3ª parte Nome: ESTUDO DIRIGIDO 2

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1 Disciplina: Educação Matemática Quadro de Notas Assunto: A Matemática Grega (parte 1) Valor Nota Professor: Andréa Cardoso 1ª parte 5,0 Data: 14 de agosto de ª parte 5,0 Discussão: 17 de agosto de 2015 Total Relatório: Data da entrega: 21 de agosto de ª parte Nome: (discussão) 10,0 Ao final deste trabalho, você deverá ser capaz de: ESTUDO DIRIGIDO 2 Perceber a importância dos gregos para o ensino de matemática. Situar historicamente a contribuição dos matemáticos gregos. Conhecer a história do Teorema de Tales. Discutir a influência de Tales para a Matemática e seu ensino. 1ª PARTE Tempo: 50 minutos Para alcançar os objetivos propostos, siga as Leitura e compreensão Trabalho individual instruções: 1. Leia o texto atentamente, assinalando as partes que julgar interessantes. 2. Sublinhe palavras novas e busque significado para as mesmas. 3. Reproduza as técnicas e exemplos apresentados no texto. 4. Trabalhe silenciosamente. 5. Em caso de dúvida, solicite auxílio do professor. 2ª PARTE Tempo: 50 minutos Com base no texto e no seu conhecimento, Análise Trabalho individual responda as questões abaixo: 1. Os matemáticos gregos nasceram na Grécia? 2. Apresente um mapa com as informações constantes no texto (as regiões ocupadas e os principais matemáticos gregos anteriores a Euclides). 3. Cite os resultados atribuídos a Tales de Mileto. 4. Qual foi a influência de Tales para o estudo das Matemáticas na Grécia? 5. Tales teve acesso ao conhecimento matemática egípcio? 6. Qual o grande feito de Tales? 7. Enuncie e explique o Teorema de Tales. 8. Porque questões envolvendo proporcionalidade eram importantes para os gregos antigos? 9. Qual é a diferença entre Matemática indutiva e Matemática dedutiva? 10. Quando surgiram as escolas gregas? Quais foram seus fundadores? 3ª PARTE Tempo: 50 minutos Pesquise, discuta e responda as questões abaixo: Pesquisa Trabalho coletivo 1. Como a matemática era utilizada na sociedade grega? 2. Qual foi a contribuição de Tales para o ensino de Matemática? 3. Quais pessoas tinham acesso ao conhecimento matemático na antiga Grécia? 4. Qual a principal diferença entre a Matemática Egípcia e a Matemática Grega? 5. Quais são as diferenças entre o ensino de Matemática no Egito e na Grécia?

2 6. O tipo de Matemática praticada e estudada tem reflexos no seu ensino? 7. Como eram as escolas gregas? O que faziam e quem as frequentava? 8. Quais os conceitos geométricos estão envolvidos no Teorema de Tales? 9. Demonstre os resultados atribuídos a Tales de Mileto. 10. Cite duas aplicações do Teorema de Tales. 4ª PARTE Tempo: 50 minutos Discutam e respondam no painel de discussão as Síntese Trabalho coletivo questões abaixo, considerando o trabalho realizado nas partes 2 e Este outro tipo de Matemática proposta por Tales pode ser considerada como Matemática Prática? 2. O Teorema de Tales está presente no currículo escolar? Se sim, em que nível de ensino é estudado? Como é apresentado? 3. O professor de matemática deve conhecer a história da Matemática Grega para ensinar melhor? 4. Como você planejaria uma aula sobre o Teorema de Tales? TEXTO BASE GARBI, G. A Matemática Grega em uma Casca de Noz (Parte 1). Revista do Professor de Matemática, n. 51, O texto original apresenta uma síntese dos maiores feitos matemáticos gregos no período compreendido entre os séculos VI a.c. e V d.c. Nesta primeira parte será apresentada uma adaptação do texto original abordando o período entre os séculos VI e III a.c. [...] Os egípcios e mesopotâmios já possuíam expressivos conhecimentos de Aritmética e Geometria por volta de 2000 a.c., mas tudo indica que suas descobertas se deram de forma indutiva, ou seja, através da prática. Os povos de fala grega chegaram a sua península por volta de 1500 a.c. e, sete séculos depois, já haviam estabelecido muitas colônias ao sul da bota italiana e na costa oeste da península da Anatólia, onde hoje está a Turquia. As cidades do sul da Itália constituíam a Magna Grécia, e as da Anatólia a célebre Jônia. Muitos dos chamados "matemáticos gregos" viveram na Jônia e na Magna Grécia e não no território da Grécia atual. Como grandes navegadores e comerciantes, os gregos mantinham estreito contato com o Egito. Por volta de 600 a.c., um rico negociante da cidade jônia de Mileto, de nome Tales, teve acesso aos conhecimentos geométricos mantidos pelos sacerdotes egípcios. Interessado em astronomia e filosofia, Tales encantou-se com o que viu e decidiu difundir a Geometria em sua cidade. Ao fazê-lo, entretanto, introduziu uma inovação revolucionária: as verdades matemáticas devem ser provadas. Consta que Tales teria demonstrado que dois ângulos opostos pelo vértice são iguais, em um triângulo isósceles os ângulos da base são iguais, qualquer ângulo inscrito em um semicírculo é reto e qualquer diâmetro divide o círculo em duas partes iguais, além do caso lado-ângulo-lado da igualdade de triângulos. É por essa razão que Tales é considerado o pai da Matemática dedutiva e a Jônia o berço da Matemática grega. A cerca de 50 km de Mileto, na ilha jônia de Samos, por volta de 580 a.c., nasceu Pitágoras. Não sabemos se Pitágoras e Tales algum dia se encontraram, mas isso pode ter ocorrido porque viveram em lugares próximos e o primeiro teria cerca de 20 anos quando o segundo morreu. Não há dúvidas, entretanto, de que Pitágoras foi influenciado pela escola de Tales, em Mileto. Pitágoras também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona, ao sul da península Itálica, onde fundou, por volta de 540 a.c., uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática. Rapidamente, os membros dessa sociedade apaixonaram-se pelos números e pelas formas, passando a vê-los por toda a parte e concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior, essencialmente matemática.

3 Na Geometria deram demonstração geral a vários teoremas, em especial ao que veio a ser denominado Teorema de Pitágoras, conhecido, sem prova, séculos antes, por egípcios, chineses e mesopotâmios. Descobriram os números amigos e números perfeitos, sabiam somar progressões aritméticas e conheciam o cubo, o tetraedro e o dodecaedro (o octaedro e oicosaedro foram descobertos dois séculos depois, por Teeteto). A idéia de que a Matemática trata de conceitos abstratos, acima da realidade física, a crença em que o mundo físico pode ser estudado através da Matemática e a concepção de Deus como o Grande Arquiteto do Universo são legados pitagóricos que sobrevivem até hoje. O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela Matemática, que contagiou a maioria das cidades-estados da Grécia de então. Com as brilhantes vitórias sobre os persas em 490 a.c. e 480 a.c., Atenas tornou-se um centro intelectual e artístico ao qual dirigiu-se um grande número de homens de valor. A filosofia jônia foi levada a ela em 462, por Anaxágoras, de Clazômene, que afirmava que o Universo era um sistema organizado de matéria e que a força que o fazia mover-se era um processo mental semelhante ao da inteligência. Desse período datam os famosos Três Problemas Clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. Nessa mesma época, em algum lugar do mundo grego, devem ter surgido o método de demonstração "por redução ao absurdo" e a percepção de que nem tudo pode ser provado, sendo necessário admitir sem demonstração alguns postulados ou axiomas. Em Eléia, na Magna Grécia, o filósofo Zenão, cerca de 450 a.c., produzia seus paradoxos raciocinando sobre o infinito. Por volta de 430 a.c., o geômetra Hipócrates, de Quios (não confundir com o pai da Medicina, Hipócrates, de Cós), transferiu-se para Atenas e passou a ensinar Geometria, reunindo seus conhecimentos, próprios e de outros, em uma obra logicamente concatenada, considerada precursora dos Elementos, de Euclides. Infelizmente, a Guerra do Peloponeso, entre Atenas e Esparta, iniciada em 431 a.c. e terminada em 404 a.c. com a derrota da primeira, truncou o desenvolvimento cultural da Grécia. Durante o conflito, em 427 a.c., nasceu em Atenas um menino de nome Arístocles, que, mais tarde, veio a ser conhecido como Platão. Platão fora discípulo e amigo do filósofo Sócrates, este um crítico dos maus hábitos e dos governos de Atenas, o que causou sua condenação à morte, em 399 a.c. Compreendendo que Atenas havia perdido a liberdade de pensamento, Platão deixou-a e foi viajar pelo mundo helênico, dedicando-se ao comércio e ao estudo por vários anos. Em Cirene estudou Geometria com o velho Teodoro e em Tarento tornou-se amigo do rei-geômetra Árquitas, com quem aprendeu a matemática dos pitagóricos. Por volta de 387 a.c., retornou a Atenas e, em um local denominado Jardins de Academus, fundou sua famosa Academia, onde ensinou até morrer, em 347 a.c., aos 80 anos. Platão tinha plena consciência da importância do raciocínio matemático e fez escrever no portal de sua escola a célebre frase: "Que não entre neste local alguém ignorante em Geometria". Mais do que isso, ali reuniu um grupo de excelentes geômetras, como Têudio, de Magnésia, Âmiclas, de Heracléia, Menecmo e seu irmão Dinostrato, de Atenas, Ateneu, de Cízico, Hermótimo, de Cólofon, e Teeteto, de Atenas. O livro-texto utilizado na Academia fora escrito por Têudio, certamente aproveitando parte dos trabalhos feitos décadas antes por Hipócrates. Nessa época, meio século antes de Euclides, já era

4 empregada a expressão Elementos de Geometria. Muito se avançou, mas continuavam de pé dois grandes desafios: os Três Problemas Clássicos e a parte da Teoria das Proporções envolvendo grandezas incomensuráveis. Logo no início da Academia, Platão recebeu um humilde aluno de nome Eudóxio. Nascido em Cnidos (Jônia) em 408 a.c., e decidido a encontrar a sabedoria, mudou-se para Atenas atraído pela fama de Platão e sua escola. Extremamente pobre, todos os dias caminhava sete quilômetros até a Academia para ali conversar e aprender com os sábios. Não cabe aqui entrar em detalhes, mas Eudóxio resolveu a questão das proporções envolvendo incomensuráveis e, com isso, tornou-se um dos grandes de todos os tempos. Seu raciocínio foi tão brilhante que, em essência, foi o mesmo utilizado dois milênios mais tarde por Dedekind e Weierstrass na elaboração da teoria dos números reais. Tão ou mais importante que a Teoria das Proporções foi o tratamento dado por Eudóxio ao chamado Método da Exaustão. A quadratura do círculo era uma questão que vinha intrigando os matemáticos havia muito tempo, tanto que no papiro de Ahmes (1650 a.c.) encontra-se um método aproximado de realizá-la. O primeiro progresso teórico real no caminho de sua solução parece ter sido dado pelo filósofo sofista Ântifon (cerca de 430 a.c.), que afirmou que, inscrevendo-se um polígono regular em um círculo, a diferença entre as áreas de ambos poderia ser exaurida à medida que o número de lados fosse sendo duplicado. Ântifon não conseguiu levar adiante sua ideia, mas agora sabemos que ela foi brilhante e era a chave da questão, conceituando aquilo a que hoje denominamos limite. Em 338 a.c., Filipe II, da Macedônia, submeteu o mundo grego a seu comando unificado. Esse monarca era grande admirador da cultura grega e, anos antes, já havia decidido educar seu filho, Alexandre, de acordo com ela. Assim, contratou Aristóteles, o maior gênio da Academia, o criador da Lógica, como tutor do rapaz por três anos. Também da Academia, Menecmo, o criador das seções cônicas, foi designado professor de Matemática de Alexandre. Em 336, com apenas 20 anos, Alexandre sucedeu-o no trono, disposto a realizar o sonho do pai: conquistar o Império Persa. Isso foi conseguido através de uma campanha memorável e, em 332 a.c., o Egito submeteu-se ao Macedônio que, no mesmo ano, ali fundou Alexandria. Décadas depois, aquela cidade veio a tornar-se o maior centro cultural da Terra, reunindo, no que hoje chamaríamos de Universidade, os melhores intelectos do mundo grego. E foi ali que, por volta de 300 a.c., floresceu um homem de cuja vida pouco sabemos, mas que nos legou uma das maiores obras-primas do espírito grego: Euclides, autor dos 13 livros dos Elementos. BONGIOVANNI, V. O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. Revista Eletrônica de Educação Matemática, n. 2.5, p , UFSC, Um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana é o chamado Teorema de Tales, cujo enunciado clássico é: Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais. Esse teorema que encontra a sua origem na resolução de problemas práticos envolvendo paralelismo e proporcionalidade está no cerne da relação entre o geométrico e o numérico. Ele tem um papel fundamental na teoria da semelhança e consequentemente na trigonometria onde justifica as definições de seno, co-seno e tangente de um ângulo. Na geometria espacial ele aparece no tratamento das secções de um sólido por um plano paralelo à base.

5 A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. Proclus nos diz: Tales primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia. Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método de ataque sendo em certos casos mais geral, em outros mais empíricos. Cada um desses resultados certamente deveria ser necessário para justificar ou resolver alguma situação prática. Encontramos em Proclus um provável motivo pelo qual Tales cita a última proposição (conhecido hoje como o caso ALA de congruência de triângulos). Proclus diz que Eudemo (320a.C), no seu livro História da Geometria atribui a Tales esse teorema para determinar a distância que um barco se encontra da costa. Podemos supor como Tales teria feito para medir a distância terra-barco. A partir de um instrumento (quadrante, duas hastes articuladas,...) Tales poderia ter medido o ângulo (Homem, barco, pé da torre). A seguir, sem mudar o ângulo, poderia ter girado o instrumento de meia-volta, pedindo a alguém que marcasse no chão do outro lado o ponto para o qual o instrumento estaria apontado. A igualdade de visões implicaria na igualdade das distâncias. Michel Serres comenta: A geometria resulta de um artifício, de um desvio, cujo caminho indireto permite o acesso àquilo que ultrapassa uma prática imediata. O artifício, aqui, consiste em produzir um modelo reduzido. Desenham-se os triângulos HTN e HTS para explicar e interpretar a realidade. O teorema ALA é utilizado para justificar que os triângulos são congruentes, e concluir que a medida TS conhecida é igual à medida TN desconhecida. Diz Serres medir o inacessível consiste em reproduzi-lo ou imitá-lo no acessível. Auguste Comte por sua vez escreve devemos considerar como suficientemente verificada a impossibilidade de determinar, pela medição direta, a maioria das grandezas que desejamos conhecer. É este fato de caráter geral que necessita da formação da ciência matemática. Pois ao renunciar, em quase todos os casos, à medição imediata das grandezas, o espírito humano teve de procurar determiná-las indiretamente, e foi assim que foi levado à criação das matemáticas. O historiador Plutarco (Século I D.C) dá um outro relato a respeito da medição da altura da pirâmide feita por Tales. Ele diz que...limitando-te a colocar o bastão no limite da sombra lançada pela pirâmide, gerando o raio de Sol tangente aos dois triângulos, demonstraste que a relação entre a primeira sombra e a segunda era a mesma que entre a pirâmide e o bastão. Baseado nesse relato pode-se representar a situação da seguinte maneira: Um grande conhecimento de Geometria foi usado para resolver uma questão prática. No momento em que a vara e sua sombra têm exatamente o mesmo tamanho, formam um triângulo retângulo e isósceles, semelhante a outro triângulo retângulo e isósceles formado pela pirâmide e por sua sombra. Por semelhança de triângulos, Tales deduziu que a altura da pirâmide é igual à sombra mais a metade da base. Uma simples vara, duas sombras e que magnífica ideia!

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