Polícia Rodoviária Federal. Matemática. Profº Pacher y = 3 + y 2y = 24 y = 12. x+y=21. x - y = 3 (II)

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3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DEFINIÇÃO Sistem de equções é o conjunto de equções que são stisfeits simultnemente pelos mesmos vlores ds incógnits. As equções que formm um sistem, são denominds equções simultânes. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sistems de equções lineres é o conjunto de equções com tods s incógnits de expoente (um) ou, tmbém denominds de gru (um). SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Solução de um sistem é o conjunto de vlores, um pr cd incógnit, pelos quis s incógnits devem ser substituíds, pr que tods s equções se reduzm igulddes numérics ou identiddes lgébrics. Costum-se dizer que este sistem de vlores verific ou stisfz tods s equções. Um sistem de equções pode ter um únic solução, mis de um solução ou não ter nenhum solução. SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS É o sistem formdo por dus equções lineres com dus incógnits. O sistem neste formto, será estuddo neste cpítulo. RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO Consiste em dicionr termo termo semelhntes nos membros, pr eliminr um ds incógnits. Há qutro csos considerr conforme nturez dos coeficientes d incógnit eliminr. No estudo pr resolução de sistems de equções, presento testes que possibilitrão fzer contto com os qutro csos. EXERCÍCIO RESOLVIDO x+y= 0. Sej o sistem liner: x-y= Resolução: x + y = + x - y = 4 x = 4 x = x = Substituindo x= em qulquer um ds equções, obtemos y=9. Resultdo finl (; 9). RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO Consiste em isolr mesm incógnit ns dus equções e, comprá-ls pel iguldde. EXERCÍCIO RESOLVIDO Fzendo comprção ( I ) = ( II ), obtemos equção: - y = + y y = 4 y = Substituindo y=9 em qulquer um ds equções, obtemos x=. Resultdo finl (; 9). RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Consiste em isolr um incógnit rbitrrimente eliminr e substituí-l n outr equção. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS x+y= 0. Sej o sistem liner: x-y= Resolução: x + y = (I) isolndo x x=-y x - y = (II) Substituindo x=-y n equção ( II ), obtemos: (- y)-y= - y - y = -y = -8 y = 8 y = 9 Substituindo y=9 em qulquer um ds equções, obtemos x=. Resultdo finl (; 9). 0.Gerldo devi R$ 55,00 seu irmão e pgou dívid com nots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Se, o todo, o irmão de Gerldo recebeu 7 nots, qunts erm s nots de R$ 0,00? Resolução: I) Dus grndezs, número de nots e vlor ds nots com dus incógnits número de nots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Neste cso é possível elborr um sistem de dus equções com dus incógnits. x = número de nots de R$ 5,00 y = número de nots de R$ 0,00 5x + 0y = 55 x+y=7...se desejr pode dividir ª equção por 5 x+y= x+y=7...isole o x n ª equção x+y= 0. Sej o sistem liner: x-y= Resolução: x + y = isolndo x x=-y (I) x - y = isolndo x x= +y (II) x+y= x=7-y...substitu x = 7 - y + y = (7-y) + y =...7-y + y = y = 4. Respost: 4 nots de R$ 0,00 n ª equção x Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

4 TESTES Resolv os próximos sistems lineres: {x+y=7 x-y= y = 8 0. {x x=60-y x - y = 0. x + y = 7 0. (FCC) Somndo-se os / de um número x como os /5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metde do número y, então diferenç y-x é igul : ) 8 b) 5 c) 0 d) 45 e) 60. Cchorro quente com um slsich por $ 5,00.Cchorro quente com dus slsichs por $ 8,00.O gerente sbe quntos snduíches vendeu contndo os pães. Com ess promoção ele "fturou" $ 80,00. Qunts slsichs form consumids nos snduíches sbendo que usou 46 pães? 04. (CEFET-PR) Sbendo-se que diferenç de preço entre um bonec e um bol é R$ 5,00 e que som dos preços de dus bonecs com dus bols é R$ 8,00, podemos firmr que o preço de um dos brinquedos é: ) R$ 5,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 7,00. e) R$ 0, (FCC) Com um blde de águ, eu encho grrfs. Com um grrf, eu encho 5 copos. Assim, o número de copos necessários pr encher blde é: ) 5 b) 8 c) 0 d) 5 e) (FCC) Um empres resolveu umentr seu qudro de funcionários. Num etp contrtou 0 mulheres, ficndo o número de funcionários n rzão de 4 homens pr cd mulheres. Num etp form contrtdos 0 homens, ficndo o número de funcionários n rzão de homens pr cd mulheres. Inicilmente, o totl de funcionários dess empres er: ) 90 b) 0 c) 50 d) 80 e) (FCC) Em um terreiro há glinhs e coelhos, num totl de nimis e 8 pés. Qunts são s glinhs e os coelhos? 08. (FCC) A som de dois números é 50 e o mior deles é igul o dobro do menor, menos. Quis são os números?. Um pesso comprou biciclets de rods e qurd-chuvs de vrets. Se o totl de rods e vrets é 8 000e o número de gurd-chuvs é o triplo do de biciclets, então o número de gurdchuvs é.. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 nos mis, ele teri 4/5 d idde do seu irmão. Juntos eles têm 0 nos. A idde de Roberto é: ) 4 b) 0 c) 6 d) e) 0 4. Um bleiro vende dois tipos de bls: b e b. Três bls do tipo b custm R$ 0,0 e unidde d bl b cust R$ 0,5. No finl de um di de trblho, ele vendeu 7 bls e rrecdou R$ 5,75. O número de bls do tipo b vendids foi: ) 4 b) c) d) e) 0 5. Três lts iguis de mss de tomte mis um lt de tum custm, junts, R$,00. Dus lts de mss de tomte mis dus lts de tum (tods iguis às nteriores) custm, junts, R$,40.Qul é o preço de um lt de mss de tomte? ) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95 6. (OBM) Rfel tem / d idde de Roberto e é nos mis jovem que Reinldo. A idde de Roberto represent 4/ d idde de Reinldo. Em nos, som ds iddes dos três é: 09. Um copo cheio de águ pes 5g. Se jogrmos ) 48 metde d águ for, seu peso ci pr 80g. O peso b) 7 do copo vzio é? c) 58 ) 0g d) 60 b) 5g e) 4 c) 5g d) 40g e) 45g Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

5 7. (UNB-CESPE) Se eu gstr R$.00,00 ficrei com /4 d qunti que Pulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00. Nests condições, Pulo possui importânci de R$: ).00 b).680 c).600 d).0 e) (FATEC-SP) Um loj vendeu pneus pr 7 veículos entre "Fuscs" e motos. Somente dois "Fuscs" trocrm tmbém o pneu de estepe. Qunts motos trocrm pneus? 9. Um cvlo e um burro cminhvm juntos, crregndo cd um pesdos scos. Como o cvlo reclmv muito de su pesd crg, respondeu-lhe o burro: de que te queixs? se me desses um sco, minh crg seri o dobro d tu, ms se eu te der um sco tu crg será igul minh. Quntos scos cd um deles levv? 0. (FGV-SP) Num pátio existem utomóveis e biciclets. O número totl de rods é 0 e o número de biciclets é o triplo do número de utomóveis. Então, o número totl de veículos que se encontrm no pátio é: ) 50 b) 4 c) 5 d) 54 e) 6. Num pátio existem utomóveis e motociclets. O número totl de rods é 0 e o número de veículos é 40. Quntos veículos de cd tipo se encontrm no pátio? 4. (OBM) Ronldo, sempre que pode, gurd moeds de 50 centvos ou rel. Atulmente, ele tem 00 moeds, num totl de 76 reis. Qunts moeds de um vlor ele tem mis do que de outro vlor? ) 48 b) 4 c) 8 d) 5 e) (BANESPA). Um fzendeiro cri glinhs e coelhos. Num ddo momento, esses nimis somm um totl de 50 cbeçs e 40 pés. Pode-se concluir que rzão entre o número de coelhos e o número de glinhs é: ) / b) / c) / d) / e) /4 6. (CESGRANRIO-RJ) Gerldo devi R$ 55,00 seu irmão e pgou dívid com nots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Se, o todo, o irmão de Gerldo recebeu 7 nots, qunts erm s nots de R$ 0,00? ) b) c) 4 d) 5 e) 6 7.(OCM) Um zoológico tem vários mccos e váris girfs. Contndo os olhos e s perns dos mccos e ds girfs obtém-se 0 olhos e 44 perns. Quntos mccos e qunts girfs há no zoológico? (Um mcco tem dus perns.) ) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g. (FCC) Um cridor tinh num sítio unicmente cchorros de rç e pvões. Contndo os pés de todos os nimis, observou que o totl de pés er igul o qudrdo do número de pvões. Um semn depois, vendeu seis cchorros e dois pvões e verificou que de novo o fto se dv, ou sej, o número totl de pés er o qudrdo do número de pvões. Assim, podemos firmr que, ntes d vend, hvi no sítio um número de cchorros igul : ) 0 b) 8 c) 6 d) 4 e). (UDE-SC) Em um treino de bsquete, um jogdor gnh 5 pontos por cd cest que cert e perde pontos por cd cest que err. Em 0 tenttivs, um jogdor obteve 6 pontos. Logo, o número de cests que ele certou foi: ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 8.(ESAF) Um copo completmente cheio de águ pes 75 grms. Ms se metde d águ for jogd for, seu peso cirá pr 65 grms. Então, o peso deste copo é em grms: ),5 b) 4,5 c) 55 d) 75 e) 0 9.(FGV-SP) Em um prov de 0 questões, o cndidto recebe 4 pontos por cd respost cert e perde ponto por cd questão não respondid corretmente. André obteve 0 pontos. Qul seri not de André, se cd respost cert vlesse 6 pontos e cd respost errd fizesse com que ele perdesse pontos? ) b) 6 c) 0 d) e) 4 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

6 0.(OBM) No lvo bixo, um cert pontução é dd pr flech que ci n região A e outr pr flech que ci n região B. Alberto lnçou flechs: um ciu em B e dus em A, e obteve 7 pontos. Crlos tmbém lnçou flechs: um ciu em A e dus em B, e obteve pontos. Quntos pontos são tribuídos pr um flech que ci n região A? ) b) c) 4 d) 5 e) 6 A B. (FCC) N entrd de um estádio, em um di de jogo, 50 pessos form revistds pelos solddos Muro, Norberto e Orlndo. O número ds revistds por Muro correspondeu /4 do número ds revistds por Orlndo, e o número ds revistds por Orlndo correspondeu 4/ do número ds revistds por Norberto. O número de pessos revistds por: ) Muro foi 45. b) Norberto foi 54. c) Orlndo foi 5. d) Norberto foi 4. e) Muro foi 4.. (UEL-PR) Fernndo fez um pedido de 4 m de um piso tipo A e lguns metros qudrdos de um piso tipo B. O piso tipo A cust o dobro do piso tipo B. Ao notr o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou sej, 4 m de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficr 50% mis cro. A quntidde de piso tipo B no pedido originl er: ) b) 6 c) 8 d) 6 e) 4. (UFF-RJ) Um jogdor de bsquete fez o seguinte cordo com o seu clube: cd vez que ele convertesse um rremesso, receberi R$ 0,00 do clube e cd vez que ele errsse, pgri R$ 5,00 o clube. Ao finl de um prtid em que rremessou 0 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se firmr que o número de rremessos convertidos pelo jogdor nest prtid foi: ) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 0 5.(UNB-CESPE) A metde d diferenç entre dois números é 5 e o dobro de seu quociente é 8. Clcule o menor: ) 8 b) 5 c) 4 d) 50 6.(CESPE) Dois números tis que, multiplicndo-se por 5 e o menor por 6, os produtos são iguis. Se o mior deles, diminuído de é igul o menor umentdo de, então um deles é: ) 4 b) 7 c) 8 d) 4 7.(UNB-CESPE) A qunti de R$ 8,75 é compost de 4 moeds de, centvo e de 50 centvos. A diferenç entre s quntiddes de moeds de centvo e 50 centvos é de: ) 6 moeds b) 7 moeds c) 8 moeds d) 9 moeds e) 0 moeds 8.(UNB-CESPE) Dois trblhdores recebem juntos R$.080,00 por 0 dis de trblho. O mis especilizdo recebeu R$ 4,00 mis do que o outro, por di de trblho. A diári do operário menos especilizdo foi de: ) R$,00 b) R$,50 c) R$ 4,00 d) R$ 4,50 e) R$ 5,00 9.(ESAF) Num eleição em que dois cndidtos disputrm I mesmo crgo, votrm 50 eleitores. O cndidto vencedor obteve 48 votos mis que o cndidto derrotdo. Sbendo-se que houve 4 votos nulos, quntos votos obteve cd cndidto? ) 49 e 00 b) 00 e 95 c) e 075 d) 08 e 880 e) 00 e (CESPE) A diferenç entre dois números é 44 e o quociente entre eles é 5. Um desses números é: ) 5 b) 80 c) 60 d) 80 4 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

7 GABARITO SISTEMA DE EQUAÇÃO DO º GRAU 0 e e e 5 04 D 05 D 06 B 07 8 e e 09 C 0 D E 4 A 5 A 6 C 7 C e 5 0 C 5 e 5 E E 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C 9 E 0 C E B C 4 B 5 D 6 D 7 C 8 E 9 D FUNÇÕES DO º GRAU FUNÇÃO CONSTANTE Um função é dit constnte qundo é do tipo f(x) = k, onde k é um número rel que não depende de x. Exemplos: ) f(x) = 9 b) f(x) = - Not : o gráfico de um função constnte é um ret prlel o eixo dos x. Vej o gráfico seguir: FUNÇÃO DO º GRAU Um função é dit do º gru, qundo é do tipo y = x + b, onde 0. Exemplos : 0. f(x) = x + 8 ( = ; b = 8 ) 0. f(x) = -5x + 5 ( = -5; b = 5). CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO º GRAU I) O gráfico de um função do º gru é sempre um ret decrescente qundo <0. II) O gráfico de um função do º gru é sempre um ret crescente qundo >0. III) N função f(x) = x + b, se b = 0, f é dit função liner e se b 0, f é dit função fim. IV) O gráfico intercept o eixo dos x n riz d equção f(x) = 0 e, portnto, no ponto de bsciss x = - b/. V) O gráfico intercept o eixo dos y no ponto (0, b), que é o termo independente b, onde b é chmdo coeficiente liner. VI) O vlor é chmdo coeficiente ngulr e dá inclinção d ret. VII) qundo função é liner, ou sej, y = f(x) = x, o gráfico é um ret que sempre pss n origem, no ponto (0, 0). Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores 5

8 PRATICANDO 0.(NC.UFPR) Clculndo o vlor numérico d ( + b ) expressão b obtemos o vlor: ),75 b) 4,00 c),50 d),0 e),75 = e b = 0,5,, pr 0,5 0. Assinle lterntiv que corresponde função de cordo com o gráfico: 06. ( PUC - SP ) O gráfico bixo é o d ret y = x + b, qundo : ) < b) < 0 c) = 0 d) > 0 e) = 07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico bixo pode representr qul ds expressões? ) f(x)= -x+ b) f(x) = -x/ + c) f(x)= -x/ + d) f(x)=4x e) f(x)= -x 0. Obtenh função do º gru n vriável x que pss pelos pontos ( 0, ) e ( -, 0): ) y= x/ b) y=-x/ + c) y= x d) y= x/ + e) y= -x 04. O gráfico bixo represent função f(x)= x + b. Assinle lterntiv corret: ) = 0 ; b = 0 b) > 0 ; b > 0 c) < 0 ; b > 0 d) > 0 ; b = 0 e) > 0 ; b < ( UF-MA ) A representção d função y = - é um ret : ) prlel os eixo ds ordends b) perpendiculr o eixo ds ordends c) perpendiculr o eixo ds bscisss d) que intercept os dois eixos e) nd ) y = x - b) y = - x + c) y =,5 x + d) y = - x e) y = -,5x ( FGV - SP ) O gráfico d função f(x) = mx + n pss pelos pontos ( 4, ) e ( -, 6 ). Assim o vlor de m + n é : ) /5 b) /5 c) 7/5 d) /5 e),4 09. ( PUC - MG ) Um função do o gru é tl que f(-) = 5 e f()=-. Então f(0) é igul : ) 0 b) c) d) 4 e) - 0. ( FUVEST-SP ) A função que represent o vlor ser pgo pós um desconto de % sobre o vlor x de um mercdori é : ) f(x)= x- b) f(x)= 0,97x c) f(x)=,x d) f(x)=-x e) f(x)=,0x 6 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

9 . ( UF-RN ) Sej função liner y = x - 4. Se y = 0 pr x = - então o vlor de y pr x = - é: ) b) 4 c) -7 d) - e) nd. ( MACK - SP ) A função f é definid por f(x)= x + b. Sbe-se que f(-) = e f() =. O vlor de f( ) é : ) 0 b) c) -5 d) - e) -. ( UNIFOR ) Sej função f de R em R definid por f(x) = mx + t representd pelo gráfico bixo. Nests condições: 6. A função f é representd grficmente por f y 0 Pode-se concluir que ) se f(x) < 0 então x >. b) se f(x) < 0 então x < 0. c) se x < então f(x) < 0. d) se 0 < b < e x > b então f(x) > f(b). 7.(EPCAR) A ret do gráfico bixo indic quntidde de soro (em ml) que um pesso deve tomr, em função de seu peso (ddo em Kgf), num trtmento de imunizção. A quntidde totl de soro ser tomd será dividid em 0 injeções idêntics. Quntos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf em cd plicção? x ml 0 ) m = t b) t = m c) m = t d) m + t = 0 e) m - t= Kgf 4. (AFA) Hotel Fzend B Chlés com comodção pr té 0 pessos. Diári do Chlé: 80 reis Refeição opcionl (4 reis por di por pesso) O Sr. Souz, espos e filhos optrm pelo psseio cim nuncido e, proveitndo s féris escolres, pssrm 5 dis hospeddos no Hotel Fzend B fzendo tods s refeições, gstndo o todo 00 reis, dos quis 80 reis cobrirm despess com telefone, frigobr e lzer. É correto firmr que ) fmíli levou 6 filhos. b) s despess com refeições totlizrm 400 reis. c) no chlé sobrrm 4 comodções. d) se não tivessem ocorrido s despess extrs com frigobr, telefone e lzer, eles poderim ter ficdo mis di e terim economizdo ind 0 reis. 5.(FAE-PR) Dois números inteiros positivos são tis que su som mis su diferenç mis o seu produto é igul 50. Qunts são s possíveis soluções pr esse problem? ) b) c) d) 4 e) 5 ) 0 b) c) 40 d) 4 8. (EXPCEX) Sbendo que função y = x + b, pode-se firmr que: ) O gráfico d função pss sempre pel origem. b) O gráfico d função cort sempre o eixo ds ordends. c) O zero d função é b/. d) A função é crescente pr < 0. e) O gráfico d função nunc pss pel origem. 9.(NC.UF-PR) Qul ds históris melhor se dpt o gráfico bixo? distânci de cs tempo Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores 7

10 ) Sí de cs clmmente, ms qundo vi que poderi me trsr, comecei cminhr mis rápido. b) Eu tinh cbdo de sir de cs qundo tive sensção de ter esquecido s chves do escritório. Prei pr procurá-ls n minh ml, ms não s encontrei. Voltei pr buscá-ls e depois pude seguir pr o escritório. c) Tinh cbdo de sir de cs qundo o pneu furou. Como meu crro estv sem estepe, precisei ficr hors esperndo pelo borrcheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir vigem. d) Logo que sí de cs encontrei um migo que não vi há muito tempo. Prei pr conversr um pouco e depois segui pr o escritório. e) Sí de cs sem destino, dei um volt n qudr e resolvi voltr pr cs. O tempo estv pr chuv e resolvi não sir mis de cs. 0.(ACAFE-SC) Suponh que um compnhi de águ cobre o consumo residencil pel seguinte tbel: Fix de consumo por m Vlor em reis por m 0-0,0-5,00 mis de 5,50 O proprietário de um residênci, que num determindo mês consumiu 7m de águ, pgrá, em reis: ) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00. (ACAFE-SC) Dois tirdores, A e B, num série de 0 tiros num lvo com form indicd n figur bixo, obtiverm os resultdos que estão notdos no qudro ddo tirdores A B 6 8 Observndo médi de pontos dos tirdores A e B, lterntiv corret é: ) O tirdor B superou o tirdor A em pontos. b) O tirdor A teve melhor desempenho que o tirdor B. c) Os tirdores tiverm o mesmo desempenho. d) A médi de pontos do tirdor B é de 0 pontos. e) A médi de pontos do tirdor A é de 4 pontos.. (ACAFE-SC) Dois tlets A e B fzem teste de Cooper num pist retilíne, mbos correndo com velocidde constnte. A distânci (d) que cd um percorre é mostrd no gráfico bixo. d(m) B A x t(min) Com bse no gráfico, lterntiv corret é: ) A é mis veloz que B, pois percorre 600m em 0 min. b) B percorre km em 0 min. c) B é mis veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm n mesm velocidde. e) A percorre 400m em 0 min..(mack-sp) Considere s funções f (x) = x 5, g (x) = x + x 4 h(x) = x x e o número rel f ( 0 ) g( ) A =. h( ) Então 5. A vle: ) /6 b) 6 c) 6 d) 5 e) /5 GABARITO FUNÇÃO DO º GRAU 0 B 0 C 0 D 04 E 05 B 06 B 07 C 08 B 09 C 0 B A E C 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 0 E C B B 8 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

11 EQUAÇÕES DO º GRAU DEFINIÇÃO É tod equção que pode ser reduzid à form: x + bx + c = 0 0 Em que: x é incógnit, b e c são constntes reis denominds coeficientes. c é o termo independente RESOLUÇÃO Ns equções, é costume chmr os vlores que stisfzem s equções de rízes. Resolver um equção signific determinr o seu conjunto-verdde, isto é, o conjunto de sus rízes. Pr equção do º gru x + bx + c = 0 Use formul de Báskr -b ± b - 4c x= O conjunto solução é: -b + b - 4c -b - b - 4c S= ; EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Em certo momento, o número de funcionários presentes em um gênci bncári er tl que, se o seu qudrdo somássemos o seu quádruplo, o resultdo obtido seri 57. Se 0 deles síssem d gênci, o número de funcionários n gênci pssri ser: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 Resolução: x é o número de funcionários x =qudrdo de x 4x=quádruplo de x (x-0) é o que o teste solicit I) x +4x=57 x +4x-57=0 Aplicndo fórmul de Bháskr, temos: -b ± b - 4c x= -(4) ± (4) - 4()(-57) x= () Considerções Pr equção do º gru, qundo o discriminnte d equção, rdicndo n fórmul de Báskr: b -4c = I) Qundo > 0, mior que zero, equção tem dus rízes reis e diferentes entre si.. -b + b - 4c -b - b - 4c S= ; II) Qundo = 0, igul zero, equção tem dus rízes reis e iguis. S= -b -b ; III) Qundo < 0, menor que zero, equção tem dus rízes não reis e diferentes entre si. S = φ conjunto vzio, s rízes não são reis. OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD) Sej equção: x - Sx + P = 0 = e x e x s rízes d equção, então podemos ter: som produto x + x = S x. x = P -4 ± 48 x= x =-6 não serve por ser negtivo. x = serve II) Respost: (x-0)=(-0)= PRATICANDO 0. (FUVEST) O conjunto verdde d equção x+ - + = x- 0. Sobre equção (x + ) (x + ) = x² + 6x + é verdde que: ) x é igul 0 b) x é igul c) x é igul 6 d) todos os números são soluções e) x é igul 0. 6x x = x - 8x + 7 = x - 6x + 9 = x - x + 5 = x + x = x = x - 5x + 6 = 0 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores 9

12 0. O número de soluções inteirs d equção x = x-4 x x(x-4) ) 0 b) c) d) e) 4. A rzão entre som e o produto ds rízes d equção x - 7x + = 0. ) 7/ b) 7/ c) / d) /7 e) /7. Qul o menor número que se deve somr cd ftor do produto de 5 x, pr que este produto, umente de 75 uniddes? ) 7 b) 5 c) 7 d) 5 e). Qul é o menor vlor de "x" de modo que divisão de 0,5 por "x" tenh o mesmo resultdo d dição de 0,5 com "x"? ) 0,5 b) 0,5 c) d) e) 0 4. A som de um número e o seu qudrdo é 40. Qul é esse número? ) 66 b) 6 c) 6 d) 6 e) 64 5.(MACK-SP) Se (x y) (x + y) = 0, então x. y é igul : ) b) 0 c) 0 d) 5 e) 0 6.(ACAFE-SC) Um torneir deix cir x gots de águ cd 0 segundos. Sbendo-se que esse número x corresponde à riz positiv d equção x( x- ) = + x, o volume de águ que vz por hor, supondo que cd got corresponde 0,4ml, é: ) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml 7. (EXPCEX-97) Sejm m e n dois números inteiros positivos tis que m e n são ímpres consecutivos, com m.n=48. Nests condições, o vlor de m+n é igul : ) 64 b) 5 c) 46 d) 44 e) 0 Atulizd 8/0/007 GABARITO EQUAÇÃO DO º GRAU 0 e - 0 B 0 -/ e / 04 e Vzio em R 07-4 e / e / 09 e 0 B A D C 4 D 5 D 6 A 7 D FUNÇÃO DO GRAU VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Tod função do gru tem um ponto de máximo ou de mínimo. f( x ) = x + bx + c = 0 0 PONTO DE MÁXIMO V( x v, y v ) O ponto de máximo é ponto de mior ordend ( y v ) d função: f( x ) = x + bx + c = 0 < 0 Obs.: O coeficiente de x é NEGATIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y v PONTO DE MÍNIMO V( x v, y v ) O ponto de mínimo é ponto de menor ordend ( y v ) d função: f( x ) = x + bx + c = 0 > 0 Obs.: O coeficiente de x é POSITIVO. Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores 0 y V x v Ponto de máximo

13 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y v 0 y x v V Ponto de mínimo CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO GRAU CÁLCULO DA ABSCISSA x v DO VÉRTICE b xv = Ou tmbém, clculndo médi ritmétic ds rízes ( x e x ): x + x xv = CÁLCULO DA ORDENADA y v DO VÉRTICE (MÁXIMO OU MÍNIMO) ( b - 4 c) y v = 4 Ou tmbém, substituindo x v n função: f ( x v ) = ( x v ) + b ( x v ) + c IMAGEM DA FUNÇÃO DO GRAU Imgem ) Se > 0 y y v ) Se < 0 y y v PRATICANDO 0. (ACAFE-SC) A função f(x) = x - x + tem mínimo no ponto em que x vle: ) 0 b) c) d) e) 4 0. (PUC-MG) O vlor máximo d função f(x) = - x + x + é: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 x 0. (CEFET-PR) O mior vlor que y pode de ssumir n expressão y= - x +x é: ) b) c) d) 4 e) (UEL-PR) Se x e y são s coordends do vértice d prábol y= x -5x + 9, então x + y é igul : ) 5/6 b) /4 c) 8/ d) 89/8 e) 9/ 05. (MACK-SP) O ponto (k, k) pertence à curv dd por f(x) = x - x + k; então k pode ser: ) - b) - c) d) e) (UF-CE) Considere função f: IR è IR, definid por f(x) = x - x + 5. Pode-se firmr corretmente que: ) vértice do gráfico de f é o ponto (; 4); b) f possui dois zeros reis e distintos; c) f tinge um máximo pr x = ; d) gráfico de f é tngente o eixo ds bscisss. e) nd 07. (UF-GO) Se f(x) = x -, o conjunto de vlores de x tis que f(x ) = f(x) é: ) {0; } b) {- ; 0} c) { } d) {- ; } e) {; 4} 08. (PUC-RS) A imgem d função f: IR è IR, definid por f(x) = x -, é o intervlo: ) [-; ºº ) b) (-;ºº ) c) [0; ºº ) d) (- ;-) e) (-ºº ;- ] 09. (UEPG-PR) Sej função f(x) = x + 4 definid pr todo x rel. Seu conjunto - imgem é: ) {y E IR/y 4} b) {y E IR/-4<y<4} c) {y E IR/y>4} d) {y E IR/y 4} e) REAIS 0.. Em um prtid de vôlei, um jogdor deu um sque em que bol tingiu um ltur h em metros, num tempo t, em segundos, de cordo com relção h(t) = -t² + 8t. ) Em que instnte bol tingiu ltur máxim? [Not]: observem o vértice b) De quntos metros foi ltur máxim lcnçd pel bol? Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

14 .(FGV-SP) O lucro mensl de um empres é ddo por L = - x + 0x - 5, onde x é quntidde mensl vendid. Qul o lucro mensl máximo possível?.(unifap-fundap) Segundo firmm os Fisiologists, o número N de btimentos crdícos por minuto, pr um indivíduo sdio e em repouso, vri em função d tempertur mbiente T, em grus Celsius, e é ddo pel função N(T) = (0,) T 4 T ) Ess função possui máximo ou mínimo? b) A que tempertur o número de btimentos crdícos por minuto de um pesso sdi e em repouso será 90? c) Se um pesso sdi estiver dormindo em um qurto com refrigerção de 0º C, qul será o número de seus btimentos crdícos por minuto?.(fae-pr) Pr se produzir x uniddes de um certo produto, um empres tem como expressr o seu custo por C(x) = x - 50 x Anlise s proposições seguir: I) A empres deve produzir 5 uniddes pr que o custo sej mínimo. II) O custo mínimo d empres é de R$ 500,00. III) O custo de produção de 0 uniddes é mior que o custo de produção de 0 uniddes. Assinle lterntiv corret: ) Apens I está corret. b) Apens I e II estão correts. c) Apens I e III estão correts. d) Apens II e III estão correts. e) Tods estão correts. 4. (UF-PR) Um grupo de funcionários vi vijr pr prticipr de um congresso. Eles tiverm idéi de fretr um ônibus no qul todos vijrim juntos e cd um pgri o preço do fretmento dividido pelo número de pessos. Ao pesquisr os preços, descobrirm que um empres de turismo só ceitv grupos de 5 40 pssgeiros pr cd ônibus, e clculv o preço (em reis) do fretmento do ônibus pel fórmul p(x) = x + 70x + 50, onde x represent o número de pssgeiros. Considere s seguintes firmções respeito dos preços ness empres. I) Se vijrem 40 pessos, cd pesso pgrá mis de R$ 0,00. II) Se vijrem 0 pessos, o preço do fretmento será menor do que o preço correspondente 40 pessos. III) Existe um número x de pessos pr o qul o preço do fretmento é igul R$.50,00. Assinle lterntiv corret. ) Somente firmtiv I é verddeir. b) Somente firmtiv II é verddeir. c) Somente firmtiv III é verddeir. d) Somente s firmtivs II e III são verddeirs. e) Somente s firmtivs I e II são verddeirs. 5. (UF-PR) Se som de dois números é 4/ e o produto é 5/, então um dos números é: ). b). c). d) 4. e) (UF-RG) O movimento de um projétil, lnçdo pr cim verticlmente, é descrito pel equção y=- 40x +00x. Onde y é ltur, em metros, tingid pelo projétil x segundos pós o lnçmento. A ltur máxim tingid e o tempo que esse projétil permnece no r corresponde, respectivmente, : ) 6,5 m, 5s b) 50 m, 0 s c) 50 m, 5s d) 50 m, 00 s e) m, 5s 7. (EXPCEX) O projétil disprdo por um cnhão, posiciondo num ponto de ltitude igul 00 metros, tinge um lvo loclizdo num ponto de ltitude igul 00 metros. Considerndo-se que: I) A trjetóri descrit pelo projétil é dd pel equção 8 4 y = x x, II) Com x e y em quilômetros, e referencid um sistem crtesino com origem no cnhão. III) O lvo é tingido qundo o projétil encontr-se no rmo descendente d su trjetóri. Ns condições cim descrits, pode-se firmr que distânci horizontl entre s posições do cnhão e do lvo é: ) 0,5 km b),0 km c),5 km d),0 km e),5 km 8. (EXPCEX) Um currl retngulr será construído proveitndo-se um muro pré-existente no terreno, por medid de economi. Pr cercr os outros três ldos, serão utilizdos 600 metros de tel de rme. Pr que áre do currl sej mior possível, rzão entre s sus menor e mior dimensões será: )0,5 b)0,50 c)0,75 d),00 e),5 Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

15 9. (EXPCEX) N crição de um determindo niml pr bte, o cridor dispõe de estudos que lhe informm que o custo d crição evolui no tempo segundo relção PC = t + t + 00 ; o 0 preço obtido pelo cridor o vender o produto evolui no tempo segundo relção PV = t + t + 00 ; onde PC e PV são 0 respectivmente os preços de custo e de vend d rrob de crne, em reis, e t, o tempo de engord, em dis. Nests condições pode-se firmr que o tempo de engord que fornece mior lucro (PV PC) é em dis de: ) 0. b) 0. c) 90 d) 60 e) 50 0.(UFF-RJ) Um fzendeiro pretende destinr um terreno retngulr à plntção de muds. Pr limitr o terreno, deverá estender 000 m de tel o longo de três de seus ldos o qurto ldo coincidirá com um muro reto. Nests condições clcule, em metros qudrdos, mior áre possível de ser limitd. GABARITO FUNÇÃO DO º GRAU 0 B 0 B 0 A 04 E 05 E 06 A 07 A 08 A 09 D 0 4 e 6 0 ) mínimo b) 40 c) 50 C 4 A 5 E 6 C 7 C 8 B 9 B B INEQUAÇÃO DO º GRAU.(UNB-CESPE) Em um terreno, que tem form de um triângulo retângulo com ctetos medindo 0 m e 40 m, desej-se construir um cs retngulr de dimensões x e y, como indicdo n figur que segue. Nesss condições, pr que áre ocupd pel cs sej mior possível, o vlor de seu semiperímetro, em metros, deverá ser igul ) 0 b ) 5 c) 40 d) 45 e) 50 DEFINIÇÃO Chm-se inequção do º gru tod sentenç bert do tipo: x + b > 0 x + b 0 x + b < 0 x + b 0, onde R* e b R. Resolver em R, um inequção do º gru, é determinr o conjunto de todos os vlores d vriável x pr os quis desiguldde fique stisfeit. INEQUAÇÕES DO º GRAU DEFINIÇÃO Chm-se inequção do º gru tod sentenç bert do tipo: x + bx + c > 0 x + bx + c 0 x + bx + c < 0 x + bx + c 0 com R*, b R e c R; Resolver, em R, um inequção do º gru, é determinr o conjunto de todos os vlores d vriável x pr os quis desiguldde fique stisfeit. EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO Sej y = f(x) um função de vriável x, pr s funções que seguem devemos impor condição de existênci: y = f( x ) 0 f( x ) P A R y = f( x ) f( x ) 0 y = f( x ) > 0 P A R f( x ) Atulizd 8/0/007 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

16 TESTES 0. Resolv em IR inequção, x 0 < Resolv em IR inequção, x Resolv em IR inequção, -x- - + x. 04. Resolv em IR inequção, x -x. 05. Resolv em IR inequção, x 5x + 4 > Resolv em IR inequção, x 5x Resolv em IR inequção, x 4x + 4 > 0. SISTEMA DE INEQUAÇÕES 4. (CESCEM-SP) O conjunto de vlores de x que stisfz o sistem de inequções x 4x + > 0 é: x x < 0 ) 0 < x < b) IR c) x < 0 ou x > d) < x < e) nd 5. (UNESP) Os vlores de x IR que stisfzem o x 4 < 0 sistem são tis que: x x < 0 ) < x < b) - < x < - c) 0 < x < d) < x < e) - < x < Resolv em IR inequção, x 4x Resolv em IR inequção, x 4x + 4 < Resolv em IR inequção, -x + x - 4 > 0.. (FCC) Perguntrm José quntos nos tinh su filh e ele respondeu: "A idde del é numericmente igul à mior ds soluções inteirs d inequção x x 90 < 0." É correto firmr que idde d filh de José é um número ) qudrdo perfeito. b) primo. c) menor que 0. d) divisível por 4. e) múltiplo de 6.. (CESGRANRIO-RJ) O conjunto solução d inequção x - x - 0 < 0 é: ) (-, - ) b) (-, - ) (5, ) c) (-, 5) d) (0, ) e) (, 0). (UF-SE) O trinômio y = x + kx + 4k dmitirá dus rízes reis e distints se, e somente se: ) k > 4 b) k > 0 e k 4 c) k < 0 ou k > 4 d) k 0 e k 4 e) 0 < k < 4 4 Atulizd 8/0/007 INEQUAÇÕES PRODUTO - QUOCIENTE 6. (UEPG-PR) Resolvendo-se inequção ( x-5). ( x - x -5 ) 0 obtém-se: ) S = { x R / x < } b) S = { x R / - x 5 } c) S = { x R / x ou x 5 } d) S = { x R / x - } { 5 } e) nd 7. (CESCEA-SP) A solução d inequção ( x - ). ( - x + x + 0 ) > 0 é: ) - < x < ou x > 5 b) < x < 5 ou x < - c) - < x < 5 d) X > 6 e) x < 8. ( PUC - PR ) A solução d inequção ( x - ). ( - x + x + 0 ) > 0 é : ) x < - ou < x < 5 b) - < x < ou x > 5 c) - < x < d) x > e) x < 5 9. (UF-SE) O conjunto solução d inequção x + 0 em R é: x 5 ) [ -, 5/ ) b) ( -, 5/ ) c) [-, 5/ ] d) ] - ºº, - ] e) ] - ºº, - ] [ 5/. ºº[ 0. (UEL-PR) Quntos números inteiros stisfzem 4 - x inequção 0? + x ) b) c) 4 d) 5 e) 6 Neste curso os melhores lunos estão sendo preprdos pelos melhores Professores

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