UTILIZANDO A MODELAGEM PARA EXPLORAR CONTEÚDOS MATEMÁTICOS ESPECÍFICOS E SAUS APLICAÇÕES

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1 UTILIZANDO A MODELAGEM PARA EXPLORAR CONTEÚDOS MATEMÁTICOS ESPECÍFICOS E SAUS APLICAÇÕES Amanda Rodrigues Savóia Faculdade de Matemática CEATEC amanda_savoia@puc-campinas.edu.br Júlio César Penereiro Grupo de Pesquisa: Modelagem Matemática CEATEC jcp@puc-campinas.edu.br Resumo: A modelagem matemática tem como função criar modelos para resolução de problemas do cotidiano, relacionando assim a Matemática com as outras áreas do conhecimento. Ela surge como um caminho para que possa tornar a Matemática estudada nos Ensinos Fundamental e Médio, tão temida e desinteressante, numa Matemática prazerosa e intrigante. Neste trabalho, para que ocorra essa interdisciplinaridade, foram escolhidos como tema de estudos os cânceres de mama e próstata. Os conteúdos matemáticos abordados foram alguns tipos de funções, matrizes e a Lógica Fuzzy, sendo esse último uma aplicação sucinta para ser trabalhado no Ensino Médio. A escolha desses conteúdos deu-se através de pesquisas em trabalhos de modelagem matemática, nos quais se pôde verificar que são poucos abordados. Para a contextualização desses conteúdos foram usados dados sobre números de infectados, extraídos diretamente de dados disponíveis do Instituto Nacional do Câncer (INCA) nas diferentes regiões do Brasil. Por meio desses, foram realizados alguns estudos matriciais visando entender como ocorre o crescimento do número de casos. Também se utilizou alguns tipos de funções para modelar o crescimento de um tipo de tumor e aplicou-se a Lógica Fuzzy para inferir o grau de pertinência que um indivíduo tem para desenvolver câncer de mama ao longo da vida. Palavras-chave: modelos matemáticos, câncer de mama e de próstata, método de ensino. Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra Modelagem Matemática. 1. INTRODUÇÃO Na educação brasileira verifica-se que a carga horária de aulas de Matemática é a maior, em comparação com as demais disciplinas. Esse dado nos faz pensar que essa matéria possui um grau de importância elevado. Porém, contradizendo esse pensamento, somos surpreendidos por um grande desinteresse e um baixo rendimento por parte dos alunos [1]. Para que possamos criar um novo caminho para a educação, segundo Bassanezi [2], necessitamos de instrumentos matemáticos que criem vínculos com outras áreas do conhecimento, fazendo com que esse novo jeito de ensinar se aproxime da realidade dos alunos. Assim, é possível contextualizar a utilização da Matemática, além de tornar o processo de ensino e aprendizagem interessante e prazeroso. No caso desse trabalho, os conteúdos matemáticos abordados foram matrizes e algumas funções. Além disso, foi realizada uma introdução à Lógica Fuzzy, que pode ser desenvolvida e trabalhada em escolas do Ensino Médio. Na sala de aula, uma das formas de utilizar a modelagem matemática é dividir os alunos da classe em grupos. Uma das propostas nesse tipo de ação é, além de aprender as técnicas matemáticas, fazer com que o aluno ganhe conhecimentos reflexivos e tecnológicos, no sentido da aplicação matemática na construção dos modelos [1]. Como tema central de estudo neste trabalho, optamos pelas neoplasias malignas de mama e de próstata, isso é, o câncer de mama e de próstata. Para efeitos de esclarecimentos, um câncer é resultado do crescimento celular desordenado, que ocorre em uma única célula, recebendo o nome de tumor [4]. 2. INFORMAÇÕES SOBRE AS NEOPLASIAS Segundo o Instituto Nacional do Câncer (INCA), as causas para a ocorrência do câncer são várias, podendo ser internas ou externas ao organismo. As internas normalmente são geneticamente determinadas ligadas a capacidade do organismo de se defender de agressões externas. Já as externas estão aliadas a hábitos de cada pessoa, por exemplo, o fumo e uma grande exposição ao Sol [5 e 6]. Das neoplasias, a mais comum entre as mulheres atualmente é o câncer de mama. O elevado grau de casos está tornando-se um problema de saúde publica em toda a America Latina. Estudos realizados no Estado de São Paulo apontaram-no como a maior causa de mortalidade entre mulheres de idade entre 0 a 49 anos. Já entre os homens, o câncer de próstata está em terceiro lugar na lista como

2 causa de mortalidade, sendo a faixa etária de maior incidência acima dos 50 anos de idade [7]. Um fator que contribui para esse aumento é a existência de exames que possibilitam um diagnóstico precoce, porém a população ainda está mal informada e pouco atenta para as prevenções [6].. MODELOS MATEMÁTICOS RESULTADOS E DISCUSSÕES Tendo como foco o estudo das neoplasias de mama feminina e próstata, e visando aplicar os conteúdos matemáticos citados anteriormente, foi realizado um levantamento dos dados sobre a população brasileira, separada pelas regiões geográficas (Norte, Nordeste, Sul, Sudeste e Centro-Oeste), bem como pela incidência de casos no país. Nesse último caso, o período avaliado foi de 1997 a 2006, como mostra a Tabela 1. Tabela 1. Taxa de incidência de neoplasias malignas. Número de casos de neoplasias malignas por habitantes, segundo região. Apenas para o período: 1997 Região Mama feminina Próstata Brasil 8,08 19,6 Região Norte 25,05 12,04 Região Nordeste 48,5 18,29 Região Sudeste 29,7 19,9 Região Sul 66,99 0,58 Região Centro- Oeste Fonte: 1,42 17,01 Todos os dados aqui tabelados foram originalmente extraídos no endereço eletrônico do Instituto Nacional do Câncer [6]. Para a realização de todos os cálculos foram selecionados os dados referentes à taxa de incidência de câncer de mama e de próstata usando essa mesma fonte bibliográfica..1. Taxa de incidência e número de casos As informações sobre a taxa de incidência de cada tipo de câncer, como mostra a Tabela 1, foram calculadas a partir do número total de casos. Por meio da equação extraída do próprio endereço eletrônico do Instituto Nacional do Câncer [6], foi possível estimar que o número total de casos (x) é expresso por: P TI x (1) Nessa relação, P é o número da população e TI indica a taxa de incidência da neoplasia. Ressaltamos que, no trabalho aqui apresentado foram trabalhados os dados entre 1997 a 2006, já que apenas estava disponível esse período para os casos de interesse. Buscando aplicar o conteúdo matemático sobre matrizes para a obtenção do número de casos por região, empregou-se o dado referente à população total anual de cada região e a respectiva taxa de incidência. Todas essas informações foram dispostas em formato de matrizes, de maneira que o produto resultasse no número de casos de indivíduos infectados. Isso é mostrado através dos exemplos a seguir, apenas para os casos dos cânceres de mama e próstata no ano de As matrizes, nesses casos, são dadas por: Pop, Fem. em 1997 porregião Taxa de incidencia por hab. número de casos [ 25,05 48,5 29,7 66,99 1,42] [ 12,04 18,29 19,9 0,58 17,01] 142, , , , ,56 Pop. masc. em1997 por região Taxa de incidência por hab. Número de casos 708, ,44 666,1 614,9 916,60 De modo similar, esse procedimento foi repetido para todos os dados, ano-a-ano. Outras análises foram feitas na etapa seguinte desse trabalho utilizando apenas os dados referentes à Região Sudeste do país no mesmo período anual..2. Evolução do número de casos Para avaliar como a neoplasia evolui, foram analisados, no período citado, todos os dados contendo o número de casos de câncer de mama e de próstata na Região Sudeste. O diagrama da Figura 1 mostra o comportamento desses casos. Numa simples análise, percebe-se que a tendência dos pontos observados na figura sugere um crescimento do tipo logístico para os dois tipos de cânceres. Para descrever esse tipo de comportamento utilizamos o Modelo de Verhurst. Neste modelo, a hipótese básica é que a população inicialmente cresce de forma exponencial e que, a partir de um determinado instante, ocorre um decréscimo na taxa de crescimento, fazendo com que a população tenda a um valor limite [2]. No contexto do presente trabalho, ao utilizar esse modelo, pode-se dizer que o número de casos (po-

3 pulação infectada) com o passar do tempo tende a se estabilizar. Figura 1. Diagrama de dispersão do número de casos de câncer de mama e próstata na Região Sudeste. Uma possível função que descreve o comportamento deste tipo de crescimento é representada pela equação: k N 0 N ( t ) rt (2) N 0 + ( k N 0 ) e Nessa equação, k representa a população limite, N o é a população inicial e r é a taxa de crescimento. Para avaliar os outros parâmetros envolvidos, utiliza-se o número total de casos de câncer de mama e próstata em cada ano (no intervalo de ). O instante inicial, t0, corresponde ao ano de 1997, incrementando t a cada ano, conforme mostrado na Tabela 2. Tomando como base a equação (2), o valor de N 0 N (0) corresponde, nesse caso, ao valor para o ano 1997, isto é, fazendo t0. Para estimar o valor de k, utilizou-se o método de Ford-Walford [8]. No intuito de se obter uma boa estimativa do valor k, é necessário saber em que instante a taxa de crescimento começa a diminuir. No caso do câncer de mama isso ocorre a partir do ano de 2001, e para o câncer de próstata, no ano de A estimativa do valor do equilíbrio (população limite) utiliza o fato que, uma vez atingido esse valor, o número de casos não varia mais, o que significa dizer que N t N t+1. Para determinar este valor, se relaciona os valores da população nos instantes t e t + 1. A partir desses pontos, ajusta-se uma função do tipo N t+ 1 f ( N t ) (aqui se utilizou a equação de uma reta) e se determina a intersecção dessa função com a reta ajustada N t+1 Nt, como mostra a Tabela, obtida como foi sugerido por []. A Figura 2 mostra os gráficos para os dois tipos de cânceres e os respectivos ajustes lineares utilizando a relação N f ( N ) t+ 1 t. Tabela 2. Número de casos de câncer de mama e próstata na Região Sudeste. Ano t P(mama) P(prostata) ,16 666, ,90 684, ,18 601, , 9122, , , , , , , , , , ,69 Tabela. Valores do modelo Ford-Walford. Mama Próstata 2161, , , , , , , , , , , , , , , , Câncer de Mama y 0,554x R 2 0,6468 Câncer de Próstata y 0,650x + 910, R 2 0,5181 Figura 2. Ajustes lineares para os cânceres de mama (em vermelho) e próstata (em verde). Através da intersecção da reta obtida na Figura 2 com a bissetriz, se obtém os valores de k para o câncer de mama k 29706,27 () (1 0,554) Substituindo o valor de k na equação (1), e sendo o valor inicial N , 16, (por meio da Tabela 2), ,92 obtêm-se: N( rt 10296, ,11 e De forma análoga, para o câncer de próstata, temse, a partir da Figura : 910 k 26008,57 (4) (1 0,5)

4 Novamente, substituindo o valor de k na equação (1), só que agora com o valor inicial N , 57, (Tabela 2), tira-se: ,56 N ( rt 666, ,26 e Assim, para estimar a taxa de crescimento r em cada caso, isolam-se os parâmetros nas equações anteriores e obtém-se para os cânceres de mama e próstata respectivamente: ,92 P( 19410,11 r ln t 10296,16 e ,56 666,1 P( 1945,26 r ln t A partir destas expressões e usando os valores para t e N( da Tabela 2, para os respectivos casos, encontrou-se para o câncer de mama: ,92 r 0,449 ; N ( t ) 0, 449 t 10296, ,11 e E para o câncer de próstata: ,56 r 0,55 ; N ( 666, ,26 e 0,55 t Consequentemente, ao aplicar o modelo nos valores estudados, obtêm-se os gráficos da Figura que mostra as evoluções dos cânceres de mama e próstata no período avaliado. Figura. Evolução dos casos de câncer de mama (em cor rosa) e próstata (em cor verde). Como é possível verificar através dos comportamentos das curvas acima, no caso do câncer de mama o ajuste do modelo está em acordo com a distribuição dos casos referente ao período estudado. Porém, no caso do câncer de próstata, uma análise mais aprimorada será necessária, visto que é perceptível que o modelo elaborado não consegue ajustar adequadamente os dados que representam o total de indivíduos infectados no período. Vale notar que o INCA não contabilizou dados no ano 2004 para os dois tipos de cânceres. Dessa forma, não se pode concluir nada a priori com relação ao câncer de próstata, pelo ao menos aplicando o modelo acima sugerido... Crescimento do tumor Como resultado obtido na seção anterior, outra etapa do trabalho buscou descrever matematicamente a evolução do tamanho de um tumor de mama. Nessa etapa da pesquisa, o intuito foi o de realizar um estudo mais abrangente a respeito dessas neoplasias. Através de consultas na literatura, foram obtidos, dentre outras informações, dados para a elaboração do modelo para o crescimento do tumor. Segundo Abreu e Koifman [9] o tempo em que uma célula demora a atingir 1 cm de diâmetro é de cerca de 8 anos. O tamanho de uma célula varia entre 10 µm a 100 µm (sendo que, 1 µm corresponde a m). Segundo os mesmos autores, o tempo de duplicação da célula é de aproximadamente 100 dias. Assim, para efeitos dos cálculos apresentados a seguir, foi considerado um tamanho médio de uma célula correspondente a 10 µm. Considerando que o crescimento das células ocorra de forma exponencial, o número de células em função do tempo pode ser descrito pelo modelo: N 0 k t ( t ) N e (5) Usando o fato do tempo de que a duplicação de uma célula tumoral corresponde a 100 dias, obtémse que o valor da constante k na função acima é 100k 2 N0 N0e, onde se obtém o valor k 0,0069. Desta maneira, conclui-se que em oito anos, que corresponde a 2920 dias, tem-se um número aproximado de células dado por: 0,0069 x2920 N (2920) e células Como em oito anos o diâmetro de um tumor chega a medir 1 cm, pode-se estimar o volume do mesmo, 4 pela relação V π r. Assim, obtém-se que para o caso: 4 V ( 8 ) π ( 0,5 ) 0,52 cm Consequentemente, o volume de cada célula pode ser calculado com a razão entre o volume total V ) e o número total de células (C) do tumor. Logo: ( t

5 V t,52 10 V 0 cel V cel 8,5 10 C Esta expressão permite estimar o volume do tumor em função do tempo. Para N 0 1 (admitindo que o tumor inicia-se com o crescimento exponencial de uma célula), obtém-se: foi classificada de acordo com as variáveis lingüísticas denominadas de precoce, normal e tardia. Tabela 4. Fatores de risco para o câncer de mama. V( V N( 8,5x10 e (6) cel t Isso remete à possibilidade de avaliar o comportamento da evolução de células tumorais em casos específicos, isto é, em câncer de mama, próstata, pulmão, dentre outros. Porém, vale lembrar que esse estudo ainda está em fase preliminar e será desenvolvido posteriormente..4 Estudo aplicativo da Lógica Fuzzy A palavra Fuzzy tem significado de algo nebuloso ou impreciso. De fato, a Teoria Fuzzy é utilizada para modelar matematicamente informações vagas ou imprecisas. Assim, uma determinada função característica associa-se a cada elemento do conjunto universo um valor, que mostra o grau de pertinência do mesmo ao conjunto, previamente definido [10]. Um sistema baseado em regras da Teoria Fuzzy é válido para explicar lingüisticamente relações muito complexas ou que ainda não são bem entendidas para serem descritas por modelos matemáticos precisos [10]. Em se tratando da função de pertinência de conjuntos Fuzzy, os valores que essa função assume têm caráter qualitativo, indicando o grau que o elemento pertence ao conjunto A [10]. Quanto mais próximo esse valor está de 1, mais esse elemento pertence a A. Quando o valor for exatamente igual a 1, indica pertinência completa. Mas, quando esse valor for exatamente igual a 0, indica que o elemento não pertence ao conjunto [11]. Nesta etapa do trabalho, o intuito foi modelar matematicamente com conjuntos da Lógica Fuzzy os riscos de uma mulher desenvolver câncer de mama. A Tabela 4 mostra a classificação dos riscos (muito elevado, medianamente elevado, pouco elevado), segundo diferentes fatores. Dentre os fatores de riscos mostrado na Figura 4, foi escolhido o fator idade da menarca para ser modelado por conjuntos da Lógica Fuzzy. Segundo Scaf [12], o limite mínimo da normalidade da menarca é de 10 anos, e o limite máximo atinge 16 anos de idade. Considera-se ainda que, a menarca antes dos 10 anos é considerada precoce e, após 16 anos, tardia. Assim, a idade da primeira menarca Fonte: Figura 4. Grau de pertinência para câncer de mama, segundo a Teoria Fuzzy. O gráfico mostrado na Figura 4 ilustra o grau de pertinência de cada uma destas variáveis, de acordo com a idade na qual ocorreu a primeira menarca. Para se interpretar matematicamente o comportamento da Figura 4, optou-se por considerar uma função linear por partes do tipo: 1, para0 x x +, para9 < x x, para10 x < 1 y 1 16 x +, para1 < x x, para1 < x , para x > 17 Isso está em acordo com a linha de pensamento semelhante adotada por Oliveira, que empregou como possíveis variáveis linguísticas de imagens de mamografias, e identificou que a idade e os fatores de risco (sendo que esses fatores os mesmos citados na Tabela 4, e dentre eles, menarca precoce,

6 menopausa tardia, primeira gestação depois dos 40 anos, dentre outros), são as principais informações que quantificavam os fatores para ocorrência do câncer de mama [11]. O modelo aqui proposto é preliminar, e apenas ilustra como as variáveis lingüísticas podem ser representadas por um modelo matemático, como no caso a Teoria Fuzzy. Essa ferramenta matemática possibilita ainda que sejam estipuladas regras entre os diferentes fatores apontados na Tabela 4 para determinação do grau de risco de desenvolvimento do câncer de mama. Porém, esse tipo de análise e suas consequências serão efetuados numa próxima etapa do trabalho. 4. COMENTÁRIOS FINAIS O trabalho realizou um estudo utilizando a modelagem matemática no emprego de matrizes, funções, e também, proporcionar um conhecimento sobre a lógica Fuzzy, através da aplicação de dados obtidos pelo Instituto Nacional do Câncer [6]. Foi possível obter, através desses dados, o número de casos através de multiplicação matricial, a tendência dessas neoplasias foi de se estabilizar ao longo do tempo. Para essa análise foram utilizados alguns tipos de funções e ajustes lineares, além do que no caso do crescimento do tumor tomou-se como base uma função exponencial. Esse trabalho abre uma perspectiva no sentido de continuar a análise para os dados de câncer de mama e próstata nas demais regiões do Brasil, com o intuito de verificar se o comportamento apresentado pela região Sudeste é válido para as demais. AGRADECIMENTOS Agradecemos a PROPESQ, a Reitoria da PUC- Campinas e ao CNPq pela bolsa PIBIC ( ) de Iniciação Científica. Agradecemos a colaboração da Profa. Dra Maria Beatriz Ferreira Leite pelo apoio e orientação inicial desse projeto de pesquisa. REFERÊNCIAS [1] Almeida, L. M. W.; Brito, D. S. (2005), Atividades e Modelagem Matemática: Que sentido os alunos podem lhe atribuir? Ciência & Educação, v. 11, n., p [2] Bassanezi, R. C. (2002), Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Ed. Contexto. [] Silva, G. H. J. (2009a), Explorando conteúdos matemáticos dos ensinos Fundamental e Médio a partir de modelos matemáticos, Anais do XIV Encontro de I.C. da PUC-Campinas. [4] Reis, A. N. (2001), Simulação do crescimento de tumores. Monografia. Disponível em: < 4tc_adriana_reis.pdf>. Acesso em 11/nov./2009. [5] Brasil. (2009a), Ministério da Saúde. Departamento de Informação e Informática do SUS. Indicadores e Dados Básicos Brasil Brasília: DATASUs. Disponível em: < Acesso em: 14/10/2009. [6] Instituto Nacional do Câncer de Mama, (INCA). (2009), Disponível em: Consulta feita em: 22/10/2009. [7] Guerra, M. R., Gallo, C. V. M., Mendonça, G. A. S. (2005), Risco de câncer no Brasil: tendências e estudos epidemiológicos. Disponível em: Acesso em 17/06/2010. [8] Silva, M. N. (2009b), Modelagem matemática na formação continuada: Análise das concepções de professores em um curso de especialização. Disponível em: < pos/edmat/ma/dissertação/marcelo_navarro_ silva.pdf>. [9] Abreu, E.; Koifman, S. (2002), Fatores prognósticos no câncer de mama feminina. Revistas Brasileiras de Cancerologia, 48(1): Disponível em:< /n_48/v01/pdf/revisão.pdf>. Acesso em: 06 nov [10] Nicoletti, M.C.; Camargo, H.A. (2004), Fundamentos da Teoria de Conjuntos Fuzzy. São Carlos: Editora UFSCar. [11]Oliveira, D. (2008), Previsão de desenvolvimento de câncer de mama sob a ótica Fuzzy. Disponível em: _Pos/Paginas/520/Exatas?PDF/Previ.pdf..Acesso em: 0/05/2010. [12] Skaf, G.; Freitas, J.A.S.; Damante, J.H. (198), Determinação da idade da menarca em meninas brancas, brasileiras, da região de Bauru. Disponível em: http// paulo.usp.br/upload/pdf/80.pdf. Acesso em: 0/05/2010.