ENSINO E APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 Lívia Da Cás Pereira ENSINO E APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO FUNDAMENTAL Santa Maria, RS 2011

2 Lívia Da Cás Pereira ENSINO E APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO FUNDAMENTAL Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria como requisito para a obtenção do título de mestre em Ensino de Matemática. Orientadora: Silvia Maria de Aguiar Isaia Co-orientadora: Helena Noronha Cury Santa Maria, RS 2011

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4 Dedico esta dissertação a minha tia Patricia, por acreditar no meu sonho e fazê-lo realidade. A ti, minha eterna gratidão. Pati, eu te amo!

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pela vida que me foi dada e por todas as pessoas maravilhosas que fazem parte dela. A minha mãe Maristela. Meu chão. Por saber que vou voltar para casa e você vai estar lá. Obrigada por fazer de mim a pessoa que eu sou. Ao meu pai Livio. Faltam-me palavras... peito... Ao meu irmão Gabriel. Meu orgulho. Obrigada por esse amor que não cabe dentro do Ao meu namorado Bruno. Por esses três anos e dez meses de compreensão, incentivo, carinho, respeito, amizade e amor. Isso é só o começo... As minhas amigas Márcia e Carla. Pelos anos de amizade e amor. Obrigada por acreditarem em mim da mesma forma que eu acredito em vocês. A minha amiga Léo. Pelos anos de amizade, incentivo e confidências. Ao meu padrasto Edir. Pelos anos de convivência, amizade e incentivo.

6 A minha tia Gissele. Pelas conversas na hora do chimarrão e por me fazer acreditar que, no final, tudo acaba bem. Obrigada pelos chás de camomila! A minha tia Daniela. Pelos olhares e abraços carregados de amor. Obrigada por dizer: A dindinha te ama!. Ao meu tio Fabian. Pelas vezes que me olhou e não precisou dizer nada. Obrigada por ser como um pai para mim. Aos meus primos Laila, Lorenzo, Letícia, Genaro, Antônio e Guilherme. Meus irmãos. Minhas paixões! Obrigada por serem meus. Ao meu avô Livio. Exemplo de vida. Agradeço pelo carinho, atenção e amor. Obrigada por ser esse pai com açúcar. A minha avó Jô. Meu bibelô. Obrigada por fazer da sua casa um pedacinho do céu e por ser a sua Vivi. Ao meu avô Celeste. Exemplo de força. Obrigada por me amar do seu jeito, por sempre me estender a mão e não deixar que nada me faltasse. A minha avó Nê. Pelas vezes que te ouço e te sinto. Isso me dá forças para transpor todos os obstáculos. Onde estiver, obrigada por tudo! Essa vitória também é de vocês! Amo-os do tamanho do infinito!

7 Ao Dr. Vergílio, chefe querido. Obrigada pela amizade e compreensão durante os seis anos em que trabalhei contigo. As professoras Silvia e Helena. Pelo tempo e atenção dedicados a mim e também por seus valiosos ensinamentos. Aos meus colegas de mestrado. Pelos dias que passamos juntos, pelos trabalhos em grupo, pelas aflições divididas e pelas risadas compartilhadas. Foi um prazer conviver com vocês! trabalho. A professora Marlova. Por permitir a realização desta pesquisa no colégio em que Ao professor Leonardo. Pelo coleguismo e amizade. Obrigada pelo incentivo e pela oportunidade de trabalhar contigo. E, finalmente, aos meus alunos. Razão do meu empenho. Obrigada pelos ensinamentos diários e por ter a oportunidade de ser a profe de vocês.

8 RESUMO Esta dissertação tem como tema ensino e aprendizagem das operações com números decimais através da Resolução de problemas no Ensino Fundamental. Seu objetivo é avaliar se o método de Resolução de problemas contribui para um melhor entendimento das operações com números decimais. Para a realização desta pesquisa de caráter qualitativo foram utilizados como instrumentos de coleta de dados: observação participante registrada por meio de um diário de aula onde foram relatados todos os acontecimentos ocorridos em classe e um teste diagnóstico, bem como documentos produzidos nas resoluções dos problemas, aplicados a vinte alunos do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental de um colégio privado, localizado na cidade de Santa Maria. O teste diagnóstico foi elaborado a partir das questões do SAERS, do ano de 2007, que envolvem o conteúdo de Números Decimais do 6º ano do Ensino Fundamental e teve como objetivo diagnosticar as dúvidas mais frequentes apresentadas pelos alunos com os quais a pesquisadora trabalhou. Entre estas se destacaram: problemas de interpretação do enunciado do problema; relativas à falta de atenção; na subtração quando o minuendo é maior que o subtraendo; posicionamento da vírgula. A partir desse diagnóstico, elaboraram-se situações-problema para serem trabalhadas por meio do método de Resolução de problemas. Através desta pesquisa pode-se concluir que a aplicação do método de Resolução de problemas foi válida, uma vez que possibilitou aos alunos a realização de um trabalho coletivo e colaborativo, além de desenvolver, nos mesmos, uma maior autonomia na construção de seu próprio conhecimento. Também proporcionou a pesquisadora o diagnóstico de lacunas existentes em relação a aprendizados anteriores como, por exemplo, as quatro operações, possibilitando saná-las. Palavras-chave: Resolução de problemas. Operações com números decimais. Ensino fundamental.

9 ABSTRACT The theme of this dissertation is the teaching and learning on the operations with decimalnumbers by the resolution of problems in Primary School. The main purpose is to evaluate if the method of resolution of problems contributes for a better understanding of operations involving decimal numbers. To develop this research of qualitative type, the following instruments to collect data have been used: participants were observed and their results recorded in a class diary which included all the incidents occurred in class. A diagnostic test as well as documents used in the resolution of problems which were applied to twenty students from the sixth year (5 grade) from primary school of a private school, located in the city of Santa Maria. The diagnostic test have been elaborated based on questions from SAERS (a system to evaluate the performance of the students in schools of Rio Grande do Sul), from the year of 2007, which involved decimal number problems of the sixth year (5 grade) from primary school and aimed to identify the most frequent doubts presented by the students who the researcher have works with. Between theses doubts the ones which stood out were: difficulties of interpretation of problem s statements; lack of attention; when the minuend is smaller than the subtrahend in subtraction and the position of the comma. From this diagnostic, hypothetic problems were set to be solved by the method of Resolution of Problems and according to it, it s been possible to conclude that the application of the method of Resolution of Problems has been satisfactory, since it allowed the students to develop a collective and collaborative job. Besides, it allowed the researcher to develop their own knowledge with a higher level of autonomy. It also made possible to the researcher to identify gaps in children s knowledge previously achieved, as the four mathematical operations and then, fulfill them. Keywords: Resolution of Problems. Operations with decimal-numbers. Primary School.

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO METODOLOGIA DE PESQUISA PROBLEMA DE PESQUISA QUESTÕES DE PESQUISA OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS MODALIDADE DA PESQUISA INSTRUMENTOS DE PESQUISA Observação Participante Diário de Aula Teste Diagnóstico PARTICIPANTES DA PESQUISA PROCEDIMENTOS UTILIZADOS NA PESQUISA REFERENCIAL TEÓRICO NÚMEROS DECIMAIS A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS ANÁLISE DO TESTE DIAGNÓSTICO ANÁLISE DAS SITUAÇÕES-PROBLEMA CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE A TESTE DIAGNÓSTICO APÊNDICE B CONJUNTO DE ATIVIDADES ANEXO TERMO DE AUTORIZAÇÃO... 91

11 1 INTRODUÇÃO Ensino e aprendizagem das operações com números decimais através da Resolução de problemas no Ensino Fundamental é o tema desta dissertação, que tem como problema de pesquisa a seguinte questão: O método de Resolução de problemas contribui para um melhor entendimento das operações com números decimais? Com este intuito foi investigado se o método de Resolução de problemas contribuiu para a compreensão das operações com números decimais e quais foram as dúvidas mais frequentes apresentadas, em relação a este conteúdo, por vinte alunos do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental de um colégio privado, localizado na cidade de Santa Maria. Nessa pesquisa de caráter qualitativo foram utilizados como instrumentos de coleta de dados: a observação participante e o diário de aula onde foram relatados todos os acontecimentos ocorridos em classe, além de um teste diagnóstico, bem como documentos produzidos nas resoluções dos problemas. O motivo pelo qual se optou por esse tema foi o fato de que os números, na forma decimal, são apresentados com frequência em diversas situações do cotidiano como operações com valores em reais e medidas. A compreensão de operações com números decimais é fundamental para que o aluno possa lidar com situações simples do cotidiano, como efetuar o cálculo do troco de uma compra ou determinar distâncias, por exemplo. Pensando nisso, acredita-se que as operações com números decimais, abordadas por meio da Resolução de problemas, desafiou o aluno a buscar uma solução frente à situação proposta. Assim, o mesmo deixou de ser espectador para ser o construtor de seu próprio conhecimento, uma vez que, os alunos com quem a pesquisadora trabalhou, apresentaram gosto por desafios. Além disso, foi oportunizado ao aluno desenvolver a sua autoestima e perseverança na busca por soluções de problemas, tanto de sala de aula como de seu cotidiano, bem como trabalhar coletivamente, respeitando o modo de pensar dos colegas. Esta dissertação apresenta, no capítulo 2, a metodologia de pesquisa e, no capítulo 3, o referencial teórico. No capítulo 4 é apresentada a análise dos dados coletados e, no capítulo 5, algumas considerações sobre a presente pesquisa. Após tem-se as referências utilizadas para o desenvolvimento deste trabalho. Também estão incluídos dois apêndices referentes ao teste diagnóstico e as situações-problema. Além de um anexo contendo a autorização do colégio para a realização da presente pesquisa.

12 2 METODOLOGIA DE PESQUISA 2.1 PROBLEMA DE PESQUISA O método de Resolução de problemas contribui para um melhor entendimento das operações com números decimais? 2.2 QUESTÕES DE PESQUISA a) Quais são as dúvidas mais frequentes sobre Números Decimais, apresentadas por alunos do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental de um colégio privado localizado na cidade de Santa Maria? b) Como a resolução de problemas do cotidiano pode auxiliar na aprendizagem das operações com números decimais? 2.3 OBJETIVO GERAL Investigar a contribuição do método de Resolução de Problemas para a compreensão das operações com números decimais. 2.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Detectar quais são as dúvidas mais frequentes sobre Números Decimais que são apresentadas por alunos do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental de um colégio privado localizado na cidade de Santa Maria. b) Analisar a aplicação do método de resolução de problemas para a aprendizagem das operações com números decimais. 2.5 MODALIDADE DA PESQUISA A presente pesquisa é de cunho qualitativo. Pesquisas qualitativas não são regidas por regras precisas, aplicáveis a uma ampla quantidade de casos, devido a sua diversidade e flexibilidade. (ALVES-MAZZOTTI, 1999, p. 147)

13 Neste tipo de pesquisa, destacam-se os seguintes aspectos: focalização do problema, procedimentos metodológicos e conclusão. Devido ao fato de que, nas pesquisas qualitativas, o foco da pesquisa vai ajustando-se ao longo do processo, o grau de especificação do problema varia, bem como a posição do pesquisador. Isso faz com que a etapa de focalização do problema seja a mais difícil e trabalhosa no planejamento de uma pesquisa, exigindo leitura e reflexão por parte do mesmo. Segundo Alves-Mazzotti (1999, p.150): O conhecimento da literatura pertinente ao problema que nos interessa (relatos de pesquisa, teorias utilizadas para explicá-lo) é indispensável para identificar ou definir com mais precisão os problemas que precisam ser investigados em uma dada área. Três situações encontradas na literatura podem dar origem a um problema de pesquisa: (a) lacunas no conhecimento existente; (b) inconsistência entre o que uma teoria prevê que aconteça e resultados de pesquisas ou observações de práticas cotidianas; e (c) inconsistências entre resultados de diferentes pesquisas ou entre estes e o que se observou na prática. Seja qual for o foco da questão, é essencial que o pesquisador tenha conhecimento sobre o tema e possa propor questões significativas e ainda não abordadas. Além disso, o contato com o campo é importante para gerar questões e identificar informantes e documentos. Essas questões podem ser reformuladas, abandonadas ou acrescidas no decorrer do estudo. A etapa de focalização do problema tem por objetivos estabelecer as fronteiras da investigação, orientar o pesquisador a selecionar as informações relevantes e ajudar na decisão sobre os participantes da pesquisa. (ALVES-MAZZOTTI, 1999, p. 151) A escolha do campo de coleta de dados é feita de acordo com as questões de interesse do estudo e da condição de disponibilidade dos sujeitos. Em relação aos participantes, não é possível indicar, na maioria das vezes, quantos e quais serão os envolvidos. Contudo nesta pesquisa tem-se o número de participantes, a escola em que estão inseridos e o ano do Ensino Fundamental em que estão estudando. Na etapa de conclusão, procura-se discutir alternativas para a avaliação do projeto, bem como as implicações de cada uma dessas alternativas, a fim de que o pesquisador possa justificar suas escolhas corretamente. Para Alves-Mazzotti (1999, p. 162): mesmo aquelas informações que nem sempre podem ser antecipadas no projeto, devem ser esclarecidas no relatório final. Em relação a presente pesquisa, destaca-se:

14 Focalização do problema: O foco determinado para esta pesquisa está na investigação da contribuição do método de Resolução de problemas para o entendimento do conteúdo de Números Decimais. Além disso, procurou-se detectar quais foram as dúvidas mais frequentes em relação a este conteúdo, bem como analisar a aplicação do método de Resolução de problemas para a aprendizagem do mesmo. Procedimentos metodológicos: Nessa etapa foram utilizados como instrumento de pesquisa a observação participante e o diário de aula, além de um teste diagnóstico e resoluções de problemas produzidas pelos alunos com quem a pesquisadora trabalhou. Discussão dos resultados: Por fim, procurou-se responder as questões levantadas na etapa de focalização do problema. Esta consta nas considerações finais da presente pesquisa. 2.6 INSTRUMENTOS DE PESQUISA Para a realização desta pesquisa de caráter qualitativo foram utilizados na coleta de dados os seguintes instrumentos: a observação participante e o diário de aula onde foram relatados todos os acontecimentos ocorridos em classe, além de um teste um diagnóstico, bem como documentos produzidos pelos alunos nas resoluções dos problemas Observação Participante A observação participante, também conhecida como observação etnográfica, é um tipo de estudo naturalista em que o pesquisador frequenta os locais onde os fatos ocorrem naturalmente. A coleta dos dados se realiza baseada no comportamento das pessoas quando estão conversando, trabalhando, estudando, entre outras atividades. Para Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 108): A observação participante é uma estratégia que envolve não só a observação direta, mas todo o conjunto de técnicas metodológicas (incluindo entrevistas consulta a materiais etc.), pressupondo um grande envolvimento do pesquisador na situação estudada. Segundo Alves-Mazzotti (1998, p. 164): A observação de fatos, comportamentos e cenários é extremamente valorizada pelas pesquisas qualitativas. Em relação a essa prática pode-se destacar as seguintes vantagens: Independe do nível de conhecimento ou da capacidade verbal dos sujeitos;

15 Permite verificar a veracidade de certas respostas que, muitas vezes, são dadas com a finalidade de causar boa impressão; Permite identificar comportamentos não intencionais ou inconscientes e explorar tópicos que os informantes não se sentem à vontade para discutir; Permite o registro do comportamento em relação ao tempo e ao espaço. Quanto à flexibilidade, as observações classificam-se em dois tipos: estruturadas e não estruturadas. Na observação estruturada são preestabelecidas as formas de registro e o comportamento a ser observado, enquanto que, na observação não estruturada, os comportamentos a serem observados não são preestabelecidos e sim, observados e relatados na forma como ocorrem. (ALVES-MAZZOTTI, 1998, p. 166) Essa prática permite que o pesquisador se torne parte da situação observada por meio da interação com os sujeitos da pesquisa, como no caso deste trabalho. Entre as habilidades necessárias para a realização da observação participante, podemos destacar: Capacidade de estabelecer uma relação de confiança entre pesquisador e sujeitos da pesquisa; Demonstrar sensibilidade com os sujeitos da pesquisa; Saber ouvir; Saber formular boas perguntas; Ter conhecimento das questões investigadas; Saber adaptar-se a situações inesperadas; Não ter pressa na identificação dos fenômenos observados. (ALVES-MAZZOTTI, 1998, p. 167) Para a elaboração da pesquisa, destacam-se os seguintes aspectos: O nível de participação do observador; O grau de conhecimento dos participantes sobre os objetivos da pesquisa proposta; O contexto da observação; Duração provável da observação; Forma de registro dos dados. (ALVES-MAZZOTTI, 1998, p. 167) Diário de Aula O diário de aula corresponde ao diário de campo, mas é mais específico para as situações de ensino. Envolve a documentação em que professores relatam os acontecimentos ocorridos em sala. Esses relatos podem ser plenamente abertos, como no caso da presente

16 pesquisa, ou vir previamente ordenados e planejados. Em relação ao ponto de vista metodológico, os diários de aula fazem parte da linha de pesquisa baseados em documentos pessoais ou narrações autobiográficas. (ZABALZA, 2004, p. 14) Os diários variam de acordo com o conteúdo, periodicidade em que são escritos e pela função que cumprem. Destacam-se as seguintes modalidades: Jornalística: segue as características próprias do jornalismo, descrevendo os fatos; Analítica: dá maior atenção aos aspectos específicos que se deseja observar; Avaliativa: valida ou julga os fenômenos descritos; Etnográfica: o conteúdo narrado leva em conta o contexto físico, social e cultural; Terapêutica: o conteúdo escrito serve para descarregar as tensões de quem o escreve; Reflexiva: quando a narração tenta esclarecer as próprias ideias sobre o tema narrado; Introspectiva: quando o conteúdo se volta sobre o próprio narrador; Criativa e poética: a narração não somente reflete a realidade como também a recria. (ZABALZA, 2004, p. 15) Nesta pesquisa o diário de aula foi utilizado em sua versão analítica, etnográfica e reflexiva. Quanto mais informações forem oferecidas no diário, mais rico ele será. Nesse sentido, os diários introspectivos perdem sentido, pois fica estabelecido o ponto de referência externo em que os fatos são narrados. A importância deste documento está na possibilidade de contrastar tanto o objetivo-descritivo, como o reflexivo-pessoal, ao permitir que o narrador faça uma leitura sobre os acontecimentos. (ZABALZA, 2004, p. 16) Teste Diagnóstico O teste diagnóstico foi elaborado a partir das questões do SAERS, do ano de 2007, que envolveram o conteúdo de Números Decimais do 6º ano do Ensino Fundamental (Apêndice A) e teve como objetivo diagnosticar as dúvidas mais frequentes apresentadas pelos alunos em relação às operações com números decimais. Com base nessas dúvidas elaboraram-se situações problemas que foram solucionadas, posteriormente, por meio do método de Resolução de Problemas. Os comentários sobre as questões constam do Boletim Pedagógico de Matemática do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental. (RIO GRANDE DO SUL, 2007)

17 A questão 1 abordou a operação de adição entre Números Decimais. O aluno deveria construir o algoritmo e adicionar. A questão não apresenta grandes dificuldades, uma vez que a quantidade de ordens decimais é a mesma nos dois números. A questão 2 também versou sobre a operação de adição entre Números Decimais. Porém, a quantidade da ordem decimal não é a mesma nos dois números. Isso faz com que o aluno necessite identificar o posicionamento correto da vírgula em relação a décimos, centésimos e milésimos. A questão 3 apresentou uma tabela com diferentes preços, na qual o aluno precisou consultar, construir o algoritmo e adicionar, de acordo com o que foi solicitado no exercício. Essa questão não apresentou grandes dificuldades, uma vez que abordou um assunto do cotidiano. A questão 4 requereu do aluno a habilidade de adicionar medidas de comprimento expressas em Números Decimais. Além disso, o aluno necessitou saber efetuar a adição de números naturais, interpretar Números Decimais no que se refere à quantidade de algarismos antes e depois da vírgula, bem como verificar se todas as medidas de comprimento estão expressas na mesma unidade. A questão 5 abordou a multiplicação de um Número Natural por um Número Decimal. O aluno necessitava saber que, dado o preço de um determinado produto, deveria multiplicálo por dois para determinar o preço pedido. A questão 6 exigiu que o aluno fizesse a operação de subtração das quantias em reais para determinar o valor do troco a ser dado. A questão 7 e 8 também abordaram operações de subtração envolvendo Números Decimais. E, por fim, a questão 9 avaliou a habilidade de resolver problemas com Números Racionais expressos na forma Decimal por meio das operações de adição e subtração. 2.7 PARTICIPANTES DA PESQUISA A pesquisa foi realizada em uma das turmas do colégio em que a pesquisadora trabalha. Este colégio localiza-se na região central da cidade de Santa Maria, tem oitenta e nove anos de história e aproximadamente quatrocentos alunos entre os níveis: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. Conta com projetos colaborativos (projeto antibullying), mostras visuais (feira de ciências), oficinas de texto, concursos (sarau literário), escolas de dança e esportes em geral,

18 bem como laboratório de informática, laboratório de ciências, salas de vídeo e artes, e biblioteca. A coordenação do colégio é composta pela diretora, coordenadora e orientadora educacional. Os participantes da pesquisa foram vinte alunos do 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental. Estes alunos possuem entre dez e onze anos. 2.8 PROCEDIMENTOS PEDAGÓGICOS Aplicou-se um teste diagnóstico (Apêndice A) para avaliar as dificuldades dos alunos em relação às operações com números decimais. Após a correção do teste e de acordo com os resultados analisados foi aplicada, em três encontros 1, uma lista com dez situações-problema (Apêndice B) sobre operações com números decimais. As atividades foram observadas pela pesquisadora e os procedimentos utilizados pelos alunos foram registrados em um diário de aula. Os documentos produzidos pelos mesmos foram recolhidos e analisados. O produto da dissertação foi elaborado a partir da análise das dificuldades e das resoluções de problemas feitas pelos alunos. 1 O primeiro e terceiro encontros corresponderam a 2 horas/aula cada. O segundo encontro correspondeu a 1 hora/aula.

19 3 REFERENCIAL TEÓRICO O referencial teórico deste trabalho foi dividido em três partes. Primeiramente é abordada uma breve história da origem dos Números Decimais e também do seu estudo nos dias atuais. Em seguida, abordam-se algumas considerações sobre a disciplina de Matemática no Ensino Fundamental e apresenta-se uma breve análise do modo como o conteúdo de Números Decimais é apresentado em alguns livros de 6º ano (5ª série). E, por fim, faz-se uma explanação sobre o método de Resolução de problemas. 3.1 NÚMEROS DECIMAIS Existem duas formas para a representação de Números Racionais: a forma fracionária e a forma decimal. O conceito de Número Racional está diretamente ligado à noção de medida. Para os Pitagóricos, por exemplo, este conceito era entendido como a razão entre a medida de segmentos. A origem dos Números Decimais está ligada ao Princípio da Extensão, princípio este criado há muitos séculos e utilizado para a interpretação dos números, e a necessidade de representar medidas maiores ou menores que uma unidade. Entre os primeiros povos a utilizarem a noção de Números Decimais estão os babilônios, maias, chineses e hindus. Posteriormente, este conceito propagou-se por meio dos árabes que utilizaram a barra horizontal para a representação de frações. (CUNHA, 2002, p. 50) A primeira obra conhecida é o Tratado de Aritmética de Al-Khawarizmi, na qual o sistema decimal é explicado detalhadamente. O primeiro matemático a explicar em seus livros a noção de Número Decimal foi Al-Kasi, o qual descobriu as frações cujos denominadores são potências de dez. Muitas notações foram utilizadas para a representação dos Números Decimais. A notação atual, na qual a vírgula separa a parte inteira da parte decimal deve-se ao matemático Wilbord Snellius. (CUNHA, 2002, p. 52) No entanto, a notação decimal só tornou-se possível com o matemático belga Simon Stevin, o qual publicou a obra De Thiende (1585). Esta obra apresentou uma nova notação para frações decimais, bem como algoritmos relacionados a essa notação, descrevendo como somar, multiplicar, subtrair e dividir. Essa notação também foi adotada pelos matemáticos Christopher Clavius e John Napier. Para o Guia e Recursos Didáticos (2009, p. 65):

20 Apesar de não ter inventado os números decimais, Stevin introduziu sua utilização em Matemática, anunciando em um futuro próximo a introdução universal de um sistema monetário, de pesos e medidas. Sobre o conteúdo de Números Decimais destacam-se algumas ideias: Os números Decimais nada mais são do que outra forma de representar frações; O sistema numérico de base dez estende-se infinitamente para valores minúsculos e também para valores gigantescos; A vírgula decimal é uma convenção desenvolvida para indicar a posição das unidades. Em países de língua inglesa, adota-se o ponto ao invés da vírgula; As porcentagens nada mais são que centésimos e, por isso, são um terceiro modo de escrever frações e decimais; A adição e subtração de números decimais estão baseadas na adição e subtração de números inteiros; A multiplicação e divisão de números independem da posição da vírgula. Os cálculos podem ser realizados com números inteiros, posicionando vírgula decimal por meio de estimativa. (VAN DE WALLE, 2009, p. 362) Os símbolos 0,75 e 4/3, embora pareçam diferentes, representam a mesma quantidade. Apesar de modos diferentes de escreverem os números tenham sido inventados, os números em si são iguais. A fim de facilitar a conexão entre frações e decimais por parte do aluno, Van de Walle (2009, p. 363) sugere três coisas: Primeiro, podemos usar o os conceitos de fração e modelos familiares para explorar números racionais que sejam facilmente representados por decimais: décimos centésimos e milésimos. Segundo, podemos ajudá-los a perceber como o sistema de base dez pode ser estendido para incluir números menores que 1, como também números muito grandes. Terceiro, podemos ajudar os alunos a usar modelos para fazer traduções significativas entre frações e decimais. As frações com denominadores 10, 100, 1000 e assim por diante, são frações de base dez como, por exemplo, 7/10 ou 63/100. Porém, quando se estuda o conceito de frações, os exemplos limitam-se apenas a abordar frações tais como meios, terços, quartos, etc. Assim, as frações de base dez não são estudadas com a mesma abordagem conceitual das demais, aparecendo como um conteúdo isolado ao conceito de frações. (VAN DE WALLE, 2009, p. 363) Há modelos que podem ser utilizados para o estudo das frações de base dez. Para conceituar décimos e centésimos podem-se utilizar dois discos circulares feitos com papel cartão. Cada disco é dividido, em torno da extremidade, em cem intervalos iguais, sendo

21 recortado ao longo do raio. Esses discos, feitos em cores diferentes e deslizados um sobre o outro, como mostra a figura 1, facilitam o entendimento das frações de base dez. (VAN DE WALLE, 2009, p. 363) O segundo modelo utilizado, conhecido como material dourado é um quadriculado de 10 por 10. O quadriculado de 10 cm é utilizado como o todo. Assim, cada tira desse quadriculado é um décimo e cada quadradinho um centésimo, como mostra a figura 2. (VAN DE WALLE, 2009, p. 363) Figura 1: Discos circulares - Modelo utilizado para o estudo das frações de base dez. (VAN DE WALLE, 2009, p. 363)

22 Figura 2: Material dourado - Modelo utilizado para o estudo das frações de base dez. (VAN DE WALLE, 2009, p. 363) Outro modelo utilizado é a régua de madeira de um metro. Nela, cada decímetro corresponde a um décimo da vara inteira, cada centímetro corresponde a um centésimo e cada milímetro a um milionésimo. Além destes modelos, muitos professores utilizam de exemplos envolvendo dinheiro para abordar as frações de base dez. (VAN DE WALLE, 2009, p. 364) É importante destacar aos alunos que os Números Decimais possuem múltiplos nomes e formatos. Para verificar esse fato, o professor pode pedir aos alunos que dêem um exemplo de fração de base dez e, a partir desse exemplo, fazer os seguintes questionamentos: Essa fração é maior o menor que 1/2? Que 2/3? Que 3/4? Como podemos ler essa fração usando décimos e centésimos? Você consegue escrever esta fração de outro modo? (VAN DE WALLE, 2009, p. 364) Também é importante destacar que uma dada quantidade pode ser escrita de diferentes modos, dependendo do posicionamento da vírgula que determinará a escolha da unidade. Segundo Van de Walle (2009, p. 364): A vírgula decimal é colocada entre duas posições com a convenção de que a posição à esquerda do decimal é a casa ou posição das unidades. Em relação ao nosso sistema monetário, por exemplo, na quantidade R$ 172,95, a vírgula decimal determina a posição dos reais como unidade. Ou seja, existe 1 centena, 7

23 dezenas, 2 unidades, 9 moedas de dez centavos e 5 moedas de 1 centavo. Sobre os dois sistemas de numeração, Van de Walle (2009, p. 366) destaca: Para conectar os dois sistemas de numeração, fracionários e decimais, os alunos devem fazer traduções orientadas por conceitos. Isto é, traduções baseadas em compreensão em vez de uma regra ou algoritmo. O propósito de tais atividades está menos relacionado à habilidade de converter uma fração a um decimal do que com a construção do conceito de que ambos os sistemas são usados para expressar as mesmas idéias. Para isso, o professor pode fazer uso do material dourado, solicitando, por exemplo, que o aluno cubra 2 inteiros mais 35/100 das placas e escreva esta fração como um número decimal. Ao perceber que existem 2 conjuntos, 3 décimos e 5 centésimos, o aluno compreende que 2 inteiros mais 35/100 é o mesmo que 2,35, como mostra a figura 3. Figura 3: Uso do material dourado. (VAN DE WALLE, 2009, p. 370) Após isso, é importante que o aluno consiga ordenar os Números Decimais. O professor pode pedir que o aluno ordene os números 0,36, 0,058, 0,375 e 0,4 em ordem crescente. Em relação a este exemplo, Van de Walle (2009, p. 370) diz: O erro mais comum é selecionar o número com mais algarismos como o maior, uma aplicação incorreta de ideias com números inteiros. Alguns alunos mais tarde

24 levantam a idéia de que muitos algarismos à direita representam números muito pequenos. Eles então incorretamente identificam números com mais algarismos como menores. Ambos os erros refletem uma falta de compreensão conceitual de como os números decimais são construídos. Sobre as operações com Números Decimais, os livros didáticos tradicionais enfatizam as seguintes regras: alinhar as vírgulas decimais na adição e subtração, contar as casas decimais na multiplicação e igualar o número de casas decimais do divisor e dividendo para tornar inteiro o divisor na divisão. Para Van de Walle (2009, p. 375): [...] regras específicas para o cálculo decimal não são realmente necessárias, especialmente se o cálculo for fundamentado em uma compreensão sólida do valor posicional e em uma conexão entre decimais e frações. Em relação à operação de adição e subtração, o professor pode propor problemas envolvendo números diferentes de casas decimais. Isso fará com que os alunos façam uso do conceito de valor posicional para resolvê-los. Se os alunos apresentarem dificuldades com relação a este tipo de atividade, é sinal de o papel da vírgula decimal deve ser reforçado. (VAN DE WALLE, 2009, p. 376) Em relação à multiplicação, Van de Walle (2009, p. 377) destaca: O método de colocar a vírgula decimal em um produto por via de estimativa é mais difícil quando o produto fica menor. Por exemplo, sabendo que 54 x 83 é 4482 não torna fácil posicionar a vírgula decimal no produto 0,0054 x 0, Até o produto 0,054 x 0,83 é difícil. A pergunta prática é essa: Você consegue imaginar alguma situação fora da escola em que alguém possa exigir uma resposta exata para um produto desse tipo, mas que não tenha acesso a uma calculadora? Quando a precisão é importante, a tecnologia faz sentido e está sempre disponível. A operação de divisão deve ser abordada paralelamente à multiplicação. Os alunos podem ignorar as vírgulas decimais e fazer o cálculo como se todos os números fossem inteiros. Após, colocar a vírgula por estimativa. Porém, isso só é razoável para divisores com menos de dois algarismos significativos. 3.2 A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL Apesar dos movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil a partir dos anos 20, o ensino de Matemática ainda é caracterizado pelos altos índices de reprovação e pela memorização de conceitos sem compreensão. Entre esses movimentos, em 1980, o National Council of Teacher of Mathematics apontava a resolução de problemas como o principal foco para o ensino de Matemática nos anos 80. As idéias que constavam nesse

25 documento influenciaram reformas ocorridas no mundo todo, as quais tinham os seguintes pontos em comum: O ensino Fundamental não apenas serviria para a preparação de estudos posteriores como também para a formação de cidadãos por meio de competências básicas; O aluno passa a ter um papel ativo na construção do seu conhecimento; A resolução de problemas envolvendo atividades do cotidiano passa a ter maior ênfase; Conteúdos como elementos de estatística, probabilidade e combinatória, entre outros, seriam incluídos já no Ensino Fundamental; Necessidade de uma maior compreensão, por parte dos alunos, da importância do uso da tecnologia e de sua constante renovação. (BRASIL, 1998, p. 21) No entanto, essas concepções pedagógicas sofreram uma interpretação equivocada, o que dificultou a implementação de novas ideias. O método de Resolução de Problemas, por exemplo, ainda é bastante desconhecido ou mal interpretado. Quando utilizado em sala de aula, aparece como um item isolado, desenvolvido por meio de listas de problemas que necessitam apenas de memorização para solucioná-las. Além disso, o conhecimento prévio do aluno não é levado em conta, o que faz com que o mesmo seja privado de conceitos desenvolvidos em seu cotidiano. (BRASIL, 1998, p. 24) Para os educadores matemáticos, a Resolução de Problemas deve ser vista como a possibilidade de mobilizar conhecimentos, bem como desenvolver a autoconfiança do aluno. Assim, essa metodologia apresenta os seguintes princípios: Os conceitos matemáticos devem ser abordados por meio de situações em que o aluno necessite de algum tipo de estratégia para resolvê-la; O problema não deve ser apenas um exercício no qual o aluno obtém a solução de forma mecânica; A resolução de um problema faz com que o aluno utilize o que aprendeu por meio de aproximações sucessivas; O aluno utiliza de conceitos para resolver problemas e não apenas de um conceito isolado para resolver um problema em particular; A Resolução de Problemas deve ser utilizada para orientar a aprendizagem, proporcionando ao aluno o aprendizado de conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (BRASIL, 1998, p. 42)

26 Assim, o método de Resolução de Problemas vem ao encontro do que é proposto para o Ensino Fundamental, visando à construção da cidadania. Os objetivos do Ensino Fundamental são os seguintes: Identificar e compreender conhecimentos matemáticos, bem como resolver problemas; Utilizar o conhecimento matemático na inter-relação entre aspectos quantitativos e qualitativos; Capacidade de avaliar interpretar informações relevantes de forma crítica; Resolver problemas por meio da intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; Saber comunicar-se matematicamente; Estabelecer conexões entre a Matemática e outros temas; Desenvolver a autoestima e a perseverança na busca por soluções; Trabalhar coletivamente na solução de problemas, respeitando o modo de pensar dos colegas. (BRASIL, 1998, p. 49) Entre as etapas existentes no Ensino Fundamental, destacamos o Terceiro Ciclo, que tem início com a passagem do 5º ano (4ª série) para o 6º ano (5ª série). Uma das dificuldades enfrentadas pelos alunos desse ciclo é a nova organização curricular, onde cada disciplina é ensinada por um professor diferente. No caso da Matemática, uma das maiores dificuldades enfrentada pelos alunos está na ruptura entre esta disciplina e situações do cotidiano. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), A Matemática começa, desse modo, a se configurar para os alunos como algo que foge à sua possibilidade de compreensão, que é de pouca utilidade prática, gerando representações e sentimentos que vão concretizar muitas vezes no divórcio entre aluno e conhecimento matemático. (BRASIL, 1998, p. 63). Um dos aspectos importantes para amenizar as dificuldades encontradas no Terceiro Ciclo é o diagnóstico dos conhecimentos prévios sobre os conteúdos que serão ensinados, bem como identificar as dificuldades de cada aluno. Outro aspecto importante está na adoção de uma posição questionadora por parte do professor, fazendo despertar o interesse na busca de soluções para problemas, tanto cotidianos como de natureza científica. Para os PCN, 1998, p. 64: O estímulo a capacidade de ouvir, discutir, escrever, ler idéias matemáticas, interpretar significados, pensar de forma criativa, desenvolver o pensamento

27 indutivo/dedutivo, é o caminho que vai possibilitar a ampliação da capacidade para abstrair elementos comuns a várias situações, para fazer conjecturas, generalizações e deduções simples como também para o aprimoramento das representações, ao mesmo tempo que permitirá aos alunos irem se conscientizando da importância de comunicar suas idéias com concisão. Assim, o professor deve organizar a sua aula de forma que os alunos possam construir seu próprio conhecimento matemático e interajam com seus colegas, aceitando possíveis soluções diferentes da sua. Entre os objetivos propostos para a disciplina de Matemática no Terceiro Ciclo destacam-se aqueles que visam ao desenvolvimento do pensamento numérico, por meio de situações de ensino que: Ampliem e construam novos significados para os números a partir do contexto social e de alguns problemas históricos; Resolver situações-problema que envolva números por meio das operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiação; Identificar, interpretar e utilizar diferentes representações de números em contextos matemáticos e não matemáticos; Selecionar e utilizar procedimentos de cálculo em função da situação-problema que se deseja solucionar. (BRASIL, 1998, p. 65) Para o estudo do conteúdo de Números é fundamental que este seja estudado por meio de situações-problema que possibilitem o desenvolvimento numérico e o domínio de operações básicas, uma vez que muitas situações da vida cotidiana fazem uso do raciocínio proporcional para a interpretação de fenômenos do mundo real. Nesse sentido, é recomendado que o professor faça uso da calculadora, principalmente em situações cotidianas que demandam cálculos mais complexos. De acordo com os PCN (1998, p. 68): Geralmente a escola se afasta desses dados reais e mesmo dos problemas aos quais eles estão associados com a intenção de facilitar os cálculos, quando ela deveria promover a aproximação da atividade matemática com a realidade em que se encontram esses problemas. Dessa forma, é necessário que se trabalhe o conceito de Números no Terceiro Ciclo a fim de que o aluno seja capaz de: Reconhecer o significado dos números em diferentes contextos; Compreender o sistema de numeração decimal, sua leitura, escrita e representação; Reconhecer que os números podem ser expressos na forma fracionária e decimal, bem como localiza-los na reta numérica;

28 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema que envolvam diferentes operações; Calcular de forma mental ou escrita, fazendo uso da calculadora para a verificação dos resultados. (BRASIL, 1998, p. 73) Para discutir a forma como o conteúdo de Números Decimais vem sendo trabalhado no 6º ano (5ª série) foi feita uma revisão de livros didáticos, incluindo o livro utilizado atualmente pela pesquisadora, no colégio em que trabalha. Foram analisados os seguintes livros: Livro 1: Vencendo com a matemática, de Miguel Assis Name O livro coloca os objetivos específicos para o estudo de Números Decimais, além de sugerir outras bibliografias referentes ao assunto. A ideia de Número Racional é abordada por meio de frações e isolada do conceito de Número Decimal. O livro relaciona os números com vírgula a frações na forma decimal por meio de exemplos. Após, é introduzida a noção de transformação de número decimal para fração decimal e vice-versa, além do modo como é feita a leitura desse tipo de número (décimos, centésimos e milésimos). Nos capítulos seguintes são apresentadas as operações de adição, subtração, multiplicação, potenciação e divisão, bem como a multiplicação e divisão por potências de dez. Ao final, constam exercícios de fixação, exercícios complementares, exercícios de revisão e problemas. A leitura do livro é clara, possibilitando fácil entendimento. Porém, o fato do conceito de frações não estar associado ao conceito de números racionais e este não estar relacionado ao conceito de números decimais, pode dificultar a percepção, por parte do aluno, de que estes conceitos têm ligação direta. Além disso, o livro não apresenta um contexto histórico do conteúdo. Livro 2: Para saber matemática, de Luiz G. Cavalcante, Juliana Sosso, Fábio Vieira e Edinéia Poli Semelhante ao livro anterior, este aborda o conceito de Números Racional por meio de frações, isolado ao conceito de Número Decimal. Inicia com a ideia de décimos, centésimos e milésimos, associada ao uso do material dourado, o que possibilita ao aluno o contato com a parte concreta do conteúdo. Após é introduzida a comparação entre números decimais. Nos capítulos posteriores, são apresentadas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Em cada capítulo encontra-se um breve contexto histórico, bem como a citação de alguns matemáticos relacionados ao assunto. O livro também apresenta curiosidades do

29 cotidiano, muitos exercícios e poucos problemas. A leitura é rica, clara e de fácil entendimento. Livro 3: Vontade de saber matemática, de Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana Moreno Pataro Este livro também apresenta a ideia de Números Decimais isolada à ideia de frações. Também não relaciona o conceito de frações aos Números Racionais. Inicia com o conceito de décimos, centésimos e milésimos e também sugere o uso do material dourado. Após introduz a transformação de fração decimal para número decimal e vice-versa. Por fim, são apresentadas todas as operações envolvendo números decimais. Não há contexto histórico no livro, mas ao final de cada capítulo há reflexões que relacionam o assunto ao cotidiano, bem como exercícios e problemas. A leitura é de fácil entendimento. Livro 4: Matemática: compreensão e prática, de Ênio Silveira e Cláudio Marques Neste livro, o conceito de frações aparece anteriormente ao conceito de Número Decimal, o que facilita, por parte do aluno, a ligação entre esses dois conceitos. O assunto é introduzido por meio de exemplos do cotidiano. Após, é apresentado um breve contexto histórico e algumas curiosidades sobre o assunto. Também são apresentadas as transformações de número decimal para fração decimal e vice-versa, leitura de números decimais e a comparação entre eles. Nos próximos capítulos são abordadas as operações, incluindo radiciação e expressões numéricas. A leitura do livro se torna interessante e rica pelo fato de apresentar curiosidades associadas ao cotidiano. Há muitos exercícios e problemas, além de sugestões de como o conteúdo pode ser trabalhado com os alunos. Livro 5: Matemática - 5ª série, de Cláudia Miriam Tossato, Edilaine do Pilar F. Peracchi e Violeta M. Estephan. O conteúdo é introduzido por meio da associação de Números Decimais a números com vírgula e, em seguida, a medidas de comprimento. Após são abordadas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Diferente dos outros livros analisados, este introduz o conceito de fração posteriormente ao conceito de Números Decimais, juntamente com a noção de porcentagem. Há poucos problemas e exercícios, além de não apresentar contexto histórico. Livro 6: Tudo é matemática, de Luiz Roberto Dante

30 O livro inicia o conteúdo com uma situação do cotidiano que envolve Números Decimais. Em seguida é introduzido o conceito de décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado, além da transformação de número decimal em fração e vice-versa, bem como a comparação entre eles. Nos próximos capítulos são abordadas as operações envolvendo números decimais, além da ideia de porcentagem. Para finalizar, há vários problemas sobre o assunto envolvendo outras situações do cotidiano. O livro apresenta leitura clara, detalhada, rica e de fácil entendimento, bem como muitos exercícios. Porém, não há contexto histórico. Livro 7: Matemática: Idéias e desafios, de Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga Este livro apresenta o conteúdo de Números Decimais como parte do conteúdo de Números Racionais, facilitando a percepção, por parte do aluno, de que o número decimal nada mais é do que uma forma de se escrever um número racional. São abordados os conceitos de décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado e, posteriormente, a transformação de número decimal para fração decimal e vice-versa. As operações foram estudadas anteriormente por meio dos números racionais e frações. O livro apresenta muitos exercícios e problemas, além de curiosidades sobre o assunto. Não há contexto histórico. Livro 8: Matemática - 6º ano, de Jackson Ribeiro A ideia de Números Decimais é introduzida posteriormente ao conteúdo de frações. Inicia com o conceito de décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado. Após, é feita comparação entre os números. Nos próximos capítulos são introduzidas as operações envolvendo números decimais. O livro apresenta muitos exercícios e problemas, além de textos com curiosidades sobre o assunto. Porém, não há contexto histórico. Livro 9: Para viver juntos: Matemática 6º ano, de Carlos N. C. de Oliveira e Marco Antonio Martins Fernandes Assim como no livro anterior, o conceito de Números Decimais é introduzido após o conceito de fração a partir do uso do material dourado. Após é abordada a transformação de número decimal para fração e vice-versa, bem como a comparação entre esses números. Posteriormente são abordadas as operações. O livro apresenta muitos exercícios e problemas. Ao final de cada página são apresentados conceitos referentes aquele módulo, a relação do

31 tema com o dia-a-dia e a sugestão de outras bibliografias e sites para o aprofundamento do estudo, além de dicas para a elaboração da aula. Não apresenta contexto histórico. Livro 10: Matemática e Realidade 6º ano, de Gelson Lezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado O conteúdo de Números Decimais é inserido após o conceito de fração por meio do uso do material dourado para o entendimento do conceito de décimos, centésimos e milésimos. Posteriormente, é inserida a transformação de fração decimal para número decimal e vice-versa, além da noção de taxa percentual, propriedades importantes e a comparação entre números decimais. Nos capítulos seguintes, são inseridas as operações. O livro apresenta exercícios e problemas, além de testes de conhecimento. Não há contexto histórico e, diferente dos demais livros, introduz junto ao conceito de número decimal a ideia de dízima periódica simples e composta, além da ideia de decimal exato. Livro 11: Matemática na medida certa, de Marília Ramos Centurión, José Jakubovic e Marcelo Lellis Este livro apresenta o conteúdo de Números Decimais inserido no conceito de frações e ambos inseridos no conceito de Número Racional. O livro deixa claro que os números decimais são apenas uma forma diferente de representar números racionais. Explica como ocorre a passagem de número decimal para fração e vice-versa, bem como a comparação entre eles. As operações envolvendo números decimais são estudadas nos capítulos posteriores. O livro é bem detalhado e cada conceito é seguido de muitos exercícios e problemas para serem feitos em sala de aula e outros para tarefas de casa, além de desafios e surpresas referentes ao assunto. O livro também é acompanhado por um cd com questões e imagens referentes a todos os conteúdos. Não há contexto histórico. Livro 12: Matemática 5ª série, de Walter Spinelli e Maria Helena Souza O livro apresenta o conteúdo de Números Decimais isolado ao conceito de frações. Primeiramente é apresentada a transformação de fração decimal para número decimal, bem como frações não decimais e equivalência de frações. Após, é inserida a comparação entre números decimais e as operações. O livro também apresenta exercícios e problemas, além de um breve contexto histórico. Livro 13: Matemática: uma aventura do pensamento, de Oscar Guelli

32 Após um breve contexto histórico, o conteúdo de Números Decimais é inserido por meio de um problema para, em seguida, ser abordada a transformação de um número decimal para fração e vice-versa. Posteriormente, são estudados os décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado, além da comparação entre números decimais. Por fim, são introduzidas as operações, bem como a noção de média aritmética, porcentagem, capital, juro e montante, probabilidade e gráficos. Ao final do capítulo fala-se um pouco da vida e da história do matemático relacionado ao assunto. O livro apresenta muitos exercícios e problemas, além de fazer associações do conteúdo à vida cotidiana seguidamente. Livro 14: Matemática sem limites, de Ubirajara Favilli Neste livro, aborda-se primeiramente a noção de frações e, em seguida, Números Racionais. O conceito de Números Decimais aparece inserido no conteúdo de Números Racionais. Inicia-se com a ideia de décimos, centésimos e milésimos. Não são abordadas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, somente com Números Decimais, pois estas já foram trabalhadas anteriormente em relação aos Números Racionais. O livro apresenta exercícios de fixação e um breve contexto histórico. Livro 15: Novo Praticando matemática, de Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos Este livro apresenta, primeiramente, a noção de fração para, em seguida, apresentar o conceito de Números Decimais. Esse conceito parte da noção de décimos, centésimos e milésimos, acompanhado de um breve contexto histórico. Após, faz-se uma associação entre número decimal e medidas, além da transformação de fração decimal para número decimal e vice-versa e a comparação entre eles. Por fim, são apresentadas as operações envolvendo Números Decimais e uma breve noção de dízima periódica. O livro apresenta linguagem clara e fácil, bem como exercícios de fixação e alguns problemas. Livro 16: A conquista da matemática, de José Ruy Giovanni, Castrucci Giovanni e Giovanni Jr. Diferente dos demais livros analisados, este apresenta o conceito de Números Racionais de duas formas: fracionária e decimal. O livro parte de um exemplo envolvendo dinheiro para inserir o conteúdo de Números Decimais. Em seguida, introduz o conceito de décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado. Após, é dada a ideia de transformação de fração decimal para número decimal e vice-versa, além da comparação entre os mesmos. Por fim, são dadas as operações envolvendo Números Decimais e uma breve

33 noção de porcentagem. O livro apresenta muitos exercícios e problemas, bem como curiosidades relacionadas ao assunto. A linguagem é clara e de fácil entendimento. Livro 17: Matemática: jogos e conceitos, de Maria Helena Soares de Souza O conteúdo de Números Decimais aparece inserido ao conceito de frações. As frações decimais aparecem juntamente com os demais tipos de frações e todas as operações são abordadas tanto para frações comuns como para frações decimais. O livro apresenta linguagem clara, rica e de fácil compreensão. Também apresenta muitos exercícios e problemas, bem como breves contextos históricos e curiosidades referentes ao assunto. Livro 18: Matemática na vida e na escola, de Ana Lúcia Bordeaux, Cléa Rubinstein, Elizabeth França, Elizabeth Ogliari e Gilda Portela Neste livro, o conteúdo de Números Decimais é apresentado anteriormente ao conteúdo de frações. Inicia-se com a noção de décimos, centésimos e milésimos. Posteriormente são feitas as operações envolvendo apenas números na forma decimal e não frações decimais. A noção de fração decimal, bem como as transformações de número decimal para fração e vice-versa, é estudada no capítulo referente a frações. O livro apresenta exercícios e problemas, mas não apresenta contexto histórico. Livro 19: Matemática no plural, de Marcos Miani O conteúdo de Números Decimais aparece posteriormente ao conteúdo de frações. O primeiro conceito a ser apresentado é o de décimos, centésimos e milésimos por meio do material dourado. Após, é abordada a transformação de número decimal para fração decimal e vice-versa, além da posição destes números na reta numérica e a comparação entre eles. No próximo capítulo abordam-se as operações e uma breve noção de porcentagem. O livro apresenta vários exercícios e problemas, além de curiosidades referentes ao assunto. Após a análise dos livros, foi constatado que muitos apresentam o conceito de fração, número decimal e número racional de forma isolada. Isso faz com que o aluno tenha dificuldade em perceber que frações e números decimais nada mais são do que uma representação de números racionais. Dos dezenove livros analisados, apenas um apresenta este três conceitos entrelaçados como sugerido, para o Ensino Fundamental, pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.

34 Além disso, nenhum livro utilizou o método de Resolução de problemas para a inserção do conteúdo de Números Decimais. Apenas são apresentadas situações-problema com a finalidade de exercitar o conteúdo aprendido. 3.3 O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Ainda que apresentassem uma visão muito limitada da aprendizagem de resolução de problemas, registros encontrados na história antiga egípcia, chinesa e grega, constataram que problemas de matemática ocupavam um lugar central no currículo escolar desde a antiguidade. Naquela época e ainda hoje, na maioria das escolas, ensinar e resolver problemas significa apresentar situações-problema, incluindo um exemplo com uma solução específica. Apesar do interesse do homem em promover mudanças na forma de como se ensina e como se aprende, em nosso país, o ensino ainda é voltado para a formalização precoce de conceitos, para o treinamento de habilidades e para a mecanização de processos sem compreensão. (ONUCHIC, 1999, p. 201) As reformas no ensino da matemática durante o século XX ocorreram devido à transformação de uma sociedade rural para uma sociedade industrial e daí para uma sociedade de informação. Atualmente, a sociedade caminha para o conhecimento, o que exige de todos saber muita matemática. Essas reformas podem ser identificadas como: o ensino de matemática por repetição, o ensino de matemática com compreensão, a matemática moderna e a resolução de problemas. (ONUCHIC, 1999, p. 201) No início do século XX, o ensino de matemática baseava-se na repetição. Segundo Onuchic (1999, p. 201): O professor falava, o aluno recebia a informação, escrevia, memorizava e repetia. Repetia exercícios feitos em sala de aula e treinava em casa. Media-se o conhecimento do aluno, recebido através da repetição, com a aplicação de testes em que, se ele repetisse bem o que o professor havia feito, concluía-se que sabia. [...] A maioria, contudo, se esquecia do que havia memorizado em pouco tempo. Anos depois, em uma nova reforma a qual descartava a anterior, os alunos deveriam aprender matemática com compreensão. Ainda, segundo Onuchic (1999, p. 201): O aluno devia entender o que fazia. Mas, o professor falava, o aluno escutava e repetia, não participava da construção de seu conhecimento. O professor não havia sido preparado para seguir e trabalhar as idéias novas que queriam implementar.

35 A matemática moderna tem início nas décadas de Esta reforma também deixava de lado as anteriores. Para Onuchic (1999, p. 203): Nesta reforma o professor falava, porém muitas vezes não seguro daquilo que dizia. O aluno não percebia a ligação que todas aquelas propriedades enunciadas tinham a ver com a matemática dos problemas e, principalmente, com a matemática usada fora da escola. Embora procurasse usá-las em exercícios de aplicação, repetindo o que havia sido feito em classe e dizendo o nome daqueles novos símbolos matemáticos que lhes eram apresentados, com freqüência não conseguia lhe dar significado. Somente no fim da década de 1970 que a resolução de problemas passou a ter importância no mundo inteiro. Em 1980 é editado, nos Estados Unidos, um documento publicado no National Council of Teachers of Mathematics o qual dizia que resolver problemas deveria ser o foco da matemática e que, por meio da resolução de problemas, os educadores poderiam medir a eficiência de um domínio matemático. Salientava também que é preciso preparar o indivíduo para tratar de problemas cotidianos, envolvendo a matemática ao mundo real, não sendo esta utilizada somente para resolver um dado problema, num dado momento. De acordo com Onuchic (1999, p. 205), este documento enfatizava que: O currículo matemático deveria ser organizado ao redor da resolução de problemas; A definição e a linguagem de resolução de problemas em matemática deveria ser desenvolvida e expandida de modo a incluir uma ampla gama de estratégias, processos e modos de apresentação que encerrassem o pleno potencial de aplicações matemáticas; Os professores de matemática deveriam criar ambientes de sala de aula onde a resolução de problemas pudesse prosperar; Materiais curriculares adequados ao ensino de resolução de problemas deveriam ser desenvolvidos para todos os níveis de escolaridade; Os programas de matemática dos anos 80 deveriam envolver os estudantes com resolução de problemas, apresentando aplicações em todos os níveis; Pesquisadores e agências de fomento à pesquisa deveriam priorizar, nos anos 80, investigações em resolução de problemas. Além disso, o documento também destacava que os programas de matemática deveriam tirar proveito da força das calculadoras e computadores. Foi na metade da década de 80 que, de fato, o Brasil passou a trabalhar com resolução de problemas. Muitos recursos foram desenvolvidos, tais como coleções de problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e orientações para avaliar o desempenho em resolução de problemas, com a finalidade de ajudar os professores. Entretanto, esses recursos não trouxeram um bom resultado devido a grandes diferenças

36 existentes entre as concepções sobre o significado de resolução de problemas. Os professores ainda estavam presos à solução do problema e não ao processo. A resolução de problemas pode ser abordada de três modos diferentes: ensinar sobre resolução de problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática através da resolução de problemas. De acordo com Onuchic (1999, p.206), em relação a ensinar sobre resolução de problemas: O professor que ensina sobre resolução de problemas procura ressaltar o modelo de resolução de problemas de Polya ou alguma variação dele. Este modelo descreve um conjunto de quatro fases interdependentes no processo de resolver problemas matemáticos: compreender o problema, criar um plano, levar avante esse plano e olhar de volta o problema original. Diante do problema dado, o professor deve indagar aos alunos de várias formas tais como: Do que é que se precisa? O que é que se quer? O que é que se deve procurar? Tais perguntas devem auxiliar na resolução do problema proposto e desenvolver a capacidade de resolver problemas futuros de forma autônoma. De acordo com Polya (1977, p. 3): Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. Para que, ao resolver problemas, o aluno adquira mais do que o conhecimento matemático em si, o professor, ao resolver um problema em sala de aula, deve encenar suas idéias e fazer para si as mesmas indagações que faria aos seus alunos. Essas indagações devem levar os estudantes a compreender o problema, estabelecer um plano para resolvê-lo, executar este plano e, finalmente, fazer um retrospecto da resolução completa. Para que o aluno possa compreender o problema é importante que o enunciado seja de fácil entendimento, permitindo que este identifique a incógnita, os dados, a condicionante, entre outros. Nesta etapa, o professor deve fazer perguntas como: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condição? A condição é suficiente para determinar a incógnita? É suficiente? Redundante? Contraditória? Para Pozo (1998, p. 15): [...] sem compreensão da tarefa os problemas se transformam em pseudoproblemas, em meros exercícios de aplicação de rotinas aprendidas por repetição e automatizadas, sem que o aluno possa discernir o sentido do que está fazendo e, por conseguinte, sem que possa transferi-lo ou generalizá-lo de forma autônoma a situações novas, sejam cotidianas ou escolares.

37 O que diferencia um problema de um exercício é que, no primeiro, não se dispõe de procedimentos automáticos que permitam ao aluno obter a solução de forma imediata, sem que antes refletir e tomar alguma decisão sobre os passos que irá seguir. Além disso, o problema precisa despertar o interesse em resolvê-lo, desafiando, motivando e envolvendo o aluno. Ainda, segundo Pozo (1998, p.13): O que para nós pode ser um problema relevante e significativo pode resultar trivial ou carecer de sentido para nossos alunos. Para estabelecer um plano, o aluno deve considerar a incógnita e tentar lembrar-se de algum problema semelhante que já tenha resolvido. Além disso, o professor deve auxiliar para que este utilize, além da incógnita, os dados e a condicionante, evitando que o mesmo se distancie do assunto do problema original. Nesta etapa, o professor deve questionar aos alunos: Já encontrou um problema semelhante? Ou já viu o mesmo problema proposto de maneira um pouco diferente? Conhece um problema relacionado com este? Conhece algum teorema que possa lhe ser útil? Poderia enunciar o problema de outra forma? Poderia apresentá-lo de forma diferente novamente? Poderia imaginar um problema análogo um pouco mais acessível? Um problema mais geral? Um problema mais específico? Pode resolver uma parte do problema? Em que medida a incógnita fica determinada? De que forma pode variar? Você pode deduzir dos dados algum elemento útil? Pode pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? Pode mudar a incógnita, os dados ou ambos? Empregou todos os dados? Empregou toda a condição? Ao executar o plano, o estudante deve estar certo de que todos os detalhes estão inseridos no roteiro de resolução. Nesta etapa, cabem os seguintes questionamentos: Você pode comprovar cada um dos passos executados? Pode ver claramente que o passo é correto? Pode demonstrá-lo? Por fim, ao fazer a verificação do problema, o professor deve deixar clara a relação existente entre aquele e outros problemas matemáticos, encorajando seus alunos a utilizar o mesmo método em outras resoluções. Além disso, nessa etapa o estudante tem a oportunidade de corrigir possíveis erros e consolidar o seu conhecimento, aperfeiçoando-se na capacidade de resolver problemas. Tais perguntas podem ser feitas nesta etapa:

38 Pode verificar o resultado? Pode verificar o raciocínio? pode obter o resultado de forma diferente? Pode vê-lo com apenas uma olhada? Você pode empregar o resultado ou método em algum outro problema? (POZO, 1998, p. 14): Para ensinar a resolver problemas o professor deve concentrar-se na forma como se ensina Matemática e o que, dessa disciplina, pode ser aplicado em problemas rotineiros e não rotineiros. Nessa abordagem, mais importante do que a aquisição de conceitos matemáticos é aprender Matemática e ser capaz de usá-la. Nas palavras de Pozo (1998, p. 14): Ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta. Não é uma questão de somente ensinar a resolver problemas, mas também de ensinar a propor problemas para si mesmo, a transformar a realidade em um problema que mereça ser questionado e estudado. Para que a aprendizagem de solução de problemas transforme-se em autônoma e possa ser levada para o contexto do cotidiano do aluno, o professor deve criar neste o hábito de questionar-se ao invés de receber respostas prontas, quer sejam pelo livro-texto ou pelo próprio professor. Somente no final de 1980 que a resolução de problemas passa a ser pensada como um método de ensino, como ensinar Matemática através da resolução de problemas. Nessa abordagem, o ensino-aprendizagem de um conceito matemático começa a partir de uma situação-problema onde são desenvolvidas técnicas matemáticas para solucioná-la. Os problemas são propostos com a finalidade de contribuir para a formalização de conceitos matemáticos, antes que estes sejam expostos pelo professor em linguagem formal. O método de resolução tem por objetivos: fazer com que o aluno pense de forma produtiva, desenvolver o raciocínio, despertar a autonomia de aluno afim de que este possa enfrentar situações novas, criar um envolvimento entre o aluno e a matemática, tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras, ensinar estratégias para a solução de problemas, dar uma boa base matemática aos estudantes. Por meio deste método, o aluno desenvolve a habilidade de raciocinar logicamente, fazendo uso dos recursos que dispõe para resolver situações que ocorram tanto em sala de aula quanto fora dela. Assim, não aprende somente algoritmos e conceitos, mas também é preparado para lidar com situações novas que possam ocorrer no seu cotidiano. Dante (1991, p. 13) considera que:

39 A oportunidade de usar os conceitos matemáticos no seu dia-a-dia favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação à Matemática. Não basta saber fazer mecanicamente as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. É preciso saber como e quando usá-las convenientemente na resolução de situações-problema. Além disso, Dante (1991, p. 14) acrescenta que: O real prazer de estudar Matemática está na satisfação que surge quando o aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais difícil, maior a satisfação em resolvêlo. Um bom problema suscita a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo. Nesta pesquisa, optou-se por trabalhar a resolução de problemas como um método, ou seja, ensinar as operações com números decimais através da resolução de problemas, pois se acredita que durante a resolução de uma situação-problema é dado ao professor a possibilidade de acompanhar o crescimento do aluno, reorientando as práticas de sala de aula quando necessário. Por meio desse método, o professor precisa valorizar a disciplina de matemática, compreender como os alunos constroem suas idéias, ter habilidade para planejar e escolher tarefas que, de fato, possibilitem a resolução de problemas e integrar a avaliação ao processo a fim de aprimorar o ensino. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 6) Para a aplicação do método de resolução de problemas as atividades devem seguir as seguintes etapas: Selecionar um problema que tenha por finalidade a construção de um novo conceito. O conteúdo matemático necessário para a solução do problema não pode ter sido trabalhado previamente pelo professor; Entregar o problema para o aluno e solicitar que leia, primeiramente, individualmente e, posteriormente, em grupo. Nessa etapa, o professor deve auxiliar os alunos na leitura em caso de dificuldade em relação ao texto como, por exemplo, alguma palavra desconhecida pelos alunos; Após garantir que os alunos não apresentam dúvidas quanto ao enunciado do problema, o professor deve deixar que os alunos trabalhem em grupo de forma a colaborar uns com os outros na construção de estratégias para solucionar o problema em questão. Nessa etapa, cabe ao professor o papel de mediador, observando e incentivando os alunos a trabalharem em colaboração, ajudando-os em caso de dúvidas quanto a conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas;

40 Assim que os grupos solucionam o problema, um componente é convidado a vir ao quadro para registrar a solução; Com as soluções no quadro, inicia-se uma discussão em que cada grupo defende a sua estratégia utilizada para a resolução do problema. Nessa etapa, cabe ao professor analisar as soluções apresentadas e sanar as dúvidas apresentadas pelos alunos, a fim de se chegar a um consenso em relação ao resultado correto; Para finalizar, o professor faz uma apresentação formal do conteúdo, no quadro, demonstrando técnicas e propriedades referentes ao conteúdo em questão. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7)

41 4 ANÁLISE DOS DADOS Neste capítulo, são apresentadas as análises do teste diagnóstico e as situaçõesproblema que fizeram parte da sequência didática desenvolvida pelos alunos sujeitos da pesquisa. 4.1 ANÁLISE DO TESTE DIAGNÓSTICO O quadro abaixo mostra o número de acertos, erros e respostas em branco diagnosticadas na aplicação do teste diagnóstico (Apêndice A). Quadro: Relação dos erros, acertos e respostas em branco do teste diagnóstico. Acertos Erros Em branco Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Em relação ao teste diagnóstico foram coletadas as seguintes informações: Questão 1: Envolvia a adição de dois números decimais com a mesma quantidade de algarismos antes e depois da vírgula. Não houve dificuldades e questionamentos para a realização desta questão, uma vez que a mesma pôde ser feita da mesma forma que na adição de números naturais. Todos os alunos acertaram a questão. Questão 2:

42 Envolvia a adição de dois números decimais com diferentes quantidades de algarismos depois da vírgula. Apesar dos alunos não terem apresentado dúvidas e questionamentos para a realização desta questão, a análise apontou que quatro alunos desconsideraram o valor posicional dos algarismos e adicionaram, de forma incorreta, 2,08 a 0,7 como se fossem números naturais, resultando em 2,15, o que demonstrou a dificuldade desses alunos na compreensão do papel da vírgula decimal. Os demais alunos acertaram a questão. Questão 3: Apresentava uma tabela com produtos de diferentes preços e solicitava ao aluno que calculasse o valor gasto por uma pessoa que adquiriu certa quantidade de produtos. Essa questão levantou os seguintes questionamentos: Aluno 2 : Posso fazer direto? É de somar ou de multiplicar? Para esses questionamentos foi dada a seguinte resposta: Professora: O que você faria se estivesse no bar do colégio comprando estes produtos e precisasse calcular o valor total do seu gasto? Os alunos responderam: Eu juntava todos os valores! Eu fazia um mais o outro! Eu calculava dois bombons mais R$ 2,00 e mais R$ 1,50. Apenas um aluno errou a questão, pois adicionou o valor de um bombom ao invés de dois bombons, como solicitado no exercício. Dos alunos que responderam corretamente, dois não necessitaram de cálculo para obter a resposta. O restante calculou da seguinte forma: 0,50 + 0,50 + 1,50 + 2,00 = 4,50 ou calcularam que dois bombons a R$ 0,50 cada resulta em R$ 1,00 e então efetuaram 1,00 + 1,50 + 2,00 = 4,50. Questão 4: Nessa questão eram dadas três quantidades diferentes de fita nas cores vermelha, azul e branca. Cabia ao aluno adicionar as três quantidades para saber quantos metros de fita tinham ao total. Não houve questionamentos. Apenas dois alunos erraram a questão, sendo que um deles não adicionou o terceiro valor de 0,75 m ao cálculo, utilizando somente os dois primeiros valores de 3,25 m e 2,80 m, 2 As falas dos alunos e da professora serão apresentadas em itálico.

43 resultando em 6,05. O outro aluno adicionou os três valores, porém, por uma falta de atenção, fez = 5, resultando em 5,80. A maioria dos alunos optou por adicionar os três valores juntos. Alguns adicionaram os dois primeiros e, ao resultado, adicionaram o terceiro valor. Questão 5: Essa questão apresentava uma oferta de um caderno de duzentas páginas à R$ 3,27. Como no exercício foi descrito que a pessoa adquiriu dois cadernos, cabia ao aluno calcular o valor referente a essa compra. O exercício levantou os seguintes questionamentos: Aluno: Eu tenho que usar as duzentas páginas no cálculo? É conta de mais ou de vezes? Para esses questionamentos foi dada a seguinte resposta: Professora: Imagine que você vai comprar dois cadernos custando R$ 3,27 cada um. A quantidade de páginas muda alguma coisa na quantidade de cadernos ou do preço em questão? O que você faria para saber o valor a ser pago nessa compra? Apenas um aluno errou a questão, dando como resposta o valor de um ao invés de dois cadernos. Dos que acertaram, a maioria obteve a resposta por meio de uma conta de adição. Apenas três alunos utilizaram a multiplicação para obter a resposta e, um aluno, calculou mentalmente sem precisar expressar o cálculo no papel. Questão 6: Nesse exercício era apresentada a promoção de uma bola de vôlei oficial que custava R$ 38,45 à vista. Solicitava aos alunos saber quanto a pessoa iria receber de troco ao pagar a compra com uma nota de R$ 50,00. Surgiu o seguinte questionamento: Aluno: É conta de menos? Para esse questionamento foi dada a seguinte resposta: Professora: Se você compra um pastel no bar do colégio pelo preço de R$ 2,00 e paga com uma nota de R$ 5,00, quanto recebe de troco? Que conta você fez para obter a resposta? Os alunos responderam: R$ 3,00 de troco! Eu fiz 5,00 menos 2,00 que deu 3,00.

44 Apenas dois alunos erraram a questão. Dois deles fizeram 38,45 50,00, ao invés do contrário, obtendo 28,45 como resposta. O outro aluno armou a conta de forma correta, porém, devido a um erro de cálculo, obteve 38,45 como resposta. Questão 7: Essa questão apresentava uma peculiaridade em relação às demais. Eram dados os preços de um determinado eletrodoméstico em duas lojas diferentes. Na loja A o preço era R$ 290,00 e na loja B, R$ 278,00. Era preciso que o aluno lesse, além do exercício, as alternativas dadas para que pudesse saber qual cálculo deveria ser feito, uma vez que as alternativas traziam informações sobre os dois valores. Esse exercício trouxe o seguinte questionamento: Aluno: O que eu devo fazer com os dois preços? Para esse questionamento foi dada a seguinte resposta: Professora: Leia toda a questão, inclusive as alternativas. Apenas um aluno respondeu incorretamente, pois não soube efetuar a subtração de 290 menos 278, resultando em 28. Dos alunos que acertaram a questão obtendo um resultado igual a 12, três deles, por um erro de interpretação, marcaram a alternativa que dizia que o aparelho de som B custava R$ 12,00 a mais que o aparelho de som A quando, na verdade, é o contrário. Questão 8: Essa questão envolvia duas pessoas que foram almoçar e tiveram seus pratos pesando valores diferentes. Cabia ao aluno saber quanto o prato de uma pesou a mais que o da outra. Não houve questionamentos. Apenas três alunos erraram a questão marcando 0,550 kg devido a um erro de cálculo na subtração. Questão 9: O exercício apresentava que para fazer uma determinada cortina a pessoa gastaria 4 m de tecido. Também informava que já tinham sido comprados 1,70 m de tecido branco e 1,40 m de tecido rendado. Cabia ao aluno descobrir quanto de tecido faltava para completar a cortina. Foram levantados os seguintes questionamentos: Aluno: É conta de mais ou de menos? Eu tenho que tirar 1,70 e 1,40 de quatro?

45 Para esses questionamentos foi respondido: Professora: Se você tem um álbum composto por dez figurinhas nas cores amarelo, azul e vermelho. Sendo que duas figurinhas são amarelas e cinco figurinhas são azuis, quantas serão as vermelhas? Resposta dos alunos: As vermelhas serão três porque é o que falta para dez. Cinco alunos erraram a resposta, pois fizeram apenas 1,70 + 1,30, resultando em 3,10. Dos que responderam corretamente, três precisaram fazer 4 3,10 para obter o resultado de 0,90 m. Os demais, ao obter o resultado de 3,10, calcularam mentalmente que faltava 0,90 m para completar os 4 m necessários. Após a análise das questões contidas no teste diagnóstico, pode-se verificar que os alunos frequentemente apresentaram dificuldades em relação à operação correta a ser utilizada na realização dos cálculos. Além disso, na operação de subtração, ocorreram dificuldades quando o número a ser subtraído era menor que o número que estava subtraindo, ou seja, quando o minuendo era menor que o subtraendo. Outra dúvida apresentada pelos alunos foi em relação à posição da vírgula nas operações de adição e subtração. O fato dos mesmos desconhecerem o valor posicional da vírgula fez com que estes realizassem as operações solicitadas da mesma forma que com números naturais. Devido a isso, optou-se por elaborar, em maior número, problemas que envolvessem valores em dinheiro, a fim de que a posição da vírgula ficasse em segundo plano e os alunos pudessem se colocar na situação abordada, relacionando-a ao seu cotidiano. 4.2 ANÁLISE DAS SITUAÇÕES-PROBLEMA Com base nas dificuldades apontadas no teste diagnóstico, foram elaboradas dez situações-problema, baseadas nos dezenove livros analisados pela pesquisadora. Esses problemas foram aplicados a vinte alunos em três encontros e envolviam as dificuldades apresentadas pelos alunos a fim de verificar se o método de resolução de problemas contribuiria para uma melhor compreensão do conteúdo de Números Decimais. No primeiro encontro foi entregue aos alunos uma lista com dez problemas e solicitado que cada um fizesse uma leitura individual. Feita a leitura individual, foi permitido

46 aos alunos escolherem o colega com quem gostariam de trabalhar em dupla. Estas duplas foram nomeadas pela professora por letras do alfabeto: A, B, C, D, E, F, G, H, I e J. Uma vez formadas as duplas, foi solicitado aos alunos que fizessem a leitura dos problemas. Nesse momento, alguns alunos apresentaram dúvidas quanto à interpretação do enunciado de alguns problemas. Essas dúvidas foram esclarecidas pela pesquisadora. Foi deixado que os alunos discutissem com o seu companheiro e elaborassem estratégias para a solução do problema. Nesse momento, a pesquisadora fez mediações, incentivando o trabalho colaborativo e sanando dúvidas referentes a conceitos já estudados, os quais foram necessários para a elaboração da solução. Terminado o tempo de aula, os problemas foram recolhidos pela pesquisadora para serem entregues no próximo encontro a fim de que os alunos pudessem continuar a resolução dos mesmos, bem como evitar perdas por parte dos alunos. No segundo encontro foi solicitado aos alunos que formassem novamente as mesmas duplas da aula anterior. Os problemas foram entregues para que os alunos finalizassem a resolução dos mesmos. Ao final do encontro, os problemas foram recolhidos, outra vez, pela pesquisadora. No terceiro e último encontro os alunos já haviam se dividido nas mesmas duplas por conta própria. De posse dos problemas, foi solicitado a um dos componentes da dupla que fosse até o quadro registrar a solução obtida para o primeiro problema. Soluções repetidas não foram apresentadas. Com as soluções do primeiro problema expostas no quadro, foi solicitado a cada dupla que explicasse o porquê e como tinham chegado àquela conclusão. Nesse momento, a pesquisadora fez comentários em relação a cada solução, salientando os erros e acertos de cada dupla. Cabe destacar que, em alguns casos, a dupla não conseguiu obter a solução do problema. Assim, a pesquisadora fez perguntas com o objetivo de saber qual foi a dificuldade encontrada para a resolução do mesmo. Foi solicitado pela pesquisadora que os alunos não fizessem a correção da resolução do problema, em caso de erro, na folha dada a fim de manter a veracidade dos dados coletados. Os alunos foram orientados a fazer a correção no caderno de aula. Os demais problemas foram abordados da mesma forma que o primeiro. Ao final do encontro, as folhas foram recolhidas pela pesquisadora. Nas aulas que se seguiram, o conteúdo de Números Decimais foi introduzido formalmente, seguindo o roteiro do livro adotado pelo colégio onde a pesquisadora trabalha.

47 A seguir estão os problemas aplicados pela pesquisadora, os questionamentos e as soluções apresentadas pelos alunos, bem como as explicações dadas pelos mesmos em relação a cada solução obtida e alguns comentários relacionados a essas soluções. Problema 1: Em uma loja de eletrodomésticos, um liquidificador custa R$ 48,38 e uma batedeira, R$ 92,52. Dona Irene tem duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 100,00. Com esse valor, ela pode comprar os dois eletrodomésticos? Se comprar somente a batedeira, que nota deve entregar ao caixa? Irá receber troco? Se sim, de quanto? Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: Eu tenho que juntar o preço da batedeira e do liquidificador pra ver se eu vou ter dinheiro pra pagar tudo? É conta de mais ou de vezes no dinheiro? Professora: Se você tem duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 100,00 na carteira, quanto de dinheiro você tem ao total? Para saber se é possível comprar os dois eletrodomésticos, o que precisamos descobrir primeiro? Que conta você faria para saber se pode comprar ou não alguma coisa de acordo com o dinheiro que você tem? Solução apresentada pelas duplas A, B, C, D, E, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu somei o preço da batedeira e do liquidificador para ver quanto dava. Como deu R$ 140,90 eu vi que não dava pra comprar tudo porque eu só tinha R$ 140,00. Aí eu fiz 100 menos o valor da batedeira pra ver quanto de troco eu ia receber e vi que dava R$ 7,48 de troco. Professora: Isto mesmo! Comentário: As duplas verificaram, sem necessidade de cálculo, que o total de dinheiro disponível pela cliente era de R$ 140,00 e, a partir dessa informação, concluíram que não seria possível

48 comprar os dois eletrodomésticos, uma vez que, ao adicionar os valores dos mesmos, obtevese como soma o valor de R$ 140,90. Em relação à compra de somente um dos eletrodomésticos, as duplas concluíram que a nota entregue ao caixa deveria ser a nota de R$ 100,00 e a cliente receberia R$ 7,48 de troco. Solução apresentada pela dupla F: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu tirei o valor da batedeira da nota de cem pra ver quanto de troco eu ia ganhar. Professora: A primeira pergunta feita no problema era em relação à possibilidade de compra dos dois produtos. Por que você não respondeu se isso seria possível? Aluno: É que eu me esqueci de responder essa. Professora: E você consegue perceber agora se seria ou não possível comprar os dois produtos? Aluno: Não, porque pelo que a (nome da colega) calculou ali no quadro deu que a pessoa não tinha dinheiro pra pagar tudo. Professora: Você conseguiu entender como a sua colega chegou a essa conclusão? Aluno: Sim! Fazendo o preço de um mais o preço do outro e vendo se tinha dinheiro pra pagar tudo. Professora: Você percebeu que o valor obtido para o troco que a sua colega apresentou é diferente do seu? Por que você acha que isso aconteceu? Aluno: Sim! É que eu me atrapalhei na hora de pedir emprestado na conta de menos. Comentário: A dupla não respondeu a pergunta referente à possibilidade de compra dos dois eletrodomésticos. Respondeu somente a pergunta referente à nota que deveria ser entregue ao

49 caixa e quanto a cliente receberia de troco. Porém, ocorreu um erro de cálculo na operação de subtração. Solução apresentada pela dupla G: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Primeiro eu somei o valor da batedeira com o valor do liquidificador e vi que dava R$ 140,90. Depois eu somei os dinheiros que a dona Irene tinha para saber se dava pra comprar os dois produtos. Como a resposta deu R$ 140,00 de dinheiro, eu vi que não poderia comprar os dois porque faltava R$ 0,90. Professora: Por que você não respondeu a outra pergunta do problema? Aluno: Porque na hora eu fiz correndo e não vi que tinha essa pergunta. Professora: Olhando para a solução apresentada pelos seus colegas, você consegue entender o que foi feito? Aluno: Sim! O dinheiro para pagar a batedeira foi a nota de R$ 100,00 e sobrou R$ 7,48 de troco porque 100 menos 92,52 dá 7,48. Comentário: A dupla respondeu somente a primeira pergunta solicitada no problema. Verificou que seria impossível a compra dos dois eletrodomésticos, pois faltavam R$ 0,90. Porém, não respondeu a pergunta em relação a nota que deveria ser entregue ao caixa e o quanto a cliente receberia de troco. A interpretação do problema, por ser incompleta, levou a solução apresentada. Solução apresentada pela dupla H:

50 Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente somou o valor dos dois e deu 140,90 de resultado. Depois a gente viu que pra comprar a batedeira tinha que dar a nota de R$ 100,00 e sobrava R$ 7,46 de troco. Professora: Se os dois produtos custam R$ 140,90, vocês acham que podem comprar os dois produtos? Aluno: Não sei. Professora: Calculem quanto de dinheiro a dona Irene tem e depois me digam se com essa quantia ela pode pagar o valor de R$ 140,90. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Não! Porque ela tem só R$ 140,00. Professora: O valor do troco que vocês apresentaram é diferente do valor apresentado pelos colegas. Por que vocês acham que isso aconteceu? Aluno: Porque a gente errou na conta de menos. O certo é R$ 7,48. Comentário: A dupla calculou o preço gasto na compra dos dois eletrodomésticos, porém, não apresentou conclusão em relação a possibilidade de compra dos mesmos. Também foi calculado o valor do troco recebido pela cliente caso comprasse somente um dos eletrodomésticos, no entanto, houve um erro de cálculo na operação de subtração. Problema 2: Maristela comprou um sapato em quatro prestações. O valor da primeira prestação foi de R$ 29,00. Nas demais prestações, haverá um acréscimo de R$ 3,50 em cada prestação, em relação ao valor do mês anterior. Quanto Maristela pagará pelo sapato? Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: Eu tenho que fazer R$ 29,00 vezes quatro? O que eu tenho que fazer com esse R$ 3,50? Professora: Olhem o que o problema está dizendo. A primeira prestação é de R$ 29,00 e todo mês vai haver um acréscimo de R$ 3,50 em relação à prestação do mês anterior. Então, se no primeiro mês a prestação foi de R$ 29,00, de quanto será a prestação no

51 segundo mês, se todo mês aumenta R$ 3,50? Notem que eu não posso multiplicar R$ 29,00 por quatro porque as parcelas não são todas do mesmo valor, já que todo mês aumenta R$ 3,50. São parcelas com valores diferentes! Solução apresentada pelas duplas A, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Primeiro eu calculei o valor de cada parcela. Como cada mês aumentava R$ 3,50, eu fui calculando até a quarta parcela. Depois eu só somei tudo. Professora: Isto mesmo! Comentário: As duplas calcularam o valor referente a cada parcela e, em seguida, adicionaram cada valor a fim de obter o preço total pago pela cliente. Solução apresentada pelas duplas B, G e H: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu fiz a primeira parcela mais R$ 3,50. Professora: Leia o problema novamente. Professora: Agora me diga em quantas prestações o sapato foi comprado?

52 Aluno: Quatro. Professora: E o que diz que vai acontecer com as prestações, todo o mês? Aluno: Vai aumentar R$ 3,50. Professora: Então, se a primeira prestação é de R$ 29,00, qual será o valor da segunda prestação? Aluno: Eu tenho que fazer 29 mais 3,50? Professora: Sim! Porque o problema diz que a cada mês o valor da prestação aumenta R$ 3,50. Quanto vai dar então o valor da segunda prestação? Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) R$ 32,50. Professora: E as outras prestações? Não esquece que todo mês aumenta R$ 3,50! Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) R$ 36,00 e R$ 39,50. Professora: Agora que você já tem o valor das quatro prestações, o que precisa fazer para saber o total pago pelo sapato? Aluno: Eu tenho que somar tudo? Professora: O que você acha? Aluno: (fez o cálculo no quadro e respondeu) R$ 137,00. Comentário: As duplas calcularam o valor referente à segunda parcela. Porém, não calcularam o valor da terceira e quarta parcelas e, tampouco, o valor total pago pela cliente. Percebe-se falha na de interpretação. Solução apresentada pelas duplas C e D: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: A gente fez o valor da primeira prestação mais R$ 3,50 que deu R$ 32,50. Depois a gente fez R$ 32,50 mais R$ 3,50 que deu R$ 36,00 e foi fazendo até dar quatro

53 prestações. Só que a gente achou que o valor total era R$ 39,50 e agora a gente viu que tinha que somar tudo. Professora: Por que vocês acham que têm que adicionar os quatro valores? Aluno: Porque a senhora explicou que tem que descobrir o valor das quatro prestações e depois somar pra saber o total que tem que pagar no sapato. Comentário: As duplas calcularam o valor referente à segunda, terceira e quarta parcelas. Porém, não se calcularam a soma das parcelas a fim de se obter o preço total pago pela cliente. Houve, portanto, uma possível falha de interpretação. Solução apresentada pela dupla E: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fui achando os valores de cada prestação e depois somei todos que deu R$ 136,00. Só que a do (nome do colega) não deu a mesma coisa. Professora: Por que você acha que isso aconteceu? Aluno: Porque alguém calculou errado. Professora: Então vamos fazer a conta juntos agora. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Eu errei. Dá R$ 137,00. Comentário: A dupla calculou os valores da segunda, terceira e quarta parcelas e concluiu que deveria adicioná-las para obter o valor pago pela cliente. Porém, provavelmente por falta de atenção, apresentou-se um erro de cálculo na operação de adição. Solução apresentada pela dupla F:

54 Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente fez o valor da primeira prestação vezes quatro. Depois fez o valor do acréscimo vezes três e depois somou os dois resultados. Professora: Se as parcelas fossem todas do mesmo valor, por exemplo, se todas as parcelas fossem de R$ 29,00, como na maioria das lojas, você poderia fazer o valor da parcela multiplicado pelo número de parcelas e teria o valor total pago pelo sapato. Porém, o problema diz que a cada mês há um aumento de R$ 3,50 em relação à parcela anterior. Então, se no primeiro mês a parcela foi de R$ 29,00, no segundo mês será R$ 29,00 mais o acréscimo de R$ 3,50, que dará R$ 32,50. No outro mês, será o valor do mês anterior mais o acréscimo de R$ 3,50. Como você vai calcular então? Aluno: R$ 32,50 mais R$ 3,50. Professora: E isso dá quanto? Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) R$ 36,00. Professora: E a última parcela vai ser de quanto? Aluno: (calculou mentalmente e respondeu) R$ 39,50. Professora: Então quanto vai custar o sapato no total? Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) R$ 137,00. Comentário: A dupla interpretou que todas as parcelas tinham o valor de R$ 29,00. Além disso, calculou o valor do acréscimo em três vezes. Para obter o valor total pago pela cliente, adicionou os valores calculados. Problema 3: O preço de um automóvel, à vista, é R$ ,00. Esse mesmo automóvel pode ser pago em uma entrada de R$ 4.740,50 mais seis prestações de R$ 3.567,75. Quanto Gabriel irá poupar se pagar o automóvel à vista?

55 Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: Eu tenho que fazer esse valor vezes seis e depois juntar com esse? O que é poupar? Professora: Sim! Você vai multiplicar o valor de cada parcela por seis porque são seis parcelas e depois vai adicionar ao valor da entrada. Poupar é o mesmo que economizar. Se tiver no mercado um mesmo produto custando preços diferentes, por exemplo, um custa R$ 2,00 e o outro custa R$ 2,50, e você compra o que custa R$ 2,00, você vai poupar R$ 0,50, ou seja, você economizou R$ 0,50. Solução apresentada pelas duplas A, D, E, H, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu fiz o valor de cada parcela vezes seis e depois somei com o valor da entrada. Depois eu diminui o valor pago à vista desse valor. Professora: Muito bom! Comentário: As duplas calcularam o valor referente às seis parcelas e depois adicionaram ao valor da entrada. Feito isso, subtraíram o valor pago a vista do valor obtido a prazo e concluíram o quanto seria poupado se o cliente optasse pelo pagamento a vista. Solução apresentada pela dupla B:

56 final. Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz o mesmo que a (nome da colega), só que não deu a mesma coisa no Professora: Então vamos fazer a conta juntos. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Eu tinha errado na conta de menos. Comentário: A dupla raciocinou corretamente ao calcular o preço referente às seis parcelas adicionado ao preço dado de entrada e, posteriormente, subtraindo o valor pago à vista do valor obtido. Porém, ocorreu um erro de cálculo na operação de subtração ao calcular o quanto o cliente iria poupar se optasse pelo pagamento a vista. Solução apresentada pela dupla C: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu multipliquei esse valor por seis e depois somei com esse outro valor. Professora: Certo! Assim você obteve o valor pago em uma entrada mais seis prestações. Mas por que você não respondeu a pergunta do problema? Aluno: Por que a gente não sabia como fazer. Professora: E agora, vendo a solução dos colegas, você entendeu como faz? Aluno: Mais ou menos. Eu sei que tem que pegar o valor que a gente calculou e fazer menos o valor à vista. Mas o nosso resultado não deu igual ao dos outros. Professora: Então vamos refazer os cálculos juntos. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Agora deu! Comentário: A dupla raciocinou corretamente ao calcular o valor total pago pelas seis parcelas adicionado ao valor dado de entrada. Porém, ocorreu um erro de cálculo ao adicionar o valor

57 total das seis parcelas ao valor da entrada. Além disso, a dupla não concluiu a solução do problema, pois não apresentou resposta referente à pergunta de quanto o cliente teria poupado se optasse pelo pagamento a vista, indicando falha na interpretação do problema. Solução apresentada pela dupla F: Explicação dada pela dupla: Aluno: Está tudo errado! A gente não entendeu muito bem e fez a conta assim. Professora: Depois de todas as explicações dos colegas vocês conseguiram entender o que tinha que ser feito? Aluno: Agora sim! Comentário: A dupla concluiu que deveria realizar uma operação de subtração entre o valor pago a vista e o valor dado de entrada referente ao pagamento a prazo. Solução apresentada pela dupla G: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente também não entendeu muito bem e daí fez assim. Professora: E agora entenderam? Aluno: Agora sim! Professora: Então vamos fazer novamente a conta que vocês apresentaram.

58 Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Estava errada! Comentário: A dupla calculou apenas o valor total referente às seis parcelas. Além disso, apresentou um erro de cálculo na operação de multiplicação. Problema 4: Seu Genaro comprou cinco caixas de chocolate por R$ 80,00 para vender em sua mercearia. Cada caixa tem 20 barras de chocolate e ele vendeu cada uma por R$ 1,10. Quanto ele lucrou em cada barra? Quanto ele lucrou nas cinco caixas de chocolate? Este problema não apresentou questionamentos. Solução apresentada pelas duplas A, B, C, F, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: A gente fez oitenta vezes cinco pra saber quanto custou todas as caixas. Depois a gente fez vinte vezes cinco pra saber quantas barras tinham no total. Depois a gente descobriu que cada barra custava R$ 0,40 e fez menos R$ 1,10 que deu R$ 0,70 de lucro. E nas cinco caixas deu R$ 70,00 de lucro. Comentário: As duplas concluíram que R$ 80,00 era o preço referente a cada caixa e, por isso, realizaram a operação de multiplicação deste valor por cinco. Concluíram também que o total de barras eram cem, multiplicando a quantidade de caixas pela quantidade de barras em cada caixa. Como foi dado no problema que cada barra foi vendida por R$ 1,10, foi feita a subtração deste valor por R$ 0,40, resultando num lucro de R$ 0,70 por barra vendida. O valor de R$ 0,70 foi multiplicado pela quantidade de barras existente em cada caixa e,

59 posteriormente, pela quantidade de caixas, resultando num lucro de R$ 70,00 em relação as cinco caixas. Solução apresentada pela dupla E: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu não me lembro como eu fiz. Comentário: A dupla concluiu que a quantidade total de barras nas cinco caixas era cem. No entanto, não há como chegar a uma conclusão de como a dupla chegou à resposta de um gasto de R$ 100,00 e um lucro de R$ 10,00, pois não foi apresentado cálculo que comprove esta ideia. Solução apresentada pela dupla G: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz vinte vezes cinco e depois não sei o que eu fiz aqui. Comentário: A dupla concluiu que a quantidade total de barras nas cinco caixas eram cem. Após, efetuou uma operação de subtração entre um determinado valor que, supõe-se ser dez, e R$ 0,40, resultando em R$ 0,60. Este valor foi apresentado como sendo o lucro obtido na venda de cada barra. Faltou apresentar a conclusão do lucro em relação à venda das cinco caixas.

60 Solução apresentada pela dupla H: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz cinco vezes R$ 80,00 e depois R$ 20,00 vezes cinco. Comentário: A dupla concluiu que cada caixa custou R$ 80,00 e, por isso, multiplicou este valor por cinco para obter o valor pago na compra das caixas. Após, fez uma operação de multiplicação entre um valor de R$ 20,00 e cinco, obtendo R$ 100,00. Porém, o valor vinte corresponde à quantidade de barras existentes em cada caixa e não a um valor em dinheiro. Da mesma forma que o valor de cem corresponde à quantidade total de barras nas cinco caixas e não a um valor em dinheiro. A dupla não apresentou solução em relação ao lucro obtido por cada barra vendida e o lucro obtido nas cinco caixas vendidas. Novamente percebe-se falha na interpretação do problema. Observação: A dupla D não apresentou solução para o problema. Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu não entendi nada disso! Comentário: Apesar do problema não ter apresentado questionamentos, nenhuma dupla conseguiu resolvê-lo corretamente, fato que foi diagnosticado previamente por meio da análise das resoluções dos alunos. Assim, optou-se por explicá-lo no quadro para a toda turma, após cada dupla ter apresentado a sua solução, devido ao pouco tempo concedido a pesquisadora. Explicação apresentada pela professora:

61 Professora: Percebi que vocês apresentaram dificuldades em relação a este problema, então vamos resolvê-lo em conjunto. A maioria de vocês concluiu que cada caixa custou R$ 80,00, o que não é verdade. Se vocês lerem o problema novamente, vão perceber que R$ 80,00 é o valor pago pelas cinco caixas e não por cada caixa. Logo, se nós fizermos R$ 80,00 dividido por cinco, vamos ter quanto custa cada caixa, ou seja, R$ 16,00. Sabemos que cada caixa contém vinte barras. Logo, se fizermos o valor de cada caixa dividido pela quantidade de barras em cada caixa, vamos obter o valor de cada barra, ou seja, R$ 16,00 dividido por vinte é igual a R$ 0,80 cada barra. No problema está dito que cada barra foi vendida por R$ 1,10. Logo, se cada barra custou R$ 0,80 e foi vendida por R$ 1,10, o lucro foi de R$ 0,30 por barra, o que responde a primeira pergunta do problema. Agora, para saber de quanto foi o lucro obtido nas cinco caixas, basta multiplicar o lucro obtido por barra pela quantidade total de barras. Essa quantidade pode ser obtida multiplicando-se a quantidade de barras em cada caixa pela quantidade de caixas, ou seja, cinco caixas vezes vinte barras resulta em cem barras no total. Multiplicando-se esse total por R$ 0,30, obtémse o lucro referente às cinco caixas que é de R$ 30,00. Problema 5: Seu Germano comprou um terreno em prestações. Cada prestação custa R$ 987,00 e vence no dia 10 de cada mês. Pagando após esse dia, há multa de R$ 7,20 por dia. Seu Germano, muito esquecido, pagou a prestação somente no dia 25. Qual foi o valor pago por ele? Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: Depois que eu faço a conta de menos com o dez e o vinte e cinco, o que eu faço? Professora: Você fez vinte e cinco menos dez e deu quinze. Então você descobriu que o seu Germano atrasou o pagamento por quinze dias. No problema diz que a cada dia de atraso é cobrada uma multa de R$ 7,20. Se ele atrasou quinze dias então a multa será de? Aluno: Eu tenho que fazer esse valor vezes quinze? Professora: Isso mesmo! Solução apresentada pelas duplas A, B, D, F, H e I:

62 Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Bom! Como ele atrasou a conta quinze dias eu multipliquei quinze por R$ 7,20. Depois peguei esse valor e somei com R$ 987,00. Professora: Ótimo! Comentário: As duplas calcularam o valor total de juros pagos em um tempo de quinze dias e depois adicionaram este valor ao valor da parcela, obtendo assim o valor total pago. Solução apresentada pelas duplas C e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu fiz a mesma coisa que eles, profe! Professora: Tem certeza? Olha bem! Aluno: Sim! Tá igual. Professora: Então olha onde vocês colocaram a vírgula e onde eles colocaram a vírgula, na última conta, e me digam quem está certo?

63 Aluno: Sei lá! Professora: Escreve no quadro o valor R$ 1,00, R$ 1,50 e R$ 1,05. Professora: Quantos algarismos depois da vírgula têm esses valores? Aluno: Dois! Professora: Sempre que estamos escrevendo um valor em dinheiro, a quantidade de casas após a vírgula será duas, pois temos a parte real que fica antes da vírgula e a parte dos centavos que fica depois da vírgula. Concordam? Aluno: Sim! Comentário: As duplas utilizaram o raciocínio correto ao calcular o valor dos juros num tempo de quinze dias e adicioná-lo ao valor da parcela. Porém, apresentaram um erro em questão do posicionamento da vírgula. Talvez, por falta de atenção, não relacionaram a soma a um valor em dinheiro em que há apenas duas casas decimais após a vírgula, ou seja, os centavos. Solução apresentada pela dupla E: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente fez o valor cobrado por dia que era R$ 7,20 vezes quinze porque ele atrasou quinze dias a conta. Professora: A vírgula está na posição correta? Aluno: Não sei. Professora: Escreve R$ 108,00 no quadro. Professora: Por que a vírgula está em lugares diferentes? Aluno: Não sei! Professora: Como eu disse antes. Quando se trata de dinheiro nós teremos somente dois algarismos após a vírgula. Concordam? Aluno: Sim!

64 Professora: Outra coisa! Vocês só calcularam o valor referente aos dias de atraso. Faltou adicionar esse valor ao valor da prestação. Concordam? Aluno: Sim! Professora: Então calculem agora! Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Dá R$ 1095,00. Comentário: A dupla calculou apenas o valor referente aos juros cobrados em um tempo de quinze dias. A operação de multiplicação foi realizada corretamente, no entanto, ocorreu um erro no posicionamento da vírgula. Como o valor obtido é em dinheiro, a resposta deveria apresentar somente duas casas após a vírgula. Solução apresentada pela dupla G: Explicação dada pela dupla: Aluno: A gente calculou quinze dias vezes R$ 7,20. Professora: Não está faltando nada? Aluno: Não sei! Professora: O que eu tenho que fazer com o valor da prestação? Aluno: Ai prof. não sei! Professora: Calma! Vamos pensar juntas! Se o seu Germano pagasse a prestação no dia ele pagaria o valor de R$ 987,00. Como ele não pagou no dia que deveria pagar e atrasou quinze dias, ele terá que pagar uma multa de R$ 108,00, que foi o que vocês calcularam. Mas além dessa multa, ele também tem que pagar o valor da prestação. Então, na verdade, ele vai pagar esse valor que vocês calcularam que é o valor da multa mais o valor da prestação. Calculem e me digam quanto dá!

65 Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Dá R$ 1095,00. Comentário: A dupla calculou somente o valor pago de juros nos quinze dias de atraso. A operação de multiplicação foi realizada corretamente e o posicionamento da vírgula também. Problema 6: Letícia foi paga para lavar 400 copos que seriam usados em uma festa. Ela receberia R$ 0,05 por cada copo que lavasse e, caso quebrasse algum, seria descontado R$ 0,25 por cada copo quebrado. Ao final do serviço, Letícia recebeu R$ 18,00. Quantos copos ela quebrou? Este problema não apresentou questionamentos. Solução apresentada pelas duplas A, B, C, D, E, G, H, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: A gente fez quatrocentos vezes R$ 0,05 e deu R$ 20,00. Como ela tinha recebido só R$ 18,00, faltou R$ 2,00. Então foi quebrado oito copos porque cada copo que quebrava tirava R$ 0,25. Professora: Muito bem! Comentário: As duplas calcularam o quanto a pessoa receberia se fosse pago R$ 0,05 por cada copo lavado, num total de quatrocentos copos. Após, subtraíram o valor recebido do valor que deveria ser recebido e obtiveram um desconto de R$ 2,00. Logo, concluíram sem necessidade de cálculo que o total de copos quebrados era oito, uma vez que o problema determinava que a cada copo quebrado haveria um desconto de R$ 0,25.

66 Observação: A dupla F não apresentou solução para o problema. Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Não deu tempo de fazer esse porque a gente fez os outros primeiro. Professora: Vocês entenderam a solução dos colegas? Aluno: Sim! Problema 7: Laila deseja fazer um balanço para colocar em seu quintal. Para isso, precisa cortar dois pedaços de corda de 3,75 metros. Ela conseguirá fazer o balanço com uma corda de 10 metros? Se sim, sobrarão quantos metros de corda? Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: É conta de mais ou de vezes? Depois que eu somo os dois pedaços eu faço o que? Professora: Se você sabe que para construir um balanço é necessário dois pedaços de corda medindo 3,75 cada um, como você vai fazer para calcular o total de corda necessário? Não concorda que tanto faz fazer um pedaço mais o outro ou multiplicar o pedaço por dois, já que os dois pedaços são do mesmo tamanho? Se o problema diz quanto de corda a pessoa tem para fazer o balanço e você sabe quanto de corda é necessário para fazê-lo, que conta você precisa fazer para descobrir quanto de corda vai sobrar? Solução apresentada pelas duplas A, B, D, E, F, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu somei 3,75 mais 3,75 pra saber quanto de corda precisava pra fazer o balanço, aí eu vi que precisava de 7,50. Como tinha dez metros de corda eu fiz dez menos 7,50 que deu 2,50.

67 Professora: Certo! Só tem que deixar sempre vírgula abaixo de vírgula nas contas de adição e subtração. Comentário: Por meio do cálculo da quantidade de corda disponível, as duplas concluíram que com dez metros de corda seria possível construir o balanço em questão. Além disso, foi calculado também o quanto de corda sobraria, uma vez que a quantidade necessária para construir o balanço era menor do que a quantidade disponível. Solução apresentada pela dupla C: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu juntei os dois pedaços e deu 7,50. Professora: Por que você não respondeu a outra pergunta do problema? Aluno: Qual? Professora: Leia o problema! Aluno: Eu me esqueci! Professora: Que conta você acha que tem que fazer para responder a essa pergunta? Aluno: Tem que fazer dez menos 7,50. Professora: Então faz a conta! Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Sobram 2,50. Comentário: A dupla respondeu somente a pergunta referente à possibilidade de construção do balanço tendo em vista que havia dez metros disponíveis para a construção do mesmo. Porém, não respondeu a pergunta referente a quantos metros de corda sobrariam. Solução apresentada pela dupla G:

68 Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente não sabia como fazer direito e fez assim. Professora: Então vamos pensar juntos! Se você vai construir um balanço na sua casa e sabe que precisa de dois pedaços de corda medindo 3,75 cada um, quanto de corda você vai precisar no total? Aluno: Tem que fazer 3,75 mais 3,75. Professora: Então faz aí no quadro e me diz quanto dá. Aluno: (fez a conta e respondeu) Dá 7,50. Professora: Ok! Então você sabe que precisa de sete metros e meio para fazer o balanço e você tem uma corda em casa que mede dez metros. Você acha que com dez metros vai conseguir fazer um balanço que precisa de sete metros e meio para ser construído? Aluna: Sim! Porque sete metros e meio é menor que dez metros. Professora: Certo! E como você vai fazer para descobrir quanto de corda vai sobrar, já que você tem corda a mais? Aluno: Eu faço dez menos sete metros e meio. Professora: Então faz! Aluno: Como que eu monto a conta? Professora: (armou a conta no quadro) Aluno: (fez a conta e respondeu) Dá 2,50? Professora: Isso mesmo! Comentário: A dupla calculou o valor de um pedaço de corda multiplicado pela quantidade de corda disponível. Nessa operação, houve um erro quanto ao posicionamento correto da vírgula.

69 Solução apresentada pela dupla H: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu somei os dois pedaços e vi que sobrava 7,50. Professora: Pensa bem. Esse valor é o que sobrou ou o valor necessário para fazer o balanço? Aluno: Acho que tá errado, né?! Professora: Leia o problema. Aluno: É o que eu tenho que ter pra fazer o balanço. Professora: Isso mesmo! E para saber quanto vai sobrar de corda o que você tem que calcular? Aluno: Deixa eu pensar... Acho que tem que tirar isso de dez, mas não sei como que faz a conta. Professora: Então vamos fazer juntos! Professora: (a conta foi feita e explicada pela professora) Entendeu? Aluno: Agora sim! Comentário: A dupla raciocinou corretamente ao calcular a quantidade necessária para construir o balanço. Porém, talvez por um erro de interpretação, concluiu que o valor obtido era referente a quantidade de corda que sobraria. Problema 8: Daniela pegou um táxi para ir de sua casa até a casa de um amigo que mora a 26 km de distância. Durante o trajeto, conversando com o motorista, ela descobriu que a corrida de táxi é cobrada de acordo com a seguinte tabela: Bandeirada R$ 4,50

70 Quanto Daniela pagou pela corrida? Preço por km rodado R$ 1,25 Este problema não apresentou questionamentos. Solução apresentada pela dupla A: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente calculou vinte e seis vezes R$ 1,25 e depois somou com o valor da bandeirada. Professora: Ok! Vamos refazer juntas as contas. Faça novamente a multiplicação de 1,25 por 26. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Deu R$ 32,50. A gente fez errado! Professora: E agora façam a adição desse valor com o valor da bandeirada. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Deu R$ 37,00. Professora: Ok! O raciocínio estava certo, vocês só erraram os cálculos. Comentário: O raciocínio apresentado pela dupla está correto. Foi calculado o valor pago pelos quilômetros percorridos e este, adicionado ao valor da bandeirada. No entanto, ocorreu um erro de cálculo na operação de multiplicação dos quilômetros percorridos pelo valor cobrado por quilômetro. Solução apresentada pelas duplas B, C, E, G, H e J:

71 Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: Eu calculei R$ 1,25 vezes tudo que ela andou de táxi que foi vinte e seis e depois juntei com o valor da bandeirada. Professora: Certíssimo! Comentário: As duplas calcularam o valor pago pelos quilômetros percorridos e adicionaram o resultado obtido ao valor da bandeirada. Solução apresentada pela dupla D: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente fez igual ao (nome do colega), mas deu outra coisa na resposta. Professora: Então vamos refazer os cálculos para tirar a dúvida! Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) A gente errou! Comentário: O raciocínio está correto. A dupla calculou o valor referente aos quilômetros percorridos e depois o adicionou ao valor da bandeirada. Porém, por uma desatenção, houve um erro de cálculo na operação de multiplicação.

72 Solução apresentada pela dupla F: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz o valor de R$ 1,25 multiplicado por vinte e seis. Só que agora eu vi que tem que fazer igual o (nome do colega). Professora: E o que faltou você fazer então? Aluno: Faltou juntar esse valor ao valor da bandeirada. Professora: Refaz essa conta que você fez. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) A tá! Eu tinha calculado de outro jeito. Comentário: A dupla calculou apenas o valor referente aos quilômetros percorridos, sem adicionálo ao valor da bandeirada. Além disso, houve um erro nos cálculos. Observação: A dupla I não apresentou solução para o problema. Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente não conseguiu entender essa. Professora: E agora, depois das explicações dos colegas, vocês entenderam? Aluno: Agora sim! Problema 9: Lauren fez 13 kg de doce de leite para vender. Colocou a mesma quantidade de doce em vinte potes e vendeu cada pote por R$ 4,80. Qual a quantidade de doce que Lauren colocou em cada pote? Se Lauren gastou R$ 40,00 para fazer o doce e comprar os potes, quanto ela lucrou?

73 Este problema apresentou os seguintes questionamentos: Aluno: Eu tenho que fazer divisão, né?! O que é lucro? Professora: O problema diz que treze quilogramas de doce foram repartidos igualmente em vinte potes. Repartir é o mesmo que dividir alguma coisa. Então que conta você acha que precisa fazer? Se você comprar um produto por R$ 2,00, por exemplo, e vendê-lo por R$ 5,00, você vai lucrar R$ 3,00, que é o valor que você vendeu o produto menos o valor que você gastou na compra do produto. Solução apresentada pelas duplas A, C, D, E, H, I e J: Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: A gente multiplicou vinte por R$ 4,80 pra saber quanto a pessoa ganhou vendendo os potes. Depois a gente fez esse valor menos o valor que ela gastou para comprar as coisas e deu R$ 56,00. Depois a gente dividiu a quantidade de doce por vinte pra saber quanto de doce foi em cada pote. Professora: Muito bem! Comentário: As duplas calcularam a quantidade de doce que seria colocada em cada pote dividindo a quantidade total de doce pela quantidade de potes. Também calculou o lucro obtido por meio de uma operação de multiplicação entre a quantidade de potes e o valor cobrado por cada um. Desse produto foi subtraído o valor gasto na produção do doce e na compra dos potes. Solução apresentada pela dupla B:

74 Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz a quantidade de doce dividido pelo número de potes. Depois eu fiz vinte vezes o valor de cada pote. Professora: A conta de divisão está correta. Mas por que vocês multiplicaram vinte por R$ 0,48? Aluno: Porque era o preço de cada pote. Professora: Leiam o problema novamente. Professora: Qual era mesmo o preço cobrado por cada pote? Aluno: Era R$ 4,80, eu me confundi. Professora: Ok! Então refaça a conta. Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) Deu R$ 96,00. Professora: Agora só falta responder quanto a Lauren lucrou na venda dos potes de doce. Como você acha que pode descobrir isso? Aluno: Não sei. Professora: Quanto a Lauren gastou para comprar os potes? Aluno: R$ 40,00. Professora: E quanto ela ganhou na venda? Aluno: R$ 96,00. Professora: Então quanto ela lucrou, sabendo que o lucro é o valor recebido na venda menos o valor gasto? Aluno: Tem que fazer R$ 96,00 menos R$ 40,00? Professora: Sim! Aluno: (fez a conta no quadro e respondeu) R$ 56,00. Comentário: Foi calculada a quantidade de doce colocada em cada pote por meio de uma operação de divisão entre a quantidade total de doces e a quantidade de potes. Também foi calculado o valor recebido na venda dos potes por meio de uma operação de multiplicação. Porém, a

75 dupla apresentou um erro de interpretação, pois considerou que cada pote foi vendido por R$ 0,48 e não R$ 4,80. Além disso, ao multiplicar o valor de cada pote pela quantidade de potes, apresentou um erro de cálculo. Solução apresentada pela dupla F: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz vinte vezes R$ 4,80 e depois o resultado menos R$ 40,00. Professora: Por que você não respondeu quanto de doce caberia em cada pote? Aluno: Por que eu só vi agora essa pergunta. Professora: E você entendeu como faz? Aluno: Sim! Comentário: A dupla calculou o lucro recebido na venda dos potes. Porém, não calculou o valor referente à quantidade de doce que seria colocada em cada pote. Solução apresentada pela dupla G: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu fiz conta de divisão na quantidade de doce com a quantidade de potes. Professora: Não está faltando responder mais alguma coisa?

76 Aluno: Acho que não. Professora: Então leia o problema. Aluno: Faltou falar quanto deu de lucro. Professora: E como você vai descobrir isso? Aluno: Não sei. Professora: Vamos olhar as contas feitas pelos teus colegas. Eram vinte potes e cada um foi vendido por R$ 4,80. Por isso foi feita a multiplicação de R$ 4,80 por vinte. Como o resultado deu R$ 96,00, pode-se concluir que a Lauren ganhou R$ 96,00 na venda dos potes de doce. Só que a Lauren tinha gastado R$ 40,00 para comprar os potes e o doce. Então, foi feita a subtração de R$ 96,00 com R$ 40,00 para descobrir quanto a Lauren lucrou, que foi R$ 56,00. Entendido? Aluno: Sim! Comentário: A dupla calculou somente a quantidade de doce que seria colocada em cada pote por meio de uma operação de divisão. Problema 10: Bruno foi a uma loja comprar perfume para a namorada. O perfume A custava R$ 67,50, o B custava R$ 65,70 e o C custava R$ 75,60. Bruno resolveu levar dois destes perfumes e pagou a compra com uma nota de R$ 150,00, recebendo R$ 8,70 de troco. Quais desses perfumes Bruno comprou? Este problema não apresentou questionamentos. Solução apresentada pelas duplas A, B, C, E, H, I e J:

77 Explicação apresentada pelas duplas: Aluno: A gente fez o valor que ele deu para o caixa menos o valor do troco pra saber quanto ele gastou na compra. Depois a gente foi juntando de dois em dois até dar o mesmo valor. Professora: Isso mesmo! Comentário: As duplas subtraíram o valor recebido de troco pelo do valor dado ao caixa pelo cliente, obtendo assim o valor de custo dos produtos adquiridos. Para descobrir quais produtos foram comprados, os alunos utilizaram de tentativas, adicionando os valores dos produtos de dois em dois e verificando se o resultado correspondente era o mesmo pago pelo cliente. Solução apresentada pela dupla D: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente não entendeu bem como fazia, aí a gente foi somando os perfumes para ver qual dava R$ 150,00. Professora: Mas o valor da compra foi R$ 150,00? Aluno: Foi! Professora: Mas olhem o que está dito no problema. O cliente deu R$ 150,00 para pagar dois perfumes e recebeu R$ 8,70 de troco. Se o cliente recebeu troco, você não concorda que a compra custou menos de R$ 150,00? Aluno: Sim! Professora: E o que você tem que fazer para saber quanto custou os dois perfumes? Aluno: Fazer 150 menos 8,70? Professora: Sim! Que vai dar R$ 141,30, como foi calculado pelos teus colegas. E agora, o que você acha que tem que fazer para descobrir qual dos perfumes foram comprados?

78 Aluno: Aí eu tenho que ir juntando e ver qual dá esse valor. Professora: Isso mesmo! E como já foi mostrado, se você adicionar o valor do perfume B com o valor do perfume C resulta em R$ 141,30, ou seja, o cliente comprou os perfumes B e C. Alguma dúvida? Aluno: Não! Comentário: A dupla não apresentou uma conclusão referente ao problema. Apenas adicionou os valores dos produtos, de dois em dois, o que foi insuficiente para a obtenção de uma solução. Possível problema de interpretação. Solução apresentada pela dupla F: Explicação apresentada pela dupla: Aluno: Eu não sei explicar! A gente não sabia fazer direito e só foi juntando os valores. Professora: E depois das explicações dos teus colegas, você conseguiu entender como se faz? Aluno: Sim! Comentário: A dupla adicionou os valores dos produtos de dois em dois e depois subtraiu um desses valores obtidos do valor dado na compra dos produtos. No entanto, não foi apresentada uma conclusão em relação ao problema em questão. Solução apresentada pela dupla G:

79 Explicação apresentada pela dupla: Aluno: A gente fez o valor que a pessoa deu menos o do troco. E depois não sabia o que fazer. Professora: E agora vocês entenderam? Aluno: Agora sim! Comentário: A dupla calculou o valor pago pelos produtos subtraindo o valor recebido de troco do valor dado pelo cliente. Porém, não respondeu a pergunta referente à quais produtos foram adquiridos na compra.

80 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Esta dissertação teve por objetivo investigar a contribuição do método de Resolução de problemas para o entendimento das operações com números decimais. Em relação aos objetivos específicos procurou-se detectar quais foram as dúvidas mais frequentes, sobre este conteúdo, apresentadas pelos alunos com os quais a pesquisa foi realizada, bem como analisar a aplicação deste método de resolução de problemas para a aprendizagem das operações com números decimais. Por meio da análise dos dados coletados pode-se detectar que as dúvidas frequentemente apresentadas pelos alunos foram em relação à interpretação do problema. Na maioria das vezes, os alunos não conseguiam concluir se deveriam utilizar, por exemplo, a operação de adição ou de multiplicação para solucionar o problema em questão. Além disso, foram detectados problemas de falta de atenção dos alunos pelo fato de que, muitas vezes, não responderam a todas as perguntas solicitadas no problema, bem como dificuldades em relação ao posicionamento correto da vírgula nas operações de adição, subtração e multiplicação, mesmo quando os valores apresentados no problema eram em dinheiro. Também detectou-se dúvidas na realização de operações de subtração, principalmente quando a quantia que se está subtraindo é maior do que a quantia subtraída, ou seja, o subtraendo é maior que o minuendo. O erro ocorria no momento em que um número pedia emprestado ao outro, como comumente é falado. Em relação à aplicação do método de resolução de problemas pode-se concluir que a mesma foi válida, pois permitiu aos alunos mais autonomia na construção do conceito de Números Decimais no momento em que estes tiveram a oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico sem a ajuda da professora, fazendo uso de conhecimentos prévios como, por exemplo, as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de Números Naturais, como sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 42) que diz: os conceitos matemáticos devem ser abordados por meio de situações em que o aluno necessite de algum tipo de estratégia para resolvê-la e a resolução de um problema faz com que o aluno utilize o que aprendeu por meio de aproximações sucessivas. O método também proporcionou a troca de ideias entre os colegas por meio do trabalho em dupla, fazendo com que os alunos desenvolvessem a noção de um trabalho coletivo e colaborativo. Analisou-se também que o método de Resolução de problemas faz com que os alunos se sintam desafiados e motivados na busca pela solução de um problema que pode ser vivenciado tanto em sala de aula como no seu cotidiano. Segundo os Parâmetros

81 Curriculares Nacionais (1998, p. 49), o método de Resolução de problemas possibilita aos alunos: desenvolver a autoestima e a perseverança na busca por soluções e trabalhar coletivamente na solução de problemas, respeitando o modo de pensar dos colegas. Além disso, o método contribuiu para que os alunos desenvolvessem autoconfiança em relação as suas decisões. Apesar disso, muitas vezes, os mesmos necessitavam que a pesquisadora lhes dissesse que o seu raciocínio estava correto para que prosseguissem nos cálculos. Acredita-se que isso ocorreu pelo fato de que, na maioria das vezes, o foco do conhecimento está no professor, que assume uma posição ativa, cabendo aos alunos apenas assistir passivamente. No momento em que os alunos tiveram de sair de sua zona de conforto para assumirem o papel principal na construção do seu próprio conhecimento, os mesmos demonstraram insegurança e timidez. Principalmente no momento em que lhes foi solicitado que fossem ao quadro expor suas soluções. Assim, considera-se que este método contribuiu não somente para o entendimento das operações com números decimais como também no descobrimento de lacunas (em relação às quatro operações) nos conhecimentos prévios dos alunos, possibilitando ao professor trabalhar com estas dificuldades no intuito de saná-las.

82 REFERÊNCIAS ALVES-MAZZOTTI, Alda Judith; Gewandsznajder, Fernando. O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. São Paulo: Pioneira, O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. 2. ed. São Paulo: Pioneira, ANDRINI, Álvaro; Vasconcellos, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, BORDEAUX, Ana Lúcia (Org.). Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Matemática). Brasília: A Secretaria, CAVALCANTE, Luiz G. (Org.). Para saber matemática: 5ª série. São Paulo: Saraiva, CENTURIÓN, Marília Ramos; Jakubovic, José; Lellis, Marcelo. Matemática na medida certa. São Paulo: Scipione, CUNHA, Micheline R. K. da. A quebra da unidade e o número decimal: um estudo diagnóstico nas primeiras séries do ensino fundamental Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2.ed. São Paulo: Ática, Tudo é matemática. São Paulo: Ática, FAVILLI, Ubirajara. Matemática sem limites: 6º ano. São Paulo: Companhia Editora Nacional, FIORENTINI, Dario; Lorenzato, Sergio. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 2. ed. São Paulo: Autores Associados, GIOVANNI, José Ruy; Giovanni, Castruci; Giovanni Jr. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, GUIA e recursos didáticos: matemática ed. São Paulo: Ed. Moderna, LEZZI, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antonio. Matemática e Realidade: 6º ano. 6. ed. São Paulo: Atual, MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

83 MORI, Iracema; Onaga, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 13. ed. São Paulo: Saraiva, NAME, Miguel Asis. Vencendo com a matemática. São Paulo: Editora do Brasil, OLIVEIRA, Carlos N. C. de; Fernandes, Marco Antonio Martins. Para viver juntos: matemática 6º ano. São Paulo: Edições SM, ONUCHIC, Lourdes de La R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, P POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, POZO, Juan Ignacio. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. In: ECHEVERRÍA, María del Puy Pérez (Org.). Porto Alegre: Artmed, RIBEIRO, Jackson. Matemática: 6º ano. São Paulo: Scipione, RIO GRANDE DO SUL. Secretaria de Estado da Educação. Boletim Pedagógico de Avaliação da Educação : SAERS Juiz de Fora, SILVEIRA, Ênio; Marques, Cláudio. Matemática: compreensão e prática. São Paulo: Ed. Moderna, SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática: Jogos e Conceitos. São Paulo: Ática, SOUZA, Joamir; Pataro, Patricia Moreno. Vontade de saber matemática: 6º ano. São Paulo: FTD, SPINELLI, Walter; Souza, Maria Helena. Matemática: 5ª série. São Paulo: Ática, TOSATTO, Cláudia Miriam; Peracchi, Edilaine do Pilar F.; Estephan,Violeta M. Matemática: 5ª série. 2. ed. Curitiba: Positivo, VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6.ed. Porto Alegre: Artmed, ZABALZA, Miguel A. Diários de aula: um instrumento de pesquisa e desenvolvimento profissional. Porto Alegre: Artmed, 2004.

84 APÊNDICES

85 APÊNDICE A TESTE DIAGNÓSTICO Caros alunos Solicito que respondam as questões abaixo, para que eu possa verificar o que vocês já sabem sobre números decimais e o que ainda precisamos trabalhar. Peço que apresentem todo o desenvolvimento da questão, para que se possa saber que formas de resolução desses problemas vocês já conhecem. Este trabalho faz parte da minha dissertação de mestrado e eu agradeço a cooperação de vocês! Profª Lívia Da Cás Pereira 1. Arme a conta abaixo e resolva: 48,37+32,25 O resultado correto dessa conta é? 2. Nas tarefas de casa de Matemática, Robson tinha a seguinte questão para fazer: 2,08+0,7 O resultado correto desta conta é? 3. Numa lanchonete, os preços são apresentados em um cartaz. Produto Valor Pão de queijo R$ 1,00 Bombom R$ 0,50 Suco R$ 1,50 Doce R$ 0,30 Refrigerante R$ 1,00 Cachorro-quente R$ 2,00 Nessa lanchonete, Sérgio comprou 2 bombons, 1 suco e 1 cachorro-quente. Quanto ele gastou? 4. Uma costureira comprou 3,25 m de fita vermelha, 2,80 m de fita azul e 0,75 m de fita branca. Quantos metros de fita ela comprou? 5. Na papelaria Escolar o preço do caderno está em oferta.

86 OFERTA Caderno grande com 200 páginas a R$ 3,27 Ana aproveitou essa oferta e comprou dois cadernos. Quanto ela gastou? 6. Na loja Bom de bola, o preço da bola de oficial de vôlei está em promoção. PROMOÇÃO R$ 38,45 À VISTA Pedro aproveitou essa promoção e comprou uma bola. Ele pagou com uma nota de 50 reais. Quanto Pedro recebeu de troco? 7. Os preços abaixo foram divulgados em duas lojas de eletrodomésticos. LOJA A Aparelho de Som R$ 290,00 LOJA B Aparelho de Som R$ 278,00 O aparelho de som da loja B custa: (a) (b) (c) (d) R$ 28,00 a menos que o da Loja A R$ 12,00 a menos que o da Loja A R$ 12,00 a mais que o da Loja A R$ 28,00 a mais que o da Loja A 8. Gabriela e Clarissa foram almoçar em um restaurante, que cobra o valor da comida de acordo com o seu peso. O prato de Clarissa pesou 0,835 kg e o de Gabriela 0,385 kg. Quantos quilogramas o prato de Clarissa pesou a mais que o de Gabriela? 9. Amanda gastará 4 m de tecido para fazer uma cortina. Ela comprou 1,70 m de tecido branco, 1,40 m de tecido rendado e para completar o que falta ela vai comprar tecido na cor azul. Quantos metros de tecido azul ela vai comprar?

87 APÊNDICE B CONJUNTO DE ATIVIDADES 3 1. Em uma loja de eletrodomésticos, um liquidificador custa R$ 48,38 e uma batedeira, R$ 92,52. Dona Irene tem duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 100,00. Com esse valor, ela pode comprar os dois eletrodomésticos? Se comprar somente a batedeira, que nota deve entregar ao caixa? Irá receber troco? Se sim, de quanto? 2. Maristela comprou um sapato em quatro prestações. O valor da primeira prestação foi de R$ 29,00. Nas demais prestações, haverá um acréscimo de R$ 3,50 em cada prestação, em relação ao valor do mês anterior. Quanto Maristela pagará pelo sapato? 3. O preço de um automóvel, à vista, é R$ ,00. Esse mesmo automóvel pode ser pago em uma entrada de R$ 4.740,50 mais seis prestações de R$ 3.567,75. Quanto Gabriel irá poupar se pagar o automóvel à vista? 3 As figuras utilizadas como ilustração foram retiradas da internet (www.google.com.br).

88 4. Seu Genaro comprou cinco caixas de chocolate por R$ 80,00 para vender em sua mercearia. Cada caixa tem 20 barras de chocolate e ele vendeu cada uma por R$ 1,10. Quanto ele lucrou em cada barra? Quanto ele lucrou nas cinco caixas de chocolate? 5. Seu Germano comprou um terreno em prestações. Cada prestação custa R$ 987,00 e vence no dia 10 de cada mês. Pagando após esse dia, há multa de R$ 7,20 por dia. Seu Germano, muito esquecido, pagou a prestação somente no dia 25. Qual foi o valor pago por ele? 6. Letícia foi paga para lavar 400 copos que seriam usados em uma festa. Ela receberia R$ 0,05 por cada copo que lavasse e, caso quebrasse algum, seria descontado R$ 0,25 por cada copo quebrado. Ao final do serviço, Letícia recebeu R$ 18,00. Quantos copos ela quebrou? 7. Laila deseja fazer um balanço para colocar em seu quintal. Para isso, precisa cortar dois pedaços de corda de 3,75 metros. Ela conseguirá fazer o balanço com uma corda de 10 metros? Se sim, sobrarão quantos metros de corda?

89 8. Daniela pegou um táxi para ir de sua casa até a casa de um amigo que mora a 26 km de distância. Durante o trajeto, conversando com o motorista, ela descobriu que a corrida de táxi é cobrada de acordo com a seguinte tabela: Bandeirada R$ 4,50 Preço por km rodado R$ 1,25 Quanto Daniela pagou pela corrida? 9. Lauren fez 13 kg de doce de leite para vender. Colocou a mesma quantidade de doce em vinte potes e vendeu cada pote por R$ 4,80. Qual a quantidade de doce que Lauren colocou em cada pote? Se Lauren gastou R$ 40,00 para fazer o doce e comprar os potes, quanto ela lucrou? 10. Bruno foi a uma loja comprar perfume para a namorada. O perfume A custava R$ 67,50, o B custava R$ 65,70 e o C custava R$ 75,60. Bruno resolveu levar dois destes perfumes e pagou a compra com uma nota de R$ 150,00, recebendo R$ 8,70 de troco. Quais desses perfumes Bruno comprou?

90 ANEXO

91

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