, 3], ela alcança um mínimo relativo no etremo esquerdo de cada subintervalo, logo, u i = a + (i 1) = (i 1) 3 n = 3 n i 3 n e f (u i ) = u i = 9 n (i i + 1), i = 1,...,n. Portanto, usando a fórmula dada, temos que: ( ) 3 9 A R = lim n + n n (i i + 1) n i=1 = lim n + ( ( )) 7 n(n + 1)(n + 1) = lim n + n 3 n(n + 1) + n 6 ( 9 = lim ( + 3n n + + 1n ) 7 ) = 9 unidades. n ( ( )) 7 n n 3 i n i + n 1 i=1 i=1 i=1 Usando retângulos circunscritos Nos itens (d) e (e) da figura acima vemos duas partições de [,3], para n = 6 e n = 1, respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [, 3], ela alcança um máimo relativo no etremo direito de cada subintervalo, logo, 9 / 65

241 v i = a + i = 3 n i e f (v i) = 9 n i. Portanto, usando a fórmula dada, temos que: ( ) 3 9 A R = lim n + n n (i ) n i=1 ( ( )) ( ( )) 7 n 7 n(n + 1)(n + 1) = lim n + n 3 i = lim i=1 n + n = lim ( + 3n n + + 1n ) = 9 unidades. Nota Nos eemplos acima, podemos ver que quando P ou n +, tanto as aproimações do polígono retangular inscrito como o circunscrito proporcionam o mesmo valor Soma Superior e Soma Inferior Nesta seção e nas seguintes, as funções consideradas estão definidas no intervalo [a,b] com a < b. Definição 8.3 Se P 1 e P são duas partições de [a,b], diz-se que P é um refinamento de P 1 quando P 1 P. Nota Se P é, comprovadamente, um refinamento de P 1, então P P 1. Definição 8.4 Seja f : [a,b] R uma função limitada em [a,b] e P = {, 1,..., n } uma partição de [a,b]. Denotando por I i ao i-ésimo subintervalo de [a,b], isto é, I i = [ i 1, i ], i = 1,...,n. Desde que f é limitada em [a,b], eistem m i e M i tais que: m i = inf{ f () : I i }, M i = sup{ f () : I i } e m i f () M i, I i, para i = 1,...,n. Assim, definimos: i. A soma inferior de f para P, denotada por S( f,p), S( f,p) := n i=1 m i ( i i 1 ) = n i=1 m i i ; 3 / 65

242 ii. A soma superior de f para P, denotada por S( f,p), S( f,p) := n i=1 M i ( i i 1 ) = n i=1 M i i. Nota S( f,p) S( f,p). Eemplo 8.3 a. Seja f () = k a função constante definida em [a,b] (veja o item (a) da figura abaio). Logo, para qualquer partição de [a,b], temos que k = inf{ f () : I i } e k = sup{ f () : I i }, i = 1,...,n. Portanto, S( f,p) = S( f,p) = n i=1 n i=1 k i = k k i = k n i=1 n i=1 i = k(b a), i = k(b a). y y f() = a a b b (a) (b) b. Seja f () = definida em [a,b] (veja o item (b) da figura abaio). Logo, para qualquer partição de [a,b], temos que j 1 = inf{ f () : I i } e i = sup{ f () : I i }, i = 1,...,n. Portanto, n n S( f,p) = i 1 i e S( f,p) = i i. i=1 i= Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores Observemos que, se a função f é limitada em [a,b], então eistem m e M tais que: m = inf{ f () : [a,b]} e M = sup{ f () : [a,b]}. Proposição 8.1 Sejam f uma função limitada em [a,b] e P = {, 1,..., n } uma partição de [a,b]. Então, m(b a) S( f,p) S( f,p) M(b a). 31 / 65

243 Proposição 8. Sejam f uma função limitada em [a,b], P 1 e P duas partições de [a,b]. Suponha que P é um refinamento de P 1, isto é, P 1 P. Então, i. S( f,p 1 ) S( f,p ) e S( f,p ) S( f,p 1 ) ii. Se P \ P 1 tem r pontos, então, S( f,p ) S( f,p 1 ) (M m) P 1 ; S( f,p 1 ) S( f,p ) (M m) P 1. Proposição 8.3 Sejam f é uma função limitada em [a,b], P 1 e P duas partições arbitrárias de [a,b]. Então, S( f,p 1 ) S( f,p ). 8.4 Integrais Inferiores e Superiores Sejam [a,b] um intervalo e D o conjunto de todas as partições possíveis de [a,b], isto é D = {P : P é uma parcição de [a,b]}, e f limitada em [a,b]. Da propriedade de limitação garante-se que para qualquer partição P o conjunto {S( f,p) : P D} é limitado superiormente e o conjunto {S( f,p) : P D} é limitado inferiormente. Definição 8.5 Seja f uma função limitada em [a,b]. Então, i. sup{s( f,p) : P D} é chamado de integral inferior de f em [a,b] e é denotado por b a f ()d = sup{s( f,p) : P D}; ii. inf{s( f,p) : P D} é chamado de integral superior de f em [a,b] e é denotado por b a f ()d = inf{s( f,p) : P D}. A proposição a seguir apresenta algumas propriedades das integrais superiores e inferiores. Proposição 8.4 Seja um intervalo [a,b] e f uma função limitada em [a,b] tais que Então, m = inf{ f () : [a,b]} e M = sup{ f () : [a,b]}. 3 / 65

244 i. m(b a) b a f ()d b ii. eistem c 1,c [a,b] tais que a f ()d M(b a); b a f ()d = f (c 1 )(b a), b a f ()d = f (c )(b a) e m f (c 1 ) f (c ) M; iii. se c (a,b), então, b a f ()d = c a f ()d + b c f ()d e b a f ()d = c a f ()d + b c f ()d. 8.5 A Integral de Riemann Definição 8.6 Sejam um intervalo [a,b] e f : [a,b] R uma função limitada em [a,b]. Diz-se que f é integrável Riemann em [a,b] se b a f ()d = b a f ()d = b a f ()d. De forma mais simples, podemos chamá-la integral de f sobre [a,b], ou integral definida de f sobre [a,b], ou ainda integral de f, de a até b. Nota Assim como foi estabelecido no caso da integral indefinida, temos na integral b f ()d a a. o símbolo é um S alongado que é chamado do símbolo de integração, e foi criado pelo matemático Leibniz para representar a palavra em latim summa; b. f () é o integrando; c. f ()d é o elemento de integração; d. a é o limite inferior e b é o limite superior; e. a variável não tem significado especial, pois b a f ()d = b a f (z)dz = b a f (t)dt = b a f (y)dy = b a f (u)du, etc. 33 / 65

245 Eemplo 8.4 Seja f () = k uma função constante. No eemplo anterior, para [a,b] tem-se S( f,p) = S( f,p) = k(b a). Então, b a f ()d = b a f ()d = k(b a). Assim, f é integrável em [a,b] e b a f ()d = k(b a). Nota Seja R a região região plana limitada pelo gráfico de f, as retas = a, = b e o eio. Se A R representa numericamente a área R, e a. f (), [a,b], então A R = b. f (), [a,b], então A R = b a b a f ()d; f ()d. b O número f ()d é chamado de área algébrica da função arbitrária f contínua em [a,b]. a Essa integral definida de f em [a, b] representa a soma das áreas algébricas das regiões delimitadas pelo gráfico de f e o eio, desde = a até = b. Teorema 8.1 (Critério de integrabilidade de Riemann) Se f é uma função limitada em [a, b], uma condição necessária e suficiente para que f seja integrável em [a,b] é: dado ε > arbitrário, deve eistir uma partição P do intervalo [a,b] tal que Uma consequência desse critério é: S( f,p) S( f,p) < ε. Teorema 8. Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b] R. Se [a,b] é limitado e f é contínua, então f é integrável. 8.6 Propriedades da integral definida Consideremos suas funções f e g integráveis em [a,b] e k uma constante arbitrária em R, então: 1. f e g são integráveis em qualquer subintervalo de [a,b];. b a k f ()d = k b a f ()d; 34 / 65

246 b a b a b a a a b a [ f () ± g()]d = f ()d = c a b a f ()d + a f ()d = f ()d; b f ()d = ; f ()d = b+k a+k b f ()d ± g()d; a b c f ( k)d; 8. Se f (), [a,b], então f ()d, onde a c b; b 9. Se f () g(), [a,b], então f ()d ; a b a f ()d b a g()d; 1. Se m e M são os valores mínimos e máimos de f em [a,b] respectivamente, então m(b a) b a f ()d M(b a); 11. Se f é uma função contínua em: b b i. [a,b], então f ()d f () d; ii. [,t] [a,b], então iii. [ t,t] [a, b], então a t a f ()d = t t f ()d = iv. [ t,t] [a,b] e f é par, então [ t,t], é uma função ímpar; v. [ t,t] [a,b] e f é ímpar, então é uma função par. 1. Para qualquer k temos: t t t t f (t )d; f ( )d; f ()d = t t f ()d e h() := f (z)dz, para cada f ()d = e h() := f (z)dz, para cada [ t,t], b a f ()d = 1 k kb ka f ( k) d e b a f ()d = k b/k a/k f (k)d. Nota a. A propriedade 5 é conhecida como a propriedade de refleão; b. A propriedade 7 é conhecida como a propriedade de invariância numa translação; c. A propriedade 1 é conhecida como a propriedade de dilatação e contração do intervalo de integração, respectivamente. Quando k = 1 recuperamos a propriedade / 65

247 8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais Teorema 8.3 Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b] R contínua em [a,b]. Então, eiste um número c [a,b] tal que b a f ()d = f (c)(b a). Nota b Como já foi dito, podemos interpretar a integral f ()d como a área da região limitada a pelo gráfico de f, pelas retas verticais = a e = b e pelo eio, e mesmo assim, o Teorema 8.3 nos garante que eiste um retângulo de largura (b a) e altura f (c) com a mesma área. 8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral Teorema 8.4 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo Integral) Sejam o intervalo [a,b] e a função f contínua em [a,b]. Então, F() := em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é: F () = d d ( a ) f (z)dz = f (), [a,b]. a f (z)dz é contínua Nota O Teorema 8.4 estabelece um enlace entre os conceitos de integral definida e indefinida, provando que uma função f contínua em [a,b] admite uma antiderivada dada por F() = f (t)dt, já que F () = f (), [a,b]. a Além disso, este teorema estabelece um resultado de eistência, pois se f é uma função contínua em [a,b], eiste F() = a f (t)dt tal que F () = f (), [a,b] e, por definição F(a) =. Logo, F é a antiderivada de f em [a,b] com seu gráfico passando pelo ponto (a,). Teorema 8.5 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo Integral) Sejam o intervalo [a,b], uma função f contínua em [a,b] e F uma antiderivada de f em [a,b], isto é, F () = f (), [a,b]. Então, b a f ()d = F(b) F(a) = F() b. a 36 / 65

248 Nota Observemos que a diferença F(b) F(a) é independente da eleição da antiderivada F, pois todas as antiderivadas se diferenciam numa constante, que é eliminada ao ser efetuada a diferença. Por tal motivo, ao calcular uma integral definida não é necessário considerar a constante na antiderivada. Eemplo 8.5 Seja a função F() = z dz, para, determinemos F (), F (), F (1) e F(). Na definição de F() façamos f (z) = 1, e desde que f é uma função contínua e integrável 1 + z z R, temos, pelo Primeiro Teorema Fundamental, que: Logo, F(1) = 1. F () = F () = (1 + ). Por outro lado, pelo Segundo Teorema Fundamental, desde que F () = 1, então F() = 1 + arctg() + c para alguma constante c R. Além disso, F() =, assim, = arctg() + c implica que c =. Portanto, F() = arctg(). Eemplo 8.6 Calculemos o valor numérico das seguintes integrais: a d Uma antiderivada de f () = 1 em [ 1,1] é F() = arctg(), pela última nota, não é 1 + necessário considerar a constante de integração. Assim, b. c. π/ 1 send e d d = arctg() 1 = arctg(1) arctg( 1) = π ( 1 4 π ) = π 4. π/ sen(),d = cos() π/ ( ( π ) ) = cos cos() = / 65

249 d. e. 1 senh() d d 1 1 e d = e 1 senh() d = cosh() = e1 e = e 1. 1 = cosh(1) 1. Da definição de f () =, temos que: 1 +, se ; 1 + f () =, se <. 1 + Assim, 1 1 f ()d = = 1 1 f ()d + 1 f ()d d d [ ] 1 [ ] = ln(1 + 1 ) + 1 ln(1 + 1 ) = 1 [ ln(1 + ) ln(1 + ( 1) ) ] + 1 [ ln(1 + 1 ) ln(1 + ) ] = 1 ( ln) + 1 ln = ln. f d Da definição de f () = + 6, notamos que + 6 = ( + 3)( ), e assim, temos: Logo, f (), se (, 3] [,+ ) e f (), se ( 3,). { f () = + 6, se (, 3] [,+ ); ( + 6), se ( 3,). 38 / 65

250 Dessa forma, obtemos: d = 3 4 ( + 6)d 3 4 ( + 6)d + ( + 6)d = [ 3 ] = 17 ( ) = [ 3 ] [ 3 ] Mudança de Variável numa Integral Definida Teorema 8.6 Sejam f : [a,b] R uma função contínua em [a,b] e g : [α,β] [a,b] uma função com derivada contínua em [α,β] com g(α) = a e g(β) = b. Se substituímos a variável da integral por g(t), isto é, = g(t), então verifica-se que: b a f ()d = β α f (g(t)) g (t)dt. Nota Se a função g : [α,β] [a,b] é tal que g(β) = a e g(α) = b, nesse caso, pelo Teorema 8.6, obtemos: b a f ()d = α β f (g(t)) g (t)dt. Eemplo 8.7 Calculemos o valor numérico das seguintes integrais: a. 3 (1 + 3 ) 3 d Considerando t = 1 + 3, obtemos = g(t) = 3 t 1, g (t) = g(8) = 3. Dado que g e g são contínuas em [9,8], então, (t 1), g(9) = e (t 1) (1 + 3 ) 3 d = t (t 1) dt = 1 3 = 1 ( 1 ) 3 t = t = t 3 dt 39 / 65

251 b. 1 ln( + 1) 1 + d Ao considerar = tg(t) temos: 1 ln( + 1) 1 + = π/4 ln(1 + tg(t)) sec (t) sec (t)dt = π/4 ln(1 + tg(t))dt. Aplicando o Teorema 8.6 na última integral obtemos: π/4 π/4 ( ( π )) π/4 ( ln(1 + tg(t))dt = ln 1 + tg 4 t dt = ln tg(t) ) dt 1 + tg(t) = π/4 = ln()t ( ln π/4 1 + tg(t) ) π/4 π/4 dt = ln()dt ln(1 + tg(t))dt π/4 ln(1 + tg(t))dt Assim, = π π/4 4 ln() ln(1 + tg(t))dt π/4 ln(1 + tg(t))dt = π π/4 4 ln() ln(1 + tg(t))dt = π 8 ln(). 8.1 Integração por Partes numa Integral Definida A ideia de integração por partes já foi vista no capítulo anterior, a única diferença é que agora temos que considerar os limites de integração e desconsiderar a constante de integração. Dessa forma temos o seguinte resultado. Teorema 8.7 Se u = u() e v = v() são duas funções com derivadas contínuas em [a,b], então, b a udv = (uv) b b vdu. a a Eemplo 8.8 Calculemos as seguintes integrais definidas: a. 3 1 ln()d 4 / 65

252 Se consideramos obtemos: ln()d = 3 3 ln() u = ln() du = d dv = d v = d = d = 3 3 ln() 1 3 d = 3 ln() c. Logo 3 1 ln()d = = [ 3 3 [ ] 3 3 ln() 9 1 ] [ ] 13 ln(3) ln(1) = 9ln(3) = 9ln(3) Integrais Impróprias Na definição da integral definida i. O intervalo [a,b] é limitado; b ii. A função f é limitada em [a,b]. a f ()d, foram estabelecidas duas restrições: Agora, estendemos a definição de integral definida retirando alguma dessas restrições. As integrais que possuem essas características são chamadas de integrais impróprias: Integrais impróprias com limites infinitos. Integrais impróprias com limites finitos e f com uma descontinuidade infinita em [a,b] Integrais Impróprias com Limites Infinitos Definição 8.7 Seja f uma função contínua no intervalo: i. [a,+ ). A integral imprópria de f, de a até +, é denotada e definida como: + a f ()d := lim t + t a f ()d; 41 / 65

253 ii. (,b]. A integral imprópria de f, de até b, é denotada e definida como: b f ()d := lim t b t f ()d. Diz-se que + diz-se que diverge. a f ()d ou b f () d converge quando esse limite eiste. Caso contrário, Nota Nas seções anteriores, se f (), a integral definida t a f ()d representa a área da região plana limitada pelo gráfico de f, o eio e as retas verticais = a e = t. No caso da integral imprópria ser convergente, podemos interpretar que o valor da integral: a. + a f ()d representa a área da região plana infinita que se encontra à direita da reta = a e está compreendida entre o gráfico de f e o eio. A figura à esquerda ilustra essa integral. a t t b b. b f ()d representa a área da região infinita que se encontra à esquerda da reta = b e está compreendida entre o gráfico de f e o eio. A figura à direita ilustra essa integral. Definição 8.8 Seja f uma função contínua e integrável no intervalo (, + ), então a integral imprópria de f, de até +, é denotada e definida como: + onde c é um número real arbitrário. Diz-se que a integral imprópria + f ()d := c f ()d + f ()d converge quando + c c f ()d, f ()d e f ()d são convergentes, e diverge se alguma dessas integrais impróprias forem divergentes. + c 4 / 65