Gráficos de Curvatura Média Constante com Valores de Bordo ilimitados em M R. Abigail Silva Duarte Folha

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1 Gráficos de Curvatura Média Constante com Valores de Bordo ilimitados em M R Abigail Silva Duarte Folha Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós graduação em Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências.. Orientadores: Maria Fernanda Elbert Guimarães Harold Rosenberg Rio de Janeiro Abril de 010

2 Resumo Gráficos de Curvatura Média Constante com Valores de Bordo ilimitados em M R Abigail Silva Duarte Folha Orientadores: Maria Fernanda Elbert Guimarães Harold Rosenberg Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências. Nós consideraremos M uma superfície completa, simplesmente conexa com curvatura seccional não positiva limitada por cima por uma constante a < 0. Nós tomamos um domínio Ω em M. Quando Ω é um domínio limitado, nós obtemos condições na geometria de Ω que garantem a existência de um gráfico com curvatura média constante 0 < H < a em M R ( M R munido da métrica produto) com valores de bordo, possivelmente, ilimitados. Em um trabalho em parceria com Sofia Melo, foi considerado o caso em que M tem curvatura seccional constante 1, ou seja, M é o plano Hiperbólico H, e Ω é um domínio ilimitado e nós obtivemos novamente condições que garantem a existência de gráficos com curvatura média constante 0 < H < 1 e valores de bordo, possivelmente, ilimitados. Palavras Chave: Gráficos, Curvatura Média Constante, Problema de Dirichlet. Rio de Janeiro Abril de 010

3 Abstract Constant Mean Curvature Graphs with boundary values possibly infinite in M R Abigail Silva Duarte Folha Orientadores: Maria Fernanda Elbert Guimarães Harold Rosenberg Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências. We consider M a complete simply connected surface having non positive curvature bounded above by a negative constant a < 0. We take a domain Ω in M. When Ω is a bounded domain we find conditions on the geometry of Ω which assures the existence of a graph having constant a mean curvature 0 < H < in M R ( M R with the product metric) with boundary values, possibly, infinite. In a joint work with Sofia Melo, we consider the case where M has constant curvature 1, that is, M is the Hyperbolic plane H, and Ω is an unbounded domain and we again obtain conditions which assures the existence of graphs having constant mean curvature 0 < H < 1 and boundary values, possibly, infinite. Key words: Graphs, Constant Mean Curvature, Dirichlet Problem. Rio de Janeiro Abril de 010

4 Agradecimentos Iniciarei agradecendo aos professores que me ministraram cursos, que foram importantes na minha formação. Aos professores de Universidade Federal do Rio de Janeiro, Walcy Santos, Maria Fernanda Elbert, Alexander Arbieto, Bruno Scárdua e Vitor Araujo. Ao professor Ricardo Sá Earp, da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, por sua atenção e por compartilhar comigo um pouco de sua cultura matemática em cursos e seminários realizados na PUC-Rio. Aos professores José Espinar e Harold Rosenberg que generosamente dividiram seus conhecimentos em cursos e seminários no IMPA. Sou uma pessoa de sorte e tive dois ótimos orientadores. Maria Fernanda Elbert Guimarães, a quem agradeço pela orientação e honestidade em diversas conversas, não apenas matemáticas. E o professor Harold Rosenberg, ao qual sou enormemente grata por sua amigável atenção, e por todo conhecimento compartilhado durante este período. Agradeço a todos colegas e funcionários da pós-graduação, que durante estes anos compartilharam seu tempo comigo. A meu pai, mãe e irmãos sou grata pelo convívio e aprendizado eterno. Agradeço ao Carlos por me acompanhar, aconselhar e me tolerar durante estes anos. Existem amigas que mesmo distantes são fundamentais, Cátia, Jaqueline e Verônica obrigada por sempre estarem ao meu lado. À pós-graduação em matemática da UFRJ, às agências de fomento CAPES e FAPERJ, agradeço por terem tornado viável meus estudos. Terminarei, demonstrando minha gratidão à Deus, pois entendo que todas as pessoas e instituições acima mencionadas fazem parte da minha história por permissão dele.

5 Sumário 1 Introdução 1 Preliminares 3 3 Problema de Dirichlet Clássico para Gráficos de Curvatura Média Constante Existência de Supersoluções e Subsoluções Fórmulas do Fluxo Princípios do Máximo Barreiras Teorema de Compacidade Teorema de Existência Teorema em M R Definições e Enunciados Principais A Curva B Preliminares ao Teorema Teorema em H R Verificação das Condições do Teorema Linhas de Divergência Prova dos Teoremas 5.7 e Exemplo 68

6 1 Introdução O objetivo desta tese é mostrar condições sobre as quais existem gráficos de curvatura média constante H > 0 com valores de bordo, possivelmente, ilimitados sobre uma variedade Riemanniana M completa simplesmente conexa de curvatura negativa limitada por cima por uma constante a < 0. Primeiro, precisamos saber quando temos um gráfico de curvatura média H sobre um domínio D assumindo valores de bordo contínuos. Observemos que para cada domínio fixado D M é possível encontrar H > 0 grande tal que não existe um gráfico sobre D de curvatura média H, veja paragrafo após a demonstração da Proposição 3.3. Porém mostraremos que para H > 0 suficientemente pequeno, existem subsoluções, supersoluções limitadas e boas barreiras, assim, o Método de Perron nos dará a existência de tais gráficos, veja seções 3.1, 3.4 e 3.6. Sabendo sobre a existência de soluções em um domínio D com valores de bordo contínuos, precisamos garantir a existência de gráficos com valores de bordo + e. Suponhamos que D é um domínio limitado, e que D é de classe C,α por partes e é composto de três famílias de arcos de classe C,α, {A k }, {B l }, {C m }. Prescreveremos os valores de bordo + sobre cada arco A k, sobre cada arco B l e uma função contínua f sobre a família {C m }. Uma primeira restrição ao bordo de domínio, vem das estimativas de curvatura (Lema 3.13), que nos permite concluir que se uma solução se estende ao bordo com valor + sobre algum arco do bordo A, então a curvatura de A é κ(a) = H. Similarmente, se uma solução possui o valor sobre algum arco B do bordo de D, então a curvatura de B é κ(b) = H. E a curvatura dos arcos da família {C m } deve ser H (Teorema 3.31). Além disso, suporemos que dois arcos das famílias {A k }, ou da família {B l }, não podem ter o mesmo ponto final. E finalmente, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas α(p) < l(p) + HA(Ω P ), β(p) < l(p) HA(Ω P ), onde P é um polígono limitado admissível (veja definição 4.4), Ω P o domínio limitado por P, α(p) = A k P, β(p) = B l P, A(Ω) é a área de Ω e l(p) é o perímetro de P. Além k l disso se a família {C m } é vazia, devemos ter também α( D) = β( D) + HA(D), Mostraremos que um domínio com as propriedades acima possui uma solução assumindo os valores de bordo prescritos, se e somente se, as desigualdades anteriores são satisfeitas (Teoremas 4.6 e 4.7). Esta solução é encontrada tomando uma sequência de soluções com valores limitados e mostrando que a sequência converge à uma solução. Neste caso, a convergência será consequência do Princípio do máximo e do Teorema da Convergência Monótona. Em um trabalho em conjunto com Sofia Melo, foi considerado M = H, onde H é o espaço Hiperbólico, e o domínio D H um domínio admissível ideal, veja Definição 5.1. O mais natural seria que as condições de existência fossem similares às do caso compacto. A dificuldade neste caso consiste em encontrar quais condições devem ser satisfeitas, já que neste caso o comprimento dos arcos do bordo do domínio são ilimitados e a área pode também ser ilimitada. 1

7 Uma formulação foi obtida nos Teoremas 5.7 e 5.8 e com estas condições mostramos que existe uma solução assumindo os valores de bordo continuamente. Para a obtermos uma solução neste caso, não utilizamos um principio do máximo para compararmos a sequência de soluções com valores de bordo limitados. Usamos um método conhecido como de linhas de divergência, seção 5.. Este método nos permite obter subsequências convergentes sem a ajuda de um princípio do máximo. Scherk mostrou a existência de uma superfície mínima definida sobre o quadrado Q = {(x, y) R ; x < π, y < π }, por Ψ(x, y) = log(cosy) log(cosx), cujos valores de bordo são ± em lados alternados do quadrado. Após isso, Jenkins e Serrin provaram sob quais condições sobre um domínio em R, existe um gráfico mínimo com valores de bordo ilimitados, [11]. Teoremas neste sentido ficaram conhecidos como teoremas tipo Jenkins-Serrin e foram generalizado para o caso de S R, S a esfera de curvatura constante, por Harold Rosenberg em [18]. Barbara Nelli e Harold Rosenberg fizeram o estudo para H R, [16], em domínios limitados. Para domínios ilimitados em H, temos um artigo de Pascal Collin e Harold Rosenberg, [4], e sobre domínios ideais mais gerais temos o artigo [15] de Laurent Mazet, Magdalena Rodríguez e Harold Rosenberg, que trata também de casos em variedades Riemannianas. Ana Lucia Pinheiro, trabalhou em domínios limitados, geodesicamente convexos em M R, M uma variedade Riemanniana completa. [17]. Quando M é uma variedade simplesmente conexa, completa com curvatura negativa limitada por cima uma constante a < 0, José Gálvez e Harold Rosenberg obtiveram resultados para domínios ideais em [7]. Quando H > 0, Joel Spruck considerou domínios limitados em R, []. Em domínios limitados em H e S temos o artigo de Laurent Hauswirth, Harold Rosenberg e Joel Spruck [9], o qual tentamos generalizar neste trabalho em duas direções. A primeira ao considerar M uma variedade de curvatura seccional não constante e a segunda ao encontrar condições, no caso em que M = H para domínios ideais.

8 Preliminares Ao longo desta tese trabalharemos basicamente com dois espaços produto munidos da métrica produto. O primeiro deles é H R onde H é o Espaço Hiperbólico, isto é, uma variedade completa, simplesmente conexa, de dimensão dois e de curvatura seccional constante 1. Existem dois modelos que serão usados ao longo do texto, o do semi espaço e o do disco. O modelo do semi espaço é definido por munido da métrica H = {(x, y) R ; y > 0}, ds = 1 y (dx + dy ). O modelo do disco é o disco unitário aberto com métrica dada por H = {(x, y) R ; x + y < 1}, ds = 4 1 (x + y ) (dx + dy ). O outro espaço que consideraremos é o espaço produto M R, onde M é uma variedade completa, simplesmente conexa, de dimensão dois e de curvatura negativa limitada por cima por uma constante negativa, digamos, a. A métrica considerada nestes espaços é a métrica produto. Seja D um domínio em M, ou seja, um conjunto aberto, conexo e simplesmente conexo. Consideremos uma função de classe C, u : D R. Estamos interessados em estudar gráficos G(u) = {(x, y, u(x, y)); (x, y) D} com certas propriedades que serão esclarecidas no decorrer do texto. A primeira propriedade exigida é que o gráfico de u tenha curvatura média constante. Mostra-se que o gráfico G(u) tem curvatura média constante H se a função suave u satisfaz a seguinte equação ( ) u M(u) = div = H, (1) W(u) onde W(u) = 1 + u, o gradiente, o divergente e a norma são com respeito à M. Além disso, o vetor normal ao gráfico é escolhido apontando para cima (Observação.1), esta será a nossa escolha ao longo de toda tese. Uma função u que satisfaz essa equação será chamada solução em D. Observação.1. Quando trabalhamos com gráficos existem duas escolhas de vetor normal, o que aponta para cima ou o que aponta para baixo. Eles são dados respectivamente por ( ) ( ) u 1 u 1 N =, e N =,. 1 + u 1 + u 1 + u 1 + u Nossa escolha de normal será o normal unitário apontando para cima. 3

9 3 Problema de Dirichlet Clássico para Gráficos de Curvatura Média Constante O objetivo central desta seção é mostrar a existência de uma solução para o Problema de Dirichlet Clássico, veja Teorema A fim de obter tal solução, mostraremos alguns resultados que são importantes por si somente, como por exemplo, o princípio do máximo. Iniciaremos com a definição do problema. Definição 3.1 (Problema de Dirichlet Clássico). Sejam D um domínio em M com bordo de classe C 1 por partes e f : D R uma função contínua. O problema de Dirichlet clássico consiste em encontrar uma função u : D D R, u C (D) C 0 (D D) tal que u é uma solução de (1) em D e u D = f. Apesar se não havermos colocado nenhuma hipótese sobre a curvatura dos arcos do bordo de D ao enunciarmos o problema, ao solucioná-lo deveremos fazer algumas restrições. Tais restrições aparecerão no Teorema Uma definição que será útil ao resolvermos o Problema de Dirichlet Clássico é a seguinte, Definição 3.. Sejam D um domínio em M e h : D R uma função suave. 1. h é uma subsolução de (1) em D se ( ) h div H. 1 + h. h é uma supersolução de (1) em D se ( ) h div H. 1 + h Para obtermos uma solução para o Problema de Dirichlet Clássico começaremos construindo sequências apropriadas (sequências de subsoluções). Após isso, compararemos os elementos da sequência construída utilizando o Principio do Máximo. Sabendo comparar os elementos dessa sequência, garantiremos a existência de alguma subsequência que converge à uma solução pelo Teorema de Compacidade. Finalmente, mostraremos que a solução tem o valor de bordo prescrito, para isto, construiremos barreiras. 3.1 Existência de Supersoluções e Subsoluções 4

10 Tomaremos uma coordenada em M que nos permitirá mostrar a existência de subsoluções de (1) em D M. Seja γ(t) uma geodésica completa em M com γ (t), γ (t) = 1, t R. Então ϕ(s, t) = exp γ(t) (sj(γ (t))), (s, t) R, é uma parametrização de M, onde J denota a rotação de π, tal que {v, Jv}, v T pm, é uma base positiva de T p M, T p M é o plano tangente à M em p. Observemos que s, s (s, t) = 1 and s, t (s, t) = 0, definiremos G(s, t) := t, t (s, t). Além disso, como γ é uma geodésica e γ (t) = 1, t R, temos G(0, t) = 1 and G s (0, t) = 0, () onde G s é a derivada de G com respeito à s. Neste caso a métrica induzida por ϕ em M, é ds + G(s, t)dt. Para p M, escreveremos p = (s, t) significando que ϕ((s, t)) = p. Vamos nos restringir ao caso em que D é limitado. Assim sendo, podemos supor que D {(s, t) M ; s > 0}. Consideremos funções h : D R que não dependem do parâmetro t, isto é, h(s, t) = h(s). Como h é uma função só de s temos que h é uma solução de (1) se ( ) h H = div 1 + h ( ) h s s = div 1 + h s = ( ) h s + G s h s 1 + h s G 1 + h s = h ss(1 + h s ) h ssh s (1 + h s )3 = G sh s (1 + h s ) + Gh ss, G(1 + h s )3 s + G s h s (1 + h s ) G (1 + h s )3 onde h s denota a derivada de h com respeito à s. Em particular, h é uma subsolução em D se Se h s > 0, (3) é equivalente à G s h s (1 + h s) + Gh ss G(1 + h s )3 H. (3) G 4H(1 + h s ) 3 h ss h s (1 + h s ). (4) G s Seguindo algumas ideias de [7](Proposition 3.1), provaremos a existência de subsoluções de (1). 5

11 a Proposição 3.3. Seja D {(s, t); s > 0} um domínio limitado. Para H, existe uma subsolução em D. Para demonstrar esta proposição necessitaremos de um lema. Lema 3.4. Sejam D {(s, t) M; s > 0} e h(s, t) = h(s) uma função suave definida para s > 0. Suponha que h s > Se h satisfaz 4H(1 + h s )3 h ss h s (1 + h s) então h é uma subsolução de (1) em D. a tanh ( as), (5) Demonstração. Como a métrica de M é dada por a curvatura Gaussiana de D M é dada por K(s, t) = 1 4 ds + G(s, t)dt, ( ) Gs 1 G ( ) Gs 0, (s, t) Ω. (6) G s Sabemos que K(s, t) 0 porque a curvatura Gaussiana de M é negativa. Afirmação 3.5. Se existe uma função real positiva G tal que ( ) ( ) ( ) ( ) Gs Gs Gs Gs + +, G G s G G s ( ) G s Gs > 0, s > 0, > 0, s 0 e G s G G G (0) = G s (0) = 0. Então G s G s G G s G, s > 0. Demonstração. Para facilitar a notação escreveremos, f = G s G, afirmação se escrevem como g = G s. As hipóteses da G f + f s g + g s, f(0) = g(0) = 0, g > 0, s > 0, g s > 0. A equação acima pode ser escrita como, (f g)(f + g) (g f) s. (7) Queremos mostrar que f g. Suponhamos que isso não ocorre, ou seja, que existe um instante s 1 0 tal que f(s) g(s), s [0, s 1 ], f(s) < g(s), s (s 1, s 1 + ǫ), para algum ǫ > 0. Assim, a derivada (f g) s < 0 em (s 1, s 1 + ǫ), desde que ǫ seja pequeno o suficiente, 6

12 portanto (g f) s > 0, neste intervalo. Por hipótese g > 0, assim, se f > 0 em (s 1, s 1 + ǫ), observando a hipótese (7) obtemos uma contradição, já que o lado esquerdo seria negativo e o lado direito positivo. Provaremos então que f 0 em [s 1, s 1 +ǫ], diminuindo ǫ, caso necessário. Para s = s 1, como f(s 1 ) = g(s 1 ) 0, a desigualdade da hipótese implica que f s (s 1 ) g s (s 1 ), como g s (s) > 0, s, para ǫ > 0 pequeno, f s (s) > 0, s [s 1, s 1 +ǫ], além disso como f(s 1 ) 0, temos que para algum ǫ > 0, f(s) > 0, s (s 1, s 1 + ǫ). Isto conclui a prova da afirmação. Comparamos a curvatura Gaussiana de M com a do espaço Hiperbólico com curvatura constante a, lembremos que estamos assumindo que a curvatura seccional de M é limitada por cima por a < 0. A métrica para tal espaço é dada por ds + Gdt, G(s) = cosh ( as). E portanto, G s G G s G = a tanh( as), s > 0. Portanto se 4H(1 + h s )3 h ss h s (1 + h s) a tanh ( as), h é uma subsolução em D de (1). Observação 3.6. Observemos que para o plano Hiperbólico com métrica ds + cosh ( as)dt, as superfícies da forma h(s, t) = h(s) são superfícies invariantes por translações hiperbólicas. O Lema 3.4 nos diz que soluções de (1) para H = H 0 invariantes por translações hiperbólicas, no espaço Hiperbólico de curvatura a, são subsoluções de (1) em M para H H 0. Este lema nos permite exibir uma subsolução de (1) em D. Demonstração. Proposição 3.3. Existe uma função suave em D, h(s, t) = h(s) que é uma solução de (1) no espaço Hiperbólico de curvatura a. Para G(s) = cosh ( as), G s h s (1 + h s ) + Gh ss G(1 = H + h s )3 ( 1 cosh( h s cosh( ) as) = H as) (1 + h s) 1 s h s cosh( as) = H senh( as) + A, (1 + h s) 1 a a 1 portanto tomando A = h s (0) = 0, H = temos que h = cosh( as), é uma solução para a a 1 H = essas equações, ou equivalentemente, de (1). Então pelo Lema 3.4, h = cosh( as) a a é uma subsolução de (1), para H, em D. 7

13 Dado um domínio D é possível encontrar H > 0 de forma que não exista gráfico de curvatura média constante H. Com efeito, suponha que tal gráfico existe, para qualquer valor H > 0. Fixemos um H, tal que para algum p D existe uma esfera geodésica S p em M R, de forma que S p ( D R) =, S p ((M D) R) =, isto é, a projeção se S p sobre M está contida em D, a curvatura média H Sp de S p é menor que H para todo q S p. Transladando verticalmente S p para cima de modo que S p esteja acima do gráfico de curvatura média H e depois transladando S p para baixo até o primeiro ponto de contato p ( p está no interior do gráfico, pela escolha de S p ). Temos que H Sp (p ) < H(p ) = H e que S p está acima do gráfico, o que nos dá uma contradição (H > 0, significa que o vetor curvatura média aponta para cima). Por exemplo para M = H, não existem gráficos completos sobre domínios D com curvatura H > 1. Para condições mais refinadas sobre a existência de tais gráficos, veja [5]. 3. Fórmulas do Fluxo Seja u C (D) C 1 (D D) uma solução de (1) em um domínio limitado D M, com D de classe C por partes. Ao integrarmos (1) sobre D obtemos, ( ) u u HA(D) = div =, ν, (8) u D onde A(D) é a área de D e ν é o conormal exterior ao bordo de D. A integral à direita é chamada de fluxo de u ao longo do bordo D. Seja Γ um arco do D, se u não é diferenciável em Γ podemos definir o fluxo de u ao longo de Γ da seguinte maneira. Definição 3.7. Escolhemos Υ uma curva mergulhada e suave contida em D tal que Γ Υ limita um domínio simplesmente conexo Υ. Assim definimos o fluxo de u ao longo de Γ sendo: F u (Γ) = HA( Υ ) u W, ν ds, onde ν é o vetor conormal apontando para fora do domínio limitado por Γ Υ. Observemos que a última integral é bem definida e que F u (Γ) não depende da escolha de Υ, [9] (Definição 5.1). Estabeleceremos alguns lemas, os quais chamaremos de Fórmulas do fluxo. Para isto, usaremos diversas vezes uma estimativa de curvatura dada em [0], por este motivo, estabeleceremos aqui este teorema e então voltaremos para as fórmulas do fluxo. Υ D 8

14 Estimativas de Curvatura Nosso objetivo é enunciar uma estimativa de curvatura para superfícies de curvatura média constante, sobre variedades com curvatura seccional limitadas. Consideremos (M, g) uma variedade Riemanniana, S uma superfície imersa em M com fibrado normal trivial. Denotemos por A a segunda forma fundamental de S em M, H a curvatura média de S e N um vetor unitário normal globalmente definido em S. Diremos S é estável se para qualquer função suave u com suporte compacto definida em S, u ds ( A + Ric(N))u ds, S S onde ds é o elemento de área de S, é o gradiente em S e Ric é a curvatura de Ricci de M. Schoen, [1], mostrou uma estimativa para a segunda forma fundamental de superfícies mínimas estáveis. Este trabalho foi estendido para superfícies estáveis com curvatura média constante e fibrado normal trivial em formas espaciais por Berrard e Hauswirth, [1]. Zhang, [4], considerou variedades tri-dimensionais gerais e provou uma estimativa para a segunda forma fundamental de uma superfície imersa estável com curvatura média constante e fibrado normal trivial. Tais estimativas para uma superfície S dependem da distância (relativa à S) d S (p, S), da curvatura média H, de uma limitação por cima e por baixo da curvatura seccional de M e da derivada do tensor curvatura de M. A estimativa que apresentaremos aqui, dependerá apenas de d S (p, S) e da limitação (por cima e por baixo) da limitação da curvatura seccional de M. Teorema 3.8 ([0], Theorem.5). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana tri-dimensional, não necessariamente completa, com curvatura seccional K limitada por K Λ < +. Seja Σ um conjunto aberto de M tal que existe δ > 0 de forma que Σ(δ) = {p M; d g (x, Σ) < δ} é relativamente compacto em M, onde d g é a distância associada à métrica g. Então existe constante C = C(δ Λ) > 0 dependendo apenas de δ Λ, independente de M e de Σ, satisfazendo: para qualquer superfície estável S imersa em Σ, com fibrado normal trivial, e para qualquer p S, C A(p) < min{d(p, S), δ, π Λ }. Uma consequência (veja [3], Lemma.) de tais estimativas é que nas condições do Teorema acima, para cada p S, existe ǫ = ǫ(p, Γ) (ǫ depende da distância em S, d S (p, S) e de Λ), tal que uma vizinhança U de p em S pode ser escrita como um gráfico de uma função suave f definida sobre a bola contida no espaço tangente à S em p de centro na origem e raio ǫ. Além disso, f tem altura e f limitados por uma constante que depende apenas da distância em S, d S (p, S) e de Λ. Voltaremos às fórmulas do fluxo. Seguimos algumas idéias de [16] (Lemma 1 e, páginas 17 e 19). Estes lemas são conhecidos, porém, darei algumas demonstrações. 9

15 Lema 3.9 ([9], Lemma 5.). Sejam u uma solução de (1) em um domínio limitado D M e Γ uma curva de classe C 1 contida em D D. Então HA(D) = F u ( D), e F u (Γ) Γ. Demonstração. Orientamos o bordo de D pelo vetor conormal ν apontando para fora de D. Sejam d i, i = 1,..., n os vértices de D orientados, isto é, segundo a orientação de D, d i vem depois de d i 1 e antes de d i+1 para i =,..., n 1, d 1 vem antes de d e depois de d n e d n vem antes de d 1 e depois de d n 1. Sejam Υ i, i = 1,..., n 1 arcos suaves contidos em D ligando d i a d i+1 e Υ n um arco suave contido em D ligando d n a d 1, de modo que Υ i e um arco suave do bordo de D forme um domínio Υi. Podemos escolher Υ i de modo que i Υ i limite um domínio em D. Pela Definição 3.7, o fluxo de u ao longo do bordo de D é dado por F u ( D) = = n HA( Υi ) i=1 n i=1 Υ i u W, ν ds n HA( Υi ) ( HA(D) + i=1 = HA(D), n HA( Υi )) a segunda igualdade segue ao observarmos que ν é o conormal apontando para fora do domínio Υi, e portanto ν é o conormal apontando para fora do domínio limitado por i Υ i contido em D, como u é uma solução de classe C nos arcos Υ i o resultado segue por (8). O que prova a primeira afirmação do lema. i=1 Lema 3.10 ([9], Lemma 5.3). Sejam D M um domínio e Γ D um arco compacto de classe C por partes tal que κ(p) H, p Γ. Seja u uma solução de (1) em D contínua em Γ. Então F u (Γ) < Γ. O Lema 3.13 abaixo, essencialmente diz que, quando um gráfico definido em D de uma solução tende à ± sobre um arco do bordo de um domínio D, então o vetor normal à este gráfico tende à um vetor horizontal neste arco. E que além disso, este vetor normal limite, aponta na mesma direção do vetor curvatura do arco em questão. Outra interpretação do Lema 3.13, é que quando o gráfico definido em D de uma solução tende à ± sobre algum arco Γ do bordo de D, então este gráfico é assintótico ao cilindro Γ R. Antes de estabelecermos o lema, necessitamos de duas definições. Definição 3.11 (Definição da curvatura de uma curva). Seja γ uma curva C em M. Assuma que γ γ 0, definimos então a curvatura de p γ como κ(p) = γ γ em p. 10

16 A definição acima nos diz que ao falarmos da curvatura de uma curva onde {γ, γ γ } é uma base do espaço tangente à M em todo ponto de γ, não nos importa se {γ, γ γ } é base positiva ou negativa. Queremos apenas saber do valor algébrico da curvatura. A Definição 3.11, contrasta com a Definição 3.1 abaixo, no sentido que, ao falarmos de uma curva do bordo de um domínio, é importante dar um sinal positivo àquelas cujo vetor curvatura aponta para o domínio, ou negativo, caso contrário. Definição 3.1 (Definição da curvatura de um arco do bordo de um domínio). Seja D um domínio em M. Dada uma curva γ D de classe C, dizemos que a curvatura κ(γ) > 0 se, o vetor curvatura de γ aponta para dentro do domínio D. Dizemos que κ(γ) < 0 se, o vetor curvatura de γ aponta para fora do domínio D. Vamos ao lema, Lema 3.13 ([9], Lemma 5.4). Sejam D M um domínio e Γ D um arco compacto e de classe C por partes, e seja u uma solução de (1) em D. Então (i) se u tende à + sobre Γ, temos κ(γ) = H e F u (Γ) = Γ, (ii) se u tende à sobre Γ, temos κ(γ) = H e F u (Γ) = Γ. Demonstração. Provaremos (i), o outro caso é similar. Aplicaremos as estimativas de curvatura dadas em [0] ( Teorema.5), veja também o Apêndice A. Sejam p Γ e p n p uma sequência de pontos em D. Já que u tende à + sobre Γ, as estimativas de curvatura nos dão um δ > 0 (independente de n) tal que uma vizinhança de cada ponto (p n, u(p n )) no gráfico de u, é um gráfico (em coordenadas geodésicas) sobre um disco de raio δ centrado na origem de T (pn,u(p n))g(u), onde T (pn,u(p n))g(u) é o plano tangente à G(u) em (p n, u(p n )) e G(u) é o gráfico de u. Transladamos esse gráfico ao ponto (p n, 0) e denotamos tais gráficos transladados por G pn (δ). Seja N((p n, u(p n ))) o vetor unitário normal à G(u) em (p n, u(p n )), a menos de subsequência, temos que N((p n, u(p n ))) N. Seja Π o plano ortogonal à N cuja origem é p. Cada G pn (δ) é um gráfico de uma função com altura e variação uniformemente limitada. Assim, para n suficientemente grande, uma vizinhança de (p n, 0) em G pn (δ) é um gráfico sobre um disco em Π de raio δ centrado em p (a origem de Π), 0 < δ δ. Como esses gráficos têm altura e variação uniformemente limitadas, eles convergem à um gráfico G p (δ ) definido sobre um disco de raio δ centrado na origem de Π. Nós queremos mostrar que N é um vetor horizontal e que κ(γ) = H. Suponhamos que N não é um vetor horizontal. Isso nos diz que Π não é um plano vertical, e portanto a projeção de G p (δ ) teria pontos em D D e no seu complementar. Isso contradiria o fato de G p (δ ) ser o limite de gráficos verticais sobre D. Isso mostra que N é um vetor horizontal, e pela escolha do vetor normal unitário apontando para cima, temos a igualdade F u (Γ) = Γ. 11

17 Agora mostraremos que κ(γ) = H. Seja L uma curva completa tangente à Γ em p com κ(l) = H, e com vetor curvatura apontando na mesma direção que N. Notemos que a superfície L R tem curvatura H e é tangente em p ao gráfico G p (δ ), o qual também tem curvatura H. Além disso, pela escolha de L, os vetores curvatura média de L R e de G p (δ ) apontam na mesma direção. Precisamos mostrar que G p (δ ) (L R). Já que G p (δ ) é tangente à L R em p, se G p (δ ) estiver de um lado de L R o Principio do Máximo garante que G p (δ ) (L R). Se esse não for o caso, G p (δ ) (L R) é composto de k curvas passando por p, k, encontrando-se transversalmente em p. Então, em uma vizinhança de p essas curvas separam G p (δ ) em k componentes e componentes adjacentes ficam em lados alternados de L R. Além disso, o vetor curvatura alterna apontando para cima e para baixo quando vamos de uma componente à outra. Portanto para n suficientemente grande, isso implica que o vetor curvatura média à G pn (δ) aponta para cima e para baixo. Consequentemente o vetor normal à G pn (δ) aponta para cima e para baixo, o que nos dá uma contradição. Pela arbitrariedade da sequência {p n } e do p γ temos que Γ L e que κ(p) = H, p Γ. Lema 3.14 ([9], Lemma 5.5). Sejam D M um domínio e Γ Ω um arco compacto de classe C por partes. Seja {u n } uma sequência de soluções de (1) em D com cada u n contínua em Γ. Então 1. se a sequência tende à + uniformemente em subconjuntos compactos de Γ enquanto permanece uniformemente limitada em subconjuntos de D, temos lim F u(γ) = Γ. se a sequência tende à uniformemente em subconjuntos compactos de Γ enquanto permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de D, temos lim F u(γ) = Γ. Demonstração. Sejam p Γ e {p n } uma sequência em D, com p n p. Após passar à uma subsequência podemos escolher δ > 0 independente de n, tal que uma vizinhança de (p n, u n (p n )) no gráfico de u n é um gráfico ( em coordenadas geodésicas) sobre um disco de raio δ centrado na origem de T (pn,u n(p n))g(u n ), onde T (pn,u n(p n))g(u n ) denota o plano tangente à G(u n ) em (p n, u n (p n )) e G(u n ) denota o gráfico de u n. Como no Lema 3.13, a conclusão é que a menos de passar à uma subsequência, N n (p n ) N e N é um vetor horizontal, onde N n (q) é o vetor normal ao gráfico de u n no ponto q. Um argumento análogo mostra que Lema 3.15 ([9], Lemma 5.6). Sejam D M um domínio e Γ D um arco compacto de classe C por partes com κ(γ) = ±H e seja {u n } uma sequência de soluções de (1) em D com cada u n contínua em Γ. Então 1

18 1. se a sequência diverge à uniformemente em subconjuntos compactos de D enquanto permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de Γ temos lim F u(γ) = Γ.. se a sequência diverge à + uniformemente em subconjuntos compactos de D enquanto permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de Γ temos lim F u(γ) = Γ. O próximo lema nos dá quase uma reciproca dos lemas anteriores, e foi estabelecido em [15](Lemma 3.6) para o caso mínimo. Lema Seja u uma solução em um domínio D H. Seja η D um arco satisfazendo κ( η) = H tal que F u (η) = η, para todo arco compacto η η. Então u possui valor de bordo + em η. Analogamente, se κ( η) = H e F u (η) = η para todo arco compacto η η temos que u tem valor de bordo em η. Demonstração. Suponhamos que κ( η) = H. Seja η um arco compacto como no lema, escolhemos η pequeno o suficiente de modo que o domínio limitado por η e η (η é a imagem da reflexão geodésica de η) esteja contido em D. Consideramos a solução v que toma valor que toma valor + em η e v = u em η, tal solução existe pelo Teorema 7.11 do artigo [9]. Queremos mostrar que u = v. Se esse não é o caso, o conjunto O = {u v < ǫ}, ǫ > 0 um valor regular de u v. Seja D a componente conexa do complemento de O em que contém η em seu bordo. Seja O o complemento de D em. Então O O e O O. Seja q o ponto pertencente ao O η. Para µ > 0, seja O (µ) o conjunto definido por O (µ) = {p O ;dist H (p, η) > µ}. Sejam q 1, q os pontos finais de componente conexa do O O (µ) que contém q. Seja p i a projeção de q i em η. Seja Õ(µ) o domínio limitado pelos segmentos [p 1, q 1 ], [p, q ], o arco [p 1, p ] η e o bordo da componente de O (µ) entre q 1, q, que será denotado por Γ(µ). Em Γ(µ) o vetor X u X v aponta para fora de Õ(µ), u X u =. Calculando o fluxo de u v ao longo do O 1 + u 0 = F u ( O ) F v ( O ) = X u X v, ν + Γ(µ) [p 1,q 1 ] [p,q ] Portanto, aplicando as fórmulas do fluxo, temos 0 < Γ(µ) X u X v, ν X u X v, ν + [p 1,p ] = X u X v, ν X u X v, ν [p 1,q 1 ] [p,q ] [p 1,p ] 4µ, 13 X u X v, ν.

19 já que o último termo da primeira linha anula-se pela hipótese sobre u e pelo Lema 3.13 aplicado à v. Notemos que a integral em Γ(µ) cresce quando µ 0. E portanto esta desigualdade não pode ocorrer. Caso κ( η) = H, consideramos o domínio limitado por η e pelo arco η de curvatura maior que H (com respeito ao domínio ) contido em D que possui os mesmos pontos finais que η. Então consideramos v a solução em que toma valores de bordo sobre η e v = u sobre η, tal solução existe pelo Teorema 7.11 encontrado em [9]. A partir de agora o mesmo argumento feito no caso anterior pode ser aplicado neste caso. 3.3 Princípios do Máximo Observemos que a equação da curvatura média é uma equação elíptica e portanto possui um principio do máximo o qual chamaremos clássico. Este resultado pode ser encontrado em [8] (Theorem 10.7). Teorema 3.17 (Principio do Máximo Clássico). Sejam u 1 : D R e u : D R duas funções de classe C (D) em um domínio D M. Suponhamos que D é um domínio limitado e que D é suave. Se M(u 1 ) M(u ) e u u 1 0 no D. Então u u 1 em D, com desigualdade estrita, a menos que, u u 1. O Lema abaixo será uma ferramenta na demonstração do Teorema Lema 3.18 ([9], Lemma.1). Sejam u 1 e u funções em C (D), D M. Então para qualquer ponto regular de u 1 u vale: (u 1 u ) (u 1 u ), u1 u 0, W 1 W onde W i = 1 + u i ; i = 1,. Se além disso, u 1, u são soluções de (1) em D vale a igualdade em um ponto se, e somente se u 1 = u. Demonstração. Identificando o espaço tangente de M R em (p, t) com o produto dos espaços tangentes à M em p e à R em t, isto é T (p,t) (M R) T p M T t R, podemos escrever o vetor normal apontando para cima de um gráfico gerado por uma função u como ( ) u N =, u 1 + u Denotando por N 1 e N os vetores normais (para cima) aos gráficos gerados por u 1 e u, 14

20 respectivamente, temos (u 1 u ) (u 1 u ), u1 u W 1 = 1 (u 1 u ) W = (W 1 + W ) (u 1 u ) (1 N 1, N ) = (W 1 + W ) (u 1 u ) N 1 W 1 + N W, N 1 + N + N 1 N. ( 0, 0, 1 1 ) W 1 W Observemos que, e portanto, (u 1 u ) (W 1 + W ) u1 W 1 + W + u W 1 + W u1 W 1 + u W, (u 1 u ) (u 1 u ), u1 u N 1 N W 1 W 4 Além disso, se u 1 e u são soluções em D e u 1 = u em algum ponto p, isto significa que, a menos de uma translação, u 1 (p) = u (p) e u 1 (p) = u (p) e pelo princípio do máximo no bordo u 1 u. 0. Esse próximo teorema nos dá um principio do máximo para domínios com bordo suave por partes, seguimos idéias de [9] (Theorem.). Teorema 3.19 (Principio do Máximo 1). Sejam u 1 e u satisfazendo Mu 1 H Mu em um domínio limitado D M, com bordo D de classe C por partes. Suponhamos que lim inf(u u 1 ) 0 qualquer sequência de pontos convergindo para o D, exceto possivelmente em um número finito de pontos E contidos no D. Então u u 1 com desigualdade estrita, a menos que, u u 1. Demonstração. Sejam M, ǫ constantes positivas, sendo M grande e ǫ pequeno. Nós definimos M ǫ, if u 1 u M ϕ = u 1 u ǫ, if ǫ < u 1 u < M 0, if u 1 u ǫ Temos que 0 ϕ M, ϕ é Lipschitz, ϕ = u 1 u no conjunto onde ǫ < u 1 u < M e ϕ = 0 em quase todo ponto no complementar deste conjunto. Seja E = P i. Para cada i seja B i (ǫ) a bola geodésica de M centrada em P i de raio 1 i n ǫ > 0. Para cada ǫ, seja D ǫ = D ( i B i (ǫ)), i = 1,...,n. Denotamos D ǫ = Γ ǫ Λ ǫ, onde Γ ǫ = D ( i B i (ǫ)) e Λ ǫ = i ( B i (ǫ) D). 15

21 Temos, ( ( u1 div ϕ u )) W 1 W = ϕ, u 1 u + W 1 W ( ( ) u1 +ϕ div div W 1 ( u W )), onde W j = 1 + u j, j = 1,. Aplicando o Teorema da Divergência à esta equação, e lembrando que por hipótese ϕ 0 em Γ ǫ, obtemos = = = = ϕ, u 1 u dv + D ǫ W 1 W ( ( u1 div ϕ u )) dv D ǫ W 1 W u1 u, ν dv W 1 W D ǫ ϕ Λ ǫ ϕ Λ ǫ ϕ u1 u, ν dv + W 1 W u1 u, ν dv, W 1 W D ǫ ϕ Γ ǫ ϕ ( div ( ) ( u1 u div W 1 u1 u, ν dv W 1 W W )) dv onde ν é o conormal exterior ao D ǫ. Nós temos que o termo que aparece na última igualdade é limitado por cima por M n l( B i (ǫ)), i=1 onde l( B) é o comprimento em M de B. O segundo termo da primeira linha é não negativo por hipótese. Observemos que o primeiro termo da primeira linha não se anula apenas no caso de ϕ = u 1 u, e o lema anterior então diz que este termo é não negativo. Destas observações, concluímos que 0 D ǫ ϕ, u 1 u dv M W 1 W Quando ǫ tende à zero, D ǫ tende à D e M n l( B i (ǫ)) i=1 n l( B i (ǫ)) tende à zero, independentemente do M fixado. Portanto a conclusão, novamente pelo lema anterior, é que u 1 = u. Isso implica que u 1 = u + a, a > 0 em cada componente do conjunto onde {u 1 > u }. Se existisse qualquer uma componente como essa, o principio do máximo clássico aplicado em um ponto 16 i=1

22 interior de tal componente implicaria que u 1 = u +a, a > 0 em D, o que contradiria a hipótese lim inf(u u 1 ) 0. O próximo teorema é um principio do máximo para certos domínios ilimitados, provado para H = 0, em [4] (Theorem ). Vamos definir então domínios ideais. Definição 3.0 (Domínios Ideais). Um domínio ideal em M é um domínio não limitado. Seja D um domínio ideal em M. Denotaremos por D o bordo assintótico de D. Teorema 3.1 (Principio do Máximo ). Seja D M um domínio ideal cujo bordo D não possui arcos no bordo assintótico de M. Sejam u 1, u C 0 ( D D) duas soluções de (1) em D satisfazendo u 1 u no D. Suponhamos que para cada ponto p no vértice do bordo de D, lim inf dist M (Γ 1, Γ ) 0 quando tendemos à p, onde Γ 1, Γ são as curvas do D que têm p como vértice. Então u 1 u em D. Demonstração. Se isso não fosse verdade, então (após uma possível translação vertical), podemos supor que O = {p D; u (p) u 1 (p) < 0} é não vazio e O é suave. Observemos que pelo princípio do máximo clássico O é ilimitado e pela hipótese u 1 u no D obtemos que seus vértices vão para os vértices de D. Assim, formamos um ciclo compacto com curvas σ 1, σ perto dos vértices de O, e arcos τ 1, τ do bordo de O. Chamamos o domínio limitado por este ciclo de W. Pela fórmula do Fluxo, 0 = HA(W) HA(W) = F W (u ) F W (u 1 ) (u ) = 1 + (u ) (u 1 ) 1 + (u1 ), ν + = σ 1 σ τ 1 τ σ 1 σ τ 1 τ (u ) 1 + (u ) (u 1 ) 1 + (u1 ), ν (u ) 1 + (u ) (u 1 ) 1 + (u1 ), ν + (u ) 1 + (u ) (u 1 ) 1 + (u1 ), (u u 1 ), /(u u 1 ) (u u 1 ) onde a terceira igualdade segue por observarmos que é um vetor unitário, normal /(u u 1 ) ao bordo de W ao longo de τ 1 τ e aponta para fora de W ao longo de τ 1 τ, ou seja, este é o vetor conormal à W ao longo de τ 1 τ. Pelo Lema 3.18, ou u = u 1 em algum ponto do O e consequentemente u 1 u, ou a última integral é positiva. Como a última integral não decresce quando fazemos σ 1 e σ tender aos vértices de O, podemos escolher σ 1 e σ tão próximos do vértices de O, que a última soma será positiva; esta escolha é possível pela hipótese na distância de pontos do vértice de D. Isto nos dá uma contradição. 17

23 A última versão de principio do máximo que apresentaremos, nos permite, em domínios limitados D M cujo bordo possui apenas duas curvas, comparar duas funções se soubermos o valor delas em uma curva do bordo de D e o comportamento do vetor normal ao gráfico na outra curva. Mais especificamente, temos Lema 3. ([9], Lemma 4.6). Seja D M um domínio cujo bordo D = Γ 1 Γ, Γ 1, Γ é conjunto compacto e Γ C 1. Sejam u 1 e u funções definidas em D que satisfazem M(u 1 ) M(u ) em D, com u 1 C (D) C 1 (D Γ ) e u C (D) C 0 (D D). Suponhamos que u ν = + em Γ, onde ν é o conormal exterior à D em Γ. Então se lim inf(u u 1 ) 0 em Γ 1, então u u 1 em Ω. Demonstração. Se lim inf(u u 1 ) 0 em Γ então a conclusão segue do Principio do Máximo 1. Se este não é o caso, consideramos v = u + M, de modo que v > u 1 em D D. Transladamos verticalmente para baixo v até o primeiro ponto de contato com u 1, o que deve ocorrer sobre um ponto de Γ. Portanto, u 1 ν u ν = +. Isso nos dá uma contradição. 3.4 Barreiras Nesta seção procuraremos por barreiras que nos permitam concluir que uma solução do problema de Dirichlet atinge continuamente o valor de bordo prescrito. Para isso, assim como no caso de domínios contidos em R, usaremos a função distância. As referências seguidas ao longo desta seção foram [3] (páginas 1) e [9] (página 11, Lemmas 4.4 e 4.9). Seja D M um domínio limitado com o bordo D orientado. Seja d a função distância ao bordo D. Consideraremos d com sinal, isto é, d(p) > 0 significa que p D, caso contrário d(p) < 0. Fixemos uma curva γ D, seja D γ é o maior conjunto aberto em D tal que se p D γ então existe um único q γ tal que d(p, q) = d(p), onde d(p, q) denota a distância de p à q em M. Em [1] (Theorem 1) os autores provaram que se γ C k,α então a função distância está em C k 1,α (D γ D γ ), para k, 0 < α < 1. Seja w = h(d) : D γ R, onde h : R R é uma função suave, temos que ( ) h(d) div 1 + h(d) ( ) h = div 1 + (h ) d = = ( ) h h, d (h ) 1 + (h ) d h d, d (1 + (h ) ) 3 + h 1 + (h ) d, 18

24 assim, ( ) h(d) h h div = H(x), (9) 1 + h(d) (1 + (h ) ) (h ) onde H(x) é a curvatura da curva de nível de d que passa por x D 0. Agora estamos aptos a exibir algumas barreiras. Neste próximo lema usamos uma função que aparece em [3] (página 1) como uma barreira, porém sobre hipóteses mais fortes do que as que assumiremos. Lema 3.3. Seja Γ C,α um arco no D, com κ(γ) H, p Γ e seja q Γ. Existe uma vizinhança D de q, com = Γ η (onde Γ Γ e η é um arco contido em D), tal que existe uma subsolução w de (1) em com w(q) = 0, w < 0 em ( ) q e w η = M, para M > 0 suficientemente grande. Demonstração. Seja γ uma curva C,α de curvatura κ(γ) H ǫ, ǫ > 0 pequeno, tal que γ é tangente à Γ em q e γ (M D). Seja d a função distância à γ. Suponhamos que d é de classe C 1,α no conjunto {p M; 0 d(p) < δ 1 }. Já que a função curvatura é suave, podemos supor que p {x ; 0 d(x ) < δ δ 1 } então H(p) H ǫ, desde que δ seja pequeno o suficiente. Consideremos a função h(r) = eac C (e Cr 1), r [0, δ] e δ < δ, C > 1 A, A > δ serão escolhidos depois. Pela equação (9), para w = h(d) temos, ( ) w div 1 + w = Ce AC Cd (1 + e (AC Cd) ) 3 e AC Cd + H(x) (1 + e (AC Cd) ) 1 = e AC Cd (1 + e (AC Cd) ) 3 ( C + H(x)(1 + e (AC Cd) ) ) usando a + b a + b ( ) w div 1 + w e AC Cd ( C + H(x)(1 + e (AC Cd) ) ) (1 + e (AC Cd) ) 3 como e (AC Cd) e (AC Cδ) and e (AC Cd) e AC ( ) w div eac Cδ ( C + H(x)(1 + e (AC Cδ) ) ) 1 + w (1 + e AC ) 3 já que 1 + e AC e AC ( ) w div 1 + w eac Cδ 8e 3AC ( C + H(x)(1 + e (AC Cδ) ) ) eac Cδ 8e 3AC ( C + (H ǫ)(1 + e (AC Cδ) ) ). 19

25 Nós observamos que a função F(A, δ) = eac Cδ 8e 3AC ( C + (H ǫ)(1 + e (AC Cδ) ) ), para C > 6H + 6ǫ, satisfaz F(0, 0) = 1 (C + (H ǫ)) > H. Então, para (A, δ) suficientemente pequenos (satisfazendo as condições do enunciado do lema) F(A, δ) H. Portanto, 8 ( ) w div H. 1 + w Seja o domínio simplesmente conexo (decrescemos δ caso seja necessário) cujo bordo é composto de um { subarco de Γ } que contém q e um subarco da curva de nível {x D; d(x) = δ}. 1 Seja C 0 = max, 6H + 6ǫ, então para M > eac 0 (e C0δ 1), podemos escolher um A C 0 C C 0, tal que h(δ) = eac C (e Cδ 1) = M Notemos que o Lema 3.3 diz apenas sobre a existência de subsoluções de (1), já que a existência de supersoluções segue da existência de gráficos mínimos, veja [15] (Theorem 3.3) e [17] (Theorem 1.). Assim, sejam D M um domínio limitado e Γ D um arco de classe C,α com κ(γ) H. Fixemos um ponto q Γ, e escolhamos um pequeno arco compacto Γ Γ contendo q e um arco γ de um círculo geodésico ligando os pontos finais de Γ, de modo que o domínio limitado por γ Γ D. Seja f : R é uma função contínua com f(q) = 0 e f > 0 sobre Γ ({q} e f = M) sobre o arco γ. Então existe uma função u C ( ) C 0 u ( ), com div = 0 < H e u = f. 1 + u Este próximo lema nos permitirá controlar soluções limitadas em uma vizinhança de arcos que tenham curvatura grande. Lema 3.4. Seja D M um domínio limitado. 1. Suponha que Γ C,α é um arco do D, com κ(p) α < H, p Γ, com respeito à D. Então existe uma pequena vizinhança N de qualquer ponto interior de Γ tal que, existe uma supersolução w + de (1) em N com w = + em Γ N. Onde ν é o conormal ν exterior à N.. Suponha que Γ C,α é um arco do D, com κ(p) α < H, p Γ, com respeito à D. Então existe uma pequena vizinhança N de qualquer ponto interior de Γ tal que, existe uma subsolução w de (1) em N com w = em Γ N, onde ν é o conormal ν exterior à N. r Demonstração. Consideremos h(r) =. Seja d a função distância à Γ, como a função ǫ distância é continua, podemos concluir que para d(x) < δ, δ > 0 pequeno, que 0

26 1. Para w + = h(d), pela equação (9), ( ) w div 1 + w = ǫ (ǫd + 1) 3 + H(x) (ǫd + 1) 1 1 (ǫd + 1) 1 ( ) ǫ (ǫd + 1) + α + ǫ 1 (α + ǫ) < H, (ǫd + 1) 1 para ǫ, δ pequenos o suficiente; o que prova 1.. Para w = h(d), pela equação (9), temos ( ) w ǫ div = H(x) 1 + w (ǫd + 1) 3 (ǫd + 1) 1 1 (ǫd + 1) 1 ( ) ǫ (ǫd + 1) + α ǫ 1 (α ǫ) > H, (ǫd + 1) 1 para ǫ > 0, δ > 0 pequenos o suficiente, o que prova. Lema 3.5 ([9], Lemma 4.9). Seja u uma solução de (1) em um domínio limitado D M e seja Γ D um arco compacto. Suponhamos que m < u < M em Γ. Então existe uma constante c que depende apenas do D tal que, para qualquer subarco compacto Γ Γ de classe C,α, vale (i) se κ(γ ) H com desigualdade estrita, exceto para pontos isolados, existe uma vizinhança de Γ em D tal que u m c em, (ii) se κ(γ ) > H, existe uma vizinhança de Γ em D tal que u M + c em, Demonstração. (i) Nós tomamos um ponto p onde κ(p) > H. Seja Γ Γ um subarco que contém p. Para Γ pequeno o suficiente, existe uma curva γ ligando os pontos finais de Γ tal que κ(γ) < H com respeito ao domínio limitado por Γ e γ. Nós podemos supor suficientemente pequeno de tal maneira que existe uma subsolução w dado pelo Lema 3.4 tal que w ν = + em γ. O Lema 3. garante que u m sup w em. (ii) Tomamos p Γ e Γ um arco compacto contendo p e contido em Γ. Novamente suporemos Γ pequeno o suficiente, de modo que a curva γ que liga os pontos finais de Γ esteja 1

27 contida em D e κ(γ) > H com respeito ao domínio limitado por γ Γ. Podemos assumir que existe uma supersolução w + dada pelo Lema 3.4, de modo que w+ =. Novamente ν pelo Lema 3., obtemos que u < m + sup w + em. 3.5 Teorema de Compacidade Teorema 3.6 (Teorema de Compacidade). Seja {u n } uma sequência de soluções de (1) uniformemente limitada em D M, D limitado. Então existe uma subsequência que converge uniformemente em subconjuntos compactos (na topologia C k, para qualquer k) à uma solução de (1) em D. A demonstração deste teorema segue da estimativa do gradiente para soluções em D dada por [3] (Theorem 1.1) e da prova do Teorema de Compacidade em [9] (Theorem 3.1). Teorema 3.7 (Teorema da Convergência Monótona). Seja {u n } uma sequência crescente ou decrescente de soluções de (1) em um domínio D M. Se a sequência é limitada em um ponto p D, existe uma vizinhança de p, U D tal que {u n } converge à uma solução em U. A convergência é uniforme em subconjuntos compactos de U e a divergência é uniforme em subconjuntos compactos de V = D U. Se V é não-vazio, V consiste de arcos de curvatura ±H e arcos do D. Esses arcos são convexos para U se a sequência é crescente e côncavo caso contrário. Uma demonstração do Teorema 3.7 pode ser encontrada em [9] (Theorem 6.). Definição 3.8. U será chamado de conjunto de convergência e V de conjunto de divergência. O próximo lema nos dá uma restrição aos arcos do bordo de um conjunto de divergência. Sua demonstração pode ser encontrada em [9] (Lemma 6.3). Lema 3.9. Sejam D M e C D com κ(c) H. Seja {u n } uma sequência crescente ou decrescente de soluções de (1) em D tal que cada u n é contínua em D C. Suponha que existe um arco L contido no bordo do conjunto de divergência. Então L não pode terminar em um ponto interior de C. 3.6 Teorema de Existência Nesta seção mostraremos o teorema de existência para o problema de Dirichlet para domínios limitados. Uma das condições para a existência envolve a curvatura dos arcos do bordo do domínio. Um primeiro teorema nesta direção é

28 Teorema 3.30 ([3]- Theorem 1.). Seja D M um domínio limitado com bordo de classe C satisfazendo κ( D) H+ǫ, para algum ǫ > 0. Então dada uma função contínua f : D R, existe uma única solução de (1) u (C (D) (C 0 (D D))) em D tal que u D = f. Gostaríamos que a condição sobre a curvatura do bordo fosse κ( D) H. Para isso usaremos o método de Perron. Necessitaremos de uma definição. Sejam D M um domínio e f : D R uma função contínua, consideremos o conjunto S f = {v C (D) C 0 (D D); v é uma subsolução de (1) em D e v D f}. Seja B D um subdomínio compacto com bordo suave contido em D, tal que κ( B) > H. Já que B é compacto, κ( B) > H equivale à κ( B) > H + ǫ para algum ǫ > 0. Para cada v S f nós definimos o levantamento de v em B como { v(p), if p B V (p) = v(p), if p D B, onde v é a solução de (1) em B dado pelo Teorema 3.30 com valor de bordo v B = v B. Teorema Seja D M um domínio limitado com bordo de classe C,α e satisfazendo κ( D) H. Suponha que existe uma subsolução limitada em D. Então dada uma função contínua f : D R, existe uma única solução de (1) u (C (D) (C 0 (D D))) em D com u D = f. Demonstração. Nós observamos que existe um gráfico mínimo sobre D que se estende continuamente com valor de bordo f, veja [17](Theorem 1.). Observemos que esta superfície minima é uma supersolução de (1) em D. Usando o método de Perron nós mostraremos que existe uma solução em D e usando as barreiras do Lema 3.3 mostraremos que essa solução possui o valor de bordo prescrito. Definimos, u = sup S f v. O conjunto S f é não vazio por hipótese, a existência de uma supersolução e o Princípio do Máximo garantem que u está bem definida. Mostraremos agora que u é de fato uma solução em D. Sejam p D e B = B p (ǫ) uma bola geodésica de M centrada em p com raio ǫ, nós escolhemos ǫ pequeno o suficiente de modo que B B esteja contido em D e κ( B) > H (e por compacidade, κ( B) > H +ǫ ). Seja {v n } uma sequência em S f tal que lim v n (p) = u(p), esta sequência existe pela definição de u. Para cada n, seja V n o levantamento de v n em B. Observamos que {V n } S f, V n (p) u(p). Além disso, como {V n } u em B, temos pelo teorema de compacidade que alguma subsequência de {V n }, ainda chamada {V n }, converge à uma solução ũ de (1) em B uniformemente em subconjuntos compactos de B. Pela definição de u, e de {v n } nós temos que ũ u e ũ(p) = u(p). Nós afirmamos que u = ũ em B. Se não fosse este o caso, existiria um ponto q B, tal que u(q) > ũ(q). Isto significa que existe uma função ṽ S f, com ũ(q) < ṽ(q). Definimos então outra sequência {w n } S f como w n = max{ṽ, v n }, e consideramos W n seu levantamento em B. Como antes nós obteríamos uma subsequência de {W n } que converge à uma solução w em B uniformemente sobre subconjuntos compactos de B. Por construção, nós temos ũ w u 3