Função do 2 grau. Módulo 2 Unidade 6. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática 67

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1 Módulo Unidade 6 Função do grau Para início de conversa... A função é um grande instrumento de modelagem de fenômenos físicos e situações cotidianas como foi visto em unidades anteriores. Um tipo de função muito usada é a função do grau com a qual trabalharemos nesta unidade. O gráfico desta função é uma parábola que pode ser vista em algumas situações cotidianas e em alguns objetos. Legenda: Em muitos movimentos da ginástica de solo, o centro de massa do atleta descreve uma trajetória parabólica. Legenda: Em vários lances de uma partida de futebol, a trajetória do movimento da bola é uma parábola. Matemática e suas Tecnologias Matemática 67

2 Legenda: A antena parabólica possui um formato de um paraboloide de revolução, este obtido pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo. Parábola É o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo F (foco) é igual à distância à reta L (diretriz). Como mostra a figura a seguir Na figura acima, temos que os pontos P 1, P e P 3 da parábola, por definição, são tais que P 1 F = P 1 Q 1, P F = P Q e P 3 F = P 3 Q 3. Objetivos de aprendizagem Consolidar conhecimentos obtidos no Ensino Fundamental II, como resolver equações do grau. Conceituar função do grau. Determinar a lei de formação de uma função do grau. Determinar a imagem de elementos do domínio de uma função do grau Utilizar a função do grau para resolver problemas relacionados à Física Avaliar proposta de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. 68 Módulo Unidade 6

3 Seção 1 Modelando um problema É importante para uma indústria, empresa, fábrica etc. saber modelar alguns problemas que lhes informem sobre custo mínimo, receita máxima, lucro máximo, formato de objetos que devem ser produzidos, dentre outras questões. Mostraremos um exemplo de uma situação-problema em que deveremos determinar uma função que represente a área de algo a ser calculado. Problema: Marlise possui uma fábrica que produz molduras para várias lojas. Após uma análise, descobriu-se que para utilizar o máximo das ripas de madeira, sem ter cortes desnecessários, era melhor fazer quadros de formatos quadrados. Ela precisa dessas ripas para fazer molduras para quadros de medidas iguais a: 10x10 cm, 15x15 cm, 0x0 cm, 5x5 cm, 30x30 cm e 35x35 cm. Além disso, ela deseja que as molduras tenham cm de largura, ou seja, quer que as ripas de madeira tenham cm de largura. Quais devem ser os comprimentos destas ripas? Após alguns cálculos, Marlise chegou a seguinte conclusão: As ripas de madeira devem ter os seguintes comprimentos: 50 cm, 70 cm, 90 cm, 110 cm, 130 cm e 150 cm, respectivamente. Mas como Marlise chegou a esta conclusão? Ficou curioso? Resolveremos este problema mais tarde, antes precisamos trabalhar alguns conceitos importantes. Seção Revendo equações do grau É importante lembrarmos como se determinam as raízes de uma equação do grau, ou seja, uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a 0. Está confuso com tantas letras? Vamos dar um exemplo, para você entender. Geralmente, usamos a fórmula de determinação das raízes de uma equação do grau, conhecida pelo nome de Fórmula b ± de Bhaskara: x =, onde = b² 4ac. a Exemplo.1: x² 8 x+ 15 = 0 Como a= 1, b= 8 e c = 15 e = = 4, substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos: 8± 4 8± x = = 1, ou seja, as raízes são x 1 = 5 e x = 3. Matemática e suas Tecnologias Matemática 69

4 Exemplo.: x² + 3x+ 1= 0 Como a= 1, b= 3 e c = 1 e = = 4, substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara, temos: 3± 5 3± x = =, ou seja, as raízes são x1 = e x =. 1 No entanto, algumas equações do grau são da forma incompleta, ou seja, com o coeficiente b = 0 ou o coeficiente c = 0. Neste caso, podemos resolver estas equações sem utilizar a fórmula descrita anteriormente. Vejamos alguns exemplos: Exemplo.3: x² + 3x+ 1= 0 Colocando em evidência, temos: x( x 5) = 0 Repare que conseguimos reescrever o primeiro membro como produto de dois termos (o termo x está multiplicando o termo x - 5 ). Como este produto é igual a zero, isto significa que o 1 termo é zero ou o termo é zero. Assim temos: x = 0 ou x - 5 = 0. Logo, as raízes são x 1 = 0 e x = 5. Observação: Devemos tomar muito cuidado ao resolver esta equação, pois não podemos dividir os dois membros por x( cortar o x nos dois termos ), o que resultaria na equação x - 5 = 0 e teríamos como raiz apenas x = 5. O erro está ao dividir os dois lados por x, estamos assim dividindo por zero (já que zero é uma das soluções) o que não é possível. Exemplo.4: x² 4= 0 Notemos que neste caso o que queremos descobrir é um número x, em que seu quadrado menos quatro unidades é igual a zero. Primeiro qual é o número x que subtraído de quatro unidades é igual a zero. Este número é quatro, ou seja, x ² = 4. Agora devemos encontrar o número x que elevado ao quadrado é igual a quatro. Temos duas possibilidades para x, são elas: x 1 = e x =. Isto que fizemos é o mesmo que passarmos o 4 para o outro lado, trocando de sinal : x ² = 4 e portanto x = ±, ou seja, chegamos às mesmas raízes x 1 = e x =. Observação: nesta última passagem do exemplo ( x ² = 4 e portanto x = ± ), é necessário tomarmos muito cuidado, pois alguns pensam que devemos tirar raiz quadrada dos dois lados da igualdade e assim obter x² = x e 4 = ±, vamos analisar estas igualdades. A primeira igualdade x² = x nem sempre será verdadeira (na Matemática, dizemos que esta igualdade é falsa, pois não é verdadeira para TODOS os valores de x), para isto tomemos x = 8, assim x² = 64 e portanto x² = 64 = 8 = ( 8) = x, ou seja, acabamos de mostrar que a raiz quadrada do quadrado de um número x nem sempre é igual a este número x, como neste caso, cujo resultado foi x. 70 Módulo Unidade 6

5 E a segunda igualdade: 4 = ± é falsa, pois a raiz quadrada de um número positivo, por definição, é sempre um número não negativo. Portanto 4 =. Aqui, vale a pena explicar uma grande dúvida dos alunos. Alguns teriam a seguinte dúvida: mas quando eu resolvo uma equação x² = 4 eu obtenho x = ±. A solução está correta, mas isto ocorre não pelo fato de 4 = ±, mas pelo fato de termos de determinar um número x que elevado ao quadrado dá 4, como sabemos que um número (positivo ou negativo), elevado ao quadrado é sempre igual a um número positivo, então podemos afirmar que os números 4 e 4 fazem parte da solução da equação, pois substituindo em x temos ( 4) = 4 e ( ) 4 = 4. Como 4 =, a solução é x = e x = -. Resumindo, podemos resolver a equação x² = 4 da seguinte maneira x = ± 4, logo x = ±. Vejamos mais alguns exemplos de equações em que não precisamos usar a Fórmula de Bhaskara: Exemplo.5: ( x 5)² = (x 3)² Uma pessoa que olhasse apressadamente para esta equação, desenvolveria a diferença de dois quadrados nos dois lados da equação. Essa resolução está correta. No entanto, se olharmos para o problema com um pouco mais de calma, poderemos fazê-lo de um jeito mais eficiente que resultaria em menos contas. Vamos ver como? Fazendo assim: x² 10 x+ 5 = 4 x² 1x+ 9 Depois iria reduzir os termos semelhantes: 3 x² x 16 = 0 E resolveria esta equação, usando a Fórmula de Bhaskara: Como a= 3, b= e c = 16 e = ( 16) = 196 ; então, ± 196 ± 14 x = =, isto é, as raízes são x 1 = e 3 x = No entanto, não precisamos de fórmula para resolver esta equação, para isto devemos responder à seguinte pergunta: Qual é o número (x - 5 ) que elevado ao quadrado é igual ao quadrado do número (x - 3)? Para responder a esta pergunta, é importante entendermos quando dois números quadrados são iguais. Veja alguns exemplos: ()² = ( )², pois tanto o quadrado de - quanto o quadrado de são iguais a 4. E ()² = ()², pois é o mesmo número que está elevado ao quadrado. De maneira geral, os quadrados de dois números são iguais, quando estes dois números são iguais ou quando estes números são simétricos. Assim para resolver a equação ( x - 5) = ( x - 3) temos de contar com as duas possibilidades: 1ª possibilidade: os números serem iguais x - 5 = x - 3 Matemática e suas Tecnologias Matemática 71

6 Resolvendo, temos x = - ª possibilidade: os números serem simétricos x - 5 = -(x - 3 ) 8 Resolvendo, temos x = 3 8 Concluímos que as raízes desta equação são x 1 = e x =. 3 Observação: Alguém poderia tentar tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação, mas já vimos que x² é falso. Fazendo desta forma (errada) encontraríamos x - 5 = x - 3, o que resulta em x = -. Ou seja, encontraríamos apenas 1 das raízes. Exemplo.6: ( x - 3 ) ( x - 5 ) = 0 Repare que se desenvolvermos o quadrado da diferença de dois termos e depois aplicarmos a distributiva, isto resultaria em uma equação de 3 grau, sendo impossível resolver pela Fórmula de Bhaskara. Assim devemos resolver, utilizando o mesmo raciocínio empregado no Exemplo.3, isto é, o produto de dois números é zero, quando um dos fatores é igual a zero. Assim, temos duas possibilidades: 1ª possibilidade (x - 3) = 0 O único número que elevado ao quadrado dá zero é o próprio zero. Ou seja: x - 3 = 0 E uma das raízes é x = 3 ª possibilidade: x - 5 = 0 A outra raiz é x = 5. Exemplo.7: ( 3x - 5 ) = 36 Neste caso, não precisamos desenvolver o produto notável. Temos de entender que queremos calcular um número que elevado ao quadrado dê 36. Temos duas possibilidades, esse número é 6 ou 6: 3x - 5 = 6 ou 3x - 5 = x = 3 Logo, as raízes são: 1 x = 3 11 x = e 1 x =. 3 3 Agora é sua vez! Tente resolver os exercícios a seguir. = x 7 Módulo Unidade 6

7 Atividade 1: Resolva as equações: a) (x 4)² = (7x+ 17)² g) 4 x² 5 = 0 b) x² 3x 0 5x + = 9 = h) ( ) c) ( x 7)(3x+ 6)² = 0 i) x² + 6x+ 9= 0 d) x² + 4x+ 1= 0 j) x( x+ 3)(x 3)² = 0 e) ( ) 7 x = 5 l) 3 x ² + 1 = 0 f) x² 6 x+ 10 = 0 m) ( x+ 5)²(3x 4)² = 0 Seção 3 Fórmulas de função do grau no cotidiano No campeonato espanhol, 0 clubes enfrentam-se em turno e returno, ou seja, todos jogam contra todos em dois turnos. Você sabe quantos jogos são realizados neste campeonato? Para respondermos a esta pergunta, podemos pensar da seguinte maneira: sejam C1, C,..., C19 e C0 os clubes participantes, para cada par de letras temos 1 jogo. Por exemplo, C1C representa o jogo entre estes dois clubes em que o C1 está jogando em casa e C é o desafiante. Já CC1 significa que neste jogo C1 é o visitante e C é o clube da casa. Assim, para determinar o número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem será o time desafiante. Para o time da casa, temos 0 escolhas possíveis, escolhido o time da casa agora temos de escolher o time visitante, o que podemos fazer de 19 maneiras. Logo, o total de jogos é igual a 0 x 19 = 380. Matemática e suas Tecnologias Matemática 73

8 E se quisermos calcular o número de jogos y de um campeonato com x clubes em que todos se enfrentam em dois turnos, de que forma podemos fazer isto? Usaremos o mesmo método utilizado no campeonato espanhol. Para determinar o número de jogos, temos de decidir quem será o time da casa e quem será o time desafiante. Para o time da casa, temos x escolhas possíveis. Escolhido o time da casa, agora temos de escolher o time visitante, o que podemos fazer de (x 1) maneiras. Logo, o total de jogos é y = x(x 1). Ou seja, o número de jogos é obtido a partir da lei da função do grau y = x² x. De maneira geral, uma função do grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a 0. São duas coisas diferentes, pois na seção estamos tratando de equações do grau, já nesta seção é função do grau. Suponha que um campeonato siga as regras dadas no exemplo anterior. a. Determine o número de jogos, se o campeonato for disputado por 1 times. b. Determine quantos times estão disputando um determinado campeonato (diferente do item a), sabendo que 90 jogos foram realizados. Seção 4 Movimento Uniformemente Variado (MUV) A função do grau é um modelo matemático que descreve o movimento uniformemente variado (MUV). Neste tipo de movimento, a velocidade varia de forma regular, isto é, para intervalos de tempos iguais temos variações de velocidades iguais. Sabemos que a aceleração é a variação da velocidade num determinado intervalo de tempo: v v v0 a = =, neste movimento a aceleração é constante e, portanto quando o tempo t t t inicial é igual a zero, ou seja, t 0 = 0 temos: v = at + v 0 (*) (função do 1 grau, já estudada). Note que (aceleração constante) e (velocidade inicial é sempre dada, portanto é uma constante) são números reais. Como exemplo, temos: v = 5t + 3 que significa que o móvel tem uma aceleração de 5 m/s² e uma velocidade inicial de 3 m/s. 74 Módulo Unidade 6

9 view/mru-mruv.swf/306656/mru- -mruv.swf Modelo matemático é a descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de um produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo de redução de previsões sobre seu comportamento futuro. Fonte: Stewart, J., Cálculo, volume 1. Ed.CENGAGE Learning, ª Ed Como podemos conseguir uma função que relaciona a posição s de um móvel em função do tempo t, usando a função acima? Para isso, devemos lembrar que velocidade ( v ) é a variação da posição ( s ) de um objeto num s determinado intervalo de tempo ( t ), isto é, v =. Pelo gráfico da velocidade em função do tempo, mostrado a t seguir, podemos calcular a variação da posição do móvel no MUV, onde s é igual à área da região sob o gráfico da velocidade e acima do eixo x. Matemática e suas Tecnologias Matemática 75

10 Repare que a figura hachurada é um trapézio de base maior B= v, base menor b= v0 e altura h = t. E como a ( B+ bh ) ( v+ v área A de um trapézio é dada pela fórmula A =, temos 0 ) t ( v+ v s =, ou seja, 0 ) t s s0 = (**). Substituindo (*) em (**), temos: s ( at + v + v ) t 0 0 s0 =, logo 0 0 s = 1 at² + v t + s. (***) Esta é uma função do grau em que para cada instante t temos uma posição s, deve-se notar que a, v 0, e s 0 são constantes, ou seja, são fornecidos no problema. Uma aplicação importante desta fórmula é a queda livre dos corpos. Suponha que um objeto é solto, em queda livre, a uma altura de 490 m do solo. Determine o tempo necessário para o objeto chegar ao solo, desprezando a resistência do ar. Para resolvermos este problema, primeiro devemos organizar as informações dadas: v 0 = 0, pois o objeto é solto, não tendo assim velocidade inicial; neste caso a aceleração é a da gravidade e, portanto a = -9,8 / s ; e s 0 = 490, pois o objeto está a 490 m de altura. Substituindo estes dados na função (***), temos: 1 s= ( 9,8) t ² + 490, como queremos determinar o tempo para que o objeto chegue ao solo então s = 0 e substituindo, temos: 4,9 t² = 0 Esta é uma equação do grau incompleta, lembra como devemos resolvê-la? 4,9 t² = 490, ou seja, t ² = 100 Logo, t = 10s, isto é, o objeto demora 10 s para atingir o solo. 76 Módulo Unidade 6

11 Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s, a partir do solo. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 10 m/s². Determine: c. a função s em função de t, usando a função do grau que modela este fenômeno físico. d. a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento. e. o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo. f. o instante em que a bola atinge a altura máxima. g. Dica: Para isso, é importante perceber que a bola atinge a altura máxima no instante em que a velocidade é nula, ou seja,. Use a fórmula. h. a altura máxima atingida pela bola. i. o instante em que a bola retorna ao solo. Faça um desenho, representando a cada segundo a altura em que a bola encontra-se. Voltando a seção 1 Na seção 1, tínhamos a seguinte situação: Marlise precisa de ripas para fazer molduras para quadros de medidas iguais a: 10x10 cm, 15x15 cm, 0x0 cm, 5x5 cm, 30x30 cm e 35x35 cm. Além disso, ela deseja que as molduras tenham cm de largura, ou seja, quer que as ripas de madeira tenham cm de largura. Quais devem ser os comprimentos destas ripas? Para resolvermos este problema, primeiro devemos notar que as ripas devem ser cortadas em formas de trapézio (de base maior A e base menor B), e depois para que aproveitemos o máximo da madeira, devemos fazer cortes de 45 como mostrado na figura abaixo, donde x é a medida do tamanho da ripa e y a medida da largura. Matemática e suas Tecnologias Matemática 77

12 No nosso exemplo, as ripas têm cm de largura, assim temos a seguinte figura: Desta figura, temos: (*) Destacando um dos trapézios, temos: A - B = 4 (**) Resolvendo o sistema formado pelas equações (*) e (**), chegamos aos seguintes resultados: x + 6 A = e x 10 B = 4 4 A moldura ficará com formato como mostrado na figura a seguir: 78 Módulo Unidade 6

13 Assim, o quadro de formato quadrado de lado B possui área igual a: x S x x = = + (função do grau) Dessa forma, se for pedido à Marlise uma moldura para um quadro 10 cm x 10 cm, ela terá de substituir por 100 na função acima, pois é a área de um quadrado de lado 10. Substituindo, temos: x 10 = Lembra como resolvemos este tipo de equação? Queremos calcular um número que elevado ao quadrado dê 100. Que número é este? Os possíveis números são 10 e 10. Assim, temos: x 10 = 10 ou 4 x = 50 x 10 = 10 4 x = -30 (não serve) Logo, a ripa deve ter 50 cm de comprimento. E aí, o que achou? Tente fazer o mesmo para quadros de tamanhos 15x15 cm, 0x0 cm, 5x5 cm, 30x30 cm e 35x35 cm. Você sabia que os Antigos Babilônios já sabiam resolver equações do grau há mais de 4 mil anos? É verdade! Eles usavam um sistema sexagesimal e não o nosso sistema atual que é decimal. Eis um exemplo (no nosso sistema decimal) que data de 1800 a. C., aproximadamente, encontrado numa tábula de Strasburgo: Uma área A, que consiste na soma de dois quadrados, é O lado de um dos quadrados é 10 a menos que /3 do lado do outro quadrado. Quais os lados dos quadrados? Fica este exercício como desafio para você resolver. Fonte: Eves, Howard. Introdução à história da matemática. Ed Unicamp. Resumo Função do grau é toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, em que a 0. A forma tradicional de resolver uma equação do segundo grau, é usando a Fórmula de Bhaskara:, onde. Muitas equações do segundo grau podem ser resolvidas sem recorrer a esta fórmula. Como, por exemplo, as equações do segundo grau que têm c=0 ou b = 0. Algumas funções do grau modelam fenômenos físicos e situações do cotidiano, por exemplo, a função do grau fornece a posição de um móvel em cada instante, donde, e são constantes, ou seja, são fornecidos no problema. Matemática e suas Tecnologias Matemática 79

14 Veja ainda Para saciar sua curiosidade, indicamos os seguintes sites: Referências Lima, E.L., Carvalho, P.C.P., Wagner, E., Morgado, A.C. A matemática do Ensino médio, vol.1, SBM. Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., de Almeida, N. Matemática ciência e aplicações, vol.1, Ed Saraiva. Lozada, Cláudia de Oliveira; Araújo, Mauro Sérgio Teixeira de; Morrone Wagner; Amaral, Luiz Henrique, Universidade Cruzeiro do Sul ( UNICSUL), SP. A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no Ensino Médio, Revista Logos, n 14, 006. Imagens Acesso em 06 de maio de 01: te_ripas.jpg Módulo Unidade 6

15 David Hartman. Michal Zacharzewski. Atividades 1: a. 1 x = e 5 b. x = 0 e 13 x = g. 9 3 x = h. 5 5 x = e x = 1 x = e x = -1 5 c. x = 7 e x = - i. x = 3 (raiz dupla) d. x = + 3 e x = 3 j. x = 0, 3 x = e x = -3 e. x = 1 e x = 6 l. Não existe raiz real 4 f. Não existe raiz real m. x = -5 e x = 3 Atividade : a. 13 jogos b. 10 times Atividade 3: a) s= 5 t² + 40t. Como a bola é lançada a partir do solo, utilizamos esta posição Matemática e suas Tecnologias Matemática 81

16 inicial como sendo zero, ou seja,. b. 35 m c. Em 3 s e 5 s d. Após 4 s e. A altura máxima é de 80 m. f. Após 8 s 8 Módulo Unidade 6

17 O que perguntam por aí? 1(ENEM - 009) Um posto de combustível vende litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: A) V = x x B) V = x + x C) V = x x D) V = x x E) V = x + x Solução: Primeiro notemos a tabela a seguir: Quantidade de álcool (em litros) x 100 Preço por litro (em reais) 1,50 1,50 1 0,01 1,50 0, ,50 x 0,01 Assim, temos: Valor arrecadado/dia = (quantidade de álcool/dia) (preço do litro de álcool) V = ( x) (1,5 0,001x) Logo, a resposta é V = x x, ou seja, a alternativa D. Matemática e suas Tecnologias Matemática 83

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19 Caia na rede! Vídeo: Fórmula de Bhaskara No link você vai encontrar um vídeo que mostrará um passeio histórico em torno de equações quadráticas, visitando hindus, mesopotâmios, gregos, árabes e europeus, mostrando diferentes métodos de resolução até a famosa Fórmula de Bhaskara. Vale a pena verificar! Matemática e suas Tecnologias Matemática 85

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21 Megamente O link vai mostrar a você algumas atividades muito interessantes, relacionadas a um processo de otimização em que são usados polinômios do º grau. Nesta atividade, o problema em tela é a determinação da janela com topo triangular que tem maior área, considerando um perímetro fixo. O uso de gráficos dinâmicos e de um pouco de modelagem completam este interessante problema. Visite-o! Matemática e suas Tecnologias Matemática 87

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