Capítulo 24: Potencial Elétrico

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1 Capítulo 24: Potencial Elétrico Havendo uma força eletrostática entre duas ou mais partículas podemos associar um energia potencial elétrica U ao sistema. Suponhaqueosistemamudasuaconfiguraçãodeumestadoinicial iparaumestadofinal f. A força eletrostática exerce um trabalho de W sobre as partículas. Assim: U = U f U i U = W Trabalho independe da trajetória pois a força é conservativa. Configuração de Refêrencia: sistema de partículas carregadas na qual a distância entre as partículas é infinita. Energia Potencial de Referência: corresponde a configuração de referência e tem valor zero. Suponha o seguinte sistema: Estado i: n partículas carregadas com distância infinita entre si. Estado j: adistância passaaserfinita. Portanto: W realizado pelas forças duranteodeslocamentoéinfinito: W Exemplo(24-1): Pertodasuperfícieterrestreocampoelétricoéde 150N/Ceapontaparaocentro da Terra. Quanto vale U de um elétron livre na atmosfera quando uma força eletrostática faz com quesemova verticalmente paracima umadistância d = 520 m? 1 Potencial Elétrico A energiapotencialporunidadedecarga emum pontodoespaçoéchamado depotencial elétrico V: V = U q A diferençadepotencialelétricoentredoispontos i e f é: V V = V f V i = U f q U i q = U q 1

2 Substituindo U por W: V = V f V i V = W q Tomando U i = 0(infinitocomoreferênciaparaenergiapotencial), V noinfinitotambémseránulo. Deste modo, podemos definir o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço como: V = W q W é o trabalho executadopelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando ela se desloca do paraoponto f. Unidade: J/C = Volt(V) Paraocampo E: ( 1 N/C= 1 N )( 1 V.C )( ) J 1 = 1 V/m C J N.m Definição: Elétron-volt(ev) é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga elementar eatravés deumadiferençadepotencialdeum volt. 1eV=e (1V)=( C)(1J/C)= J 2 Trabalho Realizado por uma Força Aplicada Suponhaumapartículadecarga q,transportadadoponto iparaoponto f,napresençadeumcampo elétrico, através da aplicação de uma força. Aforça realiza um trabalho W ap sobreacarga. O Campo elétrico realiza um trabalho W sobre a carga. De acordo com o teorema trabalhoenergia: K = W tot K f K i = W ap +W Supondo a partícula parada antes e depois do deslocamento. W ap 0 = W ap +W = W W ap é igual ao negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico. Fazendo: (substituir W por W ap ) U = U f U i = W ap eusando V = W q W = q V,então W ap = q V 3 Superfícies Equipotenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial. Em uma superfície equipotencial, o campo E não realiza nenhum trabalho W sobre uma partícula carregada. Observeaequação: V = W q,como V f =V i W = 0,paraqualquertrajetóriaqueligueospontos ie f. 2

3 4 Cálculo do Potencial a Partir do Campo Considere um campo elétrico qualquer, representado na figura abaixo: A carga de prova q o se move do ponto i ao ponto f, percorrendo a trajetória strada na figura. Em todos os pontos da trajetória temos uma forçaeletrostática q o E eumdeslocamento s s. O trabalho infinitesimal realizado sobre a partícula é: ou,paraessecaso portanto, o trabalho total é: dw = F.d s dw = q o e.d s f W = q o E.d s substituindo W peloseuvalor emtermosde V: f V f V i = E.d s i A diferença V f V i é a integral de linha de E.d s ao longo da trajetória (para qualquer trajetória ovalor seráomesmo0. Seescolhermos V i = 0 f V = E.d s i Exemplo (24-2): A carga de prova q o (positiva) se desloca no ponto i ao ponto f ao longo da trajetória indicada. Qual a diferença de potencial entre os dois pontos? a) b) i 3

4 Observe a figura abaixo com diversas superfícies equipotenciais: 4

5 5 Potencial Produzido por uma Carga Pontual Uma cargapontual qproduzum campo elétrico E eum potencialelétrico V no ponto P. Calcularemos o potencial deslocando uma carga deprova q o doponto Paté oinfinito. Lembrando: no infinito o potencial é zero. A trajetória é irrelevante, por isso escolhemosamais simples: umalinha reta. E.d s=e cos0 ds=eds. Como a trajetória é radial, faremos ds = dr, assim f V f V i = Edr i Ocampo elétricoédadopor: E = 1 q r 2 0 V = q R Substituindo R por r: r i = R r f = V(R)= V V f = V( )=0 1 r 2 dr= q V = 1 q R V = 1 q r 6 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais [ ] 1 r R Usaremos o princípio da superposição e a equação V = 1 q r porum grupodecargas. para calcular o potencial produzido Para ncargas, o potencialtotalédadopor V = n V i i=1 V = 1 n q i i=1 r i Osinaldas cargas temqueentrarnestaconta. 5

6 Exemplo(24-3): Calcule o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado. q 1 =+12 nc q 2 = 24 nc q 3 =+31 nc q 4 =+17 nc d = 1.3 m Exemplo (24-4): 12 elétrons são mantidos fixos, com espaçamento uniforme, sobre um circunferência re raio R. Em relação a V = 0 no infinito, quais são o potencial elétrico e o campo elétrico no centro da circunferência? 7 Potencial Produzida por um Grupo de Cargas Pontuais Qualopotencialemumpontoarbitrário Pdevido a um dipolo elétrico? Noponto P: Então, - carga (+): produzpotencial V (+) - carga (-): produzpotencial V ( ) V = 2 i=1 V i = V (+) +V ( ) = 1 ( q + q ) r (+) r ( ) V = q r ( ) r (+) r ( ).r (+) Considerando r >> d r ( ) r (+) = d cosθ e r ( ).r (+) = r 2 V = q d cos θ r 2 Usandoadefinição dedipoloelétrico p=qd, temos V = 1 pcosθ r 2 dipolo elétrico 6

7 8 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas No caso de distribuições contínuas devemos escolher um elemento de carga dq e calcular o ponto dv produzidoemum ponto P. Tatando o elemento de carga dq como uma carga pontual. dv = 1 dq r r distancia entre Pedq Então, V = dv = 1 dq r 9 Linha de Cargas Considere uma barra fina não-condutora de comprimento L com uma densidade linear de cargas positivas λ. Para um elemento dx da barra: dq=λdx e produzum potencial dv noponto P queestáaumadistância r=(x 2 + d 2 ) ( 1/2) dv = 1 dq r = 1 λdx (x 2 + d 2 ) 1 2 Integrandode x=0 a x=l V = L dv = 0 V = λ L 0 1 λ dx (x 2 + d 2 ) 1 2 dx (x 2 + d 2 ) 1 2 7

8 Tabela: dx x 2 + a 2 = ln(x+ x 2 + a 2 ) V = λ [ ] L ln(x+(x 2 + a 2 ) 1/2 ) 0 V = λ [ ] ln(l+(l 2 + d 2 ) 1/2 ) ln d Usandoaidentidade ln A ln B=ln(A/B) [ ] V = λ L+(L 2 + d 2 ) 1/2 ln d 10 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Suponhaqueumacargadeprovapositiva q o sofraumdeslocamento d sdeumaseperfícieequipotencial para a superfície vizinha. Otrabalho realizado pelocampo sobre q o é q o dv E cosθéacomponente E nadireção de d s,então: q o dv = q o E(cosθ)ds E(cosθ)= dv ds E s = V s A derivadaparcial mostraqueavariação de V éao longodeum certoeixo. Generalizando: E x = V x, E y = V y, E z = V z No caso de campos uniformes: E = V s 8