CONTROLE ESCALONADO E POLÍTICA DE ACESSO DE MÚLTIPLAS PLANTAS À REDES DE COMUNICAÇÃO

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1 Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 COTROLE ESCALOADO E POLÍTICA DE ACESSO DE MÚLTIPLAS PLATAS À REDES DE COMUICAÇÃO EDUARDO S. TOGETTI, TAIS R. CALLIERO Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília UnB, 791-9, Brasília, DF, Brasil. Faculdade Gama de Tecnologia, Universidade de Brasília UnB, 791-9, Brasília, DF, Brasil. s: estognetti@ene.unb.br, tais.calliero@gmail.com Abstract This paper investigates the problem of digital state feedback controller design for systems subject to time-varying sampling periods and delays. The system is controlled through a communication network where the sampling period and the network-induced delay are bounded in a known interval. The sampled system is described by a linear parameter-varying (LPV) discrete-time model obtained by means of the Cayley-Hamilton theorem. In addition, a policy is proposed to define the sampling periods in a scenario with concurrent access to the communication network by multiple plants. The gain-scheduled controllers depend on the sampling period and are designed by means of linear matrix inequalities (LMI). The policy to access the network is described by an optimization problem. umerical experiments illustrate the efficiency and the validity of the proposed approaches. Keywords etworked control systems, co-design, state feedback, LPV, Linear matrix inequalities. Resumo Este trabalho investiga o problema de projeto de controladores digitais de realimentação de estados para sistemas sujeitos a períodos de amostragens e atrasos variantes no tempo. O sistema é controlado por meio de uma rede de comunicação no qual o período de amostragem e o atraso induzido pela rede estão limitados a intervalos conhecidos. O sistema amostrado é representado por um modelo discreto no tempo dependente de parâmetros lineares variantes no tempo (LPV) obtido por meio do teorema Cayley-Hamilton. Além disso, propõe-se uma política para definir os períodos de amostragens num cenário de acesso concorrente a rede de comunicação por múltiplas plantas. Os controladores escalonados são dependentes do período de amostragem e projetados por meio de desigualdades matriciais lineares (LMI). A política de acesso a rede é descrita por um problema de otimização. Exemplos numéricos ilustram a eficiência e a validade das abordagens propostas. Palavras-chave Sistema de controle em redes, co-projeto, realimentação de estados, LPV, Desigualdades matriciais lineares. 1 Introdução O uso de redes de comunicação no contexto de controle de sistemas dinâmicos (CS, do inglês networked control systems) tem sido amplamente estudado nos últimos anos (Hespanha et al., 27). As aplicações diversificamse em muitas áreas, tais como, sistemas de transporte, de potência, processos químicos e plantas de manufatura. Apesar do uso de arquiteturas CS apresentar várias vantagens como redução de fiação, facilidade de diagnósticos, aumento de flexibilidade e redução de custos, também apresentam desafios à estabilidade e desempenho dos processos. As dificuldades geralmente manifestam-se como atrasos induzidos pela rede (Gao et al., 28), perdas de pacotes (Liang et al., 21), amostragem aperiódica (Cloosterman et al., 21), efeitos de quantização e limitação de largura de banda (Elia and Mitter, 21) entre outros. Essencialmente as restrições acima devem-se ao fato de que as redes de comunicação possuem capacidade limitada. Este artigo se concentrará em redes que apresentem atrasos incertos e períodos de amostragem variantes no tempo. Muitos trabalhos têm investigado sistemas de controle em redes com períodos de amostragem variantes no tempo e atrasos que podem ser induzidos pela rede de comunicação e pelo tempo de processamento do nó controlador (Fridman et al., 24; Hetel et al., 29; Cloosterman et al., 21). o domínio de tempo contínuo, (Fridman et al., 24) aplica uma estratégia de sistemas descritores para modelar sistemas dinâmicos de dados amostrados com intervalos de amostragem variante por meio de funcionais do tipo Lyapunov-Krasovskii (LKF, do inglês Lyapunov-Krasovskii function). Em (Gao et al., 28) esta estratégia é usada para análise de estabilidade de CSs com atrasos variantes no tempo e intervalos de amostragem constantes usando desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês Linear Matrix Inequalities). Em sistemas discretos no tempo, obtidos a partir da discretização do sistema contínuo, as matrizes do sistema são dependentes do período de amostragem e os atrasos induzidos pela rede afetam o sinal de entrada de controle. esse caso, o problema de análise de estabilidade ou controle pode ser resolvido construindo-se um vetor de estados aumentados e aplicando-se métodos de controle robusto (Cloosterman et al., 26; Hetel et al., 26; Heemels et al., 21) ou por meio de LKFs (Pan et al., 26). Uma comparação entre o uso de funções de Lyapunov dependente de parâmetros com vetor de estados aumentado e o uso de LKFs para análise de estabilidade pode ser encontrado em (Cloosterman et al., 21). A maioria dos modelos CS são formulações discretas no tempo baseadas na discretização exata de sistemas contínuos (Zhang et al., 25; Cloosterman et al., 26; Hetel et al., 27; Borges et al., 21) por apresentarem condições menos conservadoras que o tratamento no tempo contínuo (Heemels et al., 21). Em alguns trabalhos o atraso assume valores em um conjunto finito e o modelo discretizado é representado como um sistema chaveado (Zhang et al., 25; Izák et al., 21). Aproximações por séries de Taylor podem ser uma estratégia atraente especialmente para lidar com discretização de sistemas contínuos incertos (Braga et al., 213), uma 1824

2 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 área de investigação ainda pouco explorada. Uma outra possibilidade é obter uma representação discreta levando em conta períodos de amostragem incertos por meio do teorema Cayley-Hamilton (Gielen et al., 21; Borges et al., 21). Os modelos discretos são representados por politopos e o controlador é robusto. A síntese de controladores dependente de parâmetros não é direta nesses casos pois em grande parte das vezes a informação do atraso e do período de amostragem não estão disponíveis e não é possível fazer o escalonamento do controlador com apenas uma das informações. Uma comparação entre diversos métodos de discretização de sistemas contínuos no tempo é apresentado em (Heemels et al., 21). Um dos principais desafios atuais em CS é realizar o projeto do controlador e da política de acesso a rede de maneira concomitante. Esta abordagem, chamada de co-projeto (do inglês co-design), tem sido amplamente investigada nos últimos anos (Chamaken and Litz, 21; Görges et al., 211; Zhou et al., 212; Reimann et al., 212; Wen et al., 213) sob duas abordagens: escalonamento estático (Rehbinder and Sanfridson, 24; Wen et al., 213) e dinâmico (Chamaken and Litz, 21; Görges et al., 211; Zhou et al., 212; Reimann et al., 212). Em (Rehbinder and Sanfridson, 24; Wen et al., 213) uma sequência periódica é gerada offline e tem como principal apelo não requisitar processamento da política de acesso a rede em tempo real. o escalonamento dinâmico as condições atuais da rede e do processo são levadas em consideração. esse contexto, (Reimann et al., 212) propõe uma lei de chaveamento que decide qual controlador estará ativo em dado instante de transmissão. Em (Görges et al., 211) um problema de programação dinâmica é resolvido por meio de uma lei de controle linear por partes e em (Zhou et al., 212) a política de acesso é definida por meio de uma ponderação do erro de discrepância entre o sinal atual e o último transmitido. Em (Chamaken and Litz, 21) controladores ótimos e protocolos de controle de acesso a rede (MAC, do inglês medium access control) são definidos por meio de um simulador HiL (do inglês Hardware in the Loop). Este trabalho propõe o projeto de um controlador digital e uma política de acesso a rede de forma conjunta. O sistema linear invariante e contínuo no tempo é sujeito a períodos de amostragens e atrasos induzidos pela rede, ambos variantes no tempo e limitados a um intervalo conhecido. O sistema discreto no tempo resultante é descrito por uma representação politópica dependente de parâmetros lineares variantes no tempo (LPV, do inglês linear parameter-varying). O controlador digital de realimentação de estados projetado é escalonado e dependente do período de amostragem, determinado pela política de acesso a rede. Esta política, que determina os períodos de amostragem de múltiplas plantas que acessam a rede de forma concorrente, é determinada resolvendo-se um problema de otimização que balanceia o desempenho dos sistemas e a energia dos sinais de controle. 2 Preliminares Considere um conjunto de M sistemas lineares contínuos no tempo controlados sobre uma rede de comunicação, ẋ i (t)=e i x i (t)+f i u i (t τ i (t)), t, x i ()=, u i (κ)=, κ { τ i (t),} onde o subscrito i denota o índice da i-ésima planta P i, i = 1,...,M, E i R n n e F i R n m são as matrizes do sistema, x i (t) R n é o vetor de estados, u i (t) R m é a entrada de controle e o escalar τ i (t) representa um atraso variante no tempo induzido pela rede de comunicação pertencente ao intervalo (1) τ i (t) [τ i, τ i ]. (2) O sistema contínuo no tempo (1) é amostrado com um período h i (t)>τ i (t) variante no tempo e limitado ao intervalo h i (t) [h i, h i ], (3) fornecendo um modelo discreto no tempo associado a planta P i e dado por 1 x i (k+ 1)=A i (h i )x i (k)+b i (h i,τ i )u i (k)+b di (h i,τ i )u i (k 1) (4) no qual h i (k) e τ i (k) são parâmetros variantes no tempo e as matrizes A i (h i ), B i (h i,τ i ) e B di (h i,τ i ) são dadas por A i (h)=e E ih i (5) ( hi ) τ i B i (h i,τ i )= e Eis ds F i (6) ( τi ) B di (h i,τ i )=e E i(h i τ i ) e Eis ds F i. (7) Para um melhor entendimento, a Figura 1 ilustra o papel do atraso induzido pela rede e do período de amostragem num horizonte de tempo finito T. h(k 1) h(k) h(k+ 1) τ τ τ τ τ τ τ(k 1) τ(k) τ(k+ 1) t t k 1 t k t k+1 t k+2 T Figura 1: Arquitetura CS do ponto de vista de uma única planta com denotando o instante de amostragem dos sensores e instantes de atuação. Usando o Teorema de Cayley-Hamilton (Antsaklis and Michel, 26) e seguindo as linhas propostas em (Borges et al., 21), tem-se para cada planta 2 e Eh n 1 = j= ρ j (h)e j. (8) 1 Por brevidade, o instante kh(k) é denotado por k e a dependência no tempo nos parâmetros é omitida daqui para frente. 2 Para simplificar a notação, a partir deste ponto o índice da i-ésima planta P i,,...,m, é omitido. 1825

3 Os coeficientes ρ j (h) são escritos como combinações lineares de h m i 1 e λ ih, onde λ i, i=,...,n 1, são os autovalores de E e m i é a multiplicidade do autovalor λ i. Os elementos ρ j (h), j=,...,n 1, são escritos como no qual ρ(h)=θθ(h), (9) ρ(h)= [ ρ (h) ρ n 1 (h) ], Θ= [ ϑ ϑ n 1 ] 1,ϑi = dm i 1 [ dλ m i 1 1 λi λ n 1 ] i, i θ(h)= [ θ (h) θ n 1 (h) ], θi (h)= dm i 1 Substituindo (9) em (8), pode-se escrever dλ m i 1 i e λ ih. (1) e Eh =(θ(h) I)(Θ I)Ẽ. (11) com Ẽ = [ I E (E n 1 ) ]. Por exemplo, considere a matriz E R 2 2 com autovalores distintos, tem-se { e λ h = ρ (h)+ρ 1 (h)λ e λ 1h = ρ (h)+ρ 1 (h)λ 1 (12) então ρ(h)= 1 ρ (h) 1 λ, Θ=, θ(h)= ρ 1 (h) 1 λ 1 e λ h. e λ 1h Do intervalo que h pode assumir valores, dado em (3), os valores extremos de θ i (h), i=,...,n 1, θ i (h) [θ i, θ i ], i=,...,n 1 são substituídos em (1) para gerar os coeficientes matriciais A i,,...,, = 2 n, da representação politópica de (5), definido como A(γ 1 (h))= γ 1i (h)a i (13) no qual γ 1 = (γ 11,...,γ 1 ) são parâmetros variantes no tempo pertencentes ao simplex unitário, definido como { Λ = (ζ 1,...,ζ ) R : } ζ i = 1, ζ i,,...,. Fazendo a seguinte mudança de variáveis em (11) θ i (h)=θ i β i1 (h) θ i, θ i = θ i θ i, i=,...,n 1, (14) os parâmetros γ 1i (h) podemo ser obtidos para qualquer valor de h através de γ 1i (h)=β j (h)β 1 j1 (h) β n 1 jn 1 (h), (15) +(j 1)2 n 1 +(j 1)2 n 2 + +(j n 1 1)2,,...,, j, j 1,... j n 1 = 1,2, Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 no qual β i1 = θ i θ i (h) θ i, β i2 = 1 β i1. O mesmo procedimento é aplicado em (6) e (7), ou seja, h τ e Es n 1 ds= η j (h,τ)e j, no qual, neste caso, com j= η(h,τ)=θφ(h τ), (16) η(h,τ)= [ η (h,τ) η n 1 (h,τ) ], φ(h τ)= [ φ (h τ) φ n 1 (h τ) ], ( ) φ i (x)= dm i 1 e λ ix 1. (17) λ i λ i dλ m i 1 i Então, h τ e Es dsf = ( φ(h τ) I ) (Θ I)Ẽ F. (18) Dos intervalos de τ e h dados, respectivamente, em (2) e (3), tem-se B(γ 1 (h),γ 2 (τ))= j=1 γ 1i (h)γ 2 j (τ)b i j γ 1 Λ, γ 2 Λ. (19) com B i j sendo as matrizes obtidas quando (18) é calculado nos valores extremos de h e τ. Similarmente, ( τ ) e E(h τ) e Es ds F = (θ(h τ) I)(Θ I)Ẽ ( φ(τ) I ) (Θ I)Ẽ F, Por- com θ( ) e φ( ) funções definidas anteriormente. tanto, (7) é reescrito como B d (γ 1 (h),γ 2 (τ),γ 3 (τ))= j=1 k=1 γ 1i (h)γ 2 j (τ)γ 3k (τ)b di jk, γ 1 Λ, γ 2 Λ, γ 3 Λ. (2) Comentário 1 Para obter expressões para γ 2 (τ) e γ 3 (τ) pode-se notar que existem funções f i (h) e g i (τ) e constantes c 1i e c 2i tais que φ(h τ) e θ(h τ) podem ser expressas como φ i (h τ)=θ i (h) f i (τ)+c 1i e θ i (h τ)= θ i (h) f i (τ)g i (τ)+c 2i, i =,...,n 1. Dos valores extremos de h e τ, as funções f i (τ) e g i (τ) podem ser reescritas em termos de parâmetros pertencentes ao simplexo unitário aplicando a uma mudança de variáveis similar a (14). Um novo domínio é proposto através da seguinte transformação de variáveis α 1 (h)=γ 1 (h) α 2 (τ)=γ 2 (τ) γ 3 (τ), no qual α =(α 1 (h),α 2 (τ)) pertence ao conjunto ΩÑ, Ñ = (,,), chamado de multi-simplex e definido abaixo (Oliveira et al., 28b). 1826

4 Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 Definição 1 (Multi-Simplex) O conjunto multi-simplex Ω, = ( 1,..., m ) é definido como o produto Cartesiano de m simplexos com dimensões i,,...,m, i.e., Ω = Λ 1 Λ m. Um dado elemento α de Ω é decomposto como (α 1,α 2,...,α m ) e cada α i é decomposto na forma(α i1,α i2,...,α ii ),,...,m. Para mais detalhes de como manipular multisimplexos, veja (Oliveira et al., 28a). Comentário 2 Observe que a influência do período de amostragem e do atraso em (19) e (2) é desacoplada. Como principal apelo, superando os resultados presentes em (Borges et al., 21), esta técnica permite o projeto de controladores escalonados dependente somente dos parâmetros disponíveis para a leitura. esse caso é mais usual considerar que o período de amostragem, obtido de algoritmos de acesso a rede, esta disponível. Sendo o atraso não conhecido na maioria dos casos, o controlador será escalonado em h e robusto em relação a τ. Controladores robustos à ambos os parâmetros são também possíveis de projetar por meio do procedimento proposto. 3 Projeto do Controlador esta seção, condições LMIs são desenvolvidas para projetar um controlador de realimentação de estados que garantem a estabilidade do sistema contínuo (1) em malha fechada sobre uma rede de comunicação sujeito a períodos de amostragem e atrasos variantes no tempo. O sistema (4) pode ser reescrito como um sistema aumentado em que z(k)= z(k+ 1)=Â(α)z(k)+ ˆB(α)u(k) (21) x(k) u(k 1) [ A(α) Bd (α), Â(α)= B(α). I ˆB(α) = Todas as matrizes do sistema aumentado devem estar no mesmo domínio α, então um procedimento de homogenização é aplicado de maneira a garantir que todos os monômios tenham o mesmo grau. A homogenização em α pode ser feita multiplicando-se todas as matrizes de (21) por j=1 γ i j,,...,3. Seja a lei de controle digital de realimentação de estados u(k)=k(α 1 )z(k) (22) e suponha que o período de amostragem h é conhecido da política de escalonamento da rede para o cômputo de α 1 (h). Como critério de desempenho, a seguinte função custo é utilizada J = k= ], ( z (k)qz(k)+u (k)ru(k) ) (23) nos quais Q e R são matrizes definidas positivas arbitrariamente escolhidas pelo projetista. Considere a função de Lyapunov V(k)=z(k) P(α 1 )z(k), P(α 1 )= α 1i (h)p i. Seja a diferença da matriz de Lyapunov, V(k) = V(k+ 1) V(k), satisfazendo V(k)+z (k)qz(k)+u (k)ru(k)< (24) para todas as trajetórias do sistema em malha fechada. Somando (24) sobre k=,...,, tem-se um limitante superior para a função custo (23), J < z ()P(α 1 ())z()<λ max {P(α 1 ())} z() 2 2, em que λ max {M} denota o máximo autovalor da matriz M e α 1 ()=α 1 (h()). Observe finalmente que, (24) é satisfeita se a seguinte desigualdade é verificada Â(α) cl P(α 1 + )Â(α) cl P(α 1)+Q+K(α 1 ) RK(α 1 )< (25) em que α 1+ denota o instante avançado, i.e, α 1+ = α 1 (k+ 1) e Â(α) cl = Â(α)+ ˆB(α)K(α 1 ). (26) O seguinte problema é definido. Problema 1 Achar um ganho estabilizante da lei de realimentação de estados (22) para o sistema (21) que minimiza a função custo (23), ou seja, min λ max{p(α 1 )} sujeito à (25). P(α 1 ),K(α 1 ) para todo τ e h com limites definidos em (2) e (3), respectivamente. O seguinte teorema estabiliza o sistema em malha fechada (26) e resolve o Problema 1. Teorema 1 Se existirem matrizes dependentes de parâmetros W(α 1 )= W(α 1 ) >, G(α 1 ), Z(α 1 ), e um escalar µ > tal que o seguinte problema de otimização baseado em LMIs é satisfeito max W(α 1 ), G(α 1 ), Z(α 1 ) µ (27) sujeito a W(α) µi (28) G(α 1 )+G(α 1 ) W(α 1 ) Â(α)G(α 1 )+ ˆB(α)Z(α 1 ) W(α 1+ ) G(α 1 ) Q 1 >, Z(α 1 ) R 1 então (29) K(α 1 )=Z(α 1 )G(α 1 ) 1 (3) é um ganho estabilizante de realimentação de estados para o sistema (21) e µ 1 z() 2 2 é um limitante superior para o índice de desempenho (23) do sistema em malha fechada para a condição inicial z(). 1827

5 Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 Prova: Observe que (29) pode ser escrita como G(α 1 ) W(α 1 ) 1 G(α 1 ) Â(α) cl G(α 1 ) W(α 1+ ) G(α 1 ) Q 1 K(α 1 )G(α 1 ) R 1 > (31) pois (G(α 1 ) W(α 1 )) W(α 1 ) 1 (G(α 1 ) W(α 1 )) = G(α 1 ) W(α 1 ) 1 G(α 1 ) G(α 1 ) G(α 1 ) + W(α 1 ), nos quais Â(α) cl e K(α 1 ) são dados em (26) e (3), respectivamente. Pré e pós multiplicando a desigualdade (31) por T e T respectivamente, com T = diag(g(α 1 ) 1 W(α 1 ),I,I,I), e aplicando algumas manipulações algébricas, tem-se (25). Como P(α 1 ) = W(α 1 ) 1, λ max {P(α 1 )} = 1/λ min {W(α 1 )} e, se a desigualdade (28) for satisfeita, µ é um limitante inferior para λ min {W(α 1 )} e o problema de otimização (27)-(29) resolve o Problema h(t) τ(t) Figura 2: Valores do período de amostragem h(t) e atraso τ(t) considerados no Exemplo 1. Exemplo 1 Considere o problema de projetar uma lei de controle digital de realimentação de estados para o pêndulo invertido apresentado em (Reimann et al., 212) 1 ẋ(t)= [ x(t) ] u(t τ(t)) (32) x(t) x1(t) x2(t) com atraso variante no tempo induzido pela rede τ(t) [ 1 4 ] ms. O período de amostragem h(t) é também variante no tempo e pertence ao intervalo [ 5 5 ] ms. Aplicando as condições do Teorema 1 impondo a matriz G constante, para evitar o cálculo da inversa em tempo real, e com as matrizes de ponderação do custo (23) dadas por Q = diag(1,1,1), R = 1, obtém-se µ = e os seguintes ganhos do controlador de realimentação de estados K 1 = [ ], K 2 = [ ] K 3 = [ ], K 4 = [ ] no qual K(α 1 (h))= 4 α 1i(h)K i. Para a condição inicial z()=[x() ], com x()=[.1 ], o limitante superior para o índice de desempenho (23) é e as trajetórias dos estados são mostradas na Figura 3. Foi considerado valores arbitrários para o atraso e período de amostragem, como mostrado na Figura 2. Pode-se observar que o sistema em malha fechada convergiu para o equilíbrio de modo satisfatório mesmo em condições adversas em termos de variação do período de amostragem e do atraso induzido pela rede. 4 Política de Acesso à Rede O controlador de realimentação de estados obtido no Teorema 1 garante a estabilidade do sistema em malha fechada e um limitante superior para a função custo (23) para qualquer período de amostragem h(k) com limitantes dados em (3). Contudo, o problema de encontrar os valores ótimos de h(k) que minimizam (23) não foi abordado. Além disso, pode-se considerar o caso em que múltiplas Figura 3: Trajetórias do estado do sistema em malha fechada com controlador projetado por meio do Teorema 1 para a condição inicial x()=[.1 ] e valores de períodos de amostragem e atrasos apresentados na Figura 2. plantas concorrem para acessar a rede restringindo a escolha dos períodos de amostragem das mesmas. A política de escalonamento é definida em termos de achar uma sequência de valores de períodos de amostragem ĥ i = (h i (),h i (1),...,h i (q i )), para cada planta P i, i = 1,...,M, dentro de um horizonte de tempo finito T, que minimiza J ion = q i k= ( z i (k)q i z i (k)+u i(k)r i u i (k) ),,...,M, (33) com q i tal que qi j= h i( j)<t. Se h i (k) for constante durante a janela de tempo T então q i = T/h i (k). O instante de tempo inicial a cada horizonte de tempo é definido como k= sem perda de generalidade. O seguinte problema é definido. Problema 2 Achar uma política de escalonamento ótima para cada planta P i, i = 1,...,M, num horizonte de tempo finito T satisfazendo o seguinte problema de oti- 1828

6 mização M min J on = J ion sujeito a (3) e t i t j, i, j {1,...,M} ĥ (34) com ĥ = (ĥ 1,...,ĥ M ) e t i os instantes de transmissão da planta P i,,...,m. a prática, a cada T segundos o Problema 2 deve ser resolvido para determinar os períodos de amostragem que cada planta utilizará neste intervalo. Para isso deve ser utilizado as informações dos estados atuais de cada planta como será detalhado mais a frente. Observe que o procedimento de projeto do controlador é offline e garante (24), então, para cada planta P i, somando-se (24) sobre k=,...,q i, obtém-se J ion <V i () V i (q i + 1) =z i () P i (α 1 ())z i () z i (q i + 1) P i (α 1 (q i + 1))z i (q i + 1). Observe que tem-se, z i (k+ 1)= i (α(k)) cl z i (k) z i (k+ 2)= i (α(k+ 1)) cl z i (k+ 1) = i (α(k+ 1)) cl  i (α(k)) cl z i (k). z i (k+ q i + 1)= i (α(k+ q i )) cl  i (α(k)) cl z i (k). Definindo, Ψ i (k+ q i,k)  i (α(k+ q i )) cl  i (α(k)) cl, J ion < z i () ( Ψ i (q i,) P i (α 1 (q i + 1))Ψ i (q i,) +P i (α 1 ()))z i () < λ max { Ψi (q i,) P i (α 1 (q i + 1))Ψ i (q i,) e, portanto, (34) pode ser reescrita como com min ĥ M +P i (α 1 ())} z i () 2 2 λ max {ϒ i (ĥ i )} z i () 2 2 (35) sujeito a (3) e t i t j, i, j {1,...,M}. ϒ i (ĥ i )=P i (α 1 ()) Ψ i (q i,) P i (α 1 (q i + 1))Ψ i (q i,). (36) ote que para o cálculo de ϒ i (ĥ i ) é suficiente conhecer os valores de h i (k) durante o horizonte T e que os valores dos estados no instante inicial de cada horizonte de tempo, z i (), pondera os custos de cada planta P i, i = 1,...,M, em (35). 5 Implementação umérica Todas as rotinas forma implementadas no Matlab, versão 7.1 (R21a) usando Yalmip (Löfberg, 24) e Se- DuMi (Sturm, 1999), em um PC com processador Intel Core i7 CPU (2.93GHz) e 8GB de memória RAM. Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 Para implementar as LMIs do Teorema 1 foi utilizando o pacote computacional ROLMIP (Agulhari et al., 212) que permite construir LMIs de dimensão finita a partir de condições dependentes polinomialmente de parâmetros pertencentes ao simplexo unitário ou a combinação Cartesiana destes (multi-simplexo). O pacote Se- DuMi (Sturm, 1999) foi utilizado como resolvedor. O parser também gerou as matrizes do sistema aumentado Â(α) e ˆB(α) com monômios de mesmo grau nos parâmetros α 1 (h) e α 2 (τ). As variáveis matriciais G(α 1 ), Z(α 1 ) e a matriz de Lyapunov W(α 1 ) do Teorema 1 podem ser descritas como polinômios homogêneos e, portanto, diversas configurações para o controlador podem ser obtidas impondo-se grau zero (controlador robusto) ou grau um (controlador escalonado) em G(α 1 ) e Z(α 1 ). Vale mencionar que, como a variação dos parâmetros é considerada arbitrária, o parâmetro no instante avançado α 1 (k+1), denotado por α 1+, é independente do instante atual α(k). Para a resolução do Problema 2 adota-se que os períodos de amostragens das plantas são múltiplos da janela de transmissão t, ou seja, h i (k)= p i t, p i, em que t = t k+1 t k e t k, k =,1,..., os instantes de transmissão. Para facilitar a busca de uma resposta ótima, (36) é pré-calculado para um conjunto de valores finitos e factíveis de períodos de amostragens das plantas. Por valores factíveis entende-se os valores ĥ que evitem transmissões de mais de uma planta em um mesmo instante de tempo. Para isso impõe-se mod(h i (k),h j (k)) =, i, j = 1,...,M, em que mod(a,b) é o operador resto da divisão de a com b. Formas mais eficientes para se resolver o Problema 2 serão alvo de investigações futuras. Exemplo 2 Considere o problema de estabilizar duas plantas em uma rede de comunicação que permite o acesso de somente uma delas por vez. As plantas são pêndulos invertidos com diferentes dinâmicas dadas por valores distintos de comprimento de haste (l 1 =.1m e l 2 = 2.67m) e massa do carro (M 1 =.1Kg e M 2 = 2.3Kg), e mesma massa de pêndulo (m 1 = m 2 =.1Kg), conforme apresentado em (Reimann et al., 212). A dinâmica em tempo contínuo da planta P 1 é a mesma da apresentada no Exemplo 1 e a da planta P 2 é dada por ẋ(t)= [ ] x(t)+ u(t τ.16 1 (t)). (37) O período de amostragem de P 1 a ser determinado pela [ política ] de acesso a rede está no intervalo h 1 (t) [ 5 5 ] ms e o atraso variante no tempo pertence a τ1 (t) 1 4 ms. Para a planta P2 o período de amostragem está no intervalo h 2 (t) [ 5 8 ] ms e o atraso τ 2 (t) pertencente ao mesmo intervalo de τ 1 (t). Será considerado que os instantes de transmissão ocorrem a cada 5ms ( t = 5ms) e que o horizonte de tempo é de T = 1ms, ou seja, a cada T segundos o Problema 2 deve ser resolvido para determinar os tempos de amostragem das duas plantas para esta janela de tempo. São escolhidas as matrizes de ponderação de (33) como Q 1 = diag(3,1,1), R 1 = 1, Q 2 = diag(1,.1,1 4 ), R 2 =

7 Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 Para a condição inicial z() = [x() ], com x() = [.1 ], obteve-se µ 1 = e µ 2 = fornecendo limitantes superiores para a função custo (23) dados por e 25.19, respectivamente. A variação dos períodos de amostragens de ambas as plantas ao longo do tempo, resultante ma minimização de (35), pode ser vistas na Figura 5 e as trajetórias dos sistemas são mostradas na Figura 4, considerando um atraso constante de τ(t) = 2.5ms. Observa-se que ambas as plantas convergem de modo satisfatório para a origem e que a partir de.5s há um mesmo padrão para os valores de h 1 (k) e h 2 (k) pois, como as trajetórias da planta P 1 estão suficientemente próximas da origem, apenas o custo da planta P 2 contribui para o cálculo de (34). h1(t) (a).2.1 x1(t) x2(t) h2(t).32.3 x(t) x(t) (a) x1(t) x2(t) (b) Figura 5: Períodos de amostragens obtidos como solução ao Problema 2 das plantas (a) P 1 e (b) P 2. minimização de um funcional que pondera o desempenho de um conjunto de plantas e a energia do sinal de controle das mesmas. Os exemplos numéricos validaram as condições propostas e comprovaram a viabilidade da técnica apresentada (b) Figura 4: Trajetórias dos estados para tempos de amostragem apresentados na Figura 5 e condição inicial x = [.1 ] das plantas (a) P 1 e (b) P 2. 6 Conclusão Este artigo propôs condições LMIs para projeto de controladores digitais escalonados que estabilizam o sistema em malha fechada para variações arbitrárias do período de amostragem e do atraso da rede de comunicação. Para tal, foi generalizado um procedimento de discretização por meio do teorema de Cayley-Hamilton para fornecer um modelo discreto politópico dependente do período de amostragem e do atraso descritos como parâmetros pertencentes a um produto Cartesiano de simplexos. Uma nova política de acesso a rede foi definida de forma a encontrar os períodos de amostragens ótimos em termos da Agradecimentos Às agências FAPDF, CAPES e CPq (Proc /213-). Referências Agulhari, C. M., de Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (212). Robust LMI Parser: a computational package to construct LMI conditions for uncertain systems, XIX Brazilian Conference on Automation (CBA 212), Campina Grande, PB, Brazil, pp Antsaklis, P. J. and Michel, A.. (26). Linear Systems, Birkhäuser, Boston. Borges, R. A., Oliveira, R. C. L. F., Abdallah, C. T. and Peres, P. L. D. (21). A BMI approach for H gain scheduling of discrete time-varying systems, Int. J. Robust onlinear Control 11(2): Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (213). A new procedure for discretization and state feedback control of uncertain 183

8 Belo Horizonte, MG, 2 a 24 de Setembro de 214 linear systems, Proc. 52st IEEE Conf. Decision Control, Florence, Italy, pp Chamaken, A. and Litz, L. (21). Joint design of control and communication in wireless networked control systems: A case study, Proc. 21 Amer. Control Conf., Baltimore, MD, USA, pp Cloosterman, M. B. G., Hetel, L., van de Wouw,., Heemels, W. P. M. H., Daafouz, J. and ijmeijer, H. (21). Controller synthesis for networked control systems, Automatica 46: Cloosterman, M., van de Wouw,., Heemels, W. P. M. H. and ijmeijer, H. (26). Robust stability of networked control systems with time-varying network induced delays, Proc. 45th IEEE Conf. Decision Control, San Diego, CA, USA, pp Elia,. and Mitter, S. K. (21). Stabilization of linear systems with limited information, IEEE Trans. Autom. Control 46(9): Fridman, E., Seuret, A. and Richard, J. P. (24). Robust sampled-data stabilization of linear systems: an input delay approach, Automatica 4: Gao, H., Chen, T. and Lam, J. (28). A new delay system approach to network-based control, Automatica 44(1): Gielen, R., Olaru, S., Lazar, M., Heemels, W., van de Wouw,. and iculescu, S.-I. (21). On polytopic inclusions as a modeling framework for systems with time-varying delays, Automatica 46(3): Görges, D., Izák, M. and Liu, S. (211). Optimal control and scheduling of switched systems, IEEE Trans. Autom. Control 56(1): Heemels, W. P. M. H., van de Wouw,., Giele, R. H., Donkers, M. C. F., Hetel, L., Olaru, S., Lazar, M., Daafouz, J. and iculescu, S. (21). Comparison of overapproximation methods for stability analysis of networked control systems, The 13th ACM International Conference on Hybrid Systems: Computation and Control, Stockholm, Sweden, pp Hespanha, J. P., aghshtabrizi, P. and Xu, Y. (27). A survey of recent results in networked control systems, Proceedings of the IEEE 95(1): Hetel, L., Cloosterman, M., van de Wouw,., Heemels, W. P. M. H., Daafouz, J. and ijmeijer, H. (29). Comparison of stability characterisations for networked control systems, Proc. 48th IEEE Conf. Decision Control 28th Chinese Control Conf., Shanghai, P.R. China, pp Hetel, L., Daafouz, J. and Iung, C. (26). Stabilization of arbitrary switched linear systems with unknown time-varying delays, IEEE Trans. Autom. Control 51(1): Hetel, L., Daafouz, J. and Iung, C. (27). LMI control design for a class of exponential uncertain systems with application to network controlled switched systems, Proc. 27 Amer. Control Conf., ew York, Y, USA, pp Izák, M., Görges, D. and Liu, S. (21). Stabilization of systems with variable and uncertain sampling period and time delay, onlinear Analysis: Hybrid Systems 4: Liang, Y., Chen, T. and Pan, Q. (21). Optimal linear state estimator with multiple packet dropouts, IEEE Trans. Autom. Control 55(6): Löfberg, J. (24). YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB, Proc. 24 IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Control Syst. Des., Taipei, Taiwan, pp ethz.ch/~joloef/yalmip.php. Oliveira, R. C. L. F., Bliman, P.-A. and Peres, P. L. D. (28a). LMIs robustas com parâmetros em um multi-simplex: Existência de soluções e aplicações em estabilidade de sistemas lineares, XVII CBA, Juiz de Fora, MG, Brasil. Oliveira, R. C. L. F., Bliman, P.-A. and Peres, P. L. D. (28b). Robust LMIs with parameters in multisimplex: Existence of solutions and applications, Proc. 47th IEEE Conf. Decision Control, Cancun, Mexico, pp Pan, Y.-J., Marquez, H. J. and Chen, T. (26). Stabilization of remote control systems with unknown time varying delays by lmi techniques, Int. J. Control 79(7): Rehbinder, H. and Sanfridson, M. (24). Scheduling of a limited communication channel for optimal control, Automatica 4(3): Reimann, S., Wu, W. and Liu, S. (212). A novel controlschedule codesign method for embedded control systems, Proc. 212 Amer. Control Conf., Fairmont Queen Elizabeth, Montréal, Canada, pp Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.2, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones, Optim. Method Softw. 11(1 4): sedumi.ie.lehigh.edu/. Wen, S., Guo, G., Yang, G. and Yue, W. (213). Protocol sequence-based control of networked systems, Proc. 52st IEEE Conf. Decision Control, Florence, Italy, pp Zhang, L., Shi, Y., Chen, T. and Huang, B. (25). A new method for stabilization of networked control systems with random delays, IEEE Trans. Autom. Control 5(8): Zhou, C., Du, M. and Chen, Q. (212). Co-design of dynamic scheduling and h-infinity control for networked control systems, Applied Mathematics and Computation 218: