Epidemias e modelos epidemiológicos baseados em autômatos celulares: uma breve revisão

Transcrição

1 Epidemias e modelos epidemiológicos baseados em autômatos celulares: uma breve revisão Cadernos de Juliana Bonás Sasso Henrique Dal Bo Chimara Alunos do Curso de Mestrado do Programa de em Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie Luiz Henrique Alves Monteiro Professor do Programa de Pós-graduação da Universidade Presbiteriana Mackenzie RESUMO Autômatos celulares podem ser empregados em estudos epidemiológicos. Os resultados obtidos com esses modelos fornecem pistas para entender a propagação de doenças contagiosas e sugerem formas de combatê-la. Neste trabalho, apresenta-se uma revisão sobre esse assunto. Palavras-chave: Autômato celular. Epidemiologia. Modelo SIR. Sistemas dinâmicos. 1 INTRODUÇÃO (VJVARI, 2003) Relatos realizados durante toda a história comprovam que sempre existiu uma grande preocupação em se descobrir as causas de uma epidemia e o que deveria ser feito para controlar sua propagação. A importância de se estudar epidemiologia está ligada ao fato de se tentar prever o comportamento de uma epidemia e, antecipadamente, adotar uma política de prevenção para que ela não se alastre e tome proporções que saiam do nosso controle, causando uma situação pandêmica, o que teria como conseqüência um grande número de mortes em uma população. Grandes epidemias ocorreram e ainda ocorrem. Muitas delas são famosas por terem dizimado grande parte da população de um determinado país, continente 71 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

2 Cadernos de ou, até mesmo, por ter tido uma conseqüência mundial. A peste bubônica, gripe espanhola e a Aids são exemplos de epidemias responsáveis pela morte de milhões de pessoas em todo o mundo. A seguir, apresentam-se alguns detalhes biológicos e históricos sobre essas epidemias. A peste bubônica teve três grandes manifestações na história que causaram uma drástica redução da população mundial. A primeira ocorreu em 542 d.c., também conhecida como peste de Justiniano, assim denominada por causa do Imperador Justiniano que governou o Império Bizantino e que tinha Constantinopla como sua capital. A epidemia começou no delta do rio Nilo e as embarcações mediterrâneas a levaram para a cidade de Constantinopla. Durante quatro meses, morriam de cinco a dez mil pessoas por dia. No primeiro ano, acreditase que tenham morrido trezentas mil. A peste se espalhou para Síria, Pérsia, Itália, norte da África e sul da França. A segunda epidemia começou no final de 1347, quando ocorreu uma batalha entre os tártaros, originários da Ásia, e os genoveses, da Europa. Durante essa ação, nos acampamentos dos tártaros, disseminou-se a peste bubônica. Há relatos da época, de que os mortos eram arremessados por cima dos muros por catapultas, com a intenção de espalhar a doença entre os genoveses, o que representaria uma das primeiras tentativas de guerra bacteriológica da História. Na Europa, a Itália foi um dos primeiros países atingidos pela peste, e suas cidades perderam metade de seus habitantes. Em dois anos, a peste atingiu todo o continente europeu. Ao final, a Europa perdeu um terço de seus habitantes, o que representava cerca de vinte milhões de mortes. A terceira epidemia iniciou-se em 1800, na região de Yunnan, na China. Após a primeira e a segunda Guerra do Ópio e a rebelião Taiping, a região de Yunnan estabeleceu uma intensa ligação comercial com o litoral de Catão, tendo como conseqüência a disseminação da epidemia por localidades vizinhas, até chegar, de fato, a Catão em maio de 1894, onde iniciaria a peste bubônica. Somando-se os meses de maio, junho e julho morreram setenta mil pessoas. Após dois anos de sua aparição em Hong Kong, a peste alcançava Bombaim, na Índia, através das embarcações inglesas vindas da China. Conseqüentemente, em setembro e outubro, o número de acometidos aumentou, e nos seis meses seguintes vinte mil habitantes morreram. Os navios alastravam a doença pelos portos aos quais atracavam. A peste tomou dois rumos: embarcações a levaram pelo oceano Pacífico ao Havaí e, posteriormente, à cidade de São Francisco, nos Estados Unidos. Na outra direção, as cidades do mar Vermelho recebiam navios contaminados que, ao atravessarem o canal de Suez, espalhavam a doença para o Mediterrâneo. As relações comerciais entre as nações européias e os países da América Latina fizeram com que a peste chegasse ao Brasil ocasionando poucas mortes em 1899; e à Argentina. Da América do Sul, a doença percorreu, pelos navios, o oceano Atlântico e foi parar na cidade do Cabo, na África do Sul. Fechava-se, assim, seu deslocamento ao redor do planeta, atingindo todos os continentes. 72 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

3 A gripe espanhola foi outra doença que também matou milhões de pessoas em todo o mundo e que se manifestou diversas vezes na história. A primeira onda americana da epidemia de gripe ocorreu na primavera de Não se sabe ao certo a origem da epidemia, acredita-se que tenha aparecido nos Estados Unidos ou na Ásia. Alastrou-se pelo mundo, alcançando os países da Europa no verão daquele ano e, posteriormente, todos os continentes. Ao atingir a Espanha no verão de 1918, a doença acometeu cerca de oito milhões de pessoas. Em Madri, um em cada três habitantes ficou doente. Quando a doença já se disseminava pelo mundo, veio a segunda onda da gripe e a mais devastadora. Começou no mês de agosto de 1918 de forma simultânea nos Estados Unidos, Europa e costa da África. Essa segunda onda tomou grandes proporções na Europa em guerra e nos cinco continentes. A epidemia iniciou-se entre os militares da infantaria americana que se preparavam para uma missão na França. Ao longo de sua marcha de Nova Jersey para Nova York, onde embarcariam, começaram a surgir doentes com gripe que foram abandonados nas estradas. Chegando em Nova York, os não acometidos pela doença, num total de nove mil militares, embarcaram rumo ao extremo oeste da França, no dia 29 de setembro. Mas nas primeiras 36 horas de viagem já apareceram cerca de setecentos militares doentes, com notificação da primeira morte. Em outubro, aportaram na França. A gripe continuou se espalhando entre os militares em marcha pela Europa. A taxa de mortalidade pela doença atingiu o pico no mês de outubro de 1918, os americanos internaram cerca de 45 mil homens nos hospitais de guerra e 10% deles morreram. Os alemães perderam 225 mil pessoas. Na Itália, a doença matou 375 mil habitantes, com a cidade de Turim computando quatrocentas mortes por dia. Paris contou cinco mil mortos por semana; na Inglaterra, o número de óbitos foi de 228 mil. Nos Estados Unidos, a doença atingiu todos os estados, que teve um total de mortes entre 500 a 650 mil. No final de 1919, a gripe chegou a Bombaim levada nas embarcações com doentes. Pelas estradas ferroviárias espalhou-se por toda a Índia, acometendo mais da metade da população. Em Bombaim, em uma semana, morreram cerca de pessoas. Em março de 1997, os membros do governo de Hong Kong preocupavam-se com um problema que, no início, parecia afetar apenas a economia da região. As fazendas passavam por sérias dificuldades com uma epidemia de gripe que acometia as criações de galinhas. Sete mil desses animais morreram em conseqüência da doença, que se espalhou para as fazendas vizinhas. O departamento de agricultura identificou o agente causador do mal, o vírus influenza H5, conhecido por infectar as aves e não o homem. Mas, no total da epidemia, foram identificados 18 casos da gripe pelo vírus influenza H5 em humanos que tiveram contato com as aves, com uma taxa de morte de 33%. Em reunião com os Departamentos de Saúde e Agricultura, a decisão foi tomada: tinham de sacrificar as galinhas para conseguir controlar a epidemia que ameaçava a humanidade. No final de dezembro de 1997, iniciou-se o controle da Cadernos de 73 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

4 Cadernos de epidemia, e cerca de 1,2 milhões de galinhas foram mortas, além de quatrocentas mil outras aves. A epidemia foi controlada, e não se registraram mais casos. Uma doença que ainda apresenta conseqüências mundiais e que é do conhecimento das novas gerações é a Aids. No início da década de 1980 o mundo foi apresentado a essa nova doença, que acometia pessoas de sexo masculino que eram homossexuais e/ou usuários de drogas injetáveis. Em poucos anos, identificou-se o vírus causador da doença, assim como seu mecanismo de transmissão. A evolução sexual do século XX propiciou a disseminação da doença, apesar de todas as propagandas realizadas para mantê-la sob controle. O maior trânsito internacional de pessoas também favoreceu o seu aparecimento nos quatro cantos do mundo. A Aids saiu do chamado grupo de risco homossexual para acometer progressivamente as mulheres, por intermédio de homens que adotam práticas bissexuais, e, uma vez nas mulheres, contaminou homens heterossexuais; assim, potencializou-se sua propagação. Com o aumento do número de mulheres e homens heterossexuais com Aids, a década de 1990 foi marcada por dois fatos novos. Primeiro, houve um crescimento progressivo da quantidade de recém-nascidos portadores do vírus da Aids e, posteriormente, adolescentes doentes. Segundo, os grupos de riscos deixaram de existir; passou-se a se falar em comportamento de risco: disseminou-se a idéia do uso preservativos. O século XXI começou com a estimativa de que 36 milhões de pessoas são portadoras do vírus da Aids, cerca de 0,6 % da população mundial. Dessas, 70% estão na África, na região abaixo do deserto do Saara. Nessa região, 8,8% da população jovem, entre 15 e 49 anos de idade, porta e dissemina o vírus da Aids. No último ano de século XX, cerca de cinco milhões de pessoas foram infectadas por esse vírus, a maioria (70%) no continente africano. A doença já matou mais de vinte milhões de pessoas desde seu aparecimento. A estatística futura dependerá das medidas humanas de controle, relacionadas a investimentos que incluam, sobretudo, as regiões pobres da África, bem como o desenvolvimento de drogas mais eficazes. Para se entender a propagação de doenças, são utilizados modelos matemáticos construídos a partir de premissas que precisam ser validadas através de informações empíricas e de dados. Na análise desse problema, em 1927, W. O. Kermack e A. G. McKendric propuseram um modelo epidemiológico para estudar a disseminação de uma doença em uma população. O modelo por eles apresentado foi escrito em termos de equações diferenciais ordinárias e é ficou conhecido como modelo SIR, sigla esta que representa as diferentes fases de uma doença nos indivíduos de uma população: suscetíveis, infectados e recuperados. O grupo S, de suscetíveis, representa a proporção da população que ainda não foi afetada pela doença, mas que pode ser infectada no contato com uma pessoa doente. O grupo I, de infectados, corresponde 74 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

5 ao grupo de indivíduos doentes, responsáveis pela propagação da doença. O grupo R, de recuperados, está relacionado aos indivíduos curados e que se tornam temporariamente ou permanentemente imunes à doença em questão (MONTEIRO, 2002). Atualmente, variações desse modelo vêm sendo empregadas. Há modelos que lidam com a evolução da densidade dos grupos da população, sem se preocupar com a localização espacial desses grupos, pois asssume-se que as classes S, I e R estão homogeneamente distribuídas pelo espaço; outros modelos levam em consideração a dependência espacial das densidades desses grupos, utilizando equações a derivadas parciais ou autômatos celulares para isso. Um autômato celular bidimensional pode simular tal dependência espacial, representando uma amostra da população distribuída geograficamente. As regras desse autômato revelam o modo com que a doença é transmitida, como os doentes se recuperam e como os indivíduos de tornam suscetíveis (CHIMARA, 2003). Antes de se apresentar alguns desses estudos epidemiológicos, define-se autômato celular. Cadernos de 2 DEFINIÇÃO DE AUTÔMATO CELULAR (OLIVEIRA, 1999) Autômatos celulares são sistemas distribuídos espacialmente, que consistem de um grande número de componentes simples e idênticos, com conectividade usualmente local. Os autômatos celulares são exemplos de sistemas dinâmicos com tempo e espaço discretos, e possuem dois componentes: o espaço celular e a regra de transição. O espaço celular é um reticulado de N máquinas idênticas, de estado finito, cada uma com um padrão normalmente idêntico de conexões locais para outras células, e com condições de contorno. O conjunto de estados na máquina de estado finito da célula é denotado por S, e o número de estados desse conjunto é denotado por k. Cada célula é denotada por um índice i, e seu estado em um dado tempo t é t denotado por s, sendo t t i s Σ. O estado i s da célula i, junto com os estados i t das células às quais a célula i está conectada, são chamados vizinhança η da célula i i. que fornece o próximo i t+1 t estado s para cada célula i, como uma função deη i i. Usualmente, a cada passo de tempo, todas as células atualizam seus estados sincronamente de acordo com Φ( η i ). A regra de transição é denotada por Φ( η ) É possível analisar a dinâmica de um autômato celular de várias formas. Uma delas é observar o comportamento dos diagramas de padrões espaço-temporais que o autômato celular gera, a partir de várias inicializações aleatórias. Para se quantificar o comportamento observado, podem ser utilizadas métricas estatísticas tais como a informação mútua, a entropia e a taxa de espalhamento de padrões de diferenças. 75 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

6 Cadernos de Outra abordagem possível é realizando cálculos com a regra de transição associada ao autômato celular, tentando prever sua evolução sem simulá-lo. Uma outra abordagem é a análise do espaço de estados. Neste contexto, um estado é uma configuração do reticulado do autômato celular em um determinado tempo. O espaço de estados é dado por grafos cujos nós representam todos os estados sucessivos pelos quais o reticulado pode passar. É possível classificar o comportamento dinâmico assintótico de um autômato celular de várias maneiras, dependendo do grau de refinamento desejado. O esquema de classificação mais simples é separar as regras dos autômatos celulares em duas categorias: as de dinâmica periódica e as de dinâmica não-periódica. Outras classificações foram propostas por Stephen Wolfram e por Wentian Li e Norman Packard. O Jogo da Vida (Game of Life), proposto por J. H. Conway, em 1970, constitui um exemplo clássico de uso de autômato celular para simular a evolução de um grupo de seres vivos num reticulado bidimensional. De acordo com Conway, uma célula viva morre no instante seguinte por isolamento, se tiver um ou nenhum vizinho vivo naquele instante, ou por sufocamento, caso tenha quatro ou mais vizinhos. Uma célula com dois ou três vizinhos vivos permanece viva no instante seguinte. A fusão dessa idéia, a de representar dinâmica populacional com autômatos celulares, com os modelos clássicos do tipo SIR, nos quais divide-se uma população em classes de acordo com seu estágio em relação a uma doença, tem levado à implementação de autômatos celulares para investigar a ocorrência de epidemias. De fato, modelos de autômatos celulares, deterministas e probabilistas, vêm sendo propostos para representar a propagação de uma doença. A dimensão espacial dos reticulados vale um ou dois, com condições de controle, em geral, periódicas. Normalmente, no caso bidimensional, a vizinhança utilizada é a de Moore, na qual são considerados oito vizinhos com aresta comum, em raio um, à célula analisada. Existe, também, a vizinhança de von Neumann, na qual são levados em conta apenas os quatro vizinhos com aresta comum, também em raio um, à célula analisada. Basicamente, o que se pretende nesses estudos é descobrir a relação limite entre os parâmetros do modelo tal que, quando os valores desses parâmetros estão acima do limiar encontrado, a doença se estabelece na população; caso contrário, ela se extingue naturalmente. Em grande parte dos trabalhos, os valores dos parâmetros usados nas simulações não são baseados em dados biológicos. Algumas comparações com os respectivos modelos de equações diferenciais são feitas, embora a conexão entre as duas abordagens nem sempre seja clara. A seguir, descrevem-se algumas características de alguns desses modelos encontrados na literatura. 3 MODELOS DE PROPAGAÇÃO DE DOENÇAS USANDO AUTÔMATOS CELULARES Muitos pesquisadores estão empenhados na modelagem matemática voltada para epidemiologia e, para desenvolver tais modelos, são utilizadas equações 76 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

7 diferenciais (modelos de estado e tempo contínuos), equações de diferença (modelos de estado contínuo e tempo discreto) e os autômatos celulares. Modelos do tipo SIS, SIR e SIRS foram desenvolvidos por Fuentes e Kuperman (1999). No primeiro, a doença não confere imunidade após a recuperação; no segundo, ela confere imunidade permanente; no terceiro, confere imunidade temporária. O período da infecção é dividido em três períodos: o de incubação, na qual o indivíduo está infeccioso, mas não apresenta sintomas; o de infecção propriamente dita, em que ele está infeccioso e existem sintomas; e o de latência, na qual ele não está mais infeccioso, mas os sintomas permanecem. A infecção ocorre segundo uma regra probabilista; já a recuperação ocorre segundo uma regra determinista. Assim, um indivíduo é curado após um determinado número de passos de tempo. Um outro modelo de propagação de epidemia foi desenvolvido por Chimara (2003) através de um autômato celular probabilista que corresponde a um modelo SIRS, representando a situação em que recuperados são substituídos por suscetíveis, ou porque morreram (e um suscetível recém-nascido ocupa seu lugar) ou porque perderam a imunidade àquela doença. Nesse modelo foi considerada uma população de tamanho fixo e, estudando-se a influência dos parâmetros que representam as probabilidades de infecção, de cura e de morte causada pela doença, chegou-se à conclusão de que uma doença com baixa mortalidade, rapidamente curável e pequena transmissibilidade pode sobreviver apenas em cidades grandes. O processo de propagação epidêmica foi modelado por Rousseau e col. [6] através de um autômato celular determinista do tipo SIR, em que cada célula abriga um vetor que gira no sentido horário. Uma célula suscetível é contaminada somente se o vetor de infecção de uma célula vizinha aponta para ela. A transmissão da hepatite B foi estudada por Ahmed, Agiza e Hassan (1998) dividindo-se a população de infectados em dois grupos: os assintomáticos, que têm baixa probabilidade de transmitir a doença durante toda sua vida; e os doentes, que possuem maior probabilidade de transmissão, mas que se recuperam após um período de, aproximadamente, 20 dias. As regras de infecção são probabilistas e a regra de cura é determinista. Yakowitz, Gani e Haves (1990) desenvolveram um modelo de autômato celular aleatório para se comprovar a importância do fator espacial envolvido nas doenças contagiosas. Foi adotado um modelo determinista do tipo SIR no qual R não é substituído por S em passo de tempo algum, e a vizinhança adotada foi a de von Neumann. Concluiu-se que uma quantidade inicial de infectados, homogeneamente distribuídos, têm efeito mais devastador sobre a população do que se essa mesma quantidade estivesse concentrada numa única região. Foram elaborados, também, um modelo SIS probabilista por Boccara, Cheong e Oran (1994) e um modelo SIR determinista por Sirakoulis, Karafullidis e Thanailakis (2000) para investigar os efeitos do movimento dos indivíduos sobre a propagação de uma determinada doença. Em equações diferenciais, o movimento é normalmente representado por um termo de difusão. Cadernos de 77 Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

8 Cadernos de Willox, Grammaticos e Carstea (2003) e Satsuma, Willox, Ramani, Grammaticos e Carstea (2003) propuseram modelos baseados em autômatos celulares com comportamentos dinâmicos equivalentes a modelos representados por equações diferenciais e de diferença, em que a interação entre as populações suscetível e infectada era modelada por classes de funções (e não por uma única função do tipo produto, como usualmente é feito). Um modelo SIR probabilista com conexões não locais foi proposto por Kleczkowsky e Grenfell (1999), representando, assim, contatos entre indivíduos que, no reticulado, não estão justapostos. Foi assumido, por Duryea, Caraco, Gardner, Maniatty e Szymansky (1999), num modelo SIS, que cada célula possui uma densidade de indivíduos (e não apenas um único indivíduo) e que a probabilidade de infecção é função dessa densidade. Martins, Cleotto, Alves, Bufon e Silva (2000) modelaram a propagação de uma bactéria em uma plantação de laranja, impondo que cada célula representa uma árvore, e seu estado é caracterizado por duas grandezas: uma que diz se ela está saudável ou doente, e outra que avalia se ela possui ou não suprimento de água e alimento em níveis satisfatórios. Além de estudos epidemiológicos, autômatos celulares também têm sido empregados em investigações imunológicas, como, por exemplo, aquelas que tratam da dinâmica do vírus HIV. 4 CONCLUSÕES É possível estudar o comportamento de uma infecção em uma determinada população através dos modelos epidemiológicos baseados em autômatos celulares. Dessa forma, utilizando-se esses modelos, tenta-se bolar estratégias para prevenir seu espalhamento ou adotar métodos para erradicar uma determinada doença já instalada ou até mesmo descobrir o número mínimo de indivíduos que devem ser vacinados nessa população para que uma doença não se torne epidêmica. Epidemics and epidemiological models based in cellular automata: a short review ABSTRACT 78 Cellular automata can be employed in epidemiological studies. The results obtained from these models give hints to understand the contagious diseases propagation and they suggest ways to combat it. In this work, a review about this topic is presented. Keywords: Cellular automaton. Epidemiology. Dynamical systems. SIR model. Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

9 AGRADECIMENTOS JBS agradece à CAPES e LHAM agradece ao CNPq pelo apoio financeiro. Cadernos de REFERÊNCIAS AHMED, E.; AGIZA, H. N.; HASSAN, S. Z. On modeling Hepatitis B transmission using cellular automata. Journal of Statistical Physics, [S.l.], no. 92, p , BOCCARA, N.; CHEONG, K.; ORAM, M. A probabilistic automata network epidemic model with births and deaths exhibiting cyclic behaviour. Journal of Physics A: Mathematics and General, [S.l.], no. 26, p , CHIMARA, H. D. B. Propagação de doenças em autômatos celulares probabilistas Dissertação (Mestrado ) Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, DURYEA, M.; CARACO, T.; GARDNER, G.; MANIATTY, W.; SZYMANSKY, B. K. Population dispersion in a spatial epidemic. Physica D, [S.l.], no. 132, p , FUENTES, M. A.; KUPERMAN, M. N. Cellular automata and epidemiological models with spatial dependence. Physica A, [S.l.], no. 267, p , KLECZKOWSKY, A.; GRENFELL, B. T. Mean field-type equations for spread of epidemics: the small word model. Physica A, [S.l.], no. 274, p , MARTINS, M. L.; CEOTTO, G.; ALVES, S. G.; BUFON, C. C. B.; SILVA, J. M. Cellular automata model for citrus vaginated chlorosis. Physical Review E, [S.l.], no. 62, p , MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinâmicos. [S.l.]: Livr. da Física, OLIVEIRA, G. M. B. Dinâmica e evolução de autômatos celulares unidimensionais Tese (Doutorado e Computação) Instituto Tecnológico da Aeronáutica, São José dos Campos, ROUSSEAU, G.; GIORGINI, B.; LIVI, R.; CHATÉ, H. Dynamical phases in a cellularautomaton for epidemic propagation. Physica D, [S.l.], no. 103, p , SANTOS, R. M. Z. Using cellular automata to learn about the immune system. International Journal of Modern Physics C, [S.l.], no. 9, p , SATSUMA, J.; WILLOX, R.; RAMANI, A. GRAMMATICOS, B.; CARSTEA, A. S. Extending the SIR epidemic model. Physica A, [S.l.], no. 336, p , SIRAKOULIS, G. C.; KARAFYLLIDIS, I.; THANAILAKIS, A. A cellular automaton model for the effects on population movement and vaccination on epidemic propagation. Ecological Modelling, [S.l.], no. 133, p , VJVARI, S. C. A história e suas epidemias: a convivência do homem com os microrganismos. São Paulo: Senac, Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.

10 Cadernos de WILLOX, R.; GRAMMATICOS, B.; CARSTEA, A. S.; RAMANI, A. Epidemic dynamics: discret-time and cellular automaton models. Physica A, [S.l.], no. 328, p , YAKOWITZ, S.; GANI, J.; HAVES, R. Cellular automaton modeling of epidemics. Applied Mathematics and Computation, [S.l.], no. 40, p , Cad. de em Eng. São Paulo, v. 4, n. 1, p , 2004.