Macsyma ODE Lab Book. Darren Redfern, Edgar Chandler and Richard N. Fell

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1 Macsyma ODE Lab Book Darren Redfern, Edgar Chandler and Richard N. Fell 1998

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3 Índice 1 Primeiros passos com Maxima Iniciar o programa Maxima Sintaxe básica do Maxima Objectos básicos em Maxima Mistura de números de diferentes tipos Constantes alfanuméricas Expressões em Maxima Listas Comandos de Maxima Designações e equações Outros caracteres especiais em Maxima Problemas Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem Definição e resolução de EDO s Soluções explícitas vs implícitas Métodos numéricos 19 Índice iii

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5 1. Primeiros passos com Maxima 1.1 Iniciar o programa Maxima Maxima pode ser iniciado desde um menu no gestor do Desktop ou com os comandos maxima ou xmaxima, a partir de uma consola. 1.2 Sintaxe básica do Maxima (C1) diff(x,3); Non-variable 2nd argument to DIFF: 3 -- an error. Quitting. To debug this try DEBUGMODE(TRUE);) (C2) diff(); Wrong number of arguments to DIFF -- an error. Quitting. To debug this try DEBUGMODE(TRUE);) (C3) describe(describe); 0: DESCRIBE :(maxima.info)definitions for Help. Info from file /usr/share/info/maxima.info: - Function: DESCRIBE (cmd) This command prints documentation on all commands which contain the substring "cmd". Thus (C1) describe("integ"); 0: (maxima.info)integration. 1: Introduction to Integration. 2: Definitions for Integration. 3: ASKINTEGER :Definitions for Simplification... Enter n, all, none, or multiple choices eg 1 3 : 2 3; Info from file /d/linux2/local/share/info/maxima.info: Definitions for Integration =========================== - Function: CHANGEVAR (EXP,F(X,Y),Y,X)... *note Introduction to Help:: (D3) false Primeiros passos com Maxima 1

6 (C4) (D4) apropos(integ); [INTEGER, INTEGERP, INTEGFACTOR, INTEGRATE, INTEGRATE USE ROOTSOF, INTEGRATIONCONSTANT, INTEGRATION CONSTANT COUNTER, integ] Pode deixar espaço entre operandos, mas não no meio de um número; por exemplo: (C5) / 89; Incorrect syntax: 234 is not an infix operator (C5) ^ (D5) produz um erro. 1.3 Objectos básicos em Maxima Números inteiros e racionais (C6) 31; (D6) 31 (C7) 3/7; (D7) 3 7 (C8) -39/13; (D8) 3 2

7 Números decimais (C9) 2.3; (D9) 2.3 (C10) ; (D10) (C11) (D11).143*10^(-2); (C12) (D12) 1.234e2; Constantes matemáticas As constante de Catalan não está definida em Maxima As outras constantes referidas nesta secção estão todas bem definidas. 1.4 Mistura de números de diferentes tipos (C13) 1/3 + 2; (D13) 7 3 (C14) 1/ ; (D14) (C15) 1/2 + 2/3 + 3/5 + 5/7 + 7/ ; (D15) Primeiros passos com Maxima 3

8 1.5 Constantes alfanuméricas (C16) (D16) "Esta é uma constante alfanumérica"; Esta é uma constante alfanumérica (C17) (D17) "123abc"; 123abc (C18) "x + 5/9"; (D18) x + 5/9 (C19) (D19) directory/filename; DIRECTORY FILENAME (C20) x + 5/9; (D20) x Expressões em Maxima (C21) (D21) a+b+c; C + b + a (C22) 3*x^3-4*x^2 + x - 7; (D22) 3x 3 4x 2 + x 7 (C23) (D23) x^2/25 + y^2/36; y x2 25 4

9 Ordem das operações (C24) 2+3*4-5; (D24) 9 (C25) (2+3)*4-5; (D25) 15 (C26) (2+3)*(4-5); (D26) Listas (C27) [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1]; (D27) [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1] (C28) (D28) [a, d, c, b, e]; [a, d, C, b, e] (C29) [1/2, a+3, e^4]; (D29) [ ] 1, a + 3, e4 2 (C30) makelist(i^2, i, 1, 10); (D30) [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] (C31) makelist(6, i, 1, 7); (D31) [6, 6, 6, 6, 6, 6, 6] (C32) list1 : [a, exp(3), 1, 2/3]; (D32) [ a, e 3, 1, 2 ] 3 (C33) length(list1); Primeiros passos com Maxima 5

10 (D33) 4 (C34) part(list1, 2); (D34) e Comandos de Maxima Nomes dos comandos plot2d(x^2-4, [x, -5, 5])$ (C35) (D35) primep(10889); true (C36) (D36) diff(x^3-5*x^2 + 2*x - 15, x); 3x 2 10x + 2 (C37) (D37) sin(%pi/2); 1 Comandos desconhecidos (C38) (D38) integate(x^3, x); integate ( x 3, x ) Funções definidas com load A função innerproduct ainda não foi implementada em Maxima (C39) expand((x - 2)*(x + 5)); (D39) x 2 + 3x 10 (C40) %G, numer; 6

11 (D40) %G (C41) (D41) load(physconst); /usr/share/maxima/5.9.0/share/physics/physconst.mac (C42) (D42) %G, numer; m 3 kgs Designações e equações Designações A função prime ainda não foi implementada em Maxima (C43) first10cubes: makelist(i^3, i, 1, 10); (D43) [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000] (C44) product(first10cubes[i], i, 1, 10); (D44) Equações (C45) x = y + 3; (D45) x = y + 3 (C46) x; (D46) x (C47) y; (D47) y (C48) sols : solve([x+y=3, x-y=1], [x, y]); Primeiros passos com Maxima 7

12 (D48) [[x = 2, y = 1]] (C49) x; (D49) x (C50) y; (D50) y 1.10 Outros caracteres especiais em Maxima O símbolo de percentagem (C51) (D51) expand((x-2)^3*(x-1)); x 4 7x x 2 20x + 8 (C52) (D52) factor(%); (x 2) 3 (x 1) O apóstrofo (C53) a : 5$ (C54) b : a$ (C55) c : a$ (C56) b; (D56) 5 (C57) c; (D57) a (C58) x : 3; 8

13 (D58) 3 (C59) (D59) diff( x^2, x); 2x (C60) (D60) diff(x^2, x); 0 (C61) diff( x^2, x); Non-variable 2nd argument to DIFF: 3 -- an error. Quitting. To debug this try DEBUGMODE(TRUE);) (C62) kill(all); (D0) DONE 1.11 Problemas 1. Escreva o conteúdo do ficheiro de ajuda para o comando signum (C1) describe(signum)$ 0: SIGNUM :(maxima.info)definitions for Operators. Info from file /usr/share/info/maxima.info: - Function: SIGNUM (X) if X<0 then -1 else if X>0 then 1 else 0. If X is not numeric then a simplified but equivalent form is returned. For example, SIGNUM(-X) gives -SIGNUM(X). 2. Calcule cada uma das seguintes expressões numéricas: 537 5, ,, 48 e 3 ln 2, 349 ( ) 4 5 (C2) 537^5, numer; (D2) (C3) sqrt(8640), numer; Primeiros passos com Maxima 9

14 (D3) (C4) 458*347/349.0; (D4) (C5) (D5) 48*%e^(3*log(2)), numer; (C6) (D6) (sum(makelist(-(-1)^i/i, i, 1, 5)[j], j, 1, 5))^4, numer; Realize as operações algébricas seguintes e simplifique os resultados. Multiplique: (2x + 5)(3x 2), (2t + 7u 3) 4, ( e 2t e t + 4)(3e 2t + 5 et 3) Factorize: x 2 4y 2 2x + 4y, 12t t 4 127t 3 76t t 150 (C7) expand((2*x + 5)*(3*x - 2)); (D7) 6x x 10 (C8) (D8) expand((2*t + 7*u -3)^4); 2401u tu u t 2 u tu u t 3 u 1008t 2 u+ 1512tu 756u + 16t 4 96t t 2 216t + 81 (C9) expand((exp(2*t) - exp(t) + 4)*(3*exp(2*t) + 5*exp(t) - 3)); (D9) 3e 4t + 2e 3t + 4e 2t + 23e t 12 (C10) factor(x^2-4*y^2-2*x + 4*y); 10

15 (D10) (2y x) (2y + x 2) (C11) factor(12*t^5 + 16*t^4-127*t^3-76*t^ *t - 150); (D11) (t 1) (t + 3) (2t 5) (2t + 5) (3t 2) 4. Desenhe o gráfico de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrem bem a forma das funções. y = x 3 5x 2 + 2x + 3, y = sin(x) x. y = 20 x 2, y = 3x2 + 2 x 2 4 (C12) plot2d(x^3-5*x^2 + 2*x + 3, [x, -2, 6])$ (C13) plot2d(sin(x)/x, [x, -5*%pi, 5*%pi])$ (C14) plot2d(sqrt(20 - x^2), [x, -sqrt(20), sqrt(20)])$ (C15) plot2d((3*x^2 + 2)/(x^2-4), [x, -5, 5], [y, -20, 20])$ 5. O gráfico da função y = x 3 6x 2 + 7x + 2 apresenta dois pontos extremos (designados de mínimo local e máximo local). Desenhe o gráfico dessa função e faça uma estimativa das coordenadas x e y desses dois pontos. Melhore a sua estimativa usando o comando subst (consulte o sistema de ajuda em linha) para encontrar os valores maior ou menor de y nessas vizinhanças. Sugestão: É útil primeiro definir uma expressão f : x^3-6*x^2 + 7*x + 2. Faça várias tentativas até conseguir melhorar o seu resultado. Pode imaginar algum outro método gráfico de obter uma melhor estimativa inicial para os valores do máximo e o mínimo local? (C16) f : x^3-6*x^2 + 7*x + 2; (D16) x 3 6x 2 + 7x + 2 (C17) "plot2d(f, [x, -2, 5])"$ (C18) (D18) f, x=0.6; (C19) f, x=0.7; Primeiros passos com Maxima 11

16 (D19) (C20) (D20) f, x=0.8; (C21) (D21) f, x=0.65; (C22) (D22) f, x=0.75; (C23) (D23) f, x=0.72; (C24) (D24) f, x=0.71; (C25) (D25) f, x=3.1; (C26) (D26) f, x=3.2; (C27) (D27) f, x=3.3; (C28) (D28) f, x=3.25; (C29) (D29) f, x=3.35; (C30) f, x=3.3; 12

17 (D30) (C31) (D31) g : diff(f, x); 3x 2 12x + 7 (C32) plot2d(g, [x, -2, 5])$ (C33) plot2d(g, [x, 0, 1])$ (C34) plot2d(g, [x, 0.6, 0.8])$ (C35) plot2d(g, [x, 0.7, 0.75])$ (C36) plot2d(g, [x, 0.7, 0.71])$ (C37) plot2d(g, [x, 3, 4])$ (C38) plot2d(g, [x, 3.2, 3.4])$ (C39) plot2d(g, [x, 3.25, 3.3])$ Concluimos que o máximo está em x = e o mínimo em x = Primeiros passos com Maxima 13

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19 2. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 2.1 Definição e resolução de EDO s (C1) (D1) diff(y, x); dy dx (C2) (D2) diff(y,x); 0 (C3) 3* diff(t, s) + 6*s = 0; (D3) 3 dt ds + 6s = 0 (C4) (D4) diff(fred, Wilma) = 2* diff(fred, Wilma)/(Wilma^2 + Pi); df red dw ilma = 2 df red dw ilma W ilma 2 + π (C5) deq: diff(y,t) = 2*t*y/(t^2 + 4); (D5) dy dt = 2ty t (C6) (D6) sol: ode2(deq, y, t); y = %C ( t ) (C7) (D7) deq, sol, diff; 2%Ct = 2%Ct (C8) makelist( rhs(sol), %c, -2, 2); (D8) [ %C ( t ), %C ( t ), %C ( t ), %C ( t ), %C ( t )] (C9) plot2d(%, [t, -5, 5])$ Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 15

20 (C10) (D10) ic1(sol, t=1, y=5); y = t y t Figura 2.1: Família de 5 soluções da equação deq. 2.2 Soluções explícitas vs implícitas (C11) (D11) deq1 : 2*y*sin(t)* diff(y, t) = - (y^2 + 1)*cos(t); 2 sin(t)y dy dt = cos t ( y 2 1 ) (C12) (D12) sol1 : ode2(deq1, y, t); log ( y ) = log sin t + %C (C13) (D13) [ sol1b : solve(sol1, y); y = e %C 2 ] 1 sin t e%c, y = e %C 1 2 sin t e%c (C14) deq1, y=rhs(sol1b[1]), diff, ratsimp; 16

21 (D14) (C15) (D15) (C16) (D16) (C17) (D17) e %C cos t sin t = e %C cos t sin t deq1, y=rhs(sol1b[2]), diff, ratsimp; e %C cos t sin t = e %C cos t sin t deq2 : (y^2-2*x)/(x*y^2)* diff(y, x) = (y - 3)/x^2; ( y 2 2x ) dy dx xy 2 = y 3 x 2 sol2 : ode2(deq2, y, x); y 2 3y + 2x xy = %C (C18) solve(sol2, y); (D18) y = %C 2 x 2 + (6%C 8) x + 9 %Cx 3 %C 2 x 2 + (6%C 8) x %Cx + 3, y = 2 2 (C19) deq3 : y + (x*y^2 + x - y)* diff(y, x) = 0; (D19) ( xy 2 y + x ) dy dx + y = 0 (C20) (D20) sol3 : ode2(deq3, y, x); (xy 1) e y2 2 = %C (C21) (D21) solve(sol3, y); y = e y2 2 ( e y2 2 + %C x ) (C22) deq4 : y* diff(x, y) + x*y^2 + x - y = 0; (D22) xy 2 + dx dy y y + x = 0 (C23) (D23) (C24) sol4 : ode2(deq4, x, y); x = e y2 2 rsol4 : rhs(sol4); ( ) e y2 2 + %C y Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 17

22 (D24) e y2 2 ( ) e y2 2 + %C y (C25) makelist( rsol4, %c, -2, 2)$ 18

23 14. Métodos numéricos (C1) edo : diff(y, x) = y * sin(x); (D1) d y = sin xy dx (C2) (D2) sol1 : ode2(edo, y, x); y = %Ce cos x (C3) sol2 : ic1(sol1, x=0, y = 1); (D3) y = e 1 cos x plot2d([rhs(sol2)], [x, -7, 7])$ (C4) (D4) f(x, y) := y * sin(x); f (x, y) := y sin x (C5) h : 0.2$ (C6) x0 : 0$ (C7) y0 : 1$ (C8) for n :0 thru 9 do (k1 : h*f(concat(x,n), concat(y,n)), k2 : h*f(concat(x,n) + h/2, concat(y,n) + k1/2), k3 : h*f(concat(x,n) + h/2, concat(y,n) + k2/2), k4 : h*f(concat(x,n) + h, concat(y,n) + k3), k : 1/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4), concat(x, n+1) :: ev(concat(x, n) + h, infeval), concat(y, n+1) :: ev(concat(y, n) + k, infeval))$ (C9) makelist(print(ev(concat(x, i), infeval), ev(concat(y, i), infeval), ev(subst(ev(concat(x, i), infeval), x, rhs(sol2)), numer)), i, 1, 10)$ Métodos numéricos 19

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