CAPÍTULO 3 INTRODUÇÃO AOS ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 CAPÍTULO 3 INTRODUÇÃO AOS ALGORITMOS GENÉTICOS Estéfane G. M. de Lacerda André Carlos P. L. F. de Carvalho 3.1 UM ALGORITMO GENÉTICO SIMPLES A lgo ritm o s Genéticos, A Gs, são métodos de otimização e busca inspirados nos mecanismos de evolução de populações de seres vivos. Foram introduzidos por John Holland (Holland, 1975) e popularizados por um dos seus alunos, David Goldberg (Goldberg, 1989). Estes algoritmos seguem o princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto, declarado em 1859 pelo naturalista e fisiologista inglês Charles Darwin em seu livro A Origem das Espécies. De aco rdo com Charles Darwin, Quanto melhor um indivíduo se adaptar ao seu meio ambiente, m aior será sua chance de so breviver e gerar descendentes. Otim iz ação é a busca da melhor solução para um dado pro blem a. Consiste em tentar várias soluções e utilizar a inform ação obtida neste processo de forma a encontrar so luçõ es cada vez melhores. Um exemplo simples de otim iz ação é a melhoria da imagem das televisões com antena aco plada no próprio aparelho. A través do ajuste manual da antena, várias soluções são testadas, guiadas pela qualidade de im agem obtida na TV, até a obtenção de uma resposta ótima, o u seja, um a boa imagem.

2 88 Est fane Lacerda e Andr Carvalho A s t cnicas de busca e otimizaç o, geralm ente, apresentam : Um espaço de busca, onde est o todas as possíveis so luç es do problema; Um a funç o objetivo (algumas vezes chamada de f unç o de aptid o na literatura de AGs), que utiliz ada para avaliar as soluç es produzidas, asso ciando a cada uma delas uma nota. Em termos matem ticos, a otimiz aç o consiste em achar a so luç o que corresponda ao ponto de m ximo ou mínimo da f unç o objetivo. Com o exemplo, co nsidere o seguinte pro blem a de otimizaç o que ser utilizado no decorrer deste capítulo: Problema 3.1 Achar o ponto m ximo da funç o f ( x) = x sen(10π x) + 1 dentro do intervalo 1 x 2. Em bo ra aparentemente simples, o Problema 3.1 n o de f cil so luç o. Existem v rios pontos de m ximos nesta funç o (po ntos que maximizam o valor da funç o), m as muitos n o representam o maior valor que a funç o pode atingir, co nform e ilustrado na Figura 3.1. T ais pontos s o deno m inado s máximos locais, um a vez que a funç o nestes po nto s atinge valores maiores do que na viz inhança destes po nto s. A melhor soluç o para este problema est no ponto em que a funç o possui valor m ximo, o máximo global. Neste pro blem a, o m ximo global encontra- se no ponto cujo valor de x igual a 1, Neste ponto, a funç o assume o valor 2, Co nf o rm e ser mostrado na Seç o 3.2, um a grande quantidade de t cnicas de otimizaç o (por exemplo, os m todos do gradiente) n o capaz de localiz ar o ponto de m ximo global de uma funç o com múltiplos pontos de m ximo. Esta seç o m o strar co m o utilizar AGs para encontrar o m ximo global do Problema 3.1.

3 Capítulo 3 Introdução aos Algoritmos Gen ticos 89 f(x) = x sen( 10πx) + 1 3, 0 2, 0 1, 0 0, 0 Má xi mo l ocal Má xi mo gl obal -1, 0-1, 0-0, 5 0, 0 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 x Figura Gr fico da funç o da f(x) = x sen(10 πx) + 1

4 90 Est fane Lacerda e Andr Carvalho A lgoritmo 3.1: A lgo ritm o Gen tico típico Seja S(t) a populaç o de cromossomos na geraç o t. t 0 inicializar S(t) avaliar S(t) enquanto o crit rio de parada n o for satisfeito faça t t+ 1 selecio nar S(t) a partir de S(t- 1) aplicar cr ossover sobre S(t) aplicar mutaç o sobre S(t) avaliar S(t) fim enquanto O primeiro passo de um Algoritmo Gen tico típico a geraç o de uma população inicial de cromossomos, que formada po r um conjunto aleatório de cromossomos que representam possíveis soluç es do problema a ser resolvido. Durante o processo evolutivo, esta populaç o avaliada e cada cro m ossomo recebe uma nota (denominada de aptidão no jarg o da literatura de AGs), refletindo a qualidade da soluç o que ele representa. Em geral, os cromossomos mais aptos s o selecio nados e os menos aptos s o descartados (Darwinismo). Os membros selecio nado s podem sofrer modificaç es em suas características fundamentais atra s dos operadores de crossover e mutação, gerando descendentes para a próxima geraç o. Este processo repetido at que uma soluç o satisf ató ria seja encontrada. O Algoritmo 3.1 ilustra este pro cedim ento. A s seç es seguintes descrevem com mais detalhes cada etapa deste algoritmo REPRESENTAÇÃO DOS PARÂMETROS Um AG processa populaç es de cromossomos. Um cro m ossomo uma estrutura de dados, geralm ente vetor ou

5 Capítulo 3 Introdução aos Algoritmos Gen ticos 91 cadeia de bits (cadeia de bits a estrutura mais tradicional, po r m nem sempre a melhor), que representa uma possível so luç o do problema a ser otimizado. Em geral, um cro m ossomo representa um conjunto de parâmetros da funç o o bjetivo cuja resposta ser maximiz ada ou minimiz ada. O co njunto de todas as configuraç es que o cromossomo pode assumir forma o seu espaço de busca. Se o cromossomo representa n parâm etro s de uma funç o, ent o o espaço de busca um espaço com n dim ens es. O primeiro passo para resolver o Problema 3.1 utilizando AGs representar o único parâmetro deste problema (a vari vel x) na forma de um cromossomo. Ser ado tada uma cadeia de 22 bits para o cromossomo (maiores cadeias aumentam a precis o num rica da soluç o). A ssim, um exemplo de cro m ossomo poderia ser: s 1 = Para decodificar o cromossomo s 1, converte- se s 1 da base 2 para a base 10: b 10 = ( ) 2 = Co m o b 10 um número no intervalo [0, 2 l - 1] (sendo l o tam anho da cadeia de bits), necess rio mape -lo para o intervalo do problema [- 1,0; 2,0]. Isto pode ser feito pela fórm ula: assim, b10 x = min+ (max min) l = 1+ (2 + 1) x 1 = 22 ( 2 1) 0, Vale observar que funç es objetivo com múltiplos parâmetros t m seus parâmetros representados na mesma cadeia de bit, co m cada um ocupando uma parte da cadeia. A cada cro m ossomo s i atribuída uma aptid o f i. A ptid o uma nota

6 92 Est fane Lacerda e Andr Carvalho que mede qu o boa a soluç o codificada em s i. É baseada no valor da funç o objetivo, e ser discutida na próxima seç o SELEÇÃO Um Algoritmo Gen tico começa com uma populaç o inicial de N cro m o sso m o s. A populaç o inicial do Problema 3.1, com N = 30, m ostrada em uma das colunas da Tabela 3.1 ordenado s por ordem decrescente do valor da funç o objetivo, co m o tamb m mostra-se o valor de x co dif icado no cro m ossomo, o valor da funç o objetivo e a aptid o para este valor. Os cromossomos foram gerados aleatoriamente, porque neste problema n o existe nenhum conhecimento pr io sobre a regi o do espaço de busca onde se encontra a soluç o do pro blem a. Os pontos da funç o representados pelos cro m ossomos da populaç o inicial s o mostrados na Figura 3.2. f(x) = x sen( 10πx) + 1 3, 0 2, 5 2, 0 1, 5 1, 0 0, 5 0, 0-0, 5-1, 0-1, 0-0, 5 0, 0 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 x Figura Cromossomos da Populaç o Inicial Inspirado no processo de seleç o natural de seres vivos, o A lgo ritm o Gen tico seleciona os melhores cromossomos da po pulaç o inicial (aqueles de alta aptid o) para gerar cromossomos filhos (que s o variantes dos pais) atra s dos o peradores de cr ossover e mutaç o. Um a populaç o intermedi ria (tam b m chamada de m ating pool) utiliz ada para alocar os cromossomos pais selecionados. Geralm ente, os pais s o selecionados com probabilidade proporcional à sua

7 Capítulo 3 Introdução aos Algoritmos Gen ticos 93 aptid o. Portanto, a probabilidade de seleç o p i, de um cro m ossomo s i co m aptid o f i, dada por: p i = f i N i = 1 f i A seleç o pode ser feita pelo seguinte procedimento pr tico: calcula- se uma coluna de aptid es acumuladas. Em seguida, gera- se um n mero aleatório r (tirado de uma distribuiç o unif orm e) no intervalo [0, SOMA T OT A L], o nde SOMATOTAL a so m a de todas as aptid es. Po r fim, o cromossomo selecio nado o primeiro (seguindo a tabela de cima para baixo) que possui aptid o acumulada maior que r. Po r exem plo, se r = 28,131, ent o o cromossomo da linha 23 da T abela 3.1 selecionado, e sua cópia alocada na populaç o interm edi ria. Os mesmos passos s o repetidos at preencher a populaç o intermedi ria com N cro m o sso m o s. Este pro cedim ento, co nhecido como Roda da Roleta, apresentado pelo Algoritmo 3.2. T abela Populaç o Inicial Posiçã o i Cro m osso m o s i x i Funç o objetivo f(x i ) A ptid o f i A ptid o acum ulad a i f k = 1 k 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,96552

8 94 Est fane Lacerda e Andr Carvalho , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,79310

9 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos , , , , , , , , , , , , ,00000 A lgoritmo 3.2: Ro da da Roleta N total f i /* a soma das aptid es de todos os cromossomos da populaç o i= 1*/ rand randô m ico(0, total) total parcial 0 i 0 rep etir i i+ 1 total parcial total parcial + f i até total parcial rand retornar o cromossomo s i V rias alternativas t m sido propostas para definir a aptid o. A mais simples iguala a aptid o ao valor da funç o objetivo. A ssim, a aptid o do cromossomo s 1 seria: f = 0,637197sen(10π 0,637197) = 1, Vale observar que a aptid o definida desta forma pode assumir valores negativos e o algoritmo Roda da Roleta n o f uncio na com aptid es negativas. A l m disso, po de gerar tam b m problemas como converg ncia prematura (conforme ser m o strado na Seç o 3.3). É p o ssível, no entanto, dispensar o Algoritmo Roda da Roleta e utiliz ar Seleç o por Torneio. Neste caso, s o escolhidos, aleatoriam ente, (co m pro babilidades iguais) n cro m o ssomos da populaç o, e o cro m ossomo com maior aptid o selecionado para a

10 96 Est fane Lacerda e Andr Carvalho po pulaç o intermedi ria. O processo repete-se at preencher a po pulaç o intermedi ria. Utiliz a- se, geralm ente, o valor n = 3. Outra forma de definir aptid o pelo ordenamento do cro m ossomo na populaç o, co nform e se obteve na Tabela 3.1. O primeiro cromossomo do ordenamento recebeu uma aptid o arbitr ria igual a 2,0, e ao ltimo cromossomo do ordenam ento foi atribuído o valor 0,0. A s demais foram o btidas interpolando estes dois extremos por uma reta, ou f i = 2 N i N 1, sendo N o tamanho da populaç o. seja, ( ) ( ) CROSSOVER E MUTAÇÃO Os operadores de cr ossover e a mutaç o s o os principais m ecanism o s de busca dos AGs para explorar regi es desconhecidas do espaço de busca. O operador cr ossover aplicado a um par de cromossomos retirados da populaç o interm edi ria, gerando dois cromossomos filhos. Cada um dos cro m ossomos pais tem sua cadeia de bits cortada em uma posiç o aleatória, pro duz indo duas cabeças e duas caudas. A s caudas s o trocadas, gerando dois novos cromossomos. A Figura 3.3 ilustra o comportamento deste operador. pai 1 ( ) pai 2 ( ) filho 1 ( ) filho 2 ( ) Figura Cr ossover O cr ossover aplicado com uma dada probabilidade a cada par de cromossomos selecionados. Na pr tica, esta probabilidade, deno m inada de taxa de crossover, varia entre 60% e 90%. N o o co rrendo o cr ossover, o s filhos ser o iguais aos pais (isto perm ite que algumas soluç es sejam preservadas). Isto pode ser implementado, gerando n meros pseudo- aleató rio s no intervalo [0,1]. A ssim, o cr ossover só aplicado se o n mero gerado for menor que a taxa de cr ossover.

11 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 97 A pó s a operaç o de cr ossover, o operador de mutaç o aplicado, co m dada probabilidade, em cada bit dos dois filhos. O operador de mutaç o inverte os valores de bits, o u seja, m uda o valor de um dado bit de 1 para 0 ou de 0 para 1. A Figura 3.4 apresenta um exemplo em que dois bits do primeiro filho e um bit do segundo sofrem mutaç o (bits estes que passaram no teste de probabilidade). A mutaç o melhora a diversidade dos cromossomos na populaç o, no entanto por o utro lado, destró i informaç o contida no cromossomo, lo go, deve ser utilizada uma taxa de mutaç o pequena (norm alm ente entre 0,1% a 5%), m as suficiente para assegurar a diversidade. Antes Depois filho 1 ( ) filho 2 ( ) filho 1 filho 2 ( ) ( ) Figura Mutaç o A Figura 3.5 ilustra a aplicaç o do operador de cr ossover a cada par de cromossomos da populaç o intermedi ria e os bits que sofreram mutaç o na nova populaç o. Os pontos representado s pela primeira geraç o de cromossomos s o m o strado s na Figura 3.6. A inda n o houve melhora signif icativa com relaç o à populaç o inicial, ou seja, os cro m ossomos ainda est o distantes do m ximo global da f unç o. Índice Original População Intermediária (Mating pool) Crossover e Mutação Ponto Primeira Geração de (o sublinhado indica mutação) Corte

12 98 Est fane Lacerda e Andr Carvalho Figura Gerando uma nova populaç o f(x) = x sen(10πx) + 1 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x Figura Pontos da primeira geraç o de cromossomos A pó s a definiç o da primeira populaç o, o procedimento se repete por um dado n mero de geraç es. Quando se conhece a respo sta m xima da funç o objetivo, pode- se utilizar este valor como crit rio de parada do Algoritmo Gen tico. Na Figura 3.7, ilustrada a ltima geraç o, a vig sima quinta, em

13 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 99 que boa parte dos cromossomos representa pontos no pico do m xim o global. N o h um crit rio exato para terminar a execuç o do AG. Por m, com 95% d o s cromossomos representando o mesmo valor, possível diz er que o algoritmo co nvergiu. f(x) = x sen(10πx) + 1 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x Figura Cromossomos da vig sima quinta geraç o ELITISMO A Figura 3.8 ilustra, para cada geraç o, o valor da funç o o bjetivo para o melhor cromossomo da populaç o, al m do valor m dio da funç o objetivo de toda a populaç o. Vale o bservar que o melhor cromossomo pode ser perdido de uma geraç o para outra devido ao corte do cr ossover o u à o co rr ncia de mutaç o. Po rtanto, interessante transferir o m elho r cromossomo de uma geraç o para outra sem alteraç es (porque perder a melhor soluç o encontrada at ent o?). Esta estrat gia denominada Elitismo, sendo muito co m um nos AGs tradicionais. O Elitismo foi proposto por DeJo ng (1975), um dos trabalhos pioneiros sobre AGs. A Figura 3.9 mostra o desempenho do melhor cromossomo em cada geraç o, usando o AG com e sem Elitismo, com os valores plo tados no gr fico representando a m dia de 100 execuç es do AG. Claram ente mostrado que, neste problema, o AG com elitism o encontra a soluç o mais r pido que o AG sem elitismo (vale ressaltar que, em algumas execuç es, o AG o casio nalm ente encontra m ximos locais, tornando a m dia dos melhores cromossomos menor que o m ximo da funç o).

14 100 Est fane Lacerda e Andr Carvalho Função objetivo 3,0 2,5 2,0 1,5 Média Melhor 1,0 0, Geração Figura O maior valor e o valor m dio da funç o objetivo em cada geraç o 3,0 2,8 AG com elitismo AG sem elitismo Função objetivo 2,6 2,4 2,2 2, Geração Figura Desempenho do AG com Elitismo CROSSOVERS DE N PONTOS E UNIFORME Os tipos de operadores cr ossover m ais conhecidos para cadeias de bits s o o de n po nto s e o uniforme. O cr o ssover de 1 ponto o mesmo apresentado na Seç o 3.3. O de 2 pontos apresentado na Figura Os dois pontos de corte s o esco lhidos aleatoriamente, e as seç es entre os dois pontos s o trocadas entre os pais. O cr ossover de 4 pontos mostrado na Figura O cr ossover de n po nto s mais usado tem sido o de 2 pontos por algumas raz es mostradas na Seç o 3.7.

15 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 101 pai 1 pai filho 1 filho Figura Cr ossover de 2 pontos pai pai filho fillho Figura Crossover de 4 pontos O cr ossover uniform e apresentado na Figura Para cada par de pais gerada uma m scara de bits aleatórios. Se o prim eiro bit da m scara possui o valor 1, ent o o primeiro bit do pai 1 co piado para o primeiro bit do filho 1. Caso contr rio, o primeiro bit do pai 2 co piado para o primeiro bit do filho 1. O pro cesso se repete para os bits restantes do filho 1. N a geraç o do filho 2 o procedimento invertido, o u seja, se o bit da m scara 1, ent o ser copiado o bit do pai 2. Se o bit for igual a 0, ent o ser copiado o bit do pai 1. Vale notar que o cr ossover unif orm e n o a mesma coisa que o cr ossover de (l- 1) pontos (l o n mero de bits do cromossomo), um a vez que este sem pre leva a metade dos bits de cada pai.

16 102 Est fane Lacerda e Andr Carvalho Máscara de bits pai filho pai Figura Cr ossover Unif orm e Em Eshelman et al. (1989), investigada a diferença de desem penho entre v rios cr ossover s de n po nto s e uniforme. A co nclus o, conform e relatado em Beasley (1993), que n o h grandes diferenças de desempenho entre eles. A li s, segundo Gref enstette (1986), o AG robusto de tal modo que, dentro de um a faixa relativamente larga de variaç o de parâmetros (e.g. taxas de cr ossover e mutaç o, tam anho da populaç o, etc.), n o o co rre alteraç o significativa no desempenho. No item a seguir, ser apresentada a relaç o entre AGs e a biolo gia, co m o tam b m a explicaç o dos principais termos utiliz ados na literatura de AGs TERMINOLOGIA Na biologia, a teoria da evoluç o diz que o meio ambiente selecio na, em cada geraç o, o s seres vivos mais aptos de uma po pulaç o para sobreviv ncia. Co m o resultado, som ente os m ais aptos conseguem se reproduzir, um a vez que os menos adaptado s geralmente s o eliminados antes de gerarem descendentes. Durante a reproduç o, o co rrem fenômenos co m o mutaç o e cr ossover (reco m binaç o), entre outros, que atuam sobre o material gen tico armazenado nos cro m ossomos. Estes fenômenos levam à variabilidade dos seres vivos na populaç o. So bre esta populaç o diversificada age a seleç o natural, perm itindo a sobreviv ncia apenas dos seres mais adaptados. Um Algoritmo Gen tico a met fora desses fenômenos, o que explica porque AGs possuem muitos termos originados da

17 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 103 biolo gia. A lista apresentada a seguir descreve os principais term o s encontrados na literatura. Cromossomo e Genoma: Na biologia, genom a o co njunto completo de genes de um organismo. Um geno m a pode ter v rios cromossomos. Nos AGs, os do is representam a estrutura de dados que codifica um a soluç o para um problema, o u seja, um cro m ossomo ou genoma representa um simples po nto no espaço de busca. Gene: Na biologia, a unidade de hereditariedade que transmitida pelo cromossomo e que controla as características do organismo. Nos AGs, um parâm etro codificado no cromossomo, o u seja, um elem ento do vetor que representa o cromossomo. Indiv íduo: Um simples membro da populaç o. No s A Gs, um indivíduo formado pelo cromossomo e sua aptid o. Genótipo: Na biologia, representa a composiç o gen tica contida no Genoma. Nos AGs, representa a inform aç o contida no cromossomo ou genoma. Fenótipo: Nos Algoritmos Gen ticos, representa o o bjeto, estrutura ou organismo construído a partir das informaç es do genótipo. É o cromossomo deco dif icado. Por exemplo, considere que o cro m ossomo codifica parâmetros como as dim ens es das vigas em um projeto de construç o de um edifício, ou as conex es e pesos de uma Rede Neural. O fenótipo seria o edifício construído ou a Rede Neural. A lelo: Na biologia, representa uma das formas alternativas de um gene. Nos AGs, representa os valores que o gene pode assumir. Po r exemplo, um gene que representa o parâmetro cor de um objeto po deria ter o alelo azul, preto, verde, etc. Epistasia: Interaç o entre genes do cromossomo, isto, quando um valor de gene influ ncia o valor de

18 104 Est fane Lacerda e Andr Carvalho o utro gene. Problem as com alta Epistasia s o de difíceis soluç o por AGs. A seç o seguinte aborda alguns aspectos teóricos de AGs ESQUEMAS O Teorema dos Esquemas de Holland (1975) procura f undam entar, teoricam ente, o comportamento dos AGs. Sua co m preens o pode auxiliar na construç o de aplicaç es eficientes de AGs. Holland constatou que os AGs manipulam determ inado s segmentos da cadeia de bits. T ais segmentos foram por ele denominados de esquemas. Um formado pelos sím bo lo s 0, 1 e *. A ocorr ncia do símbolo * em uma posiç o no esquema significa que esta posiç o pode ser ocupada pelo sím bo lo 1 ou 0. A Figura 3.13 mostra alguns exemplos. H1 H2 H **** X X X **10* X *0*01 X Comprimento δ(h 1 ) = 0 Comprimento δ(h 2 ) = 1 Comprimento δ(h 3 ) = 3 Ordem O(H 1 ) = 1 Ordem O(H 2 ) = 2 Ordem O(H 3 ) = 3 Figura 3.13 Esquemas Co nf o rm e mostrado na Figura 3.13, os esquemas H 1 = 1****, H 2 = **10* e H 3 = *0*01 est o contidos no mesmo cromossomo 10101, que ao todo pode ter 2 5 = 32 esquemas. Os cro m ossomos 11001,11011 e possuem o esquema 1****. O comprimento de um esquema δ(h) a diferença entre a ltima posiç o que ocupada por 1 ou 0 e a primeira posiç o que ocupada por 1 e 0. A ordem O (H) de um esquem a o n mero de símbolos 1 e 0 que o esquema cont m. Para prever a variaç o do n mero de esquemas H entre duas geraç es consecutivas, co nsidere m o n mero de

19 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 105 cro m ossomos da populaç o atual que cont m o esquema H. Co nsidere b a m dia das aptid es de toda populaç o e a a m dia das aptid es dos cromossomos que cont m o esquema H. A ssim, o n mero esperado de cópias m do esquema H na po pulaç o intermedi ria (utiliz ando seleç o proporcional à aptid o) dado por: a m = b m Pela equaç o, co nclui- se que o n mero de esquemas H aum entar na populaç o intermedi ria se a> b, o u seja, se o esquem a H estiver contido em cromossomos de aptid o acima da aptid o m dia da populaç o (bons cromossomos). No entanto, ao passar para a próxima populaç o, o esquema H po de ser destruído pelos operadores de cr ossover e de m utaç o. Po r exemplo: Esquem a contido em pai 1 (01* **10) Esquem a contido em pai 2 (*** *101) Esquem a contido em filho 1 (01* *101) O esquema do pai 2 (que tem pequeno comprimento) foi transm itido ao filho 1, m as o esquema do pai 1 (que tem maior co m prim ento ) foi destruído pelo cr ossover. Por m, m esm o co nsiderando estes fatores, o Teorema dos Esquemas afirma que: Peq uenos esq uem as contidos em bons cr om ossom os (i.e. aqueles com aptid acim a da m dia) aum entam exponencialmente nas g er açõ es seg uinte, ao passo que esquem as contidos em cr om ossom os r uins (i.e. aqueles com a aptid o abaixo da m dia) tendem a desaparecer nas g er açõ es seg uintes (Go ldber g, 1989). Os bons esquemas de pequeno tamanho recebem o nome especial de blocos de construç o. A informaç o contida em um bloco de construç o combinada com as informaç es de o utro s blocos de construç o. No decorrer das geraç es, esta co m binaç o produz cromossomos de alta aptid o. Esta

20 106 af irm aç o Construç o. Est fane Lacerda e Andr Carvalho conhecida como a Hipótese dos Blocos de Os problemas que n o obedecem à Hipótese dos Blocos de Co nstruç o s o conhecidos como A G- Deceptiv os. Por exem plo, pode ocorrer que, com binando dois ótimos blocos de co nstruç o, resulte em um cromossomo ruim, o co rrendo isto co m genes que t m alta Epistasia (ver Seç o 3.1.6). Funç es co m esta propriedade tendem a ter um ponto ótimo isolado cercado por pontos extremamente ruins. Feliz m ente, tais f unç es s o raras na pr tica. E, al m disso, s o funç es difíceis para qualquer t cnica de otimizaç o. Ho lland tamb m notou que apesar do AG manipular N cro m ossomos, a quantidade de esquemas manipulados m uito maior (na ordem de O (N 3 ) esquemas). Tal propriedade foi denominada de Paralelismo Implícito. Ou seja, o AG m anipula uma grande quantidade de informaç es em paralelo co m apenas N cro m o ssom o s. Os bons blocos de construç o, quando incorporados em um cro m ossomo, m elhoram sua aptid o. Portanto, im portante estruturar a codificaç o dos cromossomos de modo a estim ular a formaç o de blocos de construç o. So b a luz dos esquemas, possível analisar os diversos tipos de crossovers. Por exemplo, o esquema 1******0 ser f atalm ente destruído pelo cr ossover de 1 ponto, seja onde for o ponto de corte. O mesmo problema n o ocorre no cr ossover de 2 pontos, por m, o aumento excessivo de pontos de corte no rm alm ente n o leva a bons resultados, um a vez que destrói co m facilidade os blocos de construç o. É interessante notar que o cromossomo pode ser interpretado co m o um anel formado pela uni o de suas extremidades, com o ilustra a Figura Observando o anel, no ta- se que o cr ossover de 1 ponto um caso particular do de 2 pontos quando um dos pontos de corte fixo sobre a junç o do anel. Po rtanto, o cr ossover de 2 pontos desempenha tamb m a f unç o do de 1 po nto. Este um dos motivos pelo qual o cr ossover de 2 po ntos considerado melhor do que o cr ossover de 1 ponto (Beasley, 1993b; Davis, 1991).

21 Capítulo 3 Introduç o aos Algoritmos Gen ticos 107 2º corte Inicio de pai º corte Figura Cr ossover de 2 pontos visto como um anel O cr ossover de n po ntos tende a manter juntos os genes que s o codificados próximos um do outro. Existe um operador deno m inado Inv ers o (Ho lland, 1975) que busca o ordenam ento ideal dos genes no cromossomo. Do is pontos aleató rio s s o escolhidos no cromossomo e os genes entre eles s o invertidos. Vale frisar que a invers o n o um tipo de m utaç o brutal. Na verdade n o ocorre mutaç o. A cada gene asso ciado um n mero para identificar quem quem depois da tro ca de posiç o. Este operador, no entanto, tem sido raram ente utilizado na pr tica. Co nsiderando agora o efeito destrutivo dos blocos de co nstruç o causada pelo cr ossover unif o rm e, Sysw erda (1989) argum enta que tal destruiç o compensada pelo fato de ele po der combinar qualquer material dos cromossomos pais, independentem ente da ordem dos genes. 3.2 REPRESENTAÇÃO REAL REPRESENTAÇÃO BINÁRIA REAL Para ilustrar esta seç o, co nsidere o Problema 3.2 que m axim iz ar uma funç o (conhecida na literatura de AG como f unç o F6 (Davis, 1991)) com dois parâmetros x e y. Na Figura 3.15 mostrado a representaç o bin ria do cromossomo e sua deco m po siç o nos dois parâmetros x e y.

22 108 Est fane Lacerda e Andr Carvalho Problema 3.2 Maxim iz ar sen f ( x, y ) = 0,5 Sujeito a 100 x y 100 x 2 + y 2 ( 1,0 + 0,001( x + y ) ,5 Decodificação de Cromossomo em dois parâmetros s 1 = Passo 1: Divisão da cadeia de bits s 1 em duas cadeias de 22 bits: e Passo 2: Conversão da base 2 para a base 10: e Passo 3: Mapear estes resultados para o intervalo [-100, 100]: x y = [100 - (-100)] = = [ (-100)] = -17,851 11,041 Figura Decodificaç o do cromossomo em dois parâm etro s (x,y) A representaç o bin ria historicamente importante, um a vez que foi utiliz ado nos trabalhos pioneiros de Holland (1975). É a representaç o tradicional, sendo f cil de utiliz ar e m anipular, co m o tamb m simples de analisar teoricamente. Co ntudo, se um problema tem parâmetros contínuos e o usu rio quer trabalhar com boa precis o numerica, ele precisar arm az enar cromossomos longos na memória. Po is, para cada ponto decimal acrescentado na precis o, necess rio adicionar 3,3 bits na cadeia. Caso 8 casas decimais