RESOLUÇÃO COMENTADA ITA /DEZ/2010

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1 O ELITE CURITIBA aprova mais porque tem qualidade, seriedade e profissionalismo como lemas. Confira alguns de nossos resultados e comprove porque temos mais a oferecer. Elite Curitiba: 6 anos de existência, 6 anos aprovando no!!! alunos aprovados! TARCÍSIO AUGUSTO BONFIM GRIPP ( 00) ALLISON FAUAT SCHRAIER ( 00) LEONARDO FRISSO MATTEDI ( 009) JULIANO A. DE BONFIM GRIPP ( 008) LUCAS BRIANEZ FONTOURA ( 008) MAURICIO FLAVIO D. DE MORAES ( 008) CAMILA SARDETO DEOLINDO ( 007) VITOR ALEXANDRE C. MARTINS ( 007) GABRIEL KENDJY KOIKE ( 006) RICARDO ITIRO SABOTA TOMINAGA ( 006) YVES CONSELVAN ( 006) EDUARDO HENRIQUE LEITNER ( 00) FELLIPE LEONARDO CARVALHO ( 00) IME 0: 8 dos 0 aprovados do Sul. Só dá Elite! Bruna Morrone: ª do Sul! 00: Dos aprovados de Curitiba, 4 são ELITE, sendo os melhores colocados da ativa e os melhores da reserva!!! 009: Do SUL inteiro foram 8 aprovados, todos de Curitiba, e 6 do ELITE!!! 008: 0 aprovados ( primeiros da Ativa, º da Ativa e 6 entre os 0 ºs da Reserva) 007: dos 6 aprovados do Paraná, incluindo os 4 melhores da ativa e os 4 melhores da reserva 006: Os 4 únicos aprovados do Paraná 00: 7 aprovados e os únicos convocados do Paraná AFA 0: 7 Aprovados!!! Mais uma vez Elite é líder! Bruna Morrone:ª Região Sul e 0ª Nacional 00: convocados, sendo 9 entre os primeiros do Paraná! Destaque para Tarcísio Gripp: º do Sul, 0º do Brasil 009: aprovados entre os 0 do Paraná (incluindo os primeiros lugares) Leonardo Augusto Seki: º lugar nacional e º do Paraná! 008: aprovados ºs lugares do Paraná em todas as opções de carreira 007: 0 dos 4 convocados do Paraná 006: dos 8 convocados do PR, incluindo: º Lugar do Paraná (6 do Brasil) em Aviação º Lugar do Paraná (9º do Brasil) em Intendência ESPCEX 00: aprovados! 009: Dos 0 primeiros colocados do Paraná, são ELITE! E dos 6 aprovados no Paraná, 0 são ELITE! 008: 9 aprovados GUILHERME PAPATOLO CONCEIÇÃO º do Paraná e 9º do Brasil BRUNO TRENTINI LOPES RIBEIRO º do Paraná e º do Brasil 007: 9 convocados no Paraná 006: 9 convocados no Paraná (turma de 0 alunos) 00: 00% de aprovação! EPCAr 00: Jean Ricardo Ferrer 007: dos 4 convocados do Paraná 006: convocados 00: º lugar do Paraná EEAR 00: 6 aprovações 009: aprovações: MURILO R. MESQU ROMULO CORREA DA SILVA COSTA GUILHERME RODOLFO HALUCH CASAGRANDE 008: 4 aprovações (ºs lugares dos grupos e ) 006: convocados /DEZ/00 Resultados crescentes em MEDICINA nos últimos anos em universidades como UFPR, Evangélica e PUC-PR! Definitivamente o melhor curso! Escola Naval 00: Único a aprovar no PR e em SC! 009: Único a aprovar no PR e em SC! 008: 9 aprovados 007: 70% de aprovação na ª fase 00: 00% de aprovação! FUVEST 00: LETRAS - Taciane Domingues Ferreira ENG. MECÂNICA - Rafael Fernandes Domingues GEOLOGIA - Adrianna Virmond UNICAMP 00: ENG. MECÂNICA - Rafael Fernandes Domingues UFPR 00: 6 aprovados (Tânia Hadas em Medicina) 009: 7 aprovados 008: 9 aprovados 007: 70% de aprovação na ª fase 006: Lugar em Eng. Mecânica Lugar em Eng. Eletrônica 00: ºLugar Direito (matutino) ºLugar Relações Públicas UFTPR 00: 6 aprovados. Inverno 009: 6 aprovações nos cursos mais concorridos Inverno 008: º, º e 4º lugares Eng. Ind. Mecânica º e º lugares Eng. Eletrônica / Eletrotécnica º lugar Eng. de Computação Verão 008: aprovados 007: aprovados em vários cursos 006: Lugar em Eng. Mecânica Lugar em Eng. Eletrônica 00: 8% de aprovação em Engenharia, com dos 8 ºs colocados de Eng. Mecânica. UFSC 00 ENGENHARIA QUÍMICA Fernanda Brandalise Nunes Só no ELITE você encontra: Turmas pequenas de alto desempenho. Simulados semanais/quinzenais. A maior carga horária e os melhores professores! CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)

2 00-0 6/DEZ/00 0. Dado z ( i) n +, então z é igual a 89 n 89 a) i. b) c) 0 d) e) Alternativa B 89 i 6 Como z cis, vamos separar os números de a 89 em três grupos. Desta forma teremos: 0 números da forma k+; 0 números da forma k+; 9 números da forma k. Assim, 9 z k 9 9 k 9 z k+ cis k0 9 z k+ 0 +.i cis 4 0.i k0 Logo, o somatório será dado por: 89 z n n 9 + i i 0. Das afirmações abaixo sobre números complexos z e z : I) z z z z II) z z z z III) Se z z ( cosθ + i senθ) 0, então z z ( θ i senθ) cos. é(são) sempre verdadeira(s) A apenas I B apenas II C apenas III D apenas II e III E todas. Alternativa C I Falsa É evidente (vide figura acima) que z z z z II Falsa z z z z seria mais apropriado. III Verdadeira A ª Lei de Moivre para expoentes inteiros negativos continua válida: z z cos( θ) + i sen( θ). Basta chamar z de z e lembrar da paridade das funções seno e cosseno. Uma demonstração mais completa partiria do fato de que z cosθ + i senθ ( cos ) ( cosθ i senθ) ( cos ) z θ + i senθ θ i senθ 0. A soma de todas as soluções da equação em C: z + z + iz 0 é igual a i A) B) C) 0 D) Alternativa E Fazendo z a + bi temos: E) i ( a + bi) (a + iz 0 + ( a + adi b ) + i( a + bi) 0 b ) + (ab + a) i 0 + ai b 0 CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4) z a + z + b + a + b A parte real e a parte imaginária da expressão do lado esquerdo são iguais a zero.

3 00-0 6/DEZ/00 a b 0 a(b + ) 0 Da segunda equação temos a 0 ou b /. Para a 0 : 0 b 0 b Para b / a ( ) 0 a a ± 4 Soluções da equação: i i S i; ; Soma das soluções: i i i + + i 04. Numa caixa com 40 moedas, apresentam duas caras, 0 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é A 7/8 B /7 C /8 D / E /7 Não há alternativa correta Seja A o evento a face observada é coroa e B o evento a face oculta é coroa. P( A B) P( B A) Pede-se a probabilidade condicional P( A). P( A B) é a probabilidade de ser selecionada uma moeda 40 0 com duas coroas, ou seja, Há duas formas disjuntas de ocorrer o evento A: ª) Um moeda com duas coroas é selecionada, nesse caso a probabilidade é ª) Uma moeda normal é selecionada e a face observada é coroa, 0 nesse caso a probabilidade é P( A) + Logo, e P( A B) P( B A) 8 P( A) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C B / A}) 8. Então, das afirmações abaixo: I. n(b) n(a) é único; II. n(b) + n(a) 8; III. a dupla ordenada (n(a) n(b)) é única; É (são) verdadeira(s): a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. Alternativa A : é o conjunto dos subconjuntos do conjunto ( B\A ). nb\a 7 n C: C B\A 8 n( B\A) 7 O conjunto { C C B\A} ({ }) I) VERDADEIRA A B n( B\A) n( B) n( A) 7 II) FALSA Contra-exemplo: Sejam os conjuntos A e B tais que A B, n( B) 68 e n( A) 6. Nesse caso, tem-se n( B\A) 7 e n( B) + n( A) > 8. III) FALSA Contra-exemplo: Sejam os conjuntos A e B tais que A B, n( B) 8 e n( A), nos quais n( B\A) 7. Logo, temos duas duplas ordenadas que satisfazem às condições,8 ( 6,68) e 06. x+ y+ z a O sistema y+ z b x y cz 0 A é possível, a, b, c IR 7b B é possível quando a ou c C é impossível quando c, a,b IR 7b D é impossível quando a, c IR 7b E é possível quando c e a Alternativa B x+ y+ z a Escalonando o sistema y+ z b, temos o sistema x y cz 0 x+ y+ z a y+ z b ( c) z 7b a, destaque para c z 7b a Tanto c quanto a nos levam a casos SPD ou SPI. CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4) b

4 07. Considere as afirmações abaixo: I - Se M é uma matriz quadrada de ordem n >, não-nula e nãoinversível, então existe matriz não-nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula. II - Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(m M) 0, então existe matriz não-nula X, de ordem n x, tal que MX X. III A matriz Destas, é(são) verdadeira(s) A apenas II. B apenas I e II. C apenas I e III. D apenas II e III. E todas. Alternativa E é inversível θ + k, k. I verdadeira Se M é não inversível, então detm 0, logo podemos afirmar que existe uma coluna de M que é combinação linear das outras. Assim, existem coeficientes k, k,...k n de modo que k.col + k.col +... k n.col n 0. Deste modo definimos a matriz k k N k,... k n de modo que é imediato perceber que MN é a matriz nula. II Verdadeira det(m M) det(m.(m-i)) detm.det(m-i) 0 Como M é inversível, det M 0, logo det (M-I) 0 e é autovalor de M. Assim, existe um auto-vetor não nulo X tal que M.X.X X III Verdadeira Para saber se a matriz é inversível precisamos calcular seu determinante /DEZ/00 Solução : Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: 0 a b a+ a+b+ 4 a+6 Temos: a + b + 0 a a 6 e b a b ( 6) Solução : 4 Dado que é raiz de multiplicidade de x + x + ax + b 0, temos que é raiz de 4x + x + a 0, que é a derivada da equação original. Substituindo x por nas duas equações: + + a + b+ 0 a 6 e b a 0 a b ( 6) x x+ x O produto das raízes da equação é igual a: A) -. B) -. C). D). E). Alternativa A Sejam: e. O quadro de sinal dessas funções é: Então ao resolver a equação modular proposta, temos só duas possibilidades: Por Girard, o produto das duas primeiras soluções é: c/a 4 k, k Logo a matriz dada é inversível. 0, θ Se é raiz de multiplicidade da equação 4 x + x + ax + b 0, com a, b R, então a b é igual a A) -64 B) -6 C) -8 D) 8 E) 7 Alternativa C Por Girard, o produto das outras duas soluções é: c/a - Assim, o produto das 4 soluções possíveis, é: k ( x ak ) 0 Considere a equação algébrica k. Sabendo que x 0 é uma das raízes e que (a, a, a) é uma progressão geométrica com a e soma 6, pode-se afirmar que CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

5 a) a soma de todas as raízes é. b) o produto de todas as raízes é. c) a única raiz real é maior que zero. d) a soma das raízes não reais é 0. e) todas as raízes são reais. Alternativa A RESOLUÇÃO COMENTADA /DEZ/00. Com respeito à equação polinomial x 4 x x + 6x 0 é correto afirmar que A todas as raízes estão em Q. 4 k ( x ak) 0 k, então B uma única raiz está em Z e as demais estão em Q \ Z. 4 k ( ak) 0 ( a) + ( a) + ( a) 0 a + a a 0 k Como x 0 é uma das raízes de Seja q a a razão da P.G. e a, então q a e q. C duas raízes estão em Q e as demais têm parte imaginária Como a soma da P.G. é 6, temos: + q+ q 6 q + q 0 q q. não-nula. q a a a a + a a + 6 D ( 0 ) não é divisível por x. q a ;a 4 a 8 a + a a + E (( 4) ) uma 8única 0raiz está em Q \ Z e pelo menos uma das demais q a Logo, ;a 4 a 8. A equação algébrica do enunciado é está em \ Q. x a + x a + x a 0 x + x+ 4 + x 8 0 x x + x 0. Essa equação tem soma das raízes e produto das raízes 0. As raízes são 0 e ± i 9, onde a soma das raízes não reais é. Assim, a alternativa correta é A.. A expressão 4ex + 9ey 6ex 4ey + 6 0, com x e y reais, representa A o conjunto vazio B um conjunto unitário C um conjunto não-unitário com um número finito de pontos D um conjunto com um número infinito de pontos. E o conjunto {(x,y) IR/ (ex ) + (ey ) } Alternativa D Fazendo a troca de variável ex a e ey b: 4a + 9b 6a 4b Com os devidos complementos de quadrados, concluímos que ( a-) ( b-) +, equação que representa uma elipse de centro (;), eixo maior horizontal e a distância focal, portanto é uma figura composta por infinitos pontos. Alternativa E x4 x x + 6x 0 As possíveis raízes racionais são, -, / e -/. Por inspeção percebemos que é raiz. Baixando o grau por Briot- Ruffini: Também por inspeção, percebemos que / é raiz. Baixando o grau novamente: - -4 ½ A equação remanescente é x 4 0, cujas raízes são Assim há uma raiz inteira, uma racional não inteira, e duas irracionais.. CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)

6 m Sejam m e n inteiros tais que n e a equação 6x + 6y + mx+ ny 0 representa uma circunferência de raio r cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm, é igual a A 8. B 4. C. D 9. E 9. Alternativa D Reescrevendo a equação da circunferência na forma canônica (completando os trinômios quadrados perfeitos) obtemos: m n m + n + 44 x+ + y () Como do enunciado temos r cm, temos m + n () m Usando em () o fato de que n e que m > 0 e n < 0 (para o posicionamento de C no segundo quadrante) calculamos: m 4 e n 6. A equação da circunferência é agora desvelada x+ + y () As ordenadas dos pontos A e B são, de (), calculadas de x 0 y Aou B ± (4) Considerando as ordenadas em (4) temos o lado AB medindo: AB 4 A altura relativa a esse lado é ponto C), o que nos dá: (fato inferido pela abscissa do 4 S ABC /DEZ/00 S ABC 9 4. Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, e igual a A / B /6 C 4/ D / E 7/ Alternativa C Para que o ponteiro dos minutos volte a se encontrar com o ponteiro das horas é necessário e suficiente que ele dê uma volta a mais que o ponteiro das horas. Equacionando θ θ + min w. t+ θ w. t+ θ + min 0min h 0h t w w min h h t horas Então θ w θ min min. min. t 4. Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a a) 4. b) 6. c) 4. d) 4. e). Alternativa D Seja DE a altura do triângulo isósceles ADC, então AE EC. Seja ainda AD x, então CD x e BD 8 x. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos: CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

7 CD BD + BC x ( 8 x) + 6 x AD x cm Logo, /DEZ/00 A / B /4 C / D /8 E / Alternativa B 6. Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 00 cm, a medida do segmento AE, em cm, é igual a A 0/. B. C 0/. D /. E 0 Alternativa C Sendo l a medida do quadrado ABCD e AE l - x, segue do enunciado: Do enunciado α. Assim, o ângulo CBD é 4 e BD CD cm Logo: tgβ e tgδ BAC+ BMC β + δ + tgβ + tgδ tg( β + δ) tgβtgδ β + δ 4 8. PA(SABCD, SBEDC, SADE) SABCD l ( l ) +x. l SBEDC l x. l SADE SBEDC SABCD + SADE. ( l ) +x. l ( l ) l + x. l Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo AB ˆ C intercepta a circunferência no ponto D. Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α β, em cm, é igual a: a)4 b) c)6 d)7 e)8 Alternativa A x l/ SABCD + SBEDC + SADE 00. SBEDC 00 l(l + x) 400/ l(l + l/) 400/ l 0 e x 0/ Logo AE l - x 0 0/ 0/ 7. Num triângulo ABC o lado mede cm, a altura relativa ao lado mede cm, ângulo A C mede e M é o ponto médio de. Então a medida de B C + B C, em radianos, é igual a Do teorema da bissetriz interna no triângulo ABC temos d e 6 0 () Como d + e 8 (do teorema de Pitágoras no triângulo ABC) então, de (), segue que CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

8 00-0 6/DEZ/00 d e () Do teorema de Pitágoras no triângulo BCE temos a () Da potência do ponto E em relação à circunferência do problema temos, de (), que b (4) Do teorema de Pitágoras no triângulo ABD temos, de () e (4), que c () Dos resultados anteriores podemos calcular as áreas envolvidas no problema: SABC 6( d + e ) S ABC 4 (6) SABD c ( a+ b) S ABD 0 (7) SBCE 6 d SBCE 9 (8) De (6), (7) e (8) calculamos α S + S 44 ABC ABD β SABC SBCE de onde temos o resultado final: α β Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede cm e a aresta da base mede 0 / cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a A 0 / B / C /4 D E 0/ Alternativa E Seccionando a pirâmide por um plano perpendicular a base e que a divide ao meio (linha vermelha), encontramos um triângulo com uma circunferência inscrita. Temos então l h 0 h E encontramos o raio por semelhança entre os triângulos R R 60 R R R 0 0. Considere as afirmações: Existe um triedro cujas faces têm a mesma medida α 0 o. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 0o, 4o, 0o, 0o e 70o. Um poliedro convexo que tem faces triangulares, face quadrangular, face pentagonal e faces hexagonais tem 9 vértices. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 0 vértices é 880o. Destas, é(são) correta(s) apenas A II. B IV. C II e IV. D I, II, IV. E II, III, IV. Alternativa C I FALSA A soma das faces de um triedo deve ser inferior a 60 o. II VERDADEIRA Os valores apresentados satisfazem às condições necessárias e suficientes para a existência do ângulo poliédrico convexo: CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

9 00-0 6/DEZ/ < 60 e > 70. III FALSA F Seja k o número de faces de gênero k. F F + F4 + F + F F + 4 F4 + F + 6 F6 A A A Pela relação de Euler, temos: V F A V IV VERDADEIRA o o S 60 V 60 ( 0 ) o 880. Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não-vazios, tais que (A \ B) (B \ A) A. ( A\B) ( B\A) A ( B\A) A B B A A B A B A ( B A) ( B\A) ( B\A) A ( B A) A B ( B A) ( B\A) A B A B\A ( A\B) A ( A\B) A A B A A B B A B B Logo, não existem A e B que satisfazem as condições do enunciado.. Sejam n ímpar, z C \ {0} e z, z,..., zn as raízes de zn. Calcule o número de valores zi zj, i,j,,..., n, com i j, distintos entre si. As raízes n-ésimas da unidade pertencem tem afixos em uma circunferência de centro na origem e raio. Vamos considerar i, sem perda de generalidade. A simetria do problema nos garante isso. Os valores de zi zj a que o enunciado se refere são os comprimentos dos segmentos ZiZj. Note que da figura é fácil perceber que o segmento ZZ tem o mesmo comprimento de ZZn. Analogamente, o segmento ZZ tem o mesmo comprimento de ZZn-, e assim sucessivamente. Assim, são (n-)/ possíveis valores.. Sobre uma mesa estão dispostos livros de história, 4 de biologia e de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos. Para o numero de resultados favoráveis as matérias história biologia e espanhol podem aparecer de P! maneiras. Podemos ordenar os livros de uma mesma matéria, para história de P! maneiras, para biologia de P 4! 4 maneiras e para espanhol de P! maneiras. O número de resultados possíveis vem da permutação dos livros P!. Então a probabilidade pedida é:!! 4!!! 4 P! ! 4. Resolva a inequação em IR: 6 < 4 ( x x+ ) log 9 f( x) log x x+ 9. O domínio de f(x) é IR, pois Seja, x x+ 9 é sempre positivo ( 49 7< 0). CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

10 Resolvendo, pois, a inequação proposta, temos: ( x x ) log + 9 < 4 4 > log ( x x+ 9) < x x+ 9 x x 6> 0 O que nos dá como solução o conjunto IR,. [ ] Determine todas as matrizes M Mx(R) tais que MN NM, N Mx(R) /DEZ/00 Determine todos os valores de m IR tais que a equação ( m) x + mx + m + 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. Condição da existência de duas raízes reais distintas: > 0: 4m 4( + m)( m) > 0 m > 0 m < - ou m > (I) Raízes reais positivas: -m 0 - S x + x > 0 -m > m < 0 ou m > (II) m+ 0 - P x.x > 0 -m > - < m < (III) De I, II e III, conclui-se que: m < - ou < m < 7. Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r 6 cm e um plano Σ que dista cm de C. Determine a área da intersecção do plano E com uma cunha esférica de 0 em Ω que tenha aresta ortogonal a Σ. a b x y M Sejam c d N z w e, então a b x y ax + bz ay+ bw MN c d z w cx+ dz cy+ dw x y a b ax + cy bx + dy NM z w c d az + cw bz + dw MN NM, N Μ ax+ bz ay+ bw ax+ cy bx+ dy cx+ dz cy+ dw az+ cw bz+ dw ax+ bz ax+ cy bz cy ay+ bw bx+ dy bx+ ( d a) y bw 0 b c 0 cx + dz az + cw cx + ( d a) z cw 0 a d cy+ dw bz+ dw cy bz λ 0 M ( λ ) λ Ι 0 λ As matrizes são Ι, onde é a matriz identidade de ordem. 6. Do enunciado CC e CA 6 No triângulo CC A, retângulo em C temos por T. Pitágoras que C A A área da interseção é a área de um setor circular de raio C A e ângulo central 0. Assim, A.( 8. )/ 8/ unidades de área CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

11 cos sen cos sen cos sen a) Calcule 0 0. sen cos b) Usando o resultado do item anterior, calcule 0. a) Usando as identidades trigonométricas típicas de arco duplo e soma de arcos podemos desenvolver a expressão dada como segue: cos sen cos sen cos sen 0 0 cos cos sen sen 0 0 cos + cos 0 0 De onde concluímos que a expressão é igual a ZERO. b) y cos sen Chamando 0 e levando em conta o item anterior temos que cos sen cos ysen 0 0 Usando a expressão acima, lembrando que e 0 são complementares e que 4 e são suplementares temos: cos cos cos sen y 0 y sen sen 4 sen sen y y 4sen 4sen y 4 9. Num triângulo AOB, o ângulo AÔB mede e os lados cm e de centro em O e raio igual à medida de no ponto C. Mostre que OÂB, mede Calcule o comprimento de. cm, respectivamente. A circunferência e, intercepta o lado /DEZ/00 LETRA A: Usando as lei dos senos no triângulo AOB, temos: Multiplicando por o numerador e denominador e realizando a fatoração do numerador: LETRA B: Da demonstração em na letra A, concluímos que: Se OC OB r, o triângulo COB é isóceles. Então. Assim, o ângulo também. Portanto, AC CO OB r 0. e o triângulo ACO é isóceles Considere um triângulo equilátero cujo lado mede cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam lados do triângulo. a) Determine o valor de r. b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos. c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo. Seja o triângulo AOB, o círculo e as demais condições propostas representadas na figura abaixo: CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)

12 00-0 6/DEZ/00 Seja o triângulo equilátero ABC de lado cm. Como G é o baricentro do ABC, então BG GH, e BO BG OG r. OD BO r r BDO ~ BHG r GH BG r cm a) b) S SABC 4 Scírculo 4 ( ) cm 4 AO BO CO r cm c) CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)