Exemplo 2. As Figuras 1.1 e 1.2 apresentam grafos como uma rede hipotética de computadores entre algumas cidades. Figura 1.1: Rede de Computadores

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1 Capítulo 1 Aula Grafos Definição 1. Um grafo G = (V, E) consiste de um conjunto não vazio V e um conjunto de arestas (caminhos) E. Cada arestaliga um ou dois vértices chamados pontos finais um do outro. Exemplo 2. As Figuras 1.1 e 1.2 apresentam grafos como uma rede hipotética de computadores entre algumas cidades. Figura 1.1: Rede de Computadores Figura 1.2: Rede de Computadores com Multiplos Links entre Centrais de Dado 1

2 Figura 1.3: Rede de Computadores com Links de Diagnósticos Se só existir, para cada par de vértices, uma única arestas os conectando, e o for dessa forma para todos os vértices de um grafo ele será chamado grafo simples (Figura 1.1). Do contrário, se existirem vértices conectados por mais que uma aresta dizemos tratar-se de um grafo múltiplo (Figura 1.2). Nossa abordagem se restringirá aos chamados grafos orientados, isto é, dados dois vértices e uma aresta os ligando haverá uma direção indicando o vértice inicial e o vértice final (Figura 1.4). Caso contrário, o grafo recebe a denominação de pseudografo. Figura 1.4: Rede de Computadores Unilateral com Múltiplos Links entre Centrais de Dados Definição 3. Um grafo orientado (ou digrafo) (V, E) consiste de um conjunto não vazio de vértices V e um conjunto de arestas orientadas (ou arcos) E. A aresta orientada associada ao par (u, v) é dita começar em u e terminar em v Observando a Figura 1.5 percebemos dois caminhos sentido Denver(u) - Chicago(v). Neste caso, dizemos que o par ordenado (u, v) tem multiplicidade 2. 2

3 Figura 1.5: Rede de Computadores Unilateral com Múltiplos Links T ipo Arestas M ultiplas Arestas? Loops? Grafo Simples Nao Orientado Nao Nao Graf o M ultiplo N ao Orientado Sim N ao P seudograf o N ao Orientado Sim Sim Graf o Simples Orientados Orietado N ao N ao Graf o M ultiplo Orientado Orientado Sim Sim Graf o M isto Orientado e nao Orientado Sim Sim Tabela 1.1: Terminologia. 1.2 Modelos Vejamos a seguir alguns modelos para situações práticas da vida real. Exemplo 4. Grafos de Amizade e Relacionamento Podemos usar um grafo para representar se duas pessoas se conhecem, isto é, se estão familiarizadas ou se são amigas. Cada pessoa em um grupo particular de pessoas é representada por um vértice. Uma aresta não orientada é usada para conectar duas pessoas quando essas pessoas se conhecem, quando estamos apenas preocupados com conveniência, ou se são amigos. Não são utilizadas multiplas arestas ou loops. A Figura 1.6 apresenta um exemplo de rede de relacionamentos. Exemplo 5. Redes de Influência Em certo estudos de grupos sob uma ótica behaviorista são observados que algumas pessoas sofrem influências de certos indivíduos enquanto consegue influenciar uma outra parte. A Figura 1.7 ilustra tal situação. 3

4 Figura 1.6: Rede de Relacionamento Figura 1.7: Grafo de Influência Exemplo 6. A Rede Mundial de Computadores A rede mundial de computadores pode ser modelada como um grafo direcionado onde cada página é representada por um vértice e uma aresta comça na página da Web A e termina na página da Web B se houver um link para B. Porque novas páginas da Web são criadas e outras removidas em algum lugar na Web quase a cada segundo, o grafo da Web muda quase que continuamente. Muitas pessoas estão estudando as propriedades do grafo da Web para entender melhor sua natureza. Exemplo 7. Torneios de Eliminação Simples (Mata-Mata) Trata-se de um campeonato onde cada competidor é eliminado após uma única perda. Torneios de eliminação única são frequentemente usados nos esportes, incluindo campeonatos de tênis, basquete etc. Nós podemos modelar tal torneio usando um vértice para representar cada jogo e uma borda direcionada para conectar um jogo para o próximo jogo em que o vencedor deste jogo jogou. O Figura 1.7 representa os jogos disputados por 16 equipes finais em certo torneio. 4

5 Figura 1.8: Torneio Eliminatório Simples 1.3 Exercícios Exercício 1. Desenhe modelos de grafos, indicando o tipo de gráfo (da tabela 1.1) usado, para representar rotas aéreas onde todos os dias há quatro vôos de Boston para Newark, dois vôos de Newark a Boston, três vôos de Newark a Miami, dois vôos de Miami para Newark, um vôo de Newark para Detroit, dois voos de Detroit para Newark, três vôos de Newark a Washington, dois vôos de Washington para Newark e um voo de Washington para Miami, com a) uma aresta entre os vértices representando as cidades com vôos entre elas (em qualquer direão). b) uma aresta entre vértices representando cidades para cada vôo que opera entre eles (em qualquer direção). c) uma aresta entre vértices representando cidades para cada vôo que opera entre elas (em qualquer direção), mais um loop para uma viagem especial de turismo que decola em Miami. d) uma aresta de um vértice representando uma cidade onde um vôo começa com o vértice representando a cidade onde termina. e) uma aresta para cada vôo a partir de um vértice representando cidade onde o vôo começa para o vértice representando a cidade onde o vôo termina. Exercício 2. Para os As Figuras 1 4, determine se o gráfo mostrado possui arestas direcionadas ou não direcionadas, se tem várias arestas, e se tem um ou mais loops. Use suas respostas para determinar o tipo de gráfo na Tabela 1.1 este gráfo é. Exercício 3. O gráfo de interseção de uma coleção de conjuntos A 1, A 2,, A n é o gráfo que tem um vértice para cada um desses conjuntos e tem uma borda conectando os vértices que 5

6 representam dois conjuntos se esses conjuntos tiverem uma interseção não vazia. Construir o gráfico de interseção dessas coleções de conjuntos. a) A 1 = {0, 2, 4, 6, 8}, A 2 = {0, 1, 2, 3, 4}, A 3 = {1, 3, 5, 7, 9}, A 4 = {5, 6, 7, 8, 9}, A 5 = {0, 1, 8, 9} b) A 1 = {, 4, 3, 2, 1, 0}, A 2 = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, A 3 = {, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, }, A 4 = {, 5, 3, 1, 1, 3, 5, }, A 5 = {, 6, 3, 0, 3, 6, } c) A 1 = {x x < 0}, A 2 = {x 1 < x < 0}, A 3 = {x 0 < x < 1}, A 4 = {x 1 < x < 1}, A 5 = {x x > 1}, A 6 = R. Exercício 4. Construir um gráfo de sobreposição de nicho para seis espécies de aves, onde o tordo eremita concorre com o robin e com o jay azul, o robin também compete com o mockingbird, o mockingbird também compete com o o gaio-azul e o nuthatch competem com o pica-pau peludo. Exercício 5. Construa um gráfo de influência para os membros da diretoria de um empresa se o Presidente puder influenciar o Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento, o Diretor de Marketing e o Diretor de Operações; o Diretor de Pesquisa e O Desenvolvimento pode influenciar o Diretor de Operações; o Diretor de Marketing pode influenciar o Diretor de Operações; e ninguém pode influenciar ou ser influenciado pelo Diretor Financeiro. Exercício 6. Em um torneio round-robin the Tigers venceu os Blue Jays, os Tigers venceram os Cardinals, os Tigers venceram os Orioles, os Blue Jays venceram os Cardeais, os Blue Jays venceram o Orioles e os cardeais bateram os Orioles. Modele isso resultado com um gráfo direcionado. 6