LISTA DE RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA

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1 LISTA DE RECUPERAÇÃO Professor: ARGENTINO RECUPERAÇÃO: O ANO DATA: 0 / 06 / (Unesp 01) O gol que Pelé não fez MATEMÁTICA Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (0 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro. Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé. Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 0 com a horizontal (sen0 = 0,50 e cos0 = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de a) 5,0. b) 64,5. c) 76,5. d) 80,4. e) 86,6.. (Fuvest 01) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 75 a.c. e 195 a.c. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; π =. ) a) junho; 7. b) dezembro; 7. c) junho;. d) dezembro;. e) junho; 0,. 1

2 . (G1 - ifsc 015) Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus Florianópolis do IFSC, pede para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas instalações da instituição, porém há uma impossibilidade para se chegar tanto ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para os alunos uma trena (fita métrica) e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que é de 60 (sessenta graus); em seguida, afastando-se 10m (dez metros) em linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se novamente o ângulo entre o topo do poste e o solo, que é de 0 (trinta graus). A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é CORRETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente: Dados: sen0 = 0,5; cos 0 = 0,86; tg0 = 0,58 sen60 = 0, 86; cos 60 = 0,5; tg60 = 1,7 a) 8, 65 m b) 5m c) 6, 65 m d) 7, 65 m e) 4m 4. (Unesp 015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 m e PA = 1, m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB µ igual 60. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D. Nas condições descritas e adotando 1,7, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a),4. b),08. c),8. d),00. e),56.

3 5. (G1 - cftmg 015) Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 0 formado com a horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda m em direção à base da parreira e olha para as uvas sob um ângulo de 60, como mostra a figura abaixo. Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, é a) 1, 0 b) 1, 5 c) 1, 7 d), 4 6. (Ufsm 015) Cerca de 4,% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmhg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por 8π P(t) = 100 0cos t onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco. Analise as afirmativas: I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. II. A pressão em t = segundos é de 110mmHg. III. A amplitude da função P(t) é de 0mmHg. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 7. (Espcex (Aman) 015) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no t período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão P(t) = 10 cos π em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. b) a população atinge seu máximo em t = 6. c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. d) a população média anual é de animais. e) a população atinge seu mínimo em t = 4 com animais.

4 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões). O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de ver apresentações de vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e muito mais. Mas antes que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo. A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a sequência de figuras. Nas figuras, considere que: - foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão; - cada estaca tem 4m acima do solo; - as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono regular; - os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 1m de comprimento; - para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45 com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida; - no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical; - do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida; - na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e - em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15m. 8. (G1 - cps 015) A quantidade de cabo utilizada para imobilizar as oito estacas, é, em metros, Para o cálculo, considere apenas a quantidade de cabo do topo de cada estaca até o solo. Despreze as amarras. a) 16. b) 4. c). d) 40. e) (Upe 014) Um relógio quebrou e está marcando a hora representada a seguir: 4

5 Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale a 9 8 da velocidade do ponteiro maior. Depois de quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande? a),0 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 9,5 10. (Unifor 014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a reta s que liga os dois centros. Pode-se concluir que cos α a) b) c) d) e) 11. (Unifor 014) Uma rampa retangular, medindo 10 m, faz um ângulo de 5 em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura. Considerando que cos 5 0,9, a área A tem aproximadamente: a) b) c) m 4m 6m 5

6 d) e) 8m 9m 1. (Ufg 014) Em uma escola de mergulho, situada em uma região ao nível do mar, existe um tanque para treinamento, preenchido completamente com água, cuja descida é feita por meio de uma rampa, como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que a pressão na região mais profunda é de, atm, o valor da tangente do ângulo θ é: Dados: ρ = 1g / cm água 5 1atm = 1 10 N / m e g = 10m / s a) /5 b) /4 c) 10/11 d) 4/ e) 5/ 1. (G1 - cftmg 014) Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto B, como mostra a figura. A distância, em metros, percorrida pela formiga é a) 1+. b) +. c) 5+. d) (Unifor 014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer. 6

7 A altura y que a cama varia em função de θ é de: a) y = senθ b) y = senθ + c) y = tgθ + d) y = cosθ e) y = cosθ (Unifor 014) Uma pessoa está a 80 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 0, como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede o ângulo está a 1, 6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80, b) 81,6 c) 8,0 d) 8,5 e) 8, 16. (Upe 014) A figura a seguir representa o campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio do campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol. Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas zonas centrais, conforme o esquema a seguir: 7

8 Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de altura entre os pontos A e B, representados no desenho do campo? a) 15,90 cm b) 6,50 cm c) 9,00 cm d) 4,00 cm e) 5,00 cm 17. (Uel 014) Analise a figura a seguir. A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,%. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 0 1 c) + 0 d) 401 e) 1 4, (Uepa 014) Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.c. na Índia, encontramos uma tabela meias-cordas, representado na figura abaixo. Essas meias-cordas representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 165), que utilizou um círculo de raio 60. Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 008. Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de θ = 45 é: a) 0. 8

9 b) 15. c) 15. d). e) (G1 - cps 014) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de metros acima do nível do mar. O teleférico sai da estação de Barinitas, a metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 1,5 km, atinge o topo do Pico Espejo. Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura. Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é Utilize: medida do ângulo seno cosseno tangente 11º 0,191 0,98 0,194 15º 0,59 0,966 0,68 18º 0,09 0,951 0,5 º 0,75 0,97 0, ,4 0,906 0,467 a) 11. b) 15. c) 18. d). e) (Espcex (Aman) 014) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de π rad para o ângulo ˆ ACB. 9

10 Qual foi a largura do rio que ele encontrou? a) 9 metros b) metros c) 9 metros d) metros e) 4,5 metros 1. (Uneb 014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical. Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 5m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80. Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10 = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a a) 50 b) 5 c) 54 d) 56 e) 58. (G1 - ifsp 014) Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada encontrada em Brazlândia DF, conforme a figura. Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte: - todos os triângulos são retângulos; - cada triângulo possui um ângulo de 0 ; e - a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm. Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem, em cm, a) 5 e 5. b) 5 e 5. c) 5 e 50. d) 50 e 50. e) 50 e 50.. (Unesp 014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. 10

11 Usando a aproximação π =, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a). b) 1. c) 4. d) 9. e) (Acafe 014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os πt π dados foram representados pela função periódica T(t) = 4 + cos +, 6 em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em C) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente: a) 6h, 5,5 C e 10h. b) 1h, 7 C e 10h. c) 1h, 7 C e 15h. d) 6h, 5,5 C e 15h. 5. (Ucs 014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em C, possa ser expressa, em função do π(t 105) tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por T(t) = sen. 64 Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março. 6. (Ufsm 014) Para melhorar as condições de acessibilidade a uma clínica médica, foi construída uma rampa conforme indicado na figura. O comprimento horizontal c da rampa, em metros, pode ser expresso por a) 4 (. ) b) 8. c) 8. d) 4 ( +. ) 11

12 e) (Ufpr 014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105 em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) km. 8. (Enem 01) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,6 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m. b) entre 100m e 00m. c) entre 00m e 500m. d) entre 500m e 700m. e) maior que 700m. 9. (Ufrn 01) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. 1

13 Sabendo que cada batente tem 0 cm de altura e 0 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo 9 a) 10 b) c) 9 0 d) 1 ˆ CAD mede: 0. (Fgv 01) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4+ b) 4+ c) 6 d) 4+ 5 e) ( + ) 1. (Insper 01) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P). 1

14 O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo BPQ. ˆ Em seguida, transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões 1 1 a) x = senα e y = cos α. r r b) x = r cosα e y = r sen α. c) x = r senα e y = r cos α. d) x = r cosα e y = r sen α. e) 1 x = senα e r 1 y = cos α. r. (Unesp 01) A caçamba de um caminhão basculante tem m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1, m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura. Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8. b) 5,0. c),8. d) 4,4. e) 4,0.. (Ufsj 01) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 0 com a horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45 se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão. 14

15 Sabendo que a distância entre os prédios é igual a ( ) metros de largura, assinale a alternativa que contém a altura da escada, em metros. a) 5 b) 5 c) 10 d) (Udesc 01) No site (acesso em: /06/01), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1. Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 0, conforme mostra a Figura. Considerando tg(0º ) 0,6, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1. Tipo de Semáforo D H Coluna simples?,4 Projetado sobre a via 1,1? Tabela 1 Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa. ( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. ( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4, m. 15

16 ( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente,1 m maior que a altura H do semáforo de coluna simples. Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. a) F V V b) V F V c) F V F d) V V F e) F F V 5. (G1 - cftmg 01) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: α sen α 1/ / / cos α / / 1/ tg α / 1 Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por a) 1 AC. b) 1 AC. c) AC. d) AC. 6. (Unicamp 01) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15. A,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a),8 tan (15 ) km. b),8 sen (15 ) km. c),8 cos (15 ) km. d),8 sec (15 ) km. 7. (Ufpr 01) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 0 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? 16

17 a) 75. b) 60. c) 45. d) 0. e) (G1 - utfpr 01) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1, m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 0 é, em metros, de: 1 (Considere: sen 0 =, cos 0 = e tg 0 = ) a) 0,8. b),4. c) 1,. d) 0,6. e) 0,6. 9. (Uerj 01) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa. Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h,h 1 e h, conclui-se que h1+ hé igual a: a) h b) h c) h d) h 40. (Espcex (Aman) 01) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por: 17

18 ( ) sen αh a) R = 1 sen α hsenα b) R = 1 sen α hsen c) R α = sen α 1 1 senα d) R = hsen α 1+ senα e) R = hsen α 41. (Ufg 01) As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 16 40', enquanto a latitude de Curitiba é de 5 5'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do equador medindo, aproximadamente, km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano, a) é menor que 700. b) fica entre 700 e 800. c) fica entre 800 e 900. d) fica entre 900 e e) é maior que (G1 - cftmg 01) Se o relógio da figura marca 8 h e 5 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 1 0. b) 90. c) d) (Uel 01) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 670 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1 0 Sul e longitude 48 0 Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48 0 Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km. π a) D =

19 π b) D = ( 670) 18 π c) D = π d) D= π e) D = (Fgv 01) O relógio indicado na figura marca 6 horas e a) b) c) d) e) minutos minutos minutos minutos minutos. 45. (Unioeste 01) Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60 πx unidades. A função que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é f(x) = 0 cos + 1, 0 sendo que x é o dia do mês (considerando o mês comercial de 0 dias) e f(x) é o estoque ao final do dia x. Nos termos apresentados, é correto afirmar que a) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido. b) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês. c) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi vendido. d) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de violas. e) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade do estoque do dia anterior. 46. (Ufrgs 01) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é a). b) +. c) 4. d) +. e) (Unicamp 01) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo CAB ˆ = 0. Portanto, o comprimento do segmento CE é: 19

20 a) b) 5 a 8 a 7 c) a d) a 48. (Ufsm 01) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),16. d),50. e) 4, (Unesp 01) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. 0

21 Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) b) c) 80 6 d) e) 80 7 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. mês jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez temperatura média mensal (graus Celsius) bolas de sorvete (Insper 01) O dono do restaurante percebeu que a temperatura média mensal afeta não apenas a venda de sorvetes, mas o movimento de seu restaurante como um todo. Ele contratou os serviços de uma consultoria especializada em metereologia, que lhe forneceu uma série de fórmulas para prever as temperaturas, dentre elas uma expressão do tipo T(x) = A + f(bx + C), em que A, B e C são coeficientes que devem ser atualizados no início de cada ano. Abaixo dessa fórmula, havia uma observação, informando que a função f deveria modelar as subidas e descidas periódicas da temperatura ao longo do ano. Das funções a seguir, a única que poderia representar f de modo a conferir-lhe essa propriedade é a) sen (x). b) log (x). c) x. d) x. e) x. 1

22 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Dados: v 0 = 0 m/s; θ = 0 ; sen 0 = 0,50 e cos 0 = 0,85 e t = s. A componente horizontal da velocidade (v 0x ) mantém-se constante. O alcance horizontal (A) é dado por: A = v0x t A = v0 cos0 t A = 0( 0,85)( ) A = 76,5 m. Resposta da questão : [A] [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia] Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto: θ = = 7, 7500 A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 1 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática] Considere a figura. Como os raios solares são paralelos, segue que µ AOB =θ e, portanto,

23 ªAB θ= OA 900 = 7500 = 0,1rad 0,1 180 = 7,. Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho. Resposta da questão : [A] O triângulo ABC é isósceles, logo AD = 10m. No triângulo ACD, temos: H sen60 = H = 10 sen60 = 10 0,86 = 8,60cm 100 Portanto, a alternativa correta é [A]. Resposta da questão 4: [A] Vamos supor que PTB µ DTC. µ Assim, do triângulo BPT, vem µ BP 1,5 tgptb = BT m. BT 1, 7 Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos µ CD,7 tgctd = CT. CT 1,7 Em consequência, segue que o resultado pedido é 4, BT + CT,4 m. 1, 7 Resposta da questão 5: [B]

24 No triângulo ADB, temos x+ 0 = 60 x = 0 DB = m h No triângulo BDC sen60 = h = sen60 h = = 1,5m Resposta: 1,5m. Resposta da questão 6: [B] [I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos: π = =, em minutos basta P () = cos π multiplicar por 60, o que resulta em 80 batimentos por π 4 8π minuto. [II] Verdadeira. Pois 8π P() = cos = 16π = cos = 4π = cos π + = 1 = = = 110mmHg. [III] Falsa. A amplitude da função é de 0mmHg. Resposta da questão 7: [A] Construindo o gráfico da função, temos: 4

25 De acordo com o gráfico, o período chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres. Resposta da questão 8: [C] A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos 4m mede 4 m. Portanto, o resultado é 84 = m. Resposta da questão 9: [B] Seja ω a velocidade do ponteiro maior. 9 A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por α = ω t, enquanto que a posição do ponteiro maior é igual a β= π+ ωt. 8 Logo, para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior, deve-se ter 9 α = β ω t = π+ ω t 8 ωt = 8 π. Portanto, o resultado pedido é 8 π 4. π = Resposta da questão 10: [D] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro : [D] Considere a figura. Sabendo que AP = R e AB = R, do Teorema de Pitágoras, vem AP = AB + PB (R) = R + PB PB = R. 5

26 Em consequência, temos PB R cosα = cosα = AP R cos α =. Resposta da questão 11: [E] Tem-se que x y = 10m. Logo, como z= y cos5 e A = x z, segue-se que A = x y cos5 10 0,9 = 9m. Resposta da questão 1: [B] P = pressão na parte mais funda P atm = pressão atmosférica d = densidade g = gravidade h = profundidade P = P + d g h atm 5 5, 10 = h 5 4 1, 10 = 10 h h = 1 Logo, pelo teorema Pitágoras: 1 Logo, tg θ = = Resposta da questão 1: [D] x + h = 0 x = 16 6

27 Calculando x e y nos triângulos assinalados. o 1 sen0 = = x = 4 x x o 1 1 tg0 = = y = y y Logo, a distância percorrida pela formiga é: + x+ 1+ y+ = = (7+ )m Resposta da questão 14: [D] Considere a figura. Supondo DAB µ = 90, temos α = 90 θ. Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem BC senα = y = sen α. AB Mas senα = sen(90 θ) = cosθ e, portanto, y = cos θ. Resposta da questão 15: [B] Seja h a altura do prédio. Logo, segue que 7

28 h 1,6 tg0 = h 1,6 = h = 81,6m. Resposta da questão 16: [B] Se a diferença de altura entre A e B é de 0,5%, então o resultado pedido é dado por 0,005 5 = 0,65 m = 6,5cm. Resposta da questão 17: [D] Rampa com inclinação de 5% : 1 5 = x = 0m. x 100 Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: d = d= 401 m Logo, a diferença pedida é de ( 401 )m. Resposta da questão 18: [A] Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 60, ou seja, x sen45 = x = 60 = Resposta da questão 19: [B] Na figura temos:,188 senθ = = 0, ,500 De acordo com a tabela dada a medida aproximada de q é 15. Resposta da questão 0: [A] 8

29 x tg60 = x = 9 tg60 = 9 m. 9 Resposta da questão 1: [A] o tg10 = x = x = 50m. x 0,176 Resposta da questão : [D] 1 y = 100 sen0 = 100 = 50 x = 100 cos0 = 100 = 50 Resposta da questão : [B] 9

30 Cada minuto do relógio corresponde a 6 o, portanto, α = = 66. Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 0, temos: 60min 0 54min β Logo, β = 7, portanto o arco pedido mede = 9. Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 9, temos: 9 π 0 = 1 cm (considerando, π = ) 60 Resposta da questão 4: [C] O período da função é dado por π 1 h. π = 6 πt π A temperatura máxima ocorre quando cos + 6 atinge seu valor máximo, ou seja, quando πt π cos + = 1. 6 Logo, tem-se que o resultado é Tmáx = 4+ 1= 7 C. Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem πt π cos + = 1. 6 Assim, πt π πt π cos + 1 cos cos0 6 = + 6 = πt π + = 0+ kπ 6 t = 1k,k. Tomando k = 1, segue-se que t = 10h e, portanto, o horário em que ocorreu essa temperatura máxima foi às 5+ 10= 15h. Resposta da questão 5: [A] A temperatura média máxima ocorre quando π(t 105) π(t 105) π sen 1 sen sen 64 = 64 = π(t 105) π = + kπ 64 t 105 = k t = k,k. Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho. Resposta da questão 6: [E] Calculando o cos15 através da fórmula do arco duplo, temos: 0

31 1 cos 15 cos0 = cos 15 sen 15 = cos 15 (1 cos 15 ) = cos cos 15 + = cos 15 = cos15 = No triângulo da figura, temos: ( ) c + cos15 = c = 16 cos15 c = 16 c = 8 + m. 16 Resposta da questão 7: [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N 1 ) terá percorrido 16 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura: Sendo d a distância entre os navios, temos: o d = cos 60 1 d = d = 196 d = 14km Resposta da questão 8: [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 1

32 Do triângulo ABC, obtemos µ BC BC tgb A C = tg15 = AB 114 BC 114 0,6 BC 9,64 m. Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a BC = (9,64) 878,5 m. Resposta da questão 9: [B] Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos AB = 8 0 = 40cm, BC = 6 0 = 180cm e CD = (8 + 6) 0 = 80cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos AC = AB + BC AC = AC = 00 cm. Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem µ CD tgcad = = =. AC Resposta da questão 0: [B] Como EF = FA = AQ = QC = 1dm, basta calcularmos CE. Sabendo que CDE µ = 10 e CD = DE = 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos

33 CE = CD + DE CD DE coscde µ 1 = =. Portanto, CE = dm e o resultado pedido é EF + FA + AQ + QC + CE = (4 + )dm. Resposta da questão 1: [D] Considere a figura. É imediato que x cos α= x = r cos α r e y senα= y = r sen α. r Resposta da questão : [C] Considere a figura. Sabendo que cosα = 0,8 e sen α+ cos α = 1, obtemos senα= 0,6. Logo, do triângulo QNS, vem QS senα = QS = 0,6 = 1,8 m. NQ Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos

34 MP cosα = MP = 0,8 1 = 0,8 m. PQ Assim, o resultado pedido é dado por MP + QS + ST = 0,8 + 1,8 + 1, =,8 m. Resposta da questão : [D] Considerando x a altura da escada, temos: x cos0 + x cos 45 = x + = 5( + ) x = 10m Resposta da questão 4: [B] Para o semáforo de coluna simples, temos H + 1 1,5,4 0,5 tg0 = D + 1,5 D + 1,5 0,6 D 5,97 1,5 D 4,5m. Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem H + 1 1,5 H 0,5 tg0 = 0,6 D + 1,5 1,1 + 1,5 H 0,5 5,6 H 5,5m. Por conseguinte, como 5,5,4 =,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente,1m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples. Resposta da questão 5: [C] 4

35 No triângulo ABC, assinalado na figura, temos: AB AC sen60 = AB = AC sen60 AB = AC Resposta da questão 6: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro. h tan 15 = h =,8 tg 15,8 Resposta da questão 7: [D] 5 senα = α = 0 10 Resposta da questão 8: [B] No triângulo assinalado, temos: 5

36 o 1, 1 1, sen0 = = x =,4 x x Resposta da questão 9: [D] Como sen15 = sen(45 0 ) Então: = sen45 cos0 sen0 cos45 1 = = 6 4 h1 a( 6 ) sen15 = h 1 =. a 4 Além disso, sen45 = h h a = a Então: a( 6 ) a h1+ h = + 4 Por outro lado, a( 6 + ) =. 4 sen75 = sen( ) Então: = sen45 cos0 + sen0 cos45 1 = + = h a( 6 + ) sen75 = h =. a 4 Portanto, h1+ h = h. Resposta da questão 40: [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. 6

37 Como AB é tangente à esfera, segue que OB OB R senα = senα = AO h + R R = hsenα + Rsenα R Rsenα = hsenα R(1 sen α) = hsenα hsenα R =. 1 senα Resposta da questão 41: [D] AB. Além disso, AO = h + R e OB = R. Portanto, do triângulo AOB, obtemos α = 5 5' 16 40' = 8 45' = 8, km 8,75 x Resolvendo a proporção, temos: x Resposta da questão 4: [C] = 97,km. O deslocamento do ponteiro das horas, em 5 minutos, é igual a 5 = 1 0'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8 mede 0 = 90, segue que x = ' = 10 0'. Resposta da questão 4: [A] O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é 7

38 π 1 0' 1 0' = 0 rad 180 π = rad. 9 Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.70 km, vem π D = 670km. 9 Resposta da questão 44: [C] Seja 6 horas e x minutos a hora marcada no relógio. 0 α O ângulo α, percorrido pelo ponteiro das horas em x = 55+ minutos, é tal que 6 0 α α α = α = α = 60 Portanto, x 60 α = x = 1 70 x = 1 5 x = Resposta da questão 45: [C] 60 α =. 1 [A] Falsa, pois [B] Falsa, pois π;0 f(0) = 0 cos + 1 = 0( 1+ 1) = 0. 0 π;10 1 f(10) = 0 cos + 1 = = [C] Verdadeira, pois π;15 f(15) = cos + 1 = 0(0 + 1) = 0. 0 [D] Falsa, pois f(0) = 0. [E] Falsa, pois os únicos valores inteiros são de f(x) são f(0), f(10) e f(15). Resposta da questão 46: [C] Considere a figura. 8

39 Como AB = AD = 4 u.c. e BAD µ = 0, pela Lei dos Cossenos, obtemos BD = AB + AD AB AD cosbad µ Portanto, = = BD = 4 u.c. Resposta da questão 47: [C] 9

40 a a a No ΔCMB : cos0 = = x = x x a a a No ΔENB : cos0 = = y = y y CBE ˆ = = 10 Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE = x + y.x.y.cos10 4a a a a 1 CE = + 5a a CE = + 7a CE = CE = a. 7 Resposta da questão 48: [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC = AC + AB AC AB cosbac µ = (0,8) + 1 0,8 1 cos150 = 0, ,8 1,64 + 0,8 1,7. Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1+ 0,8+ 1,7 =,5. Resposta da questão 49: [B] Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC $ = 60 e CPG $ = 90, vem SPG $ = 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG = SP + PG SP PG cosspg $ = cos150 = = 6400 (5 + ) Portanto, SG = km. Resposta da questão 50: 40

41 [A] Das funções dadas, a única que poderia representar f de modo a conferir-lhe essa propriedade é sen(x), pois apresenta máximos e mínimos periódicos. 41