Modelo Viscoelástico para Simulação de Tecidos Conectivos

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1 Modelo Viscoelástico para Simulação de Tecidos Coectivos Louise Reips, Eduardo A. Facello UFSC - Departameto de Egeharia Mecâica Campus Tridade , Floriaópolis, SC louise@grate.ufsc.br, facello@grate.ufsc.br 1 - Itrodução A biomecâica busca estudar e prever o comportameto de corpos biológicos mediate o uso de modelos que levam em cota parâmetros ciemáticos, diâmicos e biológicos para represetá-los. Esses modelos têm grade utilidade do poto de vista da prática médica, á que são capazes de solucioar problemas mecâicos itervido favoravelmete em possíveis procedimetos cirúrgicos. Este artigo tem como foco a formulação de um modelo costitutivo para implemetação posterior de ligametos e tedões. Os ligametos e tedões fazem parte do grupo de tecidos biológicos coectivos moles formados por fibras de colágeo evolvidas uma matriz itercelular. São estruturas fortemete solicitadas mecaicamete, tedo como características pricipais o comportameto viscoelástico aisotrópico quado submetidos a esforços mecâicos. Ambos tem a fução de trasmitir forças de modo que ão iduzam carregametos bruscos etre os vários compoetes do sistema muscular esquelético. Uma grade variedade de modelos costitutivos hiperelásticos e viscoelásticos pode ser ecotrado a literatura com o obetivo de ivestigar o comportameto mecâico de ligametos e tedões. Detre eles, Hirokawa, Tsuruo [4] represetam um ligameto cruzado aterior por uma matriz hiperelástica homogêea usado o modelo de Mooey-Rivli trabalhado com 2 famílias de fibras extesíveis. O modelo evolve aisotropia e icompressibilidade. Limbert, Taylor [9] também trabalharam com 2 famílias de fibras, abordado a teoria de materiais compostos em que essas são embebidas uma matriz sólida. Sua formulação baseia-se os ivariates tesoriais do tesor de Cauchy- Gree à direita. Mais tarde, Limbert, Taylor e Middleto [10] propõem uma lei costitutiva visco-hiperelástica trasversalmete isotrópica ode os poteciais elásticos viscosos que defiem a fução eergia livre foram assumidos desacoplados. Holzapfel, Gasser [6] apresetaram um modelo costitutivo viscoelástico aisotrópico ode modelos para materiais trasversalmete isotrópicos e ortotrópicos são icluídos em casos especiais, também assumido a represetação desacoplada da eergia livre ψ. Esses modelos costitutivos aisotrópicos levam em cosideração que os poteciais elásticos e dissipativos são cosiderados depedetes ão somete da deformação, mas também da orietação das fibras. Facello, Pothot, Staiier [2] propõe uma formulação costitutiva viscoelástica fazedo uso de variáveis iteras, capaz de prever o comportameto de materiais viscoelásticos isotrópicos quado submetido à deformações fiitas. O trabalho que segue tem como obetivo icorporar a característica de aisotropia orietada à formulação costitutiva citada acima através da itrodução de um potecial de eergia deformação que cosidera a cotribuição das fibras. 2 - Problema Costitutivo Os modelos hiperelásticos baseiam-se a existêcia de uma fução de eergia de deformação ψ, também cohecida como fução de eergia livre de Helmholtz [5], que depede somete do valor da deformação e cua derivada forece o estado de tesão de um poto material

2 P = 2F ΨC 1 C ode P é o primeiro tesor tesão de Piola- Kirchhoff, F é o gradiete deformação e C = F T F é o tesor de Cauchy-Gree. O problema de equilíbrio pode ser defiido pela miimização da eergia potecial mi Hx x K Hx = ΨFxdΩ 0 Ω [ 0 ] b 0 xdω 0 + f 0 xdγ 0 Ω 0 Γ 0 2 desde que são satisfeitas as equações costitutivas e de compatibilidade e K é o couto das deformações admissíveis. No caso de materiais viscoelásticos, ão é possível defiir uma fução potecial de forma que a equação 1 sea satisfeita, á que ão pode-se obter o estado de tesão depedete do feômeo dissipativo, a partir do valor fial da deformação. Porém, fazedo uso de variáveis iteras, capazes de descrever a história do processo e, com o auxílio de pseudopoteciais, como apresetado em [11], pode-se trabalhar com uma equação icremetal que se comporta hiperelasticamete os itervalos icremetais de carregameto: P +1 = ΨF +1; E ΨC +1 ; E = 2F +1 F +1 C +1 3 sedo que E = {F, F i, Q} é o couto das variáveis iteras e exteras. Os gradietes de deformação ielástico F i e elástico F e são obtidos a partir da decomposição multiplicativa de F, isto é, F = F e F i e Q cotém o resto das variáveis iteras do processo, calculadas através de equações de evolução. Em [11] é mostrado que um potecial com estas características pode ter a seguite forma: com FF +1, E, F i F +1, E e QQ +1, E sedo as aproximações icremetais das variáveis de taxa F, F i e Q respectivamete. A difereça etre os diversos modelos de potecial reside as características dos poteciais ϕ, ϕ e, ϕ i e ψ Modelo Viscoelástico Isotrópico Assumido que, para o material hiperelástico a eergia livre Ψ admite a decomposição aditiva em partes isocórica e volumétrica: ΨF = W F + Uθ 6 F = J 1 3 F, J = detf, Ĉ = F T F 7 Figura 1: Modelo reológico geeralizado No modelo reológico mostrado a Figura 1, o braço puramete elástico cotrolado pelos poteciais ϕ e U permite a separação da eergia elástica em partes isocórica e volumétrica. A parte isocórica é uma fução isotrópica de Ĉ = F T F, ode ci são os autovalores de Ĉ. E a parte volumétrica pode ser defiida usado a expressão usual para U, como segue: ϕĉ = ϕc 1, c 2, c 3 8 ΨF +1 ; E = mi {WE +1 WE F+1 i,q +1 + tψ F i, Q; E } 4 WE = ϕf + ϕ e FF i 1 + ϕ i F i, Q 5 Uθ = k 2 [lθ]2 9 No braço iferior admite-se uma decomposição multiplicativa das deformações elástica e viscosa, ambas isocóricas. A partir de F v, defie-se a taxa de deformação viscosa D v que, por costrução, é deviatórica.

3 ode a operação de miimização é restrita a F = F e F v F e = FF v 1, detf v = 1 10 D v = SymL v = L v = F v F v 1 11 F v = D v F v 12 As restrições adicioais de D v defiem características específicas da regra de escoameto. Propõe-se em [2] uma decomposição espectral do tipo: q v K Q = {p R 1 : p 1 + p 2 + p 3 = 0} 19 M v K M ={N Sym : N N = 1, ode N i N = 0, i } 20 ϕĉ+1 = ϕĉ+1 ϕĉ 21 D v = d v M v 13 i=1 ϕ e Ĉe +1 = ϕ e Ĉe +1 ϕ e Ĉe 22 d v K Q = {p R : p 1 + p 2 + p 3 = 0} 14 M v K M ={N Sym : N N = 1, N i N = 0, i } 15 ode os escalares d v são os autovalores de Dv, que deotam a amplitude da parte viscosa e M v são as autoproeções de Dv, = 1, 2, 3: Os poteciais elásticos e viscosos associados a este braço são assumidos fuções isotrópicas das deformações elásticas e viscosas e depedem dos correspodetes autovalores: ϕ e Ĉe = ϕ e c e 1, c e 2, c e 3 16 ψd v = ψd v 1, d v 2, d v 3 17 ode Ĉe = F et F e. A partir destas defiições, mostra-se em [2] que o potecial icremetal a equação 3 toma a forma ΨC +1 ; E = ϕĉ+1 q v + tφ t + mi M v, qv + Uθ +1 { ϕ e Ĉe +1 + tψ q v } t 18 Uθ +1 = Uθ +1 Uθ 23 A miimização em relação a M permite demostrar que os tesores Ĉe +1, Ĉpr e D v são colieares, equato a miimização em relação a q é resolvida através das codições ecessárias de otimalidade, forecedo um sistema de três equações ão-lieares dadas por: ϕ e ε e ψe d v + λ = 0 24 q v 1 + q v 2 + q v 3 = 0 25 ode = 1, 2, 3, λ é o multiplicador de Lagrage e ε e = 1 2 lce são os autovalores de ε e +1. Uma vez que determiados os miimizadores da equação 18, a derivada de Ψ em relação a Ĉ +1 e θ +1 permite obter o tesor de Piola- Kirchhoff da equação 3. A parte deviatórica é dada por φ = ϕ F 1 = =1 =1 φ 1 d ψ c E 26 2 t c M F T 27

4 ϕ e = F v 1 =1 ϕ e ε e 1 2c pr E pr F v T 28 Uma simples extesão deste modelo é obtido cosiderado um couto de P braços de Maxwell, como visto a Figura 1. Nesse caso, o potecial icremetal é dado por ΨC +1 ; E = ϕĉ+1 Figura 2: Modelo reológico com a iclusão das fibras + tφ qv t + Uθ +1 P + mi { ϕ e k Ĉe k +1 M v k=1, qv + tψ k q v k t } 29 tesor estrutural A f = a f a f das fibras, orietadas a direção a f a cofiguração de referêcia [6]. Essa eergia de deformação depede dos ivariates gerados pela cotribuição desses dois tesores: que sigifica que a miimização pode ser calculada para cada k, obtedo o para correspodete qk v e M k. Para a utilização do método de Newto tora-se ecessária a determiação da matriz tagete. A pricipal dificuldade ecotrase, etão, o ovo cálculo das derivadas das fuções poteciais que á foram derivadas parcialmete ateriormete. O cálculo da matriz tagete depede também da escolha dos modelos represetativos para as fuções poteciais, que devem ser apropriados ao material a ser represetado Icorporação das Fibras O modelo proposto está baseado a itrodução de um potecial desidade de eergia deformação associado à cotribuição das fibras sobre uma matriz viscoelástica isotrópica, ver Figura 2. Isto pode ser feito de forma aáloga a [5] ode se propõe uma cotribuição aditiva das eergias de deformação. Ψ = Ψ isotropico + Ψ f 30 ode Ψ isotropico é o modelo á desevolvido e Ψ f é a cotribuição das fibras cuo detalhameto será mostrado a seguir. Para o caso das fibras, essa eergia depede dos ivariates dos tesores de Cauchy, C e do I 1 f = C : A f I 2 f = C2 : A f 31 Os outros ivariates aparecem a preseça de outras fibras orietadas segudo direções diferetes, gerado combiações etre os tesores estruturais. O primeiro ivariate, porém, tem uma iterpretação física clara, medido o alogameto quadrático de uma fibra orietada a direção a f : λ 2 f = C : A f = a f C a f 32 ode C é isocórico, isto é, C = J 2 3C. Focado apeas o potecial icremetal Ψ f, admite-se por hipótese que existe uma depedêcia apeas o primeiro ivariate, I 1 f, isto é, a medida do elogameto das fibras. Apesar de parecer restritiva, observa-se que os problemas práticos de literatura somete esses parâmetros são idetificados. Ver [6]. Esta deformação total admite uma decomposição multiplicativa, á a direção da fibra: λ f = λ e f λv f 33 ode λ e f e λv f correspodem aos elogametos elástico e viscoso respectivamete. Esquematicamete isto correspode ao modelo reológico clássico, ver Figura 1.

5 Nesta figura idetifica-se um braço elástico e um braço de Maxwell. O primeiro comporta um potecial de eergia livre totalmete reversível ão dissipativo depedete da deformação elogameto total λ f : ϕ f = ϕ f λ f 34 O segudo braço de Maxwell abriga a decomposição multiplicativa. Esta decomposição permite defiir um potecial elástico depedete apeas de λ e f, isto é, e Ψ f = mi λ v { ϕ e f λe + tψdλ v } + ϕ f λ f+1 41 ϕ e f = ϕe f λe ϕ e f λe f 42 ϕ f = ϕ e f λe f 35 Por outro lado, o elogameto viscoso atua através de sua derivada temporal gerado uma resistêcia ao movimeto cotrolado por um pseudo-potecial dissipativo. Ψ f = Ψ f d 36 com d sedo a taxa de deformação viscosa da fibra, defiido por d = λ e f λ 1 f 37 Do poto de vista icremetal, o etato, deve-se relacioar λ e f e d a valores icremetais: λ v, λ v f, assim como λ f+1, λ f+1. De forma aáloga à parcela isotrópica, é preciso obter uma expressão icremetal deste poteciais através da itegração temporal umérica. O método de itegração expoecial [1] permite escrever e, portato λ v f = λv λ v 1 f = exp td 38 td = l λ v f+1 λ v f 39 ϕ f = ϕ f λ f+1 ϕ f λ f 43 A codição de otimalidade do problema de míimo apresetado é dada por Ψ f λ v [δλ] = 0 44 ote que se trata de uma equação apeas, dado que a variável λ v é escalar. Logo, Ψ f λ v = ϕ e f ψ λ v + t λ v = 0 45 Para a primeira parcela etre parêteses a expressão acima, temos: λ v = ϕe f λ e λ λ v2 Já para a seguda parcela, sabedo que temos: 46 d λ v = 1 1 t λ v 47 ψ f λ v = ψ f d 1 1 t λ v 48 De 46 e 48, obtemos d = 1 t l λv f 40 ode λ v f = λv λ v. f Essa expressão permite obter a taxa de deformação viscosa a partir de valores icremetais λ v e λ v f. Com estas defiições e seguido argumetos aálogos aos usados em [2], defie-se ψ λ v + t λ v = ϕe f λ e λf+1 λ v2 + ψ f d = 0 49 E, abrido sua depedêcia em relação à variável pricipal,

6 ϕe f λe λ v λ e + ψ fdλ v d = 0 λf+1 λ v2 50 Note que se trata de uma úica equação ãoliear em fução de λ v, em que a solução forece o valor de λ v que miimiza o fucioal icremetal. Resolvida essa equação, o valor de λ v é cohecido e, portato, calculase λ e = λ f+1 λ v 1 51 Obtidos os valores de λ e e λ v, podese obter a cotribuição das tesões de cada parcela do modelo, sedo ecessário, para isto, ϕ f o cálculo de e. Assim, para parcela correspodete ao braço superior da mola, temos matemática adequada para aálise e estimativa de erro. Testes uméricos de validação em problemas uidimesioais e tri-dimesioais via Elemetos Fiitos se ecotram em adameto. Referêcias [1] L. Aad, G. Weber, Fiite deformatios costitutive equatios ad a time itegratio procedure for isotropic hyperelasticviscoplastic solids, Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, [2] E. A. Facello, J-P. Pothot, L. Staiier, A variacioal formulatio of costitutive models ad updates i o-liear fiite viscoelasticity, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, ϕ f = ϕ f λ f+1 I f+1 λ f+1 I f+1 = ϕ f 1 A f λ f+1 2λ f+1 52 [3] E. A. Facello, J. M. Vassoler, L. Staiier, A variacioal framework for a set of hyperelastic-viscoplastic isotropic models, Solid Mechaics i Brazil, e a parcela correspodete ao braço iferior é dada por = ϕe f λ e λ e λ f+1 λ f+1 = ϕe f λ e 1 λ v 1 2λ f+1 A f 53 Assim, tora-se possível o cálculo do tesor de Piola-Kirchhoff dado pela equação 3, tedo em vista o potecial defiido a equação Cosiderações Fiais Este trabalho propõe uma formulação costitutiva para modelameto de ligametos e tedões que leva em cota a cotribuição das fibras aisotropia orietada. A proposta isere-se uma abordagem variacioal, permitido a cotribuição de vários modelos de comportameto de material e estrutura [4] S. Hirokawa, S. Tsuruo, Threedimesioal deformatio ad stress distributio i a aalytical/computatioal model of the aterior cruciate ligamet, Joural of Biomechaics, [5] G. A. Holzapfel, Noliear solid mechaics: a cotiuum approach for egieerig, Joh Wiley & Sos Ltd, Chichester, Eglad, [6] G. A. Holzapfel, T. C. Gasser, A viscoelastic model for fiber-reiforced composites at fiite strais: cotiuum basis, computatioal aspects ad applicatios, Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, [7] G. A. Holzapfel, T. C. Gasser, M. Stadler, A structural model for the viscoelastic be-

7 havior of arterial walls: cotiuum formulatio ad fiite elemet aalysis, Europea Joural de Mechaics, [8] G. Limbert, J. Middleto, A trasversely isotropic viscohyperelastic material: Applicatio to the modelig of biological soft coective tissues, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, [9] G. Limbert, M. Taylor, O the costitutive modelig of biological soft coective tissues: A geeral theoretical framework ad explicit forms of the tesors of elasticity for strogly aisotropic cotiuum fiber-reiforced composites at fiite strai, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, [10] G. Limbert, M. Taylor, J. Middleto, Three-dimesioal fiite elemet modellig of the huma ACL: simulatio of passive kee flexio with a stressed ad stress-free ACL, Joural of Biomechaics, [11] M. Ortiz, L. Staiier, The variatioal formulatio of viscoplastic costitutive updates. Computer methods i applied mechaics ad egieerig, [12] S. L-Y. Woo, S. D. Abramowitch, R. Kilger, R. Liag, Biomechaics of kee ligamets: iury, healig, ad repair, Joural of Biomechaics,