Lógica de Descrição ( Description Logic )

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1 Lógica de Descrição ( Description Logic ) Paulo Trigo Silva ptrigo@deetc.isel.ipl.pt Resumo O que é uma TBox e uma ABox? Quais os membros da família de linguagens de descrição AL? O que são axiomas de igualdade e de inclusão? O que é uma definição e uma terminologia? Como se constrói uma interpretação? O que é uma interpretação base e em que consiste uma sua extensão? Como expandir uma terminologia acíclica? Com que objectivo se normaliza uma terminologia? Qual a diferença entre a interpretação de uma TBox e de uma ABox? Como se verifica se uma interpretação satisfaz uma TBox ou uma ABox? Estas folhas contribuem para alinhar ideias em torno de respostas àquelas questões. Paulo Trigo Silva

2 O que é a Lógica de Descrição? A Lógica de Descrição, no original Description Logic (DL), é a designação mais recente do formalismo, ou família de formalismos, para Representação do Conhecimento, no original Knowledge Representation (KR), de um domínio de aplicação (também designado por mundo ) através da caracterização de dois aspectos essenciais: Contexto da Terminologia no original Terminological Box (TBox) onde se define o conjunto de conceitos e das relações entre esses conceitos, e Contexto das Asserções no original Assertion Box (ABox) onde as definições da TBox, se utilizam para caracterizar cada objecto (indivíduo) concreto que ocorre no domínio de aplicação. Uma Base de Conhecimento, no original Knowledge Base (KB), pode ver-se como: KB = TBox {z } esquema + ABox {z } instâncias Paulo Trigo Silva 1

3 Uma Arquitectura que se suporta na Lógica de Descrição Interface com outros ambientes (e.g., com Agente Artificial ou Utilizador) Sistema de Inferência ( Inference System ) KB Knowledge Base TBox Terminological Box; Esquema, Schema e.g., Homem Pessoa Masculino e.g., Pai Homem temfilho.pessoa ABox Assertion Box; Instâncias, Data e.g., Pessoa( pedro ), Masculino( pedro ), Pessoa( maria ) e.g., temfilho( pedro, maria ) Paulo Trigo Silva 2

4 O que oferece um sistema baseado na Lógica de Descrição? Além de armazenar terminologias e asserções um sistema baseado na DL permite tirar conclusões, i.e., fazer raciocínio ( reasoning ) automático, sobre o mundo descrito. Em geral, no contexto da terminologia (TBox), o raciocínio é o de verificar se: uma descrição é possível de satisfazer ( satisfiable ), i.e., se é não-contraditória, uma descrição é mais geral que outra, i.e., se uma subsume ( subsumes ) a outra. Em geral, no contexto das asserções (ABox), o raciocínio é o de verificar se: o conjunto de asserções é consistente ( consistent ), i.e., se tem um modelo, é consequência lógica que um indivíduo seja instância de determinado conceito. Paulo Trigo Silva 3

5 Linguagem de Descrição Uma Lógica de Descrição é escrita recorrendo a uma Linguagem de Descrição (LgD). Uma LgD inclui descrições elementares e descrições complexas. Uma descrição elementar pode ser um conceito atómico ou um papel atómico. Uma descrição complexa constrói-se por indução, a partir de conceitos e papéis atómicos, aplicando construtores (de conceitos e axiomas). A descrição formada deste modo designa-se simplesmente por conceito (complexo, ou não-atómico). Na notação abstracta adopta-se (quando possível): tipo de descrição conceito atómico papel atómico conceito (complexo) símbolo A, B R C, D As LgD distinguem-se pelos construtores de conceitos que fornecem. A linguagem AL ( attributive language ) mantém interesse prático com o conjunto mínimo de construtores. Paulo Trigo Silva 4

6 Linguagem de Descrição AL aspectos essenciais A Linguagem de Descrição AL ( attributive language ) inclui: tipo de descrição símbolo exemplo conceito atómico A 0, A 1,..., B 0,... Pessoa, Masculino papel atómico R 0, R 1,... temfilho, temirmao construtor de conceito,,, Pessoa Masculino indivíduo ( individual ) a 0, a 1,... pedro, maria, joana,... construtor de axioma, Homem Pessoa Masculino Na linguagem estão predefinidos dois conceitos atómicos: e. conceito universal ( universal concept ); conceito ausência ( bottom concept ). Convenção: o símbolo (não é AL) lê-se é definido como ou descreve. As outras linguagens desta família (de Lógicas de Descrição) são extensões da AL. Paulo Trigo Silva 5

7 Construção de Conceitos na AL (sintaxe) Um conceito atómico (o seu nome) é um conceito da AL. O conceito universal,, é um conceito da AL. O conceito ausência,, é um conceito da AL. Se A for um conceito atómico, C e D forem conceitos (não-atómicos) e R for um papel, então de acordo com as seguintes regras (sintácticas) são também conceitos (não-atómicos) da AL: A, C D, R.C, R. Alguns exemplos: Conceitos Atómicos Conceitos não-atómicos, ou simplesmente Conceitos Pessoa, Masculino Masculino, Pessoa Masculino, Pessoa temfilho.masculino, Pessoa temfilho. Paulo Trigo Silva 6

8 AL Aspectos a Realçar e Exemplos A negação apenas pode ser aplicada a conceitos atómicos. O âmbito do quantificador existencial, sobre um papel, só admite o conceito universal. Como exemplo do que se pode exprimir na AL considere-se que Pessoa e Masculino são conceitos atómicos e que temfilho é um papel atómico. Então, intuitivamente: Pessoa Masculino (i.e., descreve) pessoas que são do género masculino. Pessoa Masculino pessoas que não são do género masculino. Pessoa temfilho.masculino pessoas cujos filhos são todos do género masculino. Pessoa temfilho. pessoas que têm pelo menos um filho. Usando o conceito ausência,, pode descrever-se, por exemplo: Pessoa temfilho. pessoas que não têm filhos. Paulo Trigo Silva 7

9 Semântica da AL a ideia Dizemos que ( Pessoa Masculino ) descreve pessoas que são do género masculino. No entanto, em que contexto ( mundo ) se enquadram esses conceitos? mundo quem é (ou, o que é) Pessoa ou Masculino? E, nesse... para dar significado (semântica) a conceitos é preciso ter uma interpretação, i.e.: caracterizar um domínio, ou seja, definir um mundo via os objectos nele existentes, organizar os objecto, desse mundo, em abstracções como as de conceito e papel.... e depois ver se a interpretação satisfaz a estrutura que caracteriza o mundo. Exemplo. Admita-se Masculino Pessoa. Se na interpretação I 1 o mundo tem os objectos pedro e maria ambos Pessoa e pedro Masculino, então I 1 satisfaz aquela inclusão. Mas, se a interpretação I 2 definir os objectos pedro, maria e sol, sendo pedro e maria Pessoa, pedro e sol Masculino, então I 2 não satisfaz aquela inclusão. Paulo Trigo Silva 8

10 Interpretação conceitos (atómicos) da AL Definição 1. Seja A um qualquer conceito atómico e R um qualquer papel atómico. Uma interpretação I consiste numa estrutura ( I, I ), onde: I representa um conjunto não-vazio designado por domínio da interpretação, I representa uma função designada por função da interpretação, e a função I atribui a A o conjunto A I I e a R a relação binária R I I I. Por exemplo, dado o conceito atómico Masculino e o papel atómico temfilho pode construir-se a seguinte interpretação: I = { pedro, lua, miguel, maria, sol, comboio, agua, joana } Masculino I = { pedro, miguel, sol, comboio } I temfilho I = { ( pedro, maria ), ( joana, maria ) } I I Paulo Trigo Silva 9

11 Interpretação conceitos (não-atómicos) da AL A noção de interpretação estende-se dos conceitos e papéis atómicos, e.g. A e R, por indução, aos conceitos (não-atómicos), e.g. C e D, por aplicação das seguintes regras: I = I I = ( A ) I = I \ A I ( C D ) I = C I D I ( R.C ) I = { a I b.( a, b ) R I b C I } ( R. ) I = { a I b.( a, b ) R I } Exemplo: dada a interpretação I anterior tem-se ( temfilho.masculino ) I =. Paulo Trigo Silva 10

12 Exemplos Interpretação Sejam os conceitos Bebida, Pessoa, o papel (relação) gostade e a interpretação I: I = { pedro, lua, sumo, maria, cerveja, comboio, agua, vinho } Bebida I = { sumo, cerveja, agua, vinho } Pessoa I = { pedro, maria } gostade I = { ( pedro, maria ), ( pedro, agua ), ( maria, sumo ), ( agua, lua ) } Algumas expressões e respectivo conjunto resultante em I: i. ( Bebida Pessoa ) I = { lua, comboio } ii. ( gostade. ) I = { pedro, maria, agua } iii. ( Pessoa gostade. ) I = { pedro, maria } iv. ( Pessoa gostade. ) I = Atenção: na AL o âmbito do Quantificador Existencial só refere o conceito universal. Paulo Trigo Silva 11

13 ... sobre o Quantificador Universal O conjunto ( R.C ) I = { a I b.( a, b ) R I b C I }, inclui: os indivíduos que quando pertencem a R I se relacionam apenas com conceitos em C I, os indivíduos que não pertencem a R I, i.e., nunca são lado esquerdo de um par ( a, b ). Recordar: numa implicação, se o antecedente é falso a implicação é sempre verdadeira: G H G H T T T T F F F T T F F T Ou seja, quando, para a I, se tem que ( a, ) / R I então a ( R.C ) I. Paulo Trigo Silva 12

14 Exemplo sobre o Quantificador Universal Sejam os conceitos Bebida, Pessoa, o papel (relação) conhece e a interpretação I: I = { pedro, lua, sumo, maria, cerveja, agua } Bebida I = { sumo, cerveja, agua } Pessoa I = { pedro, maria } conhece I = { ( pedro, maria ), ( maria, pedro ), ( pedro, lua ), ( cerveja, agua ) } Algumas expressões e respectivo conjunto resultante em I: i. ( conhece.pessoa ) I = { maria, lua, sumo, agua } maria só conhece pedro que é Pessoa; lua, sumo e agua não ocorrem em conhece ii. ( conhece. ) I = { pedro, maria, cerveja } iii. ( conhece.pessoa conhece. ) I = { maria } Atenção: para excluir os indivíduos que não ocorrem em R fazer ( R.C R. ) I Paulo Trigo Silva 13

15 Noção de Equivalência entre Conceitos Definição 2. Dois conceitos C e D são equivalentes, e escreve-se C D, sse para qualquer interpretação I se tiver sempre que C I = D I. Por exemplo é simples verificar que: temfilho.masculino temfilho.estudante temfilho.( Masculino Estudante ) temfilho.masculino temfilho.estudante qualquer indivíduo que tem todos os filhos do género masculino e que simultaneamente todos esses filhos são estudantes temfilho.( Masculino Estudante ) qualquer indivíduo que tem todos os filhos simultaneamente do género masculino e estudantes Independentemente da interpretação, qualquer indivíduo pertencente ao conjunto descrito por uma das expressões pertence também ao conjunto descrito pela outra expressão. Paulo Trigo Silva 14

16 A Família das Linguagens AL A linguagem AL estende-se com construtores que aumentam a capacidade expressiva. A família das linguagens AL obtém-se com os seguintes construtores: U para a linguagem que incorpora a união. E para a linguagem que incorpora a quantificação existencial completa. N para a linguagem que incorpora a restrições de número. C para a linguagem que incorpora a complementaridade (negação). A letra no nome indica presença, na AL, do construtor, e.g., ALUEN permite: descrever a união de conceitos (letra U), que qualquer conceito ocorra no contexto de um quantificador existencial (letra E), e limitar, numa relação, o número de indivíduos que podem estar associados (letra N ). Paulo Trigo Silva 15

17 Família AL as extensões U, E, N e C extensão sintaxe interpretação U C D ( C D ) I = C I D I E R.C ( R.C ) I = { a I b.( a, b ) R I b C I } N n R ( n R ) I = { a I { b ( a, b ) R I } n } onde X denota a cardinalidade do conjunto X n R ( n R ) I = { a I { b ( a, b ) R I } n } C C ( C ) I = I \ C I Notar que ALC tem negação de conceitos (não-atómicos). Outros aspectos a notar: AL tem ( R. ); permite dizer que a relação R tem pelo menos uma ocorrência. ALE tem ( R.C ); permite dizer que em R há pelo menos uma associação com C. ALN tem ( n R ); permite dizer em R os indivíduos a que se associam a n, ou mais, indivíduos b (em associações da forma ( a, b )). Paulo Trigo Silva 16

18 Família AL alguns exemplos Sejam os conceitos atómicos Aluno, Masculino, Feminino e a relação temirmao. Usar uma linguagem da família AL para formular as seguintes descrições: i. Alunos que têm pelo menos um irmão. ii. Alunos que são filhos únicos, i.e., que não têm irmãos. iii. Alunos que têm mais de um irmão um dos quais é do género masculino. iv. Alunos que têm pelo menos um irmão do género masculino e do género feminino. v. Alunos que são filhos únicos ou com mais de um irmão, um deles do género feminino. Sejam conceitos Bolacha, Chocolate, Cacau, e relação temingrediente descreva: i. Chocolates cuja lista de ingredientes inclui cacau e bolacha. ii. Bolachas que não tenham, como ingrediente, chocolate. iii. Bolachas que não tenham mais de 5 ingredientes mas um dos quais deverá ser chocolate. Paulo Trigo Silva 17

19 ... os exemplos formulados nas linguagens AL U E N C Conceitos atómicos: Aluno, Masculino, Feminino. Relação atómica: temirmao. i. Aluno temirmao. ii. Aluno temirmao. iii. Aluno ( 2 temirmao ) temirmao.masculino iv. Aluno temirmao.masculino temirmao.feminino v. ( Aluno temirmao. ) ( Aluno ( 2 temirmao ) temirmao.feminino ) Conceitos: Bolacha, Chocolate, Cacau. Relação: temingrediente. i. Chocolate temingrediente.cacau temingrediente.bolacha ii. Bolacha temingrediente.chocolate iii. Bolacha ( 5 temingrediente ) temingrediente.chocolate Paulo Trigo Silva 18

20 Relação entre as Linguagens da Família AL Na perspectiva semântica nem todas as linguagens da família AL são equivalentes. As regras usadas para a interpretação contêm-se as seguintes equivalências: C D ( C D ) R.C ( R. C ) Ou seja, a união e a quantificação existencial completa podem exprimem-se através da complementaridade (negação),..., ou, de outro modo, a complementaridade (negação) tem capacidade para exprimir a união e a quantificação existencial completa. Assim, assume-se que a união e a quantificação existencial completa estão disponíveis em qualquer linguagem AL que contenha complementaridade (negação), e vice-versa. Paulo Trigo Silva 19

21 ... relação entre as Linguagens da Família AL Todas as linguagens da família AL se podem escrever só com os símbolos: U, E, N (porque C se obtém à custa de U e E). Temos assim 8 linguagens da família AL, sendo cada linguagem não-equivalente a todas as outras: U E N Linguagem ALUEN ALCN ALUE ALC ALU N ALU ALEN ALE ALN AL Paulo Trigo Silva 20

22 ... ainda sobre as linguagens ALE e ALU Partindo das equivalências R.C ( R. C ) e C D ( C D ) encontram-se outras que é importante conhecer: ALE ALU R.C ( R. C ) C D ( C D ) R. C ( R.C ) C D ( C D ) ( R.C ) R. C ( C D ) C D ( R. C ) R.C ( C D ) C D Nota 1. Na ALE, as equivalências são idênticas às que envolvem a negação de quantificadores (existenciais e universais) na lógica de primeira ordem. Nota 2. Na ALU, as equivalências são idênticas às que envolvem negação de disjunções (ou conjunções) na lógica proposicional (conhecidas por leis De Morgan). Paulo Trigo Silva 21

23 ... ilustração da equivalência R.C ( R. C ) Sejam os conceitos Bebida, Pessoa, o papel (relação) conhece e a interpretação I: I = { pedro, lua, sumo, maria, cerveja, agua } Bebida I = { sumo, cerveja, agua } Pessoa I = { pedro, maria } conhece I = { ( pedro, maria ), ( maria, pedro ), ( pedro, lua ), ( cerveja, agua ) } Exemplo que ilustra ( conhece.pessoa ) I ( conhece. Pessoa ) I : i. ( conhece.pessoa ) I = { pedro, maria } ii. ( Pessoa ) I = I \ Pessoa = { lua, sumo, cerveja, agua } iii. ( conhece. Pessoa ) I = { cerveja, lua, sumo, agua } iv. ( conhece. Pessoa ) I = I \{ cerveja, lua, sumo, agua } = { pedro, maria } Paulo Trigo Silva 22

24 Axioma de Terminologia o conceito Com família AL formam-se conceitos (complexos) que descrevem classes de objectos. Definição 3. Um axioma de terminologia ( terminological axiom ) é uma asserção sobre o modo como os conceitos e papéis (relações) se interligam uns com os outros. No caso geral, um axioma de terminologia tem a forma: C D ou R S, igualdade (equivalência); C é equivalente a D, C D ou R S, inclusão (subsunção); C subsumido por D ou D subsume C, onde, C e D são conceitos e R e S são papéis (relações). Exemplos de axiomas de igualdade: Aluno Estudante, temidade idade Exemplos de axiomas de inclusão: Aluno Pessoa, temirmao temfamiliar Com os axiomas de terminologia constrói-se a TBox (Contexto da Terminologia). Paulo Trigo Silva 23

25 Interpretação dos Axiomas de Terminologia Definição 4. Uma interpretação, I, satisfaz um axioma de igualdade ( C D ) I ou ( R S ) I sse, respectivamente, ocorrer ( C I = D I ) ou ( R I = S I ). Definição 5. Uma interpretação, I, satisfaz um axioma de inclusão ( C D ) I ou ( R S ) I sse, respectivamente, ocorrer ( C I D I ) ou ( R I S I ). Diz-se que a interpretação, I é um modelo de um axioma sse I satisfaz esse axioma. Exemplo conceitos Pessoa, Aluno; papéis gostade, conhece, e a interpretação I: I = { pedro, lua, sumo, maria, cerveja, comboio, agua, miguel } Pessoa I = { pedro, maria, miguel }; Aluno I = { pedro, maria } gostade I = { ( pedro, maria ), ( pedro, agua ) } conhece I = { ( pedro, maria ) } A interpretação I é um modelo de ( Aluno Pessoa ) I e ( conhece gostade ) I. Paulo Trigo Silva 24

26 O Conceito de Definição & Axioma de Igualdade O conceito de definição formula-se como um caso particular do axioma de igualdade. Definição 6. Uma definição é um axioma de igualdade cujo lado esquerdo é um conceito atómico. A definição associa um nome simbólico a uma descrição complexa. Exemplos: i. Mulher Pessoa Feminino ii. Homem Pessoa Mulher iii. Mae Mulher temfilho.pessoa iv. Pai Homem temfilho.pessoa v. Progenitor Pai Mae vi. Avo Mae temfilho.progenitor Atenção: o nome simbólico de uma definição pode usar-se noutras definições. Paulo Trigo Silva 25

27 Contexto da Terminologia, ou apenas, Terminologia TBox Um conjunto de definições que não exiba ambiguidade forma uma terminologia. Definição 7. Um conjunto de definições diz-se terminologia, T, ou contexto da terminologia (TBox) sse para cada conceito atómico A existe no máximo um axioma em T que tem A no seu lado esquerdo. Os conceitos atómicos de numa terminologia, T, separam-se em dois conjuntos: Símbolo Nome, N T ( name symbol ) que ocorre no lado esquerdo de algum axioma, e Símbolo Base, B T ( base symbol ) que apenas ocorre no lado direito dos axiomas. No exemplo anterior as definições (de i a vi) são uma terminologia T na qual se tem: N T = { Mulher, Homem, Mae, Pai, Progenitor, Avo } B T = { Pessoa, Feminino, temfilho } Paulo Trigo Silva 26

28 Interpretação Base para uma Terminologia Um elemento de N T e B T também se designa, respectivamente por conceito definido ( defined concept ) e conceito primitivo ( primitive concept ). A terminologia, T, formula conceitos definidos a partir de conceitos primitivos. Definição 8. Uma interpretação base, J, para uma terminologia, T, é uma interpretação I sobre os conceitos primitivos de T, ou seja, I apenas considera o conjunto B T de símbolos base. Exemplo. A terminologia T, das definições i a vi, pode ter a interpretação base J : Pessoa J = { pedro, miguel, maria, ana } Feminino J = { maria, ana, lua, agua, cerveja } temfilho J = { ( maria, ana ), ( pedro, ana ), ( miguel, pedro ), } Paulo Trigo Silva 27

29 Extensão de uma Interpretação Base & Terminologia Definitória Definição 9. A interpretação I é uma extensão de uma interpretação base J, sse: I e J coincidem no conjunto B T (de Símbolo Base), I interpreta também o conjunto N T (de Símbolo Nome), I tem o mesmo domínio que J, i.e., I = J. Definição 10. Uma terminologia T é definitória ( definitorial terminology ) sse qualquer interpretação base de T tem exactamente uma extensão que é modelo de T. Saber se a terminologia é definitória liga-se à existência, ou não, de ciclos nas definições. Por exemplo, na definição: Pessoa SerVivo tempai.pessoa, ocorre um ciclo de definição. O conceito de Pessoa ocorre do lado esquerdo (é Símbolo Nome) mas também ocorre do lado direito. Um terminologia com esta definição diz-se cíclica. Paulo Trigo Silva 28

30 ... Terminologia Cíclica pode não ser Definitória exemplo Pessoa SerVivo tempai.pessoa tempai. {z } apenas sujeitos em tempai com símbolos base: B T = { SerVivo, tempai }, e símbolos nome: N T = { Pessoa } Uma interpretação base J : SerVivo J = { maria, pedro, miguel, bilu, bobi } tempai J = { ( maria, pedro ), ( pedro, miguel ), ( bilu, bobi ) } Duas extensões, I 1 e I 2, de J : Pessoa I 1 = { pedro, maria } // miguel não é sujeito em tempai Pessoa I 2 = { bilu } // bobi não é sujeito em tempai... cada extensão, I 1 e I 2, pode, por exemplo, representar uma espécie. Paulo Trigo Silva 29

31 Terminologia Acíclica é Definitória & Terminologia Expansão Se uma terminologia T é acíclica, então T é definitória. Pois, num processo iterativo podem expandir-se as definições de T : substituindo cada ocorrência de nome do lado direito pelos conceitos que ele define, terminando quando nos lados direitos apenas existem símbolos base. Como não há ciclos o processo terminará numa terminologia T que tem todas as definições na forma A C, onde C contém apenas símbolos base. À terminologia T chama-se terminologia expansão de T. Note-se que a dimensão da terminologia expansão pode aumentar de modo exponencial com o aumento da dimensão da terminologia original. Paulo Trigo Silva 30

32 ... exemplo Terminologia Expansão Seja a seguinte terminologia T : i. Mulher Pessoa Feminino ii. Homem Pessoa Mulher iii. Mae Mulher temfilho.pessoa iv. Pai Homem temfilho.pessoa A terminologia expansão T de T é: i. Mulher Pessoa Feminino ii. Homem Pessoa ( Pessoa Feminino ) iii. Mae ( Pessoa Feminino ) temfilho.pessoa iv. Pai ( Pessoa ( Pessoa Feminino ) ) temfilho.pessoa O processo aplica-se a qualquer terminologia acíclica T pelo que T é sempre definitória. Paulo Trigo Silva 31

33 Terminologia com Axioma de Inclusão Nem sempre se consegue definir completamente um conceito. Mas, consegue-se sempre descrever a condição necessária de pertença a um conceito.... axioma de inclusão descreve uma condição de pertença (de um conceito noutro). Definição 11. Um conceito designa-se por especialização ( specialization ) sse for atómico e ocorrer no lado esquerdo de um axioma de inclusão. Exemplo. Como não consigo definir Cavalo com todo o detalhe digo apenas que: Cavalo SerVivo Uma terminologia T, mesmo sendo acíclica, ao permitir especializações perde a propriedade definitória. Para tornar definitória transformar axioma de inclusão em axioma de igualdade acíclico. Paulo Trigo Silva 32

34 Normalização de uma Terminologia Dada uma terminologia T, a sua normalização consiste numa terminologia T que se obtém de T do seguinte modo: para cada especialização A C em T escolher um novo símbolo base A, e substituir a especialização A C por uma definição A A C. Por exemplo, se uma TBox contém a especialização, Cavalo SerVivo então a sua normalização contém a definição, Cavalo Cavalo SerVivo Intuitivamente, o símbolo base adicional Cavalo representa tudo aquilo que distingue o Cavalo entre os restantes SerVivo. Paulo Trigo Silva 33

35 ... interesse prático dos axiomas de inclusão Numa perspectiva teórica os axiomas de inclusão nada acrescentam àquilo que a terminologia exprime. No entanto, numa perspectiva prática, os axiomas de inclusão são uma forma simples de acrescentar conceitos para os quais não se tem uma definição completa. Por exemplo, é mais simples formular, Acucar Ingrediente do que Acucar Acucar Ingrediente Mas a normalização permite reduzir uma TBox a um conjunto de axiomas de igualdade. Paulo Trigo Silva 34

36 Algumas Equivalências e Inclusões Importantes Os processos de inferência automática (e.g., o algoritmo de tableau) permitem deduzir sobre a validade de uma qualquer equivalência ou inclusão. Por agora vamos apenas enunciar algumas equivalência e inclusões importantes e fazer uma leitura intuitiva dessas descrições.... algumas equivalências importantes: R.C R.D R.( C D ) i.e., um objecto que tenha todas as suas relações simultaneamente com os conceitos C e D terá necessariamente que se relacionar apenas com objectos na intersecção de C com D. R.C R.D R.( C D ) i.e., um objecto que tenha uma relação com o conceito C ou com o conceito D estará necessariamente relacionado com algum objecto na união de C com D. Paulo Trigo Silva 35

37 Algumas Equivalências e Inclusões Importantes (cont.)... algumas inclusões importantes: R.C R.D R.( C D ) i.e., os objectos que têm todas as suas relações apenas com os conceitos C unidos àqueles que têm todas as relações apenas com D têm todas as suas relações na união de C com D; no entanto, um objecto que tenha todas as suas relações na união de C com D pode ter algumas associações com C e outras com D pelo que não pertencerá a R.C R.D. R.( C D ) R.C R.D i.e., um objecto que se relacione com a intersecção dos conceitos C e D está necessariamente relacionado com C e com D; no entanto, um objecto pode relacionar-se simultaneamente com C e com D mas apenas com elementos que estejam fora na intersecção de C com D. Estas resultados são úteis na manipulação sintáctica (e.g., simplificação) de descrições. Paulo Trigo Silva 36

38 O Mundo numa Base de Conhecimento Numa Base de Conhecimento ( Knowledge Base ) o mundo tem duas componentes: uma terminologia onde o mundo se organiza em termos de conceitos TBox, e o enquadramento, nessa terminologia, dos indivíduos que povoam o mundo ABox. KB Knowledge Base TBox Terminological Box; Esquema, Schema e.g., Homem Pessoa Masculino e.g., Pai Homem temfilho.pessoa ABox Assertion Box; Instâncias, Data e.g., Pessoa( pedro ), Masculino( pedro ), Pessoa( maria ) e.g., temfilho( pedro, maria ) Paulo Trigo Silva 37

39 ... sobre os Indivíduos que Povoam o Mundo ABox Na ABox identificam-se indivíduos atribuindo-lhes nomes. Na ABox fazem-se asserções sobre as propriedades daqueles indivíduos. Um nome de indivíduo será denotado recorrendo aos símbolos: a, b, c. Usando os conceitos C e os papéis (relações) R podem fazer-se dois tipos de asserções: Asserção de Conceito, C( a ); indica que a pertence à interpretação de C, e Asserção de Papel, R( b, c ); indica que c é, em R, um filler (conteúdo) para b. Por exemplo, se pedro e maria são nomes de indivíduos, então: Pai( pedro ) significa que pedro é Pai, e temfilho( pedro, maria ) significa que maria é filha de pedro. Paulo Trigo Silva 38

40 Contexto das Asserções ABox Definição 12. Um conjunto representa o contexto das asserções, A, (assertion box ABox) sse contiver um número finito de asserções da forma: C( a ) significando que a pertence à interpretação de C, R( b, c ) significando que c é, em R, um filler (conteúdo) para b. onde a, b, c são nomes de indivíduos que povoam o mundo e onde C, R são, respectivamente um conceito e um papel, ambos descritos numa TBox. Exemplo: uma TBox descreve Pai, PaiSemIrmao, temfilho; uma possível ABox A: i. Pai( pedro ) ii. PaiSemIrmao( miguel ) iii. temfilho( pedro, maria ) iv. temfilho( maria, miguel ) Paulo Trigo Silva 39

41 Semântica da ABox Interpretação de Nomes de Indivíduos A semântica da ABox estende, aos nomes de indivíduos, a noção de interpretação. Definição 13. Seja A um qualquer conceito atómico, R um qualquer papel atómico e a um qualquer nome de indivíduo. Uma interpretação I que considere uma TBox e uma ABox, consiste numa estrutura ( I, I ), onde: I representa um conjunto não-vazio designado por domínio da interpretação, I representa uma função designada por função da interpretação, e para a função I tem-se que: i. atribui a A o conjunto A I I, a R a relação binária R I I I, e ii. associa a cada nome de indivíduo, a, um elemento a I I. Atenção: o item i formula a interpretação de uma TBox; o item ii estende-a à ABox. Paulo Trigo Silva 40

42 Exemplo Interpretação (TBox e ABox) Sejam o conceito atómico Masculino, o papel atómico temfilho e os nomes de indivíduos a, b, ola, maria. Pode construir-se a seguinte interpretação: I = { pedro, lua, miguel, maria, sol, comboio, agua, joana } Masculino I = { pedro, miguel, sol, comboio } I temfilho I = { ( pedro, maria ), ( joana, maria ) } I I e, para os indivíduos, que constam na ABox, podemos ter: a I = pedro; b I = joana; ola I = miguel; maria I = maria... ou qualquer outra associação entre cada nome de indivíduo e um elemento em I. Assume-se que diferentes nomes de indivíduo denotam objectos distintos. Ou seja, se a e b são diferentes nomes de indivíduos, então a I b I Paulo Trigo Silva 41

43 Interpretação & Satisfação (ABox) Definição 14. Uma interpretação I satisfaz: uma asserção de conceito, C( a ), sse a I C I, uma asserção de papel, R( b, c ), sse ( b I, c I ) R I. Definição 15. Uma interpretação I satisfaz uma ABox A sse satisfaz cada uma das asserções (de conceito e papel) em A. Quando uma interpretação I satisfaz uma ABox A, diz-se que I é um modelo de A. Ou seja, uma ABox A faz asserções sobre a pertença de indivíduos abstractos a conceitos e sobre as relações que se estabelecem entre esses indivíduos abstractos. i.e., um modelo de A concretiza um mundo onde se respeitam as asserções de A. Paulo Trigo Silva 42

44 Exemplo Interpretação & Satisfação (ABox) Sejam o conceito atómico Masculino, o papel atómico temfilho e os nomes de indivíduos a, b, ola, maria. Pode construir-se a seguinte interpretação: I = { pedro, lua, miguel, maria, sol, comboio, agua, joana } Masculino I = { pedro, miguel, sol, comboio } I temfilho I = { ( pedro, maria ), ( joana, maria ) } I I a I = pedro; b I = joana; ola I = miguel; maria I = maria e.g., I é modelo de: Masculino( a ), Masculino( sol ), temfilho( b, maria ) e.g., I é modelo de: Masculino( a ), temfilho( a, maria ), temfilho( b, maria ) e.g., I não é modelo de: Masculino( a ), temfilho( a, maria ), temfilho( a, b ) e.g., I não é modelo de: Masculino( agua ), temfilho( a, maria ) Paulo Trigo Silva 43

45 Interpretação & Satisfação (TBox & ABox) Definição 16. Uma interpretação I satisfaz uma asserção α, ou uma ABox A, relativamente a uma T Box T sse a interpretação I para além de ser um modelo de α, ou de A, é também um modelo de T. Intuitivamente, um modelo de A e de T é uma abstracção de um mundo concreto onde: os conceitos são interpretados como subconjuntos do domínio tal como requerido pela TBox, e os indivíduos pertencem a conceitos e relacionam-se entre si de acordo com as asserções da ABox. Paulo Trigo Silva 44

46 Exemplo Interpretação & Satisfação (TBox & ABox) TBox Homem Pessoa Masculino Pai Homem temfilho.pessoa ABox Pessoa( pedro ), Masculino( pedro ), Pessoa( x 1 ), Pessoa( x 2 ) temfilho( pedro, x 1 ), temfilho( x 1, joana ) Exemplo de uma interpretação I que satisfaz aquelas TBox e ABox: I = { pedro, lua, miguel, maria, sol, comboio, agua, joana } Masculino I = { pedro, miguel, sol }; Pessoa I = { pedro, maria, miguel } temfilho I = { ( pedro, maria ), ( pedro, miguel ), ( maria, joana ) } x 1 I = maria; x 2 I = miguel; pedro I = pedro; joana I = joana Paulo Trigo Silva 45