POTENCIAL ELÉTRICO. Seção 30-2 Energia Potencial Elétrica

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1 POTENCIAL ELÉTRICO Seção 30-2 Energia Potencial Elétrica 1. No modelo de quarks das partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks: dois quarks "up", cada um tendo carga +(2/3)e, e um quark "down", tendo carga -(I/3)e. Suponha que os três quarks sejam eqüidistantes. Considere essa distância como 1,32 X IO" 15 me calcule (a) a energia potencial da interação dos dois quarks "up" e (b) a energia potencial elétrica total do sistema. 2. Deduza uma expressão para o trabalho necessário para um agente externo reunir quatro cargas como indica a Fig. 25. O lado doquadrado tem comprimento a. 3. Uma década antes de Einstein publicar sua teoria da relatividade, J. J. Thomson imaginou que o elétron poderia ser constituído de pequenas partes, que sua massa seria devida à interação elétrica dessas partes e que a energia seria igual a mc 2. Faça uma estimativa grosseira da massa do elétron, do seguinte modo: suponha que o elétron seja composto de três partes idênticas que foram trazidas do infinito e colocadas nos vértices de um triângulo equilátero cujos lados são iguais ao raio clássico do elétron, 2,82 X IO -15 m. (a) Encontre a energia potencial elétrica total desta configuração, (b) Divida por c 2 e compare seu resultado com a massa aceita do elétron (9,11 X IO -31 kg). O resultado se torna mais preciso se forem consideradas mais de três partes. Hoje, o elétron é concebido como uma partícula simples, indivisível. 4. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a energia potencial elétrica do sistema seja nula. 25,5 nc 17,2 nc -19,2 nc p 14,6 cm >j-s 3-j Fig. 26 Problema A Fig. 27 mostra uma representação idealizada de um núcleo de 238 U (Z = 92) prestes a sofrer uma fissão. Calcule (a) a força repulsiva atuante em cada fragmento e (b) a energia potencial elétrica mútua dos dois fragmentos. Suponha que os fragmentos sejam esféricos, tenham o mesmo raio e possuam a mesma carga, tocando-se em um ponto apenas, sem se deformarem. O raio do núcleo de 238 U inicialmente era de 8,0 fm. Suponha que a matéria que constitui o núcleo tenha densidade constante. Seção 30-3 Potencial Elétrico 6. Duas superfícies condutoras planas e paralelas, afastadas entre si de d = 1,0 cm, estão a uma diferença de potencial AVde 10,3 kv. Um elétron é projetado de uma das placas diretamente sobre a segunda. Qual a velocidade inicial do elétron se ele atingir o repouso no exato momento em que alcança a superfície da segunda placa? Ignore os efeitos relativísticos. 7. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos extremos da descarga é de cerca de 1,0 X IO 9 V e a quantidade de carga transferida é de cerca de 30 C. (a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda essa energia pudesse ser usada para acelerar um automóvel de kg, a partir do repouso, qual seria sua velocidade final? (c) Se a energia pudesse ser usada para derreter gelo, quanto gelo seria derretido a 0 C?

2 8. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma descarga elétrica durante uma tempestade é de 1,23 X IO 9 V. De quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se mova entre esses pontos? Dê a sua resposta em (a) joules e (b) elétronvolts. 9. (a) Através de que diferença de potencial um elétron precisa "cair", de acordo com a mecânica newtoniana, para adquirir uma velocidade ti igual à velocidade c da luz? (b) A mecânica newtoniana falha quando v -» c. Desse modo, usando a expressão relativística correta para a energia cinética (veja Eq. 27 do Cap. 21), isto é, K=mc LVi -(v/c) 2 no lugar da expressão newtoniana K = (1 /2)mtf, determine a velocidade que o elétron adquire ao "cair" através da diferença de potencial calculada em (a). Expresse essa velocidade como fração da velocidade da luz. 10. Um elétron é projetado com velocidade inicial de 3,44 X IO 5 m/s diretamente sobre um próton que está em repouso. Se o elétron estava inicialmente a grande distância do próton, a que distância deste a velocidade intantânea do elétron será igual ao dobro de seu valor iniciai? 11. Uma partícula de carga q é mantida em uma posição fixa em um ponto F e uma segunda partícula de massa m, tendo a mesma carga q, é inicialmente mantida em repouso à distância r, de P. A segunda partícula é então liberada, sendo repelida pela primeira. Determine sua velocidade no instante em que ela estiver à distância r, de P. Suponha q = 3,1 /xc. m = 18 mg, r, = 0,90 mm e r 2 = 2,5 mm. 14. No retângulo mostrado na Fig. 28, os lados têm comprimentos de 5,0 cm e 15,0 cm, respectivamente, e as cargas valem q í A -5,0 n-ctq 2 = +2,0 i±c. (a) Quais os potenciais elétricos nos j! vértices A e BI (b) Quanto trabalho externo é necessário para j \ mover uma terceira carga ç 3 = + 3,0 de B para A ao longo B L da diagonal do retângulo? (c) Neste processo, o trabalho externo <?2 é convertido em energia potencial eletrostática ou vice-versa? Explique. p- * n Problema ] Trêsoargas de mc cada uma são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de 1,72 m de lado. Se for fornecida energia à razão de 831 W, quantos dias serão necessários para mover uma das cargas para o meio da linha que liga as outras duas? Seção 30-4 Cálculo do Potencial a Partir do Campo 16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga a - 0,12 /jlc/ m 2. A que distância estão as superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 48 V? 17. Duas grandes placas condutoras paralelas estão distantes 12,0 cm uma da outra e têm cargas iguais mas opostas em suas superfícies internas. Um elétron colocado a meia distância entre as placas sofre a ação de uma força de módulo 3,90 X N. (a) Encontre o campo elétrico na posição do elétron. (b) Qual a diferença de potencial entre as placas? 18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um campo elétrico de 1,92 X 10 5 N/C é mantido entre duas placas separadas por 1,50 cm. Encontre a diferença de potencial entre as placas.

3 20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, cuja densidade de carga é uniforme, tem direção radial e seu módulo é sendo q a carga total na esfera era distância ao centro desta, (a) Determine o potencial V(r) dentro da esfera, considerando V = 0 em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície e outro no centro da esfera? Se q for positiva, que ponto possui o maior potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r do centro, sendo r<r.é dado por 3 ' 23. Uma carga pontual tem q = + 1,16 C. Considere o ponto A, distante 2,06 m, e o ponto oposto 5, distante 1,17 m, como na Fig. 29a. * B (a) Encontre a diferença de potencial V A - V. (b) Repita para os pontos A e B localizados como na Fig. 29b. J i 27. Um gota esférica de água, com carga de 32,0 pc, tem potencial de 512 V na sua superfície, (a) Qual o raio da gota? (b) Se duas dessas (b) gotas, com a mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para formar uma única gota, também esférica, qual o potencial na superfície Fig. 29 Problema 23. dessa nova gota' Um campo elétrico de aproximadamente 100 V/m é freqüentemente observado na proximidade da superfície terrestre. Se esse campo fosse o mesmo sobre toda a superfície, qual seria o potencial elétrico de um ponto dela? Veja Exemplo 6. v_q(3r 2 -n) g/re^3 ' B onde o zero do poiencial foi arbitrado em r «>. Por que este resui- lado difere do que foi apresentado no item iá)': ( a ) q e A Seção 30-6 Potencial Devido a um Conjunto de Cargas Pontuais 30. A molécula de amónia NH 3 tem momento dipolo elétrico permanente igual a 1,47 D, onde Déa unidade debye, que vale 3,34 X 10~ 30 C m. Calcule o potencial elétrico devido a uma molécula de amónia em um ponto distante 52,0 nm do dipolo, ao longo do seu eixo. 31. (a) Considerando a Fig. 31, calcule uma expressão para V, - V*,. (b) Seu resultado leva à resposta esperada quando d = 0? Quando a = 0? Quando q = 0? +q A B -q Fig. 31 Problema Na Fig. 32, localize os pontos, se existirem, (a) onde V = 0 e (b) onde E = 0. Considere somente pontos no +2 a

4 33. Uma carga pontual q x = + 6e está fixada na origem de um sistema de coordenadas retangular, e uma segunda carga pontual q 2 = -1 Oe está fixada em x = 9,60 nm, y = 0. O lugar geométrico dê todos os pontos do plano xy onde V = 0 é um círculo centrado no eixo x, como mostra a Fig. 33. Encontre (a) o ponto x e no centro do círculo e (b) o raio R do círculo, (c) A eqüipotencial V = 5V também é um círculo? 34. Duas cargas q + 2,13 /xc estão fixas no espaço à distância d = 1,96 cm urna da outra, como indica a Fig. 34. (a) Qual o potencial elétrico no ponto C? (b) Você traz lentamente uma terceira carga Q = + 1,91 /jíc desde o infinito até C. Quanto trabalho você precisa realizar? (c) Qual a energia potencial U da configuração, quando a terceira carga for colocada? 35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r) para pontos no eixo vertical, considerando r> d,é dado por / R 1 \ \ *c 91 1 <72 Fig. 33 Problema 33. C V= 4?re r {Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo.) Seção 30-7 O Potencial Elétrico de Distribuições Contínuas de Cargas 36. A Fig. 36 mostra, vista da borda, uma lâmina "infinita" com densidade de carga positiva cr. (a) Quanto trabalho é realizado pelo campo elétrico da lâmina quando uma pequena carga de prova positiva q Q é movida desde sua posição inicial na lâmina até a posição final localizada à distância z da placa? (b) Use o resultado de (a) para mostrar que o potencial elétrico de uma lâmina infinita de carga pode ser escrito como V=V 0 -(c/2t 0 )z, sendo V 0 o potencial na superfície da lâmina. 37. Uma carga elétrica de -9,12 nc está uniformemente distribuída ao longo de um anel de raio 1,48 m localizado no plano yz, com seu centro na origem. Uma partícula tendo carga de -5,93 pc está localizada em x = 3,07 m, y = 0. Calcule o trabalho realizado por uma agente externo ao mover essa carga pontual até a origem. 38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por unidade de área) é dada por a = k/r\ onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por Q ía + b s 8nen \ ab > q Fig. 34 Problema -@+<7 Fig. 35 Problema 35. <è <7

5 Seção 30-8 Superfícies Equipotenciais 39. Duas linhas de cargas são paralelas ao eixo Uma, com carga por unidade de comprimento +À, está à distância a, à direita do eixo. A outra, com carga por unidade de comprimento - A, é simétrica da anterior, em relação ao eixo (as linhas e o eixo z pertencem ao mesmo plano). Esboce algumas superfícies equipotenciais. 40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94 X I O" 19 J sobre um elétron no campo ilustrado na Fig. 37, para mover o elétron desde A até 5, ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de potencial elétrico (a) V - V (b) V t. ~ V t e (c) V c - V',/? 41. Considere uma carga pontual com q = 1,5 X 10 s C. (a) Qual o raio de uma superfície eqüipotencial que tenha potencial de 30 V? (b) As superfícies cujos potenciais diferem por um valor constante (1,0 V por exemplo) são igualmente espaçadas? Seção 30-9 Cálculo do Campo a Partir do Potencial 44. Suponha que o potencial elétrico varie ao longo do eixo x, como mostra o gráfico da Fig. 40. Determine, entre os intervalos mostrados, aqueles nos quais E x tem {a) seu maior valor absoluto e (b) seu menor valor absoluto, (c) Faça o gráfico E x =/(x). (Ignore o comportamento nos pontos Finais dos intervalos.) Linhas de campo elétrico Fiji. 37 Problema 40. Eqüipotenciais Fig. 40 Problema Duas grandes placas metálicas paralelas estão distantes 1.48 cm uma da outra e possuem cargas iguais e opostas em suas faces internas. A placa negativa é ligada à terra e seu potencial passa a ser zero. Se o potencial no ponto médio entre as placas for de +5,52 V, qual o campo elétrico nessa região? 46. Deduza, a partir da Eq. 25, uma expressão para E nos pontos do eixo de um anel uniformemente carregado. 49. O potencial elétrico V no espaço entre as placas de uma válvula a vácuo, hoje obsoleta, é dado por V = 1.530x 2, onde Vé medido em volts quando x, a distância a partir de uma das placas, está em metros. Calcule o módulo e o sentido do campo elétrico em x = 1.28 cm.

6 50. Uma carga por unidade de comprimento A é distribuída uniformemente ao longo de um segmento linear de comprimento L. (a) Determine o potencial no ponto P, à distância y de uma extremidade do segmento carregado e na mesma linha que ele, considerando o potencial no infinito (veja a Fig. 41). (b) Use o resultado de (a) para calcular a componente ao longo de y do campo elétrico em P. (c) Determine a componente do campo elétrico em F na direção perpendicular ao segmento. y *P Fig. 41 Problema Em um bastão fmo de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem (x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por A = Icx, sendo k uma constante, (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine Vno ponto F do eixo y. (b) Determine a componente vertical E v do campo elétrico em F, utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto, (c) Por que a componente horizontal E x do campo elétrico em F não pode ser encontrada usando o resultado de («)? (d) A que distância do bastão, ao longo do eixo v, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade esquerda do bastão? y P O L -x Fig. 42 Problema 51.

7 'Pommau Euetjucjo - íbrosrí^ i) ^ 4m 3 1 8) \7 - wpum Hïïooa 3) ^ ^ T = òjovao 15) 2 ; H PiKc Kl ) ^ L rnfym b) IV S nktj X = OWl CU O 5) K) 2o) G) H t ^ ^ k) IV = ön&ß 3 ^ - ^ pt b) ^ m i ^ 40) a) 6 V b y i ^ ^ - m 8) ^ Ü i ^ Z - i o V b) W ^ ^ G e f o) rv,- 0 y 562j Tvim. bj MW) 4s) e * 9} a) KV 23} H f -tó) n ^ y ^ - n ^ ^ lo V 50) ex) Ca 5 5 ^ ^ c{sj'c)