CAPÍTULO 8 ANÁLISE DIMENSIONAL LEIS DE SEMELHANÇA.

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1 CAPÍTULO 8 ANÁLISE DIMENSIONAL LEIS DE SEMELHANÇA. Neste caítul s rcediments básics ara a realizaçã da Análise Dimensinal e utilizaçã das Leis de Semelhança sã estabelecids. A Análise Dimensinal é uma ferramenta imrtante n estud e na análise de rblemas da Física e, em articular, da Mecânica ds Fluids e da Transferência de Calr. Cm s rcediments da Análise Dimensinal será ssível: - reduzir númer de variáveis envlvidas nas análises - cmactar as equações. Estes dis asects já reresentam uma vantagem muit grande justificand s esfrçs que sã necessáris ara se familiarizar cm s cnceits e ara se dminar as técnicas utilizadas nas alicações. Uma vantagem adicinal que se btém cm a utilizaçã ds rcediments da Análise Dimensinal está assciada a melhr entendiment ds fenômens resentes ns rblemas analisads. Prcediments ara a realizaçã sistemática e racinal de testes em labratóris e de análises que utilizam dads exerimentais sã desenvlvids cm a intrduçã das Leis de Semelhança. A utilizaçã destes ermite estender a alicabilidade ds resultads a um númer grande de situações, um bjetiv semre rcurad nestas análises. Cabe bservar que um rcediment muit utilizad na sluçã de rblemas cnsiste na cmbinaçã de uma análise teórica (ara simlificar, aqui vista cm a btençã de sluções analíticas u simulações numéricas) cm dads exerimentais; nestas cndições, as ferramentas desenvlvidas neste caítul ermitem identificar rcediments reciss ara a aresentaçã ds dads cntids nas tabelas e ara traçad de gráfics. A aresentaçã das tabelas e gráfics ns relatóris e ns manuais trna-se cmacta e de mais fácil entendiment e interretaçã. Antes de se iniciar estud deste caítul, recmenda-se frtemente que Ca. Dimensões e Unidades- seja revisitad.

2 . HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL A questã da hmgeneidade dimensinal fi abrdada n Caítul. Os resultads rinciais sã transcrits a seguir. Sistema de Dimensões: um sistema de dimensões é frmad r um númer de dimensões rimárias, em funçã das quais se de escrever a dimensã de qualquer utra grandeza. De acrd cm rblema em estud sistema de dimensões de ter uma, duas, três u mais dimensões rimárias. A tabela frnece as dimensões rimárias que sã necessárias num sistema de dimensões em funçã d ram da Física em que se enquadra rblema TABELA I DIMENSÕES PRIMÁRIAS RAMO DA FÍSICA MASSA COMPRI- MENTO TEMPO TEMPER- ATURA CORRENT E ELÉTRICA GEOMETRIA - X CINEMÁTICA - X X - - DINÂMICA X X X - - TERMODINÂMICA X X - X - TRANSMISSÃO CALOR X X X X - ELETROSTÁTICA X X - - X ELETRODINÂMICA X X X - X ELETROMAGNETISMO X X X - X MAGNETOHIDRODINAMICA X X X X X Lei da Hmgeneidade Dimensinal: n estud ds fenômens físics se aceita seguinte rincíi: Tda equaçã que descreve um fenômen físic deve ser dimensinalmente hmgênea ist é, tds s terms da equaçã ssui a mesma dimensã. EXEMPLO. Sb cndições bem severas, ist é, se hióteses bastante restritivas frem bservadas, balanç de energia num mei fluid é exress ela equaçã de Bernulli. + ρgz + ρv C Pede-se determinar a dimensã da cnstante C. Esta equaçã reresenta uma lei física, lg ela é dimensinalmente hmgênea. Cm cnseqüência, tems que: [] [ρgz] [ρv ] e [] [ML - T - ] Lg ela lei da hmgeneidade dimensinal tem-se que: [C] [ML - T - ] Fim d exeml. EXERCÍCIO. É ssível smar 5 laranjas cm 3 bananas? Qual é resultad? EXERCÍCIO. Num cest tems 5 frutas (d ti laranja) e 3 frutas (d ti banana). Quantas frutas têm n cest?

3 EXERCÍCIO 3: A equaçã que gverna mviment de um cr em queda livre é escrita cm: d z g dt Pede-se:. Verifique se a equaçã é dimensinalmente hmgênea.. Quand t 0, as seguintes cndições sã bservadas: z z um valr cnstante dz V um valr cnstante dt 3. Obtenha a sluçã da equaçã e verifique se sua sluçã é dimensinalmente hmgênea. 4. Em seguida trace s seguintes gráfics: z f(t) fazend z 0m e tend cm arâmetr V,, 4, 8, 0 m/s z f(t) fazend V 5 m/s e tend cm arâmetr z 5, 0, 5, 0m 5. Analise cmrtament destes gráfics, em esecial verifique cmrtament ds gráfics ara t 0, nts extrems (máxims e mínims), etc.

4 . ADIMENSIONALIZAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO. N caítul, uma intrduçã as rcesss de adimensinalizaçã de uma equaçã já fi feita. Naquele caítul a equaçã que descreve mviment de um cr unifrmemente acelerad fi utilizada. Esta equaçã adatada ara a análise de um cr em queda livre sb a açã da frça es (gravitacinal) é rerduzida a seguir z z V t gt () Tend em vista desenvlviments futurs é imrtante bservar que: - esta equaçã descreve mviment d cr n vácu (queda livre). - as duas únicas frças que atuam n fenômen sã: a frça gravitacinal resnsável el mviment e a frça inercial que é a frça assciada a uma massa em mviment; é interessante bservar que estas duas frças deendem da massa, embra esta nã se faça resente exlicitamente na eq. (). - ara que a equaçã descreva, de maneira realista, a queda de um cr na atmsfera é necessári acrescentar um term adicinal que reresentasse a açã d ar nd-se a mviment (veja exercíci ) Numa rimeira instância cntinuams sem este term, n entant. - a eq. () mstra de maneira exlícita cm a grandeza z deende das demais grandezas. Há situações em que nã se exige este grau extrem de detalhes; nelas talvez seja suficiente saber de quais variáveis (grandezas) a variável (grandeza) z deende. Este fat é exress ela equaçã na frma z f(z, V, g, t) () Esta equaçã mstra que a siçã z cuada el cr deende d instante t, além das utras grandezas (z, V, g). Equações cm esta características sã denminadas de equações funcinais. Utilizand s rcediments aresentads n Caítul, a frma adimensinalizada da eq. () é escrita cm: t * z* t * (3) Fr Nesta equaçã define-se númer de Frude cm: Fr V gz A análise da equaçã adimensinalizada (3) mstra que: - a equaçã é dimensinalmente hmgênea. - ara um dad valr d tem adimensinalizad t*, a siçã adimensinalizada z* deende aenas de Fr. Esta bservaçã é imrtante e mstra que ara um dad valr de t*, a siçã adimensinalizada z* assumirá semre mesm valr desde que Fr seja mesm, indeendentemente ds valres individuais assumids r V, z u g. - elas bservações feitas sbre a equaçã () é de se eserar que Fr frneça uma relaçã entre as frças de inércia (FI) e gravitacinal (FG); de fat: 3

5 : a frça inercial é exressa cm: F ma Pr sua vez, a aceleraçã de uma artícula a lng de sua trajetória é exressa cm: dv dv ds dz a V dt dz dt dt e, em terms de grandezas adimensinais V dv * a V * z dz * Lg: V dv * FI ma m V * z dz * : a frça gravitacinal é exressa cm: FG mg : cletand s resultads tems: FI FG V gz V * dv * dz * que ermite cncluir que a razã entre FI e FG é rrcinal a númer de Frude (u a seu quadrad, ara ser mais exat). Desta maneira direms que: O númer de Frude frnece uma indicaçã da imrtância relativa da frça inercial quand cmarada cm a frça gravitacinal - duas situações diferentes que aresentam mesm valr de Fr serã dinamicamente semelhantes; de fat, se em ambas as situações aenas as FI e FG se fazem resente, a igualdade de Fr leva a iguais valres relativs de FI cm relaçã a FG. - fenômens gvernads aenas elas FG e FI indeendem da massa; na eq. (), que gverna mviment de um cr em queda livre (as únicas frças atuantes sã a FI e a FG), a massa (u massa esecífica) nã se faz resente. - finalmente, a exeml da eq. (), a eq. (3) de ser imlicitamente reresentada cm z* φ ( Fr, t*) (4) Observe que tds s terms desta equaçã sã adimensinais. Em seguida, é interessante bservar que a equaçã usada ara descrever a siçã de uma massa unifrmemente acelerada de ser escrita na frma diferencial: dx x x + t + t 0 dt t 0 d x t dt (A) Nesta frma, verifica-se imediatamente a existência das duas grandezas reresentativas (u características) d fenômen; sã elas: x deslcament inicial x t 0 4

6 dx V a velcidade inicial dt t0 Arveita-se este fat ara tmá-las cm adrões de referência ara fenômen. Em funçã destas duas grandezas características define-se adrã de tem u tem característic, cm já feit anterirmente. Resumind, tem-se: x V x cmriment característic velcidade característica T tem característic V Os desenvlviments rsseguem cm a definiçã das grandezas adimensinalizadas: x x * x x x * x x x x * x u x x x t V x t* t t t * T x V Na equaçã (A), x é substituíd r ( x x*), x r x resultand: d(x x*) d (x x*) x x* x x + T t * + T t * d(t t*) d(t t*) t* 0 t* 0 x * ( ), e assim r diante, x* x + dx * dt * d x * (t) * + dt * t* 0 t* 0 dx * Na seqüência se bserva que dt * t 0 (t*) uma vez que V dx dt d(x x*) d(t t*) x T dx * x V dt * x dx * dt * t 0 t 0 V dx * dt * d x * e. de maneira idêntica, que dt * Fr t 0 d x d (x x*) x d x * V d x * uma vez que: a dt d(t t*) T dt * x dt * Cm estes resultads tem-se, imediatamente que x * + t * + ( t *) (3) (Fr) que é idêntica a equaçã anterirmente btida (analise s sinais antes d º. e 3º. terms d lad direit). 5

7 EXEMPLO : Em cndições bastante restritivas, ist é, cnsiderand que escament seja unidimensinal, que s efeits da cmressibilidade sejam desrezíveis e que mesm ssa ser dit ds efeits viscss a equaçã d mviment é escrita cm: u u + u t s ρ s Pede-se adimensinalizar a equaçã sund que se cnheça: - cmriment característic L - a velcidade característica U O tem característic é definid em funçã de L e U, cm: L T U Definem-se as seguintes grandezas adimensinalizadas s s * s Ls* L t Ut L t * t t * T L U u u * u Uu * U * U ρu * ρ Substituind ns terms da equaçã tem-se: tle: tle: tld: u (Uu*) u * U t t t * dt * dt u * U t * U L U L u * t * u (Uu*) u * ds * U u * u (Uu*) U u * u * s s s * ds L s * ρ s ρ ( ρu *) s U * s A equaçã adimensinalizada, finalmente, tma a frma: u * u * * + u * t * s * s * U * s * ds * ds U L * s * Cm bservaçã final tem-se nvamente que: a sluçã da equaçã adimensinalizada frnece, r exeml, * indeende d valr articular de L, V, s, t, ρ, etc.; deende aenas ds valres de u*, s* e t* que reresentam cmbinações esecíficas das variáveis dimensinais (L, V, s, t, ρ, etc.), fat este reresentad ela equaçã funcinal adimensinalizada: * φ ( u*,s*, t*) Fim d exeml. 6

8 EXEMPLO 3 (Escament de Cuette e de Piseuille): Cnsidere escament lan de um fluid newtnian que se realiza entre duas lacas aralelas clcadas uma bem róxima da utra, cm mstra a figura. A laca inferir é fixa e a laca suerir U desliza cm uma velcidade cnstante U. Utilizand algumas hióteses adicinais e simlificand as equações, rblema h a ser analisad é gvernad ela y equaçã: x d u 0 dy Para a cmleta definiçã d rblema exige a esecificaçã das cndições de cntrn: u 0 em y 0 u U em y h Este rblema é cnhecid cm rblema de Cuette; A sluçã d rblema de valr de cntrn frnece a seguinte exressã ara a velcidade (a velcidade distribui-se linearmente cm y; veja a figura acima) y u U (E3.) h Na frma imlícita este cam de velcidades é exress cm: u f(y, h, U) (E3.) Para a adimensinalizaçã das equações é necessári identificar as grandezas características. A análise das cndições de cntrn ermite identificá-las. A fixar sistema de crdenadas à laca inferir, a crdenada d nt de referência se anula. A crdenada y varia de 0 a h e este últim cmriment é candidat natural ara reresentar cmriment característic. De maneira análga, verifica-se que a velcidade varia entre valr 0 na laca inferir e atinge valr máxim U na laca suerir; este valr é candidat natural ara a velcidade característica. As variáveis adimensinalizadas sã definidas cm: y y * y hy* h u u * u Uu* U Substituind na equaçã e nas cndições de cntrn resulta: d dy u * * 0 u* 0 em y* 0 u* em y* 7

9 A sluçã deste rblema de valr de cntrn adimensinalizad frnece a seguinte sluçã: u * y * (E3.3) Na frma imlícita cam de velcidades adimensinalizad é exress cm: u* φ ( y*) (E3.4) N exeml analisad mviment d fluid entre as lacas é induzid el mviment da laca suerir. Outra situaçã interessante é identificada quand mviment d fluid entre as lacas é induzid r uma gradiente de ressã cnstante, ist é, as duas lacas encntram-se aradas e existe uma diferença de ressã entre a entrada e a saída da regiã de interesse. Este é cnhecid cm escament de Piseuille. Na ausência de qualquer utr fatr, a diferença de ressã se distribui igualmente a lng d cmriment da laca: d lim 0 x dx x C O rblema de valr de cntrn que gverna fenômen é escrit cm: d u d µ dy dx u 0 em y 0 u 0 em y h cuja sluçã, na frma exlícita é escrita cm ( y hy) d u (E3.5) µ dx Na frma imlícita, esta sluçã é escrita cm: u f(y, h, µ, d/dx) (E3.6) Para a adimensinalizaçã das equações as cndições de cntrn sã analisadas ara se identificar as grandezas características. Cm anterirmente cmriment característic é reresentad r h, mas a velcidade característica nã de ser identificada de imediat. Um rcediment cnveniente, ara estes cass, cnsiste em indicar esta velcidade r U c e determinar, a steriri, seu valr. Assim send definims as grandezas adimensinalizadas cm: y y * y hy* h E h y x x U S 8

10 u u * u U c u* U c Levand estes resultads na equaçã tems: * µ d u d U c h * dy dx e definims U c de mds que lad direit da equaçã seja nrmalizad, ist é, definims U c cm: h d U c µ dx O sinal negativ fi adicinad rsitalmente rque (d/dx) < 0 quand escament crre n sentid de x sitiv. Cm estas definições rblema de valr de cntrn adimensinalizad é escrit cm (bserve que a esclha da definiçã da velcidade característica leva lad direit da equaçã assumir valr unitári): d dy u * * u* 0 em y* 0 u* 0 em y* A sluçã deste rblema de ser facilmente btida; lg u * ( y * y * ) (E3.7) Na frma imlícita (adimensinalizada) esta sluçã é escrita cm u* φ(y*) (E3.8) Os resultads deste exeml já ermitem identificar algumas das inúmeras vantagens da utilizaçã de grandezas adimensinalizadas: - a cmaraçã das exressões (E3.) e (E3.) cm (E3.3) e (E3.4) mstra que as exressões deste últim cnjunt sã mais simles d que as exressões d rimeir cnjunt; mesm acntece se cmararms (E3.5) e (E3.6) cm (E3.7) e (E3.8) - a reresentaçã gráfica da exressã (E3.5) u (E3.6) é mstrada de maneira qualitativa na figura. Uma reresentaçã quantitativa exigiria um gráfic da velcidade ara cada cnjunt de valres (h, µ, d/dx), u seja, um númer muit grande de gráfics. N entant, a reresentaçã gráfica da exressã (E3.7) u (E3.8) é muit simles e resume-se a aenas um gráfic [u* x y*]. Este fat trna-se mais imrtante a medida que fenômen fica cmlex e sluções exlícitas nã dem ser btidas; neste cas resultads numérics (u exerimentais) sã btids através de simulações numéricas (u testes). Veja, também, a arte 3 deste caítul que é dedicada às alicações da Análise Dimensinal. Fim d exeml 3. EXEMPLO 4: Cnsidere uma laca de largura L. Inicialmente a laca encntra-se em equilíbri térmic e sua temeratura é T i. N instante t 0 a laca cmeça a trcar calr r um ds lads r um fluid que se encntra a uma temeratura T. Aós um 9

11 interval de tem t, a temeratura será indicada r T T(x,t), num nt d interir da laca, definid ela crdenada x. O fenômen descrit refere-se a rcess de transferência de calr r cnduçã em regime nã ermanente. Nestas cndições a equaçã que gverna fenômen é: T T α t x k e, nesta equaçã α reresenta a difusividade térmica, definida cm: α ρc Para se bter a sluçã da equaçã de maneira unívca, trna-se necessári esecificar que crre nas extremidades da laca. Assim send, assume-se que em x 0 nã haja flux de calr que é exress cm: T 0 x em x 0 e t > 0 Na utra extremidade a laca trca calr cm fluid, fat este exress cm: N instante inicial: T k h(t x T) em x L e t> 0. T T i em 0 < x < L e t 0 T T T(x, t) L Distribuiçã da temeratura n instante t T i x x Cm intuit de simlificar as equações é cnveniente identificar uma temeratura de referência; n cas cstuma-se tmar T, a temeratura d fluid. Em seguida, define-se uma nva variável ara a temeratura, ié: [T(x,t) T ] Lg, a temeratura característica é escrita cm: T ( T i T ) - As grandezas características (u reresentativas) sã identificadas: L cmriment característic L I tem característic α T (T i T ) temeratura característica. 0

12 - As grandezas adimensinalizadas sã definidas: (T T ) θ temeratura adimensinalizada (T T ) i x x * crdenada adimensinalizada L αt t* tem adimensinalizad (Númer de Furier) L - Os valres de T, x e t sã substituíds na equaçã e nas cndições de cntrn; em seguida, erações algébricas arriadas sã realizadas resultand θ θ t * x * θ x * 0 θ Biθ x * OBSERVAÇÕES: - O Númer de Bit é definid cm h Bi k em x* 0 e t* > 0 em x* e t* > 0 hl k L Este gru adimensinal frnece uma indicaçã da imrtância d ceficiente de transferência de calr (na suerfície) quand cmarada cm a cndutância interna através da laca de cmriment L. - A análise das equações acima ermite escrever que: T f (x, L, k, α, h, T, t) - Cm n exeml, a sluçã d sistema cmst ela equaçã e cndições de cntrn adimensinalizadas frnece θ (a temeratura adimensinalizada) que deende aenas de Bi, t* e x*, ist é: θ φ (x*, t*, Bi) Fim d exeml 4. EXERCÍCIO 4. Cnsidere a equaçã d mviment d exercíci 3. Pede-se:. Obtenha a frma adimensinalizada desta equaçã.. Obtenha a sluçã da equaçã adimensinalizada d item acima (ela deve ser igual exressã (3A)). 3. Trace um gráfic z* φ(t*) tend Fr 0.030, 0.035, 0.040, 0.050, Em seguida, utilizand seu gráfic, faça z 0m e V 5m/s e calcule valr de z quand t 5s. Cmare seu resultad cm aquele que vcê bteve n exercíci 3.

13 EXERCÍCIO 5. A Lua é muit menr d que a Terra e a aceleraçã da gravidade lunar é da rdem de g.65 m/s. a) Prque a análise d mviment de um cr na Lua de ser feita cm a utilizaçã da eq. () (u, que é equivalente, cm a utilizaçã da eq. (3)? b) Refaça item 4 d exercíci 4 cnsiderand nv valr arriad da aceleraçã da gravidade. EXERCÍCIO 6. Analise fenômen gvernad ela equaçã d mviment na frma utilizada n exeml e identifique ti de frça resente n fenômen. EXERCÍCIO 7. N exeml 3 fram analisads s escaments de Cuette e de Piseuille. Uma análise mais atenta das equações mstra que elas sã lineares e, r cnseguinte, suas sluções dem ser adicinadas. Este fat leva a frmulaçã d rblema de Cuette-Piseuille que crresnde a escament lan n interir de duas lacas lanas aralelas; a inferir é fixa e a suerir está animada de um mviment cm velcidade U. O mviment d fluid é induzid nã aenas el mviment da laca suerir mas também r uma diferença de ressã. Pede-se: ) Fazer um esquema d rblema nde se define tdas as variáveis de interesse e sistema de crdenadas. ) Escrever rblema de valr de cntrn crresndente 3) Obtenha cam de velcidades na frma dimensinal e, deis, escreva a sua versã imlícita desta distribuiçã. 4) Adimensinalize as equações utilizand a velcidade da laca suerir cm a velcidade característica. Obtenha a sluçã adimensinalizada na frma exlícita e imlícita. 5) Adimensinalize as equações utilizand a velcidade Uc cm a velcidade característica. Obtenha a sluçã adimensinalizada na frma exlícita e imlícita. EXERCÍCIO 8. Cnsidere um escament unidimensinal ara qual s efeits da cmressibilidade sejam desrezíveis. Se s efeits viscss nã dem ser desrezads, a equaçã d mviment (veja exeml e caítul 4) é escrita cm: u u + u t s u + µ ρ s s Pede-se. identificar as frças que se fazem resente ns fenômens gvernads r esta equaçã.. sund que se cnheça: - cmriment característic L - a velcidade característica U utilize s rcediments d exeml e btenha a versã adimensinalizada da equaçã. Se seus rcediments estã crrets esta versã adimensinalizada deve ser da frma

14 u * u * * u * + u * + t * s * s * Re s * Nesta equaçã Númer de Reynlds é definid cm: ρ Re UL µ 3. de quais grandezas a ressã *, num nt fix s* e num dad instante t*, deende? 4. O que esta grandeza (*) reresenta (veja s rcediments utilizads na interretaçã d númer de Frude)? EXERCÍCIO 9. O escament de um fluid deve bedecer as rincíis de cnservaçã. As exressões matemáticas que exrimem estes rincíis sã as equações que gvernam fenômen. Cnsidere escament de um fluid que crre entre duas lacas aralelas e que está sujeit às seguintes cndições: - fluid ssui rriedades cnstantes - regime é ermanente - s efeits da cmressibilidade sã desrezíveis Nestas cndições a equaçã da energia, uma das equações que gvernam fenômen, sfre simlificações e é escrita cm: T T T u ρ Cu(y) k + µ x + x y y Nesta equaçã, últim term d LD crresnde a term de dissiaçã viscsa da energia. Indique a temeratura de referência r T w e a temeratura d fluid cm send T. Assuma, ainda, que a velcidade característica seja U e cmriment característic L. Observe s rcediments utilizads n exeml 3 e btenha a equaçã adimensinalizada; u * θ x * Re Pr θ x * θ + y * ρ Re UL númer de Reynlds µ µ C Pr k υ α E u * + Re y * númer de Prandtl que frnece uma indicaçã da imrtância d transrte difusiv da quantidade de mviment cm relaçã a transrte difusiv de calr. U U / C E númer de Eckert. Para a interretaçã física deste term T.C T basta lembrar que numeradr (U /C ) reresenta aument da temeratura que se bserva quand um gás ideal animad de uma velcidade U é trazid adiabaticamente ara reus. Pde-se cncluir que: 3

15 em grande arte das alicações, term de dissiaçã viscsa é desrezível em virtude das velcidades mderadas que sã bservadas EXERCÍCIO 0. O mviment d fluid nas vizinhanças de uma suerfície vertical aquecida a uma temeratura cnstante é muit arecid cm escament na camada limite. O mecanism resnsável ela cnvecçã natural está assciad à frça de emux resultante da diminuiçã da massa esecífica r causa d aqueciment. Para a análise desta situaçã cstuma-se assumir que: H. O escament é bidimensinal H. O regime é ermanente H3. O fluid é newtnian cm rriedades cnstantes H4. O escament é laminar Cm estas hióteses as equações que gvernam fenômen dem ser simlificadas, resultand:. Eq. da cntinuidade u w + 0 x z. Eq. d mviment em z 3. Eq. da energia w w u u + w ρg + µ x z z x T T T u + w α x z x z T w w T T x - as setas vermelhas definem a distribuiçã da temeratura n mei fluid. - as setas azuis definem a distribuiçã da velcidade n mei fluid Assume-se, adicinalmente que: H5. Hiótese de Bussinesq: a variaçã de temeratura nã afeta as rriedades d fluid Em seguida, ara se utilizar esta hiótese, tld e tld sã agruads e substituíds r [(ρ -ρ)g], ist é: 4

16 ρg ( ρ ρ)g z Esta substituiçã equivale a se assumir uma distribuiçã hidrstática da ressã, que é razável levand-se em cnsideraçã que s mviments sã lents. Se ceficiente vlumétric de exansã térmica β ρ T fr utilizad, tem-se: ρg ( T T) z βρ Cm este resultad a equaçã d mviment tma a frma w w w ρ u + ρw ρgβ(t T ) + µ x z x Para se bter as frmas adimensinalizadas destas equações sugere-se que as seguintes etaas sejam bservadas: a) Identificaçã das grandezas características. Assuma que: L reresenta cmriment característic U reresenta a velcidade característica T (T w - T ) reresenta a temeratura característica b) Grandezas adimensinalizadas. Utilizand as grandezas características defina as grandezas adimensinalizadas: x*, z*, u*,w*, etc. c) Equações adimensinalizadas. Substitua as grandezas adimensinalizadas nas equações. d) Álgebra. Cm uma maniulaçã algébrica cnveniente btenha as equações adimensinalizadas. As equações adimensinalizadas aresentadas abaix, sã frnecidas aenas ara cmaraçã e verificaçã ds seus resultads. u * w * + 0 x * z * w * w * gβ(tw T )L u * + w * + x * z * U θ θ u * + w * x * z * nde se deve bservar que: gβ(tw T U Re Pr θ x * 3 )L gl β(tw T ) / υ UL υ Re Gr Re w * x * 5

17 Os grus adimensinais que aarecem nas equações adimensinalizadas sã ρ Re UL Númer de Reynlds µ µ C υ Pr Númer de Prandtl k α 3 gl β(tw T ) Gr Númer de Grashf υ e) Interretaçã. Frneça a interretaçã física de cada um ds grus adimensinais acima mencinads. Veja item g (abaix) e a arte 5 deste caítul. f) Cm fenômen analisad neste exercíci envlve a transferência de calr r cnvecçã, é natural que ceficiente de transferência de calr - h - se faça resente. Este ceficiente nã aarece exlicitamente nas equações acima rque entre estas nã fram exlicitadas as cndições de cntrn na suerfície. Cnsultar s texts de transferência de calr e esecifique a cndiçã flux de calr cnstante na suerfície; Em seguida faça a adimensinalizaçã desta cndiçã e verifique a resença de um nv gru adimensinal definid cm: hl Nu Númer de Nusselt. k Cletand s resultads acima, cnclua que: Nu φ (Re, Pr, Gr) g) Observe em seguida as interretações aresentadas a seguir: Lg: Gr Re cnvecçãnatural cnvecçãfrçada Gr - se entã a cnvecçã natural e a cnvecçã frçada ssuem a Re mesma imrtância e ambas devem ser cnsiderada na análise. Gr - se <<< entã escament é gvernad rimariamente ela cnvecçã Re frçada. Gr - se >>> entã escament é dminad ela cnvecçã natural Re h) Observe, em seguida, que n fenômen de transferência de calr r cnvecçã natural (veja acima em que cndições ela crre) a frça de emux é a única resnsável ela velcidade d fluid, ist é, nã há velcidade induzida externamente. Cm cnseqüência, tem-se: Nu φ (Pr, Gr) 6

18 ist é, númer de Nusselt deende fracamente d númer de Reynlds. i) Finalmente bserve que: ara s gases, Pr e, nestas cndições, a cnvecçã natural é gvernada r uma relaçã d ti Nu φ (Gr). 7

19 3. ANÁLISE DIMENSIONAL Cm uma intrduçã a tóic Análise Dimensinal cnsidere nvamente mviment de um cr que é unifrmemente acelerad; mais esecificamente um cr que cai sb efeit da frça gravitacinal, n vácu. A equaçã que frnece a velcidade n instante t é escrita cm: V V + gt (5A) Esta equaçã frnece uma relaçã exlícita entre a grandeza deendente V e as demais grandezas da qual ela deende, n cas, V, g e t. Pdems ir um uc além e dividir estas grandezas em variáveis e arâmetrs. As variáveis sã as grandezas que desejams ltar. Pr exeml, desejams ltar a variável deendente V em funçã da variável indeendente t. Estes resultads dem ser btids através da sluçã da equaçã u exerimentalmente. Os arâmetrs sã as grandezas cuj efeit sbre as variáveis desejams cnhecer. N exeml, gstaríams de saber qual é efeit que teríams sbre V a dbrams valr de V (u se utilizássems, r exeml, valr da aceleraçã da gravidade lunar que é arximadamente (/6) d valr riginal de g, na Terra). Observe s gráfics da figura (). De uma maneira imlícita, a equaçã acima de ser escrita cm: V f (V, g, t) (5.B) A diferença entre a equaçã funcinal (5.B) e sua frma exlícita é que, na segunda, a relaçã entre as grandezas encntra-se imlícita e a sua frma nã é cnhecida. Este é, aliás, ti de situaçã encntrada em muits rblemas: sabe-se (u de-se determinar ela análise qualitativa d fenômen) identificar de quais grandezas uma delas deende, mas nã se sabe cm esta deendência crre. Se fenômen é suficientemente simles (cm n exeml em cnsideraçã) de-se deduzir a frma exlícita cm mstra a equaçã (5.A). N entant, quand a situaçã é cmlexa, a determinaçã da frma exlícita da equaçã é difícil e, às vezes até imssível; em utras situações tem-se a equaçã, mas a sua sluçã é de difícil btençã u mesm muit trabalhsa. Nestas cndições, s desenvlviments deste caítul sã de grande utilidade. Cm ilustraçã, sunha que fenômen fsse cmlex e que a frma da equaçã (5A) fsse de difícil btençã. Utilizand resultads exerimentais, r exeml, de-se determinar emiricamente cm a velcidade V deende das demais grandezas, ist é, cm se cmrta a funçã f(v, g, t), equaçã (5B). Estes resultads sã aresentads cm a utilizaçã de um cnjunt de gráfics cm ilustrad na Figura. Nesta figura sã aresentads aenas três gráfics que varrem uma faixa muit restrita d arâmetr V (n cas aenas três valres); mesm assim verifica-se que a sua elabraçã é trabalhsa rque (está se sund que) s dads utilizads fram btids exerimentalmente. OBS. Nã é muit cmum a utilizaçã de diferentes valres da aceleraçã da gravidade, mas, cm um exeml ilustrativ, cnsiderams a ssibilidade de se variar valr de g ara a realizaçã ds exeriments. Um fenômen um uc mais cmlex, cm a variável deendente exressa em funçã de quatr grandezas, teria a equaçã funcinal escrita cm 8

20 X f(x, X 3, X 4, X 5 ). Cm ficaria a reresentaçã gráfica desta equaçã? Certamente, a invés de um vetr de gráfics, cm mstra a Figura, seria necessári a utilizaçã de uma matriz de gráfics! Nã é difícil imaginar as dificuldades que seriam encntradas ara a btençã ds dads necessáris ara a elabraçã ds gráfics desta matriz! V g 0 V V V 0 V g 9.8 V V V 0 V g 9.5 V V V 0 t t FIGURA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO (5B) t Retmand a equaçã (5A), divide-se ambs s lads r V e se btém a equaçã (6A), que ssui tds s seus terms na frma adimensinal V( t) gt + V V (6A) A crresndente equaçã funcinal (agra na frma adimensinal) de ser escrita cm: Π φ (Π ) (6B) e, nesta equaçã as variáveis (grus) adimensinais sã definids cm: Π V(t) V Π gt V A reresentaçã gráfica desta equaçã funcinal resume-se à aenas um gráfic [(Π ) x (Π )] cm mstrad na Figura. Observe que tdas as infrmações resentes n cnjunt de gráfics da Figura estã, também, resentes n gráfic da Figura. Além de reresentar uma frma cmacta de exr as infrmações, têm-se algumas vantagens adicinais. Para melhr areciar estas vantagens imagine que fenômen fsse realmente cmlex e que a frma das equações (5A) e (6A) nã fssem cnhecidas; neste cas as equações a serem utilizadas seriam (5B) e (6B) e as funções f (V, g, t) e φ (Π ) seriam determinadas exerimentalmente. Nestas cndições as seguintes bservações sã ertinentes: - a elabraçã d gráfic da Figura é bastante simles cm mstra delineament ds rcediments seguids. 9

21 : s valres de V, btids exerimentalmente, crresndem a diferentes instantes de tem, cm ilustram as duas rimeiras linhas da tabela aresentada na Figura. : assumind que exeriment tenha sid realizad cm uma velcidade inicial V m/s e que g 9.8 m/s, as duas linhas seguintes dem ser facilmente calculadas, bastand utilizar as definições de Π e Π. : as duas últimas linhas desta tabela sã utilizadas ara traçar gráfic. - ara traçad d gráfic, fi utilizad um únic valr arbitrariamente assumid de V e um únic valr de g (aliás, únic valr disnível ara a aceleraçã da gravidade). Este fat ilustra utra das vantagens (que em certas casiões de ser determinante ara a realizaçã d exeriment) que se btém cm a utilizaçã da equaçã adimensinalizada (6.B) a invés da equaçã (5.B) escrita em terms de grandezas cm dimensões. - utilizaçã d gráfic da figura também é vantajsa. Sunha que se deseja cnhecer a velcidade V de um cr, n instante t 4s, que cai em queda livre num laneta nde g 5.0 m/s. Cm s dads acima, valr de Π é calculad e assume valr 0. Cm este valr gráfic da figura frnece Π.6 e utilizand a definiçã deste gru adimensinal, btém-se que V.6 m/s. Cmare este valr cm que seria btid se a equaçã (5.A) fsse utilizada; de haver uma equena diferença ns dis valres que é creditad as ssíveis errs cmetids nas medidas da velcidade (veja tabela da figura ). Qual seria valr de V, n instante t 5s, se g 8.0 m/s e V 5m/s? t (s) Medid V (m/s) Medid Π Calculad Π Calculad FIGURA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO (6B) Este exeml já seria suficiente ara justificar um estud da Análise Dimensinal e suas ferramentas. N entant, cm será vist a seguir, muitas utras situações dem ser analisadas cm estas ferramentas. 0

22 3.. SEMELHANÇA DINÂMICA O mviment de um cr em queda livre, n vácu, cntinua send exeml utilizad ara ilustraçã. A equaçã que gverna mviment é a equaçã () que é abaix transcrita (na frma exlícita e em terms de variáveis cm dimensã) z z V t gt () Na frma imlícita a equaçã acima é exressa cm: z f(z, V, g, t) () A crresndente frma adimensinal desta equaçã tma a frma: z* t * ( t *) (3) (Fr) A equaçã (3) reresenta a frma exlícita, exressa em terms de variáveis adimensinalizadas, da eq. (). A crresndente frma imlícita desta equaçã adimensinal é escrita cm: z* ϕ(fr, t*) (4) Uma análise anterir d fenômen mstru que cr mvimenta-se devid a açã da gravidade (FG a frça gravitacinal u frça es) e que a única utra frça resente neste fenômen é a frça inercial (FI). Fi mstrad que a relaçã entre estas frças é rrcinal a númer de Frude, ist é: FI FG V α α é utilizad ara reresentar rrcinalidade gz Cm estas sã as duas únicas frças resentes n fenômen, cnclui-se que duas situações diferentes (deste mesm fenômen) serã dinamicamente semelhantes se elas aresentarem mesm valr ara esta relaçã, númer de Frude. Em utras alavras, uma situaçã caracterizada r um cnjunt de valres z V q e g r será dinamicamente semelhante a utra situaçã caracterizada r utr cnjunt de valres z V q e g r se q r q r u Fr Fr OBSERVAÇÃO: O númer de Frude (assim cm utrs grus adimensinais que serã aresentads a lng d text) nã reresenta a relaçã exata entre frças, mas sim um indicadr da imrtância relativa entre estas frças. Pr cmdidade e até r tradiçã cstuma-se, n entant, dizer que estes grus adimensinais reresentam uma relaçã entre frças.

23 Uma maneira alternativa ara exrimir s fats acima seria dizer que fenômen é gvernad el númer de Frude. Assim, se Fr assume valres elevads ( que acntece quand se aumenta valr de V, já que x e g sã, geralmente mantids cnstantes) fenômen é dminad ela frça inercial. O cntrári acntece quand a frça gravitacinal é dminante, ist é, quand Fr assume valres equens (este seria cas, r exeml, se fenômen crresse num laneta muit grande, nde a aceleraçã da gravidade lunar assume valres maires d que a aceleraçã da gravidade terrestre). Resumind, diz-se que duas situações aresentarã mesm cmrtament dinâmic se Fr Fr nde Fr reresenta númer de Frude da situaçã () e Fr númer de Frude da situaçã (). O cnceit de semelhança dinâmica deve ser generalizad ara abranger situações em que utrs tis de frça se fazem resentes. Diz-se que: Dis fenômens sã dinamicamente semelhantes se as relações entre as frças neles atuantes frem iguais Em terms matemátics, exige que: FI F (7) j FI F j nde FI reresenta a frça inercial e F j uma frça de qualquer rigem resente n fenômen em cnsideraçã. A exressã (7) merece algumas bservações: - a exressã (7) reresenta uma igualdade entre dis valres adimensinais, u seja, cada lad da igualdade reresenta uma razã entre frças. - a exressã indica que, ara garantir a semelhança dinâmica, há a ssibilidade de se requerer a igualdade de dis u até mais grus adimensinais. Se fenômen se desenvlve sb a açã de três tis de frças (FI a frça inercial, FG a frça gravitacinal e FV a frça viscsa, r exeml) há a necessidade de se exigir que FI FG FI FG e FI FV FI FV Se, r utr lad, fr quatr númer de frças resentes, exige-se a igualdade de três grus adimensinais e assim r diante. Cm ilustraçã, cnsidere mesm fenômen analisad, mas cm uma diferença: cr cai sb a açã da gravidade na atmsfera terrestre. Nestas cndições uma frça adicinal se faz resente n fenômen; é a frça que se õe a mviment d cr, causada ela resença d ar atmsféric. Esta frça é reresentada r FV,, a frça viscsa, que resulta da atuaçã da viscsidade, uma rriedade d fluid. Para que haja uma cmleta semelhança dinâmica exige-se a igualdade ds númers de Frude e de Reynlds, ist é: Fr Fr e Re Re

24 OBSERVAÇÃO: assim cm a relaçã entre as frças inercial e gravitacinal recebe nme de Númer de Frude, a relaçã entre as frças inercial e viscsa ssui um indicadr, uma definiçã e um nme articular. Este indicadr recebe nme de Númer de Reynlds e é definid cm ρul Re µ A final d caítul, faz-se um aanhad geral ds grus adimensinais mais utilizads. EXERCÍCIO : Fazer uma análise semelhante àquela aresentada na arte deste caítul (ara Númer de Frude) ara mstrar que Númer de Reynlds reresenta um indicadr da imrtância relativa das frças inercial e viscsa. EXEMPLO 5. Pretende-se determinar tem que uma nave lunar leva ara atingir sl (tem de imact). Sabe-se que a uma altura de 000m, ela terá seus mtres desligads e estará animada de uma velcidade de m/s. - bserva-se, inicialmente, que a nave estará em queda livre a se desligar s seus mtres (a Lua nã ssui atmsfera). - a análise de um cr em queda livre (n vácu) mstra que fenômen é gvernad elas frças de inércia (FI) e gravitacinal (FG). Cm rósit de ilustrar e exemlificar, vams sur (uma situaçã muit uc rvável) que NÃO SE CONHEÇA a frma exlícita da equaçã z z V t 0.5gt que gverna fenômen. Vams sur, n entant, que SE CONHEÇA a equaçã funcinal que relacina z cm as demais variáveis d fenômen, ist é: z f(z, V, g, t) Os rcediments que serã aresentads (n item que se segue) ermitem que se btenha uma equaçã equivalente (também na frma imlícita) à anterir, exressa em terms de variáveis adimensinalizadas, ist é: z* ϕ(fr, t*) Esta equaçã mstra que ara um dad valr de t* a siçã adimensinalizada z* só deende d númer de Frude. Lg, se um fenômen dinamicamente semelhante (ist é, cm mesm valr de Fr) uder ser realizad na Terra tem de imact derá ser estimad. Para ist a curva [(z*) x (t*)], tend cm arâmetr Fr deverá ser btida através deste exeriment. Observa-se, inicialmente, que: - cr a ser utilizad ns exeriments na Terra de ssuir frma qualquer, uma vez que, em queda livre, a frma é indiferente. - a massa d cr a ser utilizad ns exeriments na Terra de ter qualquer valr, uma vez que, em queda livre, a massa é irrelevante. Em seguida, decide-se que exeriment na Terra será executad utilizand um cmriment reresentativ z z t 00m. O índice é usad l ara indicar que a grandeza refere-se a fenômen na Lua e índice t ara fenômen na Terra. 3

25 Para que exeriment e fenômen na Lua sejam dinamicamente semelhantes é necessári que Fr l Fr t. Assumind que na Lua a aceleraçã da gravidade seja g L 5m/s, númer de Frude é calculad imediatamente: VL Frl 0.08 g z 5*000 L L O valr da velcidade V t, cm qual exeriment deve ser cnduzid, é btid fazend Fr l Fr t Os cálculs mstram que V t 0.877m/s. Os exeriments realizads n vácu frnecem s valres tabelads: t(s) z(m) Utilizand as definições de z* e t* a seguinte tabela é elabrada. t(s) z(m) t* z* O que ermite traçad d gráfic da funçã [(z*) x (t*)] Para se determinar tem de imact (na Lua) quand a nave se encntra a uma altura qualquer, 550m d sl r exeml, tem-se: a) Cálcul de x* x* (x/000) b) Valr de t* [d gráfic] t* 0.06 c) Tem de imact t*(tv L )/z L (t/000) t 3s. Fim d exeml 5. 4

26 3.. ETAPAS DA ANÁLISE DIMENSIONAL Cm critéri ara que haja semelhança dinâmica (reresentada ela exressã (7)) a ergunta que surge naturalmente é: cm determinar s arâmetrs adimensinais que garantam a semelhança dinâmica sem a utilizaçã das equações que gvernam fenômen? A determinaçã ds arâmetrs adimensinais exige váris rcediments que sã agruads em quatr etaas rinciais que sã aresentadas a seguir. Os detalhes eracinais destas etaas sã descrits na seqüência. - A rimeira etaa cnsiste na análise ds mecanisms que gvernam fenômen; ela será referida cm a análise d fenômen físic. Esta etaa inicia-se cm a identificaçã ds mecanisms que gvernam fenômen que ermite a identificaçã ds tis de frças resentes: FI, FG, r exeml. A análise e entendiment da dinâmica ds mecanisms ermitirã, a seguir, identificar as grandezas intervenientes n fenômen e sua imrtância relativa (as hióteses assumidas sã imrtantes nesta etaa); as grandezas de menr imrtância dem ser eventualmente descartadas, que imlicará na simlificaçã da análise. Cm resultad desta etaa tem-se a identificaçã das n grandezas (u variáveis) relevantes: X, X, X 3,..., X n Esta é, rvavelmente, a mais difícil e a mais imrtante etaa de td rcess. A missã de uma grandeza imrtante cmrmete ttalmente rcess. A exeriência e a familiaridade cm fenômen físic sã de grande imrtância, mas nã substituem uma análise lógica e cuidadsa. - A segunda etaa cnsiste n estabeleciment da equaçã funcinal que relacina as grandezas identificadas na rimeira etaa. Veja r exeml as equações () e (5.B) r exeml. A equaçã funcinal de ser escrita de duas maneiras equivalentes cm mstrad abaix: X f (X, X 3, X 4,..., X n ) u (8) f (X, X, X 3, X 4,..., X n ) 0 A variável X é a variável deendente e é identificada cm a grandeza de mair interesse d fenômen; na análise d mviment retilíne unifrmemente acelerad, r exeml, esta variável deria ser a velcidade, V, n instante t, u alternativamente deria ser a siçã, x, n instante t, etc. As demais sã as grandezas indeendentes. OBS. A variável deendente é semre identificada el índice (). Cm ilustraçã cnsidere a análise d escament através de um tub de diâmetr d. Se a diferença de ressã - - necessária ara se manter fluid escand fr a grandeza de interesse (u variável deendente) diâmetr - d - seria uma das grandezas indeendentes; alternativamente, a área da seçã transversal - A - deria ser utilizada n lugar de d. Observe, n entant, que as duas grandezas d e A nã deriam ser utilizadas na mesma equaçã rque, bviamente, elas NÃO SÃO indeendentes entre si. 5

27 - A terceira etaa é dedicada a estabeleciment da equaçã funcinal adimensinal, ist é, à btençã da versã adimensinalizada da equaçã funcinal (8). Cm resultad desta etaa tem-se: Π φ (Π, Π 3,..., Πj ) u (9) φ (Π, Π, Π 3,..., Πj ) 0 Nestas equações Πi, i,j sã grus adimensinais. Veja, r exeml, a eq. (4) e a eq. (6.B). Esta etaa é realizada cm a utilizaçã d Terema de Buckingham, também, cnhecid r Terema ds Πs; este terema é aresentad n item OBS. A Análise Dimensinal frnece a estrutura da equaçã (9), mas nã frnece a frma da funçã φ; esta deve ser determinada analiticamente u, de maneira alternativa utilizand métds numérics u métds exerimentais. - A quarta etaa é dedicada à análise de cass limites. Há situações, r exeml, que se de determinar cmrtament de Π quand uma grandeza adimensinal arxima de um valr limite. Nas situações mais cmuns esta etaa nã é necessária; n entant, semre que haja elements suficientes ara a sua realizaçã, ela frnece subsídis imrtantíssims ara entendiment ds fenômens alem de riciar a simlificações na análise; estes asects ficarã mais clars cm a utilizaçã de exemls, cm feit n item..4. Faz-se, a seguir, uma aresentaçã mais detalhada das etaas acima descritas Análise d Fenômen Físic A análise ds mecanisms que gvernam fenômen é realizada na rimeira etaa. É imrtante cmreender cm s fenômens se desenvlvem, identificar as frças atuantes assim cm as grandezas intervenientes; se ssível, analisar a imrtância relativa de cada uma destas frças. Ns rblemas da Mecânica ds Fluids as frças mais cmumente encntradas sã a frça inercial -FI-, a frça viscsa -FV-, a frça gravitacinal FG-, etc. A frça inercial é caracterizada ela (taxa de variaçã da) quantidade de mviment (u seja, el rdut da massa ela aceleraçã), a frça viscsa el ceficiente de viscsidade, a frça gravitacinal el rdut da massa ela aceleraçã da gravidade e assim r diante. Cm exeml de ilustraçã cnsidere a Figura 3, que mstra um aerfóli (uma seçã de asa de cmriment unitári); deseja-se analisar a frça de sustentaçã, L, quand esta asa mvimenta-se cm velcidade cnstante U e se rienta cm relaçã a mviment através de um ângul de ataque -α-. - a frça que é exercida sbre um cr, r um fluid que se mvimenta relativamente a ele, é indicada r F; é usual analisar esta frça decmnd-a em duas cmnentes (veja arte c da Figura 3): - a frça de sustentaçã -L- erendicular a mviment d cr. - a frça de arrast -D- que atua na direçã sta àquela d mviment d cr. 6

28 - a análise da distribuiçã da ressã (esta é ilustrada na arte (a) da figura) mstra que esta é a rincial resnsável el aareciment da frça de sustentaçã e que a distribuiçã da tensã tangencial (esta é ilustrada na arte (b) da figura) ssui uma influência marginal sbre esta cmnente da frça. Esta equena imrtância da tensã tangencial (que está assciada à viscsidade d fluid) de ser avaliada ela frma esbelta das asas. FIGURA 3 CARGAS QUE ATUAM NUMA ASA α 0 Observa-se que a ressã é sitiva na arte inferir e negativa em quase tda a arte suerir. A integraçã arriada desta distribuiçã da ressã sbre a suerfície d aerfóli frnece valr da frça de sustentaçã. A distribuiçã da tensã tangencial, r utr lad tem uca influência sbre esta cmnente da frça. A integraçã arriada da tensã tangencial frnece, raticamente, valr da frça de arrast. - a distribuiçã da ressã é influenciada ela frma d cr e ela sua rientaçã -αcm relaçã a escament. Uma frma assimétrica cm relaçã à direçã d escament gera uma distribuiçã assimétrica da ressã dand rigem a frça de sustentaçã e, de maneira análga, cnclui-se que uma frma simétrica rduz uma frça de sustentaçã nula. - um ângul de ataque nã nul rduz uma distribuiçã assimétrica da ressã, mesm que aerfóli seja simétric. Assim send, uma frma assimétrica aliada a um ângul de ataque nã nul é a receita ara a rduçã de uma frça de sustentaçã cnsiderável. - bserve, finalmente, que a viscsidade (resnsável ela tensã tangencial) ssui influência marginal n rincial mecanism que é resnsável ela frça de sustentaçã. Esta influência é, n entant, muit grande quand se trata da frça de arrast. - nas cndições d rblema a única frça que se faz resente é a frça inercial. Esta etaa é crucial ara a btençã de resstas arriadas ara a análise. Infelizmente nã existem rcediments definids ara a sua realizaçã nem ara a verificaçã d acert da análise. O cnheciment d fenômen físic e seus mecanisms sã imrtantes assim cm é uma exeriência mínima na área de cnheciment em que fenômen se insere. 7

29 Estes arguments, além de utrs que se façam necessáris, sã utilizads ara se esecificar as hióteses de trabalh. H. Regime d escament: assume-se que regime seja ermanente, afinal seria uc rdutiv analisar a frça de sustentaçã ara uma dada velcidade se cr estivesse acelerand. H. Cmressibilidade: assume-se que s efeits da cmressibilidade sejam desrezíveis. Esta hiótese é aceita cm a finalidade de trnar a análise mais simles de ser entendida; nã existe utra razã ara se aceitar esta hiótese. Assim send, se assume-se que Ma (U/c) < 0.3 H3. Viscsidade: assume-se que s efeits viscss ssuem imrtância marginal n desenvlviment da frça de sustentaçã. H4. Ângul de ataque: assume-se que ângul de ataque seja equen. Valres elevads de α levam a fenômen da searaçã d escament e, nestas cndições, a viscsidade e seus efeits assam a ser de imrtância. Alternativamente, a análise deria ser realizada sem a utilizaçã das hióteses H3 e H4 e a final, na análise de cass limites se faria a hiótese H4; esta teria cm cnseqüência a validade da hiótese H3. OBS. O ângul de ataque -α- é medid em radians. Cabe lembrar que nas alicações mais cmuns ângul de ataque assume valres equens da rdem de (0. a 0.4) radians. Cm referência mencina-se que 0 graus sã iguais a 0.7 radians. EXEMPLO 6: Neste exeml retende-se analisar s mecanisms resnsáveis ela frça de arrast que atua sbre um cilindr de seçã retangular. Para trnar a análise mais simles e ainda reter s asects mais imrtantes, a análise é restrita a uma situaçã definida elas hióteses: H. Regime d escament: regime ermanente. H. Cmressibilidade: s efeits da cmressibilidade sã desrezíveis (Ma < 0.3) Adicinalmente, assume-se que a análise é restrita a cilindrs lngs u seja, escament é bi-dimensinal. Na Figura 3 fi vist que as duas cmnentes da fca que fluid exerce sbre cr sã: a frça de sustentaçã - L - atua na direçã nrmal a mviment d cr e a frça de arrast - D - atua na direçã d mviment, nd-se a ele. N caítul 6 fi vist que a frça de arrast é cmsta el arrast de frma - D - e el arrast viscs -D v -. Cm ilustra a figura abaix, arrast de frma de ser vist cm a diferença entre a ressã que atua sbre a face anterir e aquela que atua na face sterir. V D A ressã na face anterir é alta (energia cinética d fluid em mviment é transfrmada em ressã quand fluid é desacelerad) e a ressã na face sterir é 8

30 relativamente baixa uma vez que escament seara-se, nas arestas d cr (artículas de fluid dtadas de inércia suficientemente grande, esecialmente quand a velcidade é alta, nã cnseguem acmanhar as frmas d cr; veja as linhas de crrente que sã mstradas na arte suerir da figura). Observe, adicinalmente, que as ressões que atuam sbre as faces laterais nã cntribuem ara D O arrast viscs resulta da açã da tensã tangencial nas faces suerir e inferir. A cntribuiçã das tensões tangenciais que atuam sbre as faces anterir e sterir é nula. τ V D v Identificam-se assim dis mecanisms resnsáveis ala frça de arrast; rimeir mecanism resulta da manifestaçã da frça inercial e segund da frça viscsa. Ns crs rmbuds (cm cilindr de seçã retangular, cilindr de seçã circular, etc.) mecanism que leva a arrast de frma (ressã) é dminante a ass que ns crs esbelts (aerfólis, lacas lanas alinhadas cm escament, etc.) mecanism dminante é aquele assciad à frça viscsa. Ns mecanisms resnsáveis ela frça de arrast identificams dis tis de frça: a frça inercial e a frça viscsa. Fim d exeml 6. EXERCÍCIO : O que é um cilindr lng, cm mencinad n exeml 6? Sunha, r exeml, que um cilindr de seçã circular de diâmetr d ssua um cmriment L. Frneça uma exressã que caracterize fat d cilindr ser lng. EXERCÍCIO 3: Identifique as alternativas crretas - aerfóli simétric cm α 0 L < 0 L 0 L >0 - aerfóli cm curvatura sitiva, α 0 L < 0 L 0 L > 0 - aerfóli fin, cm curvatura, α 5 L 0 L > 0 D equen - laca lana cm α 0 D D D D f D equen - laca lana cm α 30 D D D D f D D f +D EXERCÍCIO 4: Cnsidere um cr em queda livre. Identificams que, n fenômen, atuam dis tis de frça: a frça inercial e a frça gravitacinal. Esta situaçã de ser vista cm uma simlificaçã de um fenômen mais cmlex; um cr caind na atmsfera. Da análise acima se cnclui que utr ti de frça deve ser incluíd. Qual é esta nva frça e qual é mecanism resnsável el seu aareciment? EXERCÍCIO 5: Cnsidere um êndul simles cmst r uma haste de cmriment, l, e massa desrezível. O êndul scila n vácu a redr de uma das extremidades da haste e na utra extremidade se adicina uma massa m. Analise fenômen e identifique as frças que sã resnsáveis ela scilaçã d êndul. Faça, também, um esquema d qual cnsta êndul, sistema de crdenada utilizad e τ 9

31 indique as grandezas relevantes ara a análise d eríd natura de scilaçã d êndul. Veja a cntinuaçã deste exercíci que é rsta n exercíci 6, EXERCICIO 6: Cnsidere um lag de águas calmas e acima dele, a uma altura z H, um cr de massa m encntra-se em reus. Pergunta-se: qual é valr da energia tencial e da energia cinética deste cr? N instante seguinte, cr se desrende e cai (ara simlificar a análise assume-se que em queda livre) e atinge a suerfície da água. Pergunta-se: quais sã s nvs valres da energia tencial e cinética? A tcar a água, a energia d cr é transferida ara a água que é erturbada e se bserva ndulaçã da suerfície da água que se raga radialmente em tdas as direções cm uma velcidade, c velcidade da nda, cm mstra a figura. Observe, ainda, que a altura da nda decresce a medida que se afasta da rigem. y c c c c c x c λ cmriment da nda c velcidade da nda T λ/c eríd z c c c c x λ Quais sã as frças resnsáveis ela frmaçã e ragaçã das ndas? Exlicar s mecanisms através ds quais estas frças atuam ara frmar as ndas? Exlicar, levand em cnsideraçã seus arguments anterires, rque a altura da nda diminui a medida que ela se afasta da rigem. Para a utilizaçã destes resultads veja exercíci 8 EXERCÍÇIO 7: Exlicar rque a altura das ndas se mantem inalterada quand elas se ragam num canal de largura cnstante. 30