X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 NÚMEROS COMPLEXOS: DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS DISCENTES DE UMA ESCOLA DA REGIÃO METROPOLITANA DE BELÉM ACERCA DE ATIVIDADES ENVOLVENDO A FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Flávio Aurélio Siqueira Bastos Filho Universidade do Estado do Pará flavioaurelio16@hotmail.com Resumo: Este trabalho possui como base teórica as temáticas da Análise do Erro e da Resolução de Problemas, buscando estabelecer quais são as dificuldades apresentadas pelos alunos, de uma turma regular da 1ª série do Ensino Médio, de uma escola da região metropolitana de Belém acerca do conteúdo de números complexos, por meio de atividades envolvendo a sua forma algébrica. Desse modo, a presente pesquisa configurase como um estudo de caso, no qual a modalidade investigativa da abordagem é quantitativa. Para tal, foram aplicadas cinco atividades a esses discentes que são analisadas segundo os resultados obtidos, visando a identificação de tais dificuldades presentes nos protocolos dos estudantes investigados, a saber: dificuldades em relação à potenciação de números complexos e dificuldades em relação ao conceito de conjugado. Palavras-chave: Números complexos; Região metropolitana de Belém; Atividades. Introdução A forma algébrica de um número complexo, cuja notação é, possui um caráter abstrato. Por isso, muitas das vezes que estudantes, diante de atividades envolvendo este tópico do conteúdo de números complexos, sentem dificuldades em relação ao seu aprendizado. Contudo, antes de entrarmos mais profundamente nessa linha de raciocínio, vejamos primeiramente o que seria uma dificuldade de aprendizagem. Kirk (1962, p.263, tradução nossa) afirma que Uma dificuldade de aprendizagem consiste em um retardamento, desordem, ou desenvolvimento cadenciado em um ou mais processos da fala, linguagem, leitura, escrita, aritmética ou diferentes campos escolares, resultantes de uma desvantagem determinada por uma possível disfunção cerebral e / ou alteração emocional ou condutual. Não se trata do resultado de retardamento mental, deprivação sensorial ou fatores culturais e instrucionais. (tradução nossa) (KIRK, 1962, p.263, tradução nossa) 1

2 Seguindo esse pensamento e adentrando no âmbito escolar, García (1998, p.211) promove em sua obra uma conceitualização para as dificuldades de aprendizagem em Matemática: Trata-se de dificuldades significativas no desenvolvimento das habilidades relacionadas com a matemática (Semrud-Clikemann, 1992). Essas dificuldades não são ocasionadas pela deficiência mental, nem por escolarização escassa ou inadequada, nem por déficits visuais ou auditivos (Smith e Rivera, 1991). Apenas se classificam como tais se acontece uma alteração ou deterioração relevante dos rendimentos escolares ou da vida cotidiana (Keller e Sutton, 1991). (GARCÍA, 1998, p.211) Dessa forma, advém a importância desta investigação. Pois, ao determinarmos tais dificuldades apresentadas pelos alunos, por meio de atividades que envolvam a forma algébrica de um número complexo, torna-se possível estabelecer medidas com o intuito de cessar ou pelo menos minimizar esse problema, relacionado com a dificuldade de aprendizagem da matemática. Fundamentalmente, antes de solucionarmos a problemática pertinente à pesquisa, dada por quais são as dificuldades que os alunos apresentam acerca do conteúdo de números complexos, por meio de atividades envolvendo o tópico da forma algébrica?, partimos de duas hipóteses, que tratam das duas dificuldades que acreditamos ocorrer com maior frequência: a primeira diz respeito às dificuldades dos alunos em relação ao subtópico da interpretação geométrica dos números complexos; e a segunda trata das dificuldades dos mesmos em relação ao sub-tópico da potenciação de números complexos. É importante destacarmos, que neste estudo de caso, a justificativa do nosso objetivo, entendido como a investigação das dificuldades dos discentes por meio de atividades que envolvam tão somente a forma algébrica dos números complexos, é estabelecida uma vez que os indivíduos assistidos não realizam estudos de tópicos além deste escopo (como a forma trigonométrica dos números complexos, por exemplo), visto que atualmente o desenho curricular exigido a estes alunos limita-se a fazer análises acerca do conteúdo dos números complexos no que diz respeito apenas à sua forma algébrica. A seguir, desenvolvemos nosso trabalho em três seções, tais quais são: Referencial teórico, Procedimentos metodológicos, e Análise dos resultados. Sendo que a primeira trata de uma síntese dos elementos teóricos que embasam a presente pesquisa (no caso, as 2

3 temáticas da Análise do Erro e da Resolução de Problemas), destacando e analisando o pensamento de alguns autores. A segunda aborda o tipo de pesquisa aplicado neste, identifica o público-alvo investigado e o instrumento de coleta de dados utilizado. Quanto a terceira e última, esta aponta os resultados propriamente ditos através de uma tabela que relaciona o número de alunos que apresentam dificuldades com os sub-tópicos, do tópico forma algébrica de um número complexo. Posteriormente, ao final da discussão, estabelecemos algumas considerações acerca desta abordagem, assim como apresentamos como apêndice o instrumento de coleta de dados usado neste processo. Referencial teórico Para Pinto (2000, p.24) (...) os erros são bons indicadores de lacunas e falhas sistemáticas, e por essa razão devem proporcionar uma regulação competente. A autora ainda afirma que (...) o erro, quando submetido à reflexão, poderá desencadear um questionamento de todo o processo de ensino e transformar-se numa estratégia didática inovadora, pela possibilidade que oferece ao professor de ampliar seus conhecimentos e, com isso, melhorar seu ensino. (...) (PINTO, 2000, p.24) Partindo desse pensamento, acreditamos que ao analisarmos os erros cometidos pelos discentes, alvos desta pesquisa, identificamos consequentemente quais são suas dificuldades. Assim, chegaríamos a uma conclusão acerca da nossa problemática. Em adição, além de termos como embasamento teórico a temática da Análise do Erro, também inserimos tal análise dentro da temática da Resolução de Problemas pelo fato desta área de pesquisa proporcionar uma espécie de diagnóstico dos estudantes, uma vez que esse tipo de procedimento está inerente a generalizações de determinado conteúdo, possibilitando a avaliação dos alunos respectiva a tal conteúdo e indica possíveis erros. Para isso, tomamos como base a definição de Resolução de Problemas dada pelo norteamericano Kilpatrick: 3

4 (...) os problemas constantes no currículo são, na sua maioria muito directos e rotineiros. As seções nos testes normalizados denominadas resolução de problemas tendem a consistir em aplicações simples de conhecimentos factuais a situações problemáticas estereotipadas, bem estruturadas e bem ensaiadas. (...) (JEREMY KILPATRICK, 1991, apud PAULO ABRANTES, 1995, p.42) Procedimentos metodológicos O tipo de pesquisa aplicado foi de espécie quantitativa, abrangendo a investigação em campo (espaço físico da escola visitada); e o instrumento de coleta de dados utilizado foi uma lista de atividades, a qual foi aplicada em classe no dia 25 de fevereiro de 2010, com duração de cerca de uma hora (60 minutos). A seguir, no decorrer da discussão, identificamos o público-alvo desta pesquisa, bem como a lista de atividades aplicada ao mesmo. Alunos investigados O público-alvo desta pesquisa compreende uma amostra de 41 indivíduos, alunos de uma turma regular da 1ª série do Ensino Médio, de uma escola da região metropolitana de Belém, que efetuavam o estudo do conteúdo matemático de números complexos, no que diz respeito ao tópico da forma algébrica. Lista de atividades O instrumento de coleta de dados corresponde a uma lista de atividades composta por cinco questões discursivas, sendo as quatro primeiras adaptadas de testes de vestibulares brasileiros e a quinta e última adaptada de um livro texto. O assunto abordado nessas atividades contempla apenas o tópico da forma algébrica de um número complexo. A primeira atividade (adaptada do vestibular do Instituto Tecnológico da Aeronáutica ITA) tem como finalidade o reconhecimento das dificuldades dos discentes em relação à potenciação de números complexos. Já a segunda atividade (adaptada do vestibular da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro UNIRIO) possui a finalidade de reconhecer as dificuldades dos discentes em relação à interpretação 4

5 geométrica dos números complexos, às operações com números complexos e ao conceito de conjugado. Quanto à terceira atividade (adaptada do vestibular da Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRS), sua finalidade é traduzida pelo reconhecimento das dificuldades dos discentes em relação à interpretação geométrica dos números complexos e às operações com números complexos. Em relação à quarta atividade (adaptada do vestibular do Centro de Seleção de Candidatos ao Ensino Superior do Grande Rio CESGRANRIO), esta tem a finalidade de reconhecer as dificuldades dos discentes em relação às operações com números complexos, à potenciação de números complexos e à distinção entre a parte real e a parte imaginária de um número complexo. E por fim, a quinta e última atividade (adaptada do 6º volume da coleção Fundamentos de Matemática Elementar) tem como finalidade reconhecer as dificuldades dos discentes em relação à interpretação geométrica dos números complexos. Sendo assim, identificamos cinco sub-tópicos, do tópico forma algébrica de um número complexo, nas atividades aplicadas aos alunos. Estes cinco estão relacionados na próxima seção, na tabela 1. Análise dos resultados Após ser feita a análise dos protocolos, com base nos registros dos alunos, estruturamos a tabela abaixo que relaciona o número de alunos que possuem dificuldades com os cinco sub-tópicos, do tópico forma algébrica de um número complexo. Tabela 1 Sub-tópicos X Número de alunos SUB-TÓPICOS Nº DE ALUNOS COM DIFICULDADES 1. Potenciação Interpretação geométrica 9 3. Operações Conceito de conjugado Distinção entre parte real e parte imaginária 3 Fonte: Dados obtidos pelo próprio autor. 5

6 Note que pouco menos da metade dos alunos investigados possuem dificuldades em relação ao sub-tópico 1. Em segundo plano, aproximadamente 36% da amostra possuem dificuldades em relação sub-tópico 4. Considerando os dados da tabela 1, estruturamos um gráfico que compara o total de alunos investigados com o número de alunos com dificuldades por cada sub-tópico, facilitando assim o entendimento dos resultados obtidos com aplicação das atividades Nº de alunos com dificuldades por sub-tópico Total de alunos 0 sub-tópico 1 sub-tópico 2 sub-tópico 3 sub-tópico sub-tópico 4 5 Figura 1 Número de alunos com dificuldades em cada sub-tópico em comparação com o total de alunos investigados. Fonte: Tabela 1. Considerações finais Primeiramente, verificamos que as dificuldades mais freqüentes são aquelas relacionadas à potenciação de números complexos, seguida daquelas relacionadas ao conceito de conjugado. O que discorda, em parte, de nossas duas hipóteses de pesquisa. Além disso, é importante lembrarmos que nenhum dos 41 alunos investigados conseguiram resolver a lista de atividades de forma integral. Todos tentaram resolver no máximo 3 atividades. Assim, inferimos que tal fato foi ocasionado pela falta de tempo para solucionálas ou então pela não compreensão do enunciado de determinado problema. Em se tratando de possíveis temas para estudos posteriores, sugerimos pesquisas que abordem as dificuldades de aprendizagem em matemática, dando um tratamento mais psicológico para o objeto de pesquisa; outro tema interessante seria o de modelagem com números complexos, visando atribuir maior significado a este conteúdo matemático dentro do curso de Ensino Médio; entre outros. 6

7 Finalmente, queremos ressaltar que consideramos que o instrumento de coleta de dados utilizado, identificado como uma lista de atividades, foi o mais conveniente para este caso por conta do tempo de contato com o público-alvo (aproximadamente 60 minutos). Contudo, uma vez que tal experiência possuir um caráter processual seria mais adequado fazer-se o uso do instrumento entrevista, ou então uma mescla entre lista de atividades e entrevista, pois assim teríamos a possibilidade de conhecer melhor os indivíduos, objetos da pesquisa, bem como saber quais foram os motivos para eles cometerem equívocos ou não compreenderem o enunciado do problema. Referências ABRANTES, Paulo. Avaliação e educação matemática. Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula, (Série reflexões em educação matemática). GARCÍA, Jesus Nicasio. Manual de dificuldades de aprendizagem: linguagem, leitura, escrita e matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, KELLER, C.; SUTTON, J. P. Specific mathematics disorders. In: OBRZUT, J. E.; HYND, G. W. (Eds.). Neuropsychological foundations of learning disabilities: a hand book of issues, methods, and practice. New York: Academic Press, p KIRK, Samuel Alexander. Educating exceptional children. Boston: Houghton Mifflin, PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da matemática elementar. Campinas, SP: Papirus, (Série Prática Pedagógica). SEMRUD-CLIKEMAN, M.; HYND, G. W. Developmental arithmetic disorder. In: HOOPER, S. R.; HYND, G. W.; MATTISON, R. E. (Eds.). Developmental disorders: diagnostic criteria and clinical assessment. Hillsdale, NJ: Erlbaum, p SMITH, Deborah Deutsch; RIVERA, D. P. Mathematics. In: WONG, Bernice Y. L. (Ed.). Learning about learning disabilities. Orlando, FL: Academic Press, p

8 Apêndice 1. Sejam e números tais que:. Então, sabendo que o número complexo, calcule. 2. Sejam e números complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Pedese o produto de pelo conjugado de. 3. Considere a figura abaixo, onde e são números complexos. Sendo, pede-se o valor de. 4. Dados os números complexos, e, pede-se a parte real de. 5. Sabe-se que em geometria plana podemos combinar diversas figuras de várias maneiras, proporcionando novas formas geométricas. Partindo dessa idéia, imagine um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, que tem como um de seus vértices o afixo de. Pedem-se os números complexos que são representados pelos outros três vértices desse quadrado. 8