FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA

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1 1 FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA CAPÍTULO 03 1 ASPECTOS CONCEITUAIS Entende-se a Geodésia como a ciência que estuda a forma e as dimensões do planeta Terra, bem como a determinação do campo gravitacional e da superfície oceânica. Segundo Webster, A geodésia é o ramo da matemática aplicada que deter - mina a exata posição de pontos, figuras e áreas de grandes porções da superfície terrestre. Também a forma e o tamanho da Terra, além das variações do seu campo gravitacional. Esta definição revela a complexidade que o estudo completo da Ciência Geodésica apresenta. 1.2 Objetivos da Geodésia. O objetivo primordial da Geodésia é a determinação da forma e das dimensões da Terra. Em decorrência deste objetivo, o estudo da Geodésia subdivide-se em dois capítulos da Geodésia: Geodésia Global ou Geral que se encarrega da mensuração da forma dimensões da Terra; e das Geodésia Aplicada que se encarrega da determinação precisa da posição de pontos sobre a superfície terrestre, nas áreas continentais e nas áreas oceânicas, para mapeamento e outras finalidades. Para realizar os seus objetivos, a Geodésia vale-se de operações geométricas sobre a superfície terrestre, mensurando ângulos e distâncias, associadas às determinações astronômicas. Realiza também medições gravimétricas para detalhar o campo de gravidade do orbe terrestre, podendo realizar o rastreio da superfície terrestre por meio de satélites artificiais. 2 FORMAS DA TERRA 2.1. Esboço Histórico Ao longo da história da humanidade a Terra foi imaginada possui diversas formas geométricas, descritas sumariamente a seguir as diversas concepções Homero concebeu que a Terra tinha uma forma de disco achatado.

2 2 Pitágoras de Samos, no Século VI a.c., e Aristóteles, no Século IV a.c., descreveram a Terra com possuindo a forma esférica; Anaximenes concebia a Terra como tendo uma forma geométrica retangular; Eratóstenes pensava na forma esférica e realizou medidas objetivas para a determinação de suas dimensões; Isaac Newton, no Século XVII, considerou-a elipsoidal; Gauss, no Século XVIII, concluiu que o Geóide seria a melhor definição geométrica da Terra. A adoção de uma forma geométrica para o planeta Terra depende dos fins práticos a que se propõe; para a Topografia adota-se a geometria plana, para cálculos astronômicos recorre-se a forma esférica., para cálculos mais rigorosos, firma-se o modelo geométrico-matemático tipo elipsoidal de revolução. 2.2 A forma física e real da Terra A superfície terrestre é bastante irregular, possuindo a variação de seu relevo entre o ponto culminante representado pelo pico do Monte Everest, com cerca de metros de altitude, e a maior depressão, situada no Oceano Pacífico, com cerca de metros de profundidade em relação ao nível do mar. Sobre a superfície física da Terra (real, também denominada de topográfica) são desenvolvidas as operações de mensuração, sejam geodésicas ou topográficas. As operações de mensuração, angulares e lineares, no campo, devem ser executadas para a obtenção de coordenadas posicionais, identificadoras de um conjunto de pontos descritores materializados na superfície territorial investigada, as quais serão caracterizadas devidamente por transformações de natureza matemática em função da adoção do modelo geométrico idealizado para representar a Terra. 2.3 Formas idealizadas para representar a Terra O MODELO GEÓIDAL O geóide é uma forma geométrica idealizada para a Terra, a qual não possui até então definições geométricas com identidade matemática (formulação analítica), sendo definida pela superfície média dos mares, suposta em repouso e penetrando por baixo dos continentes. O sistema de referencia é a superfície equipotencial, também denominada de superfície de nível, que se caracteriza por apresentar o mesmo potencial em todos os seus pontos. Devido as irregularidades na distribuição das massas do planeta, a forma Geoidal é complexa e é observada por meio de medições gravimétricas, por toda a superfície. Tendo o planeta ¾ partes de água, fazse necessário às observações dos satélites para auxiliar na determinação do Geóide. A

3 3 Figura 1 ilustra a Carta Geoidal do Mundo, obtida a partir do modelo gravitacional da NASA, com as alturas geoidais em metros. A Figura 2 representa, por sua vez, a Carta Geoidal do Brasil, adaptada por Blitzkow, 1995.

4 4 MODELO ESFEROIDAL A partir da visualização da projeção da Terra sobre a superfície da Lua, no fenômeno de eclipse solar, e das observações da chegada de navios nos portos, os gregos concluíram pela forma esferoidal para o planeta. A partir de observações simples e cálculos aproximados, o grego Eratóstenes chegou à conclusão de que o raio da esfera terrestre teria, aproximadamente, valor igual a km. Este valor é bem próximo daquele atualmente aceito, como sendo igual a km. A Figura 3 ilustra o modelo esférico idealizado para representar a Terra. Mais tarde outros métodos foram empregados para se obter o raio da esfera terrestre, destacando-se, entre outros, Posidônio e Ptolomeu. R T 0 Figura 3: Modelo esferoidal

5 5 MODELO ELIPSOIDAL Com o advento das modernas técnicas de mensuração e modernização do seu instrumental, a Ciência Geodésica alcançou um grande avanço no Século XVII com o francês Picard, que conseguiu medir o comprimento de um arco de meridiano, cujo trabalho foi continuado por J. cassini, estendendo a medida do comprimento do arco de meridiano no sentido Norte, em direção à Dunquerque, e para o Sul, até a divisa com a Espanha. Este trabalho de mensuração geodésica resultou em se descobrir que o comprimento do arco é maior para o Sul, indicando a forma de um elipsóide para a Terra, com seu eixo de rotação maior que o eixo equatorial. Porém, o físico-matemático Isaac Newton, no mesmo Século XVII, contestou tal fato, afirmando que sendo a Terra composta de três quarto partes de água, a massa fluída, devido à rotação da Terra, tenderia a alongar-se no plano equatorial e, conseqüentemente, achatar-se nos pólos, resultando que o eixo de rotação ser menor do que o eixo equatorial. A contribuição de Newton foi baseada em sua Teoria da Gravitação, estabelecida sobre a lei da gravidade terrestre. A Figura 4 indica o modelo elipsóidico adotado para representar a forma geométrica do planeta. Figura 04: Modelo elipsoidal terrestre b a As duas teorias deram margem à controvérsia entre os cientistas. A Academia Francesa de Ciências, objetivando dirimir dúvidas, organizou uma expedição ao Equador e a Lapônia para realizar a mensuração de arcos de meridiano. As medições provaram que o planeta Terra era achatado nos pólos, conforme a Teoria desenvolvida por Isaac Newton. Estando estabelecida a forma geométrica para a Terra, vários geodesistas procuraram estabelecer a melhor proporção para o elipsóide de revolução. No Quadro 1, apresentado adiante, tem-se os principais resultados obtidos para caracterizar os parâmetros do elipsóide. Os parâmetros explicitados são: a semi-eixo maior, o semi-eixo menor e o achatamento.

6 6 Quadro 1: Parâmetros do elipsóide de revolução determinados no decorrer do tempo. A Figura 5 ilustra a expedição realizada no Equador, para mensuração do comprimento de arco de meridiano, entre os anos de 1735 e No ano de 1967, a União Internacional de Geodésia e Geofísica, em vista de trabalhos mais recentes, recomendou a adoção do denominado Elipsóide de Referência Sendo então adotados os parâmetros: a = 6.378,160 km α = 1/298,25

7 7 Com o desenvolvimento da tecnologia de Posicionamento Global por Satélites Sistema GPS, atualmente justifica-se a adoção de um sistema referencial único de determinação de coordenadas; desta forma, alguns sistemas de referencia geodésico do elipsóide surgiram, conforme o Quadro 2, dado adiante, apresenta os parâmetros elipsoidais..

8 8 De maneira sintética, a Figura 6 demonstra comparativamente os três modelos idealizados para representar a Terra. NORMAL AO ELIPSOIDE DESVIO DAS NORMAIS NORMAL AO GEOIDE SUPERFICIE REAL (TOPOGRÁFICA) SUPERFICIE GEOIDAL SUPERFICIE SUPERFICIE ELIPSOIDICA Figura 6: Modelos geométricos e matemáticos idealizados para representar a forma da Terra, utilizados para a caracterização de pontos localizados na superfície terrestre. 3 APLICAÇÕES DA GEODÉSIA Segundo Peter Vanicëk, a Geodésia tem sua aplicação em: Produção de Mapas Na distribuição e implantação de pontos de controle, tanto horizontais como verticais, na superfície terrestre, estabelecendo uma rede de vértices geodésicos georeferenciados que servirão de apoio para as atividades de mapeamento cartográfico;

9 9 Planejamento urbano A necessidade de georeferenciamento de pontos de controle geodésico, a serem utilizados na identificação e localização de vias urbanas, logradouros públicos, etc, fomentando o desenvolvimento urbano. Projetos de Obras Engenharia Grandes estruturas, tais como barragens, pontes e grandes edifícios necessitam dispor de plantas para uma perfeita localização predeterminada. No caso de barragens e irrigações, a forma da superfície eqüipotencial deve ser conhecida. A determinação do movimento e a forma da superfície eqüipotencial são função da Geodésia. Ecologia O estudo do efeito da ação do homem no meio ambiente. Atividades tais como movimento de terra, água subterrânea, extração de petróleo, possuem os efeitos monitorados mediante a Geodésia. Hidrologia O posicionamento e os mapas são fornecidos pela Geodésia, contendo as informações relativas às bacias hidráulicas, etc. Outras aplicações Demarcação de limites territoriais, cadastro imobiliários e fundiários, mapeamentos para a produção da Cartográfica Temática, etc. 4 SISTEMAS GEODÉSICOS Um Sistema Geodésico se caracteriza pela definição de um elipsóide de referência, de um datum e do desvio da vertical do lugar. O Datum é fica determinado pelos parâmetros iniciais: coordenadas geodésicas de um ponto georeferenciado (que pode ser um vértice de um triângulo), uma base geodésica (lado do triangulo) e azimute desta base. As coordenadas fixam o ponto no elipsóide de referência. A base, por sua vez, fornece a escala, enquanto que o azimute orienta o sistema. A vertical, determinada pela direção do fio de prumo sobre a superfície física da Terra, pode não coincidir com a normal ao elipsóide. Haverá um desvio, denominado de desvio da vertical, conforme ilustra a Figura 7. Ressalta-se também, que o centro do elipsóide de referência pode não coincidir com o centro de massa da Terra.

10 10 Um elipsóide de referência pode ser definido ou arbitrado. Observando-se a Figura 7 poder-se-á identificar as superfícies de referência a ser adotada pelos geodesistas, podendo ser o Esferóide ou o Elipsóide de Revolução para realizar os cálculos geodésicos. que. A forma geométrica do elipsóide de revolução é a que mais se aproxima do Geóide, sendo a que oferece resultados mais exatos. Na América do Norte e Central se usa o Elipsóide de Clark, enquanto que na América do Sul o Elipsóide de Hayford ainda é usado. No Brasil, ainda existem mapas com base neste elipsóide. 5 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB 5.1 Caracterização do Sistema. O Elipsóide de Referência Internacional de 1967 define a forma geométrico-matemática do planeta Terra, adotado no Brasil desde 1969 (SAD 69). A altimetria encontra-se referenciada à superfície eqüipotencial que contem o nível médio do mar na Baia de Imbituba, em Santa Catarina (a superfície média do mar é definida a partir de observações da variação do nível do mar no marégrafo ali instalado). É da responsabilidade do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE fixar as diretrizes e bases da Cartografia Brasileira e dar outras providências e, para tal, estabelecer um sistema planialtimétrico único de pontos geodésicos de controle, materializados no terreno para servir de base ao desenvolvimento de trabalhos de natureza geodésica e cartográfica. A Figura 8 ilustra a placa de bronze que é colocada numa base de concreto, identificando o denominado marco geodésico, implantado no território brasileiro. Figura 8: Referência de nível do marco geodésico pertencente ao SGB

11 Especificações Gerais do SGB Parâmetros do Elipsóide Forma Geométrica da Terra Semi-eixo maior (a) = ,000m Achatamento (f) = 1/298,25 Orientação: Geocêntrica - Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra. Plano meridiano de Greenwich como inicio das longitu des. Topocêntrica - Vértice Chuá, da cadeia de triangulação do paralelo 20º Sul. Sendo: ϕ = 19º 45 41,6527 Sul (Latitude) λ = 48º 06 04,0639 WGr. (Longitude) Azimute (α) = 271º 30 04,05 SWNE, para o Vértice UBERABA. Desvio da vertical (η) = 3,59 Um sistema geodésico, assim definido, é denominado de regional, tendo em vista que o centro do elipsóide de referência não coincide com o centro de massa da Terra, sendo o elipsóide ajustado a uma rede geodésica de pontos, tendo no Vértice Chuá seu vínculo básico (datum planimétrico). 7 SISTEMAS DE COORDENADAS EM GEODÉSIA As posições dos pontos na superfície terrestre são definidas por meio de linhas de referência, denominadas de coordenadas, que ao se cruzarem em ângulos estabelecidos, os definem naquele lugar. Os principais sistemas de coordenadas são três: coordenadas esféricas, coordenadas retangulares e coordenadas polares. Em Cartografia trabalha-se com os seguintes sistemas de coordenadas: Coordenadas Geodésicas, Coordenadas Cartesianas, Coordenadas Plano-retangulares - UTM 7.1 Sistema Elipsoidal de Coordenadas (Geodésico) Para que o posicionamento de um ponto sobre o Elipsóide de Referência seja determinado de maneira única, foram estabelecidas linhas de referência que permitem que isto possa ser efetivado. As Figuras 9 e 10, mostram a superfície de referência elipsoidal, as linhas de referência desenhadas sobre ela e a identificação da posição de um ponto situado sobre a superfície terrestre mediante suas coordenadas geodésicas.

12 12 As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são denominadas de meridiano,s enquanto que as linhas desenhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas de paralelos Estas linhas formam um sistema denominado de Sistema de Coordenadas Geodésico, cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que passa por Greenwich (na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coordenadas definidas do sistema são denominadas de latitudes e longitudes geodésicas. Projeção de um ponto sobre a superfície de referência elipsoidal Considera-se, simultaneamente, a latitude e a longitude de um ponto na superfície terrestre. A cada latitude corresponde um paralelo e a cada longitude, um meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a posição do ponto P 1 sobre a superfície de referência. Porém, o ponto P 1 é na verdade a projeção do ponto P sobre a superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-se sobre a superfície real (topográfica). A normal PP 1 Figura 9: Superfície de referência geodésica P H P λ Figura 10: Apresenta a longitude de um ponto P situado sobre a superfície de referên cia (Longitude Oeste). λ MERIDIANO DE GREENWICH

13 13 A Figura 11 ilustra mais claramente o sistema de coordenadas geodésicas ORIGEM Figura 11: Meridiano e Paralelos Geodésicos As coordenadas geodésicas: aspectos conceituais A Latitude ϕ de um ponto situado na superfície terrestre é o ângulo que formado pela normal à superfície de projeção (N), nesse ponto, com o plano que contém a linha do Equador, como mostra a Figura 12: a b D N A Figura 12: representa a elipse meridiana contendo a latitude de um ponto A.e o respectivo ângulo da nor ϕ mal AD com o semi-eixo maior O LINHA DO EQUADOR

14 14 As latitudes são referenciadas a partir do Equador, de 0 a 90, no Hemisfério Norte (positivas), e de 0 a 90 no Hemisfério Sul (negativas), seguida da indicação se é Norte (N) ou Sul (S). A longitude λ de um ponto da superfície terrestre é o ângulo diedro que forma o plano meridiano que passa pelo ponto com o plano que passa pelo meridiano de Greenwich. As longitudes são referenciadas a partir de Greenwich, de 0 a 180, na direção Leste, (positivas) ou na direção Oeste.(negativas). A Figura 10 mostra graficamente o definido. A Longitude e a Latitude podem ser aplicadas a um sistema de coordenadas relacionadas ao posicionamento de qualquer ponto situado na superfície dà Terra. Admite-se que a partir de 0º de latitude e 0º de longitude, existam os quadrantes NE, SE, SW e NW. O conjunto de linhas meridianos e paralelos forma a rede de linhas imaginárias ao redor do globo terrestre, constituindo as coordenadas geográficas (Esferóide)/geodésicas (Elipsóide). Essas coordenadas também podem ser expressas em metros. No Equador esses arcos podem medir m de comprimento, na direção leste/oeste. À medida que se afasta par o norte ou para o sul do Equador, o comprimento do arco (C) pode ser calculado, em metros, utilizando a seguinte expressão: ϕ Na Tabela 1, apresentada a seguir, tem-se os comprimentos dos arcos de 1º de meridiano e 1º de paralelo, nas diferentes latitudes. TABELA 1: Comprimento de arcos de meridianos e de Paralelos

15 Geometria do elipsóide Como afirmado, o elipsóide é um dos sólidos que melhor se adapta à superfície física da Terra, por ter uma geometria simples de se calcular, tornando-se a figura ideal para mapeamentos cartográficos. Este sólido que é gerado pela rotação de uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor (B), e, por se tratar de uma figura que possui parâmetros conhecidos, poder-s-á determinar matematicamente a posição relativa de pontos projetados sobre a sua superfície. A Figura 14, permite observar os parâmetros geométricos da elipse meridiana. B b A A F O F a a b B Figura 13: Elipse meridiana e seus parâmetros geométricos Na Figura 13, o segmento AA é o eixo maior da elipse, que corresponde em projeção sobre o plano vertical com a linha do Equador. O eixo menor BB, de valor igual a duas vezes o semi-eixo menor (2b), constitui-se num referencial em torno do qual a elipse meridiana sofre o movimento rotacional, gerando o elipsóide de revolução, simulando o movimento de rotação da Terra. Dois são os parâmetros geométricos que determinam a elipse: o semi-eixo maior (a) e o semi-eixo menor (b). Geralmente substituí-se o semi-eixo menor (b) pelos parâmetros geométricos denominados de achatamento, 1 a excentricidade e 2 a excentricidade, todos extraídos dedutivamente a partir da geometria da elipse meridiana: Achatamento (f) = (a b) / a Excentricidades OF 1 a excentricidade (e) = = AO (a ² - b ² ) ½ a

16 16 OF 2 a excentricidade (e ) = = OB ( a ² - b ² ) ½ b 7.2 Sistema de Coordenadas Cartesiano Este sistema de coordenadas possui a sua origem no centro de massa da Terra. Os eixos cartesianos X e Y pertencem ao plano do Equador, enquanto que o eixo Z coincide com o eixo de rotação da Terra. O ponto P projetado sobre a superfície de referência elipsoidal ficará identificado cartesianamente pelas coordenadas: P(X P,Y P,Z P ). A Figura 14 mostra a posição do sistema em relação ao elipsóide de referência. Meridiano de Greenwich Z!P X λ λ ϕ Yp P Zp Xp Y Figura 14:Sistema de coordenadas cartesianas Devido à facilidade de programação este sistema é muito usado em procedimentos computacionais informatizados (softwares). As relações entre os dois sistemas de coordenadas (cartesiano e elipsóidico) são obtidas pelas seguintes expressões: Transformação de coordenadas geodésicas (ϕ,λ, h) para cartesianas (X, Y, Z) X = (N + h)xcos(ϕ)xcos(λ) Y = (N + h)xcos(ϕ)xsen(λ) Z = [(1 e 2 )x(n + h]xsen(ϕ)

17 17 Transformação de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para geodésicas (ϕ,λ, h) tan(λ) = Y/X tan(ϕ) = (Z + e 2 xnxsen(ϕ))/(x 2 + Y 2 ) h = Xxsec(ϕ)xsec(λ) V = Yxsec(ϕ)xcossec(λ) V V = a/ (1 e 2 xsen(ϕ)) 1/2 onde,: a : semi-eixo maior b : semi-eixo menor h : altitude elipsoidal ϕ : Latitude geodésica λ : Longitude geodésica e : excentricidade V : raio de curvatura da vertical principal Fundamentos para a obtenção das coordenadas cartesianas Se seccionar-se o elipsóide perpendicularmente ao Equador, de modo que contenha o eixo menor (b), ter-se-á obtido o meridiano máximo, conforme as Figuras 13 e 15, esta apresentada a seguir: Z P x b M ( x, z ) O Q a N D Q z X P H Grande Normal Figura 15: Meridiano máximo

18 18 Estas figuras máximas de meridianos, sendo o sólido achatado nos pólos, são definida pela equação cônica da elipse: X Y Z + + a a b " = 1 A partir desta equação poder-se-á obter os parâmetros geométricos do elipsóide, tais como: Excentricidade do elipsóide (e) o 1 a excentricidade o 2 a excentricidade; e = e = ( a " b " ) a ( a " - b " ) b Eixo menor (b) b = a - (f x a ) Grande Normal (N) É uma das seções normais principais que passa por um determinado ponto do elipsóide. É o segmento de reta (MH), perpendicular ao plano tangente ao M sobre a superfície curva no elipsóide. Sua aplicação é básica para o cálculo do raio médio de uma determinada região do trabalho geodésico. N = a (1- e " sen "ϕ# Raio de curvatura da secção meridiana (M) Dentre as secções normais que passam pelo mesmo ponto no elipsóide, o raio de curvatura é mais uma informação dentre as principais. É o segmento de reta correspondente ao raio de uma secção de um plano circular coincidente com o plano da seção elipsóidica.no ponto considerado. Sua aplicação é no cálculo do raio médio naquela secção meridiana.

19 19 a ( 1 e " M = ( 1- e " sen " (ϕ) ) 3/2 Raio médio (Rº) Rº = (MN) 8 EXERCÍCIOS SOBRE OS FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA Elaborar um quadro contendo os parâmetros geométricos do elipsóide de referência correspondentes aos sistemas geodésicos de Hayforf, Internacional, SAD 69 e WGS 84; Quais as medições geodésicas que são executadas para caracterizar a forma geoidal? O quê entende-se por desvio da vertical do lugar? Ilustrar sua resposta com o auxílio de um desenho. Qual a utilidade prática, no campo de atuação da Engenharia Civil, do modelo Geóide para representar a forma geométrica do planeta Terra? Que significa o termo altura geoidal e qual a importância da sua determinação para alcançar os objetivos da Geodésia? Explicar, de maneira clara e sucinta, cada um dos parâmetros do Sistema Geodésico Brasileiro SBG. Qual o significado dos termos Latitude e Longitude? Caso julgue necessário, ilustrar sua resposta com um desenho. O Sistema de Coordenadas Geodésicas é o mesmo que o Sistema de Coordenadas Geográficas? Explicar. A expressão C (m) = xcos(ϕ $ % & ' (% % ) * +, ' -. ) / * Dois parâmetros geométricos caracterizam uma elipse. A partir destes dois elementos geométricos deduza e explique sucintamente os seguintes termos:

20 20 o Achatamento o Semidistância focal o 1 a excentricidade o 2 a excentricidade Utilizando os parâmetros do Elipsóide de Referência de Hayford, solicita-se determinar os valores numéricos correspondentes aos elementos seguintes: o Achatamento o Semi-eixo menor o Semidistância focal o Excentricidades o Grande Normal (N), para a Latitude 13º S Solicita-se determinar os valores numéricos relativos aos parâmetros elipsóidicos M, N e Rº, a partir do Elipsóide de Referência SAD 69, referidos ao ponto P, cuja Latitude é igual a 38º28 19,8610. Determinar os valores das coordenadas cartesianas correspondentes ao ponto geodésico localizado sobre a superfície terrestre, cujas coordenadas geodésicas com referência ao SAD 59 valem: Latitude Sul (ϕ = 19º26 31,062 Longitude Oeste (λ) = 44º12 58,206 Altura geoidal (h) = 801,97 m