Asset Liability Management (ALM) de um fundo de pensão via programação estocás=ca mul=estágio

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1 Asset Liability Management (ALM) de um fundo de pensão via programação estocás=ca mul=estágio Prof. Davi Michel Valladão Departamento de Engenharia Industrial PUC-Rio Lab. of Applied Math. Programming and Statistics (LAMPS) Tel.: (21) / (21) davimv@puc-rio.br

2 Agenda Apresentação ALM para um fundo pensão ALM via Otimização Estocástica Multiestágio Resultados computacionais Desa?ios cientí?icos Horizonte de longo prazo e a maldição da dimensionalidade Aversão a risco em um modelo dinâmico Modelagem: Alocação estratégica vs tático Restrições regulatórias (extensão para previdência complemantar) Conclusões

3 Davi Michel Valladão Formação acadêmica: Graduação Eng. Elétrica e Industrial, PUC- Rio Mestrado em Atuária e Finanças PUC- Rio Doutorado em Eng. Elétrica PUC- Rio Pesquisador visitante em Princeton (2010) Operations Research and Financial Engineering Pesquisador da IBM Research Brazil ( ) Otimização sob incerteza Prof. do Dep. de Eng. Industrial - PUC- Rio ( ) Coordenador do LAMPS Finance ( ) Laboratório de pesquisa em modelos de ALM

4 Davi Michel Valladão : ALM de um fundo de pensão (INSS de Angola) : IBM Research ALM em Recursos naturais : ALM Corporativo (Petrobras) : PUC-Rio. Prof. e coordenador do laboratório de pesquisa em ALM: LAMPS Finance

5 Interesses de pesquisa Aplicações Modelos de ALM Modelos de alocação estratégica SDDP, ADP Modelos de alocação tática Otimização estocástica Otimização robusta Modelos quantitativos aplicados a?inanças Medidas de risco e seleção de portfólio Modelos de otimização estocástica para seleção de carteira Modelos não tradicionais de precipitação via otimização Otimização robusta Otimização estocástica Métodos Modelos de programação dinâmica estocástica Extensão do SDDP para problemas?inanceiros Consistência temporal Medidas dinâmicas de risco Otimização estocástica 2 estágios Medidas de risco Outras formas de aversão a risco Otimização robusta

6 Definição de ALM ALM is the practice of managing a business so that decisions and actions taken with respect to assets and liabilities are coordinated. ALM can be defined as the ongoing process of formulating, implementing, monitoring and revising strategies related to assets and liabilities to achieve an organization's financial objectives, given the organization's risk tolerances and other constraints. Society of Actuaries, Guide for Asset-Liability Management,

7 ALM para diversas aplicações Traders ü Decisões: posições compradas e vendidas em diferentes ativos financeiros ü Horizonte de planejamento de curtíssimo prazo. Bancos ü Decisão: Emprestar dinheiro (Quando? Quanto? Para quem? De que tipo?) ü Horizonte de planejamento de curto prazo (meses) Seguradoras ü Decisões: Emissão de apólice de seguro (passivo) e estratégia de investimentos (ativo) ü Horizonte de planejamento de médio prazo ( 2-5 years) Fundos de pensão ü O passivo não está sob o controle do gestor ü Decisões de investimento são, em geral, as únicas variáveis de decisão ü Horizonte de planejamento de mais de um século (grandes fundos de BD de empresas públicas) 7

8 ALM para um fundo de pensão Objetivo: Garantir o pagamento dos benefícios (passivo) Decisões: Estratégia de investimentos (ativo) Fatores de Risco: Biométricos (passivo) e Mercado (ativo) Investimentos Mercado Investimentos Mercado Mercado Ativos e Passivos t = 0 Ativos e Passivos t = 1... Ativos e Passivos t = T Incerteza biométrica Incerteza biométrica Incerteza biométrica

9 O=mização Estocás=ca Mul=- estágios Decisão dinâmicas sob incerteza Decision( Uncertainty( Decision( Uncertainty( Decision( Uncertainty( Decision( T t Decisão sob incerteza Fator de risco ESTADO INICIAL DECISÃO ESTADO ESTADO FINAL ESTADO FINAL ESTADO FINAL FINAL t t+1

10 Árvore de cenários Estados Cenários para os fatores de risco Decisão T t estágios

11 Fluxograma Stochastic model Optimal Allocation Scenario Tree Generation Estimated coefficients Risk Factors Asset Pricing Stochastic asset returns Solution analysis Inflation Scenarios Optimization Model Reserve and Insolvency prob. Liability Scenario Generation Stochastic nominal cash flows Acceptance Liability Model Deterministic real cash flows New parameters Final Optimal Allocation

12 Modelo estocás=co para os fatores de risco Modelo de resersão à média X q = µ + α(x q-1 - µ ) + ε q, ε q ~ N(0, Σ) X q = x x x x x x ( ) jq = ln 1+ y jq 1 q 2q 3q 4q 5q y jq, j = 1,...,5 output growth rate, rental growth rate, = i nflation rate, i nterest rate, stocks return, j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5

13 Fluxograma Stochastic model Optimal Allocation Scenario Tree Generation Estimated coefficients Risk Factors Asset Pricing Stochastic asset returns Solution analysis Inflation Scenarios Optimization Model Reserve and Insolvency prob. Liability Scenario Generation Stochastic nominal cash flows Acceptance Liability Model Deterministic real cash flows New parameters Final Optimal Allocation

14 Geração de cenários em árvore Based on Kouwenberg s Adjusted Random Sampling (2004) X q = µ + α(x q-1 - µ ) + ε q 4X 4X 10X 6X 6X 6X... Adjusted Random Sampling 5760 scenarios 6X Initial Allocation 4X 4X 1 year 1 year 3 year 5 year 10 year (10 branches) (60 branches) (360 branches) (1440 branches) (5760 branches) t

15 Fluxograma Stochastic model Optimal Allocation Scenario Tree Generation Estimated coefficients Risk Factors Asset Pricing Stochastic asset returns Solution analysis Inflation Scenarios Optimization Model Reserve and Insolvency prob. Liability Scenario Generation Stochastic nominal cash flows Acceptance Liability Model Deterministic real cash flows New parameters Final Optimal Allocation

16 Árvore de cenários gerada via simulação

17 Fluxograma Stochastic model Optimal Allocation Scenario Tree Generation Estimated coefficients Risk Factors Asset Pricing Stochastic asset returns Solution analysis Inflation Scenarios Optimization Model Reserve and Insolvency prob. Liability Scenario Generation Stochastic nominal cash flows Acceptance Liability Model Deterministic real cash flows New parameters Final Optimal Allocation

18 Passivo sob incerteza Entrada: ü Fluxos reais de caixa determinísticos (valor esperado) ü Árvore de cenários de inflação Saída: ü Fluxos nominais de caixa estocásticos t

19 Fluxograma Stochastic model Optimal Allocation Scenario Tree Generation Estimated coefficients Risk Factors Asset Pricing Stochastic asset returns Solution analysis Inflation Scenarios Optimization Model Reserve and Insolvency prob. Liability Scenario Generation Stochastic nominal cash flows Acceptance Liability Model Deterministic real cash flows New parameters Final Optimal Allocation

20 R$ x R$ x R$ x R$ x scenarios scenarios scenarios scenarios Valladão, Veiga 2009 Deterministic Capital Requirement 6X Final wealth 4X 4X Technical Reserve using 6% as real discount rate and inflation scenarios Technical Reserve using 6% as real discount rate and inflation scenarios Stochastic capital requirement Prob. Insolv. 1 Prob. Insolv. 2 10X 6X 6X 6X. Underfunding probability Initial Allocation 4X 4X Technical Reserve using 6% as real discount rate and inflation scenarios Prob. Insolv. N-1 1 year 1 year 3 year 5 year 10 year Technical Reserve using 6% as real discount rate and inflation scenarios Prob. Insolv. N Scenario tree for the SP Random Sampling of Returns from optimal portfolio Insolvency Prob. = MEAN 20

21 Restrições de balanço 4 i= 1 l [( 1+ r ( n )). a ( n )] + e( n ) ( 1+ ( sp + r ( n ))). e( n ) i t+ 1 4 ( n ) t ct. [ ci ( nt + 1) + vi ( nt + 1) ] = [ ai ( nt + 1) ] i= 1 i t t+ 1 r 1 (n t+1 ) 4 i= 1 3 t+ 1 t n t n t+1 a 1 (n t ). a 4 (n t ) e(n t ). r 4 (n t+1 ) a 1 (n t+1 ). a 4 (n t+1 ) t t+1 (1+sp+r 3 (n t+1 )).e(n t ) l(n t+1 )

22 Função obje=vo Maximize the expected utility of the excess capital requirement (ECR) ü Objective function equation max [ u( ECR) ] = E[ bo. y pew] E. p z = = N n T = 1 p. [ bo. y( n ) pe. w( n )] 1 number of scenarios T T

23 Função obje=vo Utility definition for capital requirement ü Linear concave utility (risk aversion) u ( wealth( n ) = u( y( n ), w( n ) = bo. y( n ) pew. ( n ) T T T T T U(wealth) L* wealth

24 Resultado compucional Probabilidade de insolvência para diferentes valores de requerimento de capital ü Case 1: Capital requirement as zero ü Case 2: Iterative method Capital requirement as the average technical reserve (R$ ,00) ü Case 3: Iterative method Capital requirement as the reserve with risk correction -1% significance (R$ ,00) ü Case 4: Capital requirement as a prefixed value - real discount rate: 6% by Brazilian law (R$ ,00 as average)

25 Insolvency Probability zoom Deficit Probability Insolvency Probability 20,00% 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% Initial Wealth (millions of R$) Case 1 Case 2 Case 3 Case 4

26 Case 1: Op=mal Expected Alloca=on 100 Optimal Expected Allocation % t Stocks Properties Bonds Cash

27 Case 2: Op=mal Expected Alloca=on 100 Optimal Expected Allocation % t Stocks Properties Bonds Cash

28 Case 3: Op=mal Expected Alloca=on 100 Optimal Expected Allocation % t Stocks Properties Bonds Cash

29 Case 4: Op=mal Expected Alloca=on 100 Optimal Expected Allocation % t Stocks Properties Bonds Cash

30 Novas pesquisas Maldição da dimensionalidade Horizonte de longo prazo: 120 years Decision( Uncertainty( Decision( Uncertainty( Decision( Uncertainty( Decision( Modelagem: 0 1 Alocação estratégica vs alocação tática Restrições regulatórias 2 T t Aversão a risco em um contexto dinâmico U($)" $"

31 Aversão a risco em modelos dinâmicos ] (1 ) E W T r [1, ] + W T, r [1, ] W t+1 = P i A (1 + r i,t+1) x i,t, t H( ) P i A x i,t = W t, t H( ) WT(1) x t 0, W t, x t, r t são F t -mensuráveis v0 v1 WT(2) WT(3) v2 WT(4) t

32 Modelagem: Alocação tática ω = 1 Borrowing income B" A" ω = 2 ω = 3 Different amortization schedules C" ω = t Coupon payments Fixed rate bonds: Deterministic coupon (α t (s)) given issuance node (t,s). Floating rate bonds: Coupon with 2 components First, a deterministic component (Ψ t,τ (s)) given issuance node (t,s). Second, uncertain (floating) component (ρ t (s)).

33 Modelagem: Alocação tá=ca C t (s) = 1+ t (s) C t 1 (s) + f t (s) d t (s) l t (s) Project portfolio cash flow x t y t t 1 (s)+ y t Payment of pre-existing debt instruments + X i2x X i t,0(s)+ X i2y Y i t,0(s) Borrowing income from candidate debt inst. X i2x X i2y min(t,m i X ) X j=1 min(t,m i Y ) X j=1 Payment of candidate debt instruments issued before time t i t j(s)x i t j,j 1(s)+ X i j.x i t j,0(s) t 1 (s)+ t j,m i Y (s) Yt i j,j 1(s)+ Yj i.yt i j,0(s).

34 Modelagem: Restrições regulatórias Dissertação Thiago Barata (Susep)

35 Maldição da dimensionalidade ALM via SDDP

36 Maldição da dimensionalidade ALM via SDDP

37 Maldição da dimensionalidade ALM via SDDP Risco de mercado Número de estados discretos Para um problema simpli?icado (Asset Management) sem o passivo Resolvemos um problema realmente grande De 5 para 48 estágios ~ cenários = cenários

38 Maldição da dimensionalidade ALM via SDDP

39 Conclusões O ALM é um problema de decisão dinâmico sob incerteza Otimização estocástica multi- estágio é a ferramenta natural para para a solução do problema Desa?ios: Maldição da dimensionalidade: Algoritmos de decomposição do problema Modelagem: Alocação estratégica vs alocação tática Inclusão de restrições regulatórias Aversão a risco em modelos dinâmicos Medidas de risco como CV@R

40 Obrigado! Prof. Davi Michel Valladão - Departamento de Engenharia Industrial PUC-Rio Lab. of Applied Math. Programming and Statistics (LAMPS) Tel.: (21) / (21) davimv@puc-rio.br