UMA ABORDAGEM MULTIDISCIPLINAR NO ENSINO DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA

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1 UMA ABORDAGEM MULTIDISCIPLINAR NO ENSINO DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA Claudioor F. Nascimo ; Azauri A. O. Júior ; Alssadro Godl ; Iva N. Silva ; Paulo J. A. Sri UNESP-FEB, Dparamo d Egharia Elérica Av. Eg. Luiz Edmudo Carrijo Coub, -0 CEP : 70 60, Bauru, SP {claudioor_fr, paulojas}@fb.usp.br EESC-USP, Dparamo d Egharia Elérica Av. Trabalhador São-carls, 00 CEP : 66 60, São Carlos, SP {azaurijr, isilva}@sl.sc.usp.br UTFPR-CP, Dparamo d Elroécica Av. Albro Carazzai, 60 CEP : , Corélio Procópio, PR agodl@ufpr.du.br Rsumo: O arigo aprsa um sudo órico xprimal sobr o coúdo harmôico da corr d circuios ão-liars amplam uilizados o aprdizado d Elrôica d Poêcia. A Elrôica d Poêcia é uma disciplia qu possibilia ao aluo uma visão mulidiscipliar, dsa forma, forc ao msmo a oporuidad d aplicar grad par da oria aprdida dura os primiros aos do curso d gharia lérica. Além disso, ss rabalho, o aluo pod vrificar a corrlação r a mamáica aális d Fourir algus aspcos xprimais dssa disciplia. Para solidificar os cohcimos proposos dmosrar a aplicação sugrida são aprsados rsulados d simulação xprimais. Palavras-chav: Elrôica d poêcia, Esio d gharia, Harmôicos. INTRODUÇÃO A crsc uilização d quipamos disposiivos basados m covrsors sáicos dspra a ação para a ára d gharia lérica domiada Elrôica d Poêcia. Porao, o sio da graduação, a disciplia Elrôica d Poêcia dsmpha um papl muio impora a formação dos fuuros ciisas ghiros, pois la raa d um ma coiuam xamiado por vários spcialisas com o objivo d dsvolvr um mlhor ambi para o su aprdizado CHU al., 008; MESE, 006; RIBEIRO al., 00. A disciplia Elrôica d Poêcia m carár ciífico-cológico, volvdo um cohcimo mulidiscipliar, as áras d: corol auomáico, lrôica, sismas d poêcia, r ouras OLIVEIRA Jr al., 00. Es foqu dá codiçõs para qu o aluo apliqu praicam odos os cohcimos adquiridos m disciplias ariors. Dssa forma, sa visão ampliada mulidiscipliar cria iúmras possibilidads d

2 discussõs volvdo os vários assuos rlacioados com a disciplia d Elrôica d Poêcia, o qu cram moiva o aluo a paricipar d forma mais aiva dura as aulas. O sudo da Elrôica d Poêcia possibilia ao aluo um dimo das caracrísicas d fucioamo das pricipais cargas ão-liars, as quais causam problmas sigificaivos d disorção harmôica para o sisma lérico m ambis idusriais, rsidciais comrciais, o qu rsula a piora da Qualidad da Ergia Elérica QEE NASCIMENTO al., 006. A QEE é um ma aual d rlva imporâcia a formação dos fuuros ghiros. Vários ipos d cargas aprsam um comporamo órico bm cohcido, al como o rificador d oda compla. No ao, algumas cargas são sujias à irvção humaa podm aprsar icrzas as suas formas d oda d corr. Es problma pod causar um aumo o cuso compuacioal quado méodos covcioais são uilizados a compsação sob sas icrzas. Es é o caso do corolador CA, o qual é amplam uilizado m rsidêcias, salas d smiários prédios comrciais, pricipalm o corol d lumiosidad d pquos viladors NASCIMENTO, 007. Ns arigo, é proposo um sudo órico do coúdo harmôico d cargas ão-liars comus ao dia-a-dia dos sudas, acompahado d rsulados d simulaçõs saios xprimais, possibiliado, porao, uma mlhor comprsão dos fômos volvidos s problma aual. Essa comprsão pod dsprar um maior irss o assuo cosqüm aumar a qualidad o sio a psquisa. Dssa forma, s arigo m como objivo coribuir para o procsso d cosrução do cohcimo dos aluos do curso d gharia lérica. Para qu os sudas possam por mio d simulaçõs, validar a oria volvida os problmas dsa ára, é uilizado um sofwar d grad aplicação o sio d gharia Malab/Simuli, assim como é ralizada a moagm d uma bacada xprimal acoplada a um sisma d aquisição d dados LabViw, ambém amplam uilizado. Porao, a orgaização ds rabalho é a sgui: Na Sção, srão aprsados os cocios básicos sobr a aális mamáica para o raamo do coúdo harmôico os aspcos rlacioados à QEE. Na Sção, srá aprsada a bacada d ss a qual srv a divrsos propósios, ais como ducacioais d psquisa. Na Sção, os pricípios do corolador CA srão rlaados. Na Sção, o rificador d oda compla srá sudado. Na Sção 6, o comporamo das duas cargas fucioado juas srá aprsado. Fialm, as coclusõs ds rabalho srão dscrias a Sção 7.. ANÁLISE MATEMÁTICA A aális d Fourir m como objivo covrr uma forma d oda o domíio do mpo m sus compos o domíio da frqüêcia. A séri d Fourir é um caso paricular da rasformada d Fourir. Gralm os fudamos da séri d Fourir são aprsados aos aluos d gharia lérica as disciplias qu raam d circuios léricos, iso é, o foqu é dado a rprsação do sial priódico m uma séri d Fourir. Por ouro lado, a Elrôica d Poêcia prioriza a aális d siais grados plo chavamo dos smicoduors, o qual gra harmôicos d são /ou corr. Sdo assim, sja uma fução priódica x com príodo fudamal T 0 frqüêcia agular ωπf 0 rprsada como uma séri d Fourir m: x a πf 0 b sπf 0 Os coficis a b,,,... dsa séri podm sr calculados por:

3 a T T0 / x πf d 0 0 T0 / b T T0 / x sπf d 0 0 T0 / Na forma vorial m-s: A φ a jb od as ampliuds âgulos d fas são dados por: A a b b φ arcg a 6 Para dados amosrados é uilizada a Trasformada Discra d Fourir Discr Fourir Trasform - DFT, qu é uma modificação da rasformada d Fourir. A DFT é dada por: X N N 0 x jπ/ N 7 x N 0 X j π / N 8 As fuçõs o domíio do mpo frqüêcia são assumidas como fuçõs priódicas com N amosras por príodo. Rscrvdo a quação 7 cosidrado W -jπ/n, m-s a mariz: [ ] [ W ][ x ] X 9 N O cálculo d N compos d frqüêcia com bas m N amosras, porao, rqur um oal d N muliplicaçõs complxas para xcuar a quação 7. Para grads valors d N, o mpo compuacioal para xcuar N muliplicaçõs complxas da DFT pod s orar proibiiva. Porao, é uilizada a Trasformada Rápida d Fourir Fas Fourir Trasform - FFT. A FFT uiliza as similaridads d muios lmos da mariz [W ] produz os msmos compos d frqüêcia usado som muliplicaçõs N/log N para xcuar a quação 9 NASCIMENTO, 007. Exism cursos qu siam os cocios sobr um procssador digial d siais fucioado como um aalisador d spcro, coform proposo por SANSALONI al. 007, qu possibilia a aplicação dos cocios sobr a FFT.. A BANCADA DE TESTES Para lvaar os dados xprimais é uilizada uma bacada d ss o laboraório. Esa bacada m como fialidad obr os dados d são corr d um corolador CA comrcial dimmr, alimado um cojuo d rês lâmpadas icadscs d 00 W

4 0 V cada d um rificador moofásico m po compla com filro capaciivo d 70 μf carga rsisiva d 70 Ω. Os dados foram colados pla placa d aquisição NI-DAQ USB 6009 Naioal Isrums o sofwar usado é o LabViw. Os ssors Hall da bacada são usados m divrsas aplicaçõs idusriais. Para a mdida d corr ambém são usados os shus os disposiivos basados a Li d Faraday-Lz. Na primira alraiva, os shus são lmos rsisivos rmicam sávis dro d sua faixa d opração. Erao, ss lmos aparcm como uma carga ao circuio m prda d calor por fio Joul, além da ixisêcia d isolamo galvâico. Na sguda alraiva, as mdidas d corr plo pricípio da idução lromagéica êm como sus pricipais rprsas os Trasformadors d Corr TC alicas amprímros. Nss quipamos há a dsvaagm d mdirm apas a corr alrada, pois coform foi posulado por Faraday-Lz, a são iduzida uma bobia d N spiras dpd da variação d fluxo por irvalo d mpo. Há som fluxo lromagéico alrado s a corr ambém for alrada. Jusifica-s dsa forma o uso dos ssors Hall a mdida d corr s rabalho. Há ambém o aspco d dêcia d miiaurização dos compos cosguido plos fabricas d ssors Hall. Opou-s s rabalho plo uso d ssors Hall da marca LEM, os quais já foram usados com sucsso o rabalho d NASCIMENTO 007 por aprsarm baixo ruído, ampla faixa d rsposa m frqüêcia class d prcisão ifrior a %. Usa-s sa bacada d saios o ssor LAH NP com corr omial d A ficaz class d prcisão d 0,%. A saída da corr é d 0- ma ficaz. A cologia usada s ssor prvê ralimação do sial d saída com a rada aravés d um amplificador opracioal dois rasisors m push-pull. A Figura ilusra sa cologia. Figura - Ssor Hall d corr com ralimação do sial d saída. Dv-s codicioar a saída do ssor Hall adoado, pois l m saída m corr quao a placa d aquisição d dados m rada m são. Dssa forma, acrsca-s uma carga rsisiva à saída do ssor Hall d forma a r o sial d são adquado à placa d aquisição. A Figura ilusra sa cofiguração. Na Figura, I é a corr primária, I é a corr scudária ou d saída ϕ é a rlação r a corr d primário scudário. Figura - Trasformação d corr m são.

5 Ns caso ϕ m a rlação /000, ou sja, para cada Ampr a rada m-s ma a saída. O rsisor R é scolhido com o valor d 00 Ω coform faixa sugrida plo fabrica. Ns valor, m-s ambém uma rlação d /0 r corr I V Hall. Dsa forma, a são ficaz d saída é d, V ou,6 Vp pico. A placa d aquisição scolhida para s rabalho fucioa com sõs d /- 0 Vpp. Opa-s ão por isrir um amplificador opracioal d gaho dois com cosqü aumo da rsolução do sial d saída. A Figura ilusra o codicioamo proposo para o ssor Hall d corr. Figura - Codicioamo d sial do ssor Hall. Além da mdida d corr há a cssidad d mdidas d são o circuio m qusão. Tais mdidas são ralizadas com um ssor Hall d são qu ambém é produzido pla LEM. O pricípio d fucioamo é o msmo do Hall d corr, difrido apas qu s dv rasformar o sial d são m corr aravés da adição d um rsisor xro R coform a Figura, a qual ilusra o diagrama d coxão lérica do ssor Hall d são. Na Figura, o rsisor R M rprsa a rsisêcia d carga I S a fo d corr rgulada pla variação d são dos rmiais HT HT. A axa d covrsão é d :,; ou sja, para cada miliampr a rada m-s, ma a saída. As caracrísicas do LV-0P cosam do maual do compo. Dv sr obsrvado qu a saída m a msma scala 0- ma do ssor Hall d corr. Dsa forma, uiliza-s o msmo squma d codicioamo d sial do rasduor d corr. Figura - Diagrama d coxão lérica. Ns rabalho, a são corr moofásica são mdidas por ais ssors. A Figura ilusra a aplicação dss ssors o barramo d um quadro d comado. A bacada d ss da Figura 6 foi scolhida m razão da sua simplicidad a forma cosruiva. Ela pod sr rproduzida m ouros laboraórios, iclusiv com a subsiuição d sus quipamos, disposiivos ssors por ouros d mor cuso. O circuio moado, aprsado a Figura 6, foi projado d al forma qu garaa a sguraça do aluo dura o lvaamo dos dados. As curvas d corr são obidas a práica m como objivo srvir para a comparação com os rsulados obidos a simulação, o qu moiva os sudas a aprdrm aivam BELHOT al., 00; CHU al., 008.

6 Hall d Tsão Hall d Corr Barramo Figura - Diagrama d coxão ira ao quadro d comado. Aquisição d Dados Rificador Lâmpada Dimmr Figura 6 - Bacada d ss. Para validação dos modlos mamáicos são uilizadas frramas compuacioais. Assim a simulação aprsação dos rsulados colados a bacada d saios foi usado o programa Malab/Simuli. É impora saliar qu xism sofwars similars ao Malab, os quais são d baixo cuso aé grauios. Exism duas alraivas: o Scilab o GNU Ocav. Ambos são bm parcidos com o Malab, são dispoívis ao para o sisma Liux como para o Widows, são programas op sourc d livr disribuição.. O CONTROLADOR CA A aális d um circuio lrôico passa plo cohcimo dos compos smicoduors do msmo. As disciplias d lrôica básica, gralm, êm como objivo dmosrar o fucioamo liar dos disposiivos smicoduors circuios lrôicos, s procupado pouco com as aplicaçõs volvdo chavs smicoduoras. No ao, a Elrôica d Poêcia, os disposiivos smicoduors uilizam o cocio d chav abra corr igual à zro chav fchada são igual à zro para corolar o fluxo d rgia sm prdas. O corolador CA aprsado a Figura 7 rprsa uma carga ão-liar para a fo d são. É formada por uma chav smicoduora TRIAC A, uma fo d são soidal {v s }, um circuio d disparo um cojuo d lâmpadas icadscs qu possum um comporamo rsisivo carga R L. As ampliuds fass dos compos harmôicos dss sisma variam ao com o âgulo d disparo do TRIAC quao com o comporamo da rsisêcia R L do cojuo d lâmpadas, o qual é variávl com a mpraura. A Figura 8 aprsa a forma d oda disorcida d são {v L } aplicada à carga R L do corolador CA, para um âgulo d disparo 90º.

7 Figura 7 - Sisma com um corolador CA. Figura 8 - Forma d oda disorcida da são aplicada às lâmpadas. A séri d Fourir da são, od V é a são d pico da fo, calculada aé o -ésimo harmôico ímpar, aplicada à carga é dscria como sgu: V vl [cos ' ]cosω [s ' π ']sω π ' π ' π cos ω s ' s ' sω 0 A rprsação da corr d carga i L é obida usado a são v L aplicada à rsisêcia R L, como mosra a quação. vl il R L A rsisêcia oal das lâmpadas varia com a mpraura, cosqüm, com a são RMS Roo Ma Squar, qu por sua vz varia com o âgulo d disparo do TRIAC, coform a quação. A Figura 9 aprsa o comporamo da são RMS da rsisêcia das lâmpadas. A são RMS pod sr drmiada aproximadam por mio da ampliud da são harmôica {V } a carga, coform a quação. N ' s ' V V RMS V π π A ampliud do -ésimo compo harmôico d corr {I } é dada por: V I R L

8 Figura 9 - Variação da são RMS d R L com o âgulo d disparo. A variação das ampliuds do compo fudamal dos cico primiros compos harmôicos da carga do sisma é aprsada a Figura 0. Acima d 0º odas as ampliuds s aproximam do valor do compo fudamal lvado a disorção, mas com mor impaco o sisma dvido às suas pquas ampliuds. A Figura mosra a corr a são d alimação d um corolador CA, lvaados d forma xprimal. O âgulo d disparo é ajusado para º. Nssa msma codição d fucioamo foram lvaadas por simulação as curvas da Figura. Figura 0 - Variação das ampliuds d corr. Figura - Tsão da fo corr do corolador xprimal. Figura - Tsão da fo corr do corolador simulação.

9 Nas Figuras são aprsados os spcros harmôicos da corr drada da fo com º, os quais são obidos por xprimo simulação, rspcivam. Figura - Coúdo harmôico do corolador xprimal. Figura - Coúdo harmôico do corolador simulação.. O RETIFICADOR MONOFÁSICO Um rificador d oda compla é dfiido as disciplias básicas d lrôica do curso d gharia lérica. Gralm, são aprsadas as caracrísicas d codução dos diodos, mas sm a procupação com os problmas rlacioados com os harmôicos grados. Nsa sção, o foqu é a caracrização do rificador como uma fo d disorção. O circuio clássico d um rificador moofásico d oda compla é formado por uma po d diodos, uma carga rsisiva um filro capaciivo d alisamo, coform aprsado a Figura. Tal ipo d circuio é muio uilizado m razão da sua simplicidad. No ao, s rificador dra uma corr pulsa com alo coúdo harmôico NASCIMENTO, 007. A Figura 6 ilusra o circuio quival. O fucioamo básico d um rificador sá ilusrado a Figura 7. A são rificada d saída {v D } é praicam coíua m virud da prsça do capacior d filro. Figura - Circuio do rificador moofásico d oda compla. Figura 6 - Circuio quival do rificador.

10 Figura 7 - Corr da fo são d saída do rificador. No rificador idal, o capacior carrga-s com a são d rada quado os diodos são coduzido, porao, v D v S. Quado a são v S s orar mor do qu a são armazada o capacior, m, os diodos bloquiam a corr d saída é forcida plo capacior qu comça a s dscarrgar, d acordo com a cosa d mpo τ τ RC, aé qu a são d rada v S s or ovam maior, m 0, rcarrgado o capacior. Do isa d mpo, m qu os diodos são bloquados, é obido o âgulo do fim d codução dos diodos ω, dfiido a quação. Já do isa 0 é drmiado o iício d codução dos diodos ω 0 da quação. ω arcg RC ω [ π ω0 ω RCω] s ω ω 0 arcs As curvas d são ilusradas a Figura 8. O capacior é maido m 000 μf varia-s o rsisor d 00 Ω a 00 Ω. Com o aumo da cosa d mpo τ há um sriamo o pulso d corr drado plo rificador, cosqum, a piora o coúdo harmôico da corr drada, como mosra as Figuras 9 0. Figura 8 - Variação do iício érmio d codução dos diodos. Figura 9 - Coúdo harmôico da corr para a cosa d mpo τ d baixo valor.

11 Figura 0 - Coúdo harmôico da corr para a cosa d mpo τ d alo valor. Após os cálculos cssários obêm-s a séri d Fourir ímpar da quação 6, cosidrado o fio da rsisêcia {R } prs a saída da fo do sisma. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ]] [ ] [ [ ]] s s s s ω ω ω ω s s s s s s s s s s s s s s s s s s C C C C i L π 6 od: [ ] s C ω ω 7 R R C 8 C R V 9 ω V R 0

12 ω ω R ω Comparado a forma d oda do rificador da Figura com a da Figura, vrifica-s qu o modlo mamáico do circuio proposo s arigo obv êxio m rlação à ampliud do sial, à forma d oda aos âgulos. Na Figura são ilusradas as ampliuds dos compos da corr xprimal. Elas possum as msmas caracrísicas das ampliuds d simulação mosradas a Figura. Figura - Tsão corr do rificador xprimal. Figura - Tsão corr do rificador simulação. Figura - Coúdo harmôico do rificador xprimal. Figura - Coúdo harmôico do rificador simulação.

13 6. A CORRENTE RESULTANTE Nsa sção as corrs do corolador CA do rificador são somadas o Poo d Acoplamo Comum PAC do sisma {i s i L i L i L }, coform a Figura. Os rsulados dsa sção possibiliam ao aluo aalisar o problma d QEE o PAC. Assim, após algus sudos xras, a possívl solução para al problma pod sr alcaçada. Figura - Sisma com um corolador CA um rificador cocados ao PAC. A corr i L das cargas a são v s, o PAC, são mosradas a Figura 6. O comporamo caracrísico do compo fudamal dos cico primiros compos harmôicos da corr d carga oal o PAC é mosrado a Figura 7. Figura 6 - Corr d carga i L o PAC do sisma xprimal. Figura 7 - Variação das ampliuds d corr o PAC simulação. A disorção harmôica é quaificada plo parâmro Disorção Harmôica Toal Toal Harmoic Disorio - THD. A THD d corr pod sr rprsada pla quação. Para NASCIMENTO 007, a poêcia raiva grada pla carga ão-liar causa o Faor d Dslocamo FD do sisma cosθ. Já a THD é rsposávl plo Faor d Disorção FDis. Assim, o faor d poêcia FP pod sr calculado com a quação. THD I I

14 . cos θ THD FP FDis FD As caracrísicas da THD das cargas sudadas são mosradas a Figura 8. A THD do rificador é cosa %, mas a THD do corolador CA varia xpocialm. A THD o PAC sai d 76% crsc xpocialm aé o âgulo d 78, chgado a %. Após s âgulo, a THD cai para 9% o âgulo d 90, m sguida o su valor comça a subir aé chgar ao paamar da THD do rificador. A Figura 9 aprsa o FP das cargas. O FP do rificador é cosa 0,677. Já o FP do corolador CA iicialm m um valor uiário qu dimiui com o aumo do âgulo d disparo. A curva do FP o PAC aprsa uma variação os msmos âgulos d disparo da THD, mas s ora cosa quado aig o valor do rificador. Figura 8 - THD das corrs simulação. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 9 - FP das cargas simulação. Ns rabalho foram aprsados os cocios básicos sobr o corolador CA, o rificador a aális mamáica dsas cargas coradas vasam a idúsria, comércio rsidêcias. Na uilização do riômio cálculo, simulação xprimação são compladas apas fudamais o procsso d aprdizado, cofrido dsa maira um mlhor aproviamo do sio da Elrôica d Poêcia para os aluos d graduação m gharia lérica. Há ambém aspcos rlacioados à Qualidad da Ergia Elérica cujos fios são sidos m oda a rd d disribuição. Agradcimos Os auors agradcm o supor da CNPq 8/00-8 6/00-.

15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BELHOT, R. V.; FIGUEIREDO, R. S.; MALAVÉ, C. O uso da simulação o sio d gharia. I: XXIX CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 9, 00, Poro Algr. CD-ROM. Poro Algr: ABENGE, 00. CHU, R. H.; LU, D. D. C.; SATHIAKUMAR, S. Projc-basd lab achig for powr lcroics ad drivs. IEEE Trasacios o Educaio. Nw Yor, NY, v.,., p. 08-, 008. MESE, E. Projc-orid adjusabl spd moor driv cours for udrgradua curricula. IEEE Trasacios o Educaio. Nw Yor, NY, v. 9,., p. 6-6, 006. NASCIMENTO, C. F. Drmiação do coúdo harmôico d corr basada m rds urais arificiais para cargas ão-liars moofásicas Ts Douorado m Egharia Elérica - Escola d Egharia d São Carlos, Uivrsidad d São Paulo, São Carlos. NASCIMENTO, C. F.; OLIVEIRA JR, A. A.; GOEDTEL, A.; SILVA, I. N. Compsaio curr of aciv powr filr grad by arificial ural wor approach. I: d ANNUAL CONFERENCE OF THE IEEE INDUSTRIAL ELECTRONICS SOCIETY,, 006, Paris. Aais. Paris: IEEE IES, 006, p OLIVEIRA JR, A. A.; NASCIMENTO, C. F.; CICHY, E. C. C.; MONTEIRO, J. R. B. A.; AGUIAR, M. L. Iroducig h larig of aciv powr filrs usig h sofwar Malab- Simuli. I: 6h IEEE POWER ELECTRONICS SPECIALISTS CONFERENCE PESC/PEEW, 6, 00, Rcif. Aais. Rcif: IEEE PELS, 00, p RIBEIRO, L. R. C.; BELHOT, R. V. A gsão da qualidad o sio d gharia. Rvisa d Esio d Egharia - ABENGE. Brasília DF, v.,., p. 7-, 00. SANSALONI, T. al. FFT spcrum aalysr projc for achig digial sigal procssig. IEEE Trasacios o Educaio. Nw Yor, NY, v. 0,., p. 9-, 007. A MULTIDISCIPLINARY APPROACH IN POWER ELECTRONIC TEACHING Absrac: Th aricl provids a horical ad xprimal sudy o h curr harmoic co of o-liar circuis widly usd i Powr Elcroics larig. Th Powr Elcroics is a discipli basd o mulidiscipliary visio ad, hus, i provids h sud a opporuiy o apply h hory lard durig h firs yars of h girig cours. Bsids, i his wor, h sud ca vrify h corrlaio amog h mahmaics Fourir aalysis ad som xprimal aspcs of h discipli. To solidify h proposd owldg ad o dmosra h suggsd applicaio simulaio ad xprimal rsuls ar prsd. Ky-words: Powr lcroics, Egirig ducaio, Harmoics