CAPITULO 03 TÉCNICAS UTILIZADAS NA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

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1 CAPITULO TÉCNICAS UTILIZADAS NA ANÁLISE DE CIRCUITOS Prof SILVIO LOBO RODRIGUES

2 1 INTRODUÇÃO PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Um dos objetios principais do presente capítulo é o de apresentar métodos de simplificação na análise de circuitos mais elaborados Entre os métodos que serão estudados está a análise nodal, das malhas, dos laços e da superposição Procuramos também desenoler a habilidade de escolher o melhor método para cada situação particular Estudase ainda os teoremas de Theenin e Norton na simplificação de circuitos 2 ANÁLISE NODAL No capítulo anterior consideramos apenas circuitos simples contendo apenas dois nós Estudaremos agora circuitos com maior número de nós, de modo que teremos uma incógnita eu uma equação adicional para cada nó apresentado Assim, um circuito com três nós terá duas oltagens incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá noe oltagens desconhecidas e noe equações; um circuito com N nós terá N1 oltagens incógnitas e N1 equações A mecânica de solução utilizando análise nodal segue uma seqüência que procuraremos desenoler no eemplo da figura 1 A 2 4 8A 1 25A 5 Figura 1 Circuito com 4 nós e 8 ramos Para facilitar a solução amos redesenhar o circuito na figura 2 Professor Silio Lobo Rodrigues 2

3 A A 8A 1 Ref 5 Figura 2 Circuito com 4 nós e 8 ramos redesenhado Para a solução adotamos o seguinte procedimento: a) Escolhese o nó de referência e definese a oltagem entre cada um dos nós e o de referência Escolhese para referência o nó para o qual conerge o maior número de ramos, para simplificar as equações resultantes; b) Deese notar que um circuito com N nós terá (N1) oltagens, as quais deem ser identificadas como 1, para o nó 1, 2 para o nó 2 e assim por diante; c) Arbitrase um sentido para as correntes nas condutâncias, que não dee ser alterado para a obtenção das equações, de nó; i t G t ou d) Escreese as equações de nó utilizandose a lei de OHM, () () () t i() t Considerase com sinal as correntes que saem do nó e com sinal as R correntes que chegam no nó e) Simplificase as equações e resolese o sistema Vamos então à solução: 8 4 Para o nó 1: ( ) ( ) Para o nó 2: ( ) ( ) Para o nó : ( ) ( ) Simplificando as equações: Professor Silio Lobo Rodrigues

4 Utilizando a regra de Cramer: V V V O determinante do denominador é comum a todos os cálculos anteriores Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, ou seja, circuitos contendo apenas fontes independentes de corrente, o determinante do denominador pode ser escrito como matriz de condutância do circuito: 7 4 G Precisamos, ainda, er como fontes de oltagem e fontes dependentes afetam a estratégia da análise nodal Consideremos o eemplo da figura Professor Silio Lobo Rodrigues 4

5 1 A V Super Nó 8A 1 25A Ref 5 Figura Eemplo com fonte independente entre 2 nós A condutância de 2 entre nós 2 e foi substituída por uma fonte de oltagem de 22V A aplicação da lei de Kirchoff nos nós 2 e esbarra em uma dificuldade, pois a corrente sobre a fonte de 22V é desconhecida Não há a possibilidade de eprimir a corrente como função da oltagem Há duas saídas para essas dificuldades A mais difícil é associar uma corrente desconhecida ao ramo com a fonte de tensão, prosseguir com a lei das correntes de Kirchoff e, então, aplicar a lei das oltagens de Kirchoff entre os nós 2 e ; resulta um sistema de 4 equações e 4 incógnitas O método mais simples utiliza o fato de que estamos primariamente interessados nas oltagens dos nós e podemos, portanto eitar o uso do ramo com a fonte de tensão, todos juntos, como uma espécie de super nó, e aplicamos KCL, a ambos os nós simultaneamente Isto é possíel, pois a corrente total que sai do nó 2 é zero, assim como a do nó também é zero; então a corrente que sai dos dois nós também é zero No super nó: ( ) ( ) No nó 1: ( ) ( ) A terceira equação é fornecida pela própria fonte 22 2 Professor Silio Lobo Rodrigues 5

6 Simplificando: ,5V Como um terceiro caso de aplicação de análise nodal amos substituir a fonte de 22V do i eemplo anterior por uma fonte dependente de tensão de alor 8 sendo i a corrente no ramo de 4 A 4 2 i /8 1 i SUPERNÓ 8A 25A 1 Ref 5 Figura 4 Aplicação de análise nodal p/ circuito c/ fonte dependente No super nó: ( ) ( ) No nó 1: ( ) ( ) Da fonte controlada: 2 ( ) i Professor Silio Lobo Rodrigues 6

7 Simplificando: ,5, , 5 1 1V; 2 2V; V ,5 1,5 ANÁLISE DAS MALHAS O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares Se for possíel desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar Na figura 5 temos um eemplo de rede planar e não planar a) b) Figura 5 a) Rede planar b) Rede não planar Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente O nome oficial para esse caminho é laço Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma ez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro Professor Silio Lobo Rodrigues 7

8 A técnica de análise de malhas enole o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha Vamos utilizar o eemplo da figura 6 para melhor entendimento do método i 2 2Ω Ω 2Ω 6V i 1 1Ω i 12V Figura 6 Eemplo de aplicação de análise das malhas Para a solução adotamos o seguinte procedimento: a) Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de i 1 para a malha 1, i 2 para a malha 2 e assim por diante; b) O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário; c) Escreese as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de OHM, R i; d) Simplificase as equações e resolese o sistema obtido 6 2 i i 1 i i MALHA 1: ( ) ( ) i i i 2 i i MALHA 2: ( ) ( ) i 1 i i i i MALHA : ( ) ( ) 1 2 i 2i i i 9i i 1 2 i i 6i Professor Silio Lobo Rodrigues 8

9 i A i2 2,47A 9 9 i , 66A 9 9 Obseração: Notemos que, temos um denominador que é simétrico em relação à diagonal principal Isto ocorre para circuitos que contém apenas fontes de oltagem independentes e quando as correntes de malha são admitidas no sentido horário e os elementos que aparecem na 1 linha do determinante são, ordenadamente, os coeficientes de i 1, i 2, i M Essa matriz simétrica que aparece no elemento denominador é chamada matriz resistência da rede 2 1 R Professor Silio Lobo Rodrigues 9

10 4 CIRCUITOS COM FONTES DE CORRENTE Consideramos o eemplo da figura 7 i 2 6A 2Ω Ω 6V i 1 1Ω i 12V Figura 7 Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente independente Escreemos as equações de malha obserando apenas que a corrente na malha dee ser obrigatoriamente igual a 6A ( 1 2) ( 1 ) ( ) ( ) 6 2 i i 1 i i 4i2 i2 i 2 i2 i1 i 6A i 2i i 9i Resolendo o sistema : i 6,26A i 1 2, 91A Professor Silio Lobo Rodrigues 1

11 Vamos Considerar agora o eemplo da figura 8 i b i 1 / 2Ω Ω 6V i a 1Ω i c 12V i 1 Figura 8 Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente dependente 6 2 i i 1 i i MALHA A: ( ) ( ) a b a c MALHA B: ( ) ( ) i1 MALHA C: ic 4i i i 2 i i b b c b a Porém na malha A erificamos que: i 1 i a Logo, i c ia Leando nas equações das malhas A e B: ia 2( ia ib) 1 ia 6 ia 4ib ib 2( ib ia) 8i 6i 18 a a b i 9i b Professor Silio Lobo Rodrigues 11

12 Resolendo o sistema: i i a b A 1A A corrente da malha C: ic 1A 5 ÁRVORES E ANÁLISE NODAL GENERALIZADA Começamos definindo topologia como uma ramo da geometria que trata das propriedades de figuras geométricas, propriedades que não se alteram se a figura for girada, torcida, dobrada, esticada ou comprimida e assegurando que nenhuma parte da figura, será cortada ou juntada a alguma parte Uma esfera e um tetraedro são topologicamente idênticos, assim como o são um quadrado e uma circunferência Em termos de circuitos elétricos, não estamos preocupados com tipos particulares de elementos que possam aparecer no circuito, mas apenas com o modo como os ramos e nós são arranjados Podemos representar um circuito por um desenho simplificado chamado grafo linear, ou simplesmente grafo Vamos redefinir alguns termos topológicos que já são conhecidos nó : ponto no qual dois ou mais elementos têm uma coneão comum outro nó ramo : um caminho elementar, contendo um único elemento, que conecta um nó a qualquer laço : conjunto de ramos formando um caminho fechado e que passa apenas uma ez em cada malha : um laço que não contém nenhum outro na parte interna 2A 2Ω 1Ω 1Ω 5V 1Ω Ω Figura 9 Um circuito planar e seu grafo Professor Silio Lobo Rodrigues 12

13 O grafo da figura 9 possui 8 ramos e 5 nós Uma árore e um elo são dois noos termos referentes a um grafo linear, que precisam ser definidos Árore é um conjunto de ramos que não contém nenhum laço e que conecta, não necessariamente de modo direto, cada nó a qualquer outro Um elo é qualquer ramo num grafo linear que não é ramo de uma árore Um número de elos num grafo pode, muito simplesmente, ser relacionado ao número de ramos e nós Se o grafo tem N nós, então, são necessários eatamente (N1) ramos para se construir uma árore, pois, o primeiro ramo escolhido conecta dois nós e cada ramo adicional inclui mais um nó Assim, dados B ramos, o número L de elos dee ser: ( ) L B N 1 L B N 1 Na figura 1 temos um grafo linear, duas árores possíeis e um conjunto de ramos que não constituem uma árore a) b) c) d) Figura 1 a) grafo linear b) e c) árores d) não é uma árore Professor Silio Lobo Rodrigues 1

14 Vamos aplicar agora os conceitos anteriores na solução do circuito da figura 11 y 1V 2 1 Figura 11 Um circuito planar e seu grafo Vamos estabelecer algumas premissas que poderão ser aplicadas a qualquer outro circuito Assim, sendo, dado um circuito, procedese da seguinte maneira: a) Traçase o grafo do circuito; 2 b) Constrói uma árore; y c) A cada ramo associase uma das (N1) tensões pois temse (N1) ramos; d) Haendo fontes de tensão na rede elas serão colocadas nas árores e o alor da fonte dee ser tomado para a tensão do respectio ramo; e) Qualquer fonte dependente que seja controlada por tensão dee ter essa tensão colocada, se possíel, num dos ramos da árore; f) Fontes de corrente deem ser colocadas em elos e correntes que controlam fontes dependentes também se possíel aparecer em elos; g) As fontes de tensão deem ser colocadas em curto e formam um super nó Para o eemplo dado a árore adequada para o circuito é mostrada na figura que segue 1 1A 1V y 4 y Super nó Figura 12 Árore adequada ao circuito dado Professor Silio Lobo Rodrigues 14 2A y 1V 4 y

15 No nó 1 temos: ( ) y y No super nó temos: ( ) ( ) y y y y O sistema fica então: y y Donde encontramos : 26 V e y 9 4 V De posse das tensões e y todas as tensões dos ramo estão definidas sendo portanto informações suficientes para permitir uma solução completa do circuito 6 ANÁLISE DE LAÇOS E ELOS O uso de árores será agora considerado na obtenção de um conjunto de equações de laços Vamos utilizar o método no circuito da figura 1 7V 7A 1Ω Ω 2Ω i A 2Ω (a) 1Ω Figura 1 Aplicação do método da análise de laços e elos i B 7A (b) Professor Silio Lobo Rodrigues 15

16 Vamos estabelecer agora algumas premissas que poderão ser aplicadas à qualquer outro circuito a) Constróise uma árore qualquer para uma dada rede, tomase um elo arbitrário e juntase à árore Verificase que um laço é formado A esse laço associase uma corrente de laço Abrese o elo e repetese o processo para outro elo, obtendose outra corrente de laçorepetese o processo para cada elo e obtémse B(N1) correntes de laço (mesmo número de elos) b) Aplicase a lei de Kirchoff de oltagem às diersas correntes de laço Para o grafo da figura 1b temos correntes de laço, sendo uma delas já determinada pela fonte de corrente eistente num dos elos da árore 1 i 7 2 i i i Para a corrente i A temos: ( ) ( ) A A B A Para a corrente i B temos: ( ) Resolendo o sistema: 7 2 i i 1i A B B i, 5A i 2A A B Assim sendo a tensão no resistor de 2Ω localizado na parte eterna do circuito é: ( ) 2 i i 5V 2 A B A potência fornecida pela fonte de 7V: f7v ( ) P 7 i W B 7 TEOREMAS DA LINEARIDADE E SUPERPOSIÇÃO O principio da superposição estabelece que a resposta (uma corrente ou tensão desejada) em qualquer ponto de um circuito linear que tenha mais de uma fonte independente pode ser obtida com a soma das respostas originadas pela ação de cada fonte independente agindo sozinha Vamos eaminar mais detidamente o termo linear O conceito de linearidade de uma função está condicionado à erificação das propriedades da aditiidade e da homogeneidade Como eemplo prático amos eaminar a relação oltagem e a corrente para o resistor linear Professor Silio Lobo Rodrigues 16

17 () Ri() t t Para 2V temos uma corrente de 1A Logo, o resistor é de 2Ω Se a tensão for aumentada para 1V, a corrente resultante será aumentada para 5A, mantendose constante o alor da relação /i, satisfazendo assim a propriedade da homogeneidade Para o mesmo resistor de 2Ω, se aplicarmos uma tensão de 12V resultante da soma das tensões de 2V e 1V, teremos uma corrente resultante de 6A, equialente à soma das correntes de 1A e 5A Logo a propriedade da aditiidade é satisfeita Podemos então definir elemento linear como sendo um elemento passio que apresenta uma relação oltagemcorrente linear Se (t) for traçada como função de i(t) o resultado é uma linha reta (t) i(t) Elemento Linear (t) i(t) Figura 14 Elemento linear e sua resposta i Uma fonte dependente linear é uma fonte dependente de corrente ou de tensão cuja corrente ou tensão de saída é proporcional apenas à primeira potência de uma corrente ou tensão ariáel no circuito ou à soma de tais grandezas Ou seja, uma fonte dependente, s,6i1 142, é linear, mas 2 s,6i1 ou s,6i11 não são lineares Agora podemos definir um circuito linear como sendo um circuito composto inteiramente de fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos lineares A mais importante conseqüência da linearidade é a superposição O teorema da superposição aparece, usualmente, numa forma similar à seguinte: Em qualquer rede resistia linear que contenha árias fontes, a tensão ou corrente, em qualquer resistor ou fonte, pode ser obtida somandose algebricamente todas as tensões ou correntes, causadas pela ação indiidual de cada fonte independente que eista no circuito, sendo todas as outras fontes de tensão independentes substituídas por curtocircuitos, e as fontes de corrente independentes substituídas por circuitos abertos Professor Silio Lobo Rodrigues 17

18 i i 6V 6V 6V 5A 2Ω 2 Figura 15 Eemplos de aplicação do teorema da superposição Para a figura 15a amos considerar o efeito da fonte do ramo da direita em termos da tensão e corrente i i' 6V ' ( ) i i 1A 4i 4V Figura 16 Professor Silio Lobo Rodrigues 18

19 Consideremos o efeito da fonte do ramo central: i 1 i" ( ) i ; i 1A i i 4, 5 2V 1 i,5a 6V Figura 17 Logo, a tensão e a corrente i totais resultantes das duas fontes são: 4 2 6V i i i 1, 5 1, 5A Para o circuito da figura 15b: Consideramos a fonte de tensão de 6V 6V 2Ω 2 i i Figura 18 Professor Silio Lobo Rodrigues 19

20 i i 6 4i i , 2V i,6a Consideremos agora a fonte de 5A i 5A 2Ω 2 Figura V i 2A Logo, a tensão e a corrente i totais são: 1,2 4 2,8V i i i,6 2 1,4A Professor Silio Lobo Rodrigues 2

21 8 TEOREMA DE THÉVENIN E NORTON Com base no princípio da superposição, é possíel demonstrar mais dois teoremas que simplificam em muito a análise de circuitos lineares São os teoremas de Norton e Théenin O teorema de Théenin permite substituir parte de uma rede linear por um gerador equialente para fins de determinação da corrente fornecida à outra parte da rede, ou da tensão entre seus terminais REDE A (t) i(t) REDE B Figura 2 Aplicação do Teorema de Théenin Nestas condições o Teorema de Théenin assegura que: a rede A, para efeito de cálculo da corrente e tensão fornecidas à rede B, é equialente à associação série da rede A o com o gerador de tensão ideal oc, A o é a rede A com todos os geradores independentes desatiados e oc é a tensão nos terminais da rede A quando em circuito aberto A oc A o oc Figura 21 Equialente Théenin O teorema de Norton assegura que : Uma rede A, ligada a uma rede B apenas por dois terminais, pode ser substituída para efeito de cálculo da tensão e da corrente fornecida à rede B, pela associação paralela da rede A o com o gerador de corrente ideal i sc onde A o é a rede A com os geradores independentes desatiados e i sc é a corrente nos terminais da rede A quando em curtocircuito Rede A i sc Rede A o i sc Figura 22 Equialente Norton Professor Silio Lobo Rodrigues 21

22 Se a rede A o contier elementos de um só tipo poderá ser reduzida a um só elemento equialente Em particular se A o só contier resistências reduzse a uma resistência ou condutância pelas regras já conhecidas de simplificação de fontes Consideremos como primeiro eemplo o circuito que segue Ω 7Ω 12V 6Ω R L REDE A REDE B Figura 2 Aplicação do teorema de Théenin a um circuito puramente resistio Para determinar oc separamos a rede A e calculamos a tensão em seus terminais a circuito aberto Ω 7Ω 12V 6Ω oc Figura 24 Rede A atia oc oc V 6 8V Deese notar que a circuito aberto não eiste corrente na resistência de 7Ω Para determinar a resistência equialente desatiase a rede A Professor Silio Lobo Rodrigues 22

23 Ω 7Ω 6Ω 9Ω Figura 25 Rede A desatiada Logo a resistência de Théenin e Norton fica então: 6 RTH 7 9 Ω 6 Os circuitos equialentes de Théenin e Norton ficam, então: 9Ω 8V R L 8 A 9 9Ω R L a) b) Figura 26 a) Equialente Théenin b) Equialente Norton Obserese que: oc R thisc Onde isc é a fonte de Norton Como segundo eemplo amos determinar os equialentes Théenin e Norton para o eemplo da página seguinte Professor Silio Lobo Rodrigues 2

24 2kΩ kω 4V 2mA oc 1kΩ REDE A REDE B Figura 27 Circuito a duas fontes Aplicação Teorema de Théenin A circuito aberto determinamos oc com a rede A atia Verificase que a corrente de 2mA é obrigada a circular sobre o resistor de 2kΩ uma ez que a saída está em aberto, logo: oc oc 8V Para determinar o resistor de Théenin, desatiamos a rede A abrindo a fonte de corrente e colocando em curto a fonte de tensão 8 Rth 2 1 5k Ω e i sc 1,6mA 5 Logo, ( ) O circuito equialente de Théenin e Norton fica então: 5kΩ 8V 1kΩ 5kΩ 1kΩ 1,6mA a) b) Figura 28 a) Equialente Théenin b) Equialente Norton Professor Silio Lobo Rodrigues 24

25 Poderíamos ter obtido o equialente Théenin dos dois eemplos anteriores pelo método de simplificação de fontes já isto no capítulo 2 Vamos analisar agora a obtenção do equialente Théenin de um circuito contendo fontes dependentes e independentes Neste caso, freqüentemente será mais coneniente determinar os equialentes Théenin e Norton atraés da obtenção da tensão de circuito aberto e da corrente de curtocircuito e, então, determinar o alor de R th como quociente dos dois equialentes Analisemos o circuito que segue: 2kΩ kω 4V 4 REDE B Figura 29 Circuito contendo fontes dependentes e independentes A circuito aberto temos: oc 4 2 oc 4 8V Note que nenhuma corrente circula no resistor de kω e a corrente no resistor de 2kΩ é Com os terminais da rede A em curto: ; Logo a corrente de curto i sc é obtida diretamente: sc ( ) sc 4 2 i i,8ma 4 Professor Silio Lobo Rodrigues 25

26 O resistor de Théenin: 8 Rth 1k Ω, 8 1 O ckt equialente fica então: 1kΩ 8V REDE B 1kΩ REDE B,8mA Figura a) Equialente Théenin b) Equialente Norton Como último eemplo amos agora obter o equialente Théenin para um ckt que contenha apenas fontes dependentes e resistores 6Ω 6Ω i,1v,1v 1V Figura 1 Circuito com fonte dependente para obtenção do equialente Théenin A rede já é, portanto a rede A morta e oc Precisamos, então, determinar o alor de R th representado por essa rede de 2 terminais No entanto, não podemos determinar oc e i sc e tomar o quociente dos dois, pois não há fonte independente, e tanto oc como i sc são nulos Usamos, então, um pequeno truque colocando uma fonte eterna de 1V e determinamos a corrente i resultante e, então, 1 Rth i Professor Silio Lobo Rodrigues 26

27 1V ( ),1 i 4 i,15a 1 Rth 6,67 Ω,15 No eemplo anterior poderíamos ter usado uma fonte de corrente eterna de 1A e determinado Neste caso, Rth A erificação fica por conta do leitor 1 Podemos fazer agora um quadro resumo em que são mostrados os tipos de circuitos e os métodos mais adequados para obter os equialentes de Théenin e Norton Elementos que aparecem no CKT MÉTODOS Simplificação de fontes ou R th, oc ou i sc oc ou i sc Possíel i 1A ou 1V Professor Silio Lobo Rodrigues 27

28 9 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1 Referindose ao ckt da figura abaio determine qual dos tipos de análise é mais simples na determinação de i, análise de nós generalizada ou análise de laços Escolha uma árore adequada e determine i, i y e i z 4A 4A i z 1Ω i z 1Ω 1Ω i y i i y i 1Ω 1Ω 1Ω i z 4 i y i V 2V i z 4 i z 4 V 2V Solução: N 6 nós B 9 ramos L 4 elos Para o laço ( ) ( ) i 1 i 4 i 2 i i z y Para o laço y ( ) ( ) 1i i 1i 4 i i y z y y Para o laço z ( ) ( ) i 1 i 4 i 2 1 i 4 i z z z y Resolendo o sistema: Professor Silio Lobo Rodrigues 28

29 z PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL i,5a iy,25a i,75a 2 Use superposição para determinar o alor de A no circuito abaio: 15A 5Ω 5Ω 45V 1Ω i A V A 11A Solução: Fonte de 15A: 15 5 i A 1, 5A A 15V 5 Fonte de 11A: 11 4 i A 8, 8A A 88V 5 Fonte de 45V: 45 i A, 69A A 69V V A A A A A Professor Silio Lobo Rodrigues 29

30 Com referência ao circuito abaio use as equações de malha para encontrar i A e a potência fornecida pela fonte dependente 2i A i C 14V 1Ω i B 2Ω i A Ω i A 1Ω 2V Solução: MALHA A: ( ) i 2 2 i i A A B 14 1 i i 2 i i 2 1i MALHA B: ( ) ( ) MALHA C: ic 2i A B C B A B ( ) ( ) 5i 2i 2 2 A B A B A 2i 4i 1 2i 16 1i 4i 4 A B A B 4i 4i 16 Somando: 6iA 12 ia 2mA ic 4mA i B 16 4, mA 4 4 Professor Silio Lobo Rodrigues

31 f2ia ( ) ( ) f2i 1 i A C ib V P 2 4mA 8mW f2ia 4 Para o circuito que segue determine as tensões de nós i 1 1 2Ω 8Ω i 2 i 2 A i 2i Solução: Nó 1 : i1 i () Nó 2 : i i i ( 2) Nó : ( ) ( ) i1 i2 2i Multiplicando por 4 a eq (1): 12 2 ( 4) 1 2 Multiplicando por 8 a eq (2): Multiplicando por 8 a eq (): 21 2 Professor Silio Lobo Rodrigues 1

32 Utilizando a regra de Cramer: ,8V 2 2,4V 2, 4V Para o circuito abaio determine as tensões dos nós 1Ω Super nó 1 2 2V 2A 2Ω 7A Professor Silio Lobo Rodrigues 2

33 Solução: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 2 4 ( ) , V 5, V 6 Usando análise de malha, calcular a corrente i no circuito que segue 1Ω i i 2 2 i i 1 i 2 24V i 1 12Ω i 4i Solução: i i i 1 2 ( ) ( ) M i i 12 i i 12 11i 5i 6i ( ) ( ) M2 4i 4 i i 1 i i 5i 19i 2i ( ) ( ) ( ) M 4 i i 12 i i 4 i i i i 2i Professor Silio Lobo Rodrigues

34 Pela Regra de Cramer: i i i i 1 2,25A i 2,75A i 1, 5A 7 Aplique o teorema da superposição para obter i 2A 1V 6 i 4A Professor Silio Lobo Rodrigues 4

35 Solução: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Considerando atia apenas a fonte de 1V 1V 6 i' i i 18 i 2A Considerando atia apenas a fonte de 2A 2A 6 i Diisor de corrente 1 4 i 2 A Professor Silio Lobo Rodrigues 5

36 Com a fonte de 4 A atia 6 i 4A Por diisor de corrente i A i i i i 2 24A 8 Calcular o equialente de Théenin para o circuito que segue I 5Ω I X Ω a 6V 1,5I X b Solução: A ckt aberto: Vab Vth 4I I 1, 5I I I, 5I 6 5I I 4I ( ) 6 5, 5I 7I Professor Silio Lobo Rodrigues 6

37 th PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 6 6 ( 2, 5 7) I I 1, A 4,5 V 4 1, 5, V Com a b em curto: I 5Ω I X Ω a 6V 1,5I X I SC I NT b I 1, 5I I I, 5I I I I 6 5I I sc NT ( ) 6 5, 5I I 6 6 ( 2, 5 ) I I 12A,5 V 5, Ω th Rth, 444 INT 12,44 a 5,V b Professor Silio Lobo Rodrigues 7

38 9 a) Determine o equialente Théenin para o circuito isto de a e b b) Qual o resistor ligado em a e b que implicará em MTP? c) Qual é essa potência? kω a 6V i 2i 2kΩ b Solução: Com a e b aberto: V V 2 2i TH ab 6 i i 2mA 4 VTH V Com a e b em curto: kω a 6V i 2i 2kΩ I SC b 6 i 2 1 A ISC 2i 4 1 A 8 RTH 2 Ω 4 1 Professor Silio Lobo Rodrigues 8

39 2Ω a 8V i 2Ω 8 4 i 2 1 A ( ) P , 4W b 1 Determine o equialente de Théenin para o circuito, isto de ab ligando uma fonte de 1A ao circuito temse RTH Ω 1 1Ω i' 5Ω a 2i 1 i 1 Ω 1A b 1 i i 1 i 1 i i 2i 5 1( 1 i ) 2i 15 1i 5 1 i 1 5 i , 15 4,7 4 19, 47V 2,1 RTH 19,47 Ω Professor Silio Lobo Rodrigues 9