Notas Teóricas de Análise Matemática

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1 Nots Teórics de Análise Mtemátic Rui Rodrigues Deprtmento de Físic e Mtemátic Instituto Superior de Engenhri de Coimbr

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3 Índice Primitivção de funções reis de vriável rel. Primitivção Processos de primitivção Primitivção imedit Primitivção por prtes Primitivção por substituição Primitivção de funções rcionis Cálculo integrl 9 2. Soms de Riemnn Integrl definido Teorem fundmentl do cálculo Proprieddes do integrl definido Integrção por substituição e integrção por prtes Outrs proprieddes do integrl definido Aplicções do integrl definido Áre de regiões plns Volume de sólidos de revolução Comprimento do rco de um curv y = f(x) Integrl indefinido Integris impróprios Integris em intervlos não limitdos Integris de funções não limitds Métodos numéricos de integrção Regr dos trpézios Regr de Simpson i

4 3 Introdução o estudo ds equções diferenciis ordináris Introdução Equções diferenciis ordináris Equções diferenciis de primeir ordem Equção diferencil liner de primeir ordem Equção diferencil de vriáveis sepráveis Equção diferencil homogéne de gru zero Equção diferencil de Bernoulli Séries numérics 7 4. Sucessões numérics Progressão ritmétic Progressão geométric Séries numérics Definição e nturez de um série Série geométric Série telescópic Série de Dirichlet Proprieddes ds séries numérics Condição necessári de convergênci Critérios de comprção pr séries de termos não negtivos Outros critérios pr séries de termos não negtivos Convergênci bsolut e convergênci simples Séries lternds Reordenção dos termos de um série numéric Séries de potêncis Introdução Rio e intervlo de convergênci Proprieddes ds séries de potêncis Referêncis bibliográfics 07 Índice lfbético 09 ii

5 Cpítulo Primitivção de funções reis de vriável rel. Primitivção Inicimos este tem com definição de primitiv de um função rel de vriável rel. Definição. Sej f um função rel de vriável rel definid num intervlo D. Primitiv de f em D é qulquer função F tmbém definid em D, tl que F (x) = f(x) pr todo o x D. Considere função f(x) = cosx definid pr todo o x R. A função F(x) = sinx é um primitiv de f pois (sinx) = cosx pr todo o x R. Existem outrs primitivs de f, como por exemplo G(x) = sinx+. Se F é um primitiv de f em D, então função G(x) = F(x) + c, qulquer que sej c R, étmbémum primitiv de f em D. De fcto, G (x) = (F(x)+c) = F (x) = f(x) pr todo o x D. Ou sej, não existe pens um primitiv de f num intervlo D. A figur present o gráfico de três primitivs d função f(x) = cosx. y x Figur.

6 Primitivção de funções reis de vriável rel Teorem. Se F e G são dus primitivs de f num intervlo D, então s funções F e G diferem pens de um constnte, isto é, existe k R tl que G(x) = F(x)+k qulquer que sej x D. Pr demonstrr este resultdo é necessário o seguinte corolário do Teorem de Lgrnge. Corolário. (do Teorem de Lgrnge) Se f : [,b] R é um função contínu e f (x) = 0 pr todo o x no intervlo berto ],b[, então f é constnte em [,b]. Demonstrção - (do teorem.) Considere função h(x) = G(x) F(x) definid emd. AfunçãohécontínuemD (porqueresultdsomdedusfunçõesdiferenciáveis em D) e h (x) = (G(x) F(x)) = f(x) f(x) = 0, pr todo o x D (porque F e G são dus primitivs de f em D). O corolário nterior permite concluir que existe k R tl que h(x) = k, isto é, que G(x) = F(x)+k em D. Ou sej, se F é um primitiv de f em D, então tod outr primitiv d função f em D é d form F(x)+c pr lgum constnte c R. Ao primitivr obtém-se um fmíli de funções e não pens um função. O gráfico de um primitiv result directmente de um trnslção no eixo ds ordends do gráfico de outr primitiv (recorde figur n págin ). As notções mis usds no cálculo d primitiv de um função são s seguintes: Pf(x) = F(x)+c, c R f(x)dx = F(x)+c, c R. Exemplos: 2xdx = x 2 +c. cosxdx = sin(x)+c. dx = ln(x)+c, (x > 0). x dx = rctn(x)+c. +x2 2

7 .. Primitivção Exercício. Verifique por definição que ln (x+ ) +x 2 é um primitiv d função f(x) = +x 2. Exercício.2 () Verifique que cos(2x) e 2 são dus primitivs d função f(x) = sin(2x). sin 2 (x) (b) Determine diferenç entre s dus primitivs. Exercício.3 Em quldsfigursestárepresentdoográficode umprimitiv dfunçãof(x) = sinhx. y y y x x x () (b) (c) O próximo resultdo fornece um condição suficiente pr existênci de primitiv. Teorem.2 (existênci de primitiv) Se f é um função contínu num intervlo D, então f tem primitiv em D. Se um função não tem primitiv, então é necessrimente um função descontínu. Import referir que certs funções descontínus são tmbém primitiváveis. Proposição. (lineridde) Se f e g são dus funções primitiváveis, então αf(x)dx = α f(x)dx, α R \{0} (.) e f(x)+g(x)dx = f(x)dx + g(x) dx. (.2) A demonstrção deste resultdo é simples, bst usr definição de primitiv. A plicção conjunt ds proprieddes (.) e (.2) permite escrever f (x)±f 2 (x)± ±f n (x)dx = f (x)dx ± ± f n (x)dx, 3

8 Primitivção de funções reis de vriável rel onde se ssume que cd função f i, i =,2,...,n, n N, é primitivável no mesmo intervlo. Primitiv-se por decomposição o utilizr em simultâneo s proprieddes (.) e (.2). Nem sempre é possível determinr um expressão finit pr primitiv de tod função primitivável. Considere título de exemplo s funções e x2 sin(x)/x e ln(sinx). Ests funções são contínus nos seus domínios, contudo, não é possível encontrr um representção d primitiv de cd função, como som finit de funções elementres..2 Processos de primitivção Dorvnte, considerm-se os seguintes processos de primitivção: Primitivção imedit Primitivção por prtes Primitivção por substituição.2. Primitivção imedit Este processo consiste n interpretção, no sentido inverso, d tbel de derivção. N mior prte ds situções consult d tbel não é no entnto suficiente. É necessári lgum mnipulção lgébric pr poder reconhecer um expressão fmilir. Deduzemse sem dificuldde s seguintes primitivs: 0dx = c, dx = x+c, kdx = kx+c, k,c R Qundo surge um primitiv d form u u α dx ondeα R\{ }e urepresentum função dvriávelx, respostéimedit, tem-se, u u α dx = uα+ +c, α R\{ }. (.3) α+ 4

9 .2. Processos de primitivção A confirmção é simples, bst derivr. ( ) u α+ α+ +c = ( u α+ ) α+ = α+ [(α+)uα+ u ] = u u α. A fórmul (.3) é usulmente designd como regr d potênci. Um cso prticulr é x α dx = xα+ +c, α R \{ }. α+ Outrs expressões podem deduzir-se de form quse imedit. Pr primitivr um função exponencil de bse, onde > 0 e, obtém-se u u dx = u +c. (.4) ln A confirmção de (.4) é mis um vez muito simples. ( ) u ln +c = ln (u ) = ln u u ln = u u. Alguns csos prticulres são e u e u dx = e u +c e x dx = e x +c. A consult de um tbel de derivção permite escrever de imedito. u dx = ln u +c u u cosudx = sin(u)+c (pss por considerrα = em u u α dx, recordr(.3)) u dx = rctn(u)+c +u2 u dx = rcsin(u)+c. u 2 5

10 Primitivção de funções reis de vriável rel Exemplos: Clculr s primitivs () x 3 5x 2 +2x+dx (b) (c) (d) x(x ) dx e 2x dx 2 4+x 2 dx Alíne () x 3 5x 2 +2x+dx = x 3 dx 5 x 2 dx+2 xdx+ dx Alíne (b) Alíne (c) Alíne (d) x(x ) dx = = = x4 4 5x3 3 +x2 +x+c e 2x dx = /2 x x dx x dx x dx = ln x ln x +c 2e 2x dx = e2x 2 +c 2 4+x 2 dx = 2 4(+x 2 /4) dx 2 = +(x/2) 2 dx = rctn(x/2)+c Teorem.3 Sej f um função primitivável no intervlo D, x 0 um ponto de D e y 0 R. Existe um únic primitiv F d função f que stisfz condição F(x 0 ) = y 0. Demonstrção - Admitmos que F e G são dus primitivs de f em D que stisfzem condição prescrit. Tem-se F (x) = G (x) = f(x) em D e F(x 0 ) = G(x 0 ) = y 0. Considerndo função h(x) = F(x) G(x), definid pr todo o x D, verific-se 6

11 .2. Processos de primitivção imeditmente que h (x) = 0 em D. Constt-se que h é um função constnte, isto é, que h(x) = k, k R, em D. Clculndo h no ponto x 0 obtém-se k = 0, e portnto F(x) = G(x) em todo o intervlo. Exemplo: Considereoproblem ddeterminçãod únic primitiv F d função f(x) = xe x2 que stisfz condição F(0) =. O cálculo d expressão gerl d primitiv de f revel que F(x) = xe x2 dx = /2 2xe x2 dx = ex2 2 +c. D equção F(0) = result c = /2. Assim, primitiv pretendid é.2.2 Primitivção por prtes F(x) = ex2 + 2 O processo de primitivção por prtes bsei-se n expressão d derivd do produto de dus funções. É por este motivo muito utilizdo n procur de primitiv pr um produto de dus funções. Considere dus funções u e v (d vriável x) definids e diferenciáveis num certo intervlo D. Clculndo derivd do produto de u por v obtém-se expressão que se pode reescrever como (u(x)v(x)) = u (x)v(x) +u(x)v (x) u(x)v (x) = (u(x)v(x)) u (x)v(x). Primitivndo por decomposição, mbos os membros d identidde nterior, deduz-se u(x)v (x)dx = [(u(x)v(x)) u (x)v(x)]dx = (u(x)v(x)) dx u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx + c.. Isto é, obtém-se seguinte expressão u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx + c (.5) que é fórmul do processo de primitivção por prtes. Assim, se se pretende utilizr fórmul (.5) pr determinr primitiv de um produto de dus funções, é necessário identificr um ds funções por u e outr por v. Exigimos u que sej um função diferenciável (porque é preciso clculr u ) e v 7

12 Primitivção de funções reis de vriável rel que sej um função primitivável, pr qul se consegue clculr explicitmente um primitiv (pois é preciso determinr v = v dx). Um vez percebid fórmul (.5), est pode ind interpretr-se de form equivlente como ( f(x)g(x)dx = ) ( f(x)dx g(x) ) f(x)dx g (x)dx+c onde se escolheu f pr primitivr e g pr derivr. Exemplo: Pretende-se clculr primitiv xe x dx. Escolhe-se u(x) = x e v (x) = e x. Tem-se u (x) = e um primitiv de v é v(x) = e x. Aplicndo fórmul (.5) result xe x dx = xe x = xe x e x +c e x dx+c = (x )e x +c, isto é, xe x dx = (x )e x +c, como se pode comprovr derivndo expressão (x )e x +c. É nturl colocr seguinte questão: Será que não se consegue obter o mesmo resultdo escolhendo u(x) = e x e v (x) = x? À prtid, est opção tmbém não prece presentr dificulddes. Neste cso, tem-se u (x) = e x e um primitiv de v é v(x) = x2 2. Obtém-se xe x dx = x2 e x 2 x 2 e x 2 dx + c. que present mis dificulddes pois é preciso clculr x 2 e x dx (elevou-se o gru do polinómio que existi inicilmente). Note que presenç d constnte de primitivção surge logo n plicção d fórmul(.5) e não pens no finl de todos os cálculos. Este é um pormenor importnte. De fcto, o plicr fórmul (.5) está implícito que primitiv de (u(x)v(x)) já foi clculd o que justific colocção d constnte. O sucesso n plicção do processo de primitivção por prtes depende em grnde prte d escolh ds funções u e v. Pr poder escolher dequdmente sugere-se simplesmente o seguinte: Qundo existe lterntiv n escolh d função primitivr, deve-se optr por primitivr quel que menos se simplific qundo derivd. 8

13 .2. Processos de primitivção Observção. É importnte observr que seguinte fórmul não é válid ( f(x)g(x)dx = )( f(x)dx ) g(x) dx, isto é, que primitiv do produto de dus funções não é igul o produto ds primitivs (tl como contece tmbém com derivd do produto de dus funções). Dí que, n presenç de um produto de dus funções, o processo de primitivção por prtes cbe por surgir como um bo idei pr poder clculr primitiv d função produto. Antes de plicr o processo de primitivção por prtes, convém verificr se primitiv que se pretende clculr é d form v(x)v (x)dx. Tudo é mis simples se se observr que estmos n presenç de um primitiv imedit v(x)v (x)dx = v(x)2 +c. 2 Exemplos: Clcule primitivndo por prtes. () x lnxdx (b) x 2 e x dx (c) sinx cosxdx (d) lnxdx. Alíne () ( x lnxdx = ) ( xdx lnx = x 2 /2 lnx x/2dx+c = x 2 /2 lnx x 2 /4+c ) xdx (lnx) dx+c 9

14 Primitivção de funções reis de vriável rel Alíne (b) Primitivndo dus vezes por prtes ( ) ( (x x 2 e x dx = e x dx x 2 e dx) x 2 ) dx+c = x 2 e x 2 xe x dx+c ( = x 2 e x 2 xe x ) e x dx +c Alíne (c) = (x 2 2x+2)e x +c A primitiv é imedit. No entnto, tmbém se pode determinr primitivndo por prtes. ( sinx cosxdx = = (sinx) 2 ) ( cosxdx sinx sinx cosxdx+c ) cosxdx (sinx) dx+c Observndo com tenção not-se que plicção do processo de primitivção por prtes originou equção A = (sinx) 2 A+c onde incógnit A represent primitiv que se pretende clculr. Resolvendo em ordem A result Alíne (d) sinx cosxdx = (sinx)2 2 +c. Um plicção interessnte do processo de primitivção por prtes. ( ) ( ) lnxdx = dx lnx dx (lnx) dx+c = x lnx dx+c = x lnx x+c.2.3 Primitivção por substituição O próximo resultdo estbelece um fórmul pr o cálculo d primitiv trvés de um mudnç de vriável. Teorem.4 Se f é um função primitivável num intervlo J e g é um função simultnemente diferenciável e invertível num intervlo J de tl form que g(j ) = J, então ( ) f(x)dx = f(g(t))g (t)dt. (.6) t=g (x) 0

15 .2. Processos de primitivção Com substituição ou mudnç de vriável x = g(t) pretende-se simplificr o cálculo d primitiv, isto é, esper-se que primitiv que surge no segundo membro d equção(.6) sej mis simples de determinr que primitiv d função inicil. Note que primitiv no segundo membro de (.6) é clculd em ordem à vriável t, dndo lugr à posterior substituição de t pel expressão de g. Demonstrção - (do teorem.4) Pr obter o resultdo pretendido bst mostrr que ( ) f(x)dx = x=g(t) f(g(t))g (t)dt, ou de form equivlente que F(g(t))+c = f(g(t))g (t)dt, (.7) onde F represent um primitiv d função f. A derivd em ordem à vriável t d função compost F(g(t)), origin d dt (F(g(t))) = F (g(t)) g (t) = f(g(t)) g (t). A derivd, em ordem à vriável t, d expressão que está no segundo membro de (.7) permite obter ( d dt ) f(g(t))g (t)dt = f(g(t)) g (t). Obteve-se o mesmo resultdo em mbs s derivções, logo, fic estbelecid identidde (.7) e consequentemente (.6). Assim, os pssos efectur n plicção do processo de primitivção por substituição o cálculo d primitiv são os seguintes: f(x)dx. Identificr mudnç de vriável dequd x = g(t) onde g é um função diferenciável e invertível, recorrendo gerlmente à consult de um tbel de substituições. 2. Primitivr função f(g)g em ordem à vriável t, isto é, clculr f(g(t))g (t)dt. 3. Finlmente, repor vriável originl, isto é, substituir vriável t pel expressão de g no resultdo obtido no psso nterior.

16 Primitivção de funções reis de vriável rel Exemplos: () Clculr (lnx) 2 dx, x > 0. x Est primitiv pode clculr-se directmente. Bst notr que função que se pretende primitivr é d form u u 2 com u = lnx. Mostrmos que plicção do processo de primitivção por substituição tmbém permite determinr primitiv pretendid. Primeiro psso: Considermos substituição x = e t, isto é, escolhemos g(t) = e t, t R, que é um função invertível e diferenciável em todo o seu domínio. A su derivd é g (t) = e t. Se x = e t, então t = lnx e função invers de g é g (x) = lnx. Segundo psso: Clcul-se f(g(t))g (t)dt. Tem-se (lne f(g(t))g t ) 2 (t)dt = e t = t 2 dt e t dt = t3 3 +c. Finlmente, substituindo t pel expressão de g, obtém-se primitiv pretendid, ( ) (lnx) 2 t 3 dx = x 3 +c = (lnx)3 +c, c R. t=lnx 3 (b) Determinr x+ x dx, x > 0. Considermos substituição x = t 2, isto é, escolhemos g(t) = t 2, impondo t > 0 pr que g sej um função invertível. Temos então t = x. Assim, t f(g(t))g 2 + (t)dt = 2tdt t = 2t3 3 +2t+c. Logo, ( ) x+ 2t 3 dx = x 3 +2t+c = 2x x +2 x+c, c R. t= x 3 2

17 .3. Primitivção de funções rcionis (c) Clculr x2 dx, x [,]. Considermos substituição x = sint onde se ssume que t [ π/2,π/2]. A substituição invers é t = rcsin x. Primitivndo por substituição obtém-se f(g(t))g (t)dt = (sint)2 costdt cos2 = t costdt = costcostdt = cos 2 tdt +cos(2t) = dt 2 = t 2 + sin(2t) +c. 4 Porque se pretende que o resultdo finl sej o mis simples possível, é preciso simplificr um pouco mis expressão obtid. Tem-se f(g(t))g (t)dt = t 2sint cost + +c = t sint cost + +c Usndofórmulfundmentl dtrigonometricomsint = xet [ π/2,π/2] deduz-se que cost = x 2. Logo, primitiv pretendid é x2 dx = rcsinx 2 + x x Primitivção de funções rcionis Inicimos est secção com definição de um função rcionl. Definição.2 (função rcionl) +c. Tod função definid como o quociente de dois polinómios é um função rcionl. Ou sej, função rcionl é tod função d form f(x) = p(x) d(x) = nx n + + x+ 0 b m x m + +b x+b 0 (n,m N 0 ), (.8) definid pr todo x R tl que d(x) 0. Definição.3 (função rcionl própri e função rcionl imprópri) Um função rcionl diz-se imprópri se o gru do polinómio em numerdor for superior ou igul o gru do polinómio em denomindor. Cso contrário, função rcionl diz-se própri. 3

18 Primitivção de funções reis de vriável rel É costume chmr frcções rcionis às funções rcionis (.8) pr s quis m. O próximo resultdo indic que tod frcção rcionl própri se pode escrever como som de determinds frcções com um expressão mis simples. Teorem.5 (decomposição em elementos simples) Tod frcção rcionl própri se pode decompor n som de certs frcções rcionis designds como frcções simples. A est decomposição muito prticulr chm-se decomposição em elementos simples. Apresentmos o processo composto por três etps que permite obter decomposição enuncid no teorem. Consider-se frcção rcionl própri p(x) d(x). Determinm-se os zeros do polinómio d em denomindor, isto é, determinm-se s rízes d equção d(x) = Efectu-se seguinte correspondênci: (i) Cd riz rel simples α origin frcção simples A x α onde A é um constnte rel determinr. (ii) Cd riz rel α de multiplicidde k origin s k frcções simples B x α, B 2 (x α) 2,... B k (x α) k, onde B,...,B k são k constntes reis determinr. (iii) Cd pr de rízes complexs conjugds ± bi origin um frcção simples d form Cx+D (x ) 2 +b 2 onde C e D são constntes reis determinr. (iv) Cd pr de rízes complexs conjugds ± bi de multiplicidde k dá origem k frcções simples d form C x+d (x ) 2 +b 2, C 2 x+d 2 [(x ) 2 +b 2 ] 2,... C k x+d k [(x ) 2 +b 2 ] k, onde C,...,C k e D,...,D k são constntes reis determinr. 3. Por fim, frcção rcionl própri reescreve-se como som de tods s frcções simples presentds n etp nterior. 4

19 .3. Primitivção de funções rcionis A primitivção de um função rcionl própri p(x) d(x) é gor bstnte simples de concretizr. Bst executr os seguintes pssos:. Decompor frcção rcionl própri em elementos simples com o respectivo cálculo ds constntes (cujo o cálculo é descrito nos exemplos presentdos mis à frente). 2. Primitivr por decomposição sbendo que: (i) A frcção simples ssocid um riz rel simples origin um logritmo. (ii) As frcções simples ssocids um riz rel de multiplicidde k originm um logritmo e k potêncis. (iii) A frcção simples ssocid um pr de rízes complexs conjugds dá origem um logritmo ou um rco-tngente. Não se descreve o cso ds rízes complexs conjugds de multiplicidde k. Este ssunto específico pode encontrr-se n bibliogrfi. Exemplos: () Pretende-se clculr 2 x 2 4 dx, onde x Os zeros do polinómio d(x) = x 2 4 são x = ±2 e decomposição em elementos simples é 2 x 2 4 = 2 (x 2)(x+2) = A x 2 + B x+2. Pr determinr s constntes A e B recorremos o método dos coeficientes indetermindos que descrevemos de seguid. Tem-se decomposição 2 x 2 4 = A x 2 + B x+2. Logo, 2 x 2 4 = A(x+2)+B(x 2) x 2. 4 D iguldde ds frcções result equção 2 = A(x+2)+B(x 2), que é equivlente 2 = (A+B)x+(2A 2B). 5

20 Primitivção de funções reis de vriável rel D identidde de polinómios result A+B = 0 2A 2B = 2 e portnto A = /2 B = /2 A decomposição em elementos simples fic gor complet 2 x 2 4 = /2 x 2 /2 x+2. Assim, 2 x 2 4 dx = = 2 /2 x 2 dx x 2 dx 2 /2 x+2 dx x+2 dx = /2 ln x 2 /2 ln x+2 +c. (b) Clculr x 2 +2x+3 dx onde x,. (x )(x+) 2 A decomposição d frcção rcionl própri em elementos simples origin x 2 +2x+3 (x )(x+) 2 = A x + B x+ + B 2 (x+) 2 = 3/2 x /2 x+ (x+) 2. Logo, x 2 +2x+3 (x )(x+) 2 dx = 3/2 x dx /2 x+ dx (x+) 2 dx = 3/2 ln x /2 ln x+ + x+ +c. Qundo frcção rcionl p(x) d(x) é imprópri, deve efectur-se divisão dos polinómios té que o polinómio resto, indicdo por r, tenh gru inferior o gru de d. Obtém-se ssim decomposição p(x) r(x) = q(x)+ d(x) d(x) 6

21 .3. Primitivção de funções rcionis onde q represent o polinómio quociente d divisão e é gor um frcção rcionl própri. Exemplo: Pretende-se clculr r(x) d(x) x 3 +x 2 +x+3 x 2 dx +2 onde x Porque frcção rcionl é imprópri, é necessário efectur divisão dos dois polinómios. Obtém-se x 3 +x 2 +x+3 x 2 +2 Observ-se que frcção rcionl própri = x+ + x x x x 2 +2 já se encontr n su form mis simples. Est corresponde o pr de rízes complexs conjugds x = ± 2i e origin, por primitivção, um logritmo e um rcotngente. Assim, x 3 +x 2 +x+3 x 2 +2 dx = = = x+dx+ = x x+dx+ x 2 +2 dx x+dx+ x 2 +2 dx x+dx+ 2/2 /2 ( x/ 2 ) 2 + dx x x 2 +2 dx x x 2 +2 dx / 2 ( ) 2 dx /2 x/ 2 + 2x x 2 +2 dx ( = x2 2 +x+ 2/2 rctn x ) 2/2 /2 ln(x 2 +2)+c. 7

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23 Cpítulo 2 Cálculo integrl 2. Soms de Riemnn Considere um decomposição do intervlo rel [,b] em n N subintervlos d form [x 0,x ], [x,x 2 ],... [x n,x n ], onde os pontos x i, com i = 0,,...,n, são tis que x 0 =, x i < x i (i =,2,...,n) e x n = b. A decomposição é designd por e é representd pens pelos seus pontos do seguinte modo : = x 0 < x < < x n < x n = b. À decomposiçãoestão ssocidosnintervlosen+pontos. Us-se x i prrepresentr mplitude do intervlo [x i,x i ], isto é, x i = x i x i, i =,2,...,n, e define-se diâmetro d decomposição, representdo por, como sendo mplitude do mior intervlo de, isto é, o número rel positivo ddo por Exemplo: = mx i=,...,n x i. Considere o intervlo [0,2] e seguinte decomposição : 0 < /2 < < 2. Tem-seospontosx 0 = 0,x = /2,x 2 = ex 3 = 2,ossubintervlos[0,/2],[/2,] e [,2], com s correspondentes mplitudes x = /2, x 2 = /2 e x 3 =, donde, =. 9

24 Cálculo integrl Definição 2. (som de Riemnn) Considere um função rel f definid e limitd no intervlo [, b], um decomposição de [,b] e um ponto c i em cd intervlo [x i,x i ] de, i =,2,...,n. Chm-se som de Riemnn d função f pr decomposição e conjunto de pontos c i escolhidos, à expressão mtemátic n f(c i ) x i = f(c ) x + +f(c n ) x n (2.) i= que é representd por S(f, ). Import observr qul o significdo geométrico de um som de Riemnn. Pr cd prcel d som (2.) pode deduzir-se o seguinte: Se f(c i ) > 0 então f(c i ) x i represent o vlor d áre de um rectângulo R i cujo comprimento d bse é x i e cuj ltur é o vlor f(c i ). y f f(c i) R i x x i c i x i Figur 2. Se f(c i ) < 0 então f(c i ) x i é o simétrico do vlor d áre de um rectângulo R i de bse x i e ltur igul f(c i ). y x i c i x i x f(c i) R i f Figur

25 2.. Soms de Riemnn Conclui-se que um som de Riemnn consiste n diferenç entre, som do vlor ds áres dos rectângulos que estão cim do eixo ds bcisss e som do vlor ds áres dos rectângulos que estão bixo do eixo ds bcisss. A próxim figur ilustr ests conclusões. y f x 0 c x x 2 x3 x 4 c 2 c 3 c 4 x Figur 2.3 À figur corresponde som de Riemnn S(f, ) = f(c ) x +f(c 2 ) x 2 +f(c 3 ) x 3 +f(c 4 ) x 4 = A +A 2 A 3 A 4 = A +A 2 (A 3 +A 4 ) onde A i represent áre do rectângulo de bse igul x i = x i x i e ltur igul f(c i ), com i =,2,3,4. Exercício 2. Considere função f(x) = x 3, o intervlo [,2], decomposição : < 0 < < 2 e clcule um som de Riemnn de f pr. Exemplo: Considere função f(x) = x definid no intervlo [,b] = [0,] e considere tmbém um decomposição de [0,] em n N subintervlos de igul mplitude. A decomposição tem n+ pontos e mplitude de cd subintervlo é x i = b n = n i =,2...,n. Os pontos d decomposição : 0 = x 0 < x < < x n = são x 0 = 0 x = x 0 + n = n x 2 = x + n = 2 n. x i = i n. x n = n n =. 2

26 Cálculo integrl Em cd subintervlo [x i,x i ] escolhe-se c i = x i. A som de Riemnn correspondente é dd por n n n S(f, ) = f(c i ) x i = f(x i ) x i = f (i/n) x i = n n 2 i. i= i= i= i= Porque tem-se finlmente, n i= i = n(+n) 2 S(f, ) = +n 2n, (n ). Exercício 2.2 Considere os ddos do exemplo nterior e clcule S(f, ) qundo em cd intervlo [x i,x i ] se escolhe c i = x i. Observção 2. Recordm-se lgums fórmuls imprescindíveis n simplificção de cálculos semelhntes. n i= n i= i = n(+n) 2 i 2 = n(n+)(2n+) 6 n ( ) 2 n(+n) i 3 =. 2 i=,, Considere s seguintes figurs. y R f b x Figur

27 2.2. Integrl definido y f R R 2 b x Figur 2.5 Se o número de subintervlos de um decomposição de [,b] é muito grnde, ou de form equivlente, se o diâmetro d decomposiçãode [,b] é muito pequeno, então o vlor d som de Riemnn correspondente, prece proximr-se do vlor:. D áre d região R - re(r) - no cso d primeir figur. 2. D expressão re(r ) re(r 2 ) n situção presentd n segund figur. 2.2 Integrl definido A exposição d secção nterior conduz definição de integrl definido. Definição 2.2 (integrl de Riemnn ou integrl definido) Considere um função f definid e limitd no intervlo rel [, b]. Chm-se integrl de Riemnn ou integrl definido de f no intervlo [,b] o vlor do limite lim S(f, ) (2.2) 0 qundo existe e é finito. O integrl definido de f em [,b] é representdo por b f(x)dx. (2.3) Por definição de integrl definido, tem-se b f(x)dx = lim S(f, ) = lim 0 0 n f(c i ) x i. Dizer que o limite (2.2) existe signific dizer que o seu vlor é o mesmo qulquer que sej decomposição de [,b] escolhid e qulquer que sej o conjunto de pontos c i escolhido. O vlor do limite tem de ser independente d decomposição e do conjunto de pontos. N expressão (2.3), f é função integrnd e e b são os extremos de integrção do integrl definido. i= 23

28 Cálculo integrl Definição 2.3 Um função f é integrável no intervlo [,b] se existe o integrl definido de f em [,b]. O próximo resultdo cuj demonstrção é omitid present um condição suficiente pr existênci de integrl definido. Teorem 2. Se f é um função contínu no intervlo [,b] então f é integrável em [,b]. Note-se que um função pode ser descontínu em [,b] e ser tmbém integrável no intervlo [, b]. Voltremos est situção prticulr um pouco mis à frente. Exemplo: Pretende-se clculr o integrl definido d função f(x) = x no intervlo [0,]. Porque f é um função contínu, pelo teorem 2., f é um função integrável, isto é, o limite (2.2) existe e é finito, e é independente d decomposição e d escolh de pontos do intervlo [0,]. Pode escolher-se um decomposição de [0,] em n subintervlos de igul mplitude e tomr-se c i = x i em cd subintervlo [x i,x i ]. Recordndo o exemplo n págin 2, tem-se = mx i=,...,n x i = n e S(f, ) = +n 2n. Note-se que n + equivle 0. Assim, por definição, tem-se 0 xdx = lim 0 S(f, ) = lim n + S(f, ) = lim n + +n 2n = 2. Mostrou-se que o integrl definido de f(x) = x em [0,] é /2, isto é, 0 xdx = /2. Usndo em simultâneo definição de integrl definido e interpretção geométric ds somsde Riemnn, conclui-se que, se f é contínuenão negtiv no intervlo [,b], então o vlor do seu integrl definido é exctmente igul o vlor d áre d região limitd superiormente pelo gráfico de f, inferiormente pelo eixo ds bcisss e lterlmente pels rects verticis x = e x = b. O exemplo nterior permite verificr fcilmente este fcto Teorem fundmentl do cálculo Teorem 2.2 (teorem fundmentl do cálculo) Se f é um função contínu no intervlo [,b] e F é um primitiv de f em [,b], então b f(x)dx = F(b) F(). 24

29 2.2. Integrl definido O resultdo nterior mostr que o cálculo do integrl definido de um função contínu é, pelo menos do ponto de vist teórico, simples de concretizr. Observção 2.2 A expressão F(b) F() represent-se de form condensd por [F(x)] x=b x= ou [F(x)]b. Demonstrção - (do teorem fundmentl do cálculo) Sej : = x 0 < x < < x n = b um decomposição do intervlo [,b] e sej F um primitiv d função f em [,b] (isto é, F (x) = f(x) pr todo o x em [,b] - está implícito que F ( + ) = f() e F (b ) = f(b)). Verific-se com fcilidde que F(b) F() = n [F(x i ) F(x i )]. (2.4) i= Porque f é um função contínu em [,b], pode deduzir-se que F é diferenciável em [,b]. Logo, o teorem de Lgrnge justific existênci de um ponto c i em cd intervlo berto ]x i,x i [, de tl modo que Ou sej, deduz-se que F(x i ) F(x i ) x i x i = F (c i ). F(x i ) F(x i ) = f(c i ) x i pois x i = x i x i e F = f. Assim, de (2.4), obtém-se F(b) F() = n f(c i ) x i. Se pr tod decomposição de [,b], os pontos c i forem escolhidos como foi descrito, pode concluir-se que lim 0 i= n f(c i ) x i = F(b) F(). i= Porque f é integrável, tem-se necessrimente como se pretendi. b f(x)dx = F(b) F() Teorem 2.3 Se f é um função contínu em [,b], então o integrl definido não depende d primitiv de f. b f(x)dx 25

30 Cálculo integrl Demonstrção - Se F e G são dus primitivs de f no intervlo [,b], então existe k R tl que F(x) = G(x)+k pr todo o x [,b]. Bst observr que F(b) F() = G(b) G() pr concluir demonstrção. Exemplos: Considere função contínu f(x) = x. Um primitiv de f é F(x) = x 2 /2. Logo, [ x 2 xdx = 2 0 [ 2 x 2 xdx = 2 [ x 2 xdx = 2 ] 0 ] 2 ] = 2, = 8 2 = 3 8, = 0. Interprete estes resultdos do ponto de vist geométrico. 2.3 Proprieddes do integrl definido Proposição 2. Se f e g são dus funções integráveis no intervlo [,b]. então (i) (ii) b f(x)±g(x)dx = b f(x)dx± b b αf(x)dx = α b f(x)dx, α R. g(x)dx; Proposição 2.2 Se f é um função integrável no intervlo [,b], então (i) (ii) (iii) b f(x)dx = 0; f(x)dx = b b f(x)dx = c f(x)dx; f(x)dx+ b c f(x)dx, pr todo o c [,b]; (iv) Se f(x) 0 em [,b], então b f(x)dx 0. 26

31 2.3. Proprieddes do integrl definido Exemplo: Pretende-se clculr Obtém-se Teorem 2.4 e 2 e e 2 e +3(lnx) 2 dx. xlnx +3(lnx) 2 dx = xlnx e 2 e e 2 xlnx dx + 3 lnx e x dx = [ln(lnx)] e2 e +3 [ (lnx) 2 2 = ln2+9/2. Se f e g são dus funções integráveis no intervlo [,b], tis que f(x) g(x) pr todo o x [,b], então b f(x)dx b g(x)dx. ] e 2 e Demonstrção - Considere função h(x) = f(x) g(x) definid e integrável no intervlo [,b]. Logo, h(x) 0 pr todo o x [,b]. Pelo ponto (iv) n proposição 2.2, pode concluir-se que b h(x)dx 0 b f(x) g(x)dx 0. Pel propriedde (i) n proposição 2., obtém-se finlmente b f(x)dx b Exemplo: Considere s funções f(x) = x e g(x) = x 2. g(x)dx. No intervlo [0,] ocorre x 2 x e portnto pode concluir-se que x 2 dx < 0 0 No intervlo [,2] tem-se x x 2 e por isso 2 xdx < 2 xdx. x 2 dx. Teorem 2.5 Se f é um função contínu em [,b], m é o vlor mínimo de f em [,b] e M é o vlor máximo de f em [,b], então m(b ) b f(x)dx M (b ). 27

32 Cálculo integrl Demonstrção - Porque função f é contínu num intervlo fechdo, o teorem de Weierstrss indic que f tinge em [,b] um vlor máximo M e um vlor mínimo m, isto é, tem-se m f(x) M pr todo o x [,b]. Pelo teorem 2.4, conclui-se que b mdx Ou sej, m(b ) b f(x)dx b b M dx. f(x)dx M (b ) como se pretendi. Finlmente, observe que iguldde só tem sentido se f for um função constnte no intervlo [, b]. Teorem 2.6 (do vlor médio pr integris) Se f é um função contínu em [,b], então existe um ponto c ],b[ tl que f(c) = b b f(x)dx. (2.5) A interpretção geométric deste resultdo é simples no cso em que f 0. Considere seguinte figur. y f f(c) c b x Figur 2.6 A expressão (2.5) pode reescrever-se como f(c)(b ) = b f(x)dx. Ou sej, existe pelo menos um ponto c ], b[ de tl modo que, o vlor d áre d região pln limitd superiormente pelo gráfico d função f, inferiormente pelo eixo ds bcisss e lterlmente pels rects verticis x = e x = b, é exctmente igul o vlor d áre de um rectângulo de bse igul b e ltur igul f(c). Demonstrção - (do teorem do vlor médio pr integris) Se f é constnte igul k então c é qulquer ponto do intervlo [,b]. De fcto, b f(x)dx = b kdx = k(b ) = f(c)(b ), 28

33 2.3. Proprieddes do integrl definido qulquer que sej c em [,b]. Suponhmos então que f não é um função constnte. Porque f é contínu em [,b], existem u e v em [,b] tis que f(u) = m e f(v) = M, onde m e M são respectivmente o vlor mínimo e o vlor máximo de f em [,b]. Pelo teorem 2.5 conclui-se que isto é, f(u)(b ) < Considere gor o número rel b f(u) < b f(x)dx < f(v)(b ), b α = b f(x)dx < f(v). b f(x)dx. Porque f é contínu e α é um número entre f(u) e f(v), plicção do teorem de Bolzno permite grntir existênci de um ponto c entre u e v tl que f(c) = α, como se pretendi. Teorem 2.7 Se f é um função contínu em [,b], então b f(x)dx b f(x) dx. Demonstrção - Porque se tem f(x) f(x) f(x) pr todo o x [,b], plicção do teorem 2.4 permite concluir que condição que implic b f(x) dx b b f(x)dx f(x)dx b b f(x) dx. f(x) dx, Teorem 2.8 Se f é um função integrável em [,b], então f é um função limitd em [,b]. 29

34 Cálculo integrl 2.3. Integrção por substituição e integrção por prtes Integrção por substituição Sejf umfunçãocontínunumintervlo[x 0,x ]. Pretende-seclculrointegrldefinido x x 0 f(x)dx pormeiodmudnçdevriável x = g(t) ondeg éumfunçãodiferenciáveleinvertível num intervlo [t 0,t ] de tl form que x 0 = g(t 0 ) e x = g(t ). Assumindo ind que função compost f g está bem definid no intervlo [t 0,t ] e que g é um função contínu nesse mesmo intervlo, mostr-se que é válid seguinte identidde x x 0 f(x)dx = t t 0 f(g(t))g (t)dt. (2.6) Exemplo: Pretende-se clculr 2 x+ x dx. Efectu-se mudnç de vriável x = t 2 com t > 0 (grntindo ssim que função g(t) = t 2 é invertível). Obtém-se dx = 2tdt, t 0 = g (x 0 ) = x 0 = e t = g (x ) = x = 2. Aplicndo (2.6), tem-se 2 2 x+ dx = x [ t 3 = 2 3 +t t 2 + 2tdt t ] 2 = Integrção por prtes Mostr-se que b b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x) b u (x)v(x)dx, (2.7) onde se ssume que tods s funções envolvids são contínus. Exemplo: Pretende-se clculr 2 lnxdx. A plicção de (2.7) permite escrever 2 2 lnxdx = [xlnx] 2 dx = 2ln(2). 30

35 2.4. Outrs proprieddes do integrl definido 2.4 Outrs proprieddes do integrl definido Mostrmos que não é necessário exigir que um função sej contínu pr concluir que est é integrável de cordo com definição 2.2. Pr o efeito, considere o seguinte resultdo. Teorem 2.9 Se f é um função limitd num intervlo [,b] e f é descontínu num número finito de pontos de [,b], pr os quis existem e são finitos os limites lteris, então f é integrável no intervlo [, b]. Exemplo: Considere função x se x [0,] f(x) =. x+ se x ],2] A função é limitd no intervlo [0,2] e é descontínu em x =. No entnto, existem e são finitos os limites lteris lim f(x) = e lim f(x) = 2. x x + Logo, pelo teorem nterior, pode concluir-se que f é um função integrável. Flt sber como clculr o integrl definido de um função descontínu num número finito de pontos. O próximo resultdo present respost. Teorem 2.0 Sejm f e g dus funções integráveis no intervlo [,b]. Se f(x) g(x) num número finito de pontos de [,b], então Exemplo: b f(x)dx = b g(x)dx. Considere função do exemplo nterior. Tem-se 2 0 f(x)dx = 0 f(x)dx+ 2 f(x)dx. Aplicndo o teorem nterior com g(x) = x+ definid no intervlo [, 2], obtém-se Assim, f(x)dx = 0 [ x 2 f(x)dx = 2 f(x)dx+ ] 0 2 g(x)dx. [ ] x x = 3. 3

36 Cálculo integrl Exercício 2.3 Verifique que função é integrável e clcule 0 se x f(x) = se x = 2 0 f(x)dx. 2.5 Aplicções do integrl definido 2.5. Áre de regiões plns Assume-se que f e g são dus funções contínus. () Considere região pln R definid pel su fronteir do seguinte modo: R é limitd superiormente pelo gráfico d função f, é limitd inferiormente pelo eixo ds bcisss e é limitd lterlmente pels rects verticis de equção x = e x = b. y R f b x Figur 2.7 O vlor d áre d região R é ddo pelo integrl definido b f(x)dx. (b) No cso d região pln y R f g b x Figur

37 2.5. Aplicções do integrl definido O vlor d áre d região R é b f(x)dx b g(x)dx = b (f(x) g(x))dx. (c) N situção y b x m R f g Figur 2.9 O vlor d áre d região R é ind b (f(x) g(x))dx. De fcto, re(r) = = b b (f(x)+ m )dx (f(x) g(x))dx. b (g(x)+ m )dx (d) N situção y R b f x Figur

38 Cálculo integrl A áre d região R é dd por (e) Finlmente, n situção b f(x)dx. y g R R 2 f c b x Figur 2. Conclui-se sem dificuldde que o vlor d áre d região R = R R 2 é ddo pel expressão re(r) = re(r )+re(r 2 ) = c (f(x) g(x))dx + b c (g(x) f(x))dx. Exemplo: Pretende-se determinr o vlor d áre d região pln R que result d reunião de R - limitd pels rects x = e x = 0, e pels curvs y = x e y = x 2, com R 2 - limitd pels rects x = 0 e x =, e ind pels curvs y = x e y = x 2. O resultdo é re(r) = 0 x 2 xdx + 0 x x 2 dx =. 34

39 2.5. Aplicções do integrl definido Volume de sólidos de revolução Assumindo que f e g são dus funções contínus. () Considere figur que represent região pln R, limitd pelo gráfico de um função f, pelo eixo ds bcisss e pels rects verticis x = e x = b. y R f b x Figur 2.2 Mostr-se que o volume V do sólido de revolução, gerdo pel rotção em torno do eixo ds bcisss d região pln R, é ddo por V = π b f(x) 2 dx. (b) N situção y R f b g x Figur 2.3 O volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eixo ds bcisss d região pln R, limitd pels rects verticis x = e x = b e pelo gráfico ds funções f e g, é ddo por V = π b f(x) 2 dx π b g(x) 2 dx = π b f(x) 2 g(x) 2 dx. 35

40 Cálculo integrl (c) No cso d região pln y b x R f g Figur 2.4 Comprove que o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eixo ds bcisss d região pln R, limitd pelo gráfico ds funções f e g e pels rects verticis x = e x = b, é V = π b g(x) 2 f(x) 2 dx. Exemplo: Pretende-se determinr o volume de um esfer de rio r. Consider-se circunferênci de equção x 2 +y 2 = r 2, de centro no ponto (0,0) e rio r > 0. A rotção em torno do eixo ds bcisss, d região pln limitd pels curvs y = 0 e y = r 2 x 2, origin um esfer de rio r. O seu volume é V = π = π = π r r r r ( r2 x 2 ) 2 dx r 2 x 2 dx [r 2 x x3 3 = 4 3 πr3. ] r r O rciocínio é semelhnte no cálculo do volume de um sólido de revolução, gerdo pel rotção de um região pln em torno do eixo ds ordends. Neste cso, é necessário interpretr o problem de outr perspectiv, que pss pel troc do ppel do eixo ds bcisss e do eixo ds ordends, isto é, pel permut entre vriável independente e vriável dependente. Será tmbém necessário determinr expressão d função invers de lgums funções envolvids em cd problem prticulr. 36

41 2.5. Aplicções do integrl definido Exemplo: Pretende-se determinr o volume do sólido de revolução, gerdo pel rotção em torno do eixo ds ordends, d região pln limitd pel curv y = x 2, pel rect horizontl y = 2 e pel condição x 0. Obtém-se V = π 2 ( y) 2 dy = π ydy = 2π. É importnte reconhecer que o sólido de revolução gerdo pel rotção de um região pln, em torno do eixo ds bcisss, é gerlmente diferente do sólido obtido pel rotção d mesm região pln, em torno do eixo ds ordends. Consequentemente, os volumes dos dois sólidos são tmbém gerlmente diferentes. Vejmos um exemplo. Exemplo: Considere região pln definid pels condições 0 x e 0 y x. y x Figur 2.5 O volume do sólido gerdo pel rotção d região em torno do eixo ds bscisss é V = π 0 x 2 dx = π/3. O volume do sólido gerdo pel rotção d região em torno do eixo ds ordends é ddo por Observção 2.3 A plicção d fórmul V = π 2π 0 b y 2 dy = 2π/3. xf(x)dx tmbém permite obter o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eixo ds ordends, d região pln limitd pelo gráfico de f, pelo eixo ds bcisss e pels rects verticis de equção x = e x = b. Verifique plicção dest fórmul com os ddos do exemplo nterior. 37

42 Cálculo integrl Exercício 2.4 Defin um região pln cuj rotção em torno do eixo ds bcisss e rotção em torno do eixo ds ordends, origine sólidos de revolução de igul volume. Verifique clculndo os seus vlores Comprimento do rco de um curv y = f(x) Sej f um função diferenciável no intervlo [, b]. Considere figur y f b x Figur 2.6 Mostr-se que o integrl definido b +[f (x)] 2 dx é igul o vlor do comprimento d curv representd pelo gráfico de f, do ponto de coordends (,f()) o ponto de coordends (b,f(b)). Exemplo: Qul o comprimento do gráfico d função f(x) = x no intervlo [,2]? O comprimento pretendido é C = = 2 2 +[f (x)] 2 dx 2dx = 2. Resultdo que é possível comprovr plicndo o teorem de Pitágors. Exemplo: Considere região pln limitd pelo gráfico ds curvs y = coshx, x = ln2, x = ln2 e y = 0 (ln2 0.69). () Clcule áre d região (b) Clcule o comprimento d fronteir d região 38

43 2.5. Aplicções do integrl definido A figur represent região pln enuncid y ln2 ln2 x Figur 2.7 A áre d região pln é A = ln2 coshxdx = 2 ln2 ln2 0 coshxdx = 2sinh(ln2) = 3/2. O comprimento d fronteir d região é ddo por ln2 C = 2ln2+2cosh(ln2)+ = 2ln2+5/2+2 = 2ln2+5/2+2 = 2ln2+5/2+3/2 = 2(ln2+2). ln2 0 ln2 0 ln2 +[(coshx) ] 2 dx +sinh 2 x dx coshxdx 39

44 Cálculo integrl 2.6 Integrl indefinido Sej f um função integrável no intervlo [,b]. Logo, f tmbém é integrável no intervlo [,x], qulquer que sej x [,b]. Usndo função f define-se um nov função rel de vriável rel cujo domínio é [,b], d seguinte form Exemplo: Exemplo: G(x) = x Considere função f(t) = 3t t 2 + f é contínu e por isso integrável. Logo, G(x) = x 0 f(t)dt. onde t R. 3t t 2 + dt = 3/2[ ln(t 2 +) ] x 0 = 3/2 ln(x 2 +). Ou sej, G(x) = 3/2 ln(x 2 +) pr todo o x R. Determine onde função f é G(x) = x 0 f(t)dt t, 0 t < f(t) =. t 2, t A função f é integrável no seu domínio pesr de não ser contínu no ponto t =. Recordem-se s proprieddes presentds n secção 2.4. Assim, pr x [0, [ tem-se Se x, então G(x) = x 0 Finlmente, Exercício 2.5 f(t)dt = 0 G(x) = x 0 f(t)dt+ x f(t)dt = f(t)dt = x 0 0 tdt = x2 2. tdt+ x x 2 /2, 0 x < G(x) =. x 3 /3 x+7/6, x Determine o domínio e estude o sinl d função G(x) = x e t2 dt. t 2 dt = x3 3 x+7 6. O próximo resultdo estbelece lgums proprieddes importntes do integrl indefinido de um função contínu. 40

45 2.6. Integrl indefinido Teorem 2. Se f é um função contínu no intervlo [,b] e G(x) = x f(t)dt pr todo o x [,b], então G é diferenciável em [,b] e G (x) = f(x), isto é, G é um primitiv de f em [,b]. À função G(x) = x f(t)dt chm-se integrl indefinido de f. A relção que o teorem 2. estbelece entre o integrl indefinido e função integrnd explic porque rzão expressão f(x)dx é notção usd pr indicr primitiv d função f. Demonstrção - (do teorem 2.) Quer mostrr-se que G (x) = f(x) pr todo o x [,b], isto é, que G(x+h) G(x) lim = f(x), h 0 h onde x e x+h pertencem o intervlo [,b]. Pr h 0 tem-se ( G(x+h) G(x) = x+h ) x f(t)dt f(t)dt h h = h x+h x f(t)dt. (2.8) O teorem do vlor médio pr integris permite grntir existênci de um ponto c pertencente o intervlo de extremos x e x+h tl que h Logo, de (2.8) e (2.9), conclui-se que x+h x G(x+h) G(x) h f(t)dt = f(c). (2.9) = f(c). Aplicndo limites qundo h 0 mbos os membros d equção nterior obtém-se G(x+h) G(x) lim = lim f(c) h 0 h h 0 4

46 Cálculo integrl isto é G (x) = f(x), pois qundo h 0 contece forçosmente c x. Exemplo: Considere função e o integrl indefinido Logo, G (x) = f(t) = 3t t 2 + G(x) = ( x 0 x 0 com t R f(t)dt. ) 3t t 2 + dt = pr todo o x R (recorde o exemplo n págin 40). Exercício 2.6 Determine os extremos d função F(x) = Corolário 2. x 0 t(e t e)dt. 3x x 2 + Se f é um função contínu no intervlo [,b], u é um função diferenciável que tom vlores em [,b] pr todo o x [,b] e então G(x) = u(x) f(t)dt, G (x) = f(u(x))u (x). Demonstrção - Observe que onde F(u) = G(x) = F(u(x)) u f(t)dt. Aplicndo directmente regr d derivd de um função compost, obtém-se G (x) = [F(u(x))] = F (u)u (x) = f(u)u (x) = f(u(x))u (x). 42

47 2.7. Integris impróprios Exemplo: Determine primeir derivd dos integris indefinidos () G(x) = (b) G(x) = Alíne () x 0 0 cos(t 2 )dt onde x > 0. x cos(t 2 )dt onde x > 0. G (x) = ( x 0 ( ( x cos(t )dt) 2 ) ) 2 ( x ) cosx = cos = 2 x Alíne (b) ( 0 ) ) x G (x) = cos(t 2 )dt = ( cos(t 2 )dt = cosx x 2 x Exercício 2.7 Considere função G(x) = expressão pr G. x /x 0 cos(t 2 )dt definid pr todo o x > 0 e determine um 2.7 Integris impróprios Nest secção presentmos um extensão d definição de integrl definido Integris em intervlos não limitdos Considerm-se integris em que o intervlo de integrção é ilimitdo sendo função integrnd contínu e limitd nesse intervlo. A estes integris tmbém se chm integris impróprios do primeiro tipo. Considere o integrl impróprio + onde f é contínu e limitd no intervlo [,+ [. Se o limite t lim t + f(x) dx (2.0) f(x)dx existe e é finito, então o integrl impróprio (2.0) diz-se convergente e escreve-se + f(x)dx = lim t + t f(x)dx. Se o limite é infinito ou não existe, o integrl impróprio diz-se divergente e não tem vlor. 43

48 Cálculo integrl Observção 2.4 De modo semelhnte se estud o cso Qundo o integrl impróprio é d form b + f(x)dx. f(x)dx, (2.) deve-se em primeiro lugr escolher um ponto conveniente e só depois nlisr os limites lim t t t lim t + f(x) dx (2.2) f(x)dx. (2.3) O integrl impróprio (2.) será convergente se estes limites existirem e forem finitos. Nesse cso, tem-se + ( f(x)dx = lim t t ) ( f(x)dx + lim t + t ) f(x)dx. Pr que o integrl impróprio (2.) sej divergente, bst que um dos limites (2.2)- (2.3) não sej finito ou não exist. Observção 2.5 Import observr que ests últims conclusões não decorrem d nálise do limite t lim f(x)dx. t t Prconfirmrestefcto, bstescolherumfunçãoímpr,comoporexemplof(x) = x 3. Exemplos: () Pretende-se determinr nturez do integrl impróprio Clcule-se lim t + t 0 e 2x dx. Tem-se lim t + t 0 ] t e 2x dx = lim [ e 2x t = lim t + Ou sej, o integrl impróprio é convergente e + 0 e 2t e 2x dx = / = 2. e 2x dx. 44

49 2.7. Integris impróprios (b) Pretende-se determinr nturez do integrl impróprio Este integrl impróprio é divergente e não tem vlor porque não existe. lim t 2π t sinxdx = lim t [ cosx]2π t = lim t ( +cost) (c) Pretende-se determinr nturez do integrl impróprio Exercício 2.8 Porque o integrl impróprio 0 xdx 2π + sinxdx. xdx. é divergente, pode concluir-se de imedito que o integrl principl é divergente.. Determine pr que vlores de p R o integrl impróprio é convergente. + x p dx 2. Determine nturez do integrl impróprio Integris de funções não limitds e 3 x dx. Considerm-se integris em que função integrnd não é limitd no intervlo de integrção. A estes integris tmbém se chm integris impróprios do segundo tipo. Considere o integrl impróprio b f(x) dx (2.4) onde f é contínu em qulquer intervlo [,t] com < t < b, ms é não limitd no intervlo [, b[. O integrl impróprio (2.4) só será convergente se o limite lim t b existir e for finito. Nesse cso, escreve-se b t f(x)dx = lim t b f(x)dx t f(x)dx. Cso contrário, o integrl impróprio (2.4) é divergente. 45

50 Cálculo integrl Qundo f é contínu em qulquer intervlo [t,b] com < t < b ms é não limitd no intervlo ], b], o integrl impróprio b só é convergente se existir e for finito o limite e neste cso b lim t + f(x)dx b f(x)dx = lim t + t f(x)dx b t f(x)dx. Se f é ilimitd n vizinhnç de um ponto c ],b[, então o integrl impróprio b f(x)dx só é convergente se forem convergentes os integris impróprios O seu vlor é b c ( f(x)dx = f(x)dx lim t c t e b ) ( f(x)dx + lim t c + c f(x)dx. b t f(x)dx ). Exercício 2.9 Mostre que é um integrl impróprio divergente. 2 0 (x ) 2 dx 2.8 Métodos numéricos de integrção Apresentmos dois métodos numéricos que permitem obter um vlor proximdo do integrl definido de um função contínu. Estes métodos tornm-se prticulrmente importntes qundo não é possível determinr um expressão simples pr fmíli de primitivs d função integrnd, o que ocorre com função f(x) = e x2. As somsderiemnnde umfunçãocontínuf, presentdsnpágin20, fornecem um proximção do integrl definido de f no intervlo [, b]. A obtenção dess proximção exige o conhecimento do vlor d função integrnd em determindos pontos do intervlo de integrção e o cálculo do vlor d áre de vários rectângulos. Descrevemos de seguid dois métodos numéricos mis elbordos que têm tmbém um interpretção geométric simples. 46

51 2.8. Métodos numéricos de integrção 2.8. Regr dos trpézios Assumimos inicilmente que função f lém de contínu tmbém é positiv no intervlo [, b]. N su form mis simples, regr dos trpézios permite obter um proximção numéric do integrl definido de f em [,b], clculndo o vlor d áre do trpézio definido pelos pontos (,0), (b,0), (,f()) e (b,f(b)). y f b x Figur 2.8 Ou sej, em vez de clculr o integrl d função f no intervlo [,b], clcul-se o integrl do polinómio p de gru um, que une os pontos de coordends (,f()) e (b,f(b)). Existe pens um polinómio de gru um nests condições cuj expressão se determin sem dificuldde. Obtém-se seguinte proximção b f(x)dx b p(x)dx = (b ) (f(b)+f()) 2. A proximção é válid mesmo que função não sej positiv no intervlo [,b]. É de esperr que proximção sej rzoável qundo o intervlo [,b] for pequeno e função f for suficientemente suve em [, b]. A idei de generlizr o processo descrito surge nturlmente. N próxim figur consider-se um decomposição em dois subintervlos de igul mplitude h. y f x b x Figur

52 Cálculo integrl Sej p o polinómio de gru um, que une os pontos de coordends (,f()) e (x,f(x )) e p 2 o polinómio de gru um, que une os pontos de coordends (x,f(x )) e (b,f(b)). Um proximção do integrl definido d função f em [,b] é b f(x)dx = x x b f(x)dx+ p (x)dx+ x f(x)dx b x p 2 (x)dx = (x ) (f(x )+f()) 2 +(b x ) (f(b)+f(x )) 2 Porque x é o ponto médio do intervlo [,b], tem-se x = b x = (b )/2 = h, logo, obtém-se b f(x)dx h 2 [f()+2f(x )+f(b))]. A expressão d proximção pr o cso gerl deduz-se sem dificuldde. Sej f um função contínu no intervlo [,b] e : = x 0 < x < < x n < x n = b um decomposição do intervlo [,b] em n (n N) subintervlos de igul mplitude h = (b )/n. A plicção repetid do processo mis simples cd intervlo [x i,x i ], com i =,2,...,n, origin seguinte proximçãoque se chmregrdos trpézioscompost (é usul chmr regr dos trpézios simples o cso prticulr em que n = ) b f(x)dx h 2 [f(x 0)+2f(x )+ +2f(x n )+f(x n )]. Exemplo: Consider-se função contínu f(x) = x 2 e plic-se regr dos trpézios com n = 2 e n = 4 pr determinr um proximçãonuméricdo integrl definido I = x2 dx. O integrl pode clculr-se integrndo por substituição e o seu resultdo é π/2 que é proximdmente.57. Este resultdo tem um interpretção geométric simples. Corresponde o vlor d áre de meio círculo de rio r =. Considere-se n = 2. A decomposição do intervlo [,] é compost de dois intervlos de mplitude h = (b )/2 = e é definid pelos três pontos x 0 =, x = x 0 +h = 0, x 2 = x +h =. Obtém-se x2 dx [f( )+2f(0)+f()] =. 2 48

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