Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica. Matemática para CG

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1 Licencitur em Engenhri Informátic e de Computdores Computção Gráfic Mtemátic pr CG 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Edwrd Angel, Cp. 3

2 Questão 1, exme de 06/06/11 [1.0v]Explique, no contexto d computção gráfic interctiv, o que é um frmee como est se relcion com o desempenho de um sistem gráfico. Frme: imgem estátic gerd no finl do pipeline contêm vist ser representd no dispositivo de visulizção Animção:? crid trvés d presentção em sequênci rápid deste frmes. tão mis fluid qunto mis frmesse conseguirem presentr por unidde de tempo. Pr se medir o desempenho de um sistem gráfico us-se o número de frmespor segundo (fps) Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

3 Licencitur em Engenhri Informátic e de Computdores Computção Gráfic Mtemátic pr CG 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Edwrd Angel, Cp. 3

4 Nots As definições mtemátics qui presentds são descrits n perspectiv de CG Vmos evitr definições genérics demsido formis Trlhmos no espço tridimensionl Apesr d miori do que qui dizemos ser válido pr espços n-dmensionis 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

5 LEIC CG Mtemátic pr CG Esclres, Pontos e Vectores 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

6 Ojectos Geométricos Em CG trlhmos com ojectos geométricos Linhs Polígonos Poliedros Ojectos complexos podem ser definidos prtir de um conjunto limitdo de entiddes Ojectos geométricos e s sus relções podem ser descritos usndo: Esclres, Pontos e Vectores 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

7 Esclres Considermos esclres os números reis Operções sore esclres: Adição Multiplicção Proprieddes dests operções Comuttividde Associtividde Distriutividde Identidde Esclr D dição (0) D multiplicção (1) Inversos Esclr D dição (-α) D multiplicção (α -1 ), Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

8 Vectores no Espço Euclideno Espço Euclideno contém esclres e vectores Vectores têm s seguintes operções (neste espço) Som de vectores Multiplicção de esclr por vector Produto interno Produto externo Não se pode somr um esclr um vector! Não se multiplicm vectores (só mtrizes) 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

9 Vectores Conhecimentos Básicos Vector descreve um comprimento e um direcção Grficmente pode ser representdo por um set Numericmente representdo por mtriz nx1 (2x1 em 2D) [ 3 ] T Vector unitário é um vector de comprimento 1 Vectores têm vriedde enorme de plicções Em CG e não só! 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

10 Vectores Conhecimentos Básicos 1 1 Pergunt: Vector é unitário? 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

11 Vectores Conhecimentos Básicos x y r 2 2 Comprimento do + vector? x y 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

12 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Vectores Conhecimentos Básicos z z y y x x z y x z y x

13 Vectores Conhecimentos Básicos k k esclr k x y z k k k x y z 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

14 Vectores Conhecimentos Básicos k esclr k k< 0 k x y z k k k x y z 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

15 Produto Interno (dot product) φ cosφ Ou melhor: x x + y y 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

16 Produto externo 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

17 Produto Externo 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL x y y x z x x z y z z y sinφ

18 Produto Externo 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL z y x z y x z y x det sinφ

19 Produto Externo Regr d mão direit 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

20 Produto Externo Regr d mão esquerd 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

21 Atenção! É produto interno de dois vectores! Não é multiplicção de vectores! É produto externo de dois vectores! Não é multiplicção de vectores! Se dfor esclr, isto não existe! 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

22 LEIC CG Mtemátic pr CG Espço Crtesino 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

23 Bse Ortonormd Mnipulção de sistems de coordends é um ds trefs se de computção gráfic Sistems de coordends são ses ortonormds Bse ortonormd em 3D Formd por três vectores unitários ortogonis entre si u v w 1 u v v w u w 0 w u v 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

24 Bse Ortonormd Crtesin 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

25 Bse Ortonormd Crtesin Existe um origem implícit A loclizção Oe os vectores x, ye znão são explicitmente representdos 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

26 Plno Superfície idimensionl plnr Definido por Três pontos Dois vectores Dois vectores no plno Um vector no plno e outro norml o plno Um ponto e um vector norml 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

27 Polígonos Figur geométric definido por Conjunto de vértices ligdos entre si por segmentos de linh Polígonos regulres Convexos Ldos e ângulos iguis 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

28 Sólido Definição forml Figurtridimensionl querepresentumporçãodo espço limitd pels sus superfícies Kern nd Blnd, Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

29 Sólidos Regulres Figurs geométrics: fces são definids por polígonos regulres idênticos mesmonúmerode fces convergiremcdvértice Tetrtedro Cuo Octedro Dodecedro 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

30 LEIC CG Enqudrmento e Conceitos Fundmentis Trigonometri 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

31 Trigonometri Conhecimentos ásicos θ α + β α θ β β θ α θ β α 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

32 Trigonometri Conhecimentos ásicos o h φ sin φ? o cos φ tn φ?? o h h sin cos ( φ )? sin( ( φ )? cos( φ ) φ ) 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

33 LEIC CG Enqudrmento e Conceitos Fundmentis Mtrizes 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

34 Mtrizes Operções mtrizes intensmente usds em CG Revejm com tenção est mtéri (Álger Liner) Prtiquem multiplicção de mtrizes 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

35 Multiplicção de Mtrizes!!!!!!!!!!!! 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

36 Multiplicção de Mtrizes Nãoé comuttiv " É ssocitiv # # # 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL

37 Multiplicção de Mtrizes 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL O M M L K O M M L K O M M L K 2,2 2,1 1,2 1,1 2,2 2,1 1,2 1,1 2,2 2,1 1,2 1,1 c c c c AB n r j r r i j i c 1,,,

38 Multiplicção de Mtrizes 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL?

39 Multiplicção de Mtrizes 2012 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL?

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