Interação de Estratégias em um Mercado de Opções Européias: uma Abordagem de Jogos Evolucionários

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1 Interação de Estratégas em um Mercado de Opções Européas: uma Abordagem de Jogos Evoluconáros Autora: José Rafael Perera, Jaylson Jar da Slvera Resumo: A escolha de estratégas no mercado de opções européas tem um papel mportante De acordo com o perfl do nvestdor que será construída a estratéga Para quem esteja nteressado apenas na redução do rsco, como os hedgers, ou com a ntenção de consegur retornos por meo das osclações nos preços dos atvos, como os especuladores ou mesmo para aqueles que se aprovetam dos desajustes nos preços dos atvos, os arbtradores, sempre haverá uma estratéga dsponível e adequada Sendo assm, o presente trabalho analsa a nteração de três estratégas montadas com opções fnanceras, que rão nteragr de acordo com uma dnâmca de replcação em tempo contínuo, um tpo de dnâmca evoluconára orunda da teora dos jogos evoluconáros O objetvo é mostrar os possíves equlíbros no mercado de opções, mostrando sob que condções uma determnada estratéga deverá prevalecer no ambente por proporconar a maor recompensa relatva Demonstra-se que a dnâmca evoluconára converge, para qualquer condção ncal caracterzada pela presença das três estratégas, para um equlíbro de estratéga msta e, com medda não nula, para um equlíbro de estratéga msta sem etnção de estratéga A eata dstrbução de estratégas que emergrá dependerá sensvelmente das condções ncas 1 Consderações ncas Um dos grandes nteresses da teora de fnanças é eplcar a nfluênca da ncerteza, formalzada como rsco, sobre operações fnanceras, de forma a aular a tomada de decsão sob condções de rsco Eemplos clásscos de modelos desta teora são o modelo de portfólo de Markowtz (1959), o modelo CAPM (Sharpe, 1964) e o modelo de Black e Scholes (1973) Uma das fontes centras de ncerteza é encontrada na própra estrutura de nteração estratégca entre os partcpantes de um dado mercado Para tratar de decsões sob ncerteza em ambentes de nteração estratégca entre múltplos partcpantes de mercado pode-se usar o nstrumental da teora dos jogos A teora dos jogos busca determnar o resultado de uma dada nteração, ou seja, o equlíbro do jogo O conceto de equlíbro em torno do qual se organza a teora dos jogos é o de equlíbro de Nash al equlíbro é a combnação das estratégas que são as melhores respostas umas às outras (FIANI, 2006) No equlíbro de Nash, os agentes sabem quas são as melhores estratégas dos seus adversáros, e a partr dsso, eles escolhem suas melhores respostas (estratégas) para usar contra os outros jogadores, e todos agem dessa mesma manera, estabelecendo, então, uma stuação na qual nenhum dos agentes tem ncentvo a mudar de estratéga Em 1970, a teora dos jogos passou a ser aplcada ao estudo do comportamento anmal, nclundo evolução das espéces por seleção natural Foram necessáras novas defnções e adaptações da teora Em 1973, fo publcado na revsta Nature o trabalho he Logc of Anmal Conflcts, de J Maynard Smth e G Prce, dando níco à teora dos jogos evoluconáros na Bologa (HAMMERSEIN; SELEN, 1994) A teora dos jogos evoluconáros passou, posterormente, a ser aplcada também em ambentes socas de raconaldade lmtada, nos quas os agentes são adaptatvos, encontrando-se em um processo recorrente de aprendzagem por tentatva e erro Ambentes econômcos caracterzados por ncerteza que não apresentam padrões unformes e prevsíves, nos quas agentes de raconaldade lmtada nteragem recorrentemente, são o cenáro típco da teora dos jogos evoluconáros Um tpo de ambente econômco no qual há ncerteza e grande dfculdade de prevsão perfeta são os mercados de opções por só se realzar no futuro, estando, dessa forma, 1

2 submetdo a váras mudanças econômcas As opções são nstrumentos fnanceros que se orgnam de atvos, como ações, índces de ações, moedas e contratos futuros As opções são utlzadas no mercado como ferramenta de gerencamento de rsco, um nstrumento de proteção (HULL, 2005) Devdo às ncertezas nerentes ao mercado, o nvestdor tem a possbldade de lmtar o rsco de seus atvos Ela possblta aos seus partcpantes a adoção de estratégas baseadas nas suas percepções sobre o cenáro econômco futuro e de seu perfl em relação a sua tolerânca ao rsco Dessa forma percebe-se que as decsões tomadas pelos agentes são falhas, ou seja, as nformações dsponíves para o mercado não são sufcentes para adotar uma estratéga raconal, ou seja, uma estratéga que seja sempre capaz de satsfazer as perspectvas dos agentes Apesar de poder haver nformação prvlegada ou outros meos que coloquem determnado agente em uma posção melhor em termo de conhecmento, tas casos não serão consderados neste trabalho De fato, adotar-se-á a suposção de que todos os agentes envolvdos agem com base nas suas epectatvas e sem haver nformação prvlegada e possuem os mesmos objetvos de mamzarem seus retornos No presente trabalho supõe-se que os partcpantes de um mercado de opções buscam por tentatva e erro as melhores estratégas de nvestmento, e assm desenvolve-se um modelo de jogos evoluconáros para estudar a nteração estratégca entre estratégas de nvestmento em um mercado de opções européas O modelo de jogos evoluconáros a ser desenvolvdo basea-se na premssa de que estratégas de nvestmento que geram retornos relatvamente maores tendem a ser copadas por um número relatvamente maor de nvestdores (VEGA-REDONDO, 1996) O restante deste teto está organzado da segunte manera Na próma seção descreve-se sntetcamente a taonoma padrão de opções, bem como as três estratégas de compra de opções européas e seus respectvos payoffs, cuja nteração será analsada como uma dnâmca evoluconára Na tercera seção, formalza-se a referda dnâmca evoluconára como uma dnâmca de replcação em tempo contínuo e faz-se uma análse de seus equlíbros e das suas respectvas propredades de establdade Na quarta seção, fecha-se o trabalho com breves consderações fnas 2 Opções fnanceras As opções são nstrumentos fnanceros que dá ao seu detentor o dreto (sem a obrgação) de comprar ou vender determnado atvo subjacente à opção em uma data futura As opções podem ser européas ou amercanas, as européas possbltam o seu eercíco apenas na data de vencmento Dferente das opções amercanas que dá ao seu detentor o dreto de eercer sua opção no prazo até o vencmento Neste trabalho será utlzada somente opção européa, devdo a sua característca de lqudação só na data de epração Há dos tpos de opções, a opção de compra (call) que fornece ao seu detentor o dreto (sem a obrgação) de comprar em uma data futura o atvo ao qual a opção se refere por um preço frmado no momento da compra da opção O outro tpo é a opção de venda (put) que dá ao seu ttular o dreto (sem a obrgação) de vender um atvo ao qual a opção se refere em uma data futura por um preço já acordado no momento da compra da opção Em relação às datas em que podem ser eercdas as opções, estem dos modos de atuação Quando o detentor adqure o dreto de vender ou comprar em qualquer tempo a partr do momento em que se obtém a opção de venda ou de compra, respectvamente, até a epração, nesse caso dz-se que a opção é amercana Se caso for apenas possível o eercíco da opção na data acordada de vencmento a opção é dta européa Os agentes que atuam nesse mercado são os hedgers, os especuladores e os arbtradores Os hedgers nvestem para se protegerem dos rscos das osclações dos preços dos atvos Os especuladores atuam a partr de epectatvas de altas ou baas nos preços dos 2

3 atvos, com o objetvo de obterem alavancagem Os arbtradores buscam desajustes nos preços de atvos em dferentes mercados, como por eemplo, entre o mercado à vsta e o mercado futuro, para auferrem lucros (HULL, 2005) Um nvestdor que resolve adqurr uma opção de compra, que lhe dará o dreto de comprar um determnado atvo por um preço já acordado em uma data futura, espera que o preço do atvo aumente Isso porque ao comprar a opção ele trava um preço que está defndo na própra opção Se o preço do atvo car na data de vencmento o nvestdor sofre uma perda que no caso será o preço pago pela opção Se, pelo contráro, o preço do atvo na data de lqudação for maor que o preço frmado em contrato mas o prêmo, então ele aufere um lucro que é calculado pela dferença entre o preço que o atvo alcançar no mercado na data de vencmento da opção e o preço estabelecdo no contrato mas o prêmo pago pela opção No entanto, se um nvestdor comprar uma opção de venda, possbltando-lhe o dreto de vender um atvo atrelado à opção em uma data futura de vencmento da opção por um preço já frmado no momento da sua compra, ele espera que o preço do atvo subjacente à opção dmnua Pos, ao adqurr a opção de venda, ele frma um preço com o lançador da opção para eercíco em uma data futura Se caso o preço do atvo aumentar, ele tem um prejuízo que é o própro prêmo pago Se, ao contráro, o atvo subjacente à opção tver seu preço desvalorzado, então o nvestdor aufere um ganho, sendo a dferença entre o preço estabelecdo na opção e o preço de mercado mas o prêmo 21 rês estratégas no mercado de opções e seus payoffs A prmera estratéga com opções a ser consderada é a straddle modfcada Esta estratéga é formada a partr da compra de duas opções de compra européas e de duas opções de venda européas com o mesmo preço de eercíco X, com a mesma data de epração, referentes a uma ação que na maturdade das opções tenha um preço S A estratéga em questão é aproprada para nvestdores que esperam movmento sufcentemente grande (que supere o custo de montagem da estratéga) no preço da ação para mas ou para menos (HULL, 2005) Se S < X, então o payoff das opções de compra será nulo, pos será vantagem não eercer as calls Por sua vez, o payoff proporconado pelas opções de venda será 2 ( X S ) de forma que as opções de venda serão eercdas Portanto, o payoff total será 2 ( X S ) odava, se S > X, então o payoff das opções de compra será 2 ( S X ), pos será vantajoso eercer as calls Já as opções de venda acarretarão um payoff nulo, pos será melhor não eercê-las Portanto, o payoff total será 2 ( S X ) A últma possbldade que pode ocorrer é X = S, neste caso o payoff será nulo, pos será ndferente eercer as opções ou não A partr do eposto acma, pode-se sntetzar o payoff obtdo pela estratéga straddle Ma 2 X S, 2 S X modfcada como sendo { ( ) ( )} Sejam c e p os preços das opções de compra (call) e venda (put), respectvamente Consderando o custo da estratéga straddle modfcada, que é 2 c + 2 p e o valor do dnhero no tempo ajustado pela a taa de juros r, pode-se calcular o payoff líqudo trazdo a valor presente, a saber: { 2( X S ),2( S X )} e 2( c p) π straddle = Ma + (1) A segunda estratéga que fará parte da análse é a modfcada, a qual consste na compra de uma opção de compra européa e três opções de venda européa, todas com o 3

4 mesmo preço de eercíco X, com datas de vencmento e subjacentes à mesma ação de preço na maturdade gual a S A estratéga modfcada é nteressante para nvestdores que esperam grandes osclações no preço da ação com mas probabldade de queda do que de alta Se S < X, então o payoff da opção de compra será nulo, pos será vantajoso não eercê-la e o payoff das três opções de venda será 3 ( X S ) Portanto, o payoff total será 3 ( ) Caso S > X, então o payoff da opção de compra será S X, pos ela será X S eercda e o payoff das três opções de venda será nulo, não será convenente eercê-las Logo, o payoff total para este caso será S X Para o caso em que X = S, o payoff será nulo para todas as opções, o eercíco das opções ou não, será ndferente Portanto, o payoff proporconado pela estratéga modfcada será Ma{ 3 ( X S ), S X } Ao consderar o custo da estratéga modfcada, que é c + 3p, e o valor do dnhero no tempo ajustado pela a taa de juros r, pode-se calcular o payoff líqudo trazdo a valor presente, o qual será: { 3 ( X S ), S X } e ( c + p) π = Ma 3 (2) A últma estratéga que será analsada neste trabalho é a modfcada, na qual o nvestdor compra três opções de compra européa e uma opção de venda européa, todas com o mesmo preço de eercíco X, com datas de vencmento guas a e atreladas à mesma ação com preço na maturdade em gual a S Esta estratéga é convenente para o nvestdor que espera grandes varações no preço da ação com mas probabldade de alta do que de baa Se S < X, então o payoff das três opções de compra serão nulos, pos elas epraram sem valor e o payoff da opção de venda será X S, logo a put será eercda Portanto, o payoff total será X S Para o caso S > X, o payoff proporconado pelas opções de compra será 3 ( S X ) e o payoff da opção de venda será nulo, não sendo vantajoso eercer a put Logo, o payoff total será 3 ( S X ) Fnalmente, no caso em que X = S, o payoff será nulo para todas as opções, eercer ou não as opções será ndferente Portanto, o payoff da estratéga modfcada será gual a Ma{ X S, 3( S X )} Para calcular o retorno líqudo trazdo a valor presente da estratéga, faz-se necessáro a nclusão do custo de montagem dela, a saber, 3 c + p Logo, o payoff líqudo trazdo a valor presente da estratéga modfcada é: { X S,3( S X )} e ( 3c p) π = Ma + (3) 3 Modelagem a partr da teora dos jogos evoluconáros para opções A teora dos jogos convenconal parte da premssa que todos os agentes são raconas e capazes de entender plenamente as repercussões de suas escolhas de estratégas Por sua vez, a teora dos jogos evoluconáros parte do prncípo de que os agentes em um dado ambente de nteração estratégca não são capazes de avalar planamente tas repercussões, buscando a melhor estratéga por tentatva e erro (processo de aprendzagem) em um ambente de nteração estratégca que co-evolu com este processo de aprendzagem (WEIBULL, 1995) 4

5 Como destaca Vega-Redondo (1996), a dstrbução de estratégas (fenótpos) numa dada população é determnada, num modelo evoluconáro, pelas forças de seleção, heredtaredade e mutação A teora dos jogos evoluconáros se fundamenta em modelos dnâmcos, como a dnâmca de replcação, por meo dos quas são estudadas as formas como evoluem as freqüêncas com que certo número de estratégas são utlzadas numa determnada população no decorrer do tempo Enfm, uma manera de formalzar uma dnâmca evoluconára é como uma dnâmca de replcação A dnâmca de replcação é uma epressão formal da coneão entre as taas de varação das freqüêncas das estratégas numa população e os dferencas de payoffs, que representa a atuação das forças da seleção em um dado ambente de nteração estratégca A dnâmca de replcação em tempo contínuo pode ser dervada como segue Consdere uma população sufcentemente grande de uma dada espéce, na qual os ndvíduos dsputam aos pares, formados aleatoramente, algum recurso escasso necessáro para a sua sobrevvênca O desempenho de um(a) certo(a) fenótpo(estratéga) será vsto(a) no aumento da proporção que ele(a) se manfesta na população Suponha-se que os conjuntos de fenótpos(estratégas) que cada um dos ndvíduos de uma população pode apresentar(adotar) são guas Haverá, então, um únco conjunto de fenótpos(estratégas) comum, denotado por S = { s1, s2,, s f }, sendo s o(a) -ésmo(a) fenótpo(estratéga) A renovação da população ocorrerá de forma que os p ( t) membros da população nascem smultaneamente em t, vvem por um período τ > 0 e morrem smultaneamente em t +τ, deando p ( t +τ ) descendentes com o mesmo fenótpo Isso sgnfca que não estrão gerações sobrepostas e a reprodução é asseuada O payoff será meddo pelo grau de aptdão (ftness) assocado a cada fenótpo (estratéga), ou seja, pelo número de descendentes deados em t + τ pelos ndvíduos que possuíam o fenótpo do tpo s em t, o qual será a medda para o desempenho do seu comportamento em termos de seleção natural O payoff de um(a) fenótpo(estratéga) rá depender da dstrbução de fenótpos(estratégas) ( t) = ( 1( t), 2( t),, f ( t) ) na população, sendo (t) a fração de ndvíduos na população que apresentam (adotam) o fenótpo (a estratéga) s Mas precsamente, se π é a méda do número de descendentes deados por um ndvíduo com fenótpo s, então podemos escrever π como uma função desta dstrbução, ou seja, π ( () t ) para todo = 1,2,, f Sejam π ( ( t) ) o payoff médo da população de ndvíduos e & = d / dt a taa de varação nstantânea da proporção de ndvíduos com fenótpo Com base nestas condções e de acordo com a demonstração desenvolvda em Slvera (2001), a equação de uma dnâmca de replcação em tempo contínuo é dada por: ( t + τ ) ( t) & lm = [ π ( () t ) π ( () t )] () t, com = 1,2,, f 1 τ 0 τ Da equação acma, percebe-se que a varação da fração de ndvíduos que apresentam (adotam) o fenótpo (a estratéga) s será postva ou negatva a depender da dferença entre o payoff do fenótpo (da estratéga) s, π ( ( t) ), e o payoff médo da população, π ( ( t) ) A equação dferencal ordnára (4) é a dnâmca de replcação em tempo contínuo No que segue, adapta-se esta formalzação da teora dos jogos evoluconáros à modelagem da nteração entre as estratégas descrtas na subseção 22 em uma população de nvestdores com comportamento adaptatvo (4) 5

6 31 Interação estratégca em um mercado de opção européa como uma dnâmca de replcação em tempo contínuo Com os payoffs determnados na subseção 22 e com o modelo de dnâmca de replcação em tempo contínuo apresentado no níco desta seção, passa-se agora à análse da dnâmca de um mercado de opção européa com opções com preço de eercíco X e prazo de vencmento, atrelada a uma ação que não dstrbu dvdendos cujo preço em seja S Sendo que a opção de compra tem preço gual a c e a opção de venda tem preço gual p Esta dnâmca será modelada como um jogo evoluconáro, no qual a populardade de uma estratéga de nvestmento dependerá do seu retorno (payoff) relatvo ao retorno médo Para não sobrecarregar o teto, daqu adante referr-se-á as estratégas straddle modfcada, modfcada e modfcada, apenas por straddle, e, 0,1 a proporção de nvestdores que adotam a estratéga respectvamente Sejam [ ] em um dado nstante t, [ 0,1] a proporção de nvestdores que utlzam a estratéga no mesmo nstante t e, portanto, straddle = 1 a proporção daqueles que optam pela estratéga straddle nesse mesmo momento t A partr da dnâmca de replcação (4), a evolução da dstrbução de estratégas = (,, straddle) é defnda pelo segunte sstema de equações dferencas ordnáras: & & = [ π = [ π ( ) π ( )] ( ) π ( )] (5) no qual π é o payoff da estratéga, π o payoff da estratéga e π ( ) = π + π + (1 ) π straddle o payoff médo da população de nvestdores O espaço de estados deste sstema é a projeção do smple untáro 3 Δ = { R+ : + + straddle = 1} no espaço eucldano bdmensonal, ou seja, o 2 conjunto Θ = {(, ) R+ : Δ}, representado na Fgura 1 Cabe salentar, que este conjunto é fechado, de manera que os pontos pertencentes à sua frontera são estados economcamente sgnfcatvos, nos quas há etnção de uma estratéga 6

7 Fgura 1 Projeção do smple untáro Δ A partr da equação (1), (2), (3) e (5) após algumas manpulações algébrcas, a segunte dnâmca de replcação é obtda: & & = = (1 ( [( X S ) e ( p c) ] ) )[( X S ) e ( p c) ] Esta dnâmca de replcação defne a transção de estado da dstrbução de estratégas, parametrzada pelo vetor de parâmetros ( X, S, r,, p, c) Na próma seção tornar-se-á endógena a dferença de preços p c e, em seguda, será feta uma análse da dnâmca evoluconára com preços endógenos 32 Demandas por puts e calls O termo p c, que aparece nas duas equações do sstema (6), é a dferença entre os preços de uma opção de venda européa e de uma opção de compra européa, ambas com mesmo prazo de vencmento e preço de eercíco X É razoável supor que tal dferença de preços vare em função da demanda relatva entre puts e calls de um determnado atvoobjeto Um nvestdor que adota a estratéga demanda três puts e uma call Num dado momento há, em undades de população, agentes adotando a estratéga, tal que as demandas (normalzadas) por put e call dessa subpopulação de nvestdores serão 3 e, respectvamente Por sua vez, um nvestdor que opta pela estratéga rá comprar apenas uma opção put e três calls, de manera que as demandas por put e call dessa subpopulação serão e 3, respectvamente Fnalmente, um agente que escolhe a estratéga straddle compra duas puts e duas calls e, portanto, a respectva subpopulação acaba demandando = 2(1 ) undades de put e a mesma medda de call 2 straddle, (6) 7

8 Consderando as demandas por put e call de cada subpopulação, as demandas totas e por puts e calls serão, respectvamente, ( ) ( 1 ) Com as demandas determnadas, pode-se calcular a sua dferença entre as demandas e por put e call, ou seja, tomando a dferença entre ( ) ( 1 ), o que se chega: d ( ) (7) 2 Note que d [ 2,2], pos [0,1] e [0,1] Admtr-se-á que a dferença entre os preços das opções put e call é uma função contínua e estrtamente crescente da dferença entre as demandas por put e call, ou seja: p c = φ( d ), com ( ) > 0 φ e φ ( 0) = 0 (8) Como os nvestdores que optam pela estratéga straddle demandam as mesmas quantdades de put e call, se as frações de ndvíduos adotando as estratégas e são guas, então os preços da put e da call deveram ser guas Em outros termos, se =, então, por (7), d = 0 e, portanto, p = c, por (8) Já quando a dferença entre as frações de ndvíduos adotando as estratégas e aumentam, o hato entre os preços da put e da call deve crescer Em outras palavras, quando a proporção de ndvíduos adotando a estratéga cresce a demanda por opções tpo put aumenta, o que elevará seu valor em relação às opções tpo call Por sua vez, quando a proporção da população de ndvíduos que optam pela estratéga aumenta a demanda por call cresce, fazendo subr seu valor relatvo 33 Análse da dnâmca evoluconára com preços endógenos Reescrevendo o sstema (6), fazendo ψ d) ( X S ) e φ( d ) (, tem-se: & & = = (1 ( ) ψ ( d) ) ψ ( d) (9) Analsar-se-á, prmeramente, a estênca de estados de equlíbro do sstema (9), ou seja, de pontos (, ) tas que & = & = 0 O sstema (9) apresenta três equlíbros de estratéga pura, ou seja, com sobrevvênca de uma únca estratéga Com efeto, suponha-se, sem perda de generaldade, que ψ ( d) 0 Logo, & = 0 se, e somente se, = 0 ou 1 + = 0 Smlarmente, & = 0 se, e somente se, = 0 ou 1 + = 0 Portanto, combnando duas a duas estas quatro condções, deduz-se os seguntes equlíbros de estratéga pura: ( 0,0), ( 0,1) e ( 1,0) No prmero, ( 0,0), sobrevve apenas a estratéga straddle ( straddle = 1) No segundo, ( 0,1), só a estratéga sobrevve ( = 1) Fnalmente, no equlíbro ( 1,0) somente a estratéga sobrevve ( = 1) Estes equlíbros são os vértces da projeção Θ do smple untáro Δ, vde Fgura 1 8

9 Além dos equlíbros de estratéga pura dentfcados anterormente, o sstema (9) apresenta um contnuum de equlíbros de estratéga msta, ou seja, pontos de equlíbros nos quas há sobrevvênca de pelo menos duas estratégas Para demonstrar esta asserção, cabe ncalmente notar que as condções 1 + = 0 e 1 + = 0 defnem mplctamente duas retas paralelas no plano eucldano, que ntersecconam o espaço de estados Θ em apenas dos pontos, a saber, nos vértces ( 1,0) e ( 0,1), respectvamente Estes vértces, como já demonstrado, são equlíbros de estratéga pura Logo, sem perda de generaldade, supor-se-á que e Consdere o sstema (9) Suponha que = 0 Logo, se estr um equlíbro de estratéga msta, então (0,1) neste equlíbro Sob tal premssa, & = 0 se, e somente se, ψ ( d) = 0 Analogamente, suponha que = 0 Neste caso se houver um equlíbro de estratéga msta, então nesse equlíbro ter-se-á (0,1), tal que & = 0 se, e somente se, ψ ( d) = 0 Fnalmente, se > 0 e > 0 em um equlíbro de estratéga msta, então & = & = 0 se, e somente se, ψ ( d) = 0 Portanto, para provar a estênca de um equlíbro de estratéga msta deve-se demonstrar que este um ponto (, ) tal que ψ ( d) = 0 Suponha-se que o hato entre o preço de eercíco da opção e o valor futuro do atvoobjeto seja lmtado, mas precsamente, que φ ( 2) < ( X S ) e < φ( 2) Com base nesta premssa pode-se demonstrar que este um, e somente um, d ( 2,2) tal que ψ ( d ) = 0 ψ ( d) X S e φ d, se vale as desgualdades Com efeto, consderando (8) e que ( ) ( ) φ ( 2) < ( X S ) e < φ( 2), nfere-se que: ( X S ) e φ( 2) 0 e ψ ( 2) = ( S ) e φ( 2) < 0 ψ ( 2) = > X (10) Como φ (d) é suposta contínua no ntervalo [ 2,2] e ( X S ) e é uma constante eogenamente determnada, segue que ψ (d) é contínua no ntervalo [ 2,2] Portanto, pelo teorema do valor ntermedáro, este um valor d ( 2,2) tal que ψ ( d ) = 0 Ademas, desde que φ (d) é estrtamente crescente em d, nfere-se que ψ (d) é estrtamente decrescente em d, propredade que garante a uncdade de d Consderando (7), um ponto, ) será um equlíbro de estratéga msta se satsfazer a condção d = 2( ) ( Logo, a ntersecção do espaço de estados com a segunte equação de reta defne o locus de equlíbros de estratéga msta: d = 2 (11) Em outros termos, o contnuum de equlíbros de estratéga msta é o conjunto {(, ) Θ : d = 2( )} Nas três seções abao será analsada a dnâmca evoluconára orunda da teora dos jogos evoluconáros de todas as possíves relações entre o preço de eercíco de um opção, X, e o preço do atvo subjacente à opção na data de epração, S 9

10 331 Prmero caso X > S Suponha-se que as varáves eógenas, o preço de eercíco de uma opção, X, e o preço do atvo subjacente à opção na data de epração, S, satsfazem a relação X > S Neste caso, deve-se ter φ ( d ) > 0 para que ψ ( d ) = 0, o que mplca que d > 0 Sob a premssa X > S, o contnuum (11) no estado de espaços é uma reta postvamente nclnada que corta o eo das abscssas em d / 2 Determnados os equlíbros da dnâmca de replcação (9), passar-se-á à determnação das propredades de establdade do campo vetoral defndo por esta dnâmca no espaço de estados Θ, anda sob a hpótese de que X > S ratar-se-á, prmeramente, das fronteras deste espaço O que segue está representado geometrcamente no dagrama de fase na Fgura 2 Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se, consderando o sstema (9), que & = 0 e & ( 1+ ) ψ ( 2 ) < 0, pos 1 + < 0 e = ψ ( 2) = ( X S ) e φ( 2) > 0 Neste caso, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga pura ( 0,0) se o mercado ncasse em um ponto da frontera em análse Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se & = 0 Anda nesta frontera, tem-se & ( 1 ) ψ (2 ) > 0 se 0 < < d / 2 e & < 0 para = d / 2 < < 1 Isto decorre do fato de que ψ (d) é estrtamente decrescente e ψ ( d ) = 0 Logo, se o mercado ncasse sem a estratéga, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga msta (, ) = ( d / 2,0) Fnalmente, na frontera {(, ) Θ : 0 < < 1,0 < < 1, + = 1} tem-se & = & = 2 (1 ) ψ (4 2) Portanto, para 0 < < (2 + d ) / 4 tem-se & > 0 e & < 0 Já para (2 + d ) / 4 < < 1 tem-se & < 0 e & > 0 Logo, se o mercado partr de qualquer ponto da frontera em análse, a dnâmca evoluconára converge assntotcamente, ao longo desta frontera, para o equlíbro (, ) = ((2 + d ) / 4,(2 d ) / 4) Determnadas as propredades de establdade nas fronteras do espaço de estados Θ, resta determnar as setas dreconas no nteror deste espaço Consderando o sstema (9), os snas das velocdades & e & no nteror de Θ dependem dos produtos ( 1 + ) ψ ( d) e ( 1 + ) ψ ( d), respectvamente Note que, eceto no ponto ( 1,0), tem-se que 1 + > 0 em qualquer ponto de Θ Analogamente, eceto no ponto ( 0,1), tem-se 1 + < 0 em qualquer ponto de Θ Com relação ao snal da magem de ψ (d), cabe lembrar que nos pontos pertencentes ao contnuum de equlíbros de estratéga msta {(, ) Θ : d = 2( )} temse d = d e, portanto, ψ ( d) = 0 ao longo da reta (11) Como d < d em qualquer ponto no nteror de Θ localzado acma da reta (11), ou seja, no subespaço: Θ s = {(, ) Θ: d 2( ) < d,(, ) (0,0),(, ) (0,1)} (12) 10

11 ψ ( φ > Então, para todo ponto em Θ tem-se 1 + > 0, 1 + < 0 e ψ ( d) > 0, tal que & > 0 e & < 0 Segue que φ ( d ) < 0 e, portanto, d) ( X S ) e ( d ) 0 s Com base em uma análse absolutamente smétrca, pode-se conclur que em qualquer ponto no nteror de Θ localzado abao da reta (11), ou seja, no subespaço: Θ = {(, ) Θ: d 2( ) > d,(, ) (1,0)} (13) tem-se & < 0 e & > 0 Fgura 2 Dagrama de fase do sstema (9) com X > S Em termos econômcos, acma da reta (11) há uma predomnânca relatva da estratéga, tal que a demanda por call é relatvamente maor do que a demanda por put Isto faz com que a dferença entre o preço da put e o preço da call seja nferor à dferença de equlíbro ( d < d ) Isto gera um decrescmento da fração de ndvíduos adotando a estratéga, acompanhado de um crescmento da fração de ndvíduos que adotam a estratéga Na stuação oposta, ou seja, abao da reta (11), haverá mas ndvíduos do que, o que rá gerar maor demanda por put do que de call, desta forma a dferença entre o preço da put e o preço da call torna-se superor à dferença de equlíbro ( d > d ), provocando um crescmento da fração de ndvíduos adotando a estratéga Conclu-se, enfm, que os vetor de velocdades no nteror do espaço de estados Θ geram resultantes que apontam para o contnuum de equlíbros Assm, para qualquer condção ncal pertencente ao nteror do espaço de estados Θ, a dnâmca evoluconára convergrá assntotcamente para o conjunto {(, ) Θ : d = 2( )} Isso sgnfca que para qualquer dstrbução de estratégas na qual haja frações estrtamente postvas de nvestdores adotando as estratégas, e straddle a dnâmca evoluconára convergrá para um equlíbro de estratéga msta A eata dstrbução de estratégas que emergrá dependerá sensvelmente das condções ncas, ou seja, a dnâmca do mercado em análse apresenta a propredade de path dependence 11

12 O dagrama de fase na Fgura 2 permte etrar algumas conclusões adconas Para os casos de estratégas puras, o prmero equlíbro possível é quando = 1, ou seja, quando não há ndvíduos adotando a estratéga e nem a estratéga straddle Este equlíbro será nstável, consttundo-se num repulsor local Este equlíbro é vulnerável à nvasão das estratégas ou straddle, pos nvestdores que passarem a adotar uma dessas estratégas consegurão obter maores recompensas do que nvestdores adotando a estratéga, já que X > S O segundo equlíbro de estratéga pura é aquele no qual todos adotam a estratéga ( = 1) Esse equlíbro também é um repulsor local À prmera vsta, sto parece pouco ntutvo já que X > S No entanto, pode-se eplcar tal nstabldade como segue Se houver uma população na qual todos os agentes adotam a estratéga, a demanda por puts será relatvamente maor em comparação a demanda por calls, sso causará uma elevação no preço das puts, de forma que o custo da estratéga não compensará o retorno bruto Portanto, uma população composta por agentes que adotam uncamente a estratéga estará sujeta à nvasão da estratéga e, prncpalmente, da estratéga straddle, as quas proporconarão maores payoffs do que a estratéga, de forma a dmnur o tamanho relatvo da subpopulação de ndvíduos adotando a estratéga O últmo equlíbro de estratéga pura ocorre quando todos os nvestdores adotam a estratéga straddle, ou seja, = = 0 Esse equlíbro é localmente nstável, pos a estratéga straddle estará sujeta a qualquer ndvíduo mutante que a nvada, pos s terão maores retornos do que os straddles, de forma a aumentar a população de s Em suma, os equlíbros de estratéga pura não são estratégas evoluconaramente estáves 332 Segundo caso X < S Realzar-se-á agora uma segunda análse de equlíbros e establdade consderando que as varáves eógenas X e S obedeçam a relação X < S, ou seja, o preço de eercíco das opções sejam menores do que o preço da ação na maturdade das opções Sob tal premssa, o dferencal de preços das opções put e call no equlíbro é negatvo, pos deve-se ter φ ( d ) < 0 para que ψ ( d ) = 0 Quando X < S o contnuum de equlíbros sofre um deslocamento para cma no estado de espaços Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se & = 0 Ademas, & = ( 1+ ) ψ ( 2 ) > 0 se 0 < < d / 2 e & < 0 para d / 2 < < 1, pos ψ (d) é estrtamente decrescente e ψ ( d ) = 0 Logo, se o mercado ncasse sem a estratéga, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga msta (, ) = (0, d / 2), como representado na Fgura 3 Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se & = 0 e & = ( 1 ) ψ (2 ) < 0, pos 1 > 0 e ψ ( 2 ) = ( X S ) e φ( 2 ) < 0, pos φ ( 2 ) > 0 Assm, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga pura ( 0,0) se o mercado ncasse em algum ponto desta frontera Na últma frontera {(, ) Θ : 0 < < 1,0 < < 1, + = 1} tem-se & & = 2 (1 ) ψ (4 2) Portanto, para 0 < < (2 + d ) / 4 tem-se = 12

13 & > 0 e & < 0 Já para (2 + d ) / 4 < < 1 tem-se & < 0 e & > 0 Logo, se o mercado ncar em qualquer ponto pertencente a frontera em análse, a dnâmca evoluconára converge assntotcamente, ao longo desta frontera, para o equlíbro (, ) = ((2 + d ) / 4,(2 d ) / 4) Como já destacado, os snas das velocdades & e & no nteror de Θ dependem dos produtos ( 1 + ) ψ ( d) e ( 1 + ) ψ ( d), respectvamente Como analsado anterormente, eceto no ponto ( 1,0), tem-se que 1 + > 0 em qualquer ponto de Θ Analogamente, eceto no ponto ( 0,1), tem-se 1 + < 0 em qualquer ponto de Θ Com respeto à magem ψ (d), sabe-se que nos pontos pertencentes ao contnuum de equlíbros {(, ) Θ : d = 2( )} tem-se d = d e, portanto, ψ ( d) = 0 ao longo da reta (11) Como d < d em qualquer ponto no nteror de Θ localzado acma da reta (11), ou seja, no subespaço Θ s, segue que φ ( d ) < ( X S ) e < 0 e, portanto, ψ ( d) ( X S ) e φ( d ) > 0 Então, para todo ponto em Θ s tem-se 1 + > 0, 1 + < 0 e ψ ( d) > 0, tal que & > 0 e & < 0 Para os pontos no nteror de Θ localzado abao da reta (11), ou seja, no subespaço Θ, tem-se φ ( d ) > ( X S ) e, de manera que ψ ( d) ( X S ) e φ( d ) < 0 Portanto, tem-se & < 0 e & > 0 Conclu-se, que os vetor de velocdades no nteror do espaço de estados Θ têm resultantes que apontam para o contnuum de equlíbros Desta forma, para qualquer condção ncal pertencente ao nteror do espaço de estados Θ, o sstema convergrá assntotcamente para o conjunto {(, ) Θ : d = 2( )} O dagrama de fase que representa geometrcamente o caso X < S é mostrado na Fgura 3 Quando X < S, relatvamente ao caso anteror X > S, os equlíbros de estratéga msta são caracterzados por uma proporção relatvamente maor de ndvíduos adotando a estratéga do que a estratéga Isso acontece devdo ao fato de que a estratéga proporcona maor payoff do que a estratéga, desde que X < S No entanto, a prevalênca só de não ocorre, devdo ao aumento no preço da call, o que torna menos atratva a 13

14 Fgura 3 Dagrama de fase do sstema (9), quando X < S 333 ercero caso X = S Por fm, o últmo caso possível que pode ocorrer é X = S, o que mplca ψ ( d ) = φ ( d ) Nesta stuação os equlíbros de estratégas mstas serão obtdos quando φ ( d ) = 0, sto acontecerá apenas se d = 0 (sso pela própra defnção da funçãoφ ) Logo, d = 2( ) se, e somente se = Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se & = 0 e & = ( 1 ) ψ (2 ) < 0, pos 1 > 0 e ψ ( 2 ) = φ ( 2 ) < 0 Logo, se o mercado ncasse sem a estratéga, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga pura (, ) = (0,0) Na frontera {(, ) Θ : = 0,0 < < 1} tem-se & = 0 e & = ( 1+ ) ψ ( 2 ) < 0, pos 1 + < 0 e ψ ( 2 ) = φ ( 2 ) > 0 Portanto, se o sstema ncasse sem a estratéga, a dnâmca evoluconára convergra para o equlíbro de estratéga pura (, ) = (0,0) Na frontera {(, ) Θ : 0 < < 1,0 < < 1, + = 1} tem-se & = & = 2 (1 ) ψ (4 2) Portanto, para 0 < < 1 tem-se & > 0 2 e & < 0, e para 1 < < 1 2 tem-se & < 0 e & > 0 Logo, se o mercado ncar em qualquer ponto pertencente a frontera em análse, a dnâmca evoluconára converge assntotcamente, ao longo desta frontera, para o equlíbro (, ) = (1 2,1 2) Com as propredades de establdade nas fronteras determnadas no espaço de estados Θ, falta determnar as setas dreconas no nteror deste espaço Sabe-se que, eceto no ponto ( 1,0), tem-se que 1 + > 0 em qualquer ponto de Θ Analogamente, eceto no ponto ( 0,1), tem-se 1 + < 0 em qualquer ponto de Θ 14

15 No subespaço Θ s que se encontra acma da reta =, tem-se que ψ ( d) = φ ( d ) > 0 Então, desde que para todo ponto em Θ s tem-se 1 + > 0, 1 + < 0 e ψ ( d) > 0, segue que & > 0 e & < 0 Analogamente, pode-se conclur que em qualquer ponto no nteror de Θ localzado abao da reta =, ou seja, no subespaço Θ, tem-se & < 0 e & > 0 O dagrama de fase que representa geometrcamente o caso Fgura 4 adante X = S é mostrado na Fgura 4 Dagrama de fase do sstema (9), quando X = S Conclu-se, a partr do descrto acma, que para qualquer regão onde o sstema (9) nce, ele segurá para o contnuum de equlíbros que agora contém também a estratéga pura ( 0,0) odava, se o mercado partr de uma stuação na qual há ndvíduos jogando cada uma das três estratégas, ou seja, de um estado ncal pertencente ao nteror de Θ, a dnâmca evoluconára não convergrá para ( 0,0) O padrão de establdade dos equlíbros são guas nos casos X > S, X < S e X =, ou seja, o sstema converge para a reta que contém o contnuum de equlíbros S 4 Consderações fnas Demonstrou-se que a dnâmca evoluconára converge, para qualquer condção ncal caracterzada pela presença das três estratégas, para um equlíbro de estratéga msta e, com medda não nula, para um equlíbro de estratéga msta sem etnção de estratéga A eata dstrbução de estratégas que emergrá dependerá sensvelmente das condções ncas, ou seja, a dnâmca do mercado em análse apresenta a propredade de path dependence Bblografa ASSAF NEO, A Mercado Fnancero 6ª ed São Paulo: Atlas,

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