Modelo Matemático para Extração de Raízes da Equação do 2º Grau
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1 1 Modelo Matemático para Extração de Raízes da Equação do º Grau 1 RENATO LUIZ DE OLIVEIRA FERREIRA Engenheiro Mecânico com habilitação em Controle e Automação. 1 Furp Fundação para o Remédio Popular Departamento de Engenharia e Manutenção 008 Rua Endres, 35 - Itapegica CEP Guarulhos SP Brasil; renato_ferreira@furp.sp.gov.br RESUMO Este trabalho apresenta informações para obtenção da fórmula de extração de raízes da equação do º grau. O modelo didático é para aplicação prática com alunos de 1º e º graus ou para professores que tenham interesse em demonstrar de maneira clara como a fórmula foi desenvolvida. Os livros não dão uma explicação detalhada da dedução, causando frustração para quem quer conhecer o desenvolvimento por completo. A equação é conhecida como sendo de Bhaskara (matemático indiano). O que tem de novo é apenas o início do desenvolvimento até o primeiro passo. Do segundo passo em diante o assunto já foi apresentado em diversas literaturas, só que de maneira incompleta. Palavras-chave: medida de área, medida linear, trinômio quadrado perfeito e produtos notáveis. ABSTRACT This work presents information to obtain the formula for extraction of roots of the equation º of degree. The model is for teaching students with practical application of 1º and º degrees or to teachers who wish to demonstrate in a clear as the formula was developed. The books do not give a detailed explanation of the deduction, causing frustration for those who want to know the development entirely. The equation is known as being of Bhaskara (Indian mathematician). What's new is just the beginning of the development until the first step. The second step forward in the matter was already presented in various literatures, but only incomplete. Key words: measure area, linear measure, perfect square trinomial and notable products.
2 1. INTRODUÇÃO Esta equação é conhecida apenas no Brasil como sendo de Bhaskara matemático indiano, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Para alguns historiadores a fórmula não foi descoberta por ele, mas pelo matemático hindu: Sridhara (~105), pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio, embora o material construído pelo pioneiro não tenha sido publicado. A resolução de equações quadráticas na citação de Bhaskara (~1150) consiste no seguinte: "Multiplicar ambos os membros da equação por um número igual a quatro vezes o coeficiente do quadrado e juntar a ambas o número igual ao quadrado da original [do coeficiente] da quantidade desconhecida [Então extrair a raiz quadrada]. Na Índia as equações polinomiais do º grau eram resolvidas completando quadrados. Esta forma de resolução foi apresentada geometricamente por Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, no século IX. Eles descartavam as raízes negativas por serem "inadequadas" e aceitavam as raízes irracionais. Tinham também uma "receita" para a solução das equações de forma puramente algébrica. A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan-fan, publicado por Zhu Shijie (também chamado de Chu Shih-Chieh), no século XIII, no seu Tratado das Nove Seções. O método foi redescoberto no século XIX, pelos ingleses William George Horner e Theophilus Holdred, e um pouco antes, pelo algebrista italiano Paolo Ruffini. O método fan-fan ficou conhecido na Europa como método de Horner. Na verdade, ele já tinha sido antecipado por Isaac Newton em Fonte: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O fundamento utilizado para obtenção desta fórmula é buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma..1 Equação na forma completa ax +bx+c=0 equação (1) O primeiro e o segundo termos da equação terão de ter uma medida de área e uma medida linear. Nota-se que o primeiro termo da equação está com um x (elevado à segunda potência), o que demonstra que está relacionada à figura plana do quadrado. Falta-lhe uma medida linear que será o perímetro de um quadrado de lado a. O segundo termo da equação está com um x (medida linear), falta-lhe uma medida de área. Neste caso, será a área de um quadrado de lado b. O terceiro termo c não entra na resolução porque não está acompanhado de um x. O termo c apenas representa uma linha qualquer.
3 Área= b O terceiro termo (c) representa uma linha qualquer. 3. Definições dos passos Num quadrado tem-se basicamente a medida de área e a medida linear onde se calcula o perímetro da figura. Tomando como exemplo um quadrado de lado x, existe a seguinte definição: x representa a área da figura (x medida de área) 4x representa o perímetro da figura (x medida linear) Para a equação do segundo grau na forma completa (ax +bx+c=0) existirá a relação:..1 Primeiro passo Reiterando, o primeiro e o segundo termos da equação (1) terão uma medida de área e uma medida linear. Primeiro termo (ax ) existe uma medida de área (x ) multiplicada pelo a, falta-lhe uma medida linear. Calcula-se o perímetro de um quadrado de lado a que é uma medida linear conforme segue abaixo: Perímetro=4a Segundo termo (bx) existe uma medida linear x multiplicada pelo b, falta-lhe uma medida de área. Calcula-se então, a área de um quadrado de lado b. Ficará assim:
4 4 Os valores encontrados: (4a) e (b ) serão utilizados para o desenvolvimento da fórmula. A equação (1) será multiplicada por (4a), e o (b ) será adicionado a ambos os termos da equação (3), demonstrando-se assim, de onde vieram os valores utilizados para a elaboração da fórmula. Observação: os passos seguintes já foram apresentados em diversas literaturas e já são bem conhecidos. Isso complementa o desenvolvimento do modelo matemático... Segundo passo Multiplica-se toda a equação (1) pelo perímetro do quadrado de lado a que é igual a (4a) e que pertence ao primeiro termo da equação (1). 4a(ax +bx+c) =0 4a x +4abx+4ac=0 equação ()..3 Terceiro passo seguinte maneira: Passa-se o terceiro termo (4ac) para o outro lado da igualdade da equação (). Ficará da 4a x +4abx=-4ac equação (3)..4 Quarto passo Como já foi utilizado o perímetro do primeiro termo, agora deverá ser utilizada a área do segundo termo que pertence ao quadrado de lado b e que é igual a (b ). Para que não haja mudanças na equação () e para que a mesma continue igual a zero, basta acrescentar b a ambos os membros da equação (3). Isso não alterará em nada o resultado da equação. Ficará assim: 4a x +4abx+b = b -4ac equação (4)..5 Quinto passo ficará: O segundo membro (b -4ac) da equação (4) será chamado de delta ( ). A equação 4a x +4abx+b = equação (5)
5 5 O primeiro membro da equação é um trinômio quadrado perfeito e deverá ser transformado num produto notável. Ficando assim: Extrai-se a raiz quadrada do primeiro e do terceiro termos, 4a x = x b =b O produto notável ficará: (x+b) equação (6) Para conferir se o primeiro membro da equação (5) é um trinômio quadrado perfeito basta multiplicar duas vezes o primeiro termo vezes o segundo da equação (6). Caso o resultado seja igual ao segundo termo da equação (5), então é verdadeiramente um produto notável. Conferindo: (x)(b) = 4abx é um produto notável. A equação agora ficará assim: (x+b) = equação (7) b± x= Como = b -4ac, a equação final ficará assim: b± x= b 4ac As raízes da equação serão: x 1 b+ = b 4ac b x = b 4ac 9. CONCLUSÃO Está exposto neste trabalho que, muitas das deficiências no ensino da matemática podem ser eliminadas com um método didático, induzindo o professor a desenvolver de forma prazerosa a apresentação de modelos matemáticos e fatos históricos. Consequentemente, isso evitará limitar o aluno a decorar fórmulas, mas desenvolvê-las de acordo ao tipo de problema apresentado. Isso fará com que o objetivo de todo mestre seja atingido: o aprendizado.
6 6 10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Revista do Professor de Matemática, 39 (1999), p. 54. Resolução de Equações de º grau. Disponível em: < Acesso em: de março de 008. Equações do º GRAU ou Equações Quadráticas. Disponível em: < Acesso em: de março de 008. Chemello, Thereza. Sem Medo de Aprender 7º série. São Paulo, Editora Ática, Castrucci, B., Peretti, Ronaldo G. & Giovanni, José R. Livro de Matemática 8º série - São Paulo, FTD, 1976.
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