Estudo de Escoamentos Turbulentos em torno de um Corpo Rombudo de Superfície Hidraulicamente Lisa ou Rugosa Utilizando o Método de Vórtices Discretos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TESE DE DOUTORADO Estudo de Escoamentos Turbulentos em torno de um Corpo Rombudo de Superfíce Hdraulcamente Lsa ou Rugosa Utlzando o Método de Vórtces Dscretos Autor: Alex Mendonça Bmbato Orentador: Prof. Dr. Luz Antono Alcântara Perera Co-Orentador: Prof. Ph.D. Mguel Hroo Hrata Itaubá, 4 de Agosto de 01

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TESE DE DOUTORADO Estudo de Escoamentos Turbulentos em torno de um Corpo Rombudo de Superfíce Hdraulcamente Lsa ou Rugosa Utlzando o Método de Vórtces Dscretos Autor: Alex Mendonça Bmbato Orentador: Prof. Dr. Luz Antono Alcântara Perera Co-Orentador: Prof. Ph.D. Mguel Hroo Hrata Curso: Doutorado em Engenhara Mecânca Área de Concentração: Dnâmca dos Fludos e Máqunas de Fluxo Tese submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca como parte dos requstos para obtenção do Título de Doutor em Engenhara Mecânca. Itaubá, Agosto de 01 M.G. Brasl

3 Fcha catalográfca elaborada pela Bbloteca Mauá Bblotecára Crstane N. C. Carpntero- CRB_6/170 B611e Bmbato, Alex Mendonça Estudo de escoamentos turbulentos em torno de um corpo rombudo de superfíce hdraulcamente lsa ou rugosa utlzando o método de vórtces dscretos. / por Alex Mendonça Bmbato. -- Itaubá (MG) : [s.n.], p.: l. Orentador : Prof. Dr. Luz Antono Alcântara Perera. Coorentador : Prof. Dr. Mguel Hroo Hrata. Tese (doutorado) Unversdade Federal de Itaubá. 1. Modelo de superfíce rugosa.. Modelo submalha. 3. Aerodnâmca de corpos rombudos. 4. Método de panés. 5. Método de vórtces dscretos. I. Perera, Luz Antono Alcântara, orent. II. Hrata, Mguel Hroo, coorent. III. Unversdade Federal de Itaubá. IV. Título.

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TESE DE DOUTORADO Estudo de Escoamentos Turbulentos em torno de um Corpo Rombudo de Superfíce Hdraulcamente Lsa ou Rugosa Utlzando o Método de Vórtces Dscretos Autor: Alex Mendonça Bmbato Orentador: Prof. Dr. Luz Antono Alcântara Perera Co-Orentador: Prof. Ph.D. Mguel Hroo Hrata Composção da Banca Examnadora: Prof. Dr.-Ing. Sergo Vçosa Möller UFRGS Prof. Dr. Sérgo Sad Mansur FEIS/UNESP Prof. Dr. Erck de Moraes Frankln UNIFEI Prof. Dr. Marcelo José Pran UNIFEI Prof. Ph.D. Mguel Hroo Hrata (Co-Orentador) FAT/UERJ Prof. Dr. Luz Antono Alcântara Perera (Orentador) UNIFEI Prof. Dr. André Garca Charello (Presdente) UNIFEI

5 Dedcatóra Dedco este trabalho à Deus e à mnha querda famíla.

6 Agradecmentos Agradeço aos meus pas, Jar e Nancy, por propcarem, desde a mnha nfânca, um ambente famlar seguro, de estímulo ao estudo e por me ncentvarem em todos os momentos, prncpalmente nas adversdades. Ao meu rmão, Erc, que através de conversas telefôncas agradáves fez com que város das dfíces se tornassem um pouco mas alegres. Ao Professor Luz Antono Alcântara Perera, pela amzade, orentação clara, segura, obetva e pela mensa dsposção em audar. Agradeço-o, anda, pela oportundade de convver em um ambente de pesqusa saudável, composto por alunos de graduação, mestrado e doutorado, com os quas muto pude aprender. Ao Professor Mguel Hroo Hrata, pela amzade, pelo seu contagante espírto centífco e pela sua ndspensável partcpação no desenvolvmento deste trabalho, deslocando-se com frequênca de Resende (RJ) para Itaubá (MG), com o ntuto de acompanhar meus estudos mas de perto. Meu muto obrgado ao amgo Carlos Adrano Corrêa Rbero, por estar sempre dsposto a audar-me nos problemas envolvendo as ferramentas da nformátca. A todos os colegas do Laboratóro Computaconal de Métodos de Partículas do IEM/UNIFEI. Ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq), pelo apoo fnancero, através da concessão de uma bolsa de doutorado.

7 Sábo é aquele que conhece os lmtes da própra gnorânca Sócrates

8 Resumo BIMBATO, A. M. (01), Estudo de Escoamentos Turbulentos em torno de um Corpo Rombudo de Superfíce Hdraulcamente Lsa ou Rugosa Utlzando o Método de Vórtces Dscretos, Itaubá, 165p. Tese (Doutorado em Dnâmca dos Fludos e Máqunas de Fluxo) Insttuto de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Itaubá. O presente trabalho utlza smulações numércas bdmensonas na realzação de um estudo detalhado sobre estruturas de esteras e dnâmca de escoamentos ao redor de um clndro crcular. Com base no conceto físco de que superfíces rugosas podem estmular o desenvolvmento da turbulênca nos escoamentos, é proposto um modelo de rugosdade assocado ao modelo da função estrutura de velocdade de segunda ordem adaptado ao Método de Vórtces Dscretos. O modelo submalha orgnáro de um trabalho anteror necesstou de uma correção para que os fenômenos das escalas não resolvdas da turbulênca fossem apropradamente modelados. Apresenta-se uma comparação entre os padrões de escoamentos obtdos a partr de clndros crculares de superfíce hdraulcamente lsa e de superfíce hdraulcamente rugosa, para demonstrar as potencaldades do modelo de rugosdade em smular fenômenos físcos; como exemplo, dscute-se a crse do arrasto. Outro exemplo de aplcação do modelo de rugosdade desenvolvdo analsa as característcas do escoamento ao redor de um clndro crcular estaconado nas medações de uma superfíce plana, lsa e móvel. Esta tese de doutorado contrbu mostrando que modelos bdmensonas de superfíces hdraulcamente rugosas reproduzem bem as característcas de escoamentos a altos valores do número de Reynolds. Palavras-Chave Modelo de Superfíce Rugosa, Modelo Submalha, Aerodnâmca de Corpos Rombudos, Padrões de Escoamento, Método de Panés, Método de Vórtces Dscretos.

9 Abstract BIMBATO, A. M. (01), Study of Turbulent Flows around a Smooth or a Rough Bluff Body usng the Dscrete Vortex Method, D.Sc. Thess Insttuto de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Itaubá, 165p. The present work deals wth two-dmensonal numercal smulatons to study wake structures and flow dynamcs past a crcular cylnder. Based on a physcal sense that roughness surfaces can promote turbulent flows a roughness surface model assocated to the second-order velocty structure functon model adapted to Lagrangan mesh-free vortex method s proposed. The subgrd model from a prevous work needed to be corrected n order to smulate the subgrd scale phenomena approprately. A comparson between flow patterns orgnated from the smooth and rough crcular cylnders s presented to demonstrate the ablty of the roughness model to represent the physcs nvolved n ths knd of problem; the study s focused on the drag crss. As another example of the novel roughness surface model developed s analyzed the flow characterstcs past a crcular cylnder near a movng smooth ground plane. Ths thess shows that the characterstcs of hgh Reynolds number flows are well predcted by a two-dmensonal roughness model. Keywords Roughness Surface Model, Subgrd Model, Aerodynamc of Bluff Body, Flow Patterns, Panel Methods, Dscrete Vortex Method.

10 Produção Centífca a) Artgos em Revstas Indexadas BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (009a), Smulaton of Vscous Flow around a Crcular Cylnder near a Movng Ground, J. of the Braz. Soc. of Mech. Sc. & Eng., v. XXXI, n. 3, July-September, pp BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (011), Study of the vortex sheddng flow around a body near a movng ground, Journal of Wnd Engneerng & Industral Aerodynamcs, v. 99, pp BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (01a), Analyss of the Vortex Sheddng Suppresson on the Flow around a Crcular Cylnder under the Effect of a Movng Ground, Journal of Wnd Engneerng & Industral Aerodynamcs; submtted for publcaton. b) Artgos em Congressos Internaconas BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (008), Analyss of the Aerodynamc Loads n a Crcular Cylnder near a Movng Ground, 1 th Brazlan Congress of Thermal Engneerng and Scences, Proceedngs of ENCIT 008, November 10-14, Belo Horzonte, MG, Brazl. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (009b), Influence of the Wake Interference on the Vortex Sheddng Flow around a Crcular Cylnder n Ground Effect, 0 th Internatonal Congress of Mechancal Engneerng, Proceedngs of COBEM 009, November 15-0, Gramado, RS, Brazl.

11 MOURA, W. H., BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (009c), Wake Interference on the Flow around an Oscllatng Crcular Cylnder n Ground Effect, 0 th Internatonal Congress of Mechancal Engneerng, Proceedngs of COBEM 009, November 15-0, Gramado, RS, Brazl. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (010a), A Study of Boundary Layer Formaton from a Movng Flat Surface Usng Lagrangan Large Eddy Smulaton, VII Escola de Prmavera de Transção e Turbulênca, Anas da EPTT 010, 7 de setembro a 01 de outubro, Ilha Soltera, SP, Brasl. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (010b), Aerodynamcs of Bluff Body Close to a Movng Ground, 13 th Brazlan Congress of Thermal Scences and Engneerng, Proceedngs of ENCIT 010, December 05-10, Uberlânda, MG, Brazl. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (01b), Corrected Lagrangan LES Model for Vortex Method, VIII Escola de Prmavera de Transção e Turbulênca, Anas da EPTT 01, 4 a 8 de setembro, São Paulo, SP, Brasl. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (01c), On Vortex Sheddng from Smooth and Rough Bluff Body n Turbulent Flows, IUTAM Symposum n Partcle Methods n Flud Mechancs, October 15-17, Techncal Unversty of Denmark; accepted for publcaton. BIMBATO, A. M., ALCÂNTARA PEREIRA, L. A., HIRATA, M. H. (01d), Vortex Sheddng Suppresson on a Bluff Body n the Vcnty of a Movng Ground, 14 th Brazlan Congress of Thermal Scences and Engneerng, Proceedngs of ENCIT 01, November 18-, Ro de Janero, RJ, Brasl; accepted for publcaton.

12 Sumáro LISTA DE FIGURAS v LISTA DE TABELAS x SIMBOLOGIA x LETRAS LATINAS x LETRAS GREGAS xv SOBRESCRITOS xv SUBSCRITOS xv ABREVIATURAS xv SIGLAS xv CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO MOTIVAÇÕES TECNOLÓGICAS E CIENTÍFICAS 1 1. OBJETIVOS METODOLOGIA ESTRUTURA DO TRABALHO 7 CAPÍTULO : REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9.1 REGIMES DE ESCOAMENTO PARA UM CILINDRO CIRCULAR 9 IIIIIIIIIaLISO E ISOLADO. EFEITOS DA RUGOSIDADE SUPERFICIAL 16.3 O EFEITO SOLO 1.4 O MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS 6 CAPÍTULO 3: FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA GEOMETRIA E DEFINIÇÕES HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS EQUAÇÕES GOVERNANTES E CONDIÇÕES DE CONTORNO Equações Governantes 38

13 3.3. Condções de Contorno ESCOAMENTOS TURBULENTOS Fltragem das Equações Governantes A Smulação da Turbulênca ESCOAMENTOS DE FLUIDOS SOBRE CONTORNOS SÓLIDOS ADIMENSIONALIZAÇÃO DO PROBLEMA EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE A Le de Bot-Savart CARGAS FLUIDODINÂMICAS 58 CAPÍTULO 4: MÉTODO DE SOLUÇÃO: O MÉTODO DE VÓRTICES IIIIIIIIIIIIIIIDISCRETOS 4.1 DISCRETIZAÇÃO DO CAMPO DE VORTICIDADES DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADES DO IIIIIIIIESCOAMENTO: UM ENFOQUE LAGRANGIANO 4..1 Contrbução do Escoamento Incdente Contrbução das Fronteras Sóldas: O Método de Panés Geração de Vortcdade e Modelo de Rugosdade Contrbução da Nuvem de Vórtces Dscretos CÁLCULO NUMÉRICO DAS CARGAS FLUIDODINÂMICAS A CONVECÇÃO DA VORTICIDADE A DIFUSÃO DA VORTICIDADE Método de Vórtces Dscretos com Smulação de Turbulênca O Método de Avanço Randômco ALGORITMO DO MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS 9 CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE RESULTADOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA Parâmetros Relaconados com o Método Numérco Parâmetros Relaconados com o Fenômeno Físco ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR IIIIIIIIISOLADO 5..1 Clndro Crcular Hdraulcamente Lso Clndro Crcular Hdraulcamente Rugoso ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR NA IIIIIAAPRESENÇA DO EFEITO SOLO Clndro Crcular Hdraulcamente Lso

14 5.3. Clndro Crcular Hdraulcamente Rugoso CONSIDERAÇÕES FINAIS 134 CAPÍTULO 6: CONCLUSÕES E SUGESTÕES CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS 139 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14 APÊNDICE A: DISTRIBUIÇÃO DA VORTICIDADE E DA IIIIIIIIIIIIIIIIIVELOCIDADE INDUZIDA POR MODELOS DE IIIIIIIIIIIIIIIIIVÓRTICES DISCRETOS A.1 O VÓRTICE POTENCIAL 153 A. O VÓRTICE DE LAMB 156 APÊNDICE B: FLUXO DE VORTICIDADE ATRAVÉS DE UMA IIIIIIIIIIIIIIIIPAREDE

15 v Lsta de Fguras Fgura 1.1 Fgura.1 Fgura. Fgura.3 Fgura.4 Fgura.5 Fgura.6 Fgura.7 Fgura.8 Exemplos de problemas prátcos de engenhara onde os efetos da rugosdade são mportantes. Exemplos de problemas onde a forma crcular do clndro pode ser utlzada para estudo do escoamento. Vsualzação de padrões de escoamentos lamnares ao redor de um clndro crcular lso (fguras retradas de van Dyke, 198; Trtton, 1988). Varação dos componentes de pressão e de atrto do coefcente de arrasto em função do número de Reynolds ( C e C D f representam, respectvamente, os componentes de pressão e de atrto do coefcente de arrasto médo, adaptada de Ass (009). C D ) Comportamento do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal em função do número de Reynolds para um clndro crcular lso. Vsualzação de padrões de escoamentos turbulentos ao redor de um clndro crcular lso (retrado de van Dyke, 198). Esquemas de escoamentos supercrítco e transcrítco (Blevns, 1990). Comportamento do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal em função do número de Reynolds para um clndro crcular rugoso. Placas utlzadas nas extremdades do clndro crcular para tornar o escoamento aproxmadamente bdmensonal D p

16 Fgura.9 Fgura.10 (Nshno, 007). Estudos recentes envolvendo o Método de Vórtces Dscretos (Chatelan et al., 008; Gazzola et al., 011; Kamemoto, 004; Kamemoto, 009). Estudos envolvendo o Método de Vórtces Dscretos desenvolvdos no Laboratóro Computaconal de Métodos de Partículas do IEM/UNIFEI (Alcântara Perera & Hrata, 009; Moraes, 011). 7 8 v Fgura 3.1 Exemplos de corpos submetdos ao efeto solo. 35 Fgura 3. Regão fluda e defnções. 36 Fgura 3.3 Volume de controle elementar, nfntesmal e fxo. 39 Fgura 3.4 Decomposção da velocdade de uma partícula fluda em contato com uma superfíce sólda nas dreções normal e tangencal. 41 Fgura 3.5 Escoamento turbulento sobre contornos sóldos. 51 Fgura 3.6 Representação do problema admensonalzado. 55 Fgura 4.1 Processo de geração e desenvolvmento da vortcdade nos 6 casos contínuo e dscreto. Fgura 4. Representação esquemátca das dstrbuções de fontes, σ ( x), 67 sobre um corpo dscretzado em quatro panés planos, localzado nas vznhanças de uma superfíce plana móvel dscretzada em quatro panés planos. Fgura 4.3 Velocdade nduzda no ponto W ( x,y) por uma dstrbução de fontes com densdade constante, σ ( x), dstrbuída ao longo de um panel de comprmento ( x x 1 ). 68 Fgura 4.4 Geração de vortcdade: um enfoque fenomenológco. 71 Fgura 4.5 Fgura 4.6 Fgura 4.7 Geração de vórtces dscretos de Lamb nas vznhanças dos panés que dscretzam fronteras sóldas hdraulcamente lsas. Influênca da rugosdade de superfíces sóldas na determnação da atvdade turbulenta do escoamento. Geração de vórtces dscretos de Lamb nas vznhanças dos panés que dscretzam fronteras sóldas hdraulcamente rugosas em um dado nstante de tempo

17 Fgura 4.8 Efeto nercal mposto pela rugosdade de fronteras sóldas no processo de geração de vórtces dscretos de Lamb. Fgura 4.9 Comportamento da velocdade tangencal nduzda. 81 Fgura 4.10 Fgura 4.11 Vortcdade gerada a partr da superfíce dscretzada do corpo (a) sofrendo um processo de aglutnação nstantânea e transformando-se num vórtce dscreto de Lamb (b). Adaptação do modelo de turbulênca ao Método de Vórtces Dscretos. Fgura 4.1 Estrutura do programa computaconal desenvolvdo. 94 Fgura 4.13 Representação esquemátca do corpo e do solo. 95 Fgura 5.1 Fgura 5. Clndro crcular hdraulcamente rugoso estaconado nas proxmdades do solo. Estera de vórtces dscretos utlzada no estudo estatístco realzado para determnar a espessura da coroa crcular (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; σ 0 = eps = 0,001; ε = 0,000 ; 5 = 1,0 10 ). Re v Fgura 5.3 Valores médos obtdos para a razão N A c em função do rao 104 Fgura 5.4 Fgura 5.5 Fgura 5.6 Fgura 5.7 externo da coroa crcular defnda ao redor de cada vórtce dscreto presente na Fgura 5.. Dstrbução méda do coefcente de pressão ao longo da superfíce dscretzada do clndro crcular hdraulcamente lso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; 5 = 1,0 10 ). Re Evolução das cargas fludodnâmcas ntegradas ao longo do tempo para o clndro crcular hdraulcamente lso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; 5 = 1,0 10 ). Re Dstrbução nstantânea de pressão ao longo da superfíce dscretzada do clndro crcular hdraulcamente lso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; 5 = 1,0 10 ). Re Detalhes do desprendmento de estruturas vortcosas em um clndro crcular hdraulcamente lso e solado, nos nstantes

18 representados pelos pontos A, B, C e D das Fguras 5.5 e 5.6 (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; v Fgura 5.8 Fgura 5.9 Fgura 5.10 Fgura 5.11 Fgura 5.1 Fgura 5.13 Fgura 5.14 Fgura 5.15 Fgura = 1,0 10 ). Re Posção dos vórtces dscretos na estera no nstante representado pelo ponto A da Fgura 5.5 (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; 5 = 1,0 10 ). Re Regmes de escoamento para um clndro crcular lso e solado (adaptada de Sumer & Fredsøe, 006). Evolução das cargas fludodnâmcas ntegradas ao longo do tempo para o clndro crcular hdraulcamente rugoso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; 5 = 1,0 10 ). Re Comportamento do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal em função do número de Reynolds para um clndro crcular lso e solado. Posção dos vórtces dscretos na estera no nstante representado pelo ponto A da Fgura 5.10 (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; 5 = 1,0 10 ). Re Dstrbução méda de pressão ao longo da superfíce dscretzada do clndro crcular hdraulcamente rugoso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; 5 = 1,0 10 ). Re Evolução das cargas fludodnâmcas ntegradas ao longo do tempo para o clndro crcular hdraulcamente rugoso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; 5 = 1,0 10 ). Re Dstrbução nstantânea de pressão ao longo da superfíce dscretzada do clndro crcular hdraulcamente rugoso e solado (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; 5 = 1,0 10 ). Re Detalhes do desprendmento de estruturas vortcosas em um clndro crcular hdraulcamente rugoso e solado, nos nstantes representados pelos pontos A, B, C e D das Fguras

19 5.14 e 5.15 (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; v Fgura 5.17 Fgura 5.18 Fgura 5.19 Fgura 5.0 Fgura 5.1 Fgura 5. Fgura 5.3 Fgura 5.4 Fgura 5.5 NR = 1; ε = 0,007 ; 5 = 1,0 10 ). Re Posção dos vórtces dscretos na estera no nstante representado pelo ponto A da Fgura 5.14 (Euler; mb1 = 300 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; 5 = 1,0 10 ). Re Comparação entre resultados numércos e expermentas obtdos para o coefcente de arrasto médo envolvendo o clndro crcular submetdo ao efeto solo. Aparato expermental utlzado em testes em túnel de vento (adaptada de Nshno, 007). Comparação entre resultados numércos e expermentas obtdos para o coefcente de sustentação médo envolvendo o clndro crcular submetdo ao efeto solo. Cargas fludodnâmcas exercdas sobre um clndro crcular hdraulcamente lso submetdo ao efeto solo (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Dstrbução nstantânea de pressão ao longo da superfíce dscretzada do clndro crcular hdraulcamente lso submetdo ao efeto solo (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Detalhes do desprendmento de estruturas vortcosas em um clndro crcular hdraulcamente lso submetdo ao efeto solo, nos nstantes representados pelos pontos A, B, C e D das Fguras 5.1b e 5. (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Posção dos vórtces dscretos na estera no nstante representado pelo ponto A da Fgura 5.1b (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; ε = 0,000 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Cargas fludodnâmcas exercdas sobre um clndro crcular hdraulcamente rugoso submetdo ao efeto solo (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1;

20 Fgura 5.6 Fgura 5.7 ε = 0,007 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Detalhes do desprendmento de estruturas vortcosas em um clndro crcular hdraulcamente rugoso submetdo ao efeto solo, nos nstantes representados pelos pontos A, B, C e D da Fgura 5.5b (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re Posção dos vórtces dscretos na estera no nstante representado pelo ponto A da Fgura 5.5b (Euler; mb1 = 300 ; mb = 950 ; t = 0,05 ; sm = 3,0 ; NR = 1; ε = 0,007 ; h = 0,45 ; 5 = 1,0 10 ). Re x Fgura 5.8 Camada lmte desenvolvda sobre a superfíce de uma esfera 135 (a), com detalhes para a formação das ondas de Tollmen- Schlchtng e das nstabldades do tpo grampo de cabelo (b); retrada de Faber (1995). Fgura A.1 Velocdade tangencal nduzda. 154 Fgura A. Dstrbução de vortcdade no nteror do núcleo e velocdade 155 tangencal nduzda pelo vórtce potencal. Fgura A.3 Dstrbução de vortcdade no nteror do núcleo e velocdade 160 tangencal nduzda pelo vórtce dscreto de Lamb. Fgura B.1 Fluxo de vortcdade através de uma frontera sólda concdente com o exo x. 165

21 x Lsta de Tabelas Tabela 5.1 Tabela 5. Tabela 5.3 Tabela 5.4 Valores médos dos coefcentes de arrasto e de sustentação e número de Strouhal para um clndro crcular hdraulcamente lso e solado. Valores médos dos coefcentes de arrasto e de sustentação e número de Strouhal para um clndro crcular solado 5 submetdo a dversas rugosdades ( Re = 1,0 10 ). Valores médos dos coefcentes de arrasto e de sustentação e número de Strouhal para o clndro crcular hdraulcamente lso submetdo ao efeto solo ( h = 0,45 ). Valores médos dos coefcentes de arrasto e de sustentação e número de Strouhal para um clndro crcular submetdo ao efeto solo ( h = 0,45 )

22 x Smbologa Letras Latnas A a Vetor potencal Dstânca entre dos pontos para determnação do campo de velocdades a partr do campo de vortcdades (Le de Bot-Savart) B b C D C D C C k C L C L C p Dstânca entre as paredes de um túnel de vento Rao da semcrcunferênca utlzada no modelo de rugosdade Coefcente de arrasto Coefcente de arrasto médo Tensor cruzado Constante de Kolmogorov Coefcente de sustentação Coefcente de sustentação médo Coefcente de pressão C Constante de Smagornsky SM co d ds E eps Ponto de controle de um panel plano Dâmetro do clndro de seção crcular Coordenada que percorre o perímetro das fronteras sóldas Espectro de energa cnétca local Dstânca para a geração de vórtces dscretos a partr do ponto de controle de um panel plano que dscretza um corpo rugoso ep s Dstânca para a geração de vórtces dscretos a partr do ponto de controle de um panel plano que dscretza um corpo lso

23 F G G g h KF KP KV K c L LD LDF LDP LDV L Ma m mb1 mb N NR NV n n x n y Função estrutura de velocdade de segunda ordem Função de Green Função fltro Vetor aceleração da gravdade local Dstânca entre o corpo e o solo Matrz de nfluênca de fontes Matrz de nfluênca de pressão Matrz de nfluênca de vórtces Número de onda de corte Comprmento de um clndro de seção crcular Matrz lado dreto de pressão Vetor coluna lado dreto fontes Vetor coluna lado dreto de pressão Vetor coluna lado dreto vórtces Tensor de Leonard Número de Mach Número total de panés que dscretzam as superfíces do corpo e do solo ( m = mb1 + mb ) Número de panés que dscretzam a superfíce do corpo Número de panés que dscretzam a superfíce do solo Número de vórtces dscretos no nteror da coroa crcular Número de pontos rugosos Número de vórtces dscretos que compõem a nuvem Vetor untáro Componente na dreção x do vetor untáro, n Componente na dreção y do vetor untáro, n x P Número randômco entre 0 e 1 p Campo de pressões pshed Ponto de desprendmento de vórtces dscretos a partr de uma superfíce hdraulcamente rugosa pshe d Ponto de desprendmento de vórtces dscretos a partr de uma superfíce hdraulcamente lsa p Pressão de referênca

24 Q Número randômco entre 0 e 1 x Re Re c r Número de Reynolds Número de Reynolds modfcado Dstânca do ponto extremo de um panel até um ponto arbtráro do domíno fludo r Rao externo da coroa crcular ext r Rao nterno da coroa crcular nt r k St S S 1 S S 3 t t U Dstânca entre o vórtce dscreto e o vórtce dscreto k Número de Strouhal Tensor deformação do campo fltrado Contorno que delmta a superfíce do corpo Contorno que defne o solo Frontera defnda a grandes dstâncas do corpo e do solo Instante de tempo Tensor das tensões vscosas Velocdade do escoamento ncdente na dreção x U V k, Componente na dreção x da velocdade nduzda no vórtce dscreto k pelo vórtce dscreto u u Campo de velocdades Componente na dreção x da velocdade total nduzda pelos panés em um ponto do domíno fludo u u Componente fltrado da velocdade u, na dreção x Componente na dreção x da velocdade nduzda por um vórtce dscreto sobre o ponto de controle de um panel genérco u k Vetor velocdade de um vórtce dscreto arbtráro, k, da nuvem u k NV Componente na dreção x da velocdade total nduzda no vórtce dscreto k pela nuvem de vórtces dscretos u n Componente normal da velocdade de uma partícula fluda u t k Componente na dreção x da velocdade total nduzda no vórtce dscreto k k u Velocdade tangencal nduzda no vórtce dscreto k pelo vórtce dscreto θ u τ Componente tangencal da velocdade de uma partícula fluda

25 u Componente na dreção x da velocdade do escoamento ncdente V V k, Componente na dreção y da velocdade nduzda no vórtce dscreto k pelo v vórtce dscreto Componente na dreção y da velocdade total nduzda pelos panés em um xv v ponto do domíno fludo Componente fltrado da velocdade u, na dreção y v Componente na dreção y da velocdade nduzda por um vórtce dscreto sobre o ponto de controle de um panel genérco v k NV Componente na dreção y da velocdade total nduzda no vórtce dscreto k v n pela nuvem de vórtces dscretos Componente normal da velocdade das fronteras sóldas v t k Componente na dreção y da velocdade total nduzda no vórtce dscreto k v τ v x x k Y ~ y z Componente tangencal da velocdade das fronteras sóldas Componente na dreção y da velocdade do escoamento ncdente Coordenada cartesana Posção de um vórtce dscreto k da nuvem Trabalho específco total Coordenada cartesana Coordenada cartesana Letras Gregas α β Ângulo de ncdênca do escoamento não perturbado Ângulo de orentação de um panel plano Γ γ Intensdade de um vórtce dscreto de Lamb Densdade de vórtces dstrbuída unformemente sobre os panés Rao da esfera (Leseur & Metas, 199) θ Avanço de um vórtce dscreto no ntervalo angular ( 0 π ) para o cálculo C D C L da dfusão da vortcdade Coefcente de arrasto elementar que atua em um panel plano Coefcente de sustentação elementar que atua em um panel plano

26 r S t xv Avanço de um vórtce dscreto na dreção radal para o cálculo da dfusão da vortcdade Comprmento de um panel plano Incremento de tempo x Comprmento da malha (Smagornsky, 1963) x Deslocamento de um vórtce dscreto k, na dreção x, pelo processo de CONVECÇÃO k convecção x Deslocamento de um vórtce dscreto k, na dreção x, pelo processo de DIFUSÃO k dfusão randômca y Largura da malha (Smagornsky, 1963) y Deslocamento de um vórtce dscreto k, na dreção y, pelo processo de CONVECÇÃO k convecção y Deslocamento de um vórtce dscreto k, na dreção y, pelo processo de DIFUSÃO k δ ε θ dfusão randômca Espessura da camada lmte Rugosdade superfcal Ângulo de orentação da dstânca do ponto extremo de um panel até um ponto arbtráro do domíno fludo µ Coefcente de vscosdade dnâmca ν ν t ξ π 3, ρ Σ σ σ 0 σ 0c σ 0 N Coefcente de vscosdade molecular (cnemátca) Coefcente de vscosdade turbulenta Constante utlzada no cálculo das cargas fludodnâmcas para dferencar o domíno fludo da superfíce sólda Massa específca Representa um somatóro Densdade constante de fontes/sumdouros Rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb Rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb modfcado pela atuação do modelo de rugosdade Rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb nomnal τ τ Tensão de csalhamento sobre uma frontera sólda Tensor de Reynolds submalha

27 χ Ω ω ω xv Fator de controle que atua no processo de geração de vórtces dscretos devdo ao modelo de rugosdade Domíno fludo sem-nfnto Únco componente não nulo do vetor vortcdade (dreção normal ao plano do escoamento) Campo de vortcdades Sobrescrtos Desgna varáves dmensonas Subscrtos n τ Desgna dreção normal Desgna dreção tangencal Abrevaturas CFD DNS FI FV LES MVD N-S RANS VIV WIV Computatonal Flud Dynamcs (Dnâmca dos Fludos Computaconal) Drect Numercal Smulaton (Smulação Numérca Dreta) Força de orgem nercal Força de orgem vscosa Large Eddy Smulaton (Smulação de Grandes Escalas) Método de Vórtces Dscretos Refere-se às Equações de Naver-Stokes Reynolds-Averaged Naver-Stokes Equatons (Smulação va Equações Médas de Reynolds) Vortex Induced Vbratons (Vbrações Induzdas por Vórtces) Wake Induced Vbratons (Vbrações Induzdas por Interferênca de Estera)

28 Sglas xv CNPq IEM UNIFEI Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco Insttuto de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Itaubá

29 1 Capítulo 1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÕES TECNOLÓGICAS E CIENTÍFICAS A análse e a compreensão mas aprofundadas de escoamentos ao redor de corpos de geometra arbtrára têm sdo fundamentas para o desenvolvmento da tecnologa e para o avanço da cênca em váras áreas do conhecmento. Os avanços alcançados nas ndústras automoblístca e aeronáutca (prncpalmente no que concerne às análses de escoamentos vscosos em torno de corpos rombudos e esbeltos vsando alto desempenho) só se concretzam com o desenvolvmento da aerodnâmca. A mportânca de se conhecer e domnar tal assunto pode ser faclmente reconhecda quando se observa que grande parte dos corpos presentes em stuações de nteresse prátco para a engenhara está exposta, em geral, à passagem de uma corrente de ar ou de água. Estes escoamentos são exemplos típcos de problemas de nteração fludo-estrutura, onde negavelmente a transção para a turbulênca se apresenta como um fenômeno complexo da hdrodnâmca não lnear. A asa de um avão, por exemplo, possu uma razão espessura-largura pequena e trabalha, em voo de cruzero, com ângulos de ataque pequenos; a fuselagem apresenta dmensões transversas pequenas quando comparadas com o seu comprmento. Todas essas característcas são própras de um corpo esbelto. Entretanto, as aeronaves trabalham, nos momentos mas crítcos (procedmentos de pouso e de decolagem) com suas asas submetdas a elevados ângulos de ataque. Nestas condções, uma asa, mesmo que fna, pode apresentar uma extensa zona descolada no seu extradorso e uma estera vscosa sgnfcatva, o que

30 consttuem as característcas marcantes do escoamento ao redor de um corpo rombudo. De manera semelhante, o escoamento ao redor de veículos (mesmo os de alto desempenho) apresenta estas mesmas característcas fludodnâmcas. Pode-se ctar, anda, um tercero exemplo de nteresse no atual cenáro mundal: os efetos de Vbrações Induzdas por Vórtces, VIV (do nglês, Vortex Induced Vbratons), nos rsers da ndústra de exploração de petróleo em alto mar. Os rsers são tubos clíndrcos longos, que possuem a função de transportar o petróleo do fundo do mar para a plataforma. Os esforços cíclcos a que estão submetdos, decorrentes de vbrações, são capazes de degradar a estrutura mecânca dos rsers por um processo de fadga. O escoamento ao redor de corpos rombudos pode provocar o surgmento de fenômenos físcos típcos da hdrodnâmca não lnear, tas como: a separação, o desprendmento alternado de pares contrarrotatvos de estruturas vortcosas e a transção para a turbulênca; tas fenômenos despertam grande nteresse centífco, têm grande mpacto nas aplcações de engenhara e têm suas orgens vnculadas ao desenvolvmento de nstabldades orundas da nteração das duas camadas csalhantes formadas a partr dos pontos de separação do corpo rombudo (Bearman, 1984). Um fenômeno bastante estudado pela comundade centífca refere-se à transção de um escoamento em regme lamnar para o regme turbulento, passando ao redor de corpos rombudos. O parâmetro que governa o fenômeno da transção para a turbulênca é o número de Reynolds, o qual representa uma relação entre os efetos nercas (que amplfcam as perturbações do escoamento) e os efetos vscosos (que amortecem as perturbações do escoamento). A transção para a turbulênca tem níco na regão da estera e, com o aumento do número de Reynolds, ocorre cada vez mas próxma do corpo, passando pelas duas camadas csalhantes formadas a partr dos pontos de separação, até chegar na camada lmte que se desenvolve ao redor do corpo. O fato de a transção para a turbulênca ocorrer na regão da camada lmte é partcularmente mportante para fns prátcos, uma vez que o escoamento passa a ter maor quantdade de movmento para suportar o gradente de pressão adverso e, assm, o ponto de separação é deslocado para usante da superfíce do corpo, causando a chamada crse do arrasto. Esta crse consste em uma redução da força de arrasto que se opõe ao movmento do corpo. No entanto, o fenômeno físco descrto anterormente ocorre a altos valores do número de Reynolds, de manera que a presença de pequenas perturbações no escoamento são amplfcadas e, consequentemente, modfcações no comportamento fludodnâmco do corpo rão ocorrer.

31 3 Um dos tpos de perturbação mas encontrados nos problemas prátcos de engenhara refere-se à rugosdade da superfíce do corpo merso no escoamento. Dependendo do número de Reynolds do escoamento, um corpo, mesmo de superfíce aparentemente lsa, poderá ter o seu padrão de escoamento e o seu comportamento fludodnâmco modfcados pela nfluênca da rugosdade, fato que o caracterzará como um corpo de superfíce hdraulcamente rugosa. Nesta stuação, a rugosdade da superfíce do corpo pode antecpar a transção da camada lmte lamnar para a camada lmte turbulenta, fazendo com que a crse do arrasto ocorra a valores menores do número de Reynolds. Nas aplcações prátcas de engenhara, os aspectos referentes à rugosdade de um corpo merso em um escoamento são mportantes no que concerne à efcênca dos processos de transferênca de calor, ao desempenho de propulsores de navos, à aerodnâmca de materas esportvos, ao desempenho de turbnas eólcas e à aerodnâmca de corpos submetdos ao efeto solo; na Fgura 1.1 lustram-se as stuações mas corrqueras. As dscussões precedentes comprovam que o escoamento ao redor de corpos rombudos é complexo, sendo necessáros esforços expermentas e computaconas para entendê-lo completamente. É mportante ressaltar que a prevsão correta da força de arrasto anda se consttu em um dos problemas báscos no estudo do escoamento em torno de corpos rombudos. Na tentatva de entender fenômenos tão complexos, é razoável que se estude o escoamento ao redor de corpos que possuam geometras mas smples. Dentre eles, o clndro de seção crcular se apresenta como a melhor alternatva, na medda em que restrnge a complexdade do problema e permte que se observem as característcas fundamentas do escoamento. Na verdade, os clndros crculares têm sdo obeto de mutos estudos não só para se observar as característcas fundamentas do escoamento ao passar por eles, mas também pelo fato de terem mportânca em mutas aplcações prátcas (Fguras 1.1a). A proposta desta tese de doutorado consste no desenvolvmento de um modelo numérco-computaconal bdmensonal, que sea capaz de representar os efetos causados pela rugosdade da superfíce de um clndro crcular nos padrões de escoamentos que se desenvolvem ao seu redor a altos números de Reynolds e, anda, prever modfcações no comportamento das cargas fludodnâmcas que atuam sobre este corpo. Em essênca, mostrase neste trabalho que um modelo de rugosdade, quando assocado a um modelo de turbulênca bdmensonal, é capaz de representar as prncpas característcas do escoamento turbulento ao redor de um corpo rombudo de superfíce hdraulcamente rugosa.

32 4 (a) Trocador de calor do tpo casco e tubos (b) Propulsor de uma embarcação amussel.htm (c) Bola de baseball (d) Turbnas eólcas 9/eolca-cada-vez-mas-compettva-nomercado-energetvo-braslero/ (e) Aeronave em procedmento de pouso 9/Argentna-lanzara-el-11-de-ulo-el-cohete- Gradcom-II.html (f) Veículo de alto desempenho Fgura 1.1 Exemplos de problemas prátcos de engenhara onde os efetos da rugosdade são mportantes.

33 1. OBJETIVOS 5 O obetvo central deste trabalho consste no desenvolvmento de um modelo de rugosdade assocado a uma smulação de turbulênca do tpo LES (do nglês, Large Eddy Smulaton) adaptada ao Método de Vórtces Dscretos. Analsa-se numercamente (através de um códgo computaconal desenvolvdo em lnguagem de programação FORTRAN) o escoamento bdmensonal, ncompressível e em regme não permanente de um fludo newtonano com propredades constantes que se desenvolve ao passar por um clndro crcular. Estuda-se a nfluênca da rugosdade do corpo no fenômeno da transção da camada lmte lamnar para a camada lmte turbulenta. 5 O escoamento subcrítco ( Re = 1,0 10 ) ao redor de um clndro crcular submetdo ao efeto de dferentes rugosdades superfcas é estudado com o obetvo de obter padrões de escoamentos supercrítcos. As análses são realzadas a partr de padrões de escoamentos e de hstóras temporas, bem como de valores médos, das cargas fludodnâmcas que atuam sobre o corpo. Como um segundo exemplo de aplcação, nvestga-se o escoamento turbulento ao redor de um clndro crcular que se move em relação a uma superfíce plana lsa (solo); váras dstâncas entre o clndro crcular hdraulcamente lso e o solo são estudadas. Para o clndro crcular hdraulcamente rugoso, escolhe-se apenas uma dstânca entre o corpo e o solo com o obetvo de demonstrar as potencaldades do modelo de rugosdade desenvolvdo. Reconhece-se aqu, que a metodologa utlzada para a representação do corpo e do solo (Método de Panés) não é a mas aproprada para o levantamento de perfs de velocdade a partr de uma superfíce sólda. De qualquer modo, o Método de Vórtces Dscretos, assocado ao Método de Panés, se apresenta como uma ferramenta útl para a obtenção de grandezas globas, assm como valores de quantdades locas de escoamentos a altos valores do número de Reynolds. 1.3 METODOLOGIA Para cumprr os propóstos apresentados na Seção 1., utlza-se como ferramenta numérco-computaconal o Método de Vórtces Dscretos (MVD), certamente o representante mas conhecdo dos Métodos de Partículas que, por sua vez, se consttuem numa classe geral de métodos numércos que utlzam uma descrção puramente lagrangana. O Método de

34 6 Vórtces Dscretos é utlzado para resolver as grandes escalas do escoamento, representando, desta manera, a vortcdade presente no domíno fludo por uma nuvem de vórtces dscretos de Lamb (Panton, 1984). Para sso, os vórtces dscretos de Lamb são gerados a partr das superfíces sóldas e são submetdos aos processos de convecção e de dfusão da vortcdade, sendo transportados com a mesma velocdade da massa fluda. O cálculo da velocdade nduzda sobre cada vórtce dscreto durante cada nstante de tempo da smulação numérca requer as contrbuções do escoamento ncdente, das superfíces sóldas e da nuvem de vórtces dscretos (nteração vórtce-vórtce). Para a obtenção da ntensdade de cada vórtce dscreto (necessára para o cálculo da nteração vórtce-vórtce) mpõe-se a condção de não deslzamento sobre pontos estrategcamente escolhdos para representarem as superfíces sóldas, os chamados pontos de controle. O modelo de rugosdade proposto atua em conformdade com a dnâmca do escoamento, alterando o valor da ntensdade dos vórtces dscretos nascentes, de manera a mpor-lhes um efeto nercal adconal; este efeto nercal adconal está fscamente assocado ao aumento da taxa de transferênca de quantdade de movmento entre camadas adacentes de fludo em uma regão próxma à superfíce sólda hdraulcamente rugosa. No desenvolvmento do modelo de rugosdade consderam-se, também, os aspectos referentes à turbulênca através do modelo da função estrutura de velocdade de segunda ordem, o qual determna um coefcente de vscosdade turbulenta responsável por fazer a transferênca de energa entre as grandes escalas do escoamento, as quas são resolvdas, e as escalas submalha, as quas são modeladas. O modelo de turbulênca fo orgnalmente adaptado para ser ncorporado ao Método de Vórtces Dscretos por Alcântara Perera et al. (00). Os autores smulavam o processo de dfusão molecular da vortcdade através do método de avanço randômco (Chorn, 1973) somando-se ao coefcente de vscosdade molecular um coefcente de vscosdade turbulenta; além deste efeto, o valor do rao do núcleo dos vórtces dscretos também era modfcado pelo coefcente de vscosdade turbulenta. No entanto, o presente trabalho mostra que este últmo procedmento proposto por Alcântara Perera et al. (00) deve ser desconsderado, de modo que, nas regões do escoamento onde há atvdades turbulentas mportantes, deve-se utlzar apenas o método de avanço randômco para a nclusão dos aspectos referentes à turbulênca. O termo convecção, utlzado em trabalhos que usam o Método de Vórtces Dscretos, é equvalente ao mecansmo de advecção que ocorre devdo ao movmento global (macroscópco) de um fludo em processos de transferênca de calor. Entretanto, neste texto é utlzada a expressão convecção para manter um padrão em relação aos trabalhos envolvendo o Método de Vórtces Dscretos á consagrados na lteratura especalzada.

35 7 No estudo do efeto solo utlza-se um artfíco numérco para consderar uma stuação de movmento relatvo entre o corpo e o solo. O trabalho expermental de Nshno (007) constatou que, quando o solo se move com a mesma velocdade do escoamento ncdente, pratcamente não há formação de camada lmte unto a ele. Assm, a stuação de movmento relatvo entre o corpo e o solo é representada, neste trabalho, dexando-se de gerar vórtces dscretos a partr da frontera sólda que representa a superfíce do solo (Bmbato, 008). Como menconado anterormente, para a representação das superfíces sóldas utlzase o Método de Panés (Katz & Plotkn, 1991), cua metodologa é baseada na escolha do tpo de sngulardades e na escolha do tpo de condção de contorno. Neste trabalho, escolhem-se sngulardades do tpo fontes com densdade constante para mpor a condção de mpermeabldade sobre o ponto de controle dos panés planos que representam as superfíces sóldas envolvdas no problema. Para o cálculo das cargas fludodnâmcas dstrbuídas (somente a dstrbução de pressão é consderada) e das cargas fludodnâmcas ntegradas (força de arrasto de forma e força de sustentação), consdera-se a formulação ntegral apresentada por Shntan & Akamatsu (1994). A formulação é orgnára de uma equação de Posson para a pressão e possu a vantagem de consderar a contrbução de todos os vórtces dscretos presentes na estera vscosa para o cálculo da dstrbução de pressão atuante sobre o corpo. 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO A presente tese de doutorado está dvdda em ses capítulos, nclundo esta Introdução. O Capítulo é conduzdo para uma revsão bblográfca específca sobre trabalhos relevantes envolvendo os aspectos de rugosdade e sobre o fenômeno do efeto solo. Além dsso, trabalhos mportantes envolvendo o Método de Vórtces Dscretos são comentados. No Capítulo 3 está apresentada a formulação geral do problema, nclundo-se a defnção de uma geometra para os estudos, as equações governantes, as condções de contorno, as hpóteses smplfcadoras e a admensonalzação do problema.

36 8 No Capítulo 4 dscute-se detalhadamente o modelo de rugosdade desenvolvdo e a solução numérca, va Método de Vórtces Dscretos, do problema formulado no Capítulo 3. No Capítulo 5 está contda toda a análse dos resultados numércos obtdos, enquanto no Capítulo 6 estão apresentadas as conclusões mas mportantes do trabalho e as sugestões para o desenvolvmento de futuras pesqusas. Na sequênca, encontram-se relaconadas as referêncas bblográfcas de todos os trabalhos ctados neste texto. No Apêndce A são dscutdos os comportamentos da velocdade tangencal nduzda e da dstrbução de vortcdade para o modelo do vórtce potencal e para o modelo do vórtce de Lamb. O Apêndce B destna-se à dedução da equação que governa o fluxo de vortcdade através de uma superfíce sólda, ponto de partda para o tem referente à geração de vortcdade, descrto no Capítulo 4.

37 9 Capítulo REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Este capítulo tem por fnaldades menconar trabalhos relevantes e apresentar consderações mportantes referentes aos aspectos que envolvem escoamentos ao redor de clndros crculares de superfíces sóldas lsas e rugosas. Faz-se, também, uma revsão sobre o fenômeno do efeto solo nclundo-se trabalhos expermentas e numércos. Por fm, realzase uma revsão a respeto do Método de Vórtces Dscretos para escoamentos ncompressíves, uma vez que esta é a ferramenta numérca utlzada para a solução do problema proposto no Capítulo 3..1 REGIMES DE ESCOAMENTO PARA UM CILINDRO CIRCULAR LISO E ISOLADO O escoamento ao redor de uma estrutura clíndrca é nfluencado pela sua forma e pelo número de corpos que se apresentam nas suas vznhanças. No trabalho de Zdravkovch (1987) são mostrados város arranos de clndros crculares que podem ser estudados na presença de um escoamento ncdente. Nota-se que, por ser um problema clássco da Mecânca dos Fludos, há um grande número de trabalhos expermentas dsponíves na lteratura referentes à forma crcular da seção transversal do clndro. Como á menconado na Seção 1.1, a forma crcular é bastante estudada por possur uma combnação deseada de

38 10 geometra smples com a confguração complexa do escoamento ao redor de um corpo rombudo. Essa combnação é anda mas atratva, uma vez que permte analsar de manera prelmnar, por exemplo, escoamentos ao redor de plares de pontes, chamnés, grandes edfícos, rsers de plataformas de petróleo, trocadores de calor, torres de transmssão de energa elétrca e cabos da rede elétrca; a Fgura.1 apresenta alguns exemplos. O estudo do escoamento ao redor dos cabos de uma lnha de transmssão de energa elétrca (Fgura.1c), por exemplo, pode ser ncalmente realzado através da utlzação de um conunto de clndros crculares dspostos conforme mostrado na Fgura.1d. (a) ( com/category/pre-sal/) (b) ( (c) %A9trca (d) theque_ndex.htm Fgura.1 Exemplos de problemas onde a forma crcular do clndro pode ser utlzada para estudo do escoamento.

39 11 Sabe-se que a confguração do escoamento ao redor de um corpo rombudo é nfluencada por uma grande varedade de parâmetros. Para um clndro crcular lso e longo, submetdo a um escoamento unforme, o parâmetro governante é o número de Reynolds ( Re = Ud ν, onde U, d e ν são, respectvamente, a velocdade do escoamento ncdente, o dâmetro do clndro crcular e o coefcente de vscosdade cnemátca). Nshno (007) classfca o escoamento ao redor de um clndro crcular lso e solado 5 5 em função do número de Reynolds em três regmes: subcrítco ( Re <,0 10 5,0 10 ), crítco ( Re,0 10 5,0 10 ) e supercrítco ( Re >,0 10 5,0 10 ); Roshko (1961) acrescenta anda um quarto regme, denomnado transcrítco e que, nos das atuas, recebe a 6 denomnação de regme pós-crítco ( Re > 3,5 10 ). Quando o número de Reynolds é muto baxo ( Re 1), o escoamento ao redor de um clndro crcular é aproxmadamente smétrco a montante e a usante do corpo, com um ponto de estagnação frontal e outro trasero. O escoamento nesta condção é chamado de escoamento reptante e a forma das lnhas de corrente é mostrada na Fgura.a; o escoamento se comporta sem que se verfque o fenômeno da separação da camada lmte e a força de arrasto é devda exclusvamente às forças vscosas. (a) Re = 0,16 (b) Re = 6 (c) Re = 41 (d) Re = 140 Fgura. Vsualzação de padrões de escoamentos lamnares ao redor de um clndro crcular lso (fguras retradas de van Dyke, 198; Trtton, 1988).

40 1 Para Re 30 ocorre a separação da camada lmte na parte de trás do corpo e o escoamento apresenta-se assmétrco; nesta condção é formado um únco par de estruturas vortcosas estaconáras (recrculação), como mostrado na Fgura.b, que va aumentando em tamanho à medda que o número de Reynolds aumenta; apesar da presença do par de estruturas vortcosas contrarrotatvas, o regme do escoamento anda é permanente; a estera formada possu um comprmento lmtado, é completamente lamnar e o arrasto devdo à pressão nessa faxa de número de Reynolds dexa de ser nulo. Para 40 Re 70 há o surgmento de nstabldades nas camadas csalhantes que causam o níco de osclações na estera; a Fgura.c mostra uma stuação aproxmadamente lmte para o regme permanente. Para um valor do número de Reynolds maor do que aproxmadamente 70, as duas camadas csalhantes de fludo enrolam-se em torno delas mesmas, formando as estruturas vortcosas contrarrotatvas da estera; este fenômeno é denomnado na lteratura de desprendmento de vórtces. Quando o número de Reynolds se encontra por volta de 90, os pontos de separação não são mas fxos e observa-se um desprendmento alternado de pares contrarrotatvos de estruturas vortcosas, o que determna o caráter osclatóro da estera de von Kármán (Fgura.d); nesta stuação o arrasto de pressão (arrasto de forma) é responsável por cerca de 90% do arrasto total (Fgura.3). A Fgura.4 mostra como varam o número de Strouhal (St) e o coefcente de arrasto médo ( C D ) em função do número de Reynolds (Re) para um clndro crcular lso. O número de Strouhal é um parâmetro admensonal utlzado para se medr a frequênca de desprendmento de pares de estruturas vortcosas contrarrotatvas, e é defndo como: d U St = f (.1) onde f é a frequênca de desprendmento de pares de estruturas vortcosas contrarrotatvas, d é o dâmetro do clndro crcular e U é a velocdade do escoamento ncdente. Bearman (1984) postulou que a geração e o desprendmento de vórtces estão assocados à nteração entre as duas camadas csalhantes e não à geometra do corpo. A presença do corpo rombudo smplesmente modfca a referda nteração. O número de Strouhal depende apenas da dstânca entre as duas camadas csalhantes. Abaxo de Re = 00 a estera contnua a ser lamnar e, uma vez superado este valor, a estera fca nstável e rregular. Para números de Reynolds superores a 00,

41 13 aproxmadamente, os efetos trdmensonas se tornam mportantes, mesmo para clndros crculares com razão de aspecto elevada. Fgura.3 Varação dos componentes de pressão e de atrto do coefcente de arrasto em função do número de Reynolds ( C e de pressão e de atrto do coefcente de arrasto médo, D p C D f representam, respectvamente, os componentes C D ) adaptada de Ass (009). O escoamento na camada lmte lamnar é muto vulnerável ao gradente adverso de pressão na trasera do clndro crcular e a separação ocorre por volta de 80 (Fgura.5a); a larga estera e a pressão muto baxa na regão de separação lamnar causam um aumento na força de arrasto. Para Re nota-se a exstênca de uma estera turbulenta pulsante a usante do clndro crcular (Fgura.5b). O comportamento do escoamento para altos números de Reynolds, porém, até 5 Re <,0 10, mostra que a camada lmte permanece lamnar anda que a estera sea completamente turbulenta; nestes casos, o ponto de separação permanece aproxmadamente fxo (por volta de 80, em relação ao ponto de estagnação frontal do corpo, como descrto

42 14 anterormente), fazendo com que o valor do coefcente de arrasto médo também permaneça constante em aproxmadamente 1,0 (Achenbach, 1968). (a) St Re (Sumer & Fredsøe, 006) (b) C D Re ( Fgura.4 Comportamento do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal em função do número de Reynolds para um clndro crcular lso. As modfcações marcantes no escoamento ocorrem quando o número de Reynolds 5 supera o valor crítco ( Re 3,0 10 ) e começa a ocorrer uma transção da camada lmte lamnar para a camada lmte turbulenta; tal transção se nca no ponto de separação e, à medda que o número de Reynolds aumenta, a transção da camada lmte lamnar para a camada lmte turbulenta ocorre em uma regão cada vez mas próxma do ponto de estagnação frontal do clndro crcular (vea os esquemas apresentados na Fgura.6), o que faz com que o ponto de separação se desloque para aproxmadamente 10. O deslocamento do ponto de separação para uma posção mas a usante na superfíce do clndro crcular

43 15 produz uma estera mas estreta, aumentando a pressão na parte posteror do corpo e causando a chamada crse do arrasto. Este regme de número de Reynolds é muto sensível, de manera que, em stuações prátcas, outros fatores rão afetar consderavelmente o escoamento, tas como: o padrão de rugosdade superfcal do corpo (forma, dmensões e dstrbução das salêncas e protuberâncas que formam a superfíce do corpo), a ncdênca de uma velocdade turbulenta e a superposção de um movmento osclatóro do corpo. (a) Re = 000 (b) Re = Fgura.5 Vsualzação de padrões de escoamentos turbulentos ao redor de um clndro crcular lso (retrado de van Dyke, 198). Como exemplo, a Fgura.7 mostra como a rugosdade da superfíce de um clndro crcular modfca os comportamentos do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal para uma ampla faxa de número de Reynolds. Nota-se que a rugosdade antecpa a transção da camada lmte lamnar para a camada lmte turbulenta, ou sea, a crse do arrasto é antecpada (compare as Fguras.4 e.7). (a) 3, < Re < 3,5 10 (b) Re > 3, Fgura.6 Esquemas de escoamentos supercrítco e transcrítco (Blevns, 1990). Este efeto causado pela rugosdade do corpo é usado na fabrcação de artgos esportvos (por exemplo, bolas de golfe, bolas de baseball e capacetes de cclstas) e em túnes de vento típcos de escoamentos subcrítcos, com o ntuto de estudar padrões de escoamentos supercrítcos e transcrítcos.

44 16 (a) St Re (adaptada de Achenbach & Henecke, 1981) (b) C D Re (adaptada de Achenbach & Henecke, 1981) Fgura.7 Comportamento do coefcente de arrasto médo e do número de Strouhal em função do número de Reynolds para um clndro crcular rugoso.. EFEITOS DA RUGOSIDADE SUPERFICIAL A rugosdade superfcal dos corpos fo dentfcada como um parâmetro mportante nas característcas dos escoamentos de fludos por Darcy (1857). Resultados de expermentos

45 17 em tubos de váras rugosdades e a ntrodução do conceto de rugosdade como uma propredade hdráulca foram mportantes contrbuções dadas à Mecânca dos Fludos. O prncpal efeto provocado no escoamento pela manfestação da rugosdade superfcal de corpos é a modfcação da estrutura da regão vscosa de uma camada lmte turbulenta. Consderando a estrutura clássca de três regões da camada lmte turbulenta, Nkuradse (1933) fo o prmero pesqusador a observar que os efetos da rugosdade permanecem restrtos a uma fna camada adacente à superfíce. A regão logarítmca e a regão externa mantêm as mesmas característcas mesmo para superfíces rugosas, contudo, o escoamento torna-se dependente da escala de rugosdade e não mas da vscosdade molecular. A prncpal dfculdade em trabalhar com escoamentos que sofrem a nfluênca da rugosdade de superfíces sóldas está relaconada à própra caracterzação da rugosdade, a qual pode ser determnada a partr dos seguntes parâmetros: () a rugosdade relatva, onde ε d, ε é a altura méda das protuberâncas e salêncas que formam a superfíce; () a forma das protuberâncas e salêncas; () a dstrbução das protuberâncas e salêncas sobre a superfíce, ou sea, se as protuberâncas e salêncas estão dspostas sobre a superfíce de manera regular ou rregular. Na realdade, os dos últmos parâmetros consttuem uma característca da superfíce rugosa denomnada textura. O mecansmo de geração de turbulênca em um escoamento através da rugosdade da superfíce sobre a qual o escoamento ncde é dfícl de ser estudado detalhadamente, devdo, em partcular, à dfculdade de se determnar precsamente a textura de uma superfíce sólda. O trabalho ponero em estudar o comportamento do coefcente de arrasto em um clndro crcular de superfíce rugosa fo realzado por Fage & Warsap (199); o coefcente de arrasto médo ( C ) fo meddo em dos clndros crculares com razão de aspecto L d = 8,0 e D 0, e razão de bloqueo d B = 0,15 e 0,05, respectvamente (vea o trabalho de Zdravkovch, 003); crcular e d é o dâmetro do clndro crcular, L é o comprmento do clndro B é a dstânca entre as paredes do túnel de vento utlzado nos ensaos expermentas. Fage & Warsap (199) apud Zdravkovch (003) mostraram que, à medda que a rugosdade relatva ( ε d ) aumentava, a queda do arrasto ocorra a números de Reynolds (Re) mas baxos.

46 Guven et al. (1980) apresentaram em um mesmo dagrama 18 C D Re os resultados obtdos em seus testes expermentas com os resultados obtdos por Fage & Warsap (199), Achenbach (1971) e Szecheny (1975), mostrando resultados com até 60% de dscrepânca, para um mesmo valor do número de Reynolds. Estas dscrepâncas entre os dversos estudos expermentas foram atrbuídas a város fatores nfluentes, tas como: razão de aspecto do clndro crcular, razão de bloqueo do túnel de vento, nível de turbulênca do escoamento e as dversas texturas de rugosdade superfcal. Na realdade, as maores dferenças foram observadas no regme supercrítco, ndcando que a rugosdade da superfíce dos clndros crculares testados tnha relevânca consderável nas dferenças observadas entre os testes. Esta conclusão é devda ao fato de que, no regme supercrítco, a regão vscosa da camada lmte turbulenta é bastante reduzda, fazendo com que a rugosdade da superfíce sólda tenha mas nfluênca nas característcas do escoamento. Achenbach & Henecke (1981) estudaram expermentalmente o desprendmento de estruturas vortcosas sobre a superfíce de um clndro crcular lso e a nfluênca da rugosdade sobre este desprendmento em clndros crculares de superfíces rugosas. Para o clndro crcular lso, observou-se uma supressão no desprendmento de estruturas vortcosas quando o escoamento atngu os regmes crítco e transcrítco. Em contrapartda, para todos os clndros crculares rugosos, verfcou-se um aumento do número de Strouhal (St) no regme crítco. Entretanto, a comparação entre os resultados das smulações numércas bdmensonas, apresentadas no Capítulo 5, com os resultados obtdos expermentalmente por Achenbach & Henecke (1981) não é realzada, uma vez que o clndro crcular testado por estes autores possu baxa razão de aspecto ( L d = 3,4 ), além de causar uma alta razão de bloqueo no túnel de vento onde os expermentos foram realzados ( d B = 0,16 ). Burest (1981) realzou testes com dos clndros crculares ( L d = e L d = 1 ) utlzando rugosdade equvalente a grãos de area na faxa 0,09% < ε < 1,3%. Foram analsados os gráfcos C D Re e St Re. Observou-se que o d coefcente de arrasto médo apresentava uma queda e, após atngr o valor mínmo, voltava a aumentar, porém, de manera gradual. Por outro lado, o número de Strouhal apresentou um salto ao atngr o regme crítco de escoamento (tal como observado por Achenbach & Henecke, 1981) e, após atngr o pco máxmo, voltou a dmnur, porém, de manera gradual. O autor afrmou que o aumento gradual do coefcente de arrasto médo e a dmnução do número de Strouhal eram reflexos de uma estera larga formada a usante do clndro crcular.

47 19 Zdravkovch (1990) fez uma revsão da lteratura sobre escoamentos lamnar e turbulento ao redor de clndros crculares lsos e rugosos, e propôs a classfcação do escoamento ao redor deste corpo em qunze regmes. Zdravkovch (1990) afrmou que os prmeros efetos da rugosdade sobre a camada lmte podem ser notados para < Re < 1,0 10,0 10, mas que estes efetos são mas ntensos para a faxa 1, ,0 10 < Re < 6,0 10 8,0 10. O autor verfcou anda que, para 6 Re > 8,0 10, além da altura dos elementos rugosos, a textura da superfíce do corpo tem nfluênca marcante nas característcas do escoamento. Kareem & Cheng (1999) dstrbuíram elementos rugosos clíndrcos em quatro pontos da superfíce de um clndro crcular para estudar em um túnel de vento típco de escoamento subcrítco, característcas ou padrões de escoamentos transcrítcos. Os resultados obtdos para o coefcente de pressão e para o ângulo de separação do escoamento, para Re = 5400, correspondem a um escoamento com número de Reynolds 6 7,0 10. Esta estratéga utlzada por Kareem & Cheng (1999) é bastante útl, uma vez que é conhecda a dfculdade de se estudar expermentalmente escoamentos com altos valores de números de Reynolds. Tendo-se a dfculdade menconada como motvação, o presente trabalho contrbu com o desenvolvmento de um modelo de rugosdade bdmensonal capaz de provocar padrões de escoamentos supercrítcos a partr de escoamentos subcrítcos. Uma pesqusa na lteratura mostra que város outros trabalhos expermentas poderam ser ctados nesta Revsão Bblográfca. No entanto, conforme Zdravkovch (1997), os estudos relaconados à rugosdade superfcal de corpos se concentram, de manera geral, na análse da nfluênca da rugosdade da superfíce nos dagramas C D Re e St Re, bem como na dstrbução de pressão atuante sobre o corpo e nos padrões de escoamento. Assm, cada estudo expermental utlza uma estratéga dferente para representar a rugosdade da superfíce (arames, esferas, pequenas covas, dentre outros) e está sueto a fatores nfluentes (nível de turbulênca do escoamento, razão de aspecto do corpo, razão de bloqueo do túnel e textura da superfíce) dferentes, o que produz uma grande varação nos resultados obtdos, e que, portanto, dfculta a comparação entre dos resultados expermentas dstntos. No que concerne às smulações numércas, tal como ocorre nos estudos expermentas, uma varedade de trabalhos também podera ser ctada neste contexto. Ao contráro do que ocorre nos testes expermentas, nos testes numércos tem-se controle total dos fatores nfluentes, o que permte uma fácl comparação entre dos testes numércos dstntos.

48 0 Entretanto, verfca-se que a maora dos estudos numércos encontrados na lteratura, envolvendo aspectos referentes à rugosdade de um clndro crcular, trabalham com baxos números de Reynolds (em geral, 4 Re < 10 ), o que podera ser questonado, uma vez que os efetos da rugosdade tornam-se relevantes para altos valores do número de Reynolds. Uma das exceções é o trabalho de Kawamura et al. (1986), que analsaram numercamente o escoamento bdmensonal que ncda sobre um clndro crcular rugoso ( ε = 0,005) para 10 < < Re utlzando o Método de Dferenças Fntas, porém, sem lançar mão de um modelo de turbulênca. A rugosdade não fo consderada em toda a superfíce do corpo, mas apenas na faxa 85 < θ < 10 (θ é o ângulo meddo a partr do ponto de estagnação frontal do corpo, e no sentdo horáro). Os autores obtveram com sucesso a curva para d C D Re, porém, 5 Re < 10, á que para números de Reynolds maores, o Método de Dferenças Fntas apresentou nstabldades numércas. Apesar de trabalharem com um número de Reynolds baxo ( Re = 9500 ), é nteressante menconar o trabalho desenvolvdo por Tsuk & Matsubara (003). Estes autores utlzaram o Método de Vórtces Dscretos assocado ao Método de Panés e representaram a rugosdade da superfíce de um clndro crcular posconando os vórtces dscretos nascentes a uma dstânca ε = 0,005 acma da superfíce dscretzada do corpo. A crítca que se faz ao d modelo de rugosdade desenvolvdo por Tsuk & Matsubara (003) é que, ao se posconarem os vórtces dscretos nascentes acma da superfíce dscretzada do corpo, crase uma regão rrotaconal entre a posção de geração e a superfíce sólda, o que vola a físca real envolvda no problema. Do que fo exposto, observa-se que há lacunas a serem preenchdas nos estudos envolvendo a nfluênca da rugosdade de superfíces sóldas sobre escoamentos, prncpalmente no que dz respeto a trabalhos numércos com números de Reynolds maores do que Na realdade, a maora dos trabalhos numércos utlza uma malha de dscretzação do domíno fludo. Por outro lado, este trabalho apresenta, como prncpal contrbução, um modelo que representa a rugosdade de corpos submetdos a escoamentos 5 caracterzados por altos números de Reynolds ( Re = 1,0 10 ) sem alterar a dscretzação das superfíces sóldas. O modelo de rugosdade proposto é puramente baseado no fenômeno físco presente em escoamentos que se desenvolvem sobre superfíces rugosas, ou sea, partese do prncípo de que a rugosdade de uma superfíce sólda pode estmular o desenvolvmento da turbulênca no escoamento. Assm, o modelo de rugosdade desenvolvdo

49 1 é acoplado ao Método de Vórtces Dscretos e assocado ao modelo da função estrutura de velocdade de segunda ordem, ncalmente adaptado ao Método de Vórtces Dscretos por Alcântara Perera et al. (00), mas que fo corrgdo neste trabalho (conforme dscutdo na Seção 1.3), para que as manfestações da turbulênca no escoamento fossem consderadas de manera aproprada. Os resultados apresentados no Capítulo 5 mostram que o modelo de rugosdade desenvolvdo, assocado ao ctado modelo de turbulênca corrgdo, é capaz de reproduzr característcas mportantes de escoamentos ao redor de um clndro crcular a altos valores do número de Reynolds; como exemplo, cta-se a crse do arrasto. Uma outra contrbução que pode ser credtada a este trabalho refere-se à obtenção da condção de aderênca sobre a superfíce dscretzada do corpo; os sstemas lneares de equações de fontes/sumdouros (que mpõe a condção de mpermeabldade) e de vórtces dscretos (que mpõe a condção de não deslzamento) são resolvdos de manera smultânea, através de um processo teratvo, garantndo, assm, a condção de aderênca sobre os pontos de controle da superfíce dscretzada do corpo. Esta últma contrbução fo de suma mportânca para o desenvolvmento do modelo de rugosdade..3 O EFEITO SOLO As característcas do escoamento que ncde sobre um clndro crcular stuado nas vznhanças de uma superfíce plana (solo) são nfluencadas não só pelo número de Reynolds, mas também pela dstânca do clndro crcular ao solo, h d (onde d é o dâmetro do clndro crcular). O fenômeno do efeto solo anda está longe de ser completamente entenddo, uma vez que exste uma grande quantdade de fatores que afetam o problema, em especal a camada lmte que se forma no solo e torna a físca do fenômeno anda mas dfícl de ser compreendda. Pode-se ctar, anda, a rugosdade da superfíce do corpo ( ε d ) como sendo um outro parâmetro nfluente mportante. Um dos prmeros trabalhos que nvestgaram a nfluênca da dstânca do clndro crcular ao solo fo feto por Taneda (1965). Estudou-se o escoamento de água ao redor de um clndro crcular de forma que a água e o solo se movam em relação ao corpo, e com a mesma velocdade ( U = U ). Tas testes foram fetos com número de Reynolds baxo água solo ( Re = 170 ). Nestas condções, verfcou-se o desprendmento de vórtces do tpo Kármán a partr do corpo para h d = 0,6, enquanto, para h d = 0,1, apenas uma únca flera de

50 vórtces fo gerada. Mas detalhes dessa dmnução de geração de vortcdade à medda que a relação h d dmnu podem ser encontrados nos trabalhos de Zdravkovch (1985a) e Ln et al. (005), mas apenas para números de Reynolds baxos ( Re = 3350 e Re = 780, respectvamente). Mas tarde, Roshko et al. (1975) estudaram expermentalmente o escoamento ao redor de um clndro crcular estaconado nas proxmdades de uma superfíce plana fxa em um túnel de vento, para 4 Re =,0 10. Foram observados os comportamentos dos coefcentes de arrasto e de sustentação médos, constatando-se que o arrasto dmnuía rapdamente, ao passo que a sustentação aumentava, à medda que o corpo se aproxmava do solo. Bearman & Zdravkovch (1978) nvestgaram expermentalmente a dstrbução do coefcente de pressão sobre um clndro crcular estaconado nas vznhanças de uma superfíce plana fxa para arrasto médo para pequenos valores da relação 4 Re = 4,8 10. Constataram que a dmnução do coefcente de base alta, e que o coefcente de sustentação médo aumentava quando h d era acompanhada por uma pressão de h d decresca para valores menores do que 0,4, devdo a uma dstrbução de pressão assmétrca ao redor do corpo. À medda que o corpo era afastado do solo ( h d 0,4 ), a dstrbução de pressão se tornava smétrca e a pressão de base decresca até h d = 1,0. Também se medu a velocdade nas regões próxmas ao corpo, na tentatva de nvestgar a frequênca com que vórtces eram desprenddos na stuação de efeto solo. Verfcou-se que o número de Strouhal permaneca aproxmadamente constante ( St 0, ) para qualquer h d < 0,3. Burest & Lancott (1979) medram o número de Strouhal em um clndro crcular na stuação de efeto solo sem movmento relatvo entre o corpo e o solo. Para o clndro crcular merso em um escoamento cuo número de Reynolds era de até 5 1,9 10, observou-se que a dstânca crítca entre o corpo e o solo era de 0,4, e que o valor do número de Strouhal fcava por volta de 0, para qualquer relação h d maor do que 0,4. Assm, nota-se que a dstânca crítca (dstânca abaxo da qual a frequênca de emssão de estruturas vortcosas dmnu) e o valor do número de Strouhal dependem do regme do escoamento, sendo mpossível defnr valores precsos para tas varáves. O únco consenso parece ser o de que, para escoamentos de altos Re, o número de Strouhal dmnu à medda que este tpo de comportamento obedece a certos lmtes. h d decresce, mas, mesmo assm,

51 Apesar dos efetos fundamentas causados pela relação 3 h d terem sdo estudados com sucesso nos trabalhos acma ctados, a nfluênca da camada lmte formada unto à superfíce plana fxa é complcada e anda não está totalmente esclarecda. Como exemplo, pode-se ctar o trabalho de Zdravkovch (1985b), o qual observou que, nos escoamentos com Re varando de 4 4,8 10 a 5 3,0 10, o arrasto decresca rapdamente à medda que a dstânca do clndro crcular ao solo dmnuía a um valor menor do que a espessura da camada lmte formada no solo ( δ s d ). Com sso, concluu-se que a varação do coefcente de arrasto era domnada pela relação h δ s, e não mas pela relação convenconal h d. Notou-se anda, que mesmo o coefcente de sustentação podera ser afetado pelas condções de camada lmte, apesar de ser nsensível à espessura desta. Zdravkovch (003) estudou o comportamento do coefcente de arrasto em um clndro crcular localzado próxmo a uma superfíce plana móvel; a superfíce se movmentava com a mesma velocdade do escoamento ncdente. O número de Reynolds do 5 escoamento era alto ( Re =,5 10 ) e, nas condções descrtas acma, pratcamente não houve formação de camada lmte unto ao solo. Ao contráro de todos os estudos comentados anterormente, o autor não verfcou a queda do arrasto quando h d dmnuía. Entretanto, não fcou claro se o fato observado ocorreu devdo ao alto número de Reynolds ou à nexstênca de camada lmte unto ao solo, ou anda, devdo a algum outro fator nfluente. Nshno (007) estudou o comportamento dos coefcentes de arrasto e de sustentação atuantes sobre um clndro crcular localzado próxmo a uma estera rolante em um túnel de vento. A estera rolante se movmentava com a mesma velocdade do escoamento ncdente, ou sea, não houve formação de camada lmte unto ao solo. Fo nvestgado o comportamento aerodnâmco do corpo para 4 Re = 4,0 10 e 5 Re = 1,0 10. Os efetos de ponta do corpo também foram estudados, medante o uso de placas nas suas extremdades, para tornar o escoamento aproxmadamente bdmensonal; a Fgura.8 lustra as placas fxadas nas extremdades do corpo. Para o clndro crcular sem placas (caso essencalmente trdmensonal), verfcou-se que o coefcente de arrasto médo aumentava à medda que h d dmnuía, e que sto ocorra devdo à nexstênca de camada lmte no solo, esclarecendo a dúvda dexada no trabalho de Zdravkovch (003). Com relação às placas, à medda que a dstânca do corpo até a extremdade da placa aumentava, retrava-se parte da trdmensonaldade do problema; para o caso mas bdmensonal estudado, o valor obtdo para o coefcente de arrasto médo fo o de 1,3, quando h d =,00, o que é próxmo do

52 valor obtdo para o caso de um clndro crcular solado, para 4 5 Re = 1,0 10 (Blevns, 1984). Quando o corpo era posconado de forma a tangencar a extremdade da placa (caso menos bdmensonal estudado), verfcou-se que, para h d < 0,35, as placas não exercam nfluênca alguma sobre o coefcente de arrasto. Assm, obteve-se um valor de aproxmadamente constante e gual a 0,95. No que dz respeto ao coefcente de sustentação, a stuação de movmento relatvo com a velocdade do escoamento ncdente gual à velocdade da estera rolante não exerceu modfcação sobre este parâmetro, em comparação C D com o caso de corpo e estera rolante parados. Sendo assm, sempre que h d dmnuu, observou-se que o C L aumentou, tal como observado por Roshko et al. (1975). Fgura.8 Placas utlzadas nas extremdades do clndro crcular para tornar o escoamento aproxmadamente bdmensonal (Nshno, 007). Verfca-se que a complexdade dos fenômenos envolvdos nos mecansmos do efeto solo e a ntensa nteração observada entre eles faz com que grande parte das nvestgações realzadas utlze ferramentas de cunho expermental. Aquelas nvestgações que utlzam ferramentas numércas são, geralmente, restrtas a baxos valores de números de Reynolds, dstancando-se das aplcações tecnológcas de nteresse. A utlzação de algortmos baseados na descrção lagrangana vablza a realzação de smulações numércas de stuações de nteresse prátco. Com relação à ferramenta numérca em desenvolvmento que será utlzada neste trabalho, o Método de Vórtces Dscretos, algumas pesqusas envolvendo o clndro crcular submetdo ao efeto solo (sem movmento da superfíce plana) merecem destaque.

53 5 Rcc (00) utlzou o Método de Vórtces Dscretos para analsar o escoamento de um fludo newtonano em torno de um clndro crcular, quando dsposto nas proxmdades de uma superfíce plana fxa (estudou-se também o comportamento dos perfs aerodnâmcos NACA 001 e NACA 0018 sob efeto solo). A superfíce do solo fo smulada com a utlzação do método de magens, no qual a condção de mpermeabldade era satsfeta automatcamente em todos os pontos da superfíce real, porém, tnha o ônus de demandar maor tempo de smulação, uma vez que os vórtces dscretos magens também devam ser consderados no cálculo da velocdade total nduzda nos vórtces dscretos do domíno fludo. Moura (007) analsou o escoamento bdmensonal, ncompressível e em regme não permanente de um fludo newtonano com propredades constantes que ncda sobre um clndro crcular na presença do efeto solo. Dferentemente de Rcc (00), Moura (007) representou a superfíce do solo medante a utlzação do Método de Panés (Hess & Smth, 1967). O corpo apresentava um movmento de osclação lnear e de pequena ampltude na dreção perpendcular ao escoamento ncdente. Estudou-se a nfluênca que o movmento osclatóro de pequena ampltude exerca sobre o coefcente de sustentação, na presença do efeto solo. Recentemente, Bmbato (008) estudou o efeto do movmento da superfíce plana usando as observações fetas por Nshno (007). Segundo Nshno (007), quando a superfíce plana (solo) se move com a mesma velocdade do escoamento ncdente, pratcamente não há formação de camada lmte unto ao solo. A partr destas nformações, Bmbato (008) smulou o movmento do solo dexando de gerar vórtces dscretos unto a esta superfíce. Esta stuação representava o solo se movendo com a mesma velocdade do escoamento ncdente através da supressão total da camada lmte do solo, mas, fscamente, o solo permaneca em repouso. Cabe ressaltar que nenhum modelo de turbulênca fo utlzado. Bmbato et al. (009) fzeram uma comparação acerca do comportamento aerodnâmco do clndro crcular para os casos em que o solo é mantdo fxo e móvel; a condção de solo móvel era representada anmando-se os panés que dscretzavam a superfíce plana de uma velocdade gual à do escoamento ncdente. Este trabalho fo mportante, na medda em que apresentou dscussões a respeto de alguns dos mecansmos que governam o fenômeno do efeto solo e que nfluencam dretamente o comportamento do coefcente de arrasto nas stuações de solo fxo e solo móvel. Entretanto, os aspectos relatvos à turbulênca não foram abordados.

54 6 Bmbato et al. (010) compararam as técncas utlzadas em Bmbato (008) e Bmbato et al. (009) para representar o movmento do solo. Os autores constataram que não há dferenças sgnfcatvas entre as duas técncas, no que se refere aos valores de cargas fludodnâmcas. Esta conclusão é partcularmente nteressante, pos permte que se represente o movmento do solo dexando-se de gerar vórtces dscretos unto a esta superfíce (stuação em que o solo e o escoamento ncdente possuem a mesma velocdade), o que torna as smulações numércas menos onerosas em termos de tempo de CPU (no cálculo do campo de velocdades deve-se consderar a contrbução de todos os vórtces dscretos presentes no domíno fludo; maores detalhes são apresentados na Seção.4). Assm, Bmbato et al. (011) utlzaram a estratéga numérca apresentada por Bmbato (008) e o modelo da função estrutura de velocdade de segunda ordem adaptado ao Método de Vórtces Dscretos por Alcântara Perera et al. (00), para consderar os aspectos referentes à turbulênca no escoamento ao redor de um clndro crcular que se mova em relação ao solo; verfcou-se uma tendênca de nterrupção do desprendmento de estruturas vortcosas à medda que o clndro crcular se aproxmava do solo. Embora um únco caso sea analsado, o presente trabalho vem a contrbur na medda em que acrescenta um outro fator nfluente na nvestgação do fenômeno do efeto solo: a rugosdade da superfíce do corpo. O problema é estudado consderando-se, anda, uma stuação de aplcação prátca da engenhara: a stuação de movmento relatvo. Para tanto, utlza-se a estratéga numérca apresentada por Bmbato (008) na representação do movmento do solo e assoca-se ao Método de Vórtces Dscretos um modelo submalha que calcula uma função estrutura de velocdade de segunda ordem para determnar um coefcente de vscosdade turbulenta. Este coefcente de vscosdade turbulenta tem como fnaldade realzar a transferênca de energa entre as grandes escalas do escoamento, as quas são resolvdas, e as escalas submalha, as quas são modeladas..4 O MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS O Método de Vórtces Dscretos moderno nasceu nos anos de 1970, e os estudosos proemnentes foram Alexander Chorn e Anthony Leonard, nos Estados Undos, e Conrad Rehbach, na França. O grande nteresse pelo Método de Vórtces Dscretos durante o começo dos anos de 1980 estava focado nos aspectos matemátcos, como as propredades de convergênca. Nos últmos anos o desenvolvmento do método fo muto rco, prncpalmente

55 7 com relação às questões da nclusão correta dos efetos vscosos, do tratamento das condções de contorno sobre as fronteras sóldas e da redução efcente dos custos computaconas, no ntuto de tornar o método aproprado para realzar smulações de escoamentos em regme não permanente. Atualmente, dos grupos de pesqusa que trabalham com o Método de Vórtces Dscretos se destacam nternaconalmente: () o grupo sedado no Insttuto de Tecnologa da Suíça, chefado por Petros Koumoutsakos, estuda, entre outros temas, o processo de formação de estera em aeronaves e o desempenho hdrodnâmco de competdores de natação (Fgura.9a e Fgura.9b, respectvamente); () o grupo sedado na Unversdade Naconal de Yokohama, chefado por Kyo Kamemoto (até 009), estuda, entre outros temas, o escoamento no nteror de máqunas de fluxo e o desempenho aerodnâmco de um velocsta de cem metros rasos (Fgura.9c e Fgura.9d, respectvamente). (a) (b) (c) (d) Fgura.9 Estudos recentes envolvendo o Método de Vórtces Dscretos (Chatelan et al., 008; Gazzola et al., 011; Kamemoto, 004; Kamemoto, 009).

56 8 Os resultados numércos apresentados nesta tese de doutorado foram obtdos utlzando-se a nfraestrutura dsponblzada pelo Laboratóro Computaconal de Métodos de Partículas do IEM/UNIFEI. Este laboratóro conta com um grupo de professores e de alunos que vêm desenvolvendo um Método de Vórtces Dscretos desde Os problemas que vêm sendo estudados envolvem nterferênca entre corpos com e sem movmento relatvo entre eles, efetos de osclação de corpos, fenômenos de transferênca de calor (Método de Partículas de Calor) e aspectos de turbulênca. Esta tese de doutorado contrbu de manera mportante através da nclusão dos aspectos referentes à rugosdade de superfíces sóldas nos modelos bdmensonas estudados. A Fgura.10 lustra dos exemplos de problemas estudados por este grupo de pesqusa do IEM/UNIFEI. (a) Rotor de uma bomba centrífuga (b) Dos clndros crculares n tandem Fgura.10 Estudos envolvendo o Método de Vórtces Dscretos desenvolvdos no Laboratóro Computaconal de Métodos de Partículas do IEM/UNIFEI (Alcântara Perera & Hrata, 009; Moraes, 011). Conforme dscutdo no Capítulo 1, o escoamento ao redor de um corpo rombudo, ou mesmo o escoamento ao redor de um corpo esbelto submetdo a um ângulo de ataque consderável, é complexo (Fgura.10). Reforça-se, nesta seção, que esta classe de escoamentos apresenta questões anda em aberto, que merecem a atenção dos pesqusadores. Dos aspectos, dentre outros, dfcultam a análse do escoamento ao redor de um corpo rombudo, ou de um corpo esbelto submetdo a um ângulo de ataque consderável. O prmero aspecto é representado pela estera vscosa que se forma a usante destes corpos (Fgura.10b). Toda a vortcdade gerada é lançada na estera através da camada lmte onde ela se

57 9 desenvolve. Portanto, as atvdades mportantes que precsam ser estudadas em um escoamento externo encontram-se na regão da camada lmte e na regão da estera vscosa. O segundo aspecto mportante, nerente aos escoamentos lustrados na Fgura.10, está relaconado com o caráter turbulento do escoamento. O tratamento ntegrado destes dos tópcos é uma característca que se desea encontrar nas técncas utlzadas no estudo destes tpos de escoamento. Vsando utlzar este tratamento ntegrado, o presente trabalho faz uso do Método de Vórtces Dscretos assocado a uma smulação de turbulênca do tpo LES e nclu, anda, os efetos causados pela rugosdade superfcal do corpo. O Método de Vórtces Dscretos utlzado na smulação de escoamentos corresponde a uma abordagem numérca que possu três característcas fundamentas. Prmeramente, as Equações de Naver-Stokes são formuladas em termos do campo de vortcdades e não do campo de velocdades. Em segundo lugar, faz-se uso de um dos teoremas de Helmholtz (Batchelor, 1967; Sherman, 1990), o qual mostra a correspondênca entre os elementos de vortcdade (os vórtces dscretos) e as partículas materas de fludo; a partr desta característca, é possível submeter os vórtces dscretos a um processo convectvo com a mesma velocdade das partículas fludas, o que confere uma característca puramente lagrangana ao método. Por últmo, para se obter a velocdade do fludo, faz-se uso do fato de que a vortcdade é defnda por ω = u ; desta forma, ntegrando-se o campo de vortcdades, determna-se o campo de velocdades, u. Esta é a Le de Bot-Savart, que permte descrever completamente o escoamento através do acompanhamento dos vórtces dscretos (Batchelor, 1967). As característcas fundamentas descrtas anterormente são as responsáves tanto pelos aspectos deseáves do Método de Vórtces Dscretos quanto pelas maores dfculdades encontradas para a sua mplementação numérca. Estudar o escoamento vscoso concentrando-se no campo de vortcdades é deseável, devdo ao fato de se propcar uma melhor vsualzação do que ocorre no problema, especalmente em escoamentos vortcosos e em regme não permanente; além dsso, a equação que rege o transporte da vortcdade na forma bdmensonal é escalar. Outra vantagem é o fato do termo de pressão desaparecer da equação do movmento (Equações de Naver-Stokes); posterormente, pode-se, como alternatva, tomar o dvergente das Equações de Naver-Stokes para se recuperar, va solução ntegral resultante de uma equação de Posson para a pressão, o cálculo das cargas fludodnâmcas. Além dsso, trabalhar com o campo de vortcdades sendo dscretzado em

58 30 uma forma lagrangana faz com que as condções de contorno no nfnto seam satsfetas automatcamente, devdo à característca que os vórtces dscretos têm de marchar no tempo e de smular a dnâmca da vortcdade. É mportante salentar que o avanço temporal dos vórtces dscretos é bastante smples, uma vez que estas partículas não têm massa (estuda-se a evolução do campo de vortcdades dscretzado em uma nuvem de vórtces dscretos - que, por sua vez, modfca o campo de velocdades do escoamento). Ao contráro, satsfazer estas condções nos métodos que utlzam malha pode ser uma tarefa delcada, á que o domíno fludo é lmtado. Ademas, os vórtces dscretos são convectados sem que haa dsspação numérca, uma vez que o termo não lnear das Equações de Naver-Stokes (N-S) é tratado por um conunto de equações dferencas parcas que descrevem as traetóras das partículas; os métodos de malha podem sofrer com essa dsspação numérca, especalmente nos casos de elevados números de Reynolds. Fnalmente, os métodos que não utlzam malha são, na sua essênca, mas vantaosos, á que a geração de malha é uma das etapas mas custosas dos métodos euleranos. Por outro lado, o Método de Vórtces Dscretos também possu algumas desvantagens, comentadas a segur. O surgmento do Método de Vórtces Dscretos é quase tão antgo quanto o Método de Dferenças Fntas. Na verdade, o trabalho de Präger (198) com dstrbução de vórtces potencas sobre uma superfíce fo a orgem do Método de Panés utlzado neste trabalho (Katz & Plotkn, 1991), e largamente usado na ndústra aeronáutca atual. Rosenhead (1931) apresentou o cálculo de folhas de vortcdade utlzando vórtces dscretos potencas; esse trabalho teve tanta mportânca que é ctado até os das atuas, sendo um estudo clássco da área. É nteressante menconar que o Método de Vórtces Dscretos Potencas de Rosenhead (1931) fo parcalmente desacredtado por volta de 1960, pela observação de que faltavam provas de que o método converga (Brkhoff, 196), e pelos cálculos computaconas, os quas exbam um movmento aparentemente caótco das partículas (Brkhoff & Fsher, 1959). Este últmo problema fo atrbuído à característca sngular da velocdade nduzda próxmo à orgem do vórtce potencal e dferentes abordagens foram propostas para soluconá-lo. Uma delas é a utlzada neste trabalho, onde cada vórtce dscreto possu um núcleo vscoso, sendo a vortcdade dstrbuída de forma gaussana no nteror do núcleo (Chorn, 1973). Apesar do desenvolvmento contemporâneo com o Método de Dferenças Fntas, o Método de Vórtces Dscretos anda não está entre as ferramentas de CFD (do nglês, Computatonal Flud Dynamcs Dnâmca dos Fludos Computaconal ) mas utlzadas. Os três prncpas desafos que se apresentam para que o Método de Vórtces Dscretos se consolde como uma ferramenta padrão da Dnâmca dos Fludos Computaconal são: () a

59 31 complexdade numérca para o cálculo da velocdade usando a Le de Bot-Savart, que requer NV operações do processador para NV vórtces dscretos presentes na nuvem; () o nconvenente de nclur os efetos vscosos em uma formulação puramente lagrangana, uma vez que a dfusão é faclmente computada nos métodos de malha; e, () o efeto da evolução lagrangana no tempo, pos os resultados serão tão precsos quanto menores forem os ncrementos de tempo utlzados; entretanto, quanto menores os ncrementos de tempo, mas onerosas serão as smulações, no que dz respeto ao tempo de CPU. Cabe reforçar, anda, que o presente trabalho lança mão de uma smulação numérca bdmensonal, onde a evolução temporal do termo de deformação dos tubos de vortcdade é desprezada; caso este termo fosse consderado, ou sea, caso a smulação numérca fosse trdmensonal, o tempo de CPU sera anda mas crítco. A prmera dfculdade menconada tem sdo resolvda com sucesso através do método de expansão em multpolos (Greengard & Rokhln, 1987) para o cálculo da nteração vórtcevórtce. Neste aspecto, o método de expansão em multpolos é uma alternatva à Le de Bot- Savart no que se refere à dmnução dos esforços computaconas. Tal método possblta que o processador faça NVlogNV operações, ou até mesmo NV operações para NV vórtces dscretos da nuvem, conforme dscutdo na tese de doutorado de Koumoutsakos (1993). A aplcação do referdo método tem sdo muto estudada e mplementações efcentes têm sdo desenvolvdas, mas deve-se ressaltar os grandes esforços dspenddos na programação do método. Com relação à nclusão dos efetos da dfusão vscosa, nas últmas três décadas uma grande quantdade de pesqusas sobre esse assunto produzu pelo menos ses esquemas dferentes para adconar a dfusão vscosa nos cálculos do Método de Vórtces Dscretos. Dentre eles, ctam-se os dos mas mportantes: o método de avanço randômco (Chorn, 1973; Lews, 1991) e o método do crescmento do rao do núcleo do vórtce modfcado (Ross, 1996). O método de avanço randômco utlzado neste trabalho fo a prmera técnca aplcada ao Método de Vórtces Dscretos para tratar a dfusão vscosa (Chorn, 1973); este método é de smples mplementação e de rápda execução. O método do crescmento do rao do núcleo do vórtce fo proposto por Leonard (1980) e utlzado por Kamemoto et al. (1990); entretanto, tal método fo abandonado quando Greengard (1985) provou que esta metodologa não converga para as Equações de Naver-Stokes. Dante dsso, Ross (1996) corrgu o método do crescmento do rao do núcleo do vórtce fazendo com que os vórtces dscretos crescessem até um valor máxmo; ao atngrem o valor máxmo, os vórtces dscretos são dvddos (partção), dando orgem a novos vórtces dscretos, cuos raos podem novamente

60 3 se expandr; o grande nconvenente do método do crescmento do rao do núcleo do vórtce corrgdo por Ross (1996) é que a técnca da partção, ctada acma, aumenta demasadamente o número de vórtces dscretos presentes na nuvem, o que torna as smulações numércas anda mas onerosas em termos de tempo computaconal. O efeto da evolução lagrangana no tempo tem sdo resolvdo pela aplcação de esquemas que calculam as velocdades dos vórtces dscretos através de uma malha em cada nstante de tempo. Tas esquemas têm sdo utlzados há bastante tempo, e possbltam o cálculo precso de escoamentos complexos; no entanto, eles têm causado controvérsas pelo fato de adconar uma malha em um método caracterzado por não utlzar malhas. Além dsso, eles ntroduzem alguns erros de nterpolação, mas que são geralmente toleráves, a menos que se quera smular escoamentos com números de Reynolds mas altos, quando tas erros podem tornar-se uma lmtação. Buscando soluconar tas nconvenentes, Barba et al. (004) utlzaram o método do crescmento do rao do núcleo do vórtce, em conunto com funções de base radal, para elmnar a necessdade de utlzação de malha; esta técnca se mostrou efcente quanto à precsão dos resultados obtdos. No que dz respeto ao cálculo das cargas fludodnâmcas, Lews (1991) determnou o coefcente de pressão pela ntegração do termo de pressão das Equações de Naver-Stokes. He & Su (1999) complementaram a formulação de Lews (1991) acrescentando o termo de aceleração convectva. Um estudo relevante e afeto à precsão dos resultados é a formulação proposta por Shntan & Akamatsu (1994), orunda dos trabalhos de Uhlman (199) e de Kamemoto (1993), que leva em consderação a contrbução de todos os vórtces dscretos presentes na estera, dferentemente de Lews (1991) e He & Su (1999), que consderam apenas a nfluênca dos vórtces dscretos nascentes em um dado nstante de tempo. Buscando obter resultados mas precsos, o presente trabalho utlza a formulação proposta por Shntan & Akamatsu (1994) para ser acoplada ao modelo de camada lmte resolvdo va Método de Vórtces Dscretos com um modelo de rugosdade assocado. Na busca por resultados cada vez mas realístcos, Kamemoto (004) fzeram uma revsão do Método de Vórtces Dscretos, descrevendo a mportânca do desenvolvmento de modelos de turbulênca para os métodos lagranganos e destacaram os trabalhos de Leonard & Chua (1989), Mansfeld et al. (1998), Saltara et al. (1998), Mansfeld et al. (1999), Kya et al. (1999) e Alcântara Perera et al. (00). O trabalho de Alcântara Perera et al. (00) fo preparado vsando à realzação de smulações numércas mas refnadas envolvendo os aspectos de turbulênca, tendo como

61 33 contrbuções prncpas: uma modelagem submalha de turbulênca utlzando-se o modelo da função estrutura de velocdade de segunda ordem adaptado ao Método de Vórtces Dscretos e o desenvolvmento e mplementação de um algortmo numérco, para nclur, no contexto do Método de Vórtces Dscretos, a smulação da turbulênca. A presente tese de doutorado contrbu para aprmorar o algortmo desenvolvdo por Alcântara Perera et al. (00), não mas modfcando o valor do rao do núcleo dos vórtces dscretos em cada nstante de tempo da smulação numérca. Este procedmento causa um aumento excessvo do rao do núcleo dos vórtces dscretos posconados nas regões do escoamento onde a turbulênca é consderada, o que mplca em um aumento no valor do coefcente de arrasto médo. Mustto (004) utlzou a formulação proposta por Alcântara Perera et al. (00) lmtando o valor máxmo do rao do núcleo dos vórtces dscretos em,5% do valor do rao do clndro crcular, de modo que, quando o rao do núcleo de um vórtce dscreto atnga este valor, o modelo de turbulênca não atuava mas nas posções ocupadas por aquele vórtce dscreto. Entretanto, não se dentfcou melhora nos resultados. Tennekes & Lumley (197) são taxatvos ao afrmarem que não se pode defnr turbulênca com precsão, propondo que um escoamento turbulento pode ser caracterzado por: rregulardade (necessdade de métodos estatístcos), alta dfusvdade (que, do ponto de vsta de engenhara, é a característca mas mportante), ocorrênca a altos números de Reynolds, dsspação (a vscosdade molecular transforma o movmento turbulento de pequenas escalas em calor), meo contínuo (a menor escala da turbulênca é muto maor que a escala molecular), mprevsbldade (uma ínfma perturbação na condção ncal é o bastante para alterar a solução sgnfcatvamente) e que flutuações bdmensonas do campo de vortcdades não podem se manter por s só, pos os mecansmos de geração de vortcdade são puramente trdmensonas. No entanto, esta tese de doutorado mostra que a assocação do modelo de turbulênca desenvolvdo por Alcântara Perera et al. (00), que fo corrgdo neste trabalho, com o modelo de rugosdade proposto, permte smular escoamentos bdmensonas ao redor de um corpo rombudo hdraulcamente rugoso com um nível de precsão bastante acetável. Como nformação fnal, regstra-se que o Laboratóro Computaconal de Métodos de Partículas do IEM/UNIFEI está, atualmente, desenvolvendo um modelo de programação paralela no ambente FORTRAN/LINUX. Resumdamente, obetva-se a utlzação de memóra compartlhada, de manera que todas as tarefas em execução tenham acesso a dados na memóra global da máquna para a aceleração dos cálculos da nteração vórtce-vórtce, dentro

62 34 de um únco computador com múltplos núcleos. Embora alguns avanços tenham sdo atngdos durante o últmo ano, neste trabalho nenhuma técnca de paralelzação do códgo computaconal é utlzada, mantendo-se, assm, fdeldade ao níco do trabalho.

63 35 Capítulo 3 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA Neste capítulo desenvolve-se um modelo matemátco capaz de representar algumas das prncpas característcas do escoamento turbulento que ncde sobre um corpo de forma qualquer, e que se move em relação a uma superfíce plana, tal como nos exemplos lustrados na Fgura 3.1. (a) (b) Fgura 3.1 Exemplos de corpos submetdos ao efeto solo.

64 3.1 GEOMETRIA E DEFINIÇÕES 36 A Fgura 3. representa esquematcamente um escoamento vscoso bdmensonal e ncompressível que ncde sobre um clndro crcular de superfíce rugosa (que representa um corpo genérco) de dâmetro d, estaconado nas vznhanças de uma superfíce plana lsa, doravante defnda como solo. Como em mutas aplcações prátcas (Fgura 3.1), há movmento relatvo entre o corpo e o solo. No modelo físco desenvolvdo neste trabalho, utlza-se um artfíco numérco para se obter uma confguração de escoamento equvalente ao caso em que a superfíce plana, ou solo, possu a mesma velocdade do escoamento ncdente (maores detalhes são dados no Item 3.3.). Fgura 3. Regão fluda e defnções. Na Fgura 3. são defndos: U velocdade do escoamento ncdente (paralela ao solo); α ângulo de ncdênca do escoamento; d dâmetro do clndro crcular; h dstânca entre o corpo e o solo; S contorno que delmta a superfíce do corpo; 1

65 S contorno que defne a superfíce do solo; 37 S frontera defnda a grandes dstâncas do corpo e do solo; 3 Ω domíno fludo sem-nfnto postvo, cuo contorno é defndo por S = S1 S S3. 3. HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS Dada a complexdade de se analsar o comportamento fludodnâmco de um corpo de superfíce rugosa submetdo à presença de um escoamento turbulento, torna-se necessára a especfcação de algumas hpóteses que dmnuam o grau de complexdade do problema, de manera a possbltar a sua solução. Tas hpóteses podem ser dvddas em três classes, a saber: a) Hpóteses relatvas à geometra H1 Regão fluda sem-nfnta e bdmensonal: o escoamento está presente apenas acma do plano defndo pelo solo. H Ângulo de ncdênca nulo: consdera-se que o escoamento ncdente sea paralelo ao solo, de modo que o α = 0, e que o perfl de velocdades sea retangular. b) Hpóteses relatvas às propredades dos fludos H3 Fludo newtonano: esta hpótese refere-se ao comportamento reológco do fludo, que especfca uma dependênca lnear entre a tensão tangencal aplcada sobre uma partícula fluda e a consequente taxa de deformação sofrda. A constante de proporconaldade é representada pelo coefcente de vscosdade dnâmca; como consequênca, tem-se: - o desenvolvmento da camada lmte e, desde que haa um gradente adverso de pressão, o escoamento descola e há a formação da estera;

66 38 - a condção de contorno especfcada sobre a superfíce do corpo é a condção de aderênca, que, por sua vez, pode ser dvdda em condção de mpermeabldade e condção de não deslzamento. H4 As propredades do fludo são constantes: não há varação da vscosdade e da massa específca do fludo em escoamento. c) Hpóteses relatvas ao escoamento H5 Escoamento sotérmco: não há presença de gradentes de temperatura entre o fludo em escoamento e as fronteras sóldas. H6 Escoamento ncompressível: os efetos da compressbldade são desprezados, sto é, o número de Mach ( Ma ) assume valores muto menores que a undade; em geral, tem-se Ma 0, EQUAÇÕES GOVERNANTES E CONDIÇÕES DE IIIIIIIIICONTORNO Equações Governantes Todas as equações dferencas báscas podem ser deduzdas consderando-se um volume de controle elementar, nfntesmal e fxo ( dx, dy, dz ), como mostra a Fgura 3.3. Nesta fgura, a velocdade no centro do volume de controle é coefcente de vscosdade dnâmca é µ. u, a massa específca é ρ e o A segur, apresentam-se duas les báscas da Mecânca que devem ser estabelecdas para qualquer fenômeno físco que se quera modelar.

67 a) Conservação da Massa 39 Fazendo-se um balanço de massa no volume de controle nfntesmal da Fgura 3.3, expressa-se a equação da contnudade da segunte forma: t ( ρ ) 0 ρ + = u (3.1) Fazendo uso da hpótese H6 (ncompressbldade), a Equação 3.1, em notação ndcal, torna-se: u x = 0 (3.) onde u é o componente do vetor velocdade do fludo e, de acordo com a hpótese H1 (problema bdmensonal), sabe-se que = 1,, ou sea, u 1 é o componente do vetor dreção x e u é o componente do vetor u na dreção y. u na Fgura 3.3 Volume de controle elementar, nfntesmal e fxo.

68 b) Balanço de Quantdade de Movmento Lnear 40 Fazendo-se um balanço das forças atuantes sobre o volume de controle nfntesmal da Fgura 3.3 (aplcação da Segunda Le de Newton), obtém-se a equação dferencal da quantdade de movmento lnear: du ρ dt = ρg p + t (3.3) onde g é o vetor aceleração da gravdade local, das tensões vscosas que atuam sobre o elemento da Fgura 3.3. p é o campo de pressões e t é o tensor Assumndo as hpóteses H3, H4 e H6 (fludo newtonano com propredades constantes e escoamento ncompressível) e desprezando-se os efetos de força de campo, obtém-se a segunte forma para as Equações de Naver-Stokes (em notação ndcal): u t + x ( u u ) 1 p = ρ x + x u ν x u + x (3.4) onde ν é o coefcente de vscosdade molecular (cnemátca) Condções de Contorno No contexto deste trabalho, basta que se fxe a atenção nas condções de contorno especfcadas sobre as fronteras sóldas não porosas e nas condções de contorno especfcadas a grandes dstâncas do corpo e do solo. Como mostra a Fgura 3.4, a velocdade de uma partícula de fludo ( u ) pode ser decomposta em dos componentes: o componente normal à superfíce ( u ) e o componente tangencal à superfíce ( u ). τ n Desta manera, a condção de mpermeabldade, sufcente em teora de escoamento potencal, exge que o componente normal da velocdade da partícula fluda ( u ) sea gual ao componente normal da velocdade das fronteras sóldas ( v n ): n u vn 0, em S 1 e S (3.5) n =

69 41 Uma vez que o escoamento é lmtado pela presença de superfíces sóldas, nterações moleculares fazem com que o fludo em contato com as superfíces busque o equlíbro de quantdade de movmento com tas superfíces. Portanto, a partícula de fludo em contato com uma superfíce sólda não porosa, como é o caso deste estudo, assume a velocdade desta superfíce; esta é a condção de aderênca. Fgura 3.4 Decomposção da velocdade de uma partícula fluda em contato com uma superfíce sólda nas dreções normal e tangencal. Como á vsto, os componentes normas da velocdade da partícula fluda e da velocdade das fronteras sóldas são guas. Conclu-se que o mesmo deve acontecer com o componente tangencal da velocdade da partícula de fludo ( u ) e com o componente tangencal da velocdade da superfíce S 1 ( v τ ); esta é a condção de não deslzamento: τ u v 0, apenas em S 1 (3.6) τ τ = Este é o momento oportuno para descrever o artfíco numérco ctado na Seção 3.1, o qual permte obter uma confguração de escoamento equvalente ao caso em que a superfíce plana, ou solo, se move com a mesma velocdade do escoamento ncdente. O ponto de partda para a utlzação de tal artfíco numérco são as observações expermentas realzadas em túnel de vento por Nshno (007), a respeto do comportamento aerodnâmco de um clndro crcular estaconado nas vznhanças de uma estera rolante que se move com a mesma velocdade do escoamento ncdente. Conforme comentado no Capítulo, Nshno (007) demonstrou que, quando uma estera rolante se move com a mesma velocdade do

70 4 escoamento ncdente, pratcamente não há formação de camada lmte unto a ela. Assm, a stuação expermental descrta por Nshno (007) pode ser representada por uma smulação numérca que abdque da condção de não deslzamento sobre o solo (a superfíce S ). A consequênca de se mpor a condção de não deslzamento apenas sobre a superfíce do corpo resde no fato de que vórtces dscretos de Lamb são gerados apenas no corpo (a superfíce S 1 ). Esta estratéga numérca permte representar o movmento da superfíce plana, mesmo mantendo-a fscamente fxa. A condção de contorno representada pela Equação 3.6, mprescndível para o modelo newtonano, tem consequêncas marcantes no desenvolvmento do escoamento unto a uma superfíce sólda, tas como: () formação da camada lmte; () geração de vortcdade e posteror desenvolvmento da estera vscosa; () aparecmento do fenômeno da separação, desde que haa um gradente de pressão adverso ao longo da superfíce do corpo. Além da condção de aderênca, mposta através das Equações 3.5 e 3.6, assume-se que, a grandes dstâncas da regão em que o fenômeno físco ocorre, a perturbação causada pelas fronteras sóldas no escoamento ncdente deve se desfazer gradualmente: u U, em 3 S (3.7) 3.4 ESCOAMENTOS TURBULENTOS A grande parte dos escoamentos presentes em stuações prátcas envolvendo problemas de engenhara é de natureza turbulenta; portanto, a compreensão e a análse dos mecansmos físcos que envolvem esses escoamentos tornam-se mprescndíves. Em tas escoamentos, dentfca-se uma complexdade físca devdo ao amplo espectro de escalas com nterações não lneares entre elas. A geometra que caracterza o escoamento é o fator domnante nas grandes escalas e as pequenas escalas, dsspadoras de energa e que possuem as frequêncas mas altas, são controladas pelas escalas de Kolmogorov (vscosdade molecular). As escalas de Kolmogorov são as menores possíves nos escoamentos turbulentos. Anda, dentfca-se nas pequenas estruturas mas vortcdade que nas grandes estruturas. Já nas grandes estruturas exste mas energa que nas menores escalas.

71 43 Os escoamentos turbulentos caracterzam-se pelo alto grau de complexdade à medda que o número de Reynolds ( Re ) aumenta. Logo, as dfculdades para a solução das equações governantes apresentadas na seção anteror tornam-se muto grandes. Surge, portanto, a necessdade de se obter soluções aproxmadas através de dversas técncas estabelecdas de smulação da turbulênca; entre elas, cta-se: a) Smulação Numérca Dreta (DNS Drect Numercal Smulaton) Caracterzada pela utlzação de uma malha de dscretzação sufcentemente fna e que resolve todas as escalas do escoamento, exge uma grande capacdade computaconal na solução do sstema de equações resultante e necessta de mutos ncrementos dscretos de tempo. Esta técnca é a mas dreta aproxmação das equações transentes de Naver-Stokes (N-S) e está restrta à solução de problemas smples de engenhara com baxos valores de Re, uma vez que os esforços computaconas requerdos são, anda, probtvos. b) Smulação va Equações Médas de Reynolds (RANS Reynolds Averaged Naver- IIIStokes Equatons) Como a Smulação Numérca Dreta é probtva (em termos de esforços computaconas) para grande parte dos problemas de engenhara da atualdade, a alternatva natural que surge consste na smplfcação dos problemas matemátcos através de modelos específcos. A metodologa da Smulação va Equações Médas de Reynolds consste na aplcação da chamada decomposção de Reynolds, para que as grandezas do escoamento seam decompostas em uma parte fltrada e na correspondente parte flutuante. Sobre as equações resultantes aplca-se a operação de méda, onde as equações médas são calculadas num ntervalo de tempo sufcentemente grande e, com sto, todas as quantdades médas descrevendo flutuações tornam-se guas a zero. As equações governantes assm obtdas são chamadas de Equações Médas de Reynolds; nas Equações de N-S observa-se o surgmento das correlações de flutuação de velocdade (denomnadas de tensões de Reynolds). Estas novas tensões causam o chamado problema de fechamento da turbulênca: o número de ncógntas torna-se maor que o número de equações. Para o fechamento do sstema de equações, as tensões de Reynolds devem ser determnadas de alguma forma. Pode-se desenvolver equações de transporte para as correlações de velocdades, mas novas correlações de ordem anda maor aparecerão. A solução para este problema é a busca dos chamados

72 44 modelos de turbulênca, que consstem na dedução de uma relação entre as tensões de Reynolds e alguma função do campo médo de velocdades para que o sstema de equações possa ser fechado. c) Smulação de Grandes Escalas (LES Large Eddy Smulaton) Na Smulação de Grandes Escalas aparece o conceto de separação de escalas, mas, dferentemente do que acontece na decomposção de Reynolds (conceto de méda), utlza-se o conceto de fltragem das varáves assocadas ao escoamento. As menores escalas não são afetadas pela geometra; portanto, são consderadas homogêneas e sotrópcas em todo o domíno e para todos os tpos de escoamento; deste modo, um modelo para descrever os seus efetos deve ser proposto. As maores escalas, transportadoras de energa e de quantdade de movmento, são nfluencadas pela geometra; portanto, são smuladas explctamente através de um método numérco arbtráro Fltragem das Equações Governantes No problema em estudo, as expressões matemátcas que representam as duas les da Mecânca apresentadas no Item são váldas para todas as escalas de número de onda ou de comprmento de onda. A smulação dreta dos fenômenos torna-se mpratcável, porque exgra uma dscretzação muto refnada (uma malha muto fna, no caso dos métodos euleranos, ou um número de vórtces dscretos muto grande, no caso de se utlzar o Método de Vórtces Dscretos). Na presente formulação, o conceto de smulação de grandes escalas ( Large Eddy Smulaton LES) é utlzado para separar as escalas do escoamento. De acordo com Leseur & Métas (1996), grande parte das atvdades de nteresse ocorrem nas grandes escalas, de manera que os fenômenos que se manfestam nas macroescalas podem ser analsados utlzando-se um número máxmo de vórtces dscretos razoável. Os fenômenos que se manfestam nas mcroescalas devem ser consderados medante o uso de um modelo específco para tal fm.

73 45 A técnca para a separação de escalas, em LES, é feta através de um processo de fltragem; para tanto, as varáves presentes nas Equações 3. e 3.4 são separadas em uma parte dta de grandes escalas ( ( ),t f x ) e em outra parte dta submalha ( ( ),t f x ): ( ) ( ) ( ),t f,t f,t f x x x + = (3.8) A parte dta fltrada é dada por (Smagornsky, 1963): ( ) ( ) ( ) = d t, f - G t, f y y y x x (3.9) onde a função G caracterza um fltro passa-baxa, tal que as menores frequêncas do escoamento (ou as maores estruturas turblhonares) são resolvdas e as maores frequêncas do escoamento (ou as menores estruturas turblhonares) são modeladas. O que se propõe, portanto, é a fltragem das equações governantes usando a Equação 3.9. Consequentemente, tas equações (Equação 3. e Equação 3.4) fltradas tomam a forma: 0 x u = (3.10) ( ) + + = + x u x u ν x x p ρ 1 u u x t u (3.11) Observando as Equações 3.10 e 3.11 nota-se uma dfculdade na solução deste sstema de equações devdo à presença do termo não lnear ( u u, na Equação 3.11). Deste modo, faz-se necessáro decompor as escalas, utlzando a Equação 3.8, o que modfca apenas o termo não lnear da Equação 3.11, da segunte forma: ( )( ) u u u u u u + + = (3.1) u u u u u u u u u u = (3.13) Defne-se o tensor de Leonard ( L ) como: u u u u L = (3.14) Portanto:

74 u u = u u + L + u u + u u + u u (3.15) 46 Defne-se anda o tensor cruzado ( C ) e o tensor de Reynolds submalha ( τ ), respectvamente por: C = u u + u u (3.16) τ = u u (3.17) Deste modo, a Equação 3.13 torna-se: u u = u u + L + C + τ (3.18) Entretanto, Slvera Neto et al. (1993) verfcaram através da smulação do escoamento sobre um degrau, que os tensores de Leonard ( L ) e cruzado ( C ) são desprezíves em comparação com o tensor de Reynolds submalha ( τ ), para esquemas de transporte convectvo de até tercera ordem de precsão. Verfcou-se, também, que a dfusão do termo τ fo quarenta vezes superor em relação aos termos L e C. Portanto, a nclusão ou não destes termos depende da ordem de precsão do esquema de avanço convectvo. Como as análses fetas neste trabalho têm como base smulações numércas com transporte convectvo de prmera ordem (esquema de avanço de Euler), é lícto desprezar a nfluênca dos tensores de Leonard e cruzado, de modo que as Equações 3.10 e 3.11 tornamse: u x = 0 (3.19) ( u u ) u ν x u + x τ u 1 p + = + t x ρ x x (3.0) Para resolver este sstema de equações (Equação 3.19 e Equação 3.0) torna-se necessáro modelar o tensor de Reynolds submalha ( τ = u u ). Este termo representa o transporte turbulento de quantdade de movmento entre as escalas resolvdas através do Método de Vórtces Dscretos (grandes escalas) e as escalas não resolvdas (escalas submalha). O tensor anterormente menconado é obtdo como resultado do movmento do

75 47 fludo encontrado em escalas nferores, as quas não são resolvdas com o número de vórtces dscretos empregado nas smulações deste trabalho. Portanto, ele deve ser modelado com a fnaldade de recuperar as frequêncas mas altas do escoamento, perddas no processo de fltragem das equações. O trabalho de Leseur & Métas (1996) descreve os dversos modelos submalha que podem ser utlzados na modelagem do tensor τ A Smulação da Turbulênca As tensões de Reynolds submalha são a contrbução das pequenas escalas do escoamento; estas tensões não são resolvdas e necesstam de uma modelagem aproprada para serem consderadas na solução do problema. Neste trabalho, esta modelagem é feta através de um coefcente de vscosdade turbulenta, ν t (Boussnesq, 1877), responsável por fazer a transferênca de energa entre as grandes escalas do escoamento (as quas são resolvdas) e as mcroescalas (as quas são modeladas), até que essa energa sea dsspada através do coefcente de vscosdade molecular (ν ), sob a forma de calor. Anda de acordo com a metodologa de Smagornsky (1963), o tensor deformação do campo fltrado é defndo como: 1 u u S = + (3.1) x x e se relacona com o tensor de Reynolds submalha através da relação: τ = ν S (3.) t onde ν t é o coefcente de vscosdade turbulenta. Fnalmente, levando as defnções de Smagornsky (1963) na Equação 3.0, obtém-se: u t + x 1 p ( u u ) = + [( ν + ν ) S ] ρ x x t (3.3)

76 48 Deste modo, o coefcente de vscosdade turbulenta ( ν t ) deve ser calculado, podendo ser smplesmente somado ao coefcente de vscosdade molecular (ν ); para a obtenção do coefcente de vscosdade turbulenta, Smagornsky (1963) utlza a segunte formulação: t ( C l ) S S ν = (3.4) SM onde C = 0,18 e SM l = x y, sendo x e y, respectvamente, o comprmento e a largura da malha. Este modelo é nconvenente para ser combnado com o Método de Vórtces Dscretos (que é um método puramente lagrangano) por utlzar uma malha; além dsso, a metodologa proposta por Smagornsky (1963) utlza a noção de taxa de deformação (dervadas), o que torna a sua mplementação numérca noportuna. Chollet & Leseur (1981) observam que não há necessdade de modelagem submalha nas regões de poucas atvdades turbulentas e que é essencal que se dsspe, nos domínos onde se dentfcam as escalas submalha, as manfestações locas da turbulênca. Observam, anda, que, nas escalas submalha, os fenômenos são aproxmadamente homogêneos e sotrópcos. Com estas observações, Chollet & Leseur (1981) propõem utlzar o espectro de energa cnétca local, E ( K,t ) ν t E ( ) ( K c, t ) K, t C 3 c c c, para defnr o coefcente de vscosdade turbulenta: = k (3.5) 3 K onde C = 1,4 é a constante de Kolmogorov e K K c é o número de onda de corte. É oportuno dzer que o coefcente de vscosdade turbulenta serve à modelagem das nterações entre as grandes estruturas turblhonares, que correspondem aos pequenos números de onda (menores que o número de onda de corte), e as estruturas submalha, relatvas aos grandes números de onda (maores que o número de onda de corte). Usando uma relação fornecda por Batchelor (1953), Métas & Leseur (199) calculam o espectro de energa cnétca local, E ( K,t ) estrutura de velocdade de segunda ordem ( F ): c, através do modelo da função

77 F (,,t ) = u ( x,t ) u ( x + r,t ) r = x (3.6) 49 Nesta defnção, é mportante observar que o operador méda é aplcado entre as velocdades u ( x + r, t ) em x e rao defndo por, calculadas sobre pontos da superfíce de uma esfera com o centro r =, e a velocdade u ( x,t ) x, onde se desea determnar a atvdade turbulenta., calculada sobre o ponto do escoamento A função estrutura de velocdade de segunda ordem é utlzada para calcular o coefcente de vscosdade turbulenta de manera mas convenente (Métas & Leseur, 199): ν t ( x,,t ) 0,105C 3 F ( x,, t ) = (3.7) k A grande vantagem desta formulação, para ser combnada com o Método de Vórtces Dscretos, é que a função estrutura de velocdade de segunda ordem utlza flutuações de velocdade (dferenças de velocdade). Portanto, o que se desea é utlzar as equações da contnudade (Equação 3.19) e do movmento (Equação 3.3) para smular os fenômenos que ocorrem nas maores escalas, com a utlzação do Método de Vórtces Dscretos. Os fenômenos que ocorrem nas menores escalas devem ser levados em consderação através da utlzação do coefcente de vscosdade turbulenta (Equação 3.7); este coefcente ( ν t ) é modelado va função estrutura de velocdade de segunda ordem, apresentada a mplementação numérca. F, defnda pela Equação 3.6. No Item é 3.5 ESCOAMENTOS DE FLUIDOS SOBRE CONTORNOS IIIIIIIIISÓLIDOS O entendmento do fenômeno do escoamento próxmo de um contorno sóldo é de grande valor em problemas de engenhara, porque os escoamentos reas são sempre afetados pelos contornos sóldos sobre os quas o escoamento se desenvolve. Como exemplos de aplcações, pode-se ctar: () o resframento de componentes eletrôncos, que exge a movmentação do ar sobre eles; () o cálculo das cargas aerodnâmcas que atuam sobre os veículos, sobre os cabos e torres das lnhas de transmssão de eletrcdade; () o escoamento

78 50 externo aos trocadores de calor; (v) o escoamento de água através dos grandes sstemas oceâncos utlzados para a exploração de petróleo no mar; (v) o movmento do ar através dos conglomerados de edfícos. O modelo de escoamento potencal não pode ser aplcado para escoamentos de fludos reas; a experênca mostra que a velocdade da camada fluda medatamente adacente a uma superfíce sólda é nula (condção de não deslzamento expressa pela Equação 3.6). Isto ndca que o perfl de velocdades deve possur velocdade nula sobre o contorno. Para vsualzar o escoamento sobre a superfíce de um contorno sóldo, é nteressante magnar uma camada muto fna de fludo, possvelmente tendo espessura equvalente a alguns dâmetros moleculares, aderndo à superfíce de tal forma que a velocdade aumenta à medda que o ponto se afasta da superfíce; a ordem de grandeza da velocdade depende da tensão de csalhamento no fludo. Para superfíces rugosas esta análse smples pode ser comprometda, porque pequenos vórtces tendem a se formar entre as asperezas da superfíce, causando nstabldade local no escoamento. No escoamento lamnar, a agtação das partículas fludas é devda somente a ações moleculares, e estas partículas são mantdas em traetóras essencalmente paralelas devdo à ação da vscosdade molecular. Como consequênca, o escoamento lamnar que ocorre sobre contornos lsos ou rugosos possu essencalmente as mesmas propredades. Ao contráro do que ocorre no escoamento lamnar, a rugosdade da superfíce afetará as característcas do escoamento turbulento. No escoamento lamnar há um predomíno das forças de orgem vscosa, o que dfculta a ação das asperezas da superfíce; por outro lado, o escoamento turbulento é caracterzado pelo predomíno das forças nercas em detrmento das forças vscosas, o que faz com que os efetos causados pela rugosdade da superfíce sólda se manfestem. Dz-se que um contorno sóldo é hdraulcamente lso quando suas reentrâncas e salêncas estverem completamente submersas na subcamada vscosa (regão da camada lmte turbulenta onde há um predomíno da tensão molecular devdo à forte ação da vscosdade), o que não produz efeto algum sobre a estrutura da turbulênca (Fgura 3.5a). Entretanto, se a altura da rugosdade for da ordem da espessura da subcamada vscosa, ocorre um aumento da turbulênca e o escoamento é afetado (Fgura 3.5b). Portanto, a espessura da subcamada vscosa é o crtéro para a rugosdade efetva e, como esta espessura depende das propredades do escoamento, pode-se consderar a mesma superfíce como hdraulcamente

79 51 lsa ou hdraulcamente rugosa, dependendo da ordem de grandeza do número de Reynolds do escoamento. Vê-se, assm, que a rugosdade de um contorno sóldo pode, dependendo do número de Reynolds do escoamento, estmular o desenvolvmento da turbulênca. Portanto, um modelo de rugosdade deve tornar o escoamento mas turbulento, ou sea, deve amplfcar as flutuações de velocdade em torno de um dado ponto localzado nas vznhanças do contorno sóldo. No Capítulo 4 (Item 4..3), apresenta-se um modelo de rugosdade baseado nas dscussões físcas relatadas nesta seção. (a) Contorno hdraulcamente lso (b) Contorno hdraulcamente rugoso Fgura 3.5 Escoamento turbulento sobre contornos sóldos ADIMENSIONALIZAÇÃO DO PROBLEMA Esta seção utlza a técnca da Análse Dmensonal e Semelhança, necessára na Mecânca dos Fludos (mas que também é útl em todas as cêncas físcas), tendo em vsta reduzr o número de varáves envolvdas nas análses e compactar as equações que governam o fenômeno estudado, bem como suas condções de contorno. Além das vantagens anterormente menconadas, a referda técnca permte que a comparação de resultados numércos com dados expermentas se dê de uma manera mas smples; esta últma vantagem é partcularmente mportante, uma vez que a solução de mutos problemas é obtda com a combnação de uma análse teórca (no caso deste estudo feta através de smulações numércas) com dados expermentas dsponíves na lteratura.

80 5 Desta manera, a admensonalzação do problema apresentado permte que os resultados do programa computaconal seam comparados com resultados de ensaos expermentas, sem a necessdade de se ter conhecmento dos valores das grandezas dmensonas envolvdas no expermento, bastando-se conhecer parâmetros admensonas afetos ao fenômeno analsado. Para que se possa realzar a admensonalzação do problema em estudo, adotam-se as seguntes escalas como sendo as mas representatvas: d escala de comprmento; neste caso, o dâmetro do clndro crcular; U escala de velocdade; neste caso, a velocdade do escoamento ncdente; d U escala de tempo; obtda através da relação entre as escalas anterormente defndas. Usando as escalas prevamente determnadas, as demas grandezas presentes no problema podem ser admensonalzadas. Deste modo, obtém-se: x x =, que representa a medda da abscssa, x; d y y =, que representa a medda da ordenada, y; d h h = d, que representa a menor dstânca entre o corpo e o solo; = d, que representa o operador Gradente; = d, que representa o operador Laplacano; S S = d, que representa o comprmento de cada panel plano que dscretza as fronteras sóldas (corpo e solo);

81 σ σ 0 = d 0, que representa o rao do núcleo de um vórtce dscreto de Lamb; 53 eps eps = d, que representa a dstânca de geração dos vórtces dscretos de Lamb; ε ε = d, que representa a rugosdade relatva da superfíce do clndro crcular; u u =, que representa o componente da velocdade fltrada ( u ) do escoamento na dreção x; U v v =, que representa o componente da velocdade fltrada ( u ) do escoamento na dreção y; U σ = σ U, que representa a densdade de fontes/sumdouros; p p = ρu, que representa o campo de pressões fltrado; t = t U d, que representa um nstante de tempo da smulação numérca; t U t = d, que representa o ncremento de tempo da smulação numérca; Γ Γ = d U, que representa a ntensdade de um vórtce dscreto de Lamb; ω = ω d U, que representa o únco componente não nulo do vetor vortcdade no plano; ρu d Re =, que representa o número de Reynolds; µ St = f d, que representa o número de Strouhal; U

82 54 O sgnfcado de algumas grandezas anterormente defndas fcará mas bem compreenddo com o desenvolvmento do texto. Levando algumas destas grandezas nas equações da contnudade (Equação 3.19) e do movmento (Equação 3.3), escrevem-se as duas les báscas da Mecânca apresentadas no Item de manera mas compacta: u = 0 (3.8) u 1 + u u = p + u t Re c (3.9) onde as barras que desgnam o campo de velocdades e pressões fltrados ( u e p ) foram omtdas por convenênca, e assm será feto no decorrer deste texto. É nteressante notar que, devdo à admensonalzação do problema, surge o número de Reynolds nas Equações de N-S. Isto á era esperado, uma vez que, ao desprezarem-se os efetos das forças de campo (gravtaconal), o problema em estudo passa a ser governado por apenas duas forças: uma de orgem nercal, e outra de orgem vscosa; de fato, o número de Reynolds é um parâmetro ndcador da mportânca relatva da força de orgem vscosa, FV, quando comparada com a força nercal, FI, ou sea: FI Re FV ρu d U d Re = = (3.30) µ ν Entretanto, na Equação 3.9 o número de Reynolds aparece com uma modfcação ( Re c ). Esta modfcação deve ser feta devdo ao uso do modelo de turbulênca descrto no Item 3.4., o qual utlza um coefcente de vscosdade turbulenta para fazer a transferênca de energa entre as grandes escalas do escoamento e as escalas submalha; deste modo, o coefcente de vscosdade turbulenta é somado ao coefcente de vscosdade molecular (Equação 3.3). Como consequênca, o número de Reynolds ( Re - Equação 3.30) deve ser modfcado, assumndo a forma: Re c U d = (3.31) ν + ν t É mportante esclarecer que esta modfcação do número de Reynolds só é feta nas regões do escoamento onde as atvdades turbulentas são relevantes, ou sea, onde ν 0; maores detalhes são apresentados no Capítulo 4 (Itens 4..3 e 4.5.1). t

83 55 Adotando o mesmo procedmento usado na admensonalzação das Equações 3.19 e 3.3, admensonalzam-se as condções de contorno (Equações 3.5, 3.6 e 3.7): u vn 0, em S 1 e S (3.3) n = u vτ 0, apenas em S 1 (3.33) τ = u 1, em S 3 (3.34) A Fgura 3.6 lustra o problema admensonalzado. Fgura 3.6 Representação do problema admensonalzado. 3.7 EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE Na busca da solução do sstema formado pelas Equações 3.8 e 3.9, depara-se com uma dfculdade: a presença do termo de pressão nas Equações de Naver-Stokes. Para contornar esta dfculdade, toma-se o rotaconal de ambos os lados da Equação 3.9 e se utlza a equação da contnudade; o resultado é a Equação do Transporte da Vortcdade (Batchelor, 1967): + t ω 1 ( u ) ω = ( ω ) u + ω Re c (3.35)

84 onde: 56 ω taxa de varação local da vortcdade; t ( ) ω u taxa de varação convectva da vortcdade; ( ) u ω taxa de deformação dos tubos de vortcdade; este termo só é aplcado a escoamentos trdmensonas; 1 Re c ω taxa de varação dfusva da vortcdade. Utlzando a hpótese H1 (escoamento bdmensonal), o termo que representa a taxa de deformação dos tubos de vortcdade deve ser desprezado, e a Equação do Transporte da Vortcdade, para este caso, assume a forma escalar: t ω 1 + ( u ) ω = ω (3.36) Re c onde ω representa o únco componente não nulo do vetor vortcdade, o qual é defndo como: ω = u (3.37) Formalmente, a Equação 3.36 é a tradconal equação da vortcdade em duas dmensões (Batchelor, 1967); a únca dferença resde na defnção do número de Reynolds que agora utlza, também, o coefcente de vscosdade turbulenta (Equação 3.31) A Le de Bot-Savart A evolução da vortcdade é governada pela Equação 3.36; de fato, o seu lado esquerdo representa a varação temporal da vortcdade, enquanto o seu lado dreto representa os efetos da vscosdade nesta evolução. Dante dsso, nota-se que, para acompanhar a evolução da vortcdade no tempo, é necessáro determnar o campo de velocdades. A determnação do campo de velocdades a partr de um campo de vortcdades conhecdo é realzada através da Le de Bot-Savart.

85 57 A Equação 3.8 mostra que o campo de velocdades é solenodal, o que permte que u sea escrto a partr de um vetor potencal, A, com dvergente nulo: u = A, A = 0 (3.38) Nota-se que a Equação 3.38 satsfaz a equação da contnudade. como: O vetor vortcdade é defndo através da Equação 3.37, a qual pode ser reescrta ( A) = ( A) A ω = u = (3.39) A partr da defnção do vetor potencal, A, obtém-se uma equação de Posson para este vetor: ω = A (3.40) Integrando a Equação 3.40 e substtundo a solução do vetor potencal na Equação 3.38, obtém-se (Karamchet, 1966): u = ω GdΩ (3.41) Ω onde G é a função de Green. Para o escoamento bdmensonal em estudo (hpótese H1), tal função deve ser tomada como: 1 G = lna (3.4) π com ( ) ( ) a = x x + y y. O índce denota o ponto onde se desea determnar a velocdade nduzda pelo campo de vortcdades e a é a dstânca entre os pontos. O gradente da função de Green é dado por: ou G = 1 π 1 a = a 1 π ( x x ) + ( y y ) ( x x ) + ( y y ) 1 a a + = a x y 1 π 1 x x y y + (3.43) a a a 1 1 G = = ( x x ) + ( y y ) (3.44) π πa

86 Como se desea calcular a velocdade nduzda no ponto ( ) y vortcdades, deve-se utlzar, na Equação 3.41, ao nvés de G. Logo: G 58 x, pelo campo de 1 G = G = ( x x ) + ( y y ) (3.45) πa Fnalmente, substtundo a Equação 3.45 na Equação 3.41 obtém-se a Le de Bot- Savart, a qual relacona o campo de velocdades com o campo de vortcdades: 1 ω a u = dω (3.46) π a Ω 3.8 CARGAS FLUIDODINÂMICAS Entende-se por cargas fludodnâmcas os esforços mecâncos resultantes da ação que um fludo em movmento exerce sobre a superfíce de um corpo. Esta ação é exercda pela tensão que atua sobre a superfíce do corpo, a qual pode ser decomposta nas dreções normal (pressão p) e tangencal (τ ). De posse do campo de velocdades do escoamento (Equação 3.46), procede-se ao cálculo das cargas fludodnâmcas. Dentre os métodos numércos utlzados para o cálculo da pressão, destacam-se dos: o esquema de Lews (1991), que calcula as cargas fludodnâmcas consderando apenas a nfluênca da vortcdade gerada em um dado nstante de tempo dscreto da smulação numérca e o método desenvolvdo por Shntan & Akamatsu (1994), que leva em consderação a nfluênca de toda a vortcdade presente no domíno fludo. Devdo à precsão dos resultados obtdos quando se calculam as cargas fludodnâmcas por meo da segunda formulação, tal modelo é utlzado no cálculo da pressão deste trabalho. Para tanto, combna-se as Equações de Naver-Stokes (Equação 3.9) com uma relação vetoral, aplcando o dvergente na expressão resultante desta combnação e, com o auxílo da equação da contnudade (Equação 3.8), chega-se numa equação de Posson para a pressão. No trabalho de Rcc (00) pode-se encontrar a dedução detalhada que resultou na formulação ntegral representada pela Equação 3.47, e que permte determnar o valor da pressão em um ponto genérco,, do domíno fludo:

87 ξy ~ + 1 Re S1 + S S1 + S 1 π 1 π n x ( x x ) + n y( y y ) ( x x ) + ( y y ) y( x x ) n x ( y y ) ( x x ) + ( y y ) n Y ~ ds = ωds Ω 1 π v( x x ) u( y y ) ( x x ) + ( y y ) ωdω + 59 (3.47) onde ξ é uma constante que assume o valor 1 nas fronteras sóldas e 1,0 no domíno fludo, n x é o componente do vetor untáro ( n) na dreção x, n y é o componente do vetor untáro ( n) na dreção y, ( x, y) são as coordenadas de um ponto qualquer pertencente ao domíno fludo, que nduz um trabalho específco Y ~ no ponto ( x, ) coordenada que percorre o perímetro das fronteras sóldas. e ds é uma y pressão, Uma vez conhecdos os valores da ncógnta Y ~, obtêm-se os valores do coefcente de C p (Rcc, 00): C Y ~ p = + 1 (3.48)

88 60 Capítulo 4 MÉTODO DE SOLUÇÃO: O MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS O problema formulado matematcamente no Capítulo 3 não apresenta solução analítca, o que mpõe a necessdade de se procurar uma solução numérca para o mesmo, uma vez que nvestgações expermentas estão fora do escopo deste texto. Nestes termos, opta-se por fundamentar a solução no Método de Vórtces Dscretos, o qual se dstngue por utlzar uma descrção puramente lagrangana na smulação numérca do escoamento. Para a representação das superfíces sóldas (corpo e solo) é adotado o Método de Panés. Assm, este capítulo apresenta uma solução numérca para o problema proposto usando um códgo computaconal desenvolvdo no ambente de programação FORTRAN/LINUX. 4.1 DISCRETIZAÇÃO DO CAMPO DE VORTICIDADES Há dos pontos de vsta dferentes na análse de problemas em Mecânca dos Fludos. A prmera vsão preocupa-se com o campo de escoamento e é chamada de descrção eulerana. Neste método de descrção calcula-se, por exemplo, o campo de pressões p ( x, y,z,t) do escoamento, e não as varações de pressão, p ( t) expermenta quando se move ao longo do domíno fludo., que uma partícula de fludo

89 61 A segunda abordagem é a chamada descrção lagrangana, a qual dá orgem aos chamados Métodos de Partículas. Este método de descrção dentfca partículas (de fludo, por exemplo) e as acompanha ndvdualmente conforme o escoamento evolu no tempo. Para lustrar (contnuando com o exemplo do campo de pressões), quando uma sonda de pressão é ntroduzda em um escoamento em laboratóro, ela é fxada em uma posção específca ( x, y,z) ; sua resposta contrbu, assm, para a descrção do campo eulerano de pressões, p ( x, y,z,t). Para smular uma medda lagrangana, a sonda devera mover-se com a própra velocdade das partículas de fludo (Whte, 00). Neste trabalho é utlzado o Método de Vórtces Dscretos, certamente o representante mas conhecdo dos Métodos de Partículas, para resolver as equações que governam as grandes escalas do problema formulado no Capítulo 3. O Método de Vórtces Dscretos representa a grandeza de nteresse (no caso deste trabalho, a vortcdade) através de vórtces dscretos de Lamb (Apêndce A), os quas são acompanhados ndvdualmente durante todo o tempo de smulação numérca, caracterzando uma descrção puramente lagrangana. Para a representação das fronteras sóldas presentes no problema, utlza-se o Método de Panés, no qual estas superfíces são smuladas com a utlzação de panés planos sobre os quas são dstrbuídas sngulardades do tpo fontes com densdade constante; a cada panel que dscretza uma frontera sólda é assocado um únco ponto (o chamado ponto de controle) sobre o qual é satsfeta a condção de aderênca (expressa pelas Equações 3.3 e 3.33). A Fgura 4.1 lustra, de manera smplfcada, como o Método de Vórtces Dscretos e o Método de Panés são utlzados para representar um problema físco real. Conforme exposto no Capítulo 3, Seção 3.7, a evolução da vortcdade é governada pela Equação 3.36, reescrta abaxo: t ω 1 + ( u ) ω = ω (3.36) Re c O lado esquerdo da Equação 3.36 representa a varação temporal da vortcdade, enquanto o seu lado dreto representa os efetos da vscosdade nesta evolução. Em outras palavras, o lado esquerdo contém as nformações necessáras para se descrever o processo de convecção da vortcdade, ao passo que o lado dreto dspõe das nformações necessáras para descrever a dfusão desta propredade.

90 6 (a) Processo contínuo (expermental) (b) Processo dscreto (método numérco) Fgura 4.1 Processo de geração e desenvolvmento da vortcdade nos casos contínuo e dscreto. Com estas observações em mente, Chorn (1973), através do Vscous Splttng Algorthm (Algortmo de Separação da Parte Vscosa da Equação do Transporte da Vortcdade), propôs um algortmo no qual os efetos convectvos fossem calculados ndependentemente dos efetos dfusvos, porém dentro de um mesmo ncremento de tempo. Este expedente tem por fnaldade smplfcar a mplementação numérca do Método de Vórtces Dscretos, o qual é caracterzado por acompanhar todas as partículas de vortcdade (vórtces dscretos) ao longo do tempo (descrção lagrangana). Segundo este algortmo, a convecção da nuvem de vórtces dscretos é governada pela equação:

91 ω + t 63 u Dω Dt (4.1) ( ) ω = = 0 a qual é resolvda utlzando-se a sua versão lagrangana (dervada substantva, Dω Dt = 0 ), evtando-se, assm, trabalhar com o termo convectvo, ( u )ω, que é não lnear. por: Anda no mesmo ncremento de tempo, a equação da dfusão da vortcdade é dada 1 = t Re ω c ω (4.) Como mostra a presença do número de Reynolds, o processo de dfusão da vortcdade ocorre devdo aos efetos da vscosdade. Esta dvsão de efetos consttu-se na essênca do Método de Vórtces Dscretos. A grande vantagem do algortmo está no cálculo em separado dos fenômenos da convecção e da dfusão da vortcdade; quando o ntervalo de tempo tender a zero ( t 0 ), a solução das Equações 4.1 e 4. tende para a solução da Equação do Transporte da Vortcdade orgnal (Equação 3.36). No decorrer deste capítulo são apresentadas dscussões sobre o fenômeno da geração de vortcdade, bem como sobre os problemas da convecção e da dfusão desta grandeza cnemátca. Anda, como uma contrbução deste trabalho, no tem referente à geração de vortcdade, é apresentado um modelo que consdera os efetos da rugosdade de fronteras sóldas; este modelo é útl, haa vsto que, em aplcações prátcas, em maor ou menor grau, as superfíces sóldas sempre são rugosas e, dependendo do número de Reynolds do escoamento, a rugosdade da superfíce pode nfluencar o comportamento do escoamento (corpo hdraulcamente rugoso). Além dsso, é apresentada a dscretzação da formulação ntegral proposta por Shntan & Akamatsu (1994) para o cálculo das cargas fludodnâmcas.

92 64 4. DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADES DO IIIIIIIIIESCOAMENTO: UM ENFOQUE LAGRANGIANO De acordo com o Algortmo de Separação da Parte Vscosa (Chorn, 1973), a convecção da nuvem de vórtces dscretos é governada pela Equação 4.1, a qual mostra claramente que a vortcdade é transportada por convecção como se fosse uma partícula materal de fludo. Desta manera, a traetóra de um elemento de vortcdade é defnda pela equação dferencal: d x = u( x,t) (4.3) dt onde u ( x,t) representa o vetor velocdade de uma partícula de fludo (campo de velocdades) na posção x. Como menconado na Seção 4.1, o Método de Vórtces Dscretos smula a evolução da vortcdade com a utlzação de uma nuvem de vórtces dscretos de Lamb. Assm, o campo de velocdades deve ser determnado na posção ocupada por cada um dos vórtces dscretos que compõem a nuvem para que a dnâmca da vortcdade possa ser analsada. Neste contexto, a Equação 4.3 é reescrta para cada vórtce dscreto, k, que compõe a nuvem de NV vórtces dscretos: d x k = uk ( xk,t) (4.4) dt u representa o vetor velocdade do fludo calculado na posção onde se localza o onde (,t) k x k vórtce dscreto k, sto é, na posção x k. Deste modo, pode-se dvdr o problema convectvo em duas etapas: () na prmera etapa deve-se determnar o campo de velocdades do escoamento; () de posse do campo de velocdades, deve-se resolver a Equação 4.4 para os NV vórtces dscretos da nuvem, para proceder ao avanço convectvo. A determnação do campo de velocdades, por sua vez, é dvdda em três partes: - Contrbução do escoamento ncdente: o escoamento ncdente nduz velocdade na nuvem de vórtces dscretos; este cálculo é de fácl execução;

93 65 - Contrbução das fronteras sóldas: as fronteras sóldas presentes no problema também nduzem velocdade na nuvem de vórtces dscretos; neste trabalho, estas contrbuções são credtadas ao corpo e ao solo, e são levadas em consderação através do Método de Panés; - Contrbução da nuvem de vórtces dscretos: cada vórtce dscreto nduz, em cada nstante de tempo da smulação numérca, velocdade em todos os outros vórtces dscretos presentes na nuvem; nestes termos, fca evdente o alto custo computaconal empregado em tas smulações quando se faz uso da Le de Bot-Savart Contrbução do Escoamento Incdente O escoamento ncdente é representado pelo escoamento unforme (U). No caso deste trabalho, em partcular, assume-se que o escoamento ncdente sea paralelo ao solo (Fgura 3.). Deste modo, escrevendo em termos de componentes e consderando o problema admensonalzado, tem-se: u = Ucosα = cosα = 1 (4.5) v = Usenα = senα = 0 (4.6) 4.. Contrbução das Fronteras Sóldas: O Método de Panés Uma das prmeras etapas da mplementação do Método de Vórtces Dscretos consste na representação numérca das superfíces sóldas; no caso deste estudo, estas ncluem a superfíce do corpo e do solo. Para cumprr este prmero obetvo utlza-se o Método de Panés. O Método de Panés (Katz & Plotkn, 1991), caso partcular do Método de Elementos de Contorno, apresenta-se como a alternatva recomendada quando as fronteras sóldas possuem formas quasquer, ou sea, o Método de Panés não se lmta a representar corpos de geometra smples, como o clndro crcular, por exemplo. Resumdamente, o Método de Panés consste em dscretzar as fronteras sóldas com a utlzação de segmentos planos (os panés planos) ou curvos (os panés curvos) sobre os quas são dstrbuídas sngulardades: vórtces são utlzados quando se desea especfcar a condção de não deslzamento (velocdade tangencal nula), enquanto as fontes são utlzadas

94 66 quando se desea especfcar a condção de mpermeabldade (velocdade normal nula) sobre as fronteras sóldas. A prncpal desvantagem do Método de Panés resde no fato de que as condções de contorno ctadas (mpermeabldade e não deslzamento) são satsfetas apenas sobre os pontos de controle dos panés. Conforme comentado no Capítulo 1, esta característca nvablza o levantamento do perfl de velocdades do escoamento nas medações da superfíce real do corpo. Em contrapartda, o resultado quanttatvo das grandezas de nteresse é satsfatóro. Quanto à escolha das sngulardades, no caso deste trabalho, pode-se escolher fontes ou vórtces, arbtraramente. Entretanto, a aplcação da condção de contorno de Drchlet (velocdade tangencal nula) se lmta a corpos que possuem contornos fechados (Martensen, 1959); por outro lado, a aplcação da condção de contorno de Neumann (velocdade normal nula) não mpõe este tpo de restrção (Hess & Smth, 1967). Sendo assm, a representação do solo deve ser feta dstrbundo-se sngulardades do tpo fontes, pos se trata de um contorno aberto; quanto ao corpo, este pode ser dscretzado utlzando-se sngulardades do tpo fontes ou vórtces. Entretanto, para smplfcar a solução do problema, evta-se trabalhar com dos sstemas de equações dferentes (um sstema de equações de fontes para o solo e outro sstema de equações de vórtces para o corpo). Portanto, neste trabalho as fronteras sóldas (corpo e solo) são dscretzadas em panés planos, sobre os quas se dstrbu sngulardades do tpo fontes com densdade constante ao longo de cada panel, como mostra a Fgura 4.. Os componentes na dreção de x e de y da velocdade nduzda no ponto W ( x,y) pela dstrbução de fontes com densdade constante, σ ( x), dstrbuída ao longo de uma superfíce de comprmento ( x x 1 ) valem, respectvamente (Katz & Plotkn, 1991); vea também a Fgura 4.3: x ( x) ( x x ) ( x x ) + ( y y ) σ 0 u = dx0 (4.7) π x1 0 x ( x) ( y y ) ( x x ) + ( y y ) 0 σ 0 v = dx0 (4.8) π x1 0 0 Resolvendo-se as ntegras apresentadas nas Equações 4.7 e 4.8, obtém-se, respectvamente: ( x) σ π r r 1 u = ln (4.9)

95 67 σ( x) v = ( θ θ 1) (4.10) π onde θ y x x 1 = tg 1, = (4.11) ( x x ) y r = + = 1, (4.1) Fgura 4. Representação esquemátca das dstrbuções de fontes, σ ( x), sobre um corpo dscretzado em quatro panés planos, localzado nas vznhanças de uma superfíce plana móvel dscretzada em quatro panés planos. A ndução de velocdades na dreção y de um panel sobre ele mesmo é dada pela equação (Katz & Plotkn, 1991): x x ±,0 = v 1 ± ( x) σ (4.13)

96 68 Fgura 4.3 Velocdade nduzda no ponto W ( x,y) por uma dstrbução de fontes com densdade constante, σ ( x), dstrbuída ao longo de um panel de comprmento ( ) x. x 1 Quando aplcada, por exemplo, aos oto pontos de controle dos panés do corpo e do solo, ambos representados na Fgura 4., a condção de mpermeabldade (condção de contorno de Neumann) pode ser expressa na segunte forma matrcal: 0,5 f K 1 f K 31 f K 41 f K 51 f K 61 f K 71 f K 81 K f 1 0,5 K K K K K K f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 K K K f 13 f 3 0,5 K K K K f 43 f 53 f 63 f 73 f 83 K K K K K K f 14 f 4 f 34 0,5 K f 54 f 64 f 74 f 84 K K K K K K K f 15 f 5 f 35 f 45 0,5 f 65 f 75 f 85 K K K K K K K f 16 f 6 f 36 f 46 f 56 0,5 f 76 f 86 K K K K K K K f 17 f 7 f 37 f 47 f 57 f 67 0,5 f 87 f K σ 18 f K σ 8 f K σ 38 f K σ 48 f K 58 σ f K σ 68 f K 78 σ 0,5 σ LDF1 LDF LDF 3 LDF4 = LDF5 LDF 6 LDF7 LDF8 (4.14) onde: f K p é um elemento da matrz de nfluênca de fontes que representa a velocdade normal nduzda pelo panel p no ponto de controle do panel, quando se tem uma dstrbução de fontes com densdade constante (ou unforme) e untára sobre o panel p; σ p (ncógnta do problema) é a dstrbução unforme de fontes sobre o panel p; LDF é um elemento do vetor que representa a velocdade normal total nduzda no ponto de controle do panel, devdo às contrbuções do escoamento ncdente e da nuvem de vórtces dscretos de Lamb.

97 69 Para um panel genérco,, na prmera vez em que este vetor é calculado, não há vórtces dscretos no domíno fludo. Portanto, LDF = u senβ v cosβ (4.15) + onde β é o ângulo de orentação do panel. Na dagonal prncpal da matrz de nfluênca f K, aparece K = 0,5; sto sgnfca f p que a autondução de um panel de fontes está sendo consderada (Katz & Plotkn, 1991). Assm, a solução do problema consste em obter os valores das dstrbuções de fontes sobre cada panel, que seam capazes de anular o componente normal da velocdade sobre o ponto de controle de cada panel; obtdos os valores de σ ( x), garante-se a condção de mpermeabldade sobre cada ponto de controle da superfíce dscretzada. Como mostram as Equações 4.9 e 4.10, a montagem da matrz de nfluênca de fontes, f K p, depende únca e exclusvamente da geometra do problema. Neste trabalho, de acordo com a formulação proposta no Capítulo 3, a stuação de movmento relatvo entre o corpo e o solo é smulada abdcando-se da condção de não deslzamento sobre o solo, de modo a representar o movmento da estera rolante estudada expermentalmente por Nshno (007). Assm, o uso deste expedente permte que o corpo e o solo permaneçam em repouso e faz-se passar por estas superfíces sóldas um escoamento unforme (U), de manera que a matrz de nfluênca de fontes, f K p, sea calculada apenas uma vez, no níco da smulação numérca. Para fnalzar a prmera parte do problema, ou sea, a geração das fontes/sumdouros responsáves por garantr a condção de mpermeabldade, deve-se verfcar a condção de conservação da massa. Sabe-se que as fontes ntroduzem uma vazão no escoamento, ao passo que os sumdouros retram vazão do domíno fludo. Sabe-se anda, que as fronteras sóldas são representadas por panés cua dstrbução de sngulardades pode ser postva, ( ) > 0 (fontes), ou negatva, ( ) < 0 σ x (sumdouros), dependendo da posção do panel que dscretza a superfíce sólda. Para lustrar, consdere o esquema da Fgura 4.: nota-se que a dstrbução de fontes sobre o panel 1 deve ser postva para anular o componente normal da velocdade do escoamento ncdente ( ( ) 0 σ x 1 > ser negatva para se atngr o mesmo obetvo ( ( ) 0 ), enquanto a dstrbução de fontes sobre o panel deve σ x < ). Assm, como a massa deve ser conservada, acrescentam-se duas lnhas (uma lnha para o corpo e uma lnha para o solo) na equação matrcal de fontes (Equação 4.14) para garantr que: σ x

98 mb1 σ S = = (4.16) m σ S = = mb (4.17) onde o produto σ S é a ntensdade da fonte dstrbuída unformemente (com densdade σ ) sobre o panel, de comprmento S, mb1 é o número de panés que dscretzam a superfíce do corpo e m é o número total de panés utlzados para dscretzar as superfíces do corpo e do solo ( m = mb1 + mb ); mb é o número de panés que dscretzam a superfíce do solo. forma: Por convenênca, a Equação 4.14, em sua forma geral, pode ser escrta da segunte [ KF ] m m { SIGMA} m = { LDF} m (4.18) 4..3 Geração de Vortcdade e Modelo de Rugosdade Uma das consequêncas mas conhecdas da vscosdade é o desenvolvmento da camada lmte unto das fronteras sóldas. Outra consequênca é a geração de vortcdade a partr destas fronteras. Portanto, a vortcdade é gerada toda vez que o fludo se movmenta em relação a uma parede. Para entender o processo de geração de vortcdade unto de paredes, consdere o escoamento ao redor de um clndro crcular solado, como mostra a Fgura 4.4, e uma partícula fluda localzada no nteror da camada lmte. Como mostra a Fgura 4.4, nas proxmdades da parede (nteror da camada lmte) o perfl de velocdades do escoamento não é unforme devdo à verfcação da condção de aderênca e à consequente presença da ação da vscosdade, o que causa um movmento de rotação nas partículas fludas que se localzam no nteror da camada lmte. Este efeto de rotação mostra a presença de vortcdade nas proxmdades da parede. Além dsso, nota-se que a partr de certa dstânca da parede (fora da camada lmte) o perfl de velocdades do escoamento é unforme e uma partícula fluda localzada nessa regão não sofrera rotação (apenas translação), mostrando que fora da camada lmte o escoamento é rrotaconal. Assm,

99 71 o mecansmo de geração de vortcdade está dretamente lgado à formação da camada lmte ou, em outras palavras, à ação da vscosdade. Fgura 4.4 Geração de vortcdade: um enfoque fenomenológco. Com a fnaldade de melhor entender o processo de geração de vortcdade unto das paredes, pode-se escrever as Equações de Naver-Stokes de uma manera mas convenente (Apêndce B): Du 1 µ + p = Dt ρ ρ ( ω) (4.19) Supondo que o escoamento realza-se no semplano superor de cada panel (Fgura 4.3), o exo das abscssas (exo x L ) representa uma superfíce onde a condção de aderênca deve ser especfcada. A utlzação desta condção na Equação 4.19 fornece a expressão (Apêndce B): p x ω = µ y, em y L = 0 (Fgura 4.3) (4.0) A Equação 4.0 governa a geração de vortcdade na parede. De fato, a dervada do lado dreto desta equação é nterpretada como sendo o fluxo de vortcdade em y = 0 (Fgura 4.3). Como no semplano nferor de cada panel não há fludo (nteror do corpo), este fluxo de vortcdade representa a quantdade de vortcdade que está sendo gerada na L

100 7 superfíce. Esta observação nduz à segunte conclusão: a vortcdade deve ser gerada na quantdade certa para anular o componente tangencal da velocdade unto à superfíce. No presente trabalho a vortcdade é gerada a cada ncremento de tempo ( t ) da smulação numérca para anular o componente tangencal da velocdade; para sso, vórtces dscretos de Lamb são posconados de forma a tangencar o ponto de controle de cada panel plano que representa a superfíce do corpo. Para lustrar o processo de geração de vortcdade no Método de Vórtces Dscretos, consdera-se a Fgura 4.5. Fgura 4.5 Geração de vórtces dscretos de Lamb nas vznhanças dos panés que dscretzam fronteras sóldas hdraulcamente lsas. onde: co são os pontos de controle dos panés 1,,..., 8, respectvamente; 1,co,..., co8 ep s é a dstânca de geração dos vórtces dscretos de Lamb, de modo que os vórtces dscretos nascentes tangencem o ponto de controle de cada panel; pshe d são os pontos de desprendmento de vórtces dscretos de Lamb 1, pshed,..., pshed 4 lgados aos panés 1,,..., 4, respectvamente; σ 0 é o rao do núcleo dos vórtces dscretos de Lamb (Apêndce A).

101 73 Na Fgura 4.5 está representada, de manera lustratva, a superfíce dscretzada de um clndro crcular hdraulcamente lso estaconado nas vznhanças de uma superfíce plana móvel. Porém, conforme descrto nos Capítulos 1 e, a prncpal contrbução desta tese de doutorado é o desenvolvmento de um modelo de rugosdade para ser ncorporado ao Método de Vórtces Dscretos. O modelo de rugosdade desenvolvdo neste trabalho se fundamenta no que fo exposto na Seção 3.5; tal modelo está ntmamente lgado ao modelo de turbulênca apresentado no Capítulo 3, Item Deste modo, partndo do prncípo de que a rugosdade de um contorno sóldo pode estmular o desenvolvmento da turbulênca no escoamento, utlza-se a dea da função estrutura de velocdade de segunda ordem (Equação 3.6) com algumas adaptações, para determnar a atvdade turbulenta exstente em torno dos pontos de desprendmento de vórtces dscretos assocados a cada panel,, que dscretza a superfíce sólda (os pontos pshe d da Fgura 4.5), consderando tal superfíce anda como hdraulcamente lsa. No cálculo da função estrutura de velocdade de segunda ordem, os pontos sobre os quas as velocdades são calculadas devem stuar-se sobre uma semcrcunferênca defnda por um rao b = ε eps', cuo centro concde com o ponto de desprendmento de vórtces dscretos assocado a um dado panel, (Fgura 4.6). Logo: F NR 1 = u (4.1) NR ( t) ( x, t) u ( x + b, t) ( 1 ε) t t + w w w= 1 onde u t é a velocdade total sobre os pontos, NR ndca o número de pontos (os chamados pontos rugosos) stuados sobre a semcrcunferênca, b = ε eps representa a dstânca entre o ponto em análse (o ponto de desprendmento referente ao panel, pshe d, supondose que o contorno é hdraulcamente lso; vea a Fgura 4.6) e os pontos da semcrcunferênca (pontos w), e o termo ( 1 + ε) é ncorporado à expressão da função estrutura de velocdade de segunda ordem como sendo um fator de amplfcação da energa cnétca devdo aos efetos da rugosdade da superfíce sólda. Na sequênca, calcula-se o coefcente de vscosdade turbulenta assocado ao ponto de desprendmento de vórtces dscretos de cada panel,, que dscretza a frontera sólda onde se desea contablzar os efetos da rugosdade da superfíce (compare com a Equação 3.7):

102 ν t 3 ( t) 0,105C σ F ( t) = (4.) k 0k 74 onde σ 0 é o rao do núcleo do vórtce dscreto, k, posconado no ponto de desprendmento k do panel, de manera a tangencar o ponto de controle deste panel (Fgura 4.6). Fgura 4.6 Influênca da rugosdade de superfíces sóldas na determnação da atvdade turbulenta do escoamento. Como o coefcente de vscosdade turbulenta deve ser adconado ao coefcente de vscosdade molecular, o número de Reynolds deve ser modfcado: Re c ( t) U d = (4.3) ν + ν t ( t) É mportante enfatzar que a modfcação do número de Reynolds expressa pela Equação 4.3 é local, ou sea, tal modfcação ocorre apenas nos pontos de desprendmento de vórtces dscretos onde os efetos da rugosdade são relevantes. Entretanto, como o rao do núcleo do vórtce dscreto depende do número de Reynolds (Apêndce A), o qual é modfcado pelo coefcente de vscosdade turbulenta, conclu-se que o rao do núcleo do vórtce dscreto também deve ser modfcado, de manera a consderar os efetos da rugosdade no processo de geração de vórtces dscretos. Assm: σ 0c k ( t) ( t) χ t ν t = 4, Re + ν (4.4)

103 onde 75 σ é o rao do núcleo do vórtce dscreto, k, que é posconado no ponto de 0ck desprendmento do panel, consderando, agora, os efetos da rugosdade, e χ é defndo de acordo com o exposto no Apêndce A, Seção A.. Como cada vórtce dscreto de Lamb deve tangencar o ponto de controle do panel que lhe dá orgem, a posção de desprendmento dos vórtces dscretos deve ser modfcada. Logo, em cada nstante de tempo da smulação numérca os vórtces dscretos são posconados em pontos de desprendmento dferentes, em função da rugosdade da superfíce e do consequente efeto da turbulênca causado por esta rugosdade. A Fgura 4.7 lustra o processo de geração de vórtces dscretos de Lamb nas vznhanças da superfíce dscretzada de um corpo hdraulcamente rugoso (compare com a Fgura 4.5). Fgura 4.7 Geração de vórtces dscretos de Lamb nas vznhanças dos panés que dscretzam fronteras sóldas hdraulcamente rugosas em um dado nstante de tempo. onde:

104 co 1, co, co 3, co 4 são os pontos de controle dos panés 1,, 3 e 4, respectvamente; 76 eps 1 ( t), eps ( t), eps 3 ( t), ( t) eps 4 são as dstâncas de geração dos vórtces dscretos, de modo que os vórtces dscretos nascentes tangencem o ponto de controle de cada panel; pshed 1 ( t), pshed ( t), pshed 3 ( t), ( t) dscretos lgados aos panés 1,, 3 e 4, respectvamente; 0c ( t), 0c ( t), 0c ( t), ( t) σ 1 σ σ 3 σ 4 pshed 4 são os pontos de desprendmento de vórtces 0c são os valores do rao do núcleo dos vórtces dscretos gerados nas vznhanças dos panés 1,, 3 e 4, respectvamente, modfcados pelo modelo de rugosdade (Equação 4.4). A Equação 4.4 é a base do modelo de rugosdade desenvolvdo nesta tese de doutorado. O expedente descrto anterormente permte que se analse a dnâmca da vortcdade desenvolvda a partr de fronteras sóldas com rugosdade relatva ε. Portanto, para superfíces hdraulcamente lsas, os pontos de desprendmento de vórtces dscretos devem ser defndos tal como na Fgura 4.5; por outro lado, para superfíces hdraulcamente rugosas, os pontos de desprendmento de vórtces dscretos devem ser defndos tal como na Fgura 4.7. De manera smlar à montagem da equação matrcal de fontes, Equação 4.14, tem-se a segunte equação matrcal para a geração dos vórtces dscretos de Lamb (vea as Fguras 4.5 e 4.7): K K K K v 11 v 1 v 31 v 41 v v v ( t) K ( ) ( ) ( ) 1 t K13 t K14 t Γ1 LDV1 v v v ( t) K ( t) K 3 ( t) K 4 ( t) Γ LDV = v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t K 3 t K 33 t K 34 t Γ3 LDV3 v v v t K Γ 4 t K 43 t K 44 t 4 LDV4 (4.5) onde: v K é um elemento da matrz de nfluênca de geração de vórtces dscretos, o qual representa a velocdade tangencal nduzda pelo vórtce dscreto de Lamb posconado no ponto de desprendmento, sobre o ponto de controle do panel, consderando que a ntensdade do vórtce dscreto localzado em sea untára;

105 77 Γ (ncógnta do problema) é a ntensdade do vórtce dscreto posconado no ponto de desprendmento ; LDV é um elemento do vetor que representa a soma da velocdade do escoamento ncdente e da velocdade nduzda por cada um dos vórtces dscretos da nuvem sobre o ponto de controle do panel, todas decompostas na dreção tangencal ao panel plano. Para um panel genérco,, na prmera vez em que este vetor é calculado não há vórtces dscretos no domíno fludo. Logo, tem-se: LDV = u cosβ v senβ (4.6) + onde β é o ângulo de orentação do panel. A equação matrcal de geração de vórtces dscretos, Equação 4.5, em sua forma geral, pode ser escrta da segunte forma: [ KV ] mb1 mb1 { GAMMA} mb1 = { LDV} mb1 (4.7) Portanto, o obetvo de se resolver a Equação 4.7 é determnar os valores das ntensdades dos vórtces dscretos nascentes que seam capazes de anular o componente tangencal da velocdade sobre o ponto de controle de cada panel plano; obtdos os valores de Γ, garantese a condção de não deslzamento sobre cada ponto de controle da superfíce dscretzada. O modelo de rugosdade desenvolvdo neste trabalho faz com que o vórtce dscreto nascente tenha, caso o corpo sea hdraulcamente rugoso, uma ntensdade maor quando comparado ao caso hdraulcamente lso ( Γ = Γ Γ ). Esta maor ntensdade aumenta o efeto rugoso lso + nercal, o que provoca um aumento na taxa de transferênca de quantdade de movmento entre camadas adacentes de fludo, fazendo com que o descolamento da camada lmte sea postergado e que, consequentemente, o coefcente de arrasto médo sofra uma redução. A Fgura 4.8 lustra o efeto nercal adconal mposto pelo modelo de rugosdade desenvolvdo neste trabalho. Cabe lembrar que, se a smulação numérca se encontrar em um nstante t > 0, á haverá vórtces dscretos no domíno fludo. Sea consderada, anda, por um breve ntervalo de tempo, as ações da convecção e da dfusão que deslocam os vórtces dscretos presentes no domíno fludo e, em especal, perto das fronteras sóldas; destes processos resulta uma nova dstrbução de vortcdade, a qual rá nduzr um campo de velocdades lgeramente dferente

106 78 daquele anterormente exstente, volando a condção de aderênca até então garantda. Deste modo, deve-se resolver novamente os sstemas lneares de equações de fontes (Equação 4.14) e de vórtces dscretos nascentes (Equação 4.5), atualzando os vetores LDF e LDV, a fm de garantr a condção de aderênca sobre as superfíces sóldas. (a) Contorno hdraulcamente lso ( νt = 0 ) (b) Contorno hdraulcamente rugoso ( νt 0 ) Fgura 4.8 Efeto nercal mposto pela rugosdade de fronteras sóldas no processo de geração de vórtces dscretos de Lamb. Assm, deve-se consderar a velocdade que cada vórtce dscreto da nuvem nduz no ponto de controle de cada panel plano. Neste trabalho, utlza-se o modelo do vórtce dscreto de Lamb (Panton, 1984) com esta fnaldade (Apêndce A). Sendo um panel genérco e um vórtce dscreto arbtráro, de ntensdade postva Γ, localzado na posção W ( x, y ) componentes em x e em y da velocdade nduzda neste panel devdo à presença do vórtce dscreto são dados, respectvamente, por (Alcântara Perera, 1999): ( ) y ( ) ( ) y r 1 exp 5,057 x + x y y σ0c Γ u = (4.8) π ( ) x ( ) ( ) x r 1 exp 5,057 x + x y y σ0c Γ v = (4.9) π onde (, ) x são as coordenadas do ponto de controle do panel genérco, y, os r ( x x ) + ( y y ) = e σ 0c é o rao do núcleo do vórtce dscreto modfcado devdo à utlzação do modelo de rugosdade. Quando a dstânca entre um vórtce dscreto arbtráro,, e o ponto de controle de um panel for maor ou gual ao rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb ( σ r 0c ), pode-se

107 79 utlzar como uma alternatva ao modelo do vórtce dscreto de Lamb, o modelo do vórtce potencal; este procedmento permte que se evte calcular o exponencal das Equações 4.8 e 4.9, dmnundo o tempo de processamento das smulações numércas (maores detalhes são apresentados no Item 4..4). Nestas crcunstâncas, as Equações 4.8 e 4.9 são substtuídas por (Lews, 1991): u v Γ ( y y ) ( x x ) + ( y y ) = (4.30) π Γ ( x x ) ( x x ) + ( y y ) = (4.31) π Logo, a atualzação dos vetores LDF e NV ( u senβ vcosβ ) = 1 LDV no tempo, fca: LDF = u senβ v cosβ + (4.3) NV ( u cosβ vsenβ ) LDV = u cosβ v senβ + (4.33) = 1 Como mostram as Equações 4.8, 4.9, 4.30 e 4.31, a montagem da matrz de nfluênca de geração de vórtces dscretos, v K, depende únca e exclusvamente da geometra do problema. Entretanto, devdo à utlzação do modelo de rugosdade, a geometra do problema sofre alterações em cada nstante da smulação numérca (vea a Equação 4.5 e as posções dos pontos de desprendmento de vórtces dscretos de Lamb na Fgura 4.7), de modo que a matrz de nfluênca de vórtces dscretos nascentes, cada nstante da smulação numérca. v K, deve ser calculada em Após realzar este procedmento, pode-se calcular a segunda contrbução que compõe o campo de velocdades do escoamento: a contrbução das fronteras sóldas. Para tanto, basta calcular a velocdade nduzda por cada um dos panés sobre cada um dos vórtces dscretos presentes na nuvem (vea as Equações 4.9, 4.10, 4.11 e 4.1 e a Fgura 4.3), onde, agora, o ponto W ( x,y) corresponde à posção de um vórtce dscreto genérco,. Para fnalzar a segunda parte do problema, ou sea, a geração dos vórtces dscretos responsáves por garantr a condção de não deslzamento, deve-se verfcar a condção de conservação global da crculação (conservação da vortcdade). Sabe-se que, dependendo do

108 80 sentdo de rotação, os vórtces dscretos podem ter ntensdade postva (quando gram no sentdo horáro) ou negatva (quando gram no sentdo ant-horáro). A condção de conservação global da crculação é mposta acrescentando-se uma lnha (uma vez que vórtces dscretos são gerados apenas sobre a superfíce do corpo) na equação matrcal de vórtces dscretos nascentes (Equação 4.5). Assm: mb1 ( Γ ) = 0 = 1 vórtces nascentes (4.34) lembrando que mb1 é o número de panés que dscretzam a superfíce do corpo. Este momento é oportuno para menconar uma outra contrbução deste trabalho, a qual modfca a manera de resolver os dos sstemas lneares, o prmero para a geração das fontes/sumdouros (que representam as superfíces sóldas) e o segundo para a geração dos vórtces dscretos nascentes. Trabalhos anterores desenvolvdos dentro do grupo de pesqusa onde esta tese de doutorado está nserda, realzavam a geração dos vórtces dscretos de Lamb e das fontes/sumdouros sem se preocuparem com a convergênca dos dos resultados. Consequentemente, um erro se faza presente. Neste trabalho, adota-se um processo teratvo para a solução dos dos sstemas de equações ctados, de modo que, ao fnal deste processo, garante-se a condção de aderênca sobre todos os pontos de controle dos panés que dscretzam a superfíce do corpo Contrbução da Nuvem de Vórtces Dscretos Uma das etapas que consome o maor tempo de CPU relacona-se com a nteração vórtce-vórtce. Quando se utlza a Le de Bot-Savart, como é o caso deste trabalho, o número de operações realzadas por um processador é da ordem do quadrado do número total de vórtces dscretos presentes no escoamento. Quando a dstânca entre dos vórtces dscretos, e k, for menor do que o valor do rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb ( σ 0 c ), a velocdade nduzda pelo vórtce dscreto no vórtce dscreto k, comporta-se de acordo com a Fgura 4.9a; observa-se que, quando r = 0, não há autondução. Exste na lteratura o modelo do vórtce potencal. Este modelo, embora não possua um núcleo vscoso, é bastante útl neste trabalho, uma vez que, para dstâncas

109 superores ao valor de σ 0 c 81, a velocdade tangencal que este modelo nduz é pratcamente gual à velocdade nduzda pelo modelo de Lamb vea a Fgura 4.9b e o Apêndce A. (a) Vórtce de Lamb (b) Vórtce Potencal Fgura 4.9 Comportamento da velocdade tangencal nduzda. Numa nuvem de vórtces dscretos, a dstânca entre os vórtces dscretos, na grande maora das vezes, é superor ao valor do rao do núcleo do vórtce dscreto em análse ( σ 0 ). Deste modo, em tas crcunstâncas, faz-se uso do modelo do vórtce potencal com a fnaldade de evtar o uso do exponencal presente na expressão do vórtce dscreto de Lamb. Este exponencal (Equações 4.8 e 4.9) aumenta o tempo de cálculo da nteração vórtcevórtce, a qual á é crítca, conforme descrto anterormente. No entanto, ressalta-se que, fscamente, todos os vórtces dscretos são consderados conforme o modelo do vórtce dscreto de Lamb. De manera geral, os componentes nas dreções x e y da velocdade total nduzda no vórtce dscreto k, pelos demas vórtces dscretos da nuvem, são calculados pelas expressões: c NV u = Γ U, k (4.35) k NV = 1 NV = 1 V k, v = Γ, k (4.36) k V V NV k,

110 onde U V k, e 8 V são as velocdades nduzdas nas dreções x e y, respectvamente, no vórtce V k, dscreto arbtráro, k, pelo vórtce dscreto arbtráro,, se este últmo possur ntensdade untára. Consderando que a dstânca do centro do vórtce dscreto k ao centro do vórtce dscreto é menor do que o rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb em análse (no caso, se < σ ), utlza-se o modelo do vórtce dscreto de Lamb: rk 0c V ( ) y ( ) ( ) k y r k 1 exp 5,057 x + k x yk y 0c 1 U (4.37) = k, π σ ( ) x ( ) ( ) k x r k 1 exp 5,057 x + k x yk y 0c 1 V V = (4.38) k, π σ O rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb ( σ 0 ) é calculado, ncalmente, de acordo com os detalhes apresentados no Apêndce A. Posterormente, o rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb deve ser modfcado ( exposto no Item σ0 σ0c ) devdo ao modelo de rugosdade, de acordo com o Se σ rk 0c, utlza-se o modelo do vórtce potencal: U V VV ( yk y ) ( x x ) + ( y y ) 1 = (4.39) π k, k ( x k x ) ( x x ) + ( y y ) k k k 1 = (4.40) π k, ele mesmo. As Equações 4.35 e 4.36 revelam que um vórtce dscreto não nduz velocdade sobre

111 4.3 CÁLCULO NUMÉRICO DAS CARGAS IIIIIIIIIFLUIDODINÂMICAS 83 A ntegração da tensão atuante sobre a superfíce de um corpo ( τ 0 ), também denomnada de carga fludodnâmca dstrbuída, dá orgem às cargas fludodnâmcas ntegradas, representadas pelas forças e momentos fludodnâmcos. As forças fludodnâmcas podem ser decompostas em dos tpos: a força de sustentação e a força de arrasto. A força de sustentação é resultante da ntegração dos componentes normal e tangencal da tensão. No entanto, como a contrbução do componente tangencal da tensão, τ, é pequena, se comparada à contrbução do componente normal da tensão, p, admte-se que a força de sustentação sea resultante da ntegração do componente normal da tensão que atua sobre a superfíce do corpo (a pressão), apenas; a força de sustentação atua em uma dreção normal ao escoamento ncdente e depende da forma e da orentação do corpo. A força de arrasto, por sua vez, é resultante da ntegração dos componentes normal e tangencal (p e τ ), atuando sempre na dreção do escoamento e opondo-se ao movmento do corpo; esta força depende da forma e da orentação do corpo, bem como das característcas do escoamento ncdente (número de Reynolds). Em corpos esbeltos que trabalham com pequeno ângulo de ncdênca, ou ângulo de ataque, não ocorre a separação do escoamento e a estera que se forma a usante deste corpo é desprezível, sendo a força de arrasto orgnada da ntegração da tensão tangencal, ou sea, dependente apenas dos efetos vscosos. Por outro lado, como estudado neste trabalho, em corpos rombudos, ocorre a separação do escoamento e a consequente formação da estera vscosa, sendo domnante o componente de forma da força de arrasto. Portanto, cabe fxar que neste estudo apenas o arrasto de forma é calculado. Neste trabalho, utlza-se a formulação ntegral de Shntan & Akamatsu (1994), Equação 3.47 (reescrta abaxo), para determnar o valor da pressão em um ponto genérco,, do domíno fludo (Rcc, 00): ξy ~ + 1 Re S1 + S S1 + S 1 π 1 π n x ( x x ) + n y( y y ) ( x x ) + ( y y ) y( x x ) n x ( y y ) ( x x ) + ( y y ) n Y ~ ds = ωds Ω 1 π v( x x ) u( y y ) ( x x ) + ( y y ) ωdω + (3.47)

112 84 A prmera ntegral da Equação 3.47 representa a contrbução do corpo no cálculo da pressão (cada panel rá nduzr a propredade Y ~ no ponto de controle do panel ), enquanto a segunda ntegral faz o somatóro dos efetos da vortcdade dstrbuída em todo o campo do escoamento, em termos da propredade Y ~. A tercera ntegral, por sua vez, compreende a contrbução, em termos da propredade Y ~, da vortcdade que está sendo gerada sobre a superfíce do corpo. Como o obetvo consste em resolver numercamente a Equação 3.47, a mesma deve ser dscretzada, assumndo a forma (Rcc, 00): ξy ~ + 1 π Re m 1 n x ( x p x ) + n y ( yp y ) p p π = ( ) + ( ) p p 1 xp x yp y m n y ( x p x ) n x ( yp y ) p p p= 1 ( x x ) + ( y y ) p p p S Y ~ Sγ p p p p = 1 π NV = 1 ( x x ) u ( y y ) ( x x ) + ( y y ) v Γ + (4.41) onde γ p é a densdade de vórtces dstrbuída unformemente sobre o panel p (Fgura 4.10). Neste trabalho, a densdade é obtda dvdndo-se a ntensdade do vórtce dscreto de Lamb nascente (posconado nas vznhanças do ponto de controle do panel p para garantr a condção de não deslzamento) pelo comprmento do panel p: Γ p γ p = (4.4) Sp (a) (b) Fgura 4.10 Vortcdade gerada a partr da superfíce dscretzada do corpo (a) sofrendo um processo de aglutnação nstantânea e transformando-se num vórtce dscreto de Lamb (b).

113 85 Observando a Equação 4.41, nota-se que o somatóro do prmero membro possu termos puramente geométrcos e, deste modo, podem ser agrupados em uma matrz de nfluênca. Chamando esta matrz de KP (matrz de nfluênca de pressão), pode-se escrever: KP ( x p x ) + n y ( y p y ) p p p ( x x ) + ( y y ) 1 n = (4.43) π x, p S p p Se p =, adota-se KP, = ξ = 1, como sendo a nfluênca de um panel sobre ele mesmo no cálculo da pressão (autondução). O segundo termo do lado dreto da Equação 4.41 também depende apenas de grandezas geométrcas e, deste modo, pode ser agrupado em outra matrz de nfluênca. Chamando esta matrz de nfluênca de LD (matrz lado dreto), tem-se: LD ( x p x ) n x ( y p y ) p p p ( x x ) + ( y y ) 1 n = (4.44) π Re y, p S p p Se p =, adota-se LD = 0, ou sea, o vórtce nascente não contrbu no cálculo da pressão,p sobre o panel que lhe deu orgem. Assm, a Equação 4.41 pode ser escrta de uma forma mas compacta: m = p p 1 ( x x ) u ( y y ) ( x x ) + ( y y ) 1 v KP Y ~ (4.45) NV m, p p = Γ + LD,pγ p π = 1 = p p 1 Como não há geração de vórtces dscretos no solo, o últmo termo da equação anteror deve ser modfcado. Logo, a Equação 4.45 torna-se: m = p p 1 ( x x ) u ( y y ) ( x x ) + ( y y ) 1 v KP Y ~ (4.46) NV mb1, p p = Γ + LD,pγ p π = 1 = p p 1 O lado dreto da equação anteror, por sua vez, pode ser escrto da segunte forma: = 1 ( x x ) u ( y y ) ( x x ) + ( y y ) NV mb1 1 v LDP = Γ + LD,pγ p (4.47) π = p p 1 A aplcação da Equação 4.46 sobre os m panés que dscretzam as superfíces do corpo e do solo, conduz ao segunte sstema lnear de equações:

114 86 Y ~ (4.48) [ KP ] m m { } m = { LDP} m Uma vez conhecdos os valores da ncógnta Y ~ para os m panés, obtêm-se os valores do coefcente de pressão ( C ) para cada panel plano através da Equação 3.48, reescrta a segur: p C Y ~ p = + 1 (3.48) No presente contexto, a atenção é restrta ao cálculo da força fludodnâmca, mas especfcamente, ao cálculo das forças de arrasto e de sustentação. Neste trabalho, assume-se que apenas a pressão contrbu para o cálculo destas forças (o que não é váldo para o cálculo da força de arrasto quando o corpo é esbelto e trabalha com um pequeno ângulo de ataque). Como vsto anterormente, o coefcente de pressão é determnado em cada ponto de controle dos panés que dscretzam o corpo e o solo. Nestes pontos, a força causada pela pressão é decomposta em duas parcelas: uma parcela paralela ao escoamento ncdente (força de arrasto) e outra perpendcular ao mesmo (força de sustentação). Assm, os coefcentes das referdas forças que atuam em um dado panel,, são dados por: C D = C p Ssenβ (4.49) C L = C S cosβ (4.50) p onde C D é o coefcente de arrasto elementar que atua em um panel, L C é o coefcente de sustentação elementar que atua em um panel, um panel, C p é o coefcente de pressão que atua em S é o comprmento do panel e β é o ângulo de orentação do panel. Evdentemente, os coefcentes de arrasto e de sustentação são obtdos somando-se as contrbuções de cada panel plano ndvdualmente: C D = m = 1 C p S senβ (4.51) C L = m = 1 C p S cosβ (4.5)

115 87 Em resumo, a dscretzação da Equação 3.47 fornece a Equação 4.41 que, resolvda numercamente, permte determnar a propredade Y ~ atuante em cada panel. De posse dos valores de Y ~, calcula-se o valor do coefcente de pressão, C p, o qual torna possível a determnação dos coefcentes de arrasto e de sustentação através das Equações 4.51 e A CONVECÇÃO DA VORTICIDADE Para se saber a velocdade total nduzda em um vórtce dscreto arbtráro, k, basta somar as contrbuções do escoamento ncdente (Equações 4.5 e 4.6), das fronteras sóldas (Equações 4.9 e 4.10) e da nuvem de vórtces dscretos (Equações 4.35 e 4.36). O avanço convectvo deste vórtce dscreto k, é defndo pela solução da Equação 4.4, sto é: d x k = uk ( xk,t) (4.4) dt O avanço convectvo de todos os vórtces dscretos que formam a nuvem smula o fenômeno da convecção da vortcdade. Desta forma, obtdo o campo de velocdades, a posção de cada vórtce dscreto, em cada ncremento de tempo na etapa convectva, pode ser calculada numercamente por dversos esquemas de avanço. Neste trabalho, o avanço convectvo é calculado pelo esquema de prmera ordem de Euler (Ferzger, 1981). Assm, utlzando este esquema, a nova posção de um vórtce dscreto arbtráro, k, após um ncremento de tempo t, nas dreções x e y, é dada respectvamente, por: x y ( t t) = x = x ( t) u ( t) t + (4.53) k CONVECÇÃO k k + ( t t) = y = y ( t) v ( t) t k CONVECÇÃO k k + t k + (4.54) t k onde u t e k v t são os componentes da velocdade total nduzda no vórtce dscreto arbtráro k k, nas dreções x e y, respectvamente.

116 4.5 A DIFUSÃO DA VORTICIDADE 88 De acordo com o Algortmo de Separação da Parte Vscosa (Chorn, 1973), a dfusão da vortcdade é governada pela Equação 4., a equação da dfusão, transcrta abaxo: ω 1 = t Re c ω (4.) onde o número de Reynolds aparece com uma modfcação ( Re ) devdo ao uso do modelo de turbulênca descrto no Item 3.4., o qual utlza um coefcente de vscosdade turbulenta para fazer a transferênca de energa entre as grandes escalas do escoamento (que são resolvdas) e as escalas submalha (que são modeladas). Pelo modelo de turbulênca utlzado, o coefcente de vscosdade turbulenta é somado ao coefcente de vscosdade molecular (Equação 3.3) e, consequentemente, o número de Reynolds deve ser modfcado, assumndo a forma da Equação 3.31, reescrta abaxo: c Re c U d = (3.31) ν + ν t Método de Vórtces Dscretos com Smulação de Turbulênca De acordo com a proposta de Métas & Leseur (199), os fenômenos que se manfestam nas mcroescalas podem ser consderados com a utlzação do coefcente de vscosdade turbulenta ( ν t ); este é defndo pela Equação 3.7. Esta defnção depende de uma função estrutura de velocdade de segunda ordem ( F ), defnda pela Equação 3.6. Consderando o problema admensonalzado, Alcântara Perera et al. (00) fzeram duas adaptações necessáras para a mplementação do modelo de turbulênca neste trabalho: () os pontos sobre os quas as velocdades são calculadas devem stuar-se sobre uma coroa crcular defnda por r nt = 0,1σ0c e r ext = sm σ 0c, onde r nt e r ext são os raos nterno e externo, respectvamente, da coroa crcular e σ 0c é o rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb em análse, modfcado pelo modelo de rugosdade (Fgura 4.11a); no Capítulo 5

117 89 apresenta-se um estudo estatístco que determna o valor de sm e, consequentemente, o rao externo da coroa crcular; () no cálculo da função estrutura de velocdade de segunda ordem, os pontos onde as velocdades devem ser calculadas devem concdr com a posção dos vórtces dscretos que se encontram nas vznhanças do vórtce dscreto consderado (Fgura 4.11b). Caso haa vórtces dscretos no nteror da coroa crcular defnda ao redor do vórtce dscreto em análse (vórtce dscreto k), calcula-se a função estrutura de velocdade de segunda ordem assocada a este vórtce dscreto: F k N 1 ( t) = t ( xk, t) u t ( xk + r, t) k N = 1 3 σ0c k u (4.55) ( ) r t onde u t é a velocdade total sobre os vórtces dscretos, N ndca o número de vórtces dscretos presentes no nteror da coroa crcular, r representa a dstânca entre o vórtce dscreto em análse (vórtce dscreto k) e os pontos da coroa crcular onde as velocdades são ( ) 3 calculadas (vórtces dscretos ), e o termo ( t) σ k r é ncorporado à expressão da função 0c estrutura de velocdade de segunda ordem devdo ao fato de os vórtces dscretos não estarem equdstantes do vórtce dscreto k. (a) (b) Fgura 4.11 Adaptação do modelo de turbulênca ao Método de Vórtces Dscretos.

118 90 Num dado nstante de tempo, tendo calculado a função estrutura de velocdade de segunda ordem para cada vórtce dscreto da nuvem que smula turbulênca, ela é utlzada para se determnar o coefcente de vscosdade turbulenta assocado a cada vórtce dscreto da nuvem que smula turbulênca: ν ( t) 0,105C 3 σ F ( t) = (4.56) tk k 0ck k lembrando que C k é a constante de Kolmogorov ( C k = 1,4 ) e σ 0c é o rao do núcleo do k vórtce dscreto, k, modfcado pelo modelo de rugosdade. Fnalmente, como o coefcente de vscosdade turbulenta deve ser adconado ao coefcente de vscosdade molecular, o número de Reynolds deve ser modfcado: Re ck ( t) U d = (4.57) ν + ν t k ( t) Portanto, o número de Reynolds deve ser modfcado localmente, em função da atvdade turbulenta exstente em torno da posção ocupada pelo vórtce dscreto k. O processo de dfusão turbulenta é consderado apenas na etapa da dfusão vscosa (Item 4.5.), á que esta etapa é a responsável pela dsspação de energa. Sendo assm, a modfcação do rao do núcleo de um vórtce dscreto, k, pelos efetos da turbulênca, não é realzada. É mportante dzer, anda, que no trabalho de Alcântara Perera et al. (00), a realzação deste últmo procedmento acarretava em um aumento excessvo do rao do núcleo dos vórtces dscretos que smulavam os efetos da turbulênca, uma vez que estes autores não utlzaram um fator de controle do rao do núcleo do vórtce dscreto, o qual é proposto neste trabalho, e utlzado no modelo de rugosdade (vea, no Apêndce A, o fator χ ) O Método de Avanço Randômco Város são os algortmos numércos que podem ser utlzados para se obter a solução da equação da dfusão da vortcdade (Equação 4.). Entre eles, ctam-se os dos mas mportantes: o método do crescmento do rao do núcleo do vórtce (Leonard, 1980; Kamemoto et al., 1990; Ross, 1996) e o método de avanço randômco (Chorn, 1973).

119 91 O método de avanço randômco é o método mas utlzado para smular a dfusão da vortcdade quando se utlza o Método de Vórtces Dscretos, e consste em se mplementar um deslocamento dfusvo para cada vórtce dscreto da nuvem, ndvdualmente. Este procedmento fo desenvolvdo por Chorn (1973), baseado na teora do movmento Brownano desenvolvda por Ensten (1956). Assm, o avanço temporal de um vórtce dscreto, k, da nuvem, é dado por: k ( t t) = x k ( t) + x CONVECÇÃO k x DIFUSÃO k x + + (4.58) k ( t t) = yk( t) + yconvecção k ydifusão k y + + (4.59) Na Seção 4.4 fo obtdo o avanço convectvo através do esquema de avanço de prmera ordem de Euler. Agora, é apresentado o deslocamento dfusvo, caracterzado pelo movmento aleatóro das partículas de vortcdade. O avanço de cada vórtce dscreto k, na dreção radal e no ntervalo ( 0 π), é dado respectvamente por (Alcântara Perera, 1999): 4 t 1 rk = ln (4.60) Re P c k θ k = πq (4.61) onde P e Q são números randômcos entre 0 e 1. Observa-se que a presença do número de Reynolds modfcado, na Equação 4.60, mostra que os efetos da vscosdade e da turbulênca são levados em consderação na etapa da dfusão da vortcdade. Assm, a dfusão de um vórtce dscreto, k, da nuvem, após um ncremento de tempo t, possu um deslocamento na dreção x e um deslocamento na dreção y, dados respectvamente por: x DIFUSÃO k = r cos θ (4.6) k k y DIFUSÃO k = r sen θ (4.63) k k

120 9 4.6 ALGORITMO DO MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS Apresenta-se, nesta seção, um algortmo para a smulação numérca do escoamento bdmensonal e ncompressível, de um fludo newtonano com propredades constantes, que ncde sobre um corpo de forma qualquer e conhecda, o qual pode, ou não, estar estaconado nas vznhanças de uma superfíce plana (solo) que se move com a mesma velocdade do escoamento ncdente, consderando, anda, os efetos da rugosdade do corpo. Neste trabalho, em partcular, o corpo escolhdo fo o clndro crcular, mas salenta-se que todo o desenvolvmento apresentado nos Capítulos 3 e 4 é váldo para um corpo de forma qualquer. A segur, apresenta-se um rotero de como funcona o códgo computaconal. Na Fgura 4.1, lustra-se o procedmento que será descrto na sequênca. 1 Passo: Entrada de Dados Faz-se a letura de todos os dados necessáros para a realzação da smulação numérca, tas como: stop número fnal de ncrementos de tempo da smulação numérca; opton o programa dsponblza ao usuáro a escolha de uma das seguntes stuações: () opton = 1: escoamento ao redor de um corpo solado; () opton = : escoamento ao redor de um corpo estaconado nas vznhanças de uma superfíce plana (solo) móvel; tck rao do clndro crcular; gmn dstânca entre o solo e o ponto extremo nferor do clndro crcular ( gmn = h ) Fgura 4.13; lm comprmento de cada módulo que compõe o solo; cada módulo tem comprmento gual ao dâmetro do clndro crcular (Fgura 4.13); n número de módulos que compõem o solo stuados a montante do corpo (Fgura 4.13); nm número total de módulos que compõem o solo; np número de panés utlzados para dscretzar a superfíce de cada módulo;

121 mb1 número de panés utlzados para dscretzar a superfíce do corpo; 93 vel velocdade do escoamento ncdente; alpha ângulo de ncdênca do escoamento; delt valor do ncremento de tempo da smulação numérca; eps dstânca de geração dos vórtces dscretos que nascem no corpo, em relação ao ponto de controle de cada panel plano que dscretza o corpo; core rao do núcleo do vórtce dscreto de Lamb que nasce no corpo; re número de Reynolds do escoamento; sm varável que defne o valor do rao externo da coroa crcular crada ao redor de cada vórtce dscreto para consderar os aspectos referentes à turbulênca (Capítulo 5, Item 5.1.1); epslon rugosdade relatva (ε ), lembrando que ε = ε d ; countr número de pontos rugosos stuados sobre a semcrcunferênca defnda ao redor dos pontos de desprendmento de vórtces dscretos assocados a cada panel plano que dscretza a superfíce do corpo (Fgura 4.6). Passo: Dscretzação das Fronteras Sóldas Dscretza-se a superfíce do solo em mb = nm np panés planos e a poscona sobre o exo das abscssas (Fgura 4.13). Dscretza-se, anda, o clndro crcular de dâmetro d = 1, em mb1 panés planos e o poscona a uma dstânca gmn = h acma do solo; além dsso, o clndro crcular é sempre posconado de manera que o seu bordo de ataque fque a uma dstânca horzontal, n, medda a partr do exo de referênca (Fgura 4.13). Por fm, calcula-se o valor do ponto de controle, do ângulo de orentação, do comprmento e os valores aproprados das coordenadas dos pontos de desprendmento de vórtces dscretos e dos pontos rugosos assocados a cada panel.

122 94 Entrada de Dados Dscretzação das Fronteras Sóldas Montagem das Matrzes de Influênca Solução do Sstema de Equações de Fontes Solução do Sstema de Equações de Vórtces P R O G R A M A Geração de Vortcdade Solução do Sstema de Equações de Fontes Solução do Sstema de Equações de Vórtces Iteratvo! Condção de Aderênca Efetos da Rugosdade P R I N C I P A L Cálculo das Cargas Fludodnâmcas Convecção da Vortcdade Dfusão da Vortcdade + Efetos da Turbulênca Reflexão de Vórtces Dscretos Impressão de Resultados Solução do Sstema de Equações de Vórtces Iteratvo! Fgura 4.1 Estrutura do programa computaconal desenvolvdo.

123 3 Passo: Montagem das Matrzes de Influênca 95 de vórtces, Calculam-se os coefcentes das matrzes de nfluênca de fontes, v K (Equação 4.5), e de pressão, KP, p (Equação 4.43). f K p (Equação 4.14), 4 Passo: Solução do Sstema de Equações de Fontes No nstante t = 0 da smulação numérca, o escoamento é potencal, uma vez que anda não há vórtces dscretos no domíno fludo. Nessa stuação, o vetor LDF é calculado conforme a Equação Em seguda, resolve-se a equação matrcal de fontes (Equação 4.18) através do método de elmnação de Gauss com condensação pvotal parcal. Como se desea avalar, neste momento, a solução potencal do problema, não são mpostas as equações de conservação da massa (Equações 4.16 e 4.17). Fgura 4.13 Representação esquemátca do corpo e do solo.

124 5 Passo: Solução do Sstema de Equações de Vórtces 96 No nstante t = 0 da smulação numérca, anda não há vórtces dscretos no domíno fludo. Nessa stuação, o vetor LDV é calculado conforme a Equação 4.6. Apesar do escoamento, neste momento, ser potencal, como os valores calculados para as ntensdades dos vórtces dscretos serão utlzados no nstante t = 1 da smulação numérca, mpõe-se a condção de conservação global da crculação (Equação 4.34). Deste modo, deve-se resolver a equação matrcal de vórtces (Equação 4.7) consderando-se, também, a equação extra referente à condção de conservação global da crculação (Equação 4.34), tendo-se, desta forma, um sstema sobredetermnado de mb1 + 1 equações e mb1 ncógntas. O novo sstema formado é resolvdo através do método dos mínmos quadrados. Este expedente fornece um outro sstema fnal elmnação de Gauss com condensação pvotal parcal. mb1 mb1, que é resolvdo através do método de 6 Passo: Geração de Vortcdade Gera-se, em cada ncremento de tempo da smulação numérca, mb1 novos vórtces dscretos de Lamb com ntensdades dadas pela solução do sstema de equações de vórtces. 7 Passo: Obtenção da Condção de Aderênca Os vórtces dscretos gerados nduzem velocdade (do tpo tangencal) nos pontos de controle dos panés que dscretzam as superfíces sóldas, o que vola a condção de mpermeabldade garantda até então. Para garantr a condção de mpermeabldade novamente, resolve-se o sstema de equações de fontes, consderando a nfluênca dos vórtces dscretos no cálculo do vetor LDF (Equação 4.3). Deve-se, também, mpor as equações de conservação da massa (Equação 4.16 para o corpo e Equação 4.17 para o solo), o que tornará o sstema sobredetermnado. Assm, utlza-se o método dos mínmos quadrados para obter um sstema de equações possível e determnado, o qual será resolvdo pelo método de elmnação de Gauss com condensação pvotal parcal, garantndo-se a condção de mpermeabldade novamente.

125 97 No entanto, as novas dstrbuções de fontes obtdas nduzem velocdade (do tpo radal) nos pontos de controle dos panés que dscretzam as superfíces sóldas, o que vola a condção de não deslzamento garantda até então. Para resolver este problema, recorre-se a um processo teratvo (destacado em azul na Fgura 4.1), no qual os sstemas de equações de fontes e de vórtces são resolvdos sucessvamente, durante dez terações, obtendo-se, assm, a condção de aderênca. 8 Passo: Efetos da Rugosdade Para representar os efetos da rugosdade superfcal do corpo no escoamento, o rao do núcleo dos vórtces dscretos nascentes devem ser modfcados de acordo com a Equação 4.4. Como os vórtces dscretos devem tangencar o ponto de controle dos panés que lhe deram orgem, conclu-se que os pontos de desprendmento de vórtces dscretos também devem ser modfcados, de manera que a matrz de nfluênca de vórtces deve ser recalculada em cada nstante de tempo da smulação numérca, devdo aos efetos da rugosdade. Uma vez que a matrz de nfluênca de vórtces é recalculada, resolve-se a equação matrcal de vórtces para obter as novas ntensdades dos vórtces dscretos consderando, agora, os efetos da rugosdade superfcal do corpo. É mportante salentar que, ao se consderar os efetos da rugosdade superfcal do corpo, deve-se recorrer ao processo teratvo descrto no 7 passo para garantr a condção de aderênca sobre o ponto de controle de cada panel plano que dscretza a superfíce do corpo. 9 Passo: Cálculo das Cargas Fludodnâmcas Determna-se a dstrbução nstantânea de pressão sobre a superfíce dscretzada do corpo (exatamente em cada ponto de controle) e os coefcentes nstantâneos de arrasto e de sustentação. Esses cálculos são realzados de acordo com o exposto na Seção 4.3.

126 10 Passo: Convecção da Vortcdade 98 A convecção da nuvem de vórtces dscretos é realzada através do esquema de avanço de prmera ordem de Euler (Seção 4.4). 11 Passo: Dfusão da Vortcdade e Efetos da Turbulênca Realza-se o processo de dfusão da vortcdade pelo método de avanço randômco (Item 4.5.), consderando-se, anda, os efetos da turbulênca medante a modfcação do número de Reynolds do escoamento, onde as manfestações da turbulênca são relevantes, ou sea, onde ν 0. t 1 Passo: Reflexão de Vórtces Dscretos Os vórtces dscretos que mgrarem para o nteror do corpo, e aqueles que mgrarem para baxo da superfíce do solo, são devolvdos para o domíno fludo. 13 Passo: Impressão de Resultados Imprme-se todos os resultados necessáros para as análses realzadas no Capítulo Passo: Solução do sstema de Equações de Vórtces Uma vez que os vórtces dscretos sofreram os processos de convecção e de dfusão da vortcdade, vola-se a condção de aderênca garantda até então. Portanto, atualza-se o vetor LDV, de acordo com a Equação 4.33, e resolve-se a equação matrcal de vórtces (Equação 4.7), consderando-se, também, a equação extra referente à condção de conservação global da crculação (Equação 4.34). É mportante lembrar que, para resolver o referdo sstema de equações, utlza-se o método dos mínmos quadrados e o método de elmnação de Gauss com condensação pvotal parcal.

127 99 Capítulo 5 ANÁLISE DE RESULTADOS Este capítulo apresenta os prncpas resultados obtdos da smulação numérca do escoamento bdmensonal, ncompressível e em regme não permanente de um fludo newtonano com propredades constantes que ncde sobre um clndro crcular. As condções geométrcas mpostas ao clndro crcular o defnem como solado ou estaconado nas proxmdades do solo. Consdera-se, também, a nfluênca da rugosdade da superfíce do clndro crcular no comportamento fludodnâmco do corpo. Na Fgura 5.1, dentfcam-se as superfíces do clndro crcular e do solo. Estas superfíces são dscretzadas e representadas por panés planos, sobre os quas se dstrbuem sngulardades do tpo fontes com densdade constante, mpondo-se, assm, a condção de mpermeabldade sobre o ponto de controle de cada panel. Vórtces dscretos de Lamb são gerados nas vznhanças da superfíce dscretzada do corpo para satsfazer a condção de não deslzamento. Como um dos propóstos deste trabalho é o de elmnar a nfluênca da camada lmte desenvolvda unto ao solo, a condção de não deslzamento somente é mposta sobre os pontos de controle de cada panel montado para representar a superfíce do corpo. Anda na Fgura 5.1, pode-se perceber a estrutura da estera de vórtces dscretos de Lamb que se forma a usante do corpo. O prmero passo consttu-se na aferção do códgo computaconal mplementado e, para sso, realza-se a smulação numérca para o caso do clndro crcular hdraulcamente lso e solado.

128 100 Fgura 5.1 Clndro crcular hdraulcamente rugoso estaconado nas proxmdades do solo. Após a aferção ncal do códgo, procede-se à análse do escoamento ao redor do clndro crcular hdraulcamente rugoso. Na sequênca, como um exemplo de aplcação, estuda-se os efetos causados pela presença do solo no escoamento ao redor do clndro crcular hdraulcamente lso e do clndro crcular hdraulcamente rugoso. Os resultados apresentados se referem ao comportamento das cargas fludodnâmcas ntegradas (coefcentes de arrasto e de sustentação) e dstrbuídas (coefcente de pressão) e ao número de Strouhal. Também se utlzam recursos gráfcos de vsualzação da formação da estera a usante do corpo. 5.1 PARÂMETROS UTILIZADOS NA SIMULAÇÃO IIIIIIIIINUMÉRICA Nas smulações numércas foram consderadas duas classes de parâmetros: aqueles relaconados ao método numérco e aqueles afetos ao fenômeno físco. A segur são esclarecdas as nfluêncas que tas parâmetros têm sobre os resultados das smulações numércas.