CARLOS EDUARDO DE OLIVEIRA TRIGONOMETRIA DO ENSINO MÉDIO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES POR POLINÔMIOS TRIGONOMÉTRICOS

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1 CARLOS EDUARDO DE OLIVEIRA TRIGONOMETRIA DO ENSINO MÉDIO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES POR POLINÔMIOS TRIGONOMÉTRICOS CAMPINAS 014 i

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3 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA CARLOS EDUARDO DE OLIVEIRA TRIGONOMETRIA DO ENSINO MÉDIO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES POR POLINÔMIOS TRIGONOMÉTRICOS Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre Orientador(a): Ary Orozimbo Chiacchio ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO(A) ALUNO CARLOS EDUARDO DE OLIVEIRA E ORIENTADA PELO(A) PROF DR ARY OROZIMBO CHIACCHIO Assinatura do(a) Orientador(a) CAMPINAS 014 iii

4 Powered by TCPDF (wwwtcpdforg) Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467 OL4t Oliveira, Carlos Eduardo, OliTrigonometria do ensino médio e aproximação de funções por polinômios trigonométricos / Carlos Eduardo de Oliveira Campinas, SP : [sn], 014 OliOrientador: Ary Orozimbo Chiacchio OliDissertação (mestrado profissional) Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Oli1 Trigonometria Teoria da aproximação I Chiacchio, Ary Orozimbo,1957- II Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica III Título Informações para Biblioteca Digital Título em outro idioma: High school trigonometry and approximation of functions by trigonometric polynomials Palavras-chave em inglês: Trigonometry Approximation theory Área de concentração: Matemática em Rede Nacional Titulação: Mestre Banca examinadora: Ary Orozimbo Chiacchio [Orientador] Maria Sueli Marconi Roversi Ires Dias Data de defesa: Programa de Pós-Graduação: Matemática em Rede Nacional iv

5 v

6 vi

7 ABSTRACT In this work we present a proposed approach of the educational content of high school trigonometry with theoretical presentation, exercises and problems, both ranked by difficulty level in order to assist and measure the individual progress of each student during the text We also present, in addition to the above content, the approximation of continuous functions by trigonometric polynomials with the aid of the Weierstrass Approximation Theorem RESUMO Neste trabalho apresentamos uma proposta de abordagem do conteúdo didático-programático de trigonometria de ensino médio, com apresentação teórica, exercícios e problemas, ambos classificados por nível de dificuldade, com o intuito de auxiliar e mensurar a evolução individual de cada aluno no decorrer do texto Apresentamos também, além do conteúdo supramencionado, a aproximação de funções contínuas por polinômios trigonométricos com o auxílio do Teorema da Aproximação de Weierstrass vii

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9 SUMÁRIO Resumo Abstract vii vii Introdução 1 1 Trigonometria no triângulo retângulo 11 A trigonometria 1 Triângulo retângulo 1 Trigonometria no triângulo retângulo 4 14 Ângulos complementares 7 15 Ângulos notáveis 7 Arcos de circunferência 19 1 Definição 19 Medida de arcos 0 Unidades de medida 0 4 Conversões entre graus e radianos 4 5 Comprimento de arcos 5 Círculo trigonométrico 1 Definição Seno e cosseno no círculo trigonométrico 4 Arcos divisores de quadrantes 6 4 Variação de sinais do seno e cosseno 7 5 Relação fundamental da trigonometria 8 6 Redução ao primeiro quadrante 40 4 Tangente, cotangente, secante e cossecante Tangente e secante no círculo trigonométrico 47 4 Variação de sinais - tangente e secante 50 4 Método alternativo tangente e secante Cotangente e cossecante no círculo trigonométrico 5 45 Variação de sinais da cotangente e cossecante Método alternativo cotangente e cossecante 56 5 Congruência de arcos e equações trigonométricas Congruência de arcos 61 5 Equações trigonométricas 64 6 Adição e diferença de arcos 75 ix

10 61 Definição 75 6 Adição e diferença de senos 75 6 Adição e diferença de cossenos Adição e diferença de tangentes Demonstrações 76 7 Arco duplo Definição 85 7 Seno do arco duplo 85 7 Cosseno do arco duplo Tangente do arco duplo Arco metade Arco triplo Consequências 89 8 Fatoração trigonométrica Definição 97 8 Fórmulas de fatoração trigonométrica 97 9 Equações e inequações trigonométricas reais Introdução 10 9 Equações trigonométricas 10 9 Inequações trigonométricas em Funções trigonométricas Introdução Função seno Função cosseno Função tangente Senóides, cossenóides e tangentóides Funções trigonométricas inversas Introdução Função arco seno Função arco cosseno Função arco tangente Aproximação de funções por polinômios trigonométricos Introdução Definição Teoremas 148 Gabarito 155 Bibliografia 171 x

11 xi Às mulheres da minha vida À minha mãe Ângela À minha madrinha Angélica À minha avó Osvailda À minha irmã Marcella À minha esposa Maiara À minha filha luz da minha vida Alice

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13 AGRADECIMENTOS Agradeço a todos que me ajudaram na elaboração deste trabalho Agradeço a meus familiares pelo apoio e confiança incondicional em minha capacidade Agradeço a minha esposa pelos momentos ao seu lado e pela paciência em me suportar Agradeço a minha filha e a seu futuro irmão por darem sentido à minha vida Agradeço aos meus amigos Thiago, Raul e Fábio pela companhia e parceria durante os dois últimos anos e pelas fantásticas tardes enogastronômicas Agradeço ao meu orientador Ary Orozimbo Chiacchio pela paciência, apoio e sábias correções Agradeço aos meus empregadores pelo suporte financeiro xiii

14 xiv

15 INTRODUÇÃO A trigonometria é um dos mais antigos ramos da matemática, de fundamental importância no ensino médio e cada vez mais com maior incidência em exames de seleção Apesar de muitos atribuírem aos gregos o início de seu estudo, há relatos históricos do conhecimento de propriedades trigonométricas no Papiro de Rhind e em tabelas cuneiformes babilônicas, ambos datados de aproximadamente 5000 ac Com o passar dos tempos, a trigonometria cada vez mais veio abandonando a correlação intrínseca à geometria euclidiana plana e ganhando sua abordagem particular com o conhecimento e aceitação dos arcos não pertencentes à primeira volta e sua associação ao estudo de funções que permitiu a aplicação de seus modelos em diversas situações práticas de características periódicas A primeira parte desta dissertação consiste em um curso básico de trigonometria para o ensino médio No capítulo 1 apresentamos a trigonometria na sua forma mais pura, aplicável à geometria plana e com seus conceitos elementares mais básicos Nos capítulos a 5 apresentamos e associamos as propriedades trigonométricas inerentes aos ângulos agora aos arcos de circunferência, acarretando assim o surgimento de propriedades trigonométricas positivas e negativas e também a semelhança trigonométrica entre arcos de medidas diferentes Nos capítulos 6 a 9 apresentamos a trigonometria por um enfoque prioritariamente algébrico, de fundamental importância para o surgimento de suas novas correlações com as funções apresentadas nos capítulos 10 e 11 seguintes Na segunda parte capítulo 1 apresentamos as definições e demonstramos os teoremas que garantem a aproximação de funções reais contínuas por polinômios trigonométricos A motivação da elaboração deste trabalho teve origem na necessidade da criação de um material didático com enfoque principal na trigonometria de ensino médio que forneça suporte aos estudantes para realização de exames vestibulares e, ao mesmo tempo, seja pré-requisito àqueles que pretendem prosseguir seus estudos de ensino superior em ciências exatas 1

16 O texto, elaborado em cores, com gráficos e ilustrações vetorizadas, vem estruturado na forma de capítulos e com cada um destes dividido em subitens com o intuito de facilitar a localização de cada conteúdo específico de um determinado tema Estes conteúdos, fórmulas e conceitos são todos demonstrados de forma clara e objetiva, com auxílio da interlocução, para tornar a leitura mais inteligível e agradável ao aluno Ao final de cada conteúdo ou bloco de conteúdos, o texto apresenta uma seção de exemplos resolvidos, com o intuito imediato de aplicar em problemas os conceitos supra desenvolvidos Ao final de cada capítulo, é também apresentada uma seção de exercícios de conhecimento geral, de elaboração do autor ou selecionados em bancos de dados dos principais exames de seleção conhecidos classificados sobre quatro níveis de dificuldade/aprendizado: Problemas de aplicação direta de uma conceito relacionado ao capítulo em geral não é necessário relembrar outros conceitos ou usar de operações algébricas de maior complexidade Problemas de aplicação direta de algum conceito relacionado ao capítulo mas que exigirá a relação com algum outro conceito da matemática ou operações algébricas de maior complexidade Problemas que exigem um conhecimento avançado da trigonometria de forma acumulativa, bem como sua correlação com outros conceitos da matemática Problemas da série desafio, com grau de complexidade muito avançado, sua realização não é necessária e fundamental a todos os alunos

17 Capítulo 1 Trigonometria no triângulo retângulo 11 A Trigonometria A trigonometria é o ramo da matemática que estuda as características dos ângulos e arcos de circunferências e suas aplicações à resolução de triângulos, deslocamentos na Terra, Astronomia dentre outros Muitos atribuem aos gregos o início do estudo da trigonometria, mas sabe-se hoje que esta informação é controversa Há relatos históricos do conhecimento de propriedades trigonométricas no Papiro de Rhind e em tabelas cuneiformes babilônicas, ambos datados de aproximadamente 5000 ac 1 Triângulo Retângulo Uma das mais importantes ferramentas da trigonometria e através da qual iremos definir em breve as primeiras propriedades trigonométricas é o triângulo retângulo, que é o triângulo que possui um ângulo reto (igual a 90 ) e dois ângulos agudos (denotados por e na figura abaixo): Os lados de um triângulo retângulo são nomeados como:

18 Hipotenusa: É o lado oposto ao ângulo reto É também o maior lado do triângulo: No triângulo acima, o lado de medida a é a hipotenusa Cateto Oposto: É o lado oposto a algum dos ângulos agudos tomado como referência: No triângulo acima, o lado de medida c é o cateto oposto a e o lado de medida b é o cateto oposto a Cateto Adjacente: É o lado adjacente (que está ao lado) a algum dos ângulos agudos tomado como referência No triângulo acima, o lado de medida b é o cateto adjacente a e o lado de medida c é o cateto adjacente a 1 Trigonometria no Triângulo Retângulo Através desta importante ferramenta para a trigonometria que é o triângulo retângulo, vamos definir as três primeiras propriedades trigonométricas dos ângulos, chamadas seno, cosseno e tangente Dado um triângulo retângulo, de ângulos agudos e, definimos: Seno: razão entre as medidas do cateto oposto e hipotenusa (nesta ordem), ou seja, cateto oposto Seno hipotenusa No exemplo do item 1 temos: c sen a e sen b a Cosseno: razão entre as medidas do cateto adjacente e hipotenusa (nesta cateto adjacente ordem), ou seja, Cosseno hipotenusa No exemplo do item 1 temos: 4

19 b cos a e cos c a Tangente: razão entre as medidas do cateto oposto e cateto adjacente (nesta ordem), ou seja, cateto oposto Tangente cateto adjacente No exemplo do item 1 temos: c tg b e b tg c Note agora que, uma vez conhecidas as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo através do triângulo retângulo, podemos concluir uma fórmula alternativa para a tangente que é: Seno Tangente Cosseno A dedução desta expressão vem do resultado direto da divisão entre as definições de seno e cosseno: Seno Cosseno cateto oposto hipotenusa cateto oposto hipotenusa cateto adjacente hipotenusa cateto adjacente hipotenusa cateto oposto Tangente cateto adjacente Exemplos Resolvidos 1 No triângulo retângulo abaixo, calcule os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos e 5

20 O seno é obtido pela razão entre as medidas do cateto oposto e hipotenusa, então: 5 1 sen e sen 1 1 O cosseno é obtido pela razão entre as medidas do cateto adjacente e hipotenusa, então: 1 cos 1 e 5 cos 1 A tangente é obtida pela razão entre as medidas do cateto oposto e cateto adjacente, então: 5 tg 1 e 1 tg 5 Um importante triângulo retângulo é aquele cujos lados medem, 4 e 5 Sabendo que os ângulos deste triângulo medem aproximadamente 7 e 5, calcule o valor do seno, cosseno e tangente destes ângulos apresentando os resultados na forma decimal Para desenhar o triângulo, devemos nos lembrar que quanto maior o lado, maior também será seu ângulo oposto Desta forma, teremos o triângulo: Portanto, sen7 0,6 5 4 cos7 0,8 5 tg7 0, sen5 0,8 5 cos5 0,6 5 4 tg5 1, 6

21 14 Ângulos Complementares Observando os exemplos dos tópicos anteriores é possível notar uma interessante coincidência entre os senos, cossenos e tangentes de dois ângulos agudos que compõem um triângulo retângulo Na verdade esta coincidência é uma regra aplicável a quaisquer pares de ângulos como tais Sejam e dois ângulos complementares, isto é, sen cos sen cos 1 tg tg 90, então: O motivo pelo qual este teorema acontece é bem simples Como dois ângulos complementares sempre podem ser inseridos em um mesmo triângulo retângulo, o cateto oposto de um será o cateto adjacente do outro e isto implica que a expressão do seno do primeiro será igual à expressão do cosseno do segundo Esta demonstração provém diretamente dos resultados obtidos no item 1 15 Ângulos Notáveis Os ângulos de 0, 45 e 60, também conhecidos como ângulos notáveis, formam o conjunto de ângulos mais importantes da trigonometria São estes que justificarão grande parte dos resultados que obteremos daqui em diante neste texto e, para isso, devemos conhecer os valores de seus senos cossenos e tangentes dados pela tabela abaixo: ÂNGULOS NOTÁVEIS SENO COSSENO TANGENTE 7 1 1

22 Os resultados da tabela acima podem ser facilmente deduzidos, veja: Para o ângulo de 0 : Considere um triângulo equilátero ABC e sua altura AH relativa ao vértice A: Analisando o triângulo retângulo ACH (lembre-se de que a altura de um triângulo equilátero de lado L é dada por mediana); L, além de também ser uma bissetriz e e aplicando as definições trigonométricas temos: L 1 1 sen0 L L L L 1 cos0 L L L L L 1 tg0 L L 8

23 Para o ângulo de 45 : Considere um quadrado ABCD e uma de suas diagonais AC: A análise do triângulo retângulo ABC nos fornece (lembre-se de que a diagonal de um quadrado de lado L é dada por, além de também ser uma bissetriz): L Para o ângulo de 60 : Poderíamos ter usado nesta demonstração o mesmo triângulo utilizado para demonstrar as propriedades do ângulo de 0, porém, vamos aproveitar este momento para usar, pela primeira vez, o teorema do item 14 Sabe-se que 0 e 60 são complementares, assim: sen60 cos0 1 cos60 sen0 1 tg60 tg0 9

24 Exemplos Resolvidos 1 Na figura a seguir, calcule o valor do ângulo Consideremos 1 1 sen 4 o ângulo adjacente e suplementar de na figura acima Então, 0 Como é um ângulo agudo, temos, Portanto, Um pedestre (de altura desprezível) deseja estimar a altura de um poste situado à sua frente Para isso recorre ao seguinte procedimento trigonométrico: i) Observa o topo do poste e nota que neste instante seus olhos fazem um ângulo de 0 com a horizontal ii) Caminha 4m em direção ao poste e refaz o procedimento anterior, notando agora que seus olhos fazem um ângulo de 60 com a horizontal Determine a altura encontrada para o poste A ilustração que descreve o problema é: 10

25 Completando os ângulos do triângulo à esquerda notamos se tratar de um triângulo isósceles: Temos, então, que a hipotenusa do triângulo retângulo à direita também mede 4m: Portanto, H H sen60 H 4 4 m Exercícios 1 (FUVEST) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 0 Sabe se que o móvel caminha com velocidade constante de 50 km/h Após horas de percurso, a distância que o móvel se encontra da reta AC é de: a)75km b)75 km c)50km d)75 km e)50 km (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um ângulo α com a horizontal Após subir a rampa, essa pessoa estará h metros acima da posição em que se encontrava inicialmente, como mostra a figura a seguir: 11

26 a) Que relação existe entre os valores de, h e d? b) Supondo 0 e h = 1m, qual o valor de d? (ESPM) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 0 com a horizontal Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60 Usando o valor 1,7 para a raiz quadrada de, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a)59m b)6 m c)65 m d)69 m e)71 m 4 Sejam a e b os ângulos agudos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1 4 Sabendo que sena senb cosa cosb, calcule a medida dos catetos 1 deste triângulo 5 (UFJF) Considere um triângulo Sendo AC 1 e 1 sen( ), ABC retângulo em C e o ângulo BAC ˆ quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? a) b) c) 10 d) 4 e) 6 (ENEM) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual A figura ilustra essa situação: 1

27 Suponha que o navegante tenha medido o ângulo B, verificou que o barco havia percorrido a distância Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: a)1000m b)1000 m c) 000 m 0 e, ao chegar ao ponto AB 000 m d)000m e)000 m a) 7 (PUCRJ) O valor de 1 cos 45 sen0 cos60 b) c) 4 é : d) 1 e) 0 8 (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura Considere que a base do reservatório tenha raio r m e que sua lateral faça um ângulo de 60 com o solo Se a altura do reservatório é 1 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de a)1 m b)108 m c)(1 + ) m d)00 m e)(4 + ) m 1

28 9 (UNESP) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 0 m Use a aproximação sen = 0,05 e responda O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é a),5 b) 7,5 c) 10 d) 15 e) 0 10 (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na mesma margem de um rio e distantes 40m um do outro Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB largura do rio mede 75 e o ângulo ACB mede 75 Determine a 11 (UNESP) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 0 A distância da parede ao pé da escada, em metros, é de: m e) m a) m b) m c) m d) 1 (VUNESP) A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 0 graus Caminhando metros em direção ao prédio, atingimos outro ponto onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60 Desprezando a altura do observador, a altura do prédio em metros é: a) entre 10 e 1 b) entre1 e 15 c) entre 15 e 18 d) entre 18 e 19 e) maior que 19 1 (MACKENZIE) Na figura, determine a medida de AB: 14

29 14 (UFMG) Um avião, em vôo retilíneo horizontal, passa por um ponto na vertical acima da cabeça de uma pessoa situada no solo Em um determinado momento, essa pessoa registra que o ângulo de elevação do avião, em relação ao solo, é de 60 e que, 15 segundos depois desse registro, é de 45 Suponha que o avião voa a uma velocidade constante de 70 km/h e despreze a altura da pessoa Calcule a altura em que estava o avião quando passou acima da cabeça da pessoa 15 (UFMG) Observe a figura: Nessa figura, E é o ponto médio do lado BC do quadrado ABCD A tangente do ângulo é: a) 1 b) 1 c) d) 16 Suponha que em uma determinada cidade da Terra o sol nasce às 7h00m e se põe às 17h00m Determine em qual dos horários abaixo a sombra projetada por um prédio tem o mesmo comprimento que sua altura a)8h00m b)9h0m c)1h00m d)1h0m e)14h00m 15

30 17 Sejam e (sen ) x (sen ) x cos 0 possua duas soluções reais iguais Então, podese afirmar que: a) 0 b) dois ângulos agudos tais que a equação de incógnita x: Na figura abaixo, ABCD é,5 Calcule tg c) 60 d) e) 90 OA 1 e o raio da circunferência inscrita no quadrado 19 (UFPR) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 0 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? a)75 b)60 c)45 d)0 e)15 0 As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes à reta t nos pontos A e B 16

31 Dados: BC 4, R 1 e 0 A medida do segmento AB é igual a: a) a) 4 a)8 a)1 1 (ESPM) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA Se x é a medida do menor ângulo deste triangulo retângulo, o valor de é: a)0,6 b)0,5 c)0,8 d)0,45 e)0,75 (FUVEST) Na figura, tem-se,, paralelo a,, 75º Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AE, 45º AB é igual a AE paralelo a CD BC tgx DE a) b) c) d) e) 4 (UFPR) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície? 17

32 a) 1 cm b) 1 cm c) cm d) cm e) cm 4 (ITA) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a: a) 4 5 b) 5 c) 1 d) e) 1 5 (UFC) Calcule o valor numérico da expressão: log tg logtg 5 10 em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo 6 (ITA) Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A B, sendo: k (k 5) A xk sen : k 1, B yk sen : k 1, 4 4 a) 0 b) 1 c) d) [ ( )] e) [ ( )] 7 (FGV) a) Num triângulo isósceles ABC, em que AB = AC, o ângulo  mede o dobro da soma dos outros dois O lado BC mede 10 cm Obtenha o perímetro desse triângulo b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em função de k, o valor da expressão sen x + cos x 18

33 Capítulo Arcos de circunferência 1 Definição Dada uma circunferência e dois pontos A e B de seu contorno, definimos como arco AB ( AB ) qualquer uma das duas partes da circunferência compreendidas entre estes pontos: Frequentemente, podemos inserir um novo ponto entre os pontos A e B para evitar a confusão entre qual arco um texto se refere: AB 19

34 Medida de Arcos Estudam-se em geometria plana, diversas relações entre as medidas de um arco e de ângulos presentes nos arredores da circunferência (central, inscrito, excêntricos) No entanto, para a trigonometria, será suficiente lembrarmos que um arco de circunferência: Possui a mesma medida que o ângulo central correspondente: Possui o dobro da medida do ângulo inscrito correspondente: Unidades de Medida de Arcos Uma vez que já está claro que a medida de arco se dá por um caráter angular, usaremos duas unidades de medida para aferi-los: Grau ( ): 0

35 É a unidade mais usual na geometria Esta é a unidade definida pela divisão da circunferência em 60 partes iguais Desta forma, é evidente que uma circunferência inteira possui 60 Esta unidade ainda possui subdivisões chamadas de minutos ( ) e segundos ( ) assim definidas: 1 = 60 (1 grau equivale a sessenta minutos) 1 = 60 (1 minuto equivale a sessenta segundos) Radiano (rad): É a unidade obtida ao sobrepor sobre o contorno da circunferência, um arco cujo comprimento é equivalente ao raio da mesma Descobrir quantos radianos perfazem uma circunferência não é tão simples como fizemos para o grau anteriormente Uma maneira de abordar aproximadamente este problema é visualizar um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio R: Pela análise do triângulo OAB, nota-se que este é equilátero por possuir os três ângulos congruentes Desta forma, podemos concluir que AB R e, por se tratar 1

36 de um hexágono regular, concluímos que os demais lados também possuem medida R: Observe agora que cada arco definido por dois vértices consecutivos do hexágono é ligeiramente maior do que o segmento definido por estes pontos: BC BC AB AB, CD CD, Então, é imediato observar que é possível compor o contorno da circunferência com 6 raios mas ainda faltará uma pequena parcela resultante das desigualdades acima Esta parcela é fixa em função de R e sempre vale aproximadamente 0,8185R Portanto, o processo de medir uma circunferência por completo, em radianos, resulta em aproximadamente 6,8185rad mas, por uma questão de simplicidade, preferimos usar rad (lembre-se de que,14159 e por isso ) 6,8185, Exemplos Resolvidos 1 Efetue a adição de dois arcos de medidas: 145 e 55 6 Para efetuar a adição destes arcos, basta adicionarmos as partes correspondentes de e (grau com grau, minuto com minuto e segundo com segundo) e, ao final, fazemos as conversões adequadas: Agora observe que a adição foi feita, porém, não é usual fornecer valores de minutos e segundos iguais ou superiores a 60 Para sanar isto, é necessário que

37 seja feita uma conversão entre as unidades Neste problema, há apenas uma conversão a ser feita, o 97 Lembremos que 1 = 60, desta forma, podemos escrever 97 = = Assim, deslocamos 60 para a unidade dos graus no formato de 1, restando ali apenas 7 : Efetue a subtração entre os mesmos arcos e do exemplo anterior O processo de subtração é análogo ao de adição quanto ao agrupamento de unidades correspondentes: Porém, observe que se efetuarmos esta operação imediatamente, obteremos resultados positivos para os graus e segundos e um resultado negativo para os minutos Um resultado desta forma não é adequado e, por isso, devemos efetuar uma conversão entre unidades antes da subtração Como 1 = 60, podemos inicialmente retirar 1 de e escrevê-lo como 60 apenas para que a parte dos minutos de seja superior à de : Efetue a multiplicação do arco por 8 Inicialmente, multiplica-se cada unidade de por 8: Mais uma vez efetuamos a operação mas surgiram valores inadequados para as unidades de minutos e segundos Basta que a conversão seja feita Porém note que no caso da multiplicação é usual que encontremos valores muito superiores a 60 Neste caso, por exemplo, veja que extrair 60 dos 08 não será suficiente para que o resultado esteja na forma adequada Neste caso é necessário extrair 180 = 60 para tal Portanto vejamos que: 08 = = + 8

38 Agora, observe que além dos 10 obtidos através da multiplicação, devemos também considerar os resultantes da conversão de unidades acima, assim: 1 = = + 0 Portanto, teremos: Conversões entre graus e radianos Eventualmente nos depararemos com a necessidade de converter arcos medidos em graus para radianos e vice-versa Esta conversão pode ser feita através de uma regra de três (pois já sabemos que rad e 60 são equivalentes): 60 rad 60x 60 x 180 x E este resultado (180 rad ) passará a ser nossa relação de equivalência preferida a partir de agora Exemplos Resolvidos 1 Converta para radianos os arcos de: a) 60 Estabelecendo a proporção pela equivalência apontada acima temos: 180 rad x 60 x rad rad b) 45 Da mesma forma que o exemplo acima: 180 rad x 45 x 4 4

39 Converta para graus os arcos de: a) 6 rad Um procedimento alternativo ao de fazer a correspondência pela proporção da regra de três é fazer a simples substituição de rad por 180 : 180 rad b) 5 4 rad Da mesma forma: rad Comprimento de Arcos Primeiramente devemos entender a diferença conceitual entre medida e comprimento de um arco Enquanto o conceito de medida de um arco se refere à uma característica angular do mesmo (medida em graus ou radianos) o comprimento por sua vez é uma medida de tamanho, dada em unidades de comprimento como metros, centímetros, quilômetros, Este conceito é na verdade uma consequência da definição dos radianos Vejamos um exemplo: calcule o comprimento de um arco de rad em uma circunferência de raio 10cm Esta é a ilustração que descreve o problema: 5

40 Se lembrarmos do significado dos radianos, entenderemos que o arco evidenciado na figura acima de medida rad é formado por raios da circunferência e como o raio desta é 10cm, é imediato perceber que o comprimento deste arco será dado por: C 10 0cm Em linhas gerais, este será o nosso procedimento padrão: multiplicar a medida do arco em radianos pelo raio da circunferência: onde é a medida do arco em radianos e R o raio da circunferência em que o arco se encontra Exemplos Resolvidos 1 Calcule o comprimento de um arco de 0 4km em uma circunferência de raio Para aplicarmos a fórmula de comprimento de arcos temos a única exigência de usar a medida do arco em radianos Como sabemos que 0 C R C 4 6 C 4 km 6 rad, temos que: Calcule a medida de um arco de 6 cm contido em uma circunferência de raio 1cm C R 6 1 rad Um arco de circunferência cuja medida é 00 possui 000 m de extensão Calcule o raio desta circunferência Note que * 60 5 rad 6

41 C R R 000 R 100 m 5 EXERCÍCIOS 1 (FUVEST) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 75 ac e 195 ac Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol O valor do raio da Terra, obtido a partir de e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km θ θ O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; a) junho; 7 b) dezembro; 7 c) junho; d) dezembro; e) junho; 0, π ) Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às 6:0 7

42 Considere duas circunferências de raios 6cm e 4cm com centros distantes 1 cm um do outro Calcule o comprimento da menor circunferência que tangencia externamente as duas 4 (UEL) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 670 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48 0 Oeste Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km a)d b) D c)d d)d e) D (UEL) Um relógio marca que faltam 0 minutos para o meio-dia Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 115 e) 15 6 (UEG) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul Suas longitudes são, respectivamente, 78 Oeste e 5 Oeste Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6400 km, qual é a distância entre essas duas cidades? 7 (UFSM) No último pleito, o horário de encerramento das votações, segundo determinação do TSE para todo o estado do Rio Grande do Sul, foi às 17 horas Passados 5 minutos do encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros do relógio era de: a) 1 b) 1 0' c) 1 d) 10 0' e) 10 8 (UFAL) Considere que: - Os raios de Sol incidem paralelamente sobre a Terra - O planeta Terra é uma esfera cuja linha do Equador tem km de perímetro Na figura a seguir são representados os raios solares incidindo nos pontos P e Q da linha do Equador do planeta Terra e são indicadas as medidas dos ângulos que esses raios formam com as normais à superfície terrestre nesses pontos 8

43 O comprimento do arco PQ, que corresponde à menor distância de P a Q, em quilômetros, é igual a a) b) c) d) e) (UERJ) No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e raio R O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q Considerando de A para B, a distância entre eles será igual a: a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido /4 do seu trajeto 10 (UNESP) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo dm, o raio da roda menor medindo dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura 9

44 a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas 11 (UEL) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 4 horas no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15 de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75 A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é: a)5horas b)9horas c)1horas d)17horas e)1horas 1 (ITA) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a a) 11 b) 16 6 c) 4 11 d) 5 11 e) 7 1 (UNESP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 0

45 radiano O perímetro do "monstro", em cm, é: a) - 1 b) + 1 c) - 1 d) e) (UFSCAR) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1 Considerando =,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é a) 0,74 b) 0,7 c) 0,68 d) 0,56 e) 0,4 15 (UFRN) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 5 cm de raio O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é a) 5 voltas b) 7 voltas c) 9 voltas d) 11 voltas 16 (UNB) Quanto mede, em radianos, um arco de (ESPM) Uma pista de atletismo é circular de raio 5m Se um atleta dá 18 voltas na pista, quantos metros ele percorre? 18 Numa corrida de atletismo (pista circular), 8 atletas disputarão uma corrida de 00 m Se o atleta nº 1 (mais próximo do centro) está a 0 m do centro da pista e o atleta nº 8 (mais distante do centro) está a 40 m do centro, pergunta-se: qual a medida do arco percorrido pelos dois atletas? 1

46 19 (FUVEST) É 1 h da tarde; o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas, pela primeira vez, aproximadamente às: a)1h 5 b)1h 5 5 c)1h 5 7 d)1h 5 9 e)1h (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 4

47 Capítulo Círculo Trigonométrico 1 Definição O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica) é uma circunferência com centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1 Estudamos este caso particular de circunferência pois, assim como o triângulo retângulo, esta também será uma ferramenta para a obtenção de propriedades trigonométricas mas com a diferença que poderemos extrapolar os ângulos agudos (0 90º ) Na figura acima temos o círculo trigonométrico O ponto A é chamado origem dos arcos qualquer arco a ser demarcado neste círculo terá o ponto A como ponto inicial Convenciona-se que os arcos (com origem em A) demarcados no sentido anti-horário terão medida positiva e aqueles demarcados no sentido horário terão medida negativa Veja alguns exemplos:

48 Seno e Cosseno no Círculo Trigonométrico Dado um arco AB do círculo trigonométrico em que A é a origem dos arcos e B um ponto qualquer de coordenadas, então, x0 cos e : ( x, y ) 0 0 y0 sen 4

49 O motivo pelo qual isto acontece é bem simples: observe o triângulo OBx 0 (ou OBy 0 ): Note que os catetos foram denotados por a e b e que: a cos a cos 1 Portanto, x0 cos b sen b sen 1 Portanto, y0 sen Como a partir de agora usaremos o eixo horizontal para denotar cossenos e o eixo vertical para denotar senos, chamaremos estes eixos de eixo dos cossenos e eixo dos senos, respectivamente Observe que a expansão desta noção para os quadrantes seguintes também é possível mas desde que as coordenadas x 0 e y 0 sejam tomadas em módulo 5

50 Arcos Divisores de Quadrantes Esta nova forma de observar as propriedades trigonométricas é elucidativa para descobrir o seno e cosseno dos arcos divisores de quadrantes: 0º, 90º, 180º, 70º e 60º (0 rad, rad, rad, rad e rad) Como observamos no item anterior, o cosseno e o seno de cada um destes arcos pode ser obtido pelas coordenadas de cada um dos pontos acima: Da comparação entre as duas figuras anteriores podemos deduzir: 6

51 ARCO COSSENO SENO 0 ou 0 rad ou rad ou rad ou rad ou rad Variação de Sinais Seno e Cosseno Outra característica trigonométrica facilmente perceptível pela análise do círculo trigonométrico é que como agora o seno e o cosseno de um arco podem ser observados como as coordenadas de um ponto, estas poderão assumir valores positivos, negativos e nulos Cosseno: Seno: Note também que o menor e o maior valor que podemos encontrar para o cosseno ou para o seno de um arco são, respectivamente, -1 e 1, portanto, para qualquer que seja um arco, temos: e 7

52 5 Relação Fundamental da Trigonometria Voltemos a observar o triângulo extraído do círculo trigonométrico no item : Por se tratar de um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras deve ser satisfeito, assim: sen cos 1 Esta última expressão é conhecida como relação fundamental da trigonometria e como o próprio nome já remete, é uma das principais fórmulas que estudaremos neste texto Observe nesta expressão que sen calcularemos o valor do seno de elevado ao quadrado: disso perceba que na expressão sen é a notação usual para indicar que sen sen, apenas será elevado ao quadrado Além Note também que a relação fundamental pode ser apresentada de outras duas formas: 8

53 Exemplos Resolvidos 1 Calcule cos sabendo que é um arco do quadrante tal que Sabemos que cos 1sen, portanto: 8 sen 17 cos cos cos Neste momento, será necessário analisar os quadrantes para a escolha do sinal do cosseno acima Como pertence ao quadrante, temos (item 4) que seu cosseno deve ser negativo, assim: 15 cos 17 É possível que para um determinado arco x tenhamos: 1 sen x e cos x? A resposta a esta pergunta claramente é não Observe que a relação fundamental é obrigatória para qualquer arco x, assim, teremos: 1 5 sen x cos x 1 9 Encontre os valores de a que satisfazem simultaneamente cos 1 a Para satisfazer a relação fundamental: sen a e 9

54 sen cos 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 0 a 0 ou a Porém observe que para e que são claramente impossíveis (o primeiro por ser maior que 1 e o segundo por não ser real) a teremos sen cos Desta forma, o único valor aceito é a 0 6 Redução ao primeiro quadrante Outra relação importante que podemos observar pela análise do círculo trigonométrico é a possibilidade da obtenção de propriedades trigonométricas de arcos pertencentes ao, e 4 quadrantes através da comparação com o 1 quadrante Observe a figura a seguir: Nesta figura estão representados os pontos finais dos arcos dos quatro quadrantes que formam um ângulo com o eixo dos cossenos Observe também 40

55 a existência de quatro triângulos que possuem internos: como um de seus ângulos Estes triângulos são congruentes, pois além de semelhantes (caso AA) possuem hipotenusas iguais a 1 Como os catetos destes triângulos representam os valores do seno e cosseno (em módulo) de cada um dos arcos evidenciados, fica evidente que valem as relações: sen sen(180 ) sen(180 ) sen(60 ) e cos cos(180 ) cos(180 ) cos(60 ) Em suma, adotaremos,, e 60 como arcos correspondentes Este conceito implica que todas as suas propriedades trigonométricas serão iguais em módulo É interessante observar que esta correspondência entre arcos também pode ser feita em radianos:

56 Será também muito útil lembrar que, dado um arco da forma seus correspondentes no, e 4 quadrantes serão, respectivamente: ( N 1) N e (N 1) N 0; N ( N 1) N,, Exemplos Resolvidos 1 Encontre o valor do seno, cosseno e tangente de 10 Primeiramente devemos identificar o quadrante a que o arco pertence: ;180 quad A expressão que gera o arco correspondente a assim: no quadrante é 180, Portanto, as propriedades trigonométricas de 10 são iguais às do 60, em módulo Para decidir o sinal, basta lembrarmos que no quadrante o seno é positivo, o cosseno negativo e a tangente, por ser o quociente entre seno e cosseno, será negativa também: sen10 1 cos10 tg10 Encontre o valor do seno, cosseno e tangente de 7 4 Neste caso, em que o arco é dado em radianos, podemos proceder como no exemplo anterior, identificando que o arco pertence ao 4 quadrante e igualando o mesmo a 4

57 Ou apenas notar que este arco é da forma correspondente de de 4 4 (N 1) N para N 4, portanto, é o no 4 quadrante Assim, suas propriedades serão iguais às (em módulo) e os sinais de seu seno, cosseno e tangente são, respectivamente, negativo, positivo e negativo: 7 7 sen cos tg 1 4 Encontre o valor do seno, cosseno e tangente de Basta observar que correspondente a é da forma no quadrante, assim: ( N 1) N 7 6 para N 6, portanto, é o 7 1 sen 6 7 cos 6 7 tg 6 EXERCÍCIOS a) Se x ; (FUVEST) O menor valor de b) 1 4 e cos x k, então qual o intervalo de variação de k? c) 1 1, com x real, é: cos x d) 1 e) Calcule o valor de (sen x cos x) (sen x cos x) 4 (UNESP) Determine todos os valores de x, verifica a igualdade (sen xcos x) 1 0 x para os quais se 4

58 5 Calcule o valor da expressão 4 4 sen x 4cos x cos x 4sen x 6 (INSPER) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras científicas no modo radianos e calculassem o valor de sen Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor A Já Bia calculou o seno de vale aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos valores A, B e a) b) c) d) e) sen A B sen A sen B A B sen B sen A B A sen 1,5, obtendo o valor B Considerando que 7 (FGV) A soma cos 0 +cos +cos 4 +cos 6 + +cos 58 +cos 60 é igual a a) 16 b) 70 c) 181 d) 180 e) 91 8 (PUCRS) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas A expressão sen x + cos x 5 envolve estas funções e, para π x π, seu valor de é: a) 7 b) c) 1 d) π 5 e) 5 9 (MACKENZIE) I) cos 5 < cos 15 II) tg (5/1) > sen (5/1) III) sen 160 > sen 17 44

59 Das afirmações acima: a) todas são verdadeiras b) todas são falsas c) somente II e III são verdadeiras d) somente II é verdadeira e) somente I e II são verdadeiras 10 (FGV) Os valores numéricos da expressão 17 n 17 A (cos x) 1 cos x cos x cos x, para x 0, x e x são, n0 respectivamente: a) 18, 1, 0 b) 17, 0, 1 c) 18, 0, 1 d) 18, 1, 1 e) 17, 1, 0 11 (FGV) Considere a função valor de x que a maximiza: a) b) 4 c) f( x) 5 sen x d), definida no intervalo e) 0; O 1 Uma roda-gigante tem 0 metros de diâmetro, completa uma volta em 10 segundos e o embarque dos passageiros se dá no carro situado no ponto mais baixo da roda-gigante, a metros de altura a partir do solo Considere, ainda, a roda como uma circunferência num plano perpendicular ao plano do solo, o passageiro como um ponto dessa circunferência, o movimento uniforme e o instante do início do movimento como t = 0 a) Encontre a altura máxima, em relação ao solo, alcançada pelo passageiro durante uma volta completa e a velocidade angular da roda, em radianos por segundo b) É verdadeira a afirmação: Em quinze segundos, a altura alcançada pelo passageiro é um quarto da altura máxima que ele pode alcançar? Justifique sua resposta c) Encontre a altura em que o passageiro estará no instante t =75 d) Determine h(t), altura (em relação ao solo) em que se encontra o passageiro no instante t 1 Sabendo que sen cos b o valor de sen 4 4 x cos x x b x e sen cos x x b, calcule em função de a e 45

60 14 (UFMT) Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 0 cm, e o ângulo formado por esses dois lados, tal que 4sen cos, determine: a) O valor numérico de sen b) O perímetro desse triângulo 15 (UFU) Seja um ângulo fixado, medido em radianos, 0 cos raízes da equação x (sen ) x pode-se afirmar que 4 a) pelo menos uma das raízes é igual a 1 b) as duas raízes são maiores do que 1 c) uma raiz é maior do que 1 e a outra é menor do que 1 d) as duas raízes são menores do que 1 16 (UFRGS) Considere as afirmativas abaixo I tan 9 = - tan 88 II tan 178 = tan 88 III tan 68 = tan 88 IV tan 7 = - tan 88 Sobre as Quais estão corretas? a) Apenas I e III b) Apenas III e IV c) Apenas I, II e IV d) Apenas I, III e IV e) Apenas II, III e IV 17(UFC) Sejam x rsencos, y rsensen e z rcos, onde 0 e 0 Então x + y + z é igual a: a) r b) r sen c) r cos d) r sen 1 k k 18 Seja fk ( x) (sen x cos x) Mostre que para qualquer x real, k f ( x) f ( x) é constante e calcule seu valor 4 6 e) r cos 46

61 Capítulo 4 Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 41 Tangente e Secante Dado um arco (com ), define-se algebricamente a tangente e a secante de pelas expressões: sen 1 tg e sec cos cos cos 0 Estas duas características trigonométricas também podem ser obtidas através do círculo trigonométrico, com o auxílio de um novo eixo ordenado, vertical e que contém o ponto (1,0), chamado eixo das tangentes: 47

62 Seja um arco do círculo trigonométrico com ponto final em B O valor da será numericamente igual à coordenada encontrada pela intersecção do prolongamento de OB com o eixo das tangentes (T) Além disso, o módulo da secante de será numericamente igual ao comprimento do segmento OT, veja alguns exemplos: tg A garantia de que estes resultados são realmente a tg e sec vem do desenvolvimento de uma relação de semelhança entre os triângulos OAT e OCB abaixo: 48

63 É evidente notar que, além da semelhança (pelo caso AA) temos: AT CB a sen a tg AO CO 1 cos OT OB b 1 b sec AO CO 1 cos E, por consequência do Teorema de Pitágoras no triângulo OAT, temos: b 1 a 49

64 4 Variação de Sinais Tangente e Secante Esta forma de visualizar a tangente e secante é completa para a primeira, mas não para a segunda, pois não deixa evidente seu sinal (lembre-se de que OT sempre tem comprimento positivo e representa ) Em função disso, a sec análise do sinal da secante será desenvolvida apenas pelo argumento algébrico, 1 pois é fato que sec sempre terá o mesmo sinal que cos cos Tangente: Secante: 50

65 4 Método Alternativo Tangente e Secante Outra forma de visualizar a tangente e a secante de um arco de medida, com ponto final em B é traçar o segmento BT, tangente ao círculo trigonométrico em B e com o ponto T pertencente ao eixo dos cossenos: Neste caso, BT tg e OT sec pois: Pela semelhança entre os triângulos COB e OBT temos: BT BC a sen a tg BO CO 1 cos OT OB b 1 b sec OB OC 1 cos 51

66 44 Cotangente e Cossecante Dado um arco (com ), define-se algebricamente a cotangente e cossecante de pelas expressões: sen 0 cos cotg sen e 1 cossec sen Estas duas características trigonométricas também podem ser obtidas através do círculo trigonométrico, com o auxílio de um novo eixo ordenado, horizontal e que contém o ponto (0,1), chamado eixo das cotangentes: Seja um arco do círculo trigonométrico com ponto final em B O valor da cotg será numericamente igual à coordenada encontrada pela intersecção do prolongamento de OB com o eixo das cotangentes (C) Além disso, o módulo da cossecante de será numericamente igual ao comprimento do segmento OC, veja alguns exemplos: 5

67 A garantia de que estes resultados são realmente a e vem do desenvolvimento de uma relação de semelhança entre os triângulos OBT e OCQ a seguir: cotg cossec 5

68 É evidente notar que além da semelhança (pelo caso AA), temos: QC TB a cos a cotg QO TO 1 sen OC OB b 1 b cossec QO TO 1 sen E por consequência do Teorema de Pitágoras no triângulo OCQ, temos: b 1 a 45 Variação de Sinais Cotangente e Cossecante Note que esta forma de visualizar a cotangente e cossecante é completa para a primeira, mas não para a segunda, pois não deixa evidente seu sinal (lembre-se 54

69 de que OC sempre tem comprimento positivo e representa cossec ) Em função disso, a análise do sinal da cossecante será desenvolvida apenas pelo argumento algébrico, pois é fato que sinal que sen 1 cossec sen, sempre terá o mesmo Cotangente: Cossecante: 55

70 46 Método Alternativo Cotangente e Cossecante Outra forma de visualizar a cotangente e cossecante de um arco de medida, com ponto final em B é traçar o segmento BC, tangente ao círculo trigonométrico em B e com o ponto C pertencente ao eixo dos senos: Neste caso, BC cotg e OC cossec pois: Pela semelhança entre os triângulos OBQ e OBC temos: CB QB a cos a cotg BO QO 1 sen 56

71 CO BO b 1 b cossec BO QO 1 sen Exemplos Resolvidos 1 Prove que sen tg cos sec A expressão acima é denominada identidade trigonométrica Para prova-la, basta simplificá-la até alcançar uma relação visivelmente idêntica Neste caso, simplificaremos o lado esquerdo da igualdade até encontrar a expressão do lado direito: sen sen sen cos sen tg cos sen cos cos cos cos cos Como sen cos 1, temos: sen cos 1 sec cos cos, cqd Prove que sen x cossec x cotg x 1 cox Simplificando o lado direito da igualdade: sen x cos x sen x cos x(1 cos x) sen x cos x cos x sen x cotg x 1 cox sen x 1 cox sen x(1 cos x) sen x(1 cos x) Como sen cos 1, temos: cos x 1 sen x(1 cos x) 1 sen x cossec x, cqd 57

72 EXERCÍCIOS tg x 1 (IBMECRJ) O valor de m para que exista um ângulo x com m é dado por: a) Um número par b) Um número ímpar c) Um número negativo d) Um número natural maior que 10 e) Um número irracional (UFC) Considere a igualdade P( sec x) tgx cotgx tgx cos x m 1 e Assinale a opção que apresenta o valor de P, para o qual a igualdade acima seja válida para todo x R, k x, k inteiro a) b) 1 c) 0 d) -1 e) - Seja cossec ; tal que cos 5, calcule sen, tg, cotg, sec e 4 (FGV) A função trigonométrica equivalente a a) senx b) cotgx c) sec x d)cossec x e) tgx sec x sen x cossec x cos x é: 5 (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e do sistema de equações r sen r cos 1 para r > 0 e 0 a), 6 é: b) 1, c) {, 1} d) {1, 0} e), 6 (UEL) O triângulo ABC é retângulo em A Se cosb 0,6, então cotgc a a) 5/ b) 4/ c) /4 d) /5 e) 1/ é igual 58

73 7 (INSPER) Seja um ângulo maior do que 45 e menor do que 90 Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão são, respectivamente, e a1 tg ( ) 1 q sen a) Determine, em termos de, o limite da soma dos termos dessa progressão: S a1 a a b) Considere agora que é o ângulo dado no triângulo retângulo e não isósceles representado a seguir, cuja hipotenusa mede 5 e cujo cateto menor mede 1 Calcule o valor numérico do limite da soma obtida no item (a) 8 (UFPA) Simplifique a expressão 1 sen x cotg xsen x 9 (FAAP) Sabendo que sen x cos x sen x cos x tgx a, calcule em função de a o valor da expressão: 10 Considere cotangente de x x ; que satisfaz tg x tgx 0 Calcule o valor da 11 (FUVEST) Se está no intervalo então o valor da tangente de é: 0; e satisfaz sen cos, 4 a) 5 b) 5 c) 7 d) 7 e)

74 1 Sabendo que sen x n 1, calcule o valor de tg x 1 tg x em função de n 1 (PUCRS) A expressão a) 1 b) c) senx sen x 1 cos x 1 cos x sen x d) sec x e) cossec x é igual a: 14 (UECE) Sabendo que cotg cossec cos e 10, calcular o valor de 15 Se (FGV) 1 cosa 1 cosa é: 4 sena 5 e a secante de a é negativa, então o valor de a) 4 b) 5 c) 5 4 d) 4 e) 1 16(ITA) Se x a x b 0; é tal que denota o conjunto dos números reais e, seja f : 0; a tg b, então f ( ) definida por é igual a: ( ab, ) o intervalo aberto f ( x) sec x cossec x Se a) a b 1 b) a b c) a b ab a d) b ab e)nda 17 (UEL) Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, ] Se sec x, então tgx é igual a a) b) c) 1 d) 5 e) 18 Calcule o valor de sec tg x x sabendo que sec xtgx 5 60

75 Capítulo 5 Congruência de Arcos e Equações Trigonométricas 51 Congruência de Arcos Dois arcos e do círculo trigonométrico são congruentes (ou côngruos) se, e somente se, possuem as mesmas extremidades No entanto esta noção pode ser resumida a: Dois arcos e do círculo trigonométrico são congruentes (ou côngruos) se, e somente se, possuem o mesmo ponto final, uma vez que os pontos iniciais de quaisquer arcos do círculo trigonométrico são coincidentes Neste caso escrevemos Durante os capítulos anteriores, esta noção poderia ser visualizada apenas com exemplos de um arco demarcado no sentido positivo e outro no sentido negativo: No entanto, a partir de agora, poderemos usar o círculo trigonométrico para determinar arcos que extrapolam uma volta tanto no sentido positivo quanto 61

76 negativo Com isto, note, por exemplo, que o arco de 90 é congruente ao arco de 450 pois : De um modo geral, dado um arco 0;60, qualquer arco congruente a deve ser da forma k60, com k Ou seja, qualquer arco congruente a deve ser formado por mais k voltas, onde k pode assumir qualquer valor inteiro Notemos também que para o caso mais usual, em que, a expressão equivalente é: k, com k 0; Exemplos Resolvidos 1 Encontre a determinação principal dos arcos de: a) 1490 A determinação principal é o nome dado à primeira determinação positiva de um arco qualquer Observe que para encontrar a primeira determinação positiva de 1490 devemos desconsiderar a quantidade de voltas inteiras dadas no círculo trigonométrico para sua formação Para descobrir esta quantidade de voltas, basta realizar a divisão de 1490 por 60 : Este resultado significa que, para formar um arco de 1490 é necessário percorrer 4 voltas inteiras no círculo trigonométrico e ainda percorrer mais 50, ou seja, Ao ignorar a quantidade inteira de voltas, temos que

77 b) Vamos realizar este procedimento com o arco positivo (1960 ) e depois realizar as conversões necessárias: Portanto, Assim, Multiplicando esta equação por -1: ( 60 ) Calcule o valor do seno e cosseno de: a) 5 6 Quando o arco é fornecido em radianos ainda é possível, porém pouco produtivo realizar o mesmo procedimento do exemplo 1, pois envolve fazer as conversões entre unidades desnecessariamente Neste caso podemos desmembrar o arco dado em duas partes de forma que uma delas represente uma quantidade inteira de voltas, veja: Como 4 representa voltas, temos que Portanto, 5 1 sen sen e cos cos 6 6 b) 5 Observe o que acontece, quando efetuamos o mesmo procedimento do item anterior:

78 Porém observe que 11 não representa uma quantidade inteira de voltas e, por isso, não pode ser ignorado Neste caso, devemos buscar outro múltiplo de para desmembrar o arco dado: Como 10 representa 5 voltas, temos que 5 5, portanto: 5 5 sen sen e cos cos 5 Equações Trigonométricas Denominamos equação trigonométrica qualquer equação que envolva termos trigonométricos (seno, cosseno, tangente,) em sua(s) incógnita(s) Resolver uma equação trigonométrica consiste em encontrar quais são os arcos de um intervalo fornecido que resolvem aquela expressão A teoria para resolução deste tipo de problema já foi abordada nesta aula e também nas anteriores, por isto neste momento nos ateremos somente aos procedimentos para tal Neste primeiro momento trataremos apenas das equações trigonométricas imediatas (da forma, cosx k ou ) mas no futuro estas equações voltarão ao nosso curso de forma mais elaborada senx k tgx k Exemplos Resolvidos 1 Resolva a equação 1 sen x para 0 x Neste problema deseja-se encontrar quais são os arcos, no intervalo 0 x 1 que possuem seno igual a Observemos esta situação no círculo trigonométrico: 64

79 A proposta é, então, observar graficamente quantos e quais pontos (arcos) do círculo trigonométrico possuem ordenada no ponto destacado na figura anterior É imediato notar que são dois: O procedimento agora é apenas descobrir quais são os arcos evidenciados pelos pontos acima É sabido que o arco do primeiro quadrante que possui seno igual a é e, portanto, o outro é seu correspondente no segundo quadrante 5 :

80 Portanto, x 6 ou x 5 6 Resolva a equação 1 sen x para x Resolver uma equação trigonométrica para consiste em resolvê-la sem se restringir a um intervalo específico como fizemos no exemplo 1 Neste caso, cada ponto encontrado como solução representa uma infinidade de arcos congruentes e nossa resposta deverá ser a expressão (ou as expressões) de congruência deste ponto No caso deste problema específico, encontramos dois pontos em x 0; que satisfazem as condições da equação A resposta deste problema será então a expressão dos arcos congruentes a estes pontos: x k, com k 6 ou 5 x k, com k 6 Resolva a equação cos x para 0 x Neste caso, buscamos os arcos que terão seus cossenos representados pelo ponto da figura a seguir: 66

81 É mais uma vez imediato perceber que dois arcos cumprem esta condição: O arco do 1 quadrante que possui cosseno igual a ponto será seu correspondente no 4 quadrante 7 : 4 é 4 e certamente o outro 67

82 Portanto, x 4 ou x Resolva a equação cos x Quando uma equação trigonométrica não evidenciar o intervalo a ser considerado na resolução, consideraremos sempre a reta toda Portanto devemos encontrar as expressões dos arcos congruentes a são: x k 4, com k ou 7 x k 4, com k Porém observe que neste caso (e na maioria das equações envolvendo como incógnita) podemos escrever estas duas expressões em apenas uma linha Através da análise dos arcos encontrados como resposta no exemplo, note que 7 4 4, desta forma podemos escrever 7 x k 4 como 4 e 7 4 x k 4 que cosx resposta final deste problema seria: x k, com k 4 Esta última forma de fornecer a resposta é mais enxuta que a anterior e por isso sempre contará com a nossa preferência em problemas posteriores e a 5 Resolva a equação tgx para 0 x 68

83 Por se tratar de uma equação cuja incógnita trigonométrica depende da tangente, devemos recorrer ao eixo das tangentes para encontrar geometricamente a posição do número : É possível observar que dois arcos cumprirão a condição necessária: 69

84 Sabendo que o ponto encontrado no primeiro quadrante representa certamente o ponto do terceiro quadrante será seu correspondente: 4, Desta forma temos: x ou x 4 6 Resolva a equação Transformar a solução do exemplo 5 acima para a reta real envolve os mesmos passos já citados nos exemplos e 4 anteriores, porém com uma ressalva Observe que no caso desta equação há um intervalo constante entre os dois pontos que representam as soluções: tgx 70

85 Portanto, veja que se tomarmos qualquer um dos valores obtidos no exemplo 5 como ponto de partida e, a partir dali, percorrermos sobre o círculo trigonométrico um número inteiro de meias voltas (equivalentes a um arco situado sobre os dois pontos já estabelecidos Assim, ao invés de fornecer a resposta através de duas expressões: 4, com k e x k, com k iremos fornecer com apenas uma x k, com k x k rad), sempre encontraremos De uma forma geral, para transformar soluções no intervalo 0; em soluções reais, usaremos da seguinte ideia: x x k P 0, com k Onde x 0 é uma solução da primeira volta e P é o período, ou seja, a medida do arco compreendido entre as raízes quando esta for constante ] 71

86 EXERCÍCIOS 1 Na figura abaixo, A representa os arcos côngruos a 4 e o quadrilátero ABCD é um retângulo Encontre a expressão real para todos os arcos côngruos com extremidade final em: a) A b) B c) C d) D e) A ou B f) A ou D g) B ou C h) A ou C i) B ou D 7

87 j) A ou B ou C ou D k) A ou B ou D Encontre o valor do seno, cosseno e tangente de: a) 180 b) 1 4 c) 6 6 Resolva as equações abaixo considerando x 0; : a) b) sen x 1 sen x x c) sen 1 x d) sen 0 e) 1 cos x x f) cos 0 x g) cos 1 h) tgx 1 i) tgx j) tg 0 7

88 4 Resolva as equações abaixo considerando x : a) sen x b) 1 sen x x c) sen 1 x d) sen 0 e) 1 cos x x f) cos 0 x g) cos 1 h) tgx 1 i) j) tgx tg 0 74

89 Capítulo 6 Adição e Diferença de Arcos 61 Definição Você já deve ter percebido em seus estudos anteriores que o valor de uma propriedade trigonométrica não varia proporcionalmente com o valor do arco, por exemplo, O objetivo deste capítulo é estudar o desenvolvimento de expressões do tipo sen( ), cos( ) e tg( ) sen( a b) sena senb a b a b a b 6 Seno As expressões utilizadas para o desenvolvimento de senos da adição e subtração de quaisquer dois arcos a e b são: e 6 Cosseno As expressões utilizadas para o desenvolvimento de cossenos da adição e subtração de quaisquer dois arcos a e b são: e 75

90 64 Tangente As expressões utilizadas para o desenvolvimento de tangentes da adição e subtração de quaisquer dois arcos a e b são: e 65 Demonstrações Vamos demonstrar a validade destas fórmulas para dois ângulos a e b agudos: Considere um retângulo ABCD e três segmentos, e, tais que DEF 90 e DF 1, conforme figura abaixo: DE EF DF ADE a Tomemos e EDF b figura da seguinte forma: e observe que podemos transportar a e b pela 76

91 Pela análise do triângulo DEF temos: EF EF senb senb EF DF 1 DE DE cosb cosb DE DF 1 Pela análise do triângulo ADE temos: sena AE AE sen a DE AE sen acos b DE cosa AD AD cos a DE AD cos acos b DE Pela análise do triângulo EBF temos: sena BF BF sen a EF BF sen asen b EF cos a EB EB EFcosa EB sen bcos a EF Pela análise do triângulo CDF temos: CD CD sen( a b) sen( a b) CD DF 1 FC FC cos( a b) cos( a b) FC DF 1 Como AD BF FC, então: 77

92 cos acos b sen asen b cos( a b) Como CD AE EB, então: Como sen( a b) tg( ab) cos( a b), então: sen acos b sen bcos a tg( ab) cos acos b sen asen b Dividindo todos os termos à direita por cos cos tg( ab) a b : sen acosb sen bcosa cos a cos b cosacos b cos acosb sen asenb cos acosb cos acosb Note que esta demonstração contempla apenas ângulos a e b agudos e cuja soma seja menor que 90, mas a garantia de que estas relações se estendem para outros casos vem imediatamente pela redução ao primeiro quadrante Já as demonstrações destas fórmulas para o caso da diferença de arcos ( a b) vêm do fato de que para qualquer arco temos que sen( ) sen, cos( ) cos e (estes conceitos serão estudados durante as funções trigonométricas) tg( ) tg Exemplos Resolvidos 1 Usando as fórmulas de adição e subtração de arcos, prove que, sen( ) sen e sen( ) sen Aplicando as relações sen( a b) sen acos b sen bcos a diretamente, temos: sen( x) sen cos x sen xcos 0cos x sen x( 1) sen( x) sen x sen( x) sen x x x 78 x x

93 sen( x) sen cos x sen xcos 0cos x sen x( 1) sen( x) sen x sen( x) sen cos x sen xcos 0cos x sen x1 Calcule o valor de cos75 Desmembrando sen( x) sen x, temos: cos75 cos(45 0 ) cos45 cos0 sen45 sen0 1 6 cos75 4 Calcule o valor de sen15 Desmembrando , temos: sen15 sen(45 0 ) sen45 cos0 sen0 cos sen75 4 Note que os resultados encontrados nos exemplos e são coincidentes pois, assim, cos75 sen Desenvolva uma expressão para Desmembrando a a a, temos: tg( a) em função de tga tga tga tg( a) tg( a a) 1 tg atga tga tg( a) 1 tg a 79

94 EXERCÍCIOS 1 Usando as fórmulas de adição e subtração de arcos, prove que, cos( ) cos e cos( ) cos cos( x) cos x a) (FEI) O valor de 1 x x x y (cos a cos b) (sena sen b) x para ab b) c) 0 d)1 e)4 é: (UFU) O valor de tg1 tg14 sen7 cos17 1 tg1 tg14 sen17 cos1 cos17 sen1 cos7 cos17 a) 5 b) 1 c) 0 d) 1 e) 4 (ESPCEX) Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominados respectivamente e tg é, medidos no sentido positivo O valor de a) b) c) d) e) 1 80

95 5 (UFRGS) A expressão sen(150 ) sen(150 ) é equivalente a: a)cosx b) senx c)sen x x d)senx e) 5 cos 6 6 (MACKENZIE) O maior valor inteiro de k, para que a equação apresente soluções reais é a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 senx cosx k 7 (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB CD EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, e conclui-se que é igual a: a) h h, h 1 b) h h, c) h h h 1 8 (FGV) No quadrilátero ABCD mostrado na figura a seguir, B e D são ângulos retos, e Determine: BC x, CD x, AD x Aˆ a) O comprimento dos segmentos AC e AB em função de x b) O valor de sen d) h 9 (MACKENZIE) Na figura, tg é igual a: 81

96 a) b) 8 7 c) 19 6 d) e) Em um triângulo ABC, sen 4cos 6 o valor de senc A B e 4sen cos 1 Encontre B A 11 (FUVEST) Sejam x e y números reais positivos tais que Sabendo-se que a) b) 5 4 sen y x c) 1 1, o valor de d) 1 4 tg y tg x e) 1 8 é igual a xy 1 (UFPE) Considerando a medida de ângulos em radianos, se correto afirmar, dado que a) b) c) d) e) y tan x y cotan x y cotan x y tan x y tan x y sen( x) / sen( x), que 4 é 1 (UFC) Os números reais a, b e y são tais que, Se a seny b cos y tg x, calcule o valor de tg (x y) em função de a e b somente a cos y b seny a 0 acos y bsen y 8

97 14 (UEL) Se a medida x de um arco é tal que x, então a) sen (x + ) > 0 b) cos (x + ) < 0 c) tg (x + ) > 0 d) cos (x + ) > 0 e) sen (x + ) > 0 AB 15 (ITA) Num triângulo ABC o lado mede 1 cm, o ângulo ABC medida de BAC a) 1 5 BMC, em radianos, é igual a b) 1 4 AB mede cm, a altura relativa ao lado mede 15 e M é o ponto médio de AB c) 1 d) 8 e) 5 Então a 16 (UNICAMP) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estendese sobre um rio Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão, conforme mostra a figura a seguir AB Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões a seguir a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1 equivale a 0 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 1,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se 75, quanto mede AB? 17 (FUVEST) Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B O raio da maior é 5 do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é 4 8

98 tangente à circunferência menor no ponto Q Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP 18 (PUCPR) Três números, e estão em progressão aritmética Então, o valor de: a) b) tg c) cotg( ) d) e) tg( ) tg tg( ) sen sen sen cos cos cos é: 84

99 Capítulo 7 Arco Duplo 71 Definição Chamamos de fórmulas de arco duplo aquelas que definem seno, cosseno e tangente de um arco da forma, em função de propriedades trigonométricas de 7 Seno Desejamos aqui desenvolver uma expressão que forneça o valor de Usando a expressão do seno da adição abordada nas aulas anteriores: sen( ) sen( ) sen( ) sen cos sen cos 7 Cosseno Desejamos aqui desenvolver uma expressão que forneça o valor de Usando a expressão do cosseno da adição abordada nas aulas anteriores: cos( ) cos( ) cos cos sen sen cos( ) 85

100 Como cos 1 sen e sen 1 cos, observe que podemos reescrever a expressão acima de duas outras formas: cos( ) 1sen e cos( ) cos 1 74 Tangente Desejamos aqui desenvolver uma expressão que forneça o valor de Usando a expressão da tangente da adição abordada nas aulas anteriores: tg tg tg( ) tg( ) 1 tg tg tg( ) 75 Arco Metade Uma consequência direta das fórmulas de arco duplo são as fórmulas de arco metade, ou seja, fórmulas que fornecem os valores de seno, cosseno e tangente de em função de Para isto, vamos analisar as fórmulas de arco duplo efetuando uma troca de variáveis: : Cosseno do Arco Metade: cos( ) cos 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 cos cos 86

101 Seno do Arco Metade: cos( ) 1 sen cos 1 sen 1 cos sen 1 cos sen Tangente do Arco Metade: sen 1 cos tg cos 1 cos 76 Arco Triplo Também podemos recorrer às fórmulas de arco duplo para desenvolvermos as expressões de arco triplo, ou seja, expressões que fornecem as propriedades trigonométricas de em função de : Cosseno do Arco Triplo: cos cos cos cos sen sen 87

102 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos cos sen cos cos (1 cos )cos Seno do Arco Triplo: sen sen sen cos sen cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen (1 sen ) sen (1 sen ) sen Tangente do Arco Triplo: tg tg tg tg 1tg tg tg 1tg tg tg 1 tg 1 tg tg tg (1tg ) 1 tg 1tg tg 1 tg 88

103 77 Consequências O estudo e o desenvolvimento das expressões de arco duplo, arco metade, adição e subtração de arcos também nos trazem outras consequências que estudaremos aqui apenas em caráter de aprofundamento: Se, então: e Como, então,, assim: tg tg tg tg tg 1 tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg Sabendo que tg tg tg tg tg tg, então: tg tg tg tg tg tg tg tgtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg cotg cotg cotg cotg cotg cotg 1 Se, então: e 89

104 Como, então,, assim: tg tg 1 tg tg 1 tg tg tg tg tg tg tg 1 tg tg tg tg tg tg tg tg 1 Multiplicando ambos os lados da expressão por cotg cotg cotg, concluímos diretamente que cotg cotg cotg cotg cotg cotg tg tg tg tg tg tg 1 Note que é evidente que as expressões acima só serão válidas nos casos em que, e possuem suas tangentes e cotangentes definidas Exemplos Resolvidos 1 Calcule cos sabendo que 1 sen e que ; Uma maneira de resolver este problema é inicialmente calcular fundamental: Portanto, cos cos( ) 1 sen cos pela relação Outra forma de resolver o mesmo problema seria recorrer somente à expressão: 7 cos( ) 1 sen

105 Calcule o valor de tg 0' Veja que 0' é a metade de 45, portanto, pela tangente do arco metade, temos: 1 1 cos 45 tg0' 1 cos 45 1 ( ) Porém, como 0' 0;, sua tangente será positiva: Calcule o valor da expressão: Desenvolvendo o produto notável temos: 1 sen cos 1 1 sen 1 tg0' 1 sen cos sen cos 1 sen EXERCÍCIOS 1 (UNESP) Sabendo-se que a função 0 x? 1 f x cos x cos x cos( x) cos x sen x para quais valores de x assume seu valor mínimo no intervalo (UFPE) Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades trigonométricas ( ) para todo x real ( ) ( ) 4 4 sen x cos x sen x cos x, sen x cos x, 4 4 para todo x real tg x cotg x, para x real e senx 91 k x, com k inteiro

106 ( ) ( ) cos x cos x 4cos x, senx y senx y cosx cosy, para todo x real para quaisquer x e y reais (UNICAMP) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura 4 a Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo b) Considerando, agora, a inclinação tal que calcule o valor numérico da expressão cos( ) ( ) sen tan( ) 1/4, com 0 /, 4 (FUVEST) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15 A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, 1 cos Dados: sen 1,7; a) 7 m b) 6 m c) 40 m d) 5 m e) 67 m 5 (INSPER) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala, é 9

107 Se a área do triângulo T 1 é o triplo da área do triângulo T, então o valor de cos é igual a a) 1 6 b) 1 c) d) 1 e) (FUVEST) O número real x, com Então, cos x vale log (1 cos x) log (1 cos x) a) 1 7 (FUVEST) b) c) 7 9 x sen d) x e), satisfaz 10 9 Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão Na figura, os pontos O, P 1 e P representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste O braço tem comprimento 6 e o braço tem comprimento Num dado OP 1 momento, a altura de P é, P está a uma altura menor do que P 1 e a distância de O a P é 10 Sendo Q o pé da perpendicular de P ao plano do chão, P ˆ OQ PP determine a) o seno e o cosseno do ângulo b) a medida do ângulo OPP ˆ 1 entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo POQ ˆ 1 entre o braço 1 entre a reta OP e o plano do chão; OP 1 e o plano do chão 8 (FUVEST) 9

108 No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado mede mede 15 5, o ângulo interno de vértice C mede, e o ângulo interno de vértice B Sabe-se, também, que cos( ) cos 1 0 Nessas condições, calcule a) o valor de sen ; b) o comprimento do lado AC BC 9 (UDESC) A expressão cotg( ) cossec( ) cos( x) sen( x) cos( x) sen( x) a) b) c) cotg( ) d) e) tg( x) x cos ( x) sen( x) sen(4 x) cos( x) sen ( x) sen(4 x) x x pode ser escrita como: 10 (ITA) Seja x 0, tal que de todos os possíveis valores de a) 1 e 0 b) 5 1 e sen( x)cos( x) Então, o produto e a soma 5 são, respectivamente tg( x) c) - 1 e 0 d) 1 e 5 e) 5 1 e - a) 11 (UFT) Se sen e,, 1 4 então o valor de b) 10 c) tg( ) é: d) 1 e) 1 (UEL) Se cos (x) = 1/, então o valor de tan ( x) sec ( x) é: 94

109 a) 1/ b) / c) 1 d) 4/ e) 5/ 1 (FGV) O valor de cos 7 - cos 6 é idêntico ao de a) cos 6 b) - cos 6 c) cos 6 d) - sen 6 e) sen 6 14 A expressão cossec cossec( ) a) 1 sen( ) x b) c) 1 cos( x) d) cosx e) 1 cos( ) sen x cos x x x x é equivalente a: 15 (UFES) Uma pessoa, quando situada a 00 metros de uma torre, avista o topo da torre sob um ângulo em relação à horizontal Quando está a 100 metros da torre, ela avista o topo da torre sob um ângulo O nível dos olhos dessa pessoa está a 1,6 metros da horizontal em que está situada a base da torre a) Determine o valor de b) Determine a altura dessa torre 16 (MACKENZIE) No triângulo ABC temos AB=AC e sen x = igual a: 4 Então cos y é a) 9 16 b) 4 c) 7 9 d) 1 8 e) 16 95

110 17 (FGV) A função f( x) 16sen xcos x a) 16 b) 1 c) 10 d) 8 e) 4 assume valor máximo igual a: a) 18 (ITA) O valor da expressão b) 10 1 tg x 1 tg c) quando cos 7 d) 10 7 e tg 0, é: e) nra a) 19 (ITA) 1 senx 1 senx 1 tg x 1 tg x b) vale: 1 senx 1 senx c) 1 senx 1 senx d) 1 senx 1 senx e) nra a) b) 0 (ITA) Seja D f( x) f( x), definida por n D x x log, n 1,,, para todo x em D para todo x em D c) para todo x em D d) não é constante em D e) nra f ( x) e f( x) sen e cos e f( x) x x sene cose 1 (ITA) A equação x sen(cos x) cos(cos x) 1 a) x 4 b) x 0 c) nenhum valor de x d) todos os valores de x e) todos os valores de x pertencentes ao primeiro quadrante x Com respeito à função, podemos afirmar que: é satisfeita para: (ITA) Se tg( A) 5, então tg A tg A a) b) c)5 d)8 e)10 1 é igual a: 96

111 Capítulo 8 Fatoração Trigonométrica 81 Definição Fatorar uma expressão significa transformar esta expressão em um produto Nesta aula estudaremos algumas fórmulas de fatoração de expressões trigonométricas, também conhecidas como fórmulas de prostaférese Estas expressões são consequência direta das fórmulas de adição e subtração de arcos já estudadas em aulas anteriores: sen( ) sen cos sen cos sen( ) sen cos sen cos cos( ) cos cos sen sen cos( ) cos cos sen sen 8 Fórmulas Dados dois arcos e, denotemos: Somando as duas expressões, temos: p q p q p q 97

112 Subtraindo as duas expressões, temos: p q p q Somando as duas primeiras expressões do item 1, temos: sen( ) sen( ) sen cos Trocando as variáveis: p, q, p q e p q : Subtraindo as duas primeiras expressões do item 1, temos: sen( ) sen( ) sen cos Trocando as variáveis: Somando as duas últimas expressões do item 1, temos: cos( ) cos( ) cos cos Trocando as variáveis: Subtraindo as duas últimas expressões do item 1, temos: 98

113 Trocando as variáveis: cos( ) cos( ) sen sen Utilizando as expressões acima, podemos escrever a soma entre duas tangentes como: sen p senq sen pcos q sen qcos p tgp tgq cos p cosq cos pcos q Utilizando as expressões acima, podemos escrever a diferença entre duas tangentes como: sen p senq sen pcos q sen qcos p tgp tgq cos p cosq cos pcos q Exemplos Resolvidos 1 Fatore sen6 sen Utilizando a fatoração de sen sen x x p q, temos: 6x x 6x x sen6xsenx sen cos 99

114 sen6x senx sen 4 x cos x 7 Calcule o valor de cos cos 8 8 Operando-se inversamente com as fórmulas de fatoração, devemos buscar dois arcos a e b, tais que: a b 7 8 a b 8 Assim temos como: a e b 4 Desta forma, podemos fatorar cos cos 4 cos cos cos 4 cos cos cos cos cos Fatore a expressão: 1 tga Tomando tg45 1, temos: sen 45a 1 tga tg45 tga cos45 cosa 100

115 EXERCÍCIOS 1 (UEL) Se sen x y a) -1 b) senx cosx 1 cos( x) c) é:, onde d) x e) 1 0; então o valor de Se sen50 k, calcule, em função de k, o valor de sen5 cos5 Fatore as expressões: a) sen sen b) cos cos x x x x 4 Fatore sen90 sen5 sen sen x x x 5 Resolva a equação cos cos80 cos40 6 (FUVEST) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz x e x verifica a equação sen sen sen 0 Assim, a) Determine x b) Calcule cos xcosx cosx x x x 7 Os ângulos de um triângulo ABC satisfazem cos cos sen o triangulo ABC é retângulo 8 (ITA) Seja a) a b) P cos xtgx P sen axcos bx c) d) e) nra P sen ax sen bx sen a b P cos a b P sen( a b) xsen( a b) x Temos, então, que: A B C Prove que 101

116 9 (ITA) Resolvendo a equação a) x k, b) c) ln x e k d) e) nra, x k 6 x e k 6, k 0,1,, k 0,1,,, k 0,1,, k 0,1,, tgln x tg ln x 0 6 temos: 10

117 Capítulo 9 Equações e Inequações Trigonométricas 91 Introdução Em aulas anteriores já tratamos do conceito de equações trigonométricas em intervalos restritos e também em ; neste módulo abordaremos de novo este conceito, adicionando também as inequações trigonométricas 9 Equações trigonométricas Exemplos Resolvidos 1 Resolva a equação sen x 0 Este problema será abordado de duas formas: Sabemos que um seno é igual a zero nos arcos da forma k, com k : Neste problema devemos ter:, com Usando a expressão do arco duplo para o seno a equação se transforma em: sen xcos x 0 10

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α

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