TRIGONOMETRIA ENSINO MÉDIO

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1 No instante em que o tronco de madeira de 20 m de TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp) Construída a toque de caixa pelo regime militar, Tucuruí inundou uma área de km, sem que dela se retirasse a floresta. A decomposição orgânica elevou os níveis de emissão de gases, a ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior emissora de poluentes do Brasil. Ganhar a vida comprimento forma um ângulo š com a vertical de 15 m, o valor de cos 2š e igual a a) 3/2 b) 9/8 c) 9/16 d) 7/16 e) 1/8 cortando árvores submersas exige que um mergulhador desça a mais de 20 metros, com TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. praticamente zero de visibilidade e baixas temperaturas. Amarrado ao tronco da árvore, maneja (Unb) Volume de ar em um ciclo respiratório O volume total de ar, em litros, contido nos a motosserra. (Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed São Paulo: Abril. p.141) dois pulmões de um adulto em condições físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por V(t) = 3.(1 - cos(0,4 t))/2 1. Uma vez serrada, a árvore é puxada e amarrada a pedaços de madeira seca. O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é dado por v(t) = 0,6 sen(0,4 t). Os gráficos dessas funções estão representados na figura adiante. 2. Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir. (1) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t). PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 1

2 (2) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior que um litro. 4. (3) O período de um ciclo respiratório completo (inspiração e expiração) é de 6 segundos. (4) A freqüência de v(t) é igual à metade da freqüência de V(t). 3. O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos pulmões. (1) O fluxo é negativo quando o volume decresce. (2) O fluxo é máximo quando o volume é máximo. (3) O fluxo é zero quando o volume é máximo ou mínimo. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este: a) b = (5 )/31 b) a + b = 13,9 c) a - b = /1,5 d) a. b = 0,12 e) b = (4 )/3 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufba) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos. 5. Em trigonometria, é verdade: (01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro quadrante, então cos (x/2) = -1/5. (02) se x + y = /3, então cos(3x - 3y) = 2 sen 3y - 1. (04) Existe x Æ [ /4, 5 /2], tal que sen x + 3 cosx = 3. (08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 2

3 (16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados é 2, e o ângulo por eles formado mede 60 ; então o triângulo é retângulo. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. (Ufpe) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado, Soma ( ) em bilhões de dólares, por P(x) = ,5x + 20cos( x/6) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO onde x é um inteiro não negativo. (Cesgranrio) Uma quadra de tênis tem 23,7m de comprimento por 10,9m de largura. Na figura a seguir, está representado o momento em que um 7. Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do país em dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa por cima da rede e toca o campo adversário no ponto C, a 17m do ponto B. 8. Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) é constante. Determine esta constante (em bilhões de dólares) (Uff) No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt. A pressão interpleural (pressão existente na caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a). As constantes a, L, M e w são reais, positivas e Tendo em vista os dados apresentados, é possível afirmar que o ângulo, representado na figura, mede: a) entre 75 e 90. b) entre 60 e 75. c) entre 45 e 60. d) entre 30 e 45. dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo. (AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda (Adaptado) Um possível gráfico de P, em função de t, é: e) menos de 30. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 3

4 (16) Todos os valores de para os quais A = B são da forma 2k /3, onde k é número inteiro. Soma ( ) 12. (Unicamp) Dado o sistema linear homogêneo: [cos sen ] x [2 sen ] y 0 [cos ] x [cos sen ] y (Ufpe) Quantas soluções a equação sen x + [(sen x)/2] + [(sen x)/4] +... = 2, cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen x e razão (sen x)/2, admite, no intervalo [0, 20 ]? 11. (Ufpr) Considere as matrizes a seguir, onde a, b, c e são números reais. Assim, é correto afirmar: a) Encontre os valores de para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0. b) Para o valor de encontrado no item (a) que está no intervalo [0, /2], encontre uma solução não-trivial do sistema. 13. (Unirio) Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco é um ângulo tal que: a) 60 < < 90 b) 45 < < 60 c) 30 < < 45 d) 15 < < 30 (01) Os valores de a e b para os quais A = B são, respectivamente, 2 e -1. (02) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é necessário que c seja número negativo. (04) Se b = 0 e c = -1, então o elemento na posição linha, coluna" da matriz (A.B) é log 10 Ë2. e) 0 < < (Ita) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede Ë2 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é cm. Determine os ângulos deste triângulo. (08) Se = 0 e c = 0, então a matriz A tem inversa, qualquer que seja o valor de b. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 4

5 15. (Unifesp) Considere a reta de equação 4x - 3y + 15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P = ( /2, 3), conforme a figura. 18. (Ufal) O mais amplo domínio real da função definida por y=log[sen(x)] é o conjunto dos números reais x tais que, para todo k Æ Z, a) -k < x < k b) k < x < (k - 1) c) k < x < (k + 1) d) 2k < x < (2k - 1) e) 2k < x < (2k + 1) 19. (Unicamp) Considere dois triângulos retângulos T e T, cada um deles com sua hipotenusa medindo A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é: 1cm. Seja a medida de um dos ângulos agudos de T e 2 a medida de um dos ângulos agudos de T. a) ( )/5 b) ( )/5 c) ( )/5 d) ( )/5 a) Calcule a área de T para = 22,5. b) Para que valores de a área de T é menor que a área de T? e) ( )/5 20. (Fgv) Na figura estão representados dois 16. (Ufv) Sejam as funções reais f e g dadas por: quadrados de lado d e dois setores circulares de 90 e raio d: É CORRETO afirmar que: a) f( /4) < g( /3) b) f( /6) < g( /4) c) f( ). g(0) = 2 d) f(0). g( ) = - 2 e) f( ). g( ) = (Ufu) Determine a soma das raízes de log (senx)- log (cosx+senx)=0, contidas no intervalo [-2, 2 ]. Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a a) {[2(Ë3) + ]/6} d b) [(3 + )/6] d PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 5

6 c) {[4(Ë3) + ]/12} d d) [(12 + )/24] d e) {[2(Ë3) + ]/12} d Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se: a) 11/6. b) (Unesp) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado c) 11/3. d) 22/3. e) (Ufpe) Três coroas circulares dentadas C, C e Cƒ de raios r=10cm, r =2cm e rƒ=5cm respectivamente estão perfeitamente acopladas como na figura a seguir. Girando-se a coroa C de um ângulo de 41 no sentido horário, quantos graus girará a coroa Cƒ? na figura. 24. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ. b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas. 22. (Fuvest) Considere um arco AB de 110 numa circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir, um arco A'B' de 60 numa circunferência de raio 5cm. vale: a) 24/7. b) - 24/7. c) - 8/3. d) 8/3. e) - 4/ (Uel) Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é a) 1 b) 1/2 c) 0 d) -1/2 e) -1 PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 6

7 26. (Cesgranrio) Sendo A = [7 cos(5 - x) - 3 cos(3 + x)]/{8 sen [( /2) - x)]}, com x ( /2) + k, k Æ Z, então: a) A = -1 b) 2A = 1 c) 2A + 1 = 0 d) 4A + 5 = 0 e) 5A - 4 = (Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então é igual a a) /3 b) 2 c) 1 d) 2 /3 e) /2 28. (Unb) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para determinar a posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela do radar, que apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do radar, conforme ilustra a figura abaixo. Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a 40km do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas informações e desconsiderando as dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem. (1) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km. (2) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão. (3) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio igual a 30km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40km/h então, em 10min, o navio B percorrerá um arco correspondente a (40/ ). 29. (Ufrs) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 7

8 e) 65 e) 3,14 cm. 30. (Ufrs) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos: 33. (Ufrs) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de /12 rad, o ponteiro maior percorre um arco de I) sen 1 < sen 3 II) cos 1 < cos 3 III) cos 1 < sen 1 a) /6 rad. b) /4 rad. c) /3 rad. d) /2 rad. Quais são verdadeiras? e) rad. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) São verdadeiras apenas I e II. e) São verdadeiras I, II e III. 34. (Ufal) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual a a) ( /4) - 17 b) (64/15) c) (64/45) 31. (Ufscar) O valor de x, 0 x /2, tal que 4. (1 - sen x). (sec x - 1) = 3 é d) (16/25) e) (32/45) a) /2. b) /3. c) /4. d) /6. e) (Uflavras) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90 b) ' c) 82 30' 32. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor d) 120 e) ' aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere =3,14) a) 37,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm. d) 12 cm. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 8

9 38. (Ufrn) No protótipo antigo de uma bicicleta, 36. (Uflavras) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é /4 rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é a) 3 /4 e 5 /4 b) e 3 /2 c) 3 /4 e 2 d) /2 e 5 /4 e) 3 /4 e 5 /8 a) 5 voltas. b) 7 voltas. c) 9 voltas. d) 11 voltas. 37. (Ufc) Sabendo que cosš = (Ë3)/2 e que senš = - 1/2, podemos afirmar corretamente que cos[(š + ( /2)] + sen[š + ( /2)] é igual a: a) 0 b) [-(Ë3)/2] - (1/2) c) [(Ë3)/2] + (1/2) d) [(Ë3)/2] - (1/2) e) [-(Ë3)/2] + (1/2) 39. (Mackenzie) Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro åæ mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é (5 /3) cm. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 9

10 O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número é a) b) c) d) e) (Uff) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente: a) 2300 b) 3300 c) 4600 d) 6600 e) (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o centro da esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude = 0 02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30 01'59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de quilômetros. Veja figura a seguir: 43. (Uerj) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede km. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 10

11 Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B. Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir. Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo, em graus, será igual a a) 30 b) 36 c) 45 Considerando igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual d) 60 e) 72 a: a) b) c) d) (Ufg) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a 44. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares concentricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos? respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 11

12 46. (Puccamp) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha 48. (Ufscar) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1. reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de abertura de suas pernas era (Use: = 3,1) a) -1 b) -(Ë3)/2 c) -(Ë2)/2 d) -1/2 e) 1/2 47. (Unesp) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. Considerando = 3,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é a) 0,74. b) 0,72. c) 0,68. d) 0,56. e) 0, (Ufpr) Maria e seus colegas trabalham em uma empresa localizada em uma praça circular. Essa praça é circundada por uma calçada e dividida em partes iguais por 12 caminhos retos que vão da A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a) - 1. b) + 1. c) 2-1. d) 2. e) borda ao centro da praça, conforme o esquema abaixo. A empresa fica no ponto E, há um restaurante no ponto R, uma agência de correio no ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem para almoçar, as pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sempre se desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen sempre passa pelo centro da praça, vai olhar o cardápio do restaurante e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar na PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 12

13 lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio sempre passa pelo centro da praça e pelo correio, daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou para o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre percorrem o menor arco possível quando caminham na calçada que circunda a praça, avalie afirmativas a seguir: No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, ambos percorrem a mesma distância. II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, quem percorre a menor distância é Maria. III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Carmen percorre a menor distância. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 50. (Uerj) raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q. Considerando Ë2 = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a: a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R 51. (Uel) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15 de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 13

14 08) As coordenadas de P satisfazem à equação x + y = 1. 16) Se x = y, então cotg( ) = ) = /4 é o menor arco positivo para o qual a equação cos ( + ) + sen [ + ( /2)] = cos [( + ( /2)] + sen ( + ) é satisfeita. 64) sen(2 ) = 2y. A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é: a) 5 horas. b) 9 horas. c) 12 horas. d) 17 horas. e) 21 horas. 54. (Fuvest) O valor de (tg 10 +cotg 10 )sen 20 é: a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 5/2 e) (Ufu) Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x) = (cos x) + (sen x) pode assumir. Observação: Lembre-se de que a +b =(a+b)((a+b) - 3ab). 55. (Fuvest) Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50 é: a) 0,2. b) 0,4. c) 0,6. d) 0,8. e) 1, (Uem) Considere um ponto P(x,y) sobre a circunferência trigonométrica e que não esteja sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja o ângulo determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde O é a origem do sistema. Nessas condições, assinale o que for correto. 01) A abscissa de P é menor do que cos( ). 56. (Fuvest) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x real, é: a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2. d) 1. e) 3. 02) A ordenada de P é igual a sen[ + ( /2)]. 04) A tangente de é determinada pela razão entre a ordenada e a abscissa de P. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 14

15 57. (Ita) Seja a função f: RëR definida por: 61. (Unitau) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im = [-1, 1] e período que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a onde a > 0 é uma constante. Considere seguir: K={y ÆR; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f( /2) Æ K? a) /4 b) /2 c) d) /2 e) 58. (Ita) A expressão sen š/(1+cosš), 0 < š<, é idêntica a: a) sec (š/2) b) cosec (š/2) c) cotg (š/2) d) tg (š/2) e) cos (š/2) 59. (Fuvest) Considere a função f(x) = senx+ sen5x. a) Determine as constantes k, m e n tais que f(x)=k.sen(mx).cos(nx) b) Determine os valores de x, 0 x, tais que f(x)= (Unicamp) Encontre todas as soluções do sistema: sen( x y) 0 sen( x y) 0 que satisfaçam 0 x e 0 y. a) y = 1 + cos x. b) y = 1 - sen x. c) y = sen (-2x). d) y = cos (-2x). e) y = - cos x. 62. (Unitau) O período da função y = sen( Ë2.x) é: a) Ë2/2. b) Ë /2. c) /2. d) Ë2. e) 2Ë (Fuvest) A equação f(x) = -10 tem solução real se f(x) é: a) 2Ñ b) log ( x + 1) c) sen x d) tg x e) x + 2x - 4 PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 15

16 64. (Fuvest) No estudo do Cálculo Diferencial e Integral, prova-se que a função cos x (co-seno do ângulo de x radianos) satisfaz a desigualdade: f(x) = 1 - (x /2) cos x 1 - (x /2) + (x /24) = g(x) a) Calcule o co-seno de 0,3 radianos usando f(x) como aproximação de cos x. b) Prove que o erro na aproximação anterior é inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado é exato até a segunda casa decimal. 65. (Unicamp) Para medir a largura åè de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60 ; determinou o ponto D no prolongamento de èå de forma que o ângulo CBD fosse de 90. Medindo åî=40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio. A área do ÐTAB, como função de, é dada por: a) (1 - sen ). (cos )/2. b) (1 - cos ). (sen )/2. c) (1 - sen ). (tg )/2. d) (1 - sen ). (cotg )/2. e) (1 - sen ). (sen )/ (Fuvest) O valor máximo da função f(x)=3cos x+2sen x para x real é: a) Ë2/2 b) 3 c) 5Ë2/2 d) Ë13 e) (Cesgranrio) Se senx - cosx = 1/2, o valor de senx cosx é igual a: a) - 3/16 b) - 3/8 c) 3/8 d) 3/4 e) 3/2 66. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot forma um ângulo com o semi-eixo Ox (0 < <90 ) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 16

17 69. (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x 73. (Fatec) Se sen 2x =1/2, então tg x + cotg x é igual a: a) 8 b) 6 c) 4 d) (Fuvest) Considere a função e) 1 f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x). a) Resolva a equação f(x) = 0 no intervalo [0, ]. b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y=8/5? Explique sua resposta. 74. (Fei) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que < x < 3 /2, podemos afirmar que: a) cotg(x) = - 5/12 b) sec(x) = 13/5 71. (Cesgranrio) Se x é ângulo agudo, tg (90 +x) é igual a: a) tg x c) cos(x) = - 5/13 d) sen(x) = 12/13 e) nenhuma anterior é correta b) cot x c) - tg x d) - cot x 75. (Fei) Dado o trapézio conforme a figura a seguir, o valor do seno do ângulo é: e) 1 + tg x 72. (Ufes) O gráfico da função f(x) = cosx + cos x, para x Æ [0, 2 ] é: PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 17

18 78. (Unicamp) Ache todos os valores de x, no a) 0,8 intervalo [0, 2 ], para os quais b) 0,7 c) 0,6 d) 0,5 senx cos x e) 0, (Uel) O valor expressão cos (2 /3) + sen (3 /2) + tg (5 /4) é 76. (Ita) Seja Æ [0, /2], tal que sen +cos =m. Então, o valor de y=sen2 /(sen +cos ) será: a) 2(m - 1)/m(4 - m ) b) 2(m + 1)/m(4 + m ) c) 2(m - 1)/m(3 - m ) d) 2(m - 1)/m(3 + m ) a) (Ë2-3)/2 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) Ë3/2 e) 2(m + 1)/m(3 - m ) 80. (Uel) O valor da expressão 77. (Puccamp) Observe o gráfico a seguir. [sen(8 /3) - cos(5 )] / tg(13 /6) é a) ( 3 + 2Ë3 )/2 b) ( 3Ë2 + 2Ë3 )/2 c) 3 + 2Ë3 d) 3Ë2 + 2Ë3 e) 3( Ë2 + Ë3 ) 81. (Ufmg) Observe a figura. A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x d) y = sen 2x e) y = 2 sen x Nessa figura, estão representados os gráficos das funções f e g. PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 18

19 Se h (x) = [f (2x) + g (2x + a)] / f (g(x)), então o valor de h(a) é a) 1 + a b) 1 + 3a c) 4/3 d) 2 e) 5/2 82. (Unesp) Pode-se afirmar que existem valores de x Æ R para os quais cos x - sen x é DIFERENTE de: a) 1-2sen x b) cos x - sen x c) (1/2) + (1/2) cos 2x d) 2cos x - 1 e) cos 2x a) f(x) = sen 2x + 1 b) f(x) = 2 sen x c) f(x) = cos x + 1 d) f(x) = 2 sen 2x e) f(x) = 2 cos x (Mackenzie) I) sen 2 > sen 3 II) sen 1 > sen 30 III) cos 2 > cos (Unesp) Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120. Se os outros dois ângulos, x e y, são tais que (cos x/cos y) = (1 + Ë3)/2, a diferença entre as medidas de x e y é a) 5 b) 15 c) 20 d) 25 e) (Pucsp) O gráfico seguinte corresponde a uma das funções de IR em IR a seguir definidas. A qual Relativamente às desigualdades acima, é correto afirmar que: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente I e II são verdadeiras. d) somente II e III são verdadeiras. e) somente I e III são verdadeiras. 86. (Faap) Uma placa publicitária de altura h metros está colocada no alto de um edifício com a sua parte inferior a y metros acima do nível do olho do observador, conforme a figura a seguir: delas? PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 19

20 a) (10Ë3)/3 + 1,70 b) 10Ë3 + 1,70 c) 6,70 d) (10Ë3)/2 + 1,70 e) 15,0 88. (Mackenzie) I - Se 0 < x < /2, então os pontos (sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre A altura h (em metros) da placa publicitária pode ser expressa: a) h = d (tg - tg ) b) h = d tg c) h = tg ( - )/d d) h = d (sen + cos ) e) h = d tg /2 87. (Faap) Uma placa publicitária de altura h metros está colocada no alto de um edifício com a sua parte inferior a y metros acima do nível do olho do observador, conforme a figura a seguir: são vértices de um triângulo. II - Se a e b são números reais tais que a > b > 0, então as retas x - ay + a = 0 e x + by + b = 0 nunca são paralelas. III - A reta x + y - 5Ë2 = 0 é tangente à curva x + y - 25 = 0. Relativamente às afirmações acima, podemos afirmar que: a) somente I e II são verdadeiras. b) somente I e III são verdadeiras. c) somente II e III são verdadeiras. d) todas são falsas. e) todas são verdadeiras. 89. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele. Para o nível do olho do observador a 1,70 metros acima do nível do solo, = /3 e d = 10 metros, a altura do prédio (em metros) é PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 20

21 91. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele. O valor de y (em metros) em função de š: a) y = 3 sen š b) y = 3 sen š + 3 c) y = 3 tg š d) y = 3 cos š e) impossível de ser determinado 90. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele. Para š = /3, o valor de x (em metros) é: a) 3Ë3/2 b) 5/2 c) 3/2 d) 3 e) impossível de ser determinado 92. (Faap) Num trabalho prático de Topografia, um estudante de engenharia Civil da FAAP deve determinar a altura de um prédio situado em terreno plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do terreno, o topo do prédio é visto sob ângulo de 60. Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifício, Para š = /3, o valor de y (em metros) é: a) 3Ë3/2 b) 3/2 c) 3Ë2/2 d) 3 e) impossível de ser determinado seu topo para a ser visto sob ângulo de 45. Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do edifício (em metros) é: a) 10(Ë3) + 1 b) [(Ë3)/3] + 10 c) (10Ë3)/(Ë3-1) d) (3/Ë3)/(10 + Ë3) e) (10 + Ë3)/3 PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 21

22 96. (Ufpe) Comparando as áreas do triângulo OAB, 93. (Faap) Considerando 0 x 2, o gráfico a seguir corresponde a: do setor circular OAB e do triângulo OAC da figura a seguir, onde 0 < š< /2, temos: a) y = sen (x + 1) b) y = 1 + sen x c) y = sen x + cos x d) y = sen x + cos x e) y = 1 - cos x ( ) senš < š < tanš; ( ) (senš)/š < cosš < 1; ( ) cosš < (senš)/š < 1; ( ) cosš > (senš)/š > tanš; ( ) (1/2)cosš < (1/2) š < (1/2)senš; 94. (Ufpe) Considere a função f:(0, 49 /2) ë IR definida por f(x)=(1/x)-sen x. O gráfico de f intercepta o eixo das abcissas Ox em exatamente n pontos distintos. Determine n. 95. (Ufpe) Considere a função f(x)=sen(x +2), definida para x real. Analise as seguintes afirmações: ( ) f é uma função periódica. ( ) f é uma função par. ( ) f(x)=0 exatamente para 32 valores distintos de x no intervalo [0,10]. ( ) f(x)=2+sen x para todo x Æ IR. ( ) A imagem de f é o intervalo [1,3]. 97. (Fuvest) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula: tg2x = 2tgx/(1-tg x). Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22 30'. a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1, (Uel) Seja x a medida de um arco em radianos. O números real a, que satisfaz as sentenças sen x = Ë(3 - a) e cos x = (a - 2)/2 é tal que a) a µ 7 b) 5 a < 7 PROFESSOR GILMAR BORNATTO Página 22