Pêndulo simples

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1 Pêndulo simples 1 - (UEM) Suponha que um pequeno corpo, de massa m, esteja preso na extremidade de um fio de peso desprezível, cujo comprimento é L, oscilando com pequena amplitude, em um plano vertical, como mostra a figura a seguir. Esse dispositivo constitui um pêndulo simples que executa um movimento harmônico simples. Verifica-se que o corpo, saindo de B, desloca-se até B' e retorna a B, 20 vezes em 10 s. Assinale o que for correto. (01) O período deste pêndulo é 2,0 s. (02) A freqüência de oscilação do pêndulo é 0,5 Hz. (04) Se o comprimento do fio L for 4 vezes maior, o período do pêndulo será dobrado. (08) Se a massa do corpo suspenso for triplicada, sua freqüência ficará multiplicada por 3. (16) Se o valor local de g for 4 vezes maior, a freqüência do pêndulo será duas vezes menor. (32) Se a amplitude do pêndulo for reduzida à metade, seu período não modificará. A soma das verdadeiras é? 2 - (UNIFESP-SP) Um estudante faz o estudo experimental de um movimento harmônico simples (MHS) com um cronômetro e um pêndulo simples como o da figura, adotando o referencial nela representado. Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro marca t = 30 s.

2 a) Determine o período (T) e a freqüência (f) do movimento desse pêndulo. b) Esboce o gráfico x (posição) t (tempo) desse movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere desprezível a influência de forças resistivas. 3 - (UFPR) Uma criança de massa 30,0 kg é colocada em um balanço cuja haste rígida tem comprimento de 2,50 m. Ela é solta de uma altura de 1,00 m acima do solo, conforme a figura abaixo. Supondo que a criança não se auto-impulsione, podemos considerar o sistema "criança-balanço" como um pêndulo simples. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar: (considere g= 10m/s 2 ) (01) O intervalo de tempo para que a criança complete uma oscilação é de π s. (02) A energia potencial da criança no ponto mais alto em relação ao solo é de 150 J. (04) A velocidade da criança no ponto mais próximo do solo é menor que 4,00 m/s. (08) Se a massa da criança fosse maior, o tempo necessário para completar uma oscilação diminuiria. (16) A freqüência de oscilação da criança depende da altura da qual ela é solta. A soma das verdadeiras é? 4 - (UNICAMP-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considere que o período desse relógio é dado por: Onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade, pergunta-se: a) Este relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino? b) Se o relógio for transportado do nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará ou adiantará? Justifique suas respostas...

3 5 - (UFRS) A figura a seguir representa seis pêndulos simples, que estão oscilando num mesmo local. O pêndulo P executa uma oscilação completa em 2 s. Qual dos outros pêndulos executa uma oscilação completa em 1 s? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 6 - (FUVEST-SP) O pêndulo de Foucault popularizado pela famosa obra de Umberto Eco consistia de uma esfera de 28kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte expressão: a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos. b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos sua massa? (Adote g=10m/s 2 e 10=π) 7 - (ITA) Um pêndulo simples oscila com um período de 2s. Se cravarmos um pino a uma distância 3L/4 do ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele ponto, como mostrado na figura, qual será o novo período do pêndulo?

4 8 - (UFRS) Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado para a) 1 L. b) 2 L. c) 4 L. d) 5 L. e) 7 L. 9 - (UFU) Em um laboratório de Física, um grupo de alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela a seguir, para a freqüência (em hertz) num experimento de Pêndulo Simples, utilizando-se três pêndulos diferentes. Esses resultados foram passados para um segundo grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os integrantes desse grupo formularam uma série de hipóteses para interpretar os resultados. Assinale a ÚNICA hipótese correta. a) A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa do pêndulo 3. b) A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa do pêndulo 3.

5 c) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que o comprimento do pêndulo 3. d) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que o comprimento do pêndulo (UFES) Um pêndulo, formado por uma massa presa a uma haste rígida e de massa desprezível, é posto para oscilar com amplitude angular θo. Durante a oscilação, no exato instante em que a massa atinge a altura máxima, como mostrado na figura, a ligação entre a haste e a massa se rompe. No instante imediatamente após o rompimento, os vetores que melhor representam a velocidade e a aceleração da massa são: 11 - (UNESP-SP) Um estudante pretendia apresentar um relógio de pêndulo numa feira de ciências com um mostrador de 5 cm de altura, como mostra a figura. Sabendo-se que, para pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples, é dado pela expressão T = 2π L/g, pede-se: Se o pêndulo for pendurado no ponto O e tiver um período de 0,8 segundos, qual deveria ser a altura mínima do relógio? Para facilitar seus cálculos, admita g=π 2 m/s 2. b) se o período do pêndulo fosse de 5 segundos, haveria algum inconveniente? Justifique (ITA) Dois pêndulos de comprimento L1 e L2 conforme a figura, oscilam de tal modo que os dois bulbos de encontram sempre que são decorridos 6 períodos do pêndulo menor e 4 períodos do pêndulo maior. A relação L2/L1 deve ser:

6 a) 9/4 b) 3/2 c) 2 d) 4/9 e) 2/ (Mackenzie-SP) Comenta-se que o célebre físico e matemático Galileu Galilei, ao observar a oscilação do lampadário da catedral de Pisa, na Itália, concluiu tratar-se de um movimento periódico, semelhante ao que hoje chamaríamos de pêndulo simples. Para tal conclusão, teria medido o período do movimento, utilizando, como unidade de medida para o tempo, seu próprio batimento cardíaco. Se considerarmos um grande pêndulo simples, de comprimento 10 m, oscilando num local ondeg=10m/s 2, e que a freqüência dos batimentos cardíacos é de 86 batidas por minuto, o período do movimento desse pêndulo será de aproximadamente: a) 3 batidas. b) 6 batidas. c) 9 batidas. d) 12 batidas. e) 15 batidas 14 - (UFAL-AL-010) Um relógio de pêndulo é construído tal que o seu pêndulo realize 3600 oscilações completas a cada hora. O relógio está descalibrado, de modo que o pêndulo oscila em um movimento harmônico simples de frequência angular igual a 5π/2 rad/s. Nessa situação, ao final de 3600 oscilações completas do pêndulo terão se passado: a) 32 min b) 45 min c) 48 min d) 52 min e) 56 min 15 - (UFOP-MG-010) Dois sistemas oscilantes, um bloco pendurado em uma mola vertical e um pêndulo simples, são preparados na Terra de tal forma que possuam o mesmo período. Se os dois osciladores forem levados para a Estação Espacial Internacional (ISS), como se comportarão os seus períodos nesse ambiente de microgravidade?

7 a) Os períodos de ambos os osciladores se manterão os mesmos de quando estavam na Terra. b) O período do bloco pendurado na mola não sofrerá alteração, já o período do pêndulo deixará de ser o mesmo. c) O período do pêndulo será o mesmo, no entanto o período do bloco pendurado na mola será alterado. d) Os períodos de ambos os osciladores sofrerão modificação em relação a quando estavam na Terra (FGV-SP-011) Na Terra, o período de oscilação de um pêndulo, isto é, o tempo que ele demanda para completar um ciclo completo, corresponde, com boa aproximação, à raiz quadrada do quádruplo do comprimento do pêndulo. O pêndulo de um carrilhão, ao oscilar, bate o segundo e é constituído por uma fina haste de aço de massa desprezível, unida a um grande disco de bronze, que guarda em seu centro o centro de massa do conjunto haste-disco. Suponha que a 20ºC, o centro de massa do conjunto esteja a 1 metro do eixo de oscilação, condição que faz o mecanismo funcionar com exatidão na medida do tempo. Considerando que o coeficiente de dilatação linear do aço é ºC -1 e supondo que o centro de massa da haste-disco se mantenha sempre no centro do disco se a temperatura do conjunto haste-disco subir 10ºC, a medida do tempo, correspondente a meio ciclo de oscilação do pêndulo, se tornará a) 1,0001 s, fazendo com que o relógio adiante. b) 2,0002 s, fazendo com que o relógio adiante. c) 1,0001 s, fazendo com que o relógio atrase. d) 2,0002 s, fazendo com que o relógio atrase. e) 3,0003 s, fazendo com que o relógio atrase (UEPG-PR-011) Pêndulo simples é um sistema físico constituído por uma partícula material, presa na extremidade de um fio ideal capaz de se mover, sem atrito, em torno de um eixo que passa pela outra extremidade. Sobre esse sistema físico, assinale o que for correto. (01) O período de um pêndulo simples é proporcional à aceleração da gravidade local. (02) Quadruplicando o comprimento de um pêndulo simples seu período também quadruplica. (04) A energia mecânica total de um pêndulo simples é constante e inversamente proporcional ao quadrado da amplitude. (08) Quando afastado de sua posição de equilíbrio e abandonado, o pêndulo simples oscila em um plano vertical por influência da gravidade. (16) O pêndulo fornece um método muito cômodo para medir a aceleração da gravidade de um lugar qualquer. A soma das verdadeiras é?

8 18 - (ITA-SP-010) Um relógio tem um pêndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pendulo de 1 mm a cada rotação completa à direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotação completa à esquerda. Se o relógio atrasa um minuto por dia, indique o número aproximado de rotações da porca e sua direção necessários para que ele funcione corretamente. a) 1 rotação à esquerda b) 1/2 rotação à esquerda c) 1/2 rotação à direita d) 1 rotação à direita e) 1 e 1/2 rotações à direita (UFB-BA-012) Em função da regularidade do movimento do pêndulo simples, com pequenas oscilações, foi possível construir os chamados relógios de pêndulo, que foram desenvolvidos para funcionar, com precisão razoável, nas regiões localizadas ao nível do mar, a uma certa temperatura. Sabe-se que um homem que morava no topo de uma montanha muito alta e muito fria, comprou um relógio de pêndulo e notou, ao longo do tempo, que ele não funcionava adequadamente. Com base nessa informação e nos conhecimentos de Física, identifique os fatores responsáveis pelo mau funcionamento desse relógio e indique a condição necessária para que ele funcione bem tanto ao nível do mar quanto em grandes alturas; calcule o coeficiente de dilatação térmica da haste do pêndulo para que a condição necessária seja restabelecida. Lo/go = Lh/gh --- Lo/Lh =gh/go --- comprimento ao nível do mar (Lo) --- comprimento na altitude h (Lh=Lo(1 + α. t) --- Lo/[(Lo(1 + α. t)] = go/gh --- 1/(1 + α. t) = go/gh -- - go + go.α. t = gh --- α = (gh go)/go. t.

9 Gabarito 1 - (01) Falsa vezes s 20T = T = 10/ T = 1/2 s 1 vez --- T (02) Falsa --- f = 1/T --- f =1/1/2 --- f = 2 Hz (04) Verdadeira --- T = 2π L/g --- Observe que T é diretamente proporcional à raiz quadrada de L. (08) Falsa --- Observe na equação T = 2π L/g que o período T independe da massa m (16) Falsa --- Observe que o período T é inversamente proporcional à raiz quadrada de g e consequentemente diretamente proporcional à freqüência, pois f = 1/T. (32) Verdadeira --- Observe na equação T = 2π L/g que o período T independe da amplitude A Soma (04 +32) = a) 20 vezes s 20T= T = 1,5s f=1/t --- f=1/1,5 --- f = 0,67Hz 1 vez --- T b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o gráfico senoidal a seguir. 3 - (01) Verdadeira --- T = 2π L/g --- T = 2π 2,5/ T = 2π.0,5 --- T = π s (02) Falsa --- ponto mais alto h=1m --- Ep=mgh --- Ep= Ep=300J 04) Falsa --- A energia mecânica é constante e vale 300J (vide 2). No ponto mais baixo --- Em = Ec + Ep = mv 2 /2 + mgh = 30V 2 / ,5 --- V = 150/ V = 10 m/s (08) Falsa. Num pêndulo simples o período T de oscilação independe da massa m. (16) Falsa. O período independe da altura (amplitude A). Soma ( ) = a) Como o comprimento do pêndulo aumenta, pois ele se dilata devido à elevação da temperatura e como raiz quadrada de L é diretamente proporcional à T, o período aumentará e o relógio atrasará.

10 b) Sendo T inversamente proporcional a g e como g diminui (glua < gterra), o período aumentará e o relógio atrasará 5 - O V, pois sendo T diretamente proporcional a L (L=comprimento do fio), para T cair pela metade (de 2s para 1s), L deverá ser 4 vezes menor (100/4=25) 6 - a) T = 2π 67/ T =2π 67/ T = 2π8/π --- T =16s b) Permaneceria o mesmo, pois o período do pêndulo simples não depende da massa pendular. 7 - R: Comprimento L --- T=2s Comprimento L/4 --- T =2π L/4 / g --- T =2π L/g.1/2 --- T =T/2 --- T =2/ T =1s Observe na figura abaixo que o período (tempo que demora para ir e voltar) entre A e B é T/2=2/2=1s e que o período entre B e C é T /2=1/2=0,5s Assim, L demora 0,5s para ir de A até B; L/4 demora 0,25s para ir de B a C; L/4 demora 0,25s para ir de C a B e L demora 0,5s para ir de B a A. Portanto o período pedido é 1 + 0,5 = 1,5s 8 R.: C 9 - Sendo f = 1/T --- T3 > T2 > T1 --- como o local é o mesmo, g é a mesma e como T é diretamente proporcional a L -- L3 > L2 > L1 R.: D

11 10 R.:E 11 - a) T=2π L/g --- 0,8= 2π L/g --- (0,8) 2 = 4.π 2.L/g --- 0,64=4g.L/g -- - L=0,16m=16cm --- h= = 21 cm b) ) T=2π L/g --- 5= 2π L/g --- (5) 2 = 4.π 2.L/g =4g.L/g --- L=6,25m -- - h=6,25 + 0,25 = 6,5m Sim, o relógio teria de ter mais que 6,5 m 12-6T1 = 4T π L1/g = 4. 2π L2/g --- L2/L1 = 6/4 --- ( L2/L1) 2 = 36 / L2 / L1 = 9 / T=2π 10/ T=2πs --- π T 6s 86 batidas s X batidas s X 9 batidas 14 - Cálculo do período T de cada oscilação --- w=2π/t --- T=2π/w=2π/5π/ T=0,8s --- tempo ( t) gasto em n=3.600 oscilações --- t=nt=3.600x0, t=2.880/60 min --- t=48 min --- R- C 15 - Período de oscilação (T) de um pêndulo simples de comprimento L em um local onde o campo gravitacional tem intensidade g, para oscilações de pequenas amplitudes --- T=2π L/g --- observando essa expressão você conclui que, quando a intensidade do campo gravitacional diminui o período aumenta, ou seja, o pêndulo passa a oscilar mais vagarosamente --- na ausência total de gravidade, o pêndulo teria período infinito, ou seja, deixaria de oscilar --- para um sistema massa-mola (m e k) o período de oscilação (T) é dado por --- T=2π m/k --- observe nessa expressão que o período desse sistema independe da gravidade local --- assim, nesse ambiente de microgravidade, o período do sistema bloco-mola não sofrerá alteração, já o período do pêndulo simples deixará de ser o mesmo --- R- B 16 - Novo comprimento l do pêndulo quando a temperatura subir de 10 o C --- l = lo (1 + α(t to) --- l = 10( l=1,0001m --- cálculo do período T que pelo enunciado vale T= (4l) --- T= (4.1,0001) --- T= 2. 1,0001 s --- para meio ciclo de oscilação o período será T= 1,0001 s --- se, para cada meia oscilação o período aumenta de T= 1,0001 s, o relógio irá atrasar --- R- C 17 - A --- amplitude do pêndulo --- T --- período do pêndulo --- T=2π l/g 01) Falsa --- o período de um pêndulo simples é inversamente proporcional à raiz quadrada da gravidade local (g) conforme mostra a expressão --- T=2π l/g 02) Falsa --- quadruplicando o comprimento (L) de um pêndulo simples, seu período duplica, pois o período é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento -- - veja a equação --- T=2π l/g 04) Falsa --- observe na figura baixo a amplitude A, que é definida como sendo a distância máxima (A) (ou o ângulo máximo θ)

12 que a partícula se afasta de sua posição de equilíbrio --- na posição central, a energia mecânica é igual à energia cinética onde a velocidade é máxima e a energia potencial é nula --- a energia mecânica é constante em todos os pontos (sistema conservativo) e, na posição central vale Em=Ec + Ep --- Em=mv 2 / Em=mv 2 /2 --- a velocidade no ponto central é máxima e vale --- v=w.a --- w=2π/t --- v= (2π/T).A -- - Em=m.v 2 /2 --- Em=m/2.(4π 2 /T 2 ).A Em=2mπ 2.A 2 /T em todos os pontos a energia mecânica é a mesma e observe na expressão que ela é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude A. 08) Verdadeira --- veja teoria 16) Verdadeira --- veja teoria. R.: ( ) = O período T do pêndulo é dado por T=2π (L/g) --- como o relógio está atrasando seu período é maior do que deveria ser e assim, seu comprimento deve ser reduzido com o ajuste da porca sendo para a direita --- se, para um dia (1.440min) o relógio atrasa 1 min, então o pêndulo deve registrar um tempo de 1.439min -- - t=natraso.tatraso=ncorreto.tcorreto Tatraso=1.440Tcorreto π (Latraso/g) = π (Lcorreto/g) --- Lcorreto/Latraso=(1.439/1.440) Lcorreto/35 = 0, Lcorreto=34,95cm --- L=35 34,95=0,05cm=0,5mm --- como cada rotação provoca variação de 1 mm, para que o relógio funcione corretamente deve ser dada meia rotação à direita --- R- C 19 -Pêndulo Simples - consta de uma massa m, presa na extremidade inferior de um fio ideal, fixada verticalmente na sua extremidade superior (figura) Se o pêndulo simples oscilar, com oscilações de pequena abertura (no máximo 15 o ), ele descreve um movimento circular de raio R=L, sendo L o comprimento do fio. Seu período (T), que é o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo é fornecido pela expressão:

13 Observe nessa expressão que o período T do pêndulo depende da aceleração da gravidade g e do comprimento do pêndulo L --- o período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L --- assim, para dobrar o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado e o relógio atrasa --- o período de um pêndulo simples é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade g --- assim, quanto maior for a aceleração da gravidade do local onde está o pêndulo, menor será o seu período e o relógio adianta --- uma das aplicações do pêndulo simples é a determinação da aceleração da gravidade --- período ao nível do mar --- To=2π (Lo/go) --- período numa grande altura --- Th==2π (Lh/gh) --- para que ele funcione bem nos dois locais --- To = Th --- =2π (Lo/go) =2π (Lh/gh) --- Lo/go = Lh/gh. Lo/go = Lh/gh --- Lo/Lh =gh/go --- comprimento ao nível do mar (Lo) --- comprimento na altitude h (Lh=Lo(1 + α. t) --- Lo/[(Lo(1 + α. t)] = go/gh --- 1/(1 + α. t) = go/gh -- - go + go.α. t = gh --- α = (gh go)/go. t.

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