Desenvolvimento de Ferramenta Computacional para Estudos Transitórios de Alta-Freqüência em Transformadores

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1 1 Desevolvimeto de Ferrameta Computacioal para Estudos Trasitórios de Alta-Freqüêcia em Trasformadores L. C. Zaetta Jr, C. E.. Pereira, R.. Soares, PEA-USP e A. A. C. Arruda, CTEEP Resumo- O presete projeto tem como objetivo desevolver trabalhos de implemetação de um modelo de trasformadores, o programa ATP, assim como a elaboração de ferrametas matemáticas para estudos e represetação deste modelo frete a surtos trasitórios de alta freqüêcia. O aplicativo desevolvido gerecia as tarefas de obteção do modelo, que é baseado o uso da rotia vector fittig. Os resultados obtidos as simulações o ATP comprovaram a eficiêcia da metodologia. Palavras-chave Trasformadores, resposta em freqüêcia, a- juste de fuções de trasferêcia, trasitórios eletromagéticos. I. ITRODUÇÃO Os objetivos do projeto foram alcaçados, com a implemetação computacioal da rotia Vector Fittig, para das fuções de trasferêcia correspodetes aos esaios, e também com a implemetação de um aplicativo computacioal, com iterface amigável e de fácil utilização, para gereciameto das tarefas ecessárias à obteção do modelo para simulação o ATP. Foram realizados vários testes de validação de modelos obtidos com o aplicativo, com resultados altamete satisfatórios em simulações o tempo, com o programa ATP, coforme será apresetado adiate. A etapa iicial para obteção do modelo do trasformador em altas freqüêcias, é a realização de um esaio para obteção da matriz de admitâcias em fução da freqüêcia. A próxima etapa é fazer o dessa matriz com a rotia vector fittig, que forece as fuções de trasferêcia usadas para a implemetação do modelo a ser utilizado o programa ATP. Um dos recursos mais importates do aplicativo desevolvido, é o modelameto de bacos de trasformadores a partir de esaios de trafos moofásicos, para qualquer tipo de ligação, permitido iclusive acesso ao eutro o caso de ligação em estrela. II. EDIÇÕES PARA OBTEÇÃO DA ATRIZ DE ADITÂCIAS Visado o modelameto do trasformador através da matriz de admitâcias a forma de fuções de trasferêcia, Este trabalho foi fiaciado pela Cteep Compahia de Trasmissão de Eergia Elétrica Paulista. L. C. Zaetta Jr trabalha o LSP-USP Laboratório de Sistemas de Potêcia da Escola Politécica da USP ( lzaetta@pea.usp.br). A. A. C. Arruda trabalha a Cteep Compahia de Trasmissão de E- ergia Elétrica Paulista. deve-se estabelecer a metodologia de medições para a obteção das respostas em freqüêcia de cada elemeto da matriz. A. Obteção Experimetal da atriz de Admitâcias de uma Rede Geérica A matriz de admitâcias de uma rede pode ser obtida experimetalmete, com base as relações etre tesões x corretes ijetadas: Iij = YbusV bus (1) Esse equacioameto também é válido o domíio da freqüêcia: Iij s = Ybus s Vbus s () Expadido-se a expressão () tem-se: L L I1 s Y11 s Y1 j s Y1 s V1 s O O Ii = Yj1 L Yij L Yj Vi (3) O O I Y1 Yj Y ( s ) V L L Ao aplicar-se tesão o termial j e aterrar-se os demais termiais tem-se: L L I1 Y11 s Y1 j s Y1 s 0 O O Ii Yi1 Yij Yi ( s ) V j ( s = L L ) () O O I Y1 Yj Y 0 L L O que permite obter-se equações ode cada elemeto da matriz Y é uma relação etre correte e tesão: Levado à solução geral: = I1 s Y1 j s V j Ii = Yij V j I = Yj V j Yij Sedo i = 1 K e j = 1K. (5) = Ii V (6) j Dessa forma, para se obter cada colua da matriz Y, aplica-se tesão o ó correspodete da rede medido-se a

2 correte em todos os demais. Deve-se salietar que a matriz Y é simétrica, sedo assim redudates algumas medidas de correte quado se muda o poto de aplicação de tesão. Além disso, coforme a topologia da rede, pode haver elemetos da matriz Y em posições diferetes mas com valores iguais. B. Obteção da atriz de Admitâcias de um Trasformador oofásico de Três Erolametos Uma represetação esquemática do trasformador moofásico de três erolametos, é a seguite: C. Obteção da atriz de Admitâcias de um Baco Trifásico a Partir da atriz de Admitâcias de um Trafo oofásico A matriz de admitâcias de um baco trifásico formado por três trasformadores moofásicos de dois ou três erolameto pode ser obtida a partir da matriz Y obtida coforme o item aplicado-se propriedades de redução da matriz Y segudo o tipo de ligação do baco. O processo será exemplificado supodo ligações estrela aterrada, estrela aterrada e delta, respectivamete para o primário, secudário e terciário. umerado os termiais de 1 a 6 para o primeiro trasformador, a para o segudo e 13 a 18 para o terceiro, temos o diagrama da figura. primário secudário terciário Fig. 1. Represetação do Trasformador moofásico de três erolametos para baixas freqüêcias. A matriz Y correspodete é de ordem 6, pois há 6 termiais descoectados, e é simétrica por defiição: Y11 Y Y13 Y1 Y15 Y16 Y Y3 Y Y5 Y 6 Y33 Y3 Y35 Y Y = 36 Y Y5 Y6 Y55 Y56 Y 66 A metodologia para as medições para a obteção da matriz Y cosiste os seguites passos. 1) Aplicação de tesão o termial 1 e medição das corretes ijetadas os termiais 1,, 3,, 5 e 6 Fixa-se uma amplitude para a tesão seoidal aplicada o termial 1, variado-se a freqüêcia, e para cada freqüêcia, mede-se a amplitude das corretes em 1,, 3,, 5 e 6, e as defasages dessas corretes em relação à tesão aplicada. Com essas medidas, aplicado-se (6), obtém-se os seguites elemetos da matriz Y, para uma dada freqüêcia: Y11 Y 1 Y Y31 Y3 Y Y = 33 Y1 Y Y3 Y Y51 Y5 Y53 Y5 Y55 Y 61 Y6 Y63 Y6 Y65 Y 66 ) Aplicação de tesão o termial e medição das corretes ijetadas os termiais, 3,, 5 e 6 Para as demais lihas da matriz de admitâcias, o procedimeto é o mesmo, mas observado-se que o úmero de medições decresce devido à simetria da matriz. Para os demais tipos de trasformadores, altera-se apeas a quatidade de medições. () (8) trasformador 1 trasformador trasformador 3 Fig.. Ligação de baco trifásico com três trasformadores moofásicos de três erolametos. Observado-se o diagrama da figura, os ós que serão curto-circuitados para a terra serão:, 8 e 1 (primário) e, e 16 (secudário). Os ós curto-circuitados etre si serão 6 com 11, com 1 e 18 com 5 (terciário). A matriz Y B do baco iicialmete é de ordem 18, e possui 3 blocos de ordem 6, ode cada bloco é a matriz Y de cada um dos trasformadores moofásicos que formam o baco. o caso de os trasformadores serem iguais, a quatidade de dados é meor pois utiliza-se a mesma matriz Y os 3 blocos. A represetação é a seguite: [ Y1 ] [ 0] [ 0] [ 0] [ Y ] [ 0] [ 0] [ 0] [ Y ] YB = 3 Pode-se verificar que os blocos ulos da matriz idicam que ão há acoplameto etre as uidades moofásicas. (9)

3 3 As propriedades da matriz de admitâcias utilizadas para a redução de Y B para ordem 9 são as seguites: Ao aterrar-se um ó, elimia-se a liha e a colua correspodete da matriz Ao se curto-circuitarem dois ós A e B etre si, soma-se a liha A a liha B, em seguida soma-se a colua A a colua B, e fialmete elimiam-se a liha A e a liha B da matriz Y. Para o baco da figura aterior, após a redução existirão apeas os ós 1,, 13 (primário) 3, 9, 15, (secudário) 5, 11 e 1 (terciário) correspodedo a uma matriz de admitâcias de ordem 9. III. AJUSTE DAS FUÇÕES DE TRASFERÊCIA Os modelos de trasformadores para altas freqüêcias, a serem utilizados em programas de trasitórios eletromagéticos ecessitam ajustar fuções de trasferêcia à respostas em freqüêcia de medições de campo ou de laboratório. O de respostas em freqüêcia por fuções de trasferêcias é um problema matemático que tem sido efocado desde a década de 1950 em vários trabalhos. A abordagem mais direta basicamete é costituída a liearização do seguite problema de míimos quadrados: m a0 + a1s + L+ ams mi f a, b b0 + b1 s + L + b s () em que f(s) represeta a resposta em freqüêcia forecida e deota a orma Euclidiaa e a e b são os vetores de a i e b i. a realidade, como trabalhamos com a f(s) amostrada, para cada sk = jωk podemos escrever: m a0 + a1 ( jωk ) + L + am ( jωk ) f ( jωk ) = (11) b0 + b1 ( jωk ) + L+ b ( jωk ) Para os diversos ω k de amostragem pode-se etão motar o seguite problema de otimização: ( k ) L m ( k ) ( ω ) L ( ω ) ω ω ω a0 + a1 j a j mi f ( jωk ) a, b k = 1 b0 + b1 j k b j k m () tetado resolver por quaisquer um dos cohecidos métodos de programação ão liear. É mais eficiete adotar uma abordagem liearizada, como, por exemplo, a abordagem iicialmete proposta por Levy, que cosiste em multiplicar f(s) pelo deomiador, adotado também b 0 =1, o que trasforma o problema ão liear iicial em um problema de míimos quadrados liear os parâmetros a e b. Este pode ser posto sob a forma Ax=b com x deotado a solução de míimos quadrados: a x = b. Etretato, o problema resultate é mal escalado e mal codicioado em decorrêcia de que, pricipalmete cosiderado fuções racioais de alta ordem, os ( jω k ) serão elevados a potêcias diferetes em cada colua de A, formado uma matriz com elemetos de várias ordes de gradeza. Isto limita o método a aproximações de ordem baixa, pricipalmete se o itervalo de freqüêcias for amplo. Ou seja, ordes elevadas implicam s em itervalos de freqüêcia estreitos. Gustavse e Semlye desevolveram um método deomiado Vector Fittig com a fialidade de ateuar os problemas ateriormete mecioados. O método costa de dois passos, em que são resolvidos dois sistemas de míimos quadrados liear. Iicialmete, distribuem-se pólos estáveis sobre o itervalo de freqüêcia em que se deseja ajustar a fução. Existem dois passos claramete defiidos: Ajuste de Pólos Determiação de Resíduos Depois de executados os dois passos (ou se quisermos, podemos iterar algumas vezes passo de de pólos) espera-se um bom da fração racioal. Iicialmete os autores distribuíam sempre pólos reais. Perceberam, etretato, que o método falhava quado havia muitos picos de ressoâcia a resposta a ser ajustada. Posteriormete, os autores perceberam que tal limitação poderia ser levatada caso distribuíssem pólos complexos os casos de fuções ão suaves, o que será objeto de ivestigações. A seguir apresetamos um resumo do método. Pelo fato de podermos ajustar seu vetor de respostas, supodo que estas possuam os mesmos pólos, o método é deomiado Vector Fittig e a difereça em relação a abordagem liearizada é trabalhar diretamete com expasões em frações parciais. A. Idetificação dos Pólos o Caso Escalar Aalisemos a idetificação dos pólos o caso escalar de apeas uma fução racioal f dada por: c f = (13) A extesão para o caso vetorial de mais de uma fução de trasferêcia será feita posteriormete. Coforme ossa omeclatura c são os resíduos e a são pólos reais ou pares de cojugados complexos. Devemos achar todos os ( c, a ), d e e. Pode-se, o etato, supor a fução estritamete própria (caso em que d = e = 0), própria (caso em que e = 0) ou permitir um geérico. Em casos práticos trabalharemos sempre com e=0. Embora o problema deste seja ão liear, o Vector Fittig resolve-o empregado dois problemas de míimos quadrados lieares (ambos com pólos cohecidos). O algoritmo recomeda uma distribuição liear ou logarítmica a faixa de freqüêcias de iteresse, de um cojuto de pólos iiciais a e também a multiplicação de f(s) por uma fução descohecida σ(s) que possua estes pólos e cujos zeros cacelem os pólos de f(s), resultado: σ c f = (1)

4 σ c = 1+ % (15) = ultiplicado σ (s) por f ( s ) podemos escrever: c c + d + es 1 + f = 1 s a = 1 s a % (16) ou seja, ( σ f ) σ fit f fit em que fit sigifica ajustada. A equação acima é liear os parâmetros [ c, d, e, c% ], e escrevedo-a para diversos s = jωk chegamos a um sistema de forma A x = b. Esta equação evidecia, coforme destacado pelos autores, que os zeros de σ forecem os pólos de f ( s ) pois os pólos iiciais de σ f fit cacelam a divisão. Como os s f ( s ) e σ f fit são aproximações de míimos quadrados estes zeros serão aproximações dos pólos de f ( s ), o que pode acarretar a ecessidade de algumas iterações (ormalmete duas iterações já forecem resultados muito bos). B. Ajuste da fução Uma vez dispodo dos pólos ajustados poderemos ajustar a fução f: c f = (1) otamos um sistema liear de míimos quadrados, mais compacto e determiamos simultaeamete os resíduos de todas as frações compoetes da fução. Poderíamos também visualizar a fução f(s) através da seguite realização o espaço de estados: x& = Ax + Bu y = Cx + Du + Eu& resultado: y s f = = C ( si A) 1 B + D + se (18) u s C. Garatia de Passividade a elaboração do método, várias preocupações são tomadas com relação à problemas uméricos e aqui apresetadas sucitamete. Experiêcias diversas têm mostrado que simulações evolvedo matrizes Y ajustadas podem, às vezes levar a simulações istáveis mesmo que a matriz Y possua apeas pólos estáveis. Uma técica útil para evitar este problema é exigir o comportameto passivo da rede, ou seja, que esta absorva potêcia em todas as freqüêcias. Para assegurar que uma matriz simétrica Y correspoda a um circuito passivo, devemos impor certas codições sobre seus autovalores, isto é, que Re[Y] seja positiva defiida. 1) Correção do Ajuste Para assegurar que o osso Y fit correspoda a uma rede passiva, podemos corrigir a matriz D, como proposto por Gustavse e Semlye. É mais iteressate corrigimos a aproximação baseadoos em uma codição ecessária e suficiete pois corrigido Y, pela suficiêcia, garatimos o comportameto passivo da rede. Cada elemeto de Y é dado por uma expressão do tipo: c Yfit ( i, j) = (19) fit = +. Para cada freqüêcia s i, impomos apeas autovalores positivos, corrigido D em cada freqüêcia. A parcela real de Y pode ser escrita: G D P IV. APLICATIVO DESEVOLVIDO O objetivo do programa é forecer um modelo de trasformador para altas freqüêcias, para simulação de codições trasitórias o programa ATP. O modelo é baseado o de uma matriz de fuções de trasferêcia à matriz de admitâcias experimetal do trafo, obtida para uma determiada faixa de freqüêcias. O das fuções de trasferêcia é realizado por meio da rotia Vector Fittig. Os dados de etrada do programa são: Esaio do trasformador (resposta em freqüêcia da matriz de admitâcias). úmero de pólos do úmero de erolametos do trafo e tipo de ligação Também existe a possibilidade de abrir um arquivo com a matriz de fuções de trasferêcia ajustada previamete Os resultados forecidos pelo programa são: atriz de fuções de trasferêcia ajustada odelo do trasformador para iclusão o arquivo ATP (arquivo rlc.$i) A. Barra de Ferrametas As fuções do programa cocetram-se a barra de ferrametas que tem por objetivo facilitar a utilização do programa. Abre esaio ostra esaio Abre Gera ostra Grava Opções Cria baco Fig. 3. Barra de ferrametas do aplicativo Trafo-Vfit. Gera arquivo ATP Abre arquivo ATP Coforme as codições do programa, algus botões e seus equivaletes o meu ficam desabilitados, para evitar o uso de opções icosistetes. Por exemplo, ao se iiciar o programa, os botões habilitados são: Abre Esaio, Abre Ajuste e Opções. B. Como Usar o Programa O programa iicia com a seguite tela:

5 5 PA PB PC XA XB XC SA 5 5 SB SC 0, TA TB TC Fig.. Tela iicial do aplicativo Trafo-Vfit. O primeiro passo é abrir o arquivo com o esaio de resposta em freqüêcia de um trasformador o meu arquivo. Após a abertura do arquivo do esaio, é feito o das fuções de trasferêcia, devedo-se ates selecioar algumas opções, como por exemplo o úmero de pólos do, além da cofiguração do trafo (baco, ligação, etc). O é feito selecioado-se a opção Trafo Gerar A- juste do meu ou pressioado-se o botão Gerar Ajuste da barra de ferrametas. Em seguida abre-se a tela para visualização do, para comparação com os valores do esaio. O gerado pode ser gravado em um arquivo (com a extesão.vft) que pode ser aberto posteriormete (Arquivo, Abrir Ajuste), evitado que seja ecessário refazer o. Uma outra possibilidade de utilização do programa, é fazer (ou abrir) o de um trafo moofásico de dois ou três erolametos, e criar um baco composto por três uidades iguais do trasformador moofásico, escolhedo-se as opções o tipo de ligação. esse caso, o fial do baco também pode ser gravado em um arquivo. Após a verificação do, pode-se mudar alguma opção e fazer o ovamete, ou partir para a próxima etapa, que é solicitar que o programa gere o arquivo ATP com o modelo ajustado para o trasformador, que fica gravado o arquivo rlc.$i, que deve ser icluído o arquivo com o restate da rede elétrica. O arquivo gerado pode ser aberto para visualização em qualquer editor de texto, ou usado a opção abrir arquivo ATP, do meu e da barra de ferrametas. Ao cumprirem-se essas etapas, basta fazer a simulação da rede elétrica, cotedo o modelo do trasformador, da forma usual, com o programa ATP. C. Exemplos de utilização O objetivo dos exemplos é comparar a simulação o tempo de uma rede que cotém uma sub-rede, coectada com outros elemetos e fotes, usado o programa ATP com a sub-rede a forma tradicioal, e com a sub-rede modelada com o algoritmo Vector Fittig. a figura 5 os parâmetros são dados em Ω, mh e µf Fig. 5. Rede elétrica com 9 termiais (PA, PB, PC, SA, SB, SC, TA, TB, TC). Para a simulação o tempo, a sub-rede foi coectada com outros elemetos e fotes de tesão. A figura 6 apreseta o com 1 pólos, de uma das fuções de trasferêcia da matriz de admitâcias. Fig. 6. Resposta em freqüêcia elemeto 9,9 esaio /. A figura mostra as corretes ijetadas os termiais PA, PB e PC, simultaeamete para os dois casos simulados, ão sedo percebida difereça ehuma. 0.5 [A] [ms] 0 RLC9.pl: c:gpa -PA c:gpb -PB c:gpc -PC RLC9VF.pl: c:gpa -PA c:gpb -PB c:gpc -PC Fig.. Corretes ijetadas os termiais PA, PB e PC sub-rede origial x sub-rede ajustada com vector fittig. Outro exemplo cosiste a ligação em estrela-delta de três sub-redes de quatro termiais, represetado um baco de

6 6 trasformadores costituído de três uidades moofásicas de dois erolametos. A sub-rede, a figura a seguir tem os parâmetros dados em Ω, mh e µf. 1: PA : PA : SA Fig. 8. Sub-rede de termiais (uma uidade moofásica) : SA A figura a seguir ilustra uma das curvas de resposta em freqüêcia do esaio, o qual foi usada a faixa de Hz a 0 khz, e do, feito com 1 pólos. De forma a represetar a ligação de um baco em estrela aterrada-delta, com o eutro do primário acessível, foram feitas as seguites coexões: 1 PA PA uidade 1 SA SA [V] [ms] 0 RLCYD.pl: v:pa v:pb v:pc RLCYDvf.pl: v:pa v:pb v:pc Fig. 11. Tesões os termiais PA, PB e PC sub-rede origial x vector fittig. 5 [ma] 16 PB PB uidade SB SB P PC PC uidade 3 SC SC Fig. 9. Ligação de três sub-redes em estrela aterrada-delta. O obtido a partir dessa ligação é usado para a geração do modelo para o ATP. Os termiais dispoíveis para ligação são idicados a figura 9. A rede completa, usada as simulações, é a seguite: ,1 PA PB PC P Fig.. Rede elétrica simulada. baco equivalete SA SB SC 11 0 As simulações o tempo apresetaram resultados bastate satisfatórios, apresetado as figuras 11 e [ms] 0 RLCYD.pl: c:ga -PA c:gb -PB c:gc -PC RLCYDvf.pl: c:ga -PA c:gb -PB c:gc -PC Fig.. Corretes ijetadas os termiais PA, PB e PC sub-rede origial x vector fittig. V. REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] A. orched, A High Frequecy Trasformer odel for the ETP, IEEE Trasactios o Power Delivey, vol. 8, o.3, pp , July [] B. Gustavse, ad A. Semlye Applicatio of Vector Fittig to State Equatio Represetatio of Trasformers for Simulatio of Electromagetic Trasiets, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol. 13, o. 3, pp. 83-8, July [3] B. Gustavse, ad A. Semlye Eforcig Passivity for Admittace atrices Approximated by Ratioal Fuctios, IEEE Trasactios o Power Systems, vol. 16, o. 1, pp. 9-, Feb 001. [] B. Gustavse, ad A. Semlye Ratioal Approximatio of Frequecy Domai Resposes by Vector Fittig, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol. 1, o. 3, pp. 5-61, July [5] B. Gustavse, ad A. Semlye Simulatio of Trasmissio Lies Trasiets Usig Vector Fittig ad odal Decompositio, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol. 13, o., pp , Apr [6] CTEEP-EPTE / PEA-EPUSP odelos de Trasformadores para Altas Freqüêcias em Sistemas Elétricos de Potêcia de Alta Tesão, Relatório Técico, 000. [] J.R. arti A High Frequecy Trasformer odel for ETP, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol. 8, o. 3, pp , July [8] R.C. Degeev et al A ethod for Costructig Reduced Order Trasformer odels for System Studies from Detailed Lumped Parameter odels, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol., o., pp , Apr [9] R.J. Galarza et al Trasformer odel Reductio Usig Time ad Frequecy Domai Sesitivity Techiques, IEEE Trasactios o Power Delivery, vol., o., pp. 5-59, April 1995.