Didaticamente, o estudo da mecânica é dividido em Cinemática (escalar, vetorial e angular), dinâmica e estática. CINEMÁTICA

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1 MECANICA O homem sempre procurou explicações para os fenômenos ocorridos na natureza, desde a Antiguidade, principalmente no que diz respeito à explicação para os movimentos dos corpos. Talvez por isso, a mecânica seja considerada o ramo de estudo mais antigo da Física. Pensadores famosos como Aristóteles, Galileu e Ptolomeu foram alguns dos que estiveram na busca por explicações sobre os movimentos, além de serem os responsáveis pelo estabelecimento de muitas das leis que hoje conhecemos. Sendo assim, a mecânica é a parte da Física que analisa o estado de movimento e de repouso dos corpos, ou seja, é esta parte que procura responder questões como: o que é movimento? Como fazer para alterar o movimento de um corpo?,etc. Didaticamente, o estudo da mecânica é dividido em Cinemática (escalar, vetorial e angular), dinâmica e estática. CINEMÁTICA A cinemática é a divisão da mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas, ou seja, iremos analisar o deslocamento de uma partícula, o tempo levado para ocorrer este deslocamento, com que velocidade esta partícula o percorreu e a sua aceleração sem em momento algum perguntar o que o causou. Para que iniciemos o estudo da cinemática, se torna necessário que estabeleçamos alguns conceitos básicos. 1-Móvel É muito comum no desenvolvimento teórico ou no enunciado de um exercício, falarmos em corpos que estão associados ao nosso cotidiano, como o movimento de um carro ou de um outro corpo qualquer. Muitas vezes, como não há necessidade de se especificar qual é o corpo que está em movimento o chamamos genericamente de móvel. Sendo assim, o móvel é o objeto principal de estudo da cinemática, sobre o qual analisamos o estado de repouso ou de movimento. Quanto as suas dimensões, este móvel pode ser classificado em: a)corpo extenso Móvel cujas dimensões não podem ser desprezadas. Em relação as vagas do estacionamento, as dimensões dos carro não podem ser desprezadas Para um corpo extenso, a distancia percorrida corresponde a soma do tamanho do trajeto percorrido com a dimensão do móvel. Ex: Se um trem de 100m atravessa uma ponte de 250m, a distancia percorrida durante esta travessia é de 350m.

2 b) Ponto material Corpo cujas dimensões podem ser desprezadas durante o estudo do fenômeno. Quando estudamos o movimento de um corpo, muitas vezes é necessário levarmos em conta o seu comprimento, a sua largura e a sua altura. Porém, em certos casos, essas dimensões (comprimento, largura e altura) são muito pequenas em relação ao percurso que esse corpo vai descrever; aí então, desprezamos essas dimensões e consideramos o corpo como se fosse um ponto material. Ponto portanto vem da dimensão desprezível, e material porque tem matéria, ou seja, a massa não pode ser desprezada Aa terra em translação, pode ser considerá-la um ponto material, pois seu tamanho não é importante em relação à extensão de sua órbita. Para um móvel considerado um ponto material, a distancia percorrida corresponde somente a dimensão da trajetória. Ex: Se um carro com dimensão de 4m fizer o percurso de 50 km entre duas cidades A e B,, ele pode ser considerado um ponto material, porque seus 4 m de comprimento tornam-se desprezíveis se comparados aos m de percurso. c)referencial Para descrever o estado de repouso ou de movimento de um corpo, o observador deve definir um sistema de referência ou referencial em relação ao qual o móvel será analisado. Sendo assim, definimos referencial como sendo um ponto ou um corpo tomado como referência para o estudo do estado de movimento ou de repouso do móvel. Podemos então concluir que um corpo a noção de movimento ou repouso depende do referencial ou seja: Dizemos que um corpo se encontra em movimento em relação a um determinado referencial sempre que a sua posição se modificar no decorrer do tempo, e que este corpo se encontra em repouso, sempre que a sua posição for a mesma no decorrer do tempo, em relação a um referencial. Note na figura a seguir que o passageiro no interior do ônibus está em repouso em relação ao ônibus,ao motorista,e aos outros passageiros, porque a sua posição em relação a eles é sempre a mesma. Já em relação ao observador fixo na Terra, tal passageiro está em movimento, porque sua posição muda com o decorrer do tempo. Como Cinemática a não

3 estuda as causas dos movimentos, servindo então para ela qualquer referencial. Assim, se o referencial for o Sol, a Terra gira ao seu redor, e se o referencial for a Terra, o Sol gira ao seu redor. d)trajetória É a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo. A trajetória então indica o caminho percorrido pelo móvel durante o seu movimento Ex: As marcas deixadas pelos esquis de um esquiador em movimento, que representa o caminho percorrido pelo esquiador em relação a uma pessoa parada no solo. Na figura,os pontos P1, P2, P3,... representam as sucessivas posições ocupadas pela bola durante o seu movimento A trajetória depende do referencial adotado. A lâmpada que se destaca do teto de um vagão cai de forma retilínea em relação ao vagão e, ao mesmo tempo, apresenta trajetória parabólica em relação aos trilhos. De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes: - movimento retilíneo: a trajetória é uma reta - movimento curvilíneo: a trrajetória é uma curva

4 e)posição ou espaço (S) Indica a localização de um objeto em certo instante em relação a um determinado referencial. Representado pela letra s, é a medida algébrica, ao longo de uma determinada trajetória, da distância do ponto onde se encontra o móvel a origem dessa trajetória. Vale ressaltar que a posição apenas localiza o corpo dentro de uma trajetória sem informar necessariamente nada a respeito do movimento do corpo.por exemplo, se alguém disser que viu um carro no marco 50Km de uma estrada, não significa dizer que este carroandou 50Km, ou ainda, se a pessoa não informar não se pode afirmar qual o sentido do seu movimento ( nem se está em movimento). Ex: S 1 =-70 km e S 2 = 50 km f) Deslocamento (ΔS) A posição de um móvel pode variar em referencial ao referencial, e a essa variação de posição chamamos deslocamento. O deslocamento de um móvel é representado por ΔS (lê- se: "delta s") e corresponde à localização que o móvel ocupa no final do movimento (posição final s) menos sua posição no início do movimento (posição inicial S 0 ). ) 0 ) 0 Obs: 1- O deslocamento escalar é uma grandeza algébrica, portanto pode ser positiva, negativa ou nula, e não deve ser confundido com a distância efetivamente percorrida. Por exemplo, quando o móvel se desloca a favor da orientação da trajetória, o deslocamento escalar é positivo ( S > 0); quando se desloca contra a orientação da trajetória, é negativo. ( S < 0). 2-Se o móvel voltar ao ponto de partida através de uma trajetória fechada, sem inverter o sentido de seu movimento, então S não será nulo e sim igual à distância percorrida. Por exemplo, numa corrida de fórmula 1 a pista corresponde a uma trajetória fechada e ao completar uma volta teremos S = distância efetivamente percorrida.

5 g)distancia percorrida (d) É todo o caminho efetivamente percorrido pelo móvel. Matematicamente pode ser determinado pela soma dos módulos dos deslocamentos parciais do móvel. T 0-12 Km T T Km Km Observe que na figura acima, o deslocamento do corpo é S = 8 (-12) = 20 km E a distancia percorrida é d= 12 -(-12) = 28 km Obs :O deslocamento e a distancia são iguais em trajetórias retilíneas, em uma única direção e no sentido do movimento h) Velocidade escalar Grandeza que indica a rapidez com que um móvel percorre uma trajetória. Pode ser classificada em média e em instantânea. - Velocidade escalar média (Vm) É possível calcular a velocidade média desses corredores? Para explicar o significado da velocidade escalar média, vamos dar o seguinte exemplo: um carro parte às 8 horas da manhã de uma cidade A que está situada no km 150 de uma outra cidade B chegando nesta as 11 horas. Com estes dados podemos calcular qual foi a velocidade média do carro. Mas, este carro mantém a mesma velocidade durante todo o percurso?sabemos que ao trafegar por um determinado percurso, um automóvel qualquer geralmente varia sua velocidade, quer seja aumentando-a para ultrapassar um veículo mais lento ou até mesmo reduzindo-a ao passar por um posto de vigilância rodoviária. Sendo assim, a velocidade média nos dá uma visão de qual foi a velocidade que o móvel manteve na maioria do seu percurso. A velocidade média é definida matematicamente,pela razão entre a distancia percorrida e o intervalo de tempo gasto neste percurso, independentemente se durante todo o trajeto o móvel esteve sempre em movimento.ou seja, é a distancia total percorrida pelo tempo total gasto. d

6 A unidade de medida da velocidade média, no Sistema Internacional de Unidades (SI), é o m/s, porém existem outras como o cm/s e o km/h. As relações entre elas são as seguintes: Isto é: para converter de m/s para cm/s, devemos multiplicar o valor da velocidade por 100, e se a conversão for de cm/s para m/s, basta dividir o valor por 100. Já para converter de m/s para km/h basta multiplicar o valor da velocidade por 3,6, se for necessário o contrário, ou seja, transformar de km/h para m/s, basta dividir o valor da velocidade por 3,6, conforme o esquema acima. Como exemplo, suponha um carro efetuando um deslocamento escalar de 45 km num intervalo de tempo de 0,50 h. A sua velocidade escalar média neste percurso corresponde a: d V m = 45 / 0,5 = 90 Km/h = 25 m/s -Velocidade escalar instantânea A cada dia que passa o homem busca se mover cada vez mais rápido. Recentemente a china anunciou a construção de um trem que irá se mover a aproximadamente 300 km/h. Mas o que significa velocidade de 3000 km/h? Dentro dos conceitos físicos, esse valor expressa que um móvel sofrerá um deslocamento de 300 km em uma hora caso mantenha constante essa velocidade. O valor de 300 km refere-se ao deslocamento do móvel e hora (h) é uma unidade de medida de tempo. Dessa forma, podemos concluir que a velocidade de um móvel mostra o deslocamento por ele descrito numa unidade de tempo. Vamos supor que em uma viagem entre duas cidades, esse trem desenvolve velocidades variadas. Em cada instante, seu velocímetro registrará essas diferentes velocidades, que serão chamadas de velocidades instantâneas. Velocidade escalar instantânea Ex: Imagine-se dirigindo um carro em uma viagem. A partir de certo instante, você olha para o velocímetro e para o relógio e começa a anotar as velocidades indicadas no decorrer do tempo. Suponha que os valores anotados sejam os da tabela abaixo: Para cada instante podemos associar um valor para a velocidade do automóvel.portanto, para cada valor indicado pelo velocímetro num dado instante denominamos velocidade escalar instantânea. A determinação da velocidade escalar instantânea é feita a partir da velocidade escalar média, fazendo-se o intervalo de tempo ( t) tender a zero. Assim, escrevemos:

7 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Quando conceituamos a velocidade, vimos que no nosso dia a dia são comuns os movimentos em que o seu valor algébrico varia. Mas, e se esta velocidade se mantiver constante, que movimento é este? Quando a velocidade é constante dizemos que o movimento é uniforme, ou seja, o móvel irá percorrer a mesma distancia para o mesmo intervalo de tempo. Inicialmente falaremos deste tipo de movimento em trajetória retilínea (M.R.U.) e mais tarde trataremos de trajetórias circulares (M.C.U.). A figura a seguir representa um movimento uniforme, em trajetória retilínea, com velocidade escalar constante de 4 m/s. Observe que a cada 1 s o móvel cumpre deslocamentos escalares iguais de 4 m. Sendo assim, sabendo que no movimento uniforme a variação da velocidade é igual a zero, pois a velocidade final é igual à velocidade inicial, concluímos que a aceleração é constante e igual a zero. Obs. No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média. Movimentos progressivos e retrógrados O movimento de um corpo é dito progressivo quando o móvel se movimenta a favor da trajetória tendo seus espaços aumentando com o tempo (V>0) e retrógrado ou regressivo, que quando o móvel se movimenta contra a trajetória, e seus espaços diminuem com o tempo em relação ao referencial (V<0) Obs. Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade serve apenas para indicar o sentido do movimento e dizer se o movimento é progressivo ou retrógrado. A função Horária do Movimento Uniforme Vimos que no movimento uniforme a velocidade escalar é constante e coincide com a velocidade escalar média em qualquer instante. Como matematicamente, a velocidade escalar média pode ser expressa por:

8 Onde: ΔS é a variação de posição do móvel, ΔS = S S o ; Δt é a variação do tempo, Δt = t t o. Temos que: Fazendo tempo inicial igual a zero, to= 0, temos a função horária do movimento uniforme. S = S o + Vt Essa função do primeiro grau é chamada de função horária da posição. Através dela podemos determinar qual a posição de um móvel num determinado instante. Velocidade relativa Consideremos duas partículas A e B movendo-se em uma mesma trajetória e com velocidades escalares V A e V B, de forma que podem se mover no mesmo sentido ou em sentidos opostos. Podemos observar que existe uma velocidade entre elas, ou seja, que uma das partículas possui uma velocidade em relação à outra (tomada como referência) chamada de velocidade relativa (V REL ) e o seu módulo é calculado como relatamos a seguir. O que fazemos na realidade é tomar uma das partículas como referencia e considerá-la parada e a outra em movimento se afastando ou se aproximando desta. Veja os exemplos: a)móveis no mesmo sentido b)móveis em sentidos opostos Exercício resolvido Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. O eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede? t=2,5 s v=340 m/s Aplicando a equação horária do espaço, teremos: S = S0 +v.t, mas o eco só será ouvido quando o som "ir e voltar" da parede S = 2S. Então:

9 Posição de encontro Considere dois móveis A e B se movimentando em uma mesma trajetória simultaneamente em sentido opostos ou em mesmo sentido. O encontro entre o móvel A e o móvel B ocorrerá quando eles estiverem na mesma posição. Ou seja: SA = SB. Sendo assim, para determinarmos a posição de encontro de dois móveis, devemos igualar as equações horárias determinando deste modo o instante de encontro, e então substituir este instante em qualquer das equações. Obs. Quando substituímos o instante de encontro nas equações horárias dos móveis, não encontramos quanto cada móvel se deslocou em relação a posição inicial.se assim o quisermos, basta multiplicar sua velocidade escalar pelo instante de encontro Exemplos: 1) Dois automóveis, A e B, movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido. Suas velocidades escalares têm módulos respectivamente iguais a 15 m/s e 10 m/s. No instante T=0, temos as suas posições conforme a figura abaixo. Determine: a) o instante em que A alcança B; Primeiro encontramos as funções horárias de cada móvel. S A = S 0A + v A.t e S B = S 0B + v B.t S A = t e S B = t Para determinar o instante que A encontra B basta igualar as funções S A = S B t = t 15t 10t = 100 5t = 100 Portanto, t = 20 s. b) Qual a posição de encontro? Para encontrarmos a posição de encontro, basta substituir o valor do tempo, encontrado no item anterior na função horária do espaço do móvel A ou do móvel B. Assim: S A = e S B = t S A = 300 m e S B = 300m

10 2)Dois carros movem-se em movimento uniforme, um de encontro ao outro. Suas velocidades escalarem têm módulos 12 m/s e 8 m/s, respectivamente. No instante t = 0 os carros ocupam as posições indicadas na figura: Primeiro escolheremos um móvel como referencial. No nosso exemplo escolheremos o móvel A. A seguir, orientamos a trajetória de A para B e adotamos a origem dos espaços na posição inicial A. A resolução deste problema é semelhante ao anterior. a) Escreva as funções horárias do espaço de A e B. As funções horárias de A e B são: S A = t e S B = 200 8t. Aqui a velocidade de B é 8 porque o carro move-se no sentido contrário ao da orientação da trajetória. b) Determine o instante do encontro Igualando as funções horárias dos espaços. S A = S B 12.t = t 12.t + 8t = t = 200 t = 10 s Portanto, o instante em que os carros se encontram é 10 s. c) A que posição ocorre o encontro? Para determinarmos a posição,vamos substituir o valor do tempo na equação do espaço do carro A( lembre que se fosse a equação de B o resultado seria o mesmo). S A = 12.t S A = S A = 120 m Temos assim que os carros se encontram a 120 m da posição inicial A

11 3) (ESPM-SP) Dois colegas estão numa praça circular cujo diâmetro vale 60 m, conforme o esquema. Os dois resolvem caminhar, partindo de A, e um deles segue o diâmetro AC enquanto o outro segue o contorno ABC. Se os dois caminham com velocidade de 1,0 m/s, aquele que segue o contorno passando pelo ponto B chega ao ponto C com atraso em relação ao colega. Considerando = 3,1, esse atraso, em segundos é igual a: a) 27 b) 33 c) 67 d) 73 e) 93 Solução: Encontrando a função horária do espaço daquele que caminha pela trajetória ABC: S ABC = S0 + v A.t A distância percorrida por essa pessoa é igual à metade do comprimento da circunferência. Como o comprimento da circunferência é dado por C = 2πR, a metade desse comprimento é: S ABC = πr Assim: πr = t1 3,1.30 = t1 t1 = 93 s O tempo gasto para aquele que percorre o diâmetro de 60 m é de: S AC = S0 + v.t2 60 = t2 t2 = 60 s. Portanto, a diferença entre os tempos é de: t1 t2 = t1 t2 = 33 s Fonte dos exercícios : - Por Marina Cabral

12 Gráficos do movimento uniforme 1- Gráfico S x T A equação horária das posições no movimento uniforme S = S 0 + v.t é uma função de 1º grau, sendo representada graficamente por uma reta, no sistema de coordenadas cartesianas, em relação ao eixo dos tempos. Para v > 0 a função é crescente, assim o gráfico pode ter a forma abaixo, sendo que a posição inicial pode se encontrar ainda a partir do zero(s 0 =0) ou abaixo do eixo(s 0 <0) MOVIMENTO PROGRESSIVO Para v < 0 a função é decrescente, e a representação gráfica da função pode ser: MOVIMENTO RETRÓGRADO Podemos observar através dos gráficos apresentados que: S 0 corresponde ao coeficiente linear da reta (intersecção com eixo OY) V corresponde ao coeficiente angular da reta ou inclinação da reta Como o coeficiente angular de uma reta é determinado pela tangente do ângulo que esta reta faz com a direção horizontal, podemos determinar a partir desta a velocidade escalar. Acompanhe o exemplo: S T Como o coeficiente angular é dado pela tg, e tg = V calculamos graficamente a velocidade por: V = S/ T

13 Exercício resolvido. A partir do gráfico abaixo que indica como varia a posição de um móvel com o tempo, determine a velocidade do corpo. Sabemos então que a posição inicial será a posição S 0 = 50m quando o tempo for igual a zero. Também sabemos que a posição final S=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo: 2-Gráfico V x T Como no movimento uniforme a velocidade escalar é constante, o gráfico da velocidade em função do tempo é um reta paralela ao eixo t, podendo apresentar as duas formas seguintes: a) Para v > 0(movimento progressivo) b) Para V< 0 (movimento retrógrado) A partir deste gráfico, Pode-se calcular a variação de espaço ocorrida em um intervalo de tempo, calculando-se a área abaixo da reta obtida (área hachurada na figura), que é a área de um retângulo. Sendo assim, S = área

14 Exercício resolvido Determine a partir do gráfico abaixo, a velocidade escalar média do corpo V S 3 6 S 2 S T Calculam-se primeiro as áreas dos retângulos a) entre 0s e 2s S 1 = 3 x 5 S 1 = 18 m b) entre 2s e 15 s S 2 = 12 x 12 S 2 = 144 m c) entre 15s e 30s S 3 = 25 x 20 S 3 = 500 m Como V m = S/ t V m = 662 /40 V m = 16,55 m/s

15 MOVIMENTO VARIADO (M.R.V.) São os movimentos em que o módulo da velocidade do móvel varia de maneira aleatória, ou seja, a aceleração do corpo tem módulo variável. Para estes movimentos, nos cursos de segundo grau se determina a aceleração escalar média Aceleração escalar média (a m ) A variação da velocidade de um móvel depende de uma grandeza chamada aceleração. Para calcular a aceleração média de um móvel devemos aplicar a seguinte expressão matemática: a m = V t Onde: V = variação de velocidade, velocidade final menos velocidade inicial. t = variação do tempo Unidades: S.I (M.K.S.) C.G.S. outros m/s 2 cm/s 2 Km/h 2 ; Km/h/s,etc. Exercícios resolvidos 1-Ao caçar, um guepardo - partindo do repouso - atinge uma velocidade de 72 Km/h em 2 segundos. Qual a sua aceleração média nesse intervalo de tempo? Como ele parte do repouso, temos: V o = 0 Km/h V = 72Km/h t 0 = 0 s t =2 s a m = 72 / 2 a m = 36 Km/h por s 2-Durante um trecho da corrida, um carro de fórmula 1 aumenta sua velocidade de 100 Km/h para 262 Km/h, fazendo isso em 4 segundos. Qual a sua aceleração média neste trecho? v o = 100 Km/h v = 260 Km/h t o = 0 s t = 4 s v= ( ) v=162km/h = 45 m/s a m = 45/ 4 a m = 11,25 m/s 2

16 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) São os movimentos em que o módulo da velocidade varia de maneira uniforme, ou seja, em intervalos de tempos iguais ocorrem iguais variações de velocidades. Dizemos então que a aceleração do móvel tem módulo constante e diferente de zero. Observe a figura abaixo: A cada 1s de movimento, a velocidade do carro varia de 5m/s, sendo assim dizemos que a aceleração foi de 5m/s 2 No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar por ser constante, é igual a aceleração escalar média. CLASSIFICAÇÃO DO MUV a) Movimento acelerado uniformemente - O módulo da velocidade escalar aumenta ao longo do tempo. Velocidade e aceleração escalares têm sentidos e sinais iguais. Podem ser de dois tipos movimento progressivo acelerado v>0 e a >0 movimento retrógrado acelerado v<0 e a<0 b) Movimento retardado uniformemente - O módulo da velocidade escalar diminui no decurso do tempo. Velocidade e aceleração escalares têm sentidos e sinais contrários. Podem ser: movimento progressivo retardado v>0 e a <0 movimento retrógrado retardado v<0 e a>0 Equações do M.U.V. 1-Função horária da velocidade Vamos considerar um ponto material em movimento uniformemente variado, conforme a figura abaixo. V o V. Estando o móvel em movimento uniformemente variado temos a seguinte equação horária: Adotando o tempo inicial nulo temos: A expressão acima é uma função horária da velocidade escalar no MUV. Através dela,conhecendo a velocidade inicial do móvel e sua aceleração escalar, podemos determinar a velocidade escalar do móvel em um determinado instante t.

17 2-Função horária das posições A partir da equação anterior podemos representar graficamente essa velocidade em função do tempo, obtendo uma reta oblíqua aos eixos. Como já foi visto, o deslocamento escalar ΔS pode ser obtido por meio da área, no gráfico da velocidade em função do tempo: No gráfico acima temos: Sendo v = v0 + a.t, a expressão anterior passa a ser: Que finalmente resulta em: Exemplo: Suponhamos que um automóvel com velocidade escalar inicial de 10 m/s, acelere a 1m/s 2 constantemente. A distância percorrida nos seis primeiros segundos é igual a: A questão forneceu a velocidade inicial V 0 = 10 m/s, a aceleração a=1m/s 2 e o intervalo de tempo t = 6 s. Agora basta usar a função horária dos espaços e determinar, assim, o valor do espaço percorrido pelo móvel durante os seis primeiros segundos.

18 3-Equação de Torricelli Evangelista Torricelli deduziu uma equação para encontrar a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado sem conhecer o intervalo de tempo em que este permaneceu em movimento. Esta equação pode ser deduzida a partir das equações horária das posições e da velocidade conforme mostraremos a seguir. Vimos que: e que Da primeira equação temos : S - S o =v o.t +a.t 2 /2 donde S = v o.t +a.t 2 /2 (eq.1).pegando a equação da velocidade e elevando ao quadrado ficamos com ; (v) 2 =( v o + a.t) 2 v 2 =v v o.a.t+a 2.t 2 podemos então usar o seguinte artifício matemático v 2 =v a(v o.t+a.t 2 ) (eq.2) 2 Substituindo a eq. 1 na eq.2 temos que: Obs.Esta equação é conveniente nas situações em que não temos o tempo nem queremos este tempo Exemplo: 1-(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm? Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli. Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m) A partir daí, é possível calcular o tempo gasto:

19 Gráficos do M.U.V. 1- Gráfico S x t Conforme vimos, A função horária dos espaços no MUV é uma função do 2º grau dada por Por ser do 2º grau, a representação gráfica da função é uma parábola, cuja equação geral é dada por y = ax 2 +bx+c Da matemática então percebemos que o termo a que na função horária é a aceleração, indica a concavidade, então: 1) Para a > 0 Esse gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a aceleração é maior do que zero (a > 0). Assim, se a velocidade for menor do que zero (v < 0), o movimento é retardado e se a velocidade for maior do que zero (v > 0), o movimento é acelerado. No vértice temos v =0 o que significa que houve inversão do sentido do movimento. 2) Para a < 0 Nesse caso a parábola tem concavidade voltada para baixo, pois a aceleração é menor do que zero (a < 0). Se a velocidade for menor do que zero (v < 0), o movimento é acelerado. Se a velocidade for maior do zero (v > 0), o movimento é retardado.

20 Exercício resolvido 1-Para um móvel que parte do repouso, temos o gráfico que indica como sua posição varia em função do tempo. Determine a função horária que melhor representa o movimento do móvel. Fonte:

21 2-Gráfico v x t Vimos que a função horária da velocidade é uma função do 1º grau, representada por: v = v 0 + a.t Sendo assim, o gráfico v x t é representado por uma reta. 1) Para a > 0, o gráfico é uma reta crescente 2) para a < 0 é representado por uma reta decrescente A partir do gráfico podemos analisar também o tipo de movimento, observe: V a > 0 V V>0 (progressivo acelerado) (progressivo retardado) V < 0 (retrógrado retardado) t t (retrógrado acelerado)

22 A partir do gráfico Vxt, é possível descobrir o módulo da aceleração: Veja que assim como fizemos no gráfico Sxt do MU, vamos extrair a tangente da reta(inclinação) Tgθ = ΔV/Δt Ou seja, como: a = ΔV/Δt Tgθ = a No gráfico Vxt, a inclinação é a aceleração Conforme vimos no gráfico V x T do movimento uniforme, o deslocamento escalar é determinado pela área da região entre a reta e o eixo horizontal. Veja: S = área do trapézio Exemplo: 1-O gráfico da velocidade em função do tempo de um ponto material é dado na figura a seguir. Determine a aceleração nos intervalos: a) t=0s a t=5s, b) t=5s a t=10s, c) t=10s a t=15s.

23 Fonte :

24 3- Gráfico a x t Como a aceleração é constante no MUV, o gráfico a x t corresponde a uma reta paralela ao eixo do tempo: 1) Se a > 0 temos: 2- Se a < 0 temos: a a t t E que informação podemos extrair do gráfico axt? Vejamos o gráfico abaixo: a a t t A área em questão é a do retângulo formado no intervalo de tempo Área = base x altura Área = (t2 t1).(a-0) Área = Δt.a (1) Entretanto, pela definição de aceleração temos que: a = ΔV/Δt donde tiramos que : ΔV = Δt.a (2) Substituindo (1) em (2), temos Área = ΔV No gráfico axt a área debaixo da curva é a variação da velocidade

25 EXERCÍCIOS 01.Um móvel percorre uma distancia de 1200 m em 4 min. Qual a sua velocidade escalar media em m/s? 02.Uma partícula percorre 30 m com velocidade escalar media de 36 km/h. Em quanto tempo faz este percurso? 03.(UFAC) Um carro com uma velocidade de 80 km/h passa pelo km 240 de uma rodovia às 7 h 30 min. A que horas este carro chegará à próxima cidade, sabendo-se que a mesma está situada no km 300 dessa rodovia? 04.Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 100 km é percorrido com velocidade media de 50 km/h, e o segundo trecho de 90 km, com velocidade média de 60 km/h. Que velocidade media deve ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto? 05.A velocidade escalar média de um automóvel é de 80 km/h no primeiro trecho de seu percurso e 60 km/h no trecho restante. Os trechos são percorridos no mesmo intervalo de tempo. Qual é a velocidade escalar média durante todo o percurso? Ela é a média aritmética das velocidades escalares medias em cada trecho do percurso? 06.Um trem com comprimento 200 m gasta 20 s para atravessar um túnel de comprimento 400 m. Determine a velocidade escalar media do trem. 07.(Cesgranrio-RJ) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo leva para percorrer um trecho de 400 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo de 80 km/h a velocidade limite permitida, qual deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser multado? 08.(FUVEST-SP) Diante de uma agencia do INSS há uma fila de aproximadamente 100 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram, durante 30 s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie: a) o numero de pessoas que entraram na agencia; b) o comprimento da fila que restou ao lado de fora. 09.(Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 350 km da capital, as 11 h 30 min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h. a) Qual é a velocidade média, em km/h no trajeto São Paulo-Jaboticabal? b)em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí-Campinas? 10.A velocidade escalar média de um móvel de um automóvel até a metade de seu percurso é 90 km/h e na outra metade restante é 60 km/h. Determine a velocidade escalar média no percurso total. Ela é a média aritmética das velocidades escalares médias em cada trecho do percurso?

26 11.A velocidade média de um automóvel que durante os primeiros 150 km de viagem deslocou-se a 50 km/h e nos 700 km seguintes a 100 km/h, é: a) 55 km/h b) 60 km/h c) 65 km/h d) 85 km/h e) 70 km/h 12.Num passeio promovido pelo Jeep Clube de Minas Gerais, o navegador recebe uma planilha onde se diz que um trecho de 10km deve ser percorrido à velocidade média de 30km/h. Se o veículo iniciar o trajeto às 11h00min, ele deverá chegar ao final do referido trecho às: a) 11h30 min b) 11h10 min c) 12h40 min d) 11h20 min e) 14h00 min 13.Um automóvel parte de Curitiba com destino a Cascavel com velocidade de 60km/h. 20 minutos depois parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo destino à velocidade 80km/h. Depois de quanto tempo o 2 automóvel alcançará o 1? a) 90 min b) 56 min c) 60 min d) 70 min e) 80 min 14.Um carro faz uma viagem de 200km a uma velocidade média de 40km/h. Um segundo carro, partindo 1 hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade média do segundo carro? a) 45 km/h b) 50 km/h c) 55 km/h d) 60 km/h e) 80 km/h 15.Uma família viaja de carro com velocidade constante de 100 km/h, durante 2 h. Após parar em um posto de gasolina por 30 min, continua sua viagem por mais 1h 30 min com velocidade constante de 80 km/h. A velocidade média do carro durante toda a viagem foi de: a)80km/h. b)100km/h. c)120km/h. d)140km/h. e)150km/h. 16.Uma escada rolante de 6 m de altura e 8 m de base, transporta uma pessoa da base até o topo da escada num intervalo de tempo de 20 s. A velocidade média desta pessoa, em m/s, é: a) 0,3 b) 0,5 c) 0,7 d) 0,8 e) 1,0

27 17. (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos consecutivos a uma velocidade ascendente constante de 0,5 m/s, conforme mostrado na figura. Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10 segundos para ir de B até A, pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, foi em m/s igual a: a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 18.(PUC-MG) Um homem, caminhando na praia, deseja calcular sua velocidade. Para isso, ele conta o número de passadas que dá em um minuto, contando uma unidade a cada vez que o pé direito toca o solo, e conclui que são 50 passadas por minuto. A seguir, ele mede a distância entre duas posições sucessivas do seu pé direito e encontra o equivalente a seis pés. Sabendo que três pés correspondem a um metro, sua velocidade, suposta constante, é: a) 3 km/h b) 4,5 km/h c) 6 km/h d) 9 km/h e) 10 km/h 19. (PUC-MG) Quando navega a favor da correnteza, um barco desenvolve 40 km/h; navegando contra, faz 30 km/h. Para ir de A até B, pontos situados na mesma margem, gasta três horas menos que na volta. A distância entre A e B é de: a) 360 km b) 420 km c) 240 km d) 300 km e) 180 km 20. (FMU) Você vai para a faculdade com a velocidade média de 30 km/h e volta com a velocidade média de 20 km/h. Para ir e voltar gastando o mesmo tempo, sua velocidade média deveria ser a) 25 km/h b) 50 km/h c) 24 km/h d) 10 km/h e) 48 km/h

28 21. (PUC-PR) Um automóvel percorre um certo trecho com velocidade escalar média de 40 km/h e depois volta pelo mesmo trecho com velocidade escalar média de 60 km/h. Sua velocidade escalar média no trajeto de ida e volta foi, em km/h, igual a: a) 48 b) zero c) 40 d) 50 e) (PUC-PR) Um automóvel parte de Curitiba com destino a Cascavel com velocidade de 60 km/h. 20 minutos depois parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo destino à velocidade 80 km/h. Depois de quanto tempo o 2 automóvel alcançará o 1? a) 60 min b) 70 min c) 80 min d) 90 min e) 56 min 23. (UFPE) um atleta caminha com uma velocidade de 150 passos por minuto. Se ele percorrer 7,20 km em uma hora, com passos de mesmo tamanho, qual o comprimento de cada passo? a) 40,0 cm b) 60,0 cm c) 80,0 cm d) 100 cm e) 120 cm 24. (UFCE) Dois veículos, A e B, se movem ao longo de uma estrada horizontal e reta e suas posições variam com o tempo conforme o gráfico mostrado abaixo. Sobre o movimento de A e B podemos afirmar: a) no instante de tempo t = t_o as velocidades dos dois veículos são iguais; b) A e B percorrem uma mesma distância entre os instantes t = 0 e t =t_o ; c) no instante de tempo t = t_o A e B encontram-se igualmente afastados da posição x = 0; d) no instante de tempo t = t_o a aceleração de A é maior do que a aceleração de B; e) em qualquer instante de tempo a velocidade de B é maior do que a velocidade de A.

29 25. (UFRRJ) Maurice Greene, o homem mais rápido do Planeta. Ex-vendedor de hambúrguer bate o recorde mundial dos 100 metros em Atenas. Não faz muito tempo, Maurice Greene era um dos muitos adolescentes americanos que reforçavam o orçamento familiar vendendo hambúrgueres em Kansas City, sua cidade. Mas ele já corria desde os 8 anos e não demorou a descobrir sua verdadeira vocação. Trocou a lanchonete pela pista de atletismo e ontem se tornou o homem mais rápido do planeta ao vencer os 100 metros do meeting de Atenas, na Grécia, estabelecendo um novo recorde mundial para a prova. Greene, de 24 anos, correu a distância em 9s 79, superando em cinco centésimos de segundo a marca anterior (9s 84), que pertencia ao canadense Dono Van Bailey desde a final olímpica de Atlanta, em julho de Jamais um recordista conseguira tal diferença desde a adoção da cronometragem eletrônica, em GLOBO: 17 de junho de Com base no texto acima, pode-se afirmar que a velocidade média do homem mais rápido do planeta é de aproximadamente a) 10,21 m/s. b) 10,58 m/s. c) 10,62 m/s. d) 10,40 m/s. e) 10,96 m/s. 26. (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea, conforme as funções horárias: s A = t e s B = 90 10t, sendo a posição s em metros e t em segundos. No instante t = 0, a distância, em metros, entre os móveis era de: a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) (PUC-RS) O instante de encontro, em segundos, entre os móveis A e B do exercício anterior foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) (UEL-PR) Duas cidades A e B distam entre si 400 km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B e, no mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os pontos P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são, em módulo, 30 km/h e 50 km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale: a) 120 b) 150 c) 200 d) 240 e) 250

30 29. (FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para uma marcha de exercícios às 5 horas da manhã, ao passo de 5 km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança sai do quartel de jipe para levar uma informação ao comandante da marcha, ao longo da mesma estrada e a 80 km/h. Quantos minutos a ordenança levará para alcançar o batalhão? a) 11 min b) 1 min c) 5,625 min d) 3,5 min e) 6 min 30. (UNIP-SP) Uma rua EF é reta e tem 4,0 km de comprimento. Um carro A, com velocidade constante de módulo 20 m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F e outro carro B, com velocidade constante de módulo 25 m/s, parte de F indo para E, 20 s depois da partida de A. Com relação a este enunciado podemos afirmar que os carros A e B se cruzam: a) 44 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade E. b) 80 s após a partida de B no ponto médio da rua EF. c) 100 s após a partida de B num ponto mais próximo da extremidade E. d) 100 s após a partida de A num ponto mais próximo da extremidade F. e) 89 s após a partida de A. 31. (Vunesp-SP) Um trem e um automóvel caminham paralelamente e no mesmo sentido, num trecho retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem. Desprezando-se o comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem tem 100 m de comprimento, determine a distância que o automóvel percorre desde que alcança o trem até o instante que o ultrapassa. 32. (Fuvest-SP) Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades escalares constantes v A = 100 km/h e v B = 80 km/h, respectivamente. a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A? b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B? 33. (AFA) Considere dois veículos deslocando-se em sentidos opostos, numa mesma rodovia. Um tem velocidade escalar de 60 km/h e o outro de 90 km/h, em valor absoluto. Um passageiro, viajando no veículo mais lento, resolve cronometrar o tempo decorrido até que os veículos se cruzem e encontra o intervalo de 30 segundos. A distância, em km, de separação dos veículos, no início da cronometragem, era de: a) 0,25 b) 1,25 c) 2,0 d) 2,5 34. (ITE-PR) Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida, podemos afirmar que a distância inicial entre os mesmos era de: a) 250 m b) 500 m c) 750 m d) 900 m

31 35. (FCC-SP) Dois trens (A e B) movem-se em trilhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalares dos trens são constantes e de módulos iguais a 30 km/h. Cada trem mede 100 m de comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um observador no trem B vê passar o trem A? 36.Um carro viaja com velocidade de 90 km/h (ou seja, 25m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na sua pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carro percorre 15m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0m/s, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo, a) 15 m. b) 31,25 m. c) 52,5 m. d) 77,5 m. e) 125 m. 37.A função horária da posição s de um móvel é dada por s=20+4t-3t 2, com unidades do Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema, a função horária da velocidade do móvel é a) v = -16 3t b)v = -6t c) v =4 6t d) v =4 3t e) v =4 1,5t 38.Um trem em movimento está a 15m/s quando o maquinista freia, parando o trem em 10s. Admitindo aceleração constante, pode-se concluir que os módulos da aceleração e do deslocamento do trem neste intervalo de tempo valem, em unidades do Sistema Internacional, respectivamente, a) 0,66 e 75 b) 0,66 e 150 c) 1,0 e 150 d) 1,5 e150 e) 1,5 e Um caminhão com velocidade de 36km/h é freado e pára em 10s. Qual o módulo da aceleração média do caminhão durante a freada? a) 0,5 m/s 2 b) 1,0 m/s 2 c) 1,5 m/s 2 d) 3,6 m/s 2 e) 7,2 m/s 2

32 40.Um objeto A encontra-se parado quando por ele passa um objeto B com velocidade constante de módulo igual a 8,0m/s. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração, de módulo igual a 0,2m/s 2, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Qual a velocidade de A quando ele alcançar o objeto B? a) 4,0 m/s b) 8,0 m/s c) 16,0 m/s d) 32,0 m/s e) 64,0 m/s 41. Em um teste para uma revista especializada, um automóvel acelera de 0 a 90km/h em 10 segundos. Nesses 10 segundos, o automóvel percorre: a) 250 m b) 900 km c) 450 km d) 450 m e) 125 m 42.Um trem de 100m de comprimento, com velocidade de 30m/s, começa a frear com aceleração constante de módulo 2m/s 2, no instante em que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O comprimento do túnel é: a) 25 m b) 50 m c) 75 m d) 100m e) 125 m 43.Um caminhão, a 72 km/h, percorre 50m até parar, mantendo a aceleração constante. O tempo de frenagem, em segundos, é igual a a) 1,4 b) 2,5 c) 3,6 d) 5,0 e) 10,0 44.Um automóvel parte do repouso no instante t=0 e acelera uniformemente com 5,0m/s, durante 10s. A velocidade escalar média do automóvel entre os instantes t=6,0s e t=10s, em m/s, foi de a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20

33 45.Um "motoboy" muito apressado, deslocando-se a 30m/s, freou para não colidir com um automóvel a sua frente. Durante a frenagem, sua moto percorreu 30m de distância em linha reta, tendo sua velocidade uniformemente reduzida até parar, sem bater no automóvel. O módulo da aceleração média da moto, em m/s 2, enquanto percorria a distância de 30m, foi de a) 10 b) 15 c) 30 d) 45 e) (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s 2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente: a) 6,0 m/s e 9,0m; b) 6,0m/s e 18m; c) 3,0 m/s e 12m; d) 12 m/s e 35m; e) 2,0 m/s e 12 m 47. (FUND. CARLOS CHAGAS) Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações móvel A: x A = ,0t e móvel B: x B = 5,0t 2, onde x A e x B são medidos em m e t em s. Pode-se afirmar que: a) A e B possuem a mesma velocidade; b) A e B possuem a mesma aceleração; c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado; d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância; e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s (MACKENZIE) Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s 2 em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absoluto, a aceleração de freada foi: a) 8,0 m/s 2 b) 6,0 m/s 2 c) 4,0 m/s 2 d) 2,0 m/s 2 e) 1,6 m/s (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s 2. A velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s é: a) zero b) 5,0 m/s c) 10 m/s d) 15 m/s e) 20 m/s

34 50. (UFPA) Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração escalar do ponto material, em m/s vale: a) 1,5 b) 1,0 c) 2,5 d) 2,0 e) n.d.a. 51. (UNIP) Na figura representamos a coordenada de posição x, em função do tempo, para um móvel que se desloca ao longo do eixo Ox. Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo das posições. No intervalo de tempo em que o móvel se aproxima de origem dos espaços o seu movimento é: a) uniforme e progressivo; b) retrógrado e acelerado; c) retrógrado e retardado; d) progressivo, retardado e uniformemente variado; e) progressivo, acelerado e uniformemente. 52. (PUCC) Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido 320cm ele passa por um andar que mede 2,85 m de altura. Quanto tempo ele gasta para passar por esse andar? Desprezar a resistência do ar e assumir g = 10 m/s 2. a) 1,0s b) 0,80s c) 0,30s d) 1,2s e) 1,5s 53. (PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual ao dobro da massa de B, são lançadas verticalmente para cima, a partir de um mesmo plano horizontal com velocidades iniciais. Desprezando-se a resistência que o ar pode oferecer, podemos afirmar que: a) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o gasto pela bola B também na subida; b) a bola A atinge altura menor que a B; c) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor que a bola A; d) as duas bolas atingem a mesma altura; e) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são maiores que os gastos nas descidas.

35 54. (UFPR) Um corpo é lançado verticalmente para cima, atinge certa altura, e desce. Levandose em conta a resistência do ar, pode-se afirmar que o módulo de sua aceleração é: a) maior, quando o corpo estiver subindo; b) maior, quando o corpo estiver descendo; c) igual ao da aceleração da gravidade, apenas quando o corpo estiver subindo; d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida; e) igual ao da aceleração da gravidade, tanto na subida quanto na descida. 55. (UCPR) Num local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2 uma pedra é abandonada de um helicóptero no instante em que este está a uma altura de 1000m em relação ao solo. Sendo 20s o tempo que a pedra gasta para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do abandono da pedra o helicóptero: (Desprezam-se as resistências passivas) a) subia b) descia c) estava parado d) encontrava-se em situação indeterminada face aos dados; e) esta situação é impossível fisicamente. 56. Unicamp 2005) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto. De acordo com o gráfico, determine: a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane. b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3m. c) A velocidade vertical de saída do solo. 57. (Ufpe 2005) A figura mostra um gráfico da velocidade em função do tempo para um veículo que realiza um movimento composto de movimentos retilíneos uniformes. Sabendo-se que em t = 0 a posição do veículo é x0 = + 50 km, calcule a posição do veículo no instante t = 4,0 h, em km.

36 58. (Unesp 2005) O gráfico na figura descreve o movimento de um caminhão de coleta de lixo em uma rua reta e plana, durante 15s de trabalho. a) Calcule a distância total percorrida neste intervalo de tempo. b) Calcule a velocidade média do veículo. 59. (Unesp 2005) Um veículo A passa por um posto policial a uma velocidade constante acima do permitido no local. Pouco tempo depois, um policial em um veículo B parte em perseguição do veículo A. Os movimentos dos veículos são descritos nos gráficos da figura. Tomando o posto policial como referência para estabelecer as posições dos veículos e utilizando as informações do gráfico, calcule: a) a distância que separa o veículo B de A no instante t = 15,0 s. b) o instante em que o veículo B alcança A. 60. (Fatec 2005) Um objeto se desloca em uma trajetória retilínea. O gráfico a seguir descreve as posições do objeto em função do tempo. Analise as seguintes afirmações a respeito dessemovimento: I. Entre t = 0 e t = 4s o objeto executou um movimento retilíneo uniformemente acelerado. II. Entre t = 4s e t = 6s o objeto se deslocou 50m. III. Entre t = 4s e t = 9s o objeto se deslocou com uma velocidade média de 2m/s. Deve-se afirmar que apenas a) I é correta. b) II é correta. c) III é correta. d) I e II são corretas. e) II e III são corretas.

37 61. Pucpr 2005) O gráfico mostra a variação da posição de uma partícula em função do tempo. Analisando o gráfico, é correto afirmar: a) É nulo o deslocamento da partícula de 0 a 15 s. b) A velocidade da partícula é negativa entre 0 e 10 segundos. c) A aceleração da partícula vale 20 m/s 2. d) A velocidade da partícula é nula no instante 10 s. e) A velocidade da partícula é constante e vale 20m/s. 62. (Pucsp 2005) O gráfico representa a velocidade em função do tempo de uma pequena esfera em movimento retilíneo. Em t = 0, a esfera se encontra na origem da trajetória. Represente corretamente os gráficos da aceleração em função do tempo e do espaço em função do tempo. 63. (Ufmg 2005) Um carro está andando ao longo de uma estrada reta e plana. Sua posição em função do tempo está representada neste gráfico: Sejam va, vb e vc os módulos das velocidades do carro, respectivamente, nos pontos A, B e C, indicados nesse gráfico. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que