X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 A SIMETRIA DE REFLEXÃO NOS PCN E LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL Edjane Oliveira Silva 1 Universidade Federal de Pernambuco - UFPE edjane.jane02@gmail.com Iranete Maria da Silva Lima 2 Universidade Federal de Pernambuco - UFPE iranetelima@yahoo.com.br Resumo: Apresentamos neste artigo os resultados de uma pesquisa desenvolvida no quadro da Iniciação Científica que estudou, em particular, a abordagem da simetria de reflexão nos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN e nos Livros Didáticos destinados ao ensino da Matemática do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental. Para tanto, foram estabelecidos alguns critérios de análise, buscando, por um lado, identificar as orientações contidas nos PCN para o ensino da simetria de reflexão e, por outro lado, as definições, propriedades, métodos de construção e tipos problemas propostos nos livros didáticos. Dentre os resultados encontrados destacamos que a maioria dos livros analisados aborda a simetria de reflexão, como recomenda o documento, entretanto, privilegiando uma abordagem mais experimental. Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Livro Didático de Matemática; Simetria de Reflexão. 1. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS O estudo das transformações geométricas e, em particular, da simetria de reflexão, ainda se constitui em um domínio de preocupações relativamente novas, tendo sua ênfase a partir da publicação dos PCN (BRASIL, 1997, 1998). A partir de então, vários estudos vêm sendo desenvolvidos neste domínio (ALVES & GITIRANA, 2005; CERQUEIRA, 2005). Os resultados das pesquisas desenvolvidas respondem a várias questões relacionadas à aprendizagem desse conceito pelos alunos, e sobre a prática do professor. 1 Bolsista de Iniciação Científica do Núcleo de Formação Docente - Centro Acadêmico do Agreste PROPESQ-UFPE/CNPq. 2 Professora da UFPE, atuando no Centro Acadêmico do Agreste e no Programa Educação Matemática e Tecnológica do Centro de Educação EDUMATEC. 1

2 Foi buscando contribuir para a compreensão do processo de ensino e de aprendizagem dessa noção matemática que realizamos a nossa pesquisa. Estudamos, portanto, a simetria de reflexão do ponto de vista das orientações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN, partindo da hipótese que elas influenciam a prática do professor e, consequentemente, as concepções dos alunos. Além disso, estudamos as abordagens da simetria de reflexão em livros didáticos frequentemente adotados no nível de escolaridade em foco. É quase um consenso entre os estudiosos que o livro didático exerce uma grande influência no planejamento, na escolha dos conteúdos pelo professor e na forma de abordálos na sala de aula. De fato, vários autores se interessam por essa temática e pela forma como os professores utilizam este recurso didático em suas atividades. Dentre eles podemos citar Pitombeira & Lima (2002), Margolinas & Rivière (2005) e Silva Junior & Régnier (2007). Estes últimos autores afirmam que o interesse da maioria dos pesquisadores por esta temática reside no fato de que: [...] percebe-se uma lacuna de concepção na utilização desse material didático pelo professor e pelo aluno em relação ao conteúdo programático contido nesse material e que se transforma em currículo, em relação a sua forma de utilização e a formação dos professores. (SILVA JUNIOR & RÉGNIER, 2007, p.1). Este estudo se legitima, portanto, pela importância que os professores, incluindo os professores de Matemática, atribui às informações contidas nessas obras. Assim, na perspectiva de subsidiar o estudo sobre as concepções que os alunos mobilizam na resolução de problemas de simetria de reflexão (LIMA, 2006), buscamos identificar que aspectos são privilegiados pelos autores de livros didáticos. Para tanto, escolhemos algumas coleções indicadas pelo Guia do Livro Didático 2008 (BRASIL, 2007). 2. METODOLOGIA Para realizar a análise dos documentos selecionados, nos apoiamos nos pressupostos da análise documental (CALADO e FERREIRA, 2005) e no Modelo ck (BALACHEFF, 1995). Utilizamos este modelo na perspectiva de subsidiar a identificação de concepções mobilizadas pelos alunos quando eles resolvem problemas de simetria de reflexão; etapa da pesquisa atualmente em desenvolvimento. Para justificar essas escolhas, 2

3 partimos da hipótese que as orientações contidas nos documentos oficiais e livros didáticos influenciam as concepções dos alunos sobre a noção estudada. Na análise dos PCN focalizamos os seguintes aspectos: a evolução do ensino da simetria de um ciclo para o outro; os conteúdos e conceitos que devem ser trabalhados; os tipos de problemas propostos e a forma de avaliação. Quanto aos livros didáticos, analisamos doze coleções indicadas pelo Guia de Livro Didático, PNLD 2008 (BRASIL, 2007) para o sexto ao nono (quinta a oitava série na época do estudo) do ensino fundamental. Os critérios de análise adotados foram os seguintes: (a) Definições: de ponto simétrico, de figuras simétricas, de eixo de simetria, outras definições; (b) Propriedades da simetria de reflexão: equidistância, perpendicularidade, igualdade de distância dos pontos objeto e imagem ao eixo de simetria; propriedades de conservação (de comprimento, de alinhamento dos pontos, de medida dos ângulos...); propriedade de não conservação da orientação dos ângulos, dentre outras; (c) Métodos de construção de pontos simétricos e figuras simétricas: à mão livre, utilizando material de desenho (régua, esquadros, compasso...); (d) Tipos de problemas propostos: construção de figuras e de eixos de simetria, identificação de figuras e de eixos de simetria e demonstração. Além disso, buscamos relacionar as escolhas dos livros didáticos com as orientações encontradas nos PCN. 3. RESULTADOS OBTIDOS Apresentamos, inicialmente, o resultado da análise realizada nos PCN e, em seguida, como a simetria de reflexão é abordada nos livros didáticos A simetria de reflexão nos PCN O estudo das transformações isométricas é fortemente recomendado neste documento. Nessa direção destacamos a seguinte orientação: O estudo das transformações isométricas (transformações do plano euclidiano que conservam comprimentos, ângulos e ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou 3

4 simetria axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central), identidade. Desse modo as transformações que conservam propriedades métricas podem servir de apoio não apenas para o desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas, mas também para a compreensão das propriedades destas. (BRASIL, 1998, P. 124) Sobre a simetria de reflexão, em particular, ressalta-se a relação da simetria com o quotidiano e a sua presença em diversos objetos físicos, bem como na imagem de um objeto refletida no espelho. O documento faz menção, também, aos desenhos de civilizações da época pré-histórica que contêm figuras geométricas nas quais a simetria são uma de suas características predominantes. No primeiro e segundo ciclos (2º ao 5º ano), orienta-se que o conceito de simetria não deve ser abordado como objeto de estudo com fim em si mesmo. No entanto, deve ser abordado em articulação com outros conceitos geométricos, de maneira que permita o aluno identificar semelhanças e diferenças entre as figuras geométricas. Na introdução deste estudo são sugeridos o seguinte objetivo procedimental: Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções. (BRASIL, 1997, p. 56). Quanto à avaliação educacional da aprendizagem nesta fase da escolaridade, recomenda-se que o professor conceba instrumentos que lhe permita identificar se os alunos são capazes de reconhecer e descrever as formas geométricas tridimensionais e bidimensionais. Nessa perspectiva, espera-se que o aluno identifique características destas formas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, dentre elas a simetria, e reconhecendo os elementos que as compõem. Para a abordagem da simetria no terceiro ciclo (6º e 7º anos), recomenda-se a proposição de problemas mais complexos que no ciclo anterior, de forma que os alunos sejam capazes de reconhecer eixos de simetria em um polígono, por exemplo. Dentre os conteúdos recomendados, encontra-se: Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não- regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; números de lados dos polígonos; paralelismos de lado, medidas de ângulos e de lados. [...]. Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e 4

5 identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). (BRASIL, 1997 p. 73) Nesse ciclo, o aluno deve ser levado a perceber que por seu caráter dinâmico é possível transformar uma figura em outra através da composição de diversas transformações. Nessa perspectiva, os professores devem motivar a utilização dos instrumentos de desenho, como régua graduada, esquadros e compasso, na construção de figuras. Orienta-se, também, que a ênfase no estudo do espaço, privilegiando a observação e a compreensão das relações entre seus elementos, deve ser colocada na análise das transformações geométricas (simetria de reflexão, translação e rotação), de modo que o aluno possa observar suas propriedades invariantes. Entendemos que as orientações contidas nos PCN são elaboradas na perspectiva de levar o professor a se apropriar da importância do estudo das transformações geométricas e da sua relação com o dia a dia do aluno A simetria de reflexão nos Livros didáticos Como dissemos, analisamos 12 (doze) coleções indicadas pelo Guia de Livro Didático PNLD 2008 (BRASIL, 2007) que contempla o sexto ao nono ano do ensino fundamental. Seguindo as orientações encontradas nos PCN, a maioria das coleções analisadas aborda a noção de simetria de reflexão no nível de escolaridade em foco. Das doze coleções analisadas, somente uma não o faz. As demais propõem um estudo da simetria de reflexão em, pelo menos, um dos volumes, mesmo denominando de diversas maneiras, por exemplo, em alguns casos se referem apenas à simetria, em outros à simetria axial, ou ainda de reflexão. Na maioria dos casos, o estudo é centrado apenas em atividades experimentais, principalmente, através do uso de dobraduras e de espelhos. Além disso, os autores introduzem a simetria de diversas maneiras como, por exemplo, o incentivo à observação da simetria na natureza e em objetos físicos. 5

6 na análise: A seguir apresentamos alguns resultados do estudo a partir dos critérios utilizados a) Definições Na maioria das coleções analisadas, privilegia-se uma abordagem a partir da sobreposição de figuras ao longo do eixo de simetria. Desta forma, as definições mais encontradas são dobrar a figura de modo que suas partes coincidam e os seus lados da figura devem ser opostos como refletidos em um espelho. Figura 1: Dobradura (CENTURIÓN et. all. 2000, p. 160) A definição de ponto simétrico foi raramente encontrada. Das doze coleções, apenas três abordaram pontos simétricos. Exemplo de definição encontrada: O ponto D é a imagem refletida do ponto A em relação ao eixo de simetria, pois estão à mesma distância em relação ao eixo e sobre a mesma linha. (TOSATTO et al, 2005 p. 115). Figura 2: Ponto simétrico (TOSATTO et. al 2005 p. 114) Em alguns casos, os pontos estão destacados e nomeados nas figuras e são até mesmo citados nas atividades, porém, não se faz uma relação explícita entre figura simétrica e ponto simétrico. 6

7 Em outros casos, a simetria de reflexão é definida a partir do eixo de simetria, como no exemplo a seguir: Aquela que representa as imagens dos objetos refletidas em relação a um eixo. (Ibid. p. 141). b) Propriedades estudadas Nos livros analisados, são raras as referências às propriedades da simetria. Quando elas tratadas o são, quase sempre, de forma implícita. Alguns autores enfatizam que os lados das figuras devem ficar de lados opostos do eixo de simetria, como que refletidos em um espelho, mas sem se referir explicitamente à mudança da orientação dos ângulos da figura objeto pela simetria de reflexão. As propriedades da simetria de reflexão como a perpendicularidade entre a reta suporte de um ponto e seu simétrico com o eixo de simetria, a igualdade de distância dos pontos simétricos ao eixo de simetria e as propriedades de conservação da área das figuras, do alinhamento dos pontos, fica a cargo do professor. c) Métodos de construção De forma geral, os livros abordam as construções de figuras simétricas, porém, a construção do simétrico de um ponto é pouco trabalhada nas coleções analisadas. Predominantemente, propõem-se construções para serem realizadas sobre papel quadriculado. Observamos em alguns casos que o livro aconselha o professor a incentivar o aluno a utilizar os instrumentos de desenho (régua graduada, esquadros e compasso), entretanto, raramente, propõe atividades com esta finalidade. d) Tipos de problemas propostos Os problemas de reconhecimento do eixo de simetria e de figuras simétricas são os mais encontrados na obras analisadas. Em seguida, aparecem os problemas de construção de figuras simétricas. Os problemas de demonstração são trabalhados em menor escala. Um exemplo de problemas encontrados é o seguinte: 7

8 Figura 3. Identificação do eixo de simetria (SPINELLI & SOUZA, 2005, 5ª série, 129) 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Apresentamos neste artigo uma pesquisa desenvolvida no quadro da Iniciação Cientifica, cujo interesse principal foi estudar a simetria de reflexão do ponto de vista dos PCN (BRASIL, 1997, 1998) e dos livros didáticos indicados pelo Guia de Livro Didático, PNLD 2008 (BRASIL, 2007) para o sexto ao nono ano do Ensino Fundamental. As análises foram realizadas Essa pesquisa foi realizada com a finalidade de subsidiar o estudo sobre as concepções dos alunos sobre esta noção matemática, fase da pesquisa atualmente em desenvolvimento. Nas orientações encontradas nos PCN para o Ensino Fundamental, a importância do ensino da simetria de reflexão, rotação e translação é bastante incentivada. O estudo da simetria de reflexão no nível de escolaridade em foco deve ser introduzido a partir da identificação das semelhanças e diferenças nas figuras geométricas. Este estudo deve evoluir de tal maneira que os alunos sejam capazes de identificar as propriedades das simetrias estudadas. Para isto, recomenda-se a proposição de atividades de comparação de duas figuras, de modo que o aluno seja capaz de identificar se a segunda é imagem da primeira e, em caso afirmativo, através de que simetria. Por sua vez, os resultados da análise dos livros didáticos mostram que o estudo desta noção matemática tem sido privilegiado pelos autores. Porém, isso se faz, quase sempre, a partir de uma abordagem mais experimental, baseada na visualização global da figura e menos analítica, na qual os alunos pudessem identificar a simetria de reflexão por suas propriedades e relações entre a figura dada, o eixo de simetria e a figura simétrica. 8

9 REFERÊNCIAS ALVES, D. S. & GITIRANA GOMES FERREIRA, V. Simetria axial: uma seqüência didática para alunos da 6ª serie com o uso de software de geometria dinâmica. Recife: UFPE, BALACHEFF, N. Conception, connaissance et concept". In: Denise Grenier (ed.) Séminaire Didactique et Technologies cognitives en mathématiques. Grenoble: IMAG, p BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Infantil e Ensino Fundamental. Guia de Livros Didáticos. Brasília-DF, BRASIL Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, ensino de quinta a oitava séries. Brasília: MEC/SEF, BRASIL Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, ensino de primeira a quarta séries. Brasília: MEC/SEF, CALADO, S. S., FERREIRA, S. C. R. Análise de Documentos: Método de Recolha e Análise de Dados. Metodologia da Investigação I 2004/2005. Disponível em CERQUEIRA, A. P. F. Isometrias: Análise de documentos curriculares e uma proposta de situações de aprendizagem para o ensino médio. Mestrado profissional, São Paulo: PUC- SP, LIMA, I. De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs : étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale. Thèse d Université, Université Joseph Fourier, Grenoble, MARGOLINAS, C., RIVIÈRE, O. La préparation de séance : un élément du travail du professeur. In : Petit X, n p PITOMBEIRA, J. B.& LIMA, P. F. O PNLD e sua influencia sobre os livros didáticos. Rio de Janeiro: Em aberto, SILVA JUNIOR & RÉGNIER. J. C. Critérios de adoção e utilização do livro didático de matemática no ensino fundamental do nordeste brasileiro. Estudo exploratório baseado na analise estatística implicativa. In: IV Encuentro Internacional de Análisis Estadístico Implicativo. Castellón de la Plana España,