RESUMOS E DICAS VESTIBULAR (INCLUI MATERIAL CONHEÇA O ITA )

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1 RESUMOS E DICAS VESTIBULAR (INCLUI MATERIAL CONHEÇA O ITA ) INORMAÇÕES SOBRE O ITA ÍSICA ÍNDICE CONHEÇA O ITA A PROVA DE ÍSICA DO ITA; ANÁLISE DIMENSIONAL; MOMENTO LINEAR CENTRO DE MASSA; EEITO OTOELÉTRICO EEITO COMPTON HIPÓTESE DE DE BROGLIE; POLARIZAÇÀO INTERERÊNCIA; EXPERIMENTO DE YOUNG INTERERÊNCIA EM ILMES INOS; LUZ E ESPECTRO DE CORES ONDAS ESTACIONÁRIAS; TUBOS SONOROS; INTENSIDADE SONORA BATIMENTO; EEITO DOPPLER RIZEAU; LEI DE GAUSS CAMPO ELÉTRICO LEI DE GAUSS CAMPO MAGNÉTICO; LEI DE GAUSS CAMPO GRAVITACIONAL 5 GRAVITAÇÃO INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA; COMENTÁRIOS INAIS PORTUGUÊS O PORTUGUÊS NO ITA MATEMÁTICA A MATEMÁTICA NO ITA; TEORIA DOS CONJUNTOS; TEMAS DIERENTES TRIGONOMETRIA; LOGARÍTMOS; PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES IDENTIDADE DE EULER; CÔNICAS COMENTÁRIOS INAIS QUÍMICA A QUÍMICA NO ITA; PROPRIEDADES COLIGATIVAS ORÇAS INTERMOLECULARES; GEOMETRIA MOLECULAR ESTRUTURA ATÔMICA O ÁTOMO DE BOHR ELETROQUÍMICA E TERMODINÂMICA EQUAÇÃO DE NERSNT TERMOQUÍMICA E SUA RELAÇÃO COM TERMOÍSICA; CINÉTICA EQUAÇÀO DE ARRHENIUS; COMENTÁRIOS INAIS

2 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA (ITA) "É tempo, talvez, de se instalar uma escola de verdade em um campo adequado... Margeando a linha da Central do Brasil, especialmente nas imediações de Mogi das Cruzes, avistam-se campos que me parecem bons... Os alunos precisam dormir junto à escola, ainda que para isso seja necessário fazer instalações adequadas... Penso que, sob todos os pontos de vista, é preferível trazer professores da Europa ou dos Estados Unidos, em vez de para lá enviar alunos... Meu mais intenso desejo é ver verdadeiras escolas de aviação no Brasil. Palavras escritas por Santos-Dumont em 98 A PROECIA DE SANTOS DUMONT E A UNDAÇÃO DO ITA Em meados de 945, norteado pela incrível visão estratégica de Santos Dumont e inspirado por forte idealismo e espírito empreendedor, um grupo de militares, liderado pelo então coronelengenheiro Casimiro Montenegro ilho, planejava, no campo de pouso de Aeroclube de São José dos Campos, como seria a escola de verdade: Aqui construiremos o túnel aerodinâmico... Ali, o alojamento dos alunos. À esquerda, os edifícios escolares... Para esta missão, contava com o apoio do professor norte-americano Richard Herbert Smith, licenciado do renomado MIT - Massachusetts Institute of Technology, que veio para o Brasil com o intuito de auxiliar a organização de uma Escola de Engenharia Aeronáutica. Do corpo docente pioneiro faziam parte professores norte-americanos ou radicados nos Estados Unidos e trazidos ao Brasil pelas mãos do professor Smith (a maior parte do MIT). Também chegavam ao ITA em 95 professores da Alemanha e de outras nacionalidades, como o chinês Kwei Lien eng. Para trabalhar com os professores estrangeiros dos anos iniciais e, em tempo, substituí-los, passou o Ministério da Aeronáutica a contratar professores brasileiros. Já em 95 a primeira turma de engenheiros aeronáuticos se formava no Rio de Janeiro, com o apoio da Escola Técnica do Exército (hoje, Instituto Militar de Engenharia - IME), uma vez a construção do ITA e do CTA não estava pronta. E assim, no mesmo ano em que a primeira turma de Engenheiros do ITA diplomava-se (no IME!), a segunda tinha início em São José dos Campos. Em poucos anos o ITA já ganhava projeção, através de feitos como o desenvolvimento do motor a álcool, a implantação do primeiro curso de Engenharia Eletrônica no Brasil, implantação do primeiro curso formal de pós-graduação stricto sensu, entre outros. DA UNDAÇÃO DO ITA AO SURGIMENTO DA INDÚSTRIA AERONÁUTICA BRASILEIRA Em 955, foi criado o Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento do CTA. Um grupo desse instituto projetou o avião Bandeirante, um bimotor, turboélice, capaz de transportar cerca de passageiros e operar na maioria das cidades brasileiras da época. Esse grupo era constituído essencialmente por engenheiros formados pelo ITA. A partir daí, o grupo teve dificuldades para convencer o Governo a concretizar o projeto do avião, que teria como finalidade o atendimento de pequenas demandas do tráfego aéreo brasileiro de então. A principal delas foi o ceticismo generalizado Em agosto de 945 foi definido o Plano Geral do Centro Técnico de Aeronáutica, cuja pedra fundamental seria a fundação do ITA. O futuro centro de excelência em aeronáutica seria formado a partir de uma escola de formação de engenheiros de aeronáutica, considerando-se o MIT como modelo para a organização do futuro. (9) 35- quanto à viabilidade de se desenvolver um avião no país contando apenas com uma equipe de engenheiros brasileiros. Bandeirante A superação dessa dificuldade foi possível graças ao convite feito a um renomado projetista francês. A credibilidade do projetista no meio aeronáutico tornou possível a construção da aeronave. Entretanto, a alta cúpula da orça Aérea Brasileira foi convencida de que o técnico francês deveria coordenar somente a modernização de aparelhos, e não coordenar tecnicamente o projeto de um novo avião. Após a tentativa de envolver a iniciativa privada na fabricação de aviões, o Governo decidiu criar uma sociedade de economia mista de controle estatal, tendo sido constituída a Empresa Brasileira de Aeronáutica EMBRAER, cujos principais dirigentes também se formaram no ITA. Originalmente concebida para produzir um total de 5 aparelhos Bandeirante a uma cadência de dois aviões por mês, a EMBRAER rapidamente superou esses propósitos e até mesmo a exportação da aeronave tornou-se realidade. Ao mesmo tempo, a Embraer recebia uma encomenda da orça Aérea, para a fabricação sob licença de jatos de treinamento avançado, apoio tático e ataque ao solo, de projeto italiano. A produção da aeronave de nome Xavante teve inicio em 97, marcando o início da produção de aeronaves a jato no país. Ao longo dos anos, a Embraer contou com um poderoso mecanismo de capitalização que contribuiu para conferir à empresa a capacidade de investimento necessária a seu crescimento, e várias outras aeronaves foram concretizadas, tais como o Ipanema (projetado no ITA nos anos 6), o Tucano (projetado, desenvolvido e construído em apenas dois anos na década de 8), o Brasília (cuja produção capacitou a Embraer industrial e comercialmente para o desenvolvimento de aeronaves de grande porte e complexidade), o AMX (um jato de combate e ataque ao solo desenvolvido em parceria com empresas italianas), e aviões mais leves, a partir de 973, quando a empresa decidiu lançar-se num programa de substituição de importações desse tipo de aeronave. É verdade, portanto, que as exportações da Embraer evoluíram muito rapidamente. Mas o que explica o êxito da Embraer? Entre os muitos fatores que respondem a essa indagação, o primeiro deles é, incontestavelmente, a disponibilidade de recursos humanos. Havia no país uma massa crítica de engenheiros aeronáuticos e de outros especialistas formados pelo ITA desde meados dos anos 5. Altamente qualificados devido à excelência do ITA como instituição de ensino superior, esses especialistas puderam ser mobilizados pela Embraer desde o primeiro momento da vida da empresa e foram capazes de projetar equipamentos de alta confiabilidade que conquistaram o mercado internacional. Trinta anos depois, a Embraer apresenta vendas em carteira da ordem de dez bilhões dólares, transformando-se na quarta indústria aeronáutica do mundo. Contando com mais de sete mil funcionários, a empresa representa hoje um grande patrimônio tecnológico do país, tendo produzido milhares de aviões que voam todos os continentes e que transportam milhões de passageiros a cada ano.

3 EXPANSÃO E CONSOLIDAÇÃO DO BRASIL NO MUNDO DA AVIAÇÃO A EMBRAER é apenas um exemplo que mostra porque os profissionais que possuem no currículo o diploma do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) são identificados no mercado como high profiles, termo em inglês que significa talento diferenciado, perfil acima da média. Em seus 6 anos de existência, o ITA já formou mais de cinco mil engenheiros, dos quais cerca de. engenheiros aeronáuticos. Esses recursos humanos fizeram-se presentes no desenvolvimento de diversas tecnologias e empresas no Brasil. Dentre as iniciativas com criação derivada das atividades do ITA e do CTA, ou de seus ex-alunos estão, além da EMBRAER, a EMBRATEL, a Avibrás, Tecnasa, Tectran, e Mectron, para citar algumas empresas de tecnologia; Protótipo do VLS e entre as universidades e programas de engenharia que foram montados com ajuda de ex-alunos do ITA estão os cursos de Engenharia Elétrica da UNICAMP, da UPB-Campina Grande e os programas de pós graduação da Coppe/URJ. Dentre as contribuições técnicas, podemos citar, além do motor a álcool e do avião Bandeirante, o desenvolvimento da urna eletrônica, do radar meteorológico, o primeiro simulador de vôo desenvolvido na América Latina, primeiro laser CO, o primeiro laser excimer, o Veículo Lançador de Satélites (VLS), entre outros. A sólida formação, a elevada capacidade análise e de lidar com pressão, são características que permitem aos iteanos, como são chamados os alunos e ex-alunos do ITA, atingirem também posições no alto escalão muitas vezes diretoria ou presidência de grandes empresas, como: IBM, NEC, Ericsson, Rhodia, Motorola, HP, Cia Vale do Rio Doce ou mesmo posições de destaque na área acadêmica, como reitores de universidades ou cargos de liderança em instituições como APESP (undação de Amparo à Pesquisa de SP) e CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico). É esta sólida formação também a responsável pelos impressionantes resultados em processos avaliativos do MEC, como o provão, no qual o ITA é a única instituição com % de notas A em todos os cursos, e o ENADE em que ITA e IME se revezam nos primeiros lugares do Brasil nos cursos que oferecem. OS CURSOS O Curso de Graduação tem a duração de 5 anos, dos quais os primeiros constituem o Curso undamental, comum a todos os alunos, e os 3 últimos, o Curso Profissional, específico para cada uma das seguintes especialidades de Engenharia: Aeronáutica Mecânica-Aeronáutica Infra-Estrutura Aeronáutica (Equivalente à Engenharia Civil) Eletrônica Computação VIDA DOS ALUNOS Disciplina consciente A comunidade iteana possui um código de honra e de ética conhecido desde os primeiros anos de existência do ITA como "Disciplina Consciente" (DC), conceito que consiste na prática de ações dentro de elevados padrões morais e de ética, sem a necessidade de fiscalização. Por exemplo, os alunos não colam em provas que geralmente são aplicadas sem fiscais a cola seria de falta de DC e as moradias, com os pertences dos alunos, geralmente ficam abertas mesmo na ausência destes. Alojamento O ITA disponibiliza a todos os alunos alojamento, projetado por Oscar Niemeyer, a uma taxa mensal de R$ 45, (em valores de 6). Nessa taxa já está incluída a conta de luz e de água. (9) 35- Mesmo alunos que moram em São José dos Campos costumam optar por residir no alojamento, chamado de H-8, pelas facilidades que apresenta e pela convivência no grupo. O alojamento conta com ampla área para a prática esportiva e lazer e dispõe de: Quadras poliesportivas; Quadra de vôlei de praia; Piscina (conhecida como "eijão", por seu formato); Churrasqueira; Academia de musculação; Salão de jogos; Sala de vídeo; Sala equipada para prática de lutas; Lanchonete; Biblioteca; Sala de Estudos. É justamente a convivência no alojamento, associada à DC e também aos elevados desafios das provas e trabalhos, que fortalecem o companheirismo entre os estudantes do ITA. Após 5 anos de convivência muito mais próxima do que se morassem em residências distantes, os iteanos carregam consigo forte vínculo com a instituição e com os demais iteanos, levando em geral para o resto de suas vidas as amizades construídas nos tempos da faculdade. No H-8 existem moradas para 4 ou 6 pessoas, subdivididos em quartos para duas pessoas. Os quartos possuem armário, mesa e cabeceira fixos (de tijolo e concreto) e cama, conforme a planta abaixo. Planta aproximadamente em escala do alojamento do ITA (H-8) para 6 ocupantes (onte: Wikipédia) Refeitório Os alunos do ITA têm direito a alimentação gratuita, com três refeições diárias no estilo bandejão (self-service), podendo se servir à vontade. Essas refeições ocorrem no refeitório dos alunos, popularmente conhecido como Rancho, e têm horários definidos. Apesar de ter um cardápio variado, são tipicamente compostas por: Café-da-manhã (das 7h às 8h): pão de sal, manteiga ou margarina, leite, café e um outro prato que varia a cada dia (um tipo de mingau, queijo, apresuntado, fruta...); Almoço (das :3 às :3): Arroz, feijão, um tipo de verdura, uma carne, um complemento (macarrão, batata, farofa...), além de suco artificial e uma sobremesa. Jantar (das 8: às 9:): semelhante ao almoço. 3

4 UM EXEMPLO DE APROVAÇÃO: Gilberto Giuzio Aprovado IME 7 Elite - O que você achou do seu resultado no Vestibular? Você está satisfeito? Gilberto - Sem dúvida estou muito feliz, pois passar no IME é o sonho de milhares de alunos. No entanto, acho que isso não pode me desviar a atenção dos desafios vindouros estudar muito lá no IME é um deles. Elite - Como era seu método de estudo? Quantas horas você estudava por dia ou por semana? Gilberto - Eu estudava de 8 a 9 horas por semana, incluindo o tempo de aulas, e não tive método pré-determinado, não conseguia organizar muito os meus estudos. Elite - Em quais matérias você teve que batalhar mais? Gilberto - iz muitas redações. Devido ao fato de ter feito supletivo e estudar sozinho, antes eu não tinha quem me corrigisse, por isso quando entrei no Elite eu escrevia muito mal. Elite - Você fazia todos os simulados? Como era seu desempenho nos simulados? Gilberto - Eu fiz todos os simulados. Não ia mal, porém devido ao nível elevado destes não conseguia tirar notas muito altas. No entanto, a dificuldade encontrada nos simulados me fez crescer e encarar o vestibular com relativa facilidade. Elite - Você usava o plantão de dúvidas? Comente. Gilberto - Não sei se eram plantões, pois quando tinha alguma dúvida eu perguntava para os professores, coordenador ou diretor, quem aparecesse primeiro, e eles me resolviam as dúvidas. O coordenador era o que mais sofria comigo. Elite - Quais foram as principais dificuldades que você enfrentou nos estudos? Gilberto - Tive diversas dificuldades, que são normais para qualquer vestibulando, entre elas: insegurança, cansaço, indecisão. Porém, graças a Deus consegui superá-las. Elite - Qual foi a sensação ao ver seu nome na lista dos aprovados? Gilberto - A melhor sensação que já tive em toda a minha vida. Sempre sonhei cursar engenharia em uma das melhores escolas do Brasil e agora que vejo que o meu sonho está próximo me sinto muito feliz. Elite - Na sua opinião, quais foram as principais contribuições do Elite para a sua aprovação? Gilberto - Devo minha aprovação ao Elite Campinas. Cresci muito no Elite, aprendi muitas coisas novas e aperfeiçoei aquelas que já sabia. Além disso, o apoio moral e psicológico que recebi foram fundamentais para alcançar meu objetivo. Elite - Na sua opinião, quais foram seus maiores erros e os seus maiores acertos em relação aos estudos no ano passado? Gilberto - Meu maior acerto foi ter parado de trabalhar e me dedicado exclusivamente aos meus estudos, graças a isso pude entrar na turma ITA/IME/AA. Meu maior erro foi muitas vezes ter desacreditado de minhas possibilidades, isso me prejudicou bastante. Elite - Qual a dica ou recomendação de estudo que você faria para o pessoal que está fazendo cursinho esse ano? Gilberto - Estude muito e acredite no seu potencial. Não tenha medo de levantar dúvidas e questionamentos, pois isso lhe fará aprender com muito mais aprofundamento a matéria que estiver estudando. (9) 35- A PREPARAÇÃO PARA AS PROVAS Para atingir a preparação adequada ao concorrido vestibular do ITA, é necessário aprofundamento muito forte nas disciplinas de exatas, português e inglês. Para dar aos seus alunos, esse nível de aprofundamento, os professores do Elite abordam os assuntos em um nível de profundidade sem precedentes na região de Campinas. Isto permite ao aluno atingir o elevado nível de domínio necessário para enfrentar com sucesso as provas do ITA. A turma, especializada no vestibular do ITA, agrupa numa só sala alunos com os mesmos propósitos, provocando uma evolução mais rápida da turma como um todo. SIMULADOS Os simulados são semanais, no formato dos vestibulares e com o nível de complexidade adequado ao treino para provas de elevada complexidade e que ainda requerem do aluno velocidade em sua resolução. Isto permite que o aluno do Elite aprenda a controlar seu tempo, a corrigir os erros por distração e a identificar seus pontos fortes e pontos a melhorar com rapidez. CARGA HORÁRIA Na TURMA ITA/IME/AA do ELITE os alunos têm 44 AULAS SEMANAIS. São aulas de matemática, de física e 8 de química por semana. - aulas de Matemática - aulas de ísica - 8 aulas de Química POR SEMANA! Com isto, nossos mestres aprofundam MUITO mais nas disciplinas, explicam melhor o conteúdo e resolvem maior quantidade de exercícios em sala de aula. Além disso, o período de revisão começa mais cedo, permitindo retomar com maior atenção os tópicos que, de outro modo, cairiam no esquecimento. MATERIAL DIDÁTICO INCLUSO O aluno do Elite recebe apostilas com toda teoria e exercícios; Apostila de revisão com as provas e gabaritos dos últimos anos dos vestibulares do ITA, do IME e da AA (total = 3 anos); Resumos teóricos de todas as disciplinas (durante o período de revisão); Diversos materiais complementares e listas de exercícios de aprofundamento, cuja resolução é fundamental para enfrentar com destreza o desafio destes vestibulares. NOSSO MATERIAL DIDÁTICO: Possui um número elevadíssimo de questões, chegando a um nível muito superior de complexidade. Apresenta grau de aprofundamento muito superior. É realmente um material que prepara para os vestibulares mais exigentes. Isso, aliado à elevada carga horária, constrói um forte domínio das disciplinas. É próprio, feito pelos professores do Sistema Elite de Ensino. TURMAS REDUZIDAS O número de alunos desta turma é super-reduzido: cerca de 3, assim nossos alunos podem participar das aulas, tirando grande parte das dúvidas na própria aula e aumentando o rendimento dos estudos em casa. 4

5 OS MELHORES PROESSORES Os professores do ELITE passam por rigoroso processo de seleção, com provas e aulas demonstrativas, e possuem excelente formação (Unicamp, ITA e USP). Assim nosso aluno é orientado por quem sabe como é a preparação para os vestibulares mais concorridos do país. ORIENTAÇÃO DOS ESTUDOS Após a correção dos simulados, os resultados são armazenados em nosso banco de dados, de modo a acompanhar a evolução de nossos alunos em cada matéria. Estes resultados são utilizados pelos orientadores pedagógicos, que acompanham os alunos de forma ajudá-los a melhorar o rendimento nos estudos. PLANTÕES DE DÚVIDAS Se surgem dúvidas durante os estudos, o aluno do ELITE recorre aos plantões, cuja disponibilidade para as disciplinas mais requisitadas (Matemática, ísica, Química e Redação) é bastante elevada, havendo plantões de todas as disciplinas pelo menos uma vez por semana, o que evita a formação de filas extensas para esclarecer dúvidas. ACOMPANHAMENTO DE REDAÇÃO Os alunos do ELITE recebem acompanhamento individualizado da produção de textos, uma vez que esta disciplina requer um cuidado muito especial, seja porque somente a prática e a orientação direta e constante permitem verdadeira evolução, seja porque possui elevado peso na nota final dos vestibulares. REVISÃO Além da revisão dos principais assuntos, ocorre a RESOLUÇÃO DE 3 VESTIBULARES recentes, assim nosso aluno se familiariza com o que é esperado dele nas provas dos vestibulares: anos de provas do ITA; anos de provas do IME; anos de provas da AA. UMA HISTÓRIA DE SUCESSO Com sedes em várias cidades brasileiras Porto Alegre, Curitiba, São Paulo, Campinas, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Juiz de ora, Belém e outras o Sistema Elite de Ensino vem crescendo ano a ano, devido à eficiência de seu método, comprovada pelos ótimos resultados obtidos por seus alunos. APROVAÇÕES Diante do método de ensino exposto, o resultado não poderia ser diferente: ALUNOS DO ELITE APROVADOS NACIONALMENTE (vestibulares de 6) AA 3 alunos aprovados ITA 3 alunos aprovados IME 7 alunos aprovados NOVIDADE: Com os resultados dos vestibulares de 7 já temos somente na unidade de Campinas: AA 6 alunos aprovados (9 prestaram) IME 3 alunos aprovados (7 prestaram) (média histórica de a 6 de todos os outros cursos em Campinas e região:,5 aprovado por ano) QUER SABER MAIS? O ELITE Campinas está de portas abertas para você que busca algo mais. Estamos certos de que a qualidade de nosso ensino, somada à sua potencialidade são os ingredientes ideais para resultados como os acima. Afinal, a melhor forma de se iniciar uma trajetória de sucesso é fazer o melhor curso prévestibular! (9) 35- CONHEÇA O PROCESSO SELETIVO ITA 7 O ITA apresenta, sem sombra de dúvidas, um dos vestibulares mais desafiantes do país. O ingresso é fruto de muito esforço dos candidatos, mas não é uma missão impossível. O grau de complexidade dos conteúdos cobrados e das questões é propositadamente elevado para selecionar apenas aqueles candidatos melhor preparados e que estão decididos a entrar em uma instituição reconhecida como uma das melhores engenharias do país, ao lado do IME. Nos propomos com este material a passar algumas dicas para o melhor rendimento nestes dias de exame que estão por vir, com resumos de tópicos não tão enfatizados (e até mesmo não vistos) no ensino médio. Estes tópicos fazem parte da filosofia do vestibular do ITA: cobrar cada vez assuntos mais específicos, para valorizar o candidato que realmente se preparou para este vestibular. Para ajudá-lo, analisamos os anos anteriores e fizemos nossas apostas. Este resumo irá lhe ajudar em algumas questões que possuem alta probabilidade de serem cobradas. DICAS IMPORTANTES De maneira geral, para as questões dissertativas do vestibular do ITA, o candidato deve necessariamente esclarecer como chegou à resposta. Na correção é dado ponto parcial, ou seja, ele pode conseguir algum ponto por resolver apenas parte da questão. Por isso, é importante não deixar nenhuma questão em branco. Nos testes, preste bastante atenção às alternativas. reqüentemente há questões que apresentam vários caminhos a se seguir e a observação das alternativas ajuda a escolher o esperado pela banca examinadora. Também neste tipo de questão, existe aquela chance do chute, que não deve ser desprezada mesmo quando você não está conseguindo resolver nada. Assim, seja crítico no momento do chute, onde, por exemplo, uma análise dimensional e dos valores das alternativas pode lhe ajudar a eliminar alternativas absurdas. Um bom plano de prova é fundamental. Existem diferenças entre o peso das questões dissertativas e dos testes: cada questão dissertativa vale o dobro de uma questão objetiva. Entretanto, não despreze demais os testes, pois só serão corrigidas as questões dissertativas dos candidatos que acertaram pelo menos 4% dos testes de cada disciplina e 5% do total dos testes. Apesar destas informações, somente se preocupe com a sua nota após os exames. Mesmo se você acha que não atingiu os critérios mínimos em uma prova, não abandone o concurso. Primeiro porque você não tem certeza, questões podem ser anuladas, correções podem ser brandas. Segundo porque, mesmo se você não passar este ano, não existe melhor treino para o vestibular que o próprio vestibular. No mínimo você estará ganhando experiência, diminuindo o nervosismo e até mesmo aprendendo! Você deve se concentrar na prova do dia apenas. As provas anteriores já foram e você não tem como mudar suas respostas. As posteriores, encare quando vierem. Se sua preparação foi boa, não importa o nível de dificuldade: você sabe a matéria! Tenha o mesmo pensamento ao resolver as questões. Cada uma é um desafio a ser superado. Para auxiliá-lo, você encontrará a seguir um resumo teórico do que tem maior probabilidade de ser cobrado nas provas do ITA de 7. Bons estudos! 5

6 A PROVA DE ÍSICA DO ITA A prova de ísica do vestibular ITA apresenta uma seleção de assuntos bem variada. Como a maior parte dos vestibulares, apresenta uma forte ênfase em mecânica na distribuição dos assuntos das questões. Entretanto, esta prova se diferencia pois normalmente o nível de complexidade das questões facilmente (e constantemente) se torna elevado apesar de tipicamente se partir de conceitos relativamente simples. A exemplo da mecânica, as demais grandes áreas do conhecimento da física (como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, termofísica, ótica geométrica entre outros) apesar de serem assuntos que normalmente o vestibulando conhece razoavelmente bem, são tópicos que são exigidos tipicamente em um nível de complexidade bastante elevado, como por exemplo o efeito Hall (eletromagnetismo), malhas complexas (eletrodinâmica) resolvidas pelo teorema de Thevenin, Cinética dos Gases (termofísica) e, digno de nota devido sua considerável incidência, a Lei de Gauss (tanto para a eletrostática quanto para a gravitação). Diferentemente dos vestibulares tradicionais, temos uma incidência muito grande de fenômenos ondulatórios. Ótica física, polarização, interferência, filmes finos, difração, experimento de Young e rede de difração são alguns tópicos que já foram cobrados algumas vezes por este vestibular. A especificidade de determinados assuntos colabora com o intuído da banca de selecionar aqueles alunos que consideram o ITA como principal prioridade e se preparam especificamente para este vestibular (dando atenção a alguns tópicos especiais). Ainda neste esforço, um outro assunto que tem sido recorrente nesta prova é a ísica Moderna, o que normalmente causa surpresa nos estudantes menos preparados. Também temos que muitos tópicos são clássicos, como análise dimensional. Quase todas as provas recentes do ITA apresentam a primeira questão deste assunto: só nos últimos anos, tivemos que 997, 998, 999,, 4 e 5 se comportaram desta maneira (em e em as questões de análise dimensional ficaram no meio da prova). Assim, este tópico é quase certo no vestibular, apesar de ser relativamente simples. Vale lembrar que conhecimentos nesta área podem ser extremamente úteis em momentos que alguma fórmula é esquecida, além de ser uma ferramenta importante na hora de verificar a coerência de alguma das respostas obtidas. Tipicamente, quando abordados assuntos mais complexos, o vestibular tem se mantido simples e direto, cobrando realmente apenas noções. Podemos dizer que tais assuntos não são necessariamente mais difíceis do que aqueles cobrados geralmente, mas apenas mais específicos. Na maioria das questões que o vestibular do ITA aborda a respeito desses temas, a resolução é bastante simples, cobrando apenas um contato básico com os principais conceitos envolvidos. Porém, se o vestibulando não teve contato com esses temas, não terá nenhuma condição de resolver as questões relativas a esses assuntos, restando-lhe apenas o velho (e não tão bom) chute. Apresentaremos neste material um resumo de alguns assuntos que têm sido bastante cobrados no vestibular do ITA nos últimos anos, seguidos de exemplos de como este vestibular o aborda. Os tópicos que nos propomos a descrever, de maneira geral, não são abordados com a ênfase necessária no Ensino Médio, visto que grande parte deles não faz parte do programa de muitos vestibulares importantes, como uvest, Unicamp, Unesp etc. Bons estudos! ANÁLISE DIMENSIONAL Estabelece as relações dimensionais entre uma grandeza derivada e as fundamentais através de suas dimensões ou símbolos dimensionais. Utilizando o Operador Dimensional: [ ] Ex.:[V]=L.T - ; a velocidade tem dimensão com relação ao comprimento e dimensão - com relação ao tempo (v= s/ t). Princípio da Homogeneidade Dimensional Toda equação que traduz um fenômeno físico verdadeiro é, necessariamente, homogênea do ponto de vista dimensional. Em outras palavras, a dimensão de um termo da equação deve ser igual à dimensão dos outros termos da mesma equação. Ou seja, uma equação física válida deve ter parcelas com a mesma dimensão. Teorema de Bridgman Se uma dada grandeza física depende apenas de outras grandezas físicas independentes entre si, então esta grandeza pode ser expressa pelo produto de um fator puramente numérico por potências das grandezas das quais ela depende. 6 (9) 35- órmulas Dimensionais À luz dos conceitos anteriores, toda a grandeza física tem uma fórmula dimensional. Utilizamos o símbolo [G] para representar a fórmula dimensional da grandeza física G. a) Uma grandeza derivada na Mecânica possui uma fórmula dimensional do tipo: [G] = M a L b T c sendo M a dimensão de massa, L, de comprimento, e T, de tempo. b) Uma grandeza derivada na Termodinâmica possui uma fórmula dimensional do tipo: [G] = M a L b T c θ d sendo θ a dimensão de temperatura. c) Uma grandeza derivada na Eletricidade possui uma fórmula dimensional do tipo: [G] = M a L b T c I d sendo I a dimensão de corrente elétrica. Exemplo: (ITA 5) Quando camadas adjacentes de um fluido viscoso deslizam regularmente umas sobre as outras, o escoamento resultante é dito laminar. Sob certas condições, o aumento da velocidade provoca o regime de escoamento turbulento, que é caracterizado pelos movimentos irregulares (aleatórios) das partículas do fluido. Observa-se, experimentalmente, que o regime de escoamento (laminar ou turbulento) depende de um parâmetro adimensional (Número de Reynolds) dado por R = ρ α υ β d γ η τ, em que ρ é a densidade do fluido, υ, sua velocidade, η, seu coeficiente de viscosidade, e d, uma distância característica associada à geometria do meio que circunda o fluido. Por outro lado, num outro tipo de experimento, sabe-se que uma esfera, de diâmetro D, que se movimenta num meio fluido, sofre a ação de uma força de arrasto viscoso dada por = 3πDηυ. Assim sendo, com relação aos respectivos valores de α, β, γ e τ, uma das soluções é: a) α =, β =, γ =, τ = - b) α =, β = -, γ =, τ = c) α =, β =, γ = -, τ = d) α = -, β =, γ =, τ = e) α =, β =, γ =, τ = SOLUÇÃO: Da expressão da força de arrasto em uma esfera se movimentando M L T T T M em um fluido, temos que η = = = L L LT Escrevendo as expressões dimensionais para as grandezas ρ, ν, d: M L [] ρ = ; [ v ] = ; [ d ] = L ; 3 L T Substituindo na formula dimensional para R, tem-se: [R] = (M L -3 ) α (L T - ) β (L) γ (M L - T - ) τ [R] = M α+τ L -3α+β+γ -τ T -β- Como R é adimensional, [R] =, assim: α + τ = = M α+τ L -3α+β+γ -τ T -β- 3α + β + γ τ = β τ = Resolvendo o sistema, tem-se: α = t, β = t, γ = t, τ = -t; para t R A única alternativa compatível é a alternativa A. MOMENTO LINEAR Momento Linear: grandeza vetorial definida por: Q = m v Q de um sistema: Q sist = + Q + Q = mv i i Impulso de uma orça: Mede o efeito de uma força num certo intervalo de tempo. É uma grandeza vetorial definida por: I = t Obs: No caso de um força variável com o tempo, o módulo do impulso é numericamente igual a área do gráfico de orça em função do tempo ou à integral I = (). t dt. Teorema do Impulso: a variação da quantidade de movimento de um sistema, num certo intervalo de tempo, é igual ao impulso produzido pela resultante das forças que agem no corpo, no mesmo intervalo de tempo. I Re s = Q = Q f - Qi Sistema Mecanicamente Isolado: é aquele no qual a resultante das forças externas que agem no sistema é nula. Sendo assim, sua quantidade de movimento é constante. Q ext ext Re s = I Res = Qsist = Q f = Qi Obs: no caso de explosões e choques mecânicos, as intensidades das forças internas são tão maiores que as das forças externas, que o sistema pode ser tratado como um Sistema Mecanicamente Isolado.

7 Choques Mecânicos: Vafast Coeficiente de restituição: e = Vaprox a) Perfeitamente Elástico: V afast = V aprox e = as forças que atuam na colisão são exclusivamente elásticas e, f i portanto, conservativas E m = E m b) Parcialmente Elástico: < V afast < V aprox atuam na colisão tanto forças elásticas (conservativas) quanto f i forças dissipativas E m < E m c) Inelástico: V afast = e = corpos não se afastam logo após a colisão as forças que atuam na colisão são exclusivamente dissipativas f E m < i E m CENTRO DE MASSA Tão importante como o cálculo do Momento Linear se um sistema de partículas é a determinação Centro de Massa de um sistema. Este assunto é bastante cobrado no vestibular do ITA e para a resolução de questões que envolvem este conceito (assim como outros) é importantíssimo que defina-se um referencial. Posição: Velocidade: v Note que: m i r i mixi miyi r cm = xcm = e ycm = cm M M M m i v i m = Aceleração: i ai acm = M M ext dqsist d Mv cm Q sist = Mvcm = Res = Macm dt dt Isso nos permite concluir que o centro de massa de um sistema de move-se como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema sujeita à força externa nele aplicada. Assim, num Sistema Mecanicamente Isolado, como a resultante das forças externas é nula, o centro de massa não possui aceleração, movendo-se, portanto, com velocidade constante. Sistema Mecanicamente Isolado: ext Res cm cm = a = v = cte Exemplo: (ITA ) Uma lâmina de material muito leve de massa m está em repouso sobre uma superfície sem atrito. A extremidade esquerda da lâmina está a cm de uma parede. Uma formiga considerada como um ponto, de massa m, está inicialmente em 5 repouso sobre essa extremidade, como mostra a figura. A seguir, a formiga caminha para frente muito lentamente, sobre a lâmina. A que distância d da parede estará a formiga no momento em que a lâmina tocar a parede? a) cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm SOLUÇÃO Considerando o sistema isolado, temos que o Centro de massa do sistema, inicialmente em repouso, deve permanecer em repouso. Dessa forma, assumindo a parede como referencial para o cálculo do centro de massa do sistema, temos que: m. x + mx. X 5 CM = 6. m x x x x 5 Calculando nos momentos inicial e final, temos que, considerando o comprimento total da lâmina igual a c: m c. + m. + m c i 5. d + m. X f CM = e X 5 6. m CM = 6. m (9) 35- Como o centro de massa não altera sua posição (sistema isolado e i f com velocidade inicial do centro de massa nula), temos XCM = XCM m c. + m. m c d + m 5 m c m c = + m+ m. =. d + m. 6. m 6. m m m =. d d = 6 cm (Alternativa E) 5 5 EEITO OTOELÉTRICO Este tópico em algumas oportunidades da prova da ITA chegou a aparecer em questões num mesmo ano, como em 3 e 6. Portanto é bastante importante que o candidato tenha conhecimento a respeito deste assunto, para que possa se preparar para questões que normalmente são de simples resolução. Efeito otoelétrico Emissão de elétrons por um material quando submetido à presença de uma onda eletromagnética. Este efeito foi explicado corretamente por Albert Einstein, o que lhe rendeu o prêmio Nobel de ísica de 9. Einstein se baseou no modelo corpuscular da luz, supondo que ela se propagava no espaço não de modo contínuo, mas concentrada em pequenos pacotes, que posteriormente seriam chamados fótons. Quando a luz incide sobre um material, ou seja, quando os fótons chegam à superfície do material transportando uma determinada energia, arrancam elétrons dessa superfície, conferindo energia cinética a esses elétrons. A relação entre essas energias é dada por: h f = φ + E MAX Nessa equação, E = h f é a energia do fóton incidente, φ é a energia necessária para arrancar um elétron da superfície, também chamada função trabalho do material, e E MAX é a energia cinética máxima que o elétron poderia adquirir se desprezássemos a dissipação de energia na colisão. Dois fatos importantes a serem observados no efeito fotoelétrico: (I) A energia cinética máxima que aparece na equação acima não depende da intensidade da luz que incide sobre o material. Ao aumentarmos a intensidade luminosa, apenas aumentamos o número de elétrons que conseguimos arrancar da superfície, mas não mudamos a energia de cada fóton, já que esta se relaciona com a freqüência da luz, e não com sua intensidade. A proporção fótonelétron é de um para um, ou seja, não há possibilidade de um único fóton arrancar mais de um elétron. (II) Existe uma freqüência mínima f necessária para que os elétrons sejam arrancados do material, de modo que se a luz incide com uma freqüência f < f, nenhum elétron deixará a superfície do material, independentemente da intensidade da luz (quantidade de fótons) incidente. Essa freqüência mínima pode ser obtida da equação acima, pois corresponde à situação em que toda a energia do fóton incidente é utilizada para arrancar o elétron, não sobrando energia adicional sob a forma de energia cinética do elétron. Assim, fazendo φ E MAX = na equação, vem que: h f = φ f = (freqüência mínima) h Muitas questões no vestibular do ITA a respeito deste assunto exigem apenas o conceito teórico do comportamento de superfícies sujeitas a uma radiação eletromagnética (luz). Entretanto, a abordagem quantitativa também é cobrada, como no exemplo a seguir: EXEMPLO: (ITA-4) Num experimento que usa o efeito fotoelétrico, ilumina-se sucessivamente a superfície de um metal com luz de dois comprimentos de onda diferentes, λ e λ, respectivamente. Sabe-se que as velocidades máximas dos fotoelétrons emitidos são, respectivamente, v e v, em que v = v. Designando c a velocidade da luz no vácuo, e h a constante de Planck, pode-se, então, afirmar que a função do trabalho φ do metal é dada por: a) ( λ λ) h c/( λ λ) b) ( λ λ) h c/( λ λ) c) ( λ 4 λ) h c/(3 λ λ) d) (4 λ λ) h c/(3 λ λ) ( λ λ ) h c/(3 λ λ ) e)

8 Resolução: No efeito fotoelétrico, temos que h f = φ + EMAX, onde h c E = h f = é a energia do fóton, φ é a função trabalho λ m vmax (característica do metal) e EMAX = é a energia cinética máxima do elétron emitido. Escrevendo esta equação para as situações () e (), temos: h c m v mv = φ + = φ + 4 (I) λ h c m v = φ + (II) λ azendo a subtração [4 x (II) (I)] membro a membro, vem que: h c h c (4 λ λ) h c 4 = 4 φ φ φ = (Alternativa D) λ λ 3 λ λ EEITO COMPTON Efeito Compton É a variação do comprimento de onda de uma radiação eletromagnética que incide sobre uma superfície com elétrons livres. O experimento original foi idealizado por Arthur Holly Compton, em 93, e consistiu em fazer um feixe de raios-x (radiação eletromagnética) incidir sobre uma amostra de grafite, e posteriormente analisar a radiação dispersada com um detector adequado. Ainda não foi cobrado pelo ITA em nenhuma prova, mas fica como mais uma evidência do caráter corpuscular da luz (a luz poderia ser tratada como fótons, partículas estas que apresentavam energia quantizada através da relação E = h f ). Para explicar a variação de comprimento de onda detectada no experimento, Compton utilizou o modelo corpuscular da luz, e na época, seu experimento teve importância exatamente por dar sustentação experimental para tal modelo, que não era totalmente aceito. Imaginando a radiação eletromagnética formada por fótons, que colidem com elétrons livres da superfície do material, vamos impor a conservação da quantidade de movimento do sistema, antes e depois da colisão: (9) 35- Vamos decompor as quantidades de movimento nas direções horizontal e vertical. h h m v Na direção horizontal: + m = cosφ + cosθ (I) λ λ' ( v/ c) h m v Na direção vertical: + m = senφ senθ λ ' ( v/ c) Podemos reescrever as equações como: h h cos m v h m v φ = cosθ e senφ = senθ λ λ' ( v/ c) λ ' ( v/ c) Elevando ambas ao quadrado e somando membro a membro, ficamos com: h h h m v m c v λ λ' λ λ' ( v/ c) c v + cosφ = = Vamos impor agora a conservação da energia antes e depois da colisão. Novamente aqui devemos considerar a energia cinética relativística do elétron, que é: EC = m c ( v/ c) Lembremos também que a energia transportada por um fóton pode h c ser escrita como: E = h f = λ Desse modo, a expressão da conservação da energia fica: h c h c h h = + m c = + m c λ λ' ' ( v/ c) λ λ ( v/ c) h h m c + m c = λ λ' ( v/ c) Elevando ao quadrado, obtemos: m c m c h h h h + + = m c λ λ' λ λ' ( v/ c) ( λ' λ) m c + m c = h h h h m c λ λ λ' λ' λ λ' c v (i) (II) (ii) inalmente, fazendo a subtração (ii) (i) membro a membro, obtemos: h h m c ( cos φ) + ( λ' λ) m c + m c = ( c v ) λ λ' λ λ' c v λ h ' λ = ( cos ) m c φ p = p ( p + p ) = ( p + p ) antes depois E antes E depois Lembremos que a quantidade de movimento do fóton é definida não como p = m v, já que não tem sentido falar em massa do fóton, h mas como p =, onde h é a constante de Planck e λ é o λ comprimento de onda do fóton. Uma outra observação é que como o elétron receberá energia do fóton na colisão, e este viaja na velocidade da luz, devemos adotar para o elétron a expressão relativística para a sua quantidade de movimento, a saber: m v p = v c Esta é a fórmula do deslocamento Compton, que apresenta a variação do comprimento de onda ( λ = λ' λ ) da radiação eletromagnética em função do seu ângulo de espalhamento ( φ ). h A grandeza é conhecida como comprimento de onda m c h Compton ( λ C = ) m c Exemplo: Um fóton de raio X, com, nm, faz uma colisão frontal com um elétron ( φ = 8 ). Determine: a) a variação do comprimento de onda do fóton. b) a variação da energia do fóton. c) a energia cinética adquirida pelo elétron. Resolução: a) Aplicando a equação do deslocamento Compton, vem que: 34 h 6,63 λ' λ = ( cos φ) = ( ( )) = 4,8 m 3 8 m c 9,3 3, 8

9 h c b) A energia do fóton é dada por: E = h f =. Assim, a variação λ de energia será: E = h c λ' λ 34 8 E = 6,63 3, 9 9 4,8 +,, 5 9 E = 6,5 J = 4keV, onde ev =,6 J c) A energia cinética adquirida pelo elétron é a energia fornecida pelo fóton no momento da colisão, já que o sistema é suposto 5 conservativo. Assim, E = 6,5 J = 4keV C HIPÓTESE DE DE BROGLIE Dualidade Onda-Partícula (Hipótese de De Broglie) Se a luz apresenta um duplo comportamento, ora ondulatório, ora corpuscular, não seria então verdade que a matéria também poderia apresentar comportamento semelhante? A resposta para esta pergunta é afirmativa, e foi Louis de Broglie quem apresentou uma teoria coerente sobre isso. Para caracterizar o comportamento ondulatório de uma certa partícula, devemos determinar seu comprimento de onda. De Broglie propôs que a cada partícula dotada de uma quantidade de movimento p, podemos associar um comprimento de h onda ( λ ) dado por: λ = onde h é a constante de Planck. p Confira o exemplo abaixo de uma questão que relaciona o comprimento de onda de De Broglie para um elétron: EXEMPLO: (ITA-) Dobrando-se a energia cinética de um elétron não-relativístico, o comprimento de onda original de sua função de onda fica multiplicado por: a) b) c) d) e) 4 Resolução: Vamos colocar a energia cinética do elétron em função do seu momento linear: m v m v ( m v) p EC = = = =. O comprimento de onda m m m h h associado ao elétron é dado por: λ = p =. Assim, a energia p λ cinética do elétron pode ser dada em função do seu comprimento de onda por: h p λ h EC = = =. m m m λ Dobrando-se a energia cinética, temos: h h E = E λ λ λ λ m λ = m λ = = Alternativa A POLARIZAÇÃO O modelo ondulatório da luz assume que um raio de luz consiste de um grande número de ondas eletromagnéticas viajando simultaneamente no espaço. Cada uma dessas ondas que compõem o raio de luz, sendo uma onda transversal, apresenta um determinado plano de vibração para os campos elétrico e magnético, plano este que é perpendicular à direção de propagação da onda. (9) 35- Em particular, cada onda terá uma orientação bem definida para o campo elétrico. Tal direção será chamada de direção de polarização dessa onda. Como o raio de luz consiste de muitas ondas, cada uma delas com uma direção de polarização diferente, todas as direções de polarização estarão presentes no raio de luz, resultando num raio nãopolarizado. A polarização da luz é o processo de conferir a um raio de luz, inicialmente não-polarizado, uma única direção de polarização. Tal processo consiste em fazer o raio de luz atravessar algum material polarizador, cuja característica é ter uma direção preferencial de vibração do campo elétrico, de modo a transmitir apenas a componente do campo elétrico que vibre paralelamente a essa direção preferencial, absorvendo a componente que vibra na direção perpendicular. Como resultado desse processo, obtemos um raio de luz polarizado. A intensidade do raio de luz que emerge do polarizador ( I ) certamente é menor do que a intensidade do raio incidente ( I ), visto que parte da energia transportada pelo raio foi absorvida pelo polarizador. Considerando que a luz não polarizada tem uma distribuição simétrica em torno no eixo de propagação, ao submetemos esse tipo de radiação a um polarizador, é esperada que I a intensidade se reduza pela metade: I = Vale dizer que tal argumento pode ser justificado matematicamente, mas para isso precisaríamos do auxílio do Cálculo Integral. Quando um raio de luz já polarizado atravessa um polarizador, precisamos levar em conta o ângulo β formado entre a direção de polarização do raio de luz e as fibras do polarizador, de acordo com a figura a seguir: Nesse caso, a relação entre a intensidade do raio emergente ( I ) e a intensidade do raio incidente ( I ) será dada pela Lei de Malus: I = I cos β Observe que tal relação é coerente com o fato de que se o raio polarizado incide paralelamente à direção das fibras do polarizador ( β = ), o raio incidente será integralmente transmitido, não havendo absorção, e como conseqüência, I = I. Por outro lado, quando o raio incidente está polarizado numa direção perpendicular às fibras do polarizador ( β = 9 ), ele é integralmente absorvido, visto que não há componente do campo elétrico vibrando na direção das fibras. Assim, a intensidade transmitida nesse caso é nula ( I = ). Este conceito já foi explorado pelo vestibular do ITA, como no exemplo a seguir: Exemplo: (ITA-) Uma luz não-polarizada de intensidade I ao passar por um primeiro polaróide tem sua intensidade reduzida pela metade, como mostra a figura. A luz caminha em direção a um segundo polaróide que tem seu eixo inclinado em um ângulo de 6 em relação ao primeiro. A intensidade de luz que emerge do segundo polaróide é: I I / 6º 9 a) I b),5 I c),375 I d),5 I e),5 I Resolução: A intensidade da luz que emerge do primeiro polarizador I é I =, visto que a luz estava inicialmente não-polarizada. A intensidade da luz que emerge do segundo polarizador, pela Lei de Malus, é: I I I = I cos 6 = = =,5 I (Alternativa E) 4 8

10 INTERERÊNCIA Interferência É o fenômeno da superposição de duas ou mais ondas num mesmo ponto do espaço. Superposição de Ondas Quando dois pulsos propagando-se em sentidos opostos se encontram, temos uma superposição desses pulsos. Após o encontro, os pulsos continuam seu caminho sem que nenhuma propriedade (período, velocidade, freqüência, etc) tenha se alterado. (9) 35-5 Assim: n = x = 4 λ ; n = x = λ ; n = 3 x = 4 5 Portanto, a distância não nua procurada é x = λ (Alternativa B) 4 Vejamos agora algumas das peculiaridades deste assunto para a prova do ITA: EXPERIMENTO DE YOUNG Experiência de Young Nesta experiência, duas fendas são iluminadas por uma fonte de luz monocromática, estando as fendas separadas entre si de uma distância d. Dizemos que a interferência é construtiva quando as amplitudes das ondas se somam, e que é destrutiva quando as amplitudes das ondas se cancelam. Considere o sistema com duas fontes pontuais que percorrem os caminhos designados por r e r ao lado: Para ondas em concordância de fase, a interferência construtiva se dá quando a diferença entre as distâncias percorridas por cada onda (diferença de caminhos), denotada por s = r r, for igual a um número inteiro de comprimentos de onda ( λ ), ao passo que a interferência destrutiva se dá quando a diferença de caminhos for igual a um número inteiro impar de meio comprimento de onda. Para ondas em oposição de fase, ocorre o contrário: Concordância de fase: Oposição de fase: - Construtiva: Construtiva: s = n λ, n Z λ s = n, n ímpar Z - Destrutiva: λ Destrutiva: s = n, n ímpar Z s = n λ, n Z O vestibular do ITA costuma cobrar bastante este conceito em ondulatória, com algumas particularidades como o Experimento de Young (cobrado em 3 e 4), Interferência em ilmes inos (cobrado em 998, com duas questões e 5) e Rede de difração (6). EXEMPLO: (ITA-4) Na figura, e são fontes sonoras que emitem, em fase, ondas de freqüência f e comprimento de onda λ. A distância d entre as fontes é igual a 3 λ. Pode-se então afirmar que a menor distância não nula, tomada a partir de, ao longo do eixo x, para a qual ocorre interferência construtiva, é igual a: a) 4 λ /5 b) 5 λ /4 c) 3 λ / d) λ e) 4 λ Resolução: As distâncias para as quais ocorre interferência construtiva, levando em conta que as fontes emitem as duas ondas em fase, são aquelas em que a diferença de caminhos percorrida pelas duas ondas é igual a um número inteiro de comprimentos de onda. (y x = nλ, n inteiro). Pelo teorema de Pitágoras, vem que: (3 λ) + x x = n λ (3 λ) + x = n λ + x Elevando os dois membros ao quadrado, temos: 9 n 9 λ + x = n λ + n λ x + x x = λ, com n inteiro. n Um padrão de interferência consistindo de franjas claras e escuras é observado num anteparo, colocado à distância L das fendas. Temos que a diferença de caminhos das duas ondas geradas por estas fontes (fendas), considerando que estão em fase, é dada por s = d senθ, conforme a figura abaixo. d.senθ A condição para ocorrência de interferência construtiva (franjas claras), isto é, pontos onde é máxima a intensidade luminosa é dada por: d senθ = m λ, com m = ; ± ; ± ;... (pontos de máximo) Os pontos de interferência destrutiva (franjas escuras), isto é, aqueles onde a intensidade luminosa é mínima, são dados por: d senθ = m+ λ, com m = ; ± ; ± ;... (pontos de mínimo) azendo a aproximação: senθ tgθ, válida para pequenos ângulos, y com tgθ =, temos: L Pontos de Máximo Pontos de Mínimo λ L L y = m y = λ m d + d com m = ; ± ; ± ;... em ambos os casos. Exemplo: (ITA-4) Num experimento de duas fendas de Young, com luz monocromática de comprimento de onda λ, coloca-se uma lâmina delgada de vidro Lâmina ( n V =, 6 ) sobre uma das fendas. d Anteparo Isto produz um deslocamento das franjas na figura de interferência. Considere que o efeito da lâmina é alterar a fase da onda. Nestas circunstâncias, pode-se afirmar que a espessura d da lâmina, que provoca o deslocamento da franja central brilhante (ordem zero) para a posição que era λ ocupada pela franja brilhante de primeira ordem, é igual a: a),38λ. b),6λ. c) λ. d),λ. e),7λ.

11 Resolução: O comprimento de onda da luz ao atravessar a lâmina de vidro pode ser obtido da seguinte maneira: c λ f λ nv = =, 6 =, 6 =, 6, lembrando que a freqüência vv λv f λv sempre se mantém inalterada na refração (passagem da luz do ar para o vidro). Se a franja de ordem zero passou a ocupar a franja de ordem um, isso significa que o tempo que a luz leva para percorrer a lâmina de vidro, emergindo de é o mesmo tempo que a luz utiliza para percorrer a distância equivalente à lâmina de vidro e também uma certa distância x, da figura abaixo, viaja apenas pelo ar, emergindo de. d θ x máximo central s s d d + x λ t = t = = x = d x =,6d v v λv f λ f λ V Como a nova posição do máximo central é a posição da primeira franja, no caso de não termos a lâmina, temos que a distância x seria aquela percorrida no caso do máximo de primeira ordem (quando a diferença de caminhos é de apenas um comprimento de onda, λ) λ azendo x = λ, temos: λ =,6 d d =,7 λ (Alternativa E).,6 INTERERÊNCIA EM ILMES INOS As cores das bolhas de sabão, manchas de óleo e outras películas delgadas, algumas Primeira medidas para atenuar Reflexão reflexões, todos estes fenômenos são devidas ao Raio Incidente fenômeno de interferência. Podemos ver ao lado uma película de espessura constante t de índice de refração n. Note que no Raio Refletido esquema dois raios chegam aos olhos do observador: um refletido ilme na superfície superior do filme, e outro refletido da superfície inferior. Raio Transmitido (ignore) Note que, para uma incidência quase normal, a diferença de percursos geométricos entre os dois raios refletidos pode ser aproximado para t (onde t é a espessura do filme). Lembre-se que quando mudamos de um meio com menor índice de refração para um com maior índice de refração ocorre uma mudança de 8 o na fase da onda refletida. Quando mudamos de um meio com maior índice de refração para um com menor índice de refração não ocorre mudança na fase da onda refletida. A onda refratada não sofre mudança de fase em nenhuma hipótese. Assim, considere a figura ao lado. Ar Ar 8º de mudança de fase Sem mudança de fase Pode-se notar que a onda resultante refletida pela película fosse um máximo de interferência quando a distância t fosse igual a um número inteiro de comprimentos de onda (no filme). No entanto, (9) 35- devido à mudança de fase associada na passagem entre o ar e o filme, teremos um máximo quando essa diferença for igual a um número ímpar de meios comprimentos de onda. t = (m+ ½)λ n m =,,,... (máximos) Utilizamos o valor de comprimento de onda da luz no filme, pois sabemos que tal comprimento de onda será diferente do comprimento de onda no vácuo. Tais comprimentos de onda se relacionam segundo a seguinte equação: λ n =λ/n Sendo assim, podemos dizer que, ao passar de um meio com menor índice de refração para um com maior índice de refração, teremos um aumento da intensidade da luz refletida de acordo com a expressão: t.n= (m+ ½)λ m =,,,... (máximos) A condição para um mínimo de intensidade (mínima reflexão) é: t.n= m.λ m =,,,... (mínimos) As equações acima se aplicam quando as hipóteses aplicadas são respeitadas. Imaginemos agora no caso de duas inversões de fase: Neste caso, teremos: t.n= m.λ m =,,,... (máximos) t.n= (m+ ½).λ m =,,,... (mínimos) Normalmente, vemos tais aplicações em vidros não refletores, quando é aplicada uma camada fina e transparente sobre a superfície. Esta camada induz o fenômeno de interferência que, quando bem projetada, causa interferências destrutivas para certos comprimentos de onda, diminuindo assim sensivelmente a reflexão. Exercícios envolvendo filmes finos, interferência de ondas, localização de máximos e mínimos são encontrados em praticamente todos os anos de prova. Observe o exemplo a seguir. Exemplo: (ITA 5) Uma fina película de fluoreto de magnésio recobre o espelho retrovisor de um carro a fim de reduzir a reflexão luminosa. Determine a menor espessura da película para que produza a reflexão mínima no centro do espectro visível. Considere o comprimento de onda λ = 55 A, o índice de refração do vidro n v =,5 e, o da película n p =,3. Admita a incidência luminosa como quase perpendicular ao espelho. SOLUÇÃO: Para o raio transmitido na película temos que a diferença de caminhos percorrida é de t, onde t é a espessura da película. Esta diferença, para interferência destrutiva, deve ser igual a (m+½)λ n, com m inteiro. Assim: λ t = n+ λn t = n+ n λ Para menor espessura n = : t = n 4 p 55 o Substituindo os valores de λ e n p temos: t = 58 A 4,3 LUZ E ESPECTRO DE CORES É comum o vestibular do ITA relacionar os comprimentos de onda reforçados (interferência construtiva) e os que não são refletidos (interferência destrutiva). Note que de acordo com a espessura do filme, podemos ter uma cor que fica mais visível e outra que desaparece (fenômeno que ocorre por exemplo nas bolhas de sabão). Além disso, é importante dizer que a luz é uma onda eletromagnética e representa apenas uma pequena parcela de todas as ondas eletromagnéticas existentes (aquelas com comprimentos de onda entre 4 e 7 nanometros). Outros exemplos de ondas eletromagnéticas muito presentes em nosso dia-a-dia são as ondas de rádio, as microondas, o VH, o raio X, entre outros. IMPORTANTE: As cores do espectro visível, em ordem crescente de freqüência, são: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta. p

12 ONDAS ESTACIONÁRIAS Ondas estacionárias Numa corda de comprimento L, e com seus dois extremos fixos, podemos produzir pulsos idênticos de onda propagando-se em sentidos contrários. O resultado é a formação de ondas estacionárias. O número de ventres que se formam dá origem ao n-ésimo harmônico, como ilustra a figura abaixo. Assim, o número de ventres formados corresponde ao número de vezes em que o comprimento total da corda foi subdividido em meio comprimento de onda. λ v L = n, com n = ; ; 3; 4;... fn = n L Obs.: existem outros modos de vibração, no caso de extremidades livres. TUBOS SONOROS Analogamente às ondas estacionárias, podemos observar certas freqüências de ressonância dentro de um tubo sonoro de duas formas, segundo a anatomia do tubo: Tubos Abertos: λ v L = n, com n = ; ; 3; 4;... fn = n L (semelhante à onda estacionária numa corda) Tubos echados: λ v L = (n ), com n = ; ; 3; 4;... f(n ) = (n ) 4 4 L OBS.: Um tubo também pode ser fechado em suas duas extremidades. Podemos observar abaixo a conectividade de assuntos específicos da ísica, ondas estacionárias e tubos sonoros, compartilhando um único exercício. Exemplo: (ITA-4) Um tubo sonoro de comprimento, fechado numa das extremidades, entra em ressonância, no seu modo fundamental, com o som emitido por um fio, fixado nos extremos, que também vibra no modo fundamental. Sendo L o comprimento do fio, m sua massa e c, a velocidade do som no ar, pode-se afirmar que a tensão submetida ao fio é dada por a) (c/l) m. b) (c/ ) ml. c) (c/ ) ml. d) (c/ ) m. e) n.d.a. (9) 35- Resolução: Tratando-se de um tubo fechado, temos, para freqüência fundamental, apresenta apenas ¼ de seu comprimento de onda do mesmo comprimento total do tubo ( ). Assim, temos c=λf c c ftubo = =. Ou então, através da relação descrita na teoria acima, λ 4 teríamos: v c c n = f = (n ) = ( ) = (n ) Como o fio está preso pelas duas extremidades, também em freqüência funamental, Temos que apenas ½ do seu comprimento de onda estaria representado pelo comprimento total do fio (L), formando uma onda estacionária. v Assim, v = λf =..f ffio =. Ou então, também através da L relação descrita na teoria acima, teríamos: v v n = fn = n = L L µ Para o fio, da relação de Taylor, v =. Substituindo: ffio = µ L Como ambos atuam na mesma freqüência (estão em ressonância): c µ cl cl. ftubo = ffio = = = µ 4 L µ. Mas µ é a densidade linear do fio, dada por c Daí temos =. ml. (Alternativa B). INTENSIDADE SONORA m µ =. L O nível de intensidade sonora (β) é expresso em decibéis (db) por: k log I β = I onde: I = intensidade sonora fornecida pela caixa de som; I = intensidade-padrão, correspondente ao nível de intensidade de referência com o qual todas as intensidades são comparadas, e corresponde ao limiar da audição ( - W/m ). E, se: k =, N é medido em bel; k =, então N é medido em decibel. Embora este seja um assunto pouco cobrado, podemos observar características da prova do ITA ao longo dos anos. A prova do ITA adora transformar a física em matemática e uma grandeza física com uma relação intima com matemática é perfeita. Trata-se de uma questão simples, mas que evidencia a relação entre a matemática e a física nas provas do ITA. Exemplo: (ITA-5) Uma banda de rock irradia uma certa potência em um nível de intensidade sonora igual a 7 decibéis. Para elevar esse nível a decibéis, a potência irradiada deverá ser elevada de: a) 7% b) 7% c) 7.% d) % e)..% SOLUÇÃO: O nível de intensidade e a intensidade sonora estão relacionados I P através da equação: β = log = log I P Na situação inicial o nível de intensidade é de 7dβ. Na situação final, dβ. Assim: 7 7 log I dβ = β = = log( I) log( I) I log I dβ = β = = log( I ) log( I) I (II) azendo (II)-(I), tem-se: ( 7) = 5 = log( I ) log( I) 5 log I = I I = 5 7 = % I Assim, o aumento de intensidade sonora será dado por: 7 X = ( )% = 99999% Alternativa D (I)

13 (9) 35- BATIMENTO Batimento enômeno de variação periódica da intensidade, num determinado ponto do espaço, de duas ondas que se superpõem com freqüências ligeiramente diferentes entre si. Lembramos que uma onda tem uma equação geral dada por: π π yxt ( ; ) = A cos( k x ω t+ ϕ) = A cos x t+ ϕ λ T Vamos analisar a superposição de duas ondas de mesma amplitude e mesma fase, com freqüências ligeiramente diferentes, superpondo-se num ponto do espaço a que atribuiremos arbitrariamente a coordenada como abscissa ( x = ). As duas ondas terão então como equações: y () t = A cos( ω t) = A cos( π f t) y( t) = A cos( ω t) = A cos( π f t) A superposição das duas ondas nesse ponto resulta numa onda de equação: yt () = y() t + y() t = A [cos( π f t) + cos( π f t)] Utilizando a transformação trigonométrica da soma em produto: α + β α β cosα + cosβ = cos cos, vem que: ( ) cos f f yt A π t cos π f + f = t Note que se f e f forem valores próximos, temos que f f A cosπ t varia muito lentamente com o tempo. Assumindo que esta equação possa ser entendida como uma onda de f+ f freqüência, cuja amplitude varia no tempo (muito mais lentamente que a onda anteriormente citada) de acordo com f f A cosπ t, temos que a onda resultante terá uma intensidade que varia periodicamente no tempo, caracterizando o fenômeno do batimento. EEITO DOPPLER-IZEAU É a variação da freqüência percebida por um observador que está em movimento relativo em relação a uma fonte emissora de ondas. A freqüência aparente é dada por: f v ± v f S O AP = vs v A convenção de sinais, nesse caso, é a seguinte: +, se o observador se aproxima No numerador:, se o observador se afasta, se a fonte se aproxima No denominador: +, se a fonte se afasta Aqui segue mais um exemplo das questões que caem na prova. Novamente vemos a conexão entre alguns assuntos, neste caso temos: Efeito Doppler, reflexão de ondas e batimento Exemplo: (ITA-) Um diapasão de freqüência 4 Hz é afastado de um observador, em direção a uma parede plana, com velocidade de,7 m/s. São nominadas f a freqüência aparente das ondas não-refletidas, vindas diretamente até o observador; f, a freqüência aparente das ondas sonoras que alcançam o observador depois de refletidas pela parede e f 3, a freqüência dos batimentos. Sabendo que a velocidade do som é de 34 m/s, os valores que melhor expressam as freqüências em hertz de f, f e f 3, respectivamente, são: a) 39, 48 e 6 b) 396, 44 e 8 c) 398, 4 e 4 d) 4, 398 e 4 e) 44, 396 e 4 Resolução: A equação da freqüência aparente para o efeito vs ± vo Doppler é: fap = f vs v Na primeira situação, a fonte se afasta do observador parado e, portanto, temos: 34 + f = 4 = 398 Hz 34 +,7 Na segunda situação, a reflexão das ondas na parede pode ser modelada como uma fonte se aproximando com mesma velocidade e emitindo um som de mesma freqüência (espelha-se a fonte em relação à parede). Assim: 34 + f = 4 = 4 Hz 34,7 inalmente, a freqüência dos batimentos é dada por: f = f f = = 4Hz (Alternativa C) 3 Note que a onda de maior freqüência está envolvida (modulada) pela onda de menor freqüência (duplicada pelas possibilidades de inversão de sinal). Nos pontos de máximo, onde ocorre um reforços audíveis, f f temos cos π t = ±, enquanto nos pontos de mínimo, f f teremos cos π t =. Como a amplitude será máxima ( A = A ) quando f f cos π t = ±, temos que a freqüência de batimento (reforço do som) será dada pelo dobro da freqüência da envoltória.: f = f f B MAX LEI DE GAUSS CAMPO ELÉTRICO Lei de Gauss A Lei de Coulomb é a principal lei da Eletrostática, mas não está formalizada de modo a vir simplificar os cálculos nos casos de alta simetria. Neste tópico falaremos de uma nova formulação da Lei de Coulomb, a chamada Lei de Gauss, que pode apresentar vantagens nesses casos especiais. A Lei de Gauss aplicada em problemas de eletrostática é equivalente a Lei de Coulomb. Qual delas escolher vai depender do tipo de problema que estudaremos. Em linhas gerais, usa-se a Lei de Coulomb em todos os problemas nos quais o grau de simetria é baixo. A lei de Gauss será aplicada quando a simetria for significantemente alta. Em tais casos, essa lei não só simplifica tremendamente o trabalho, mas, devido à sua simplicidade, freqüentemente fornece novas idéias. A figura central da Lei de Gauss é uma hipotética superfície fechada, chamada superfície gaussiana. A superfície gaussiana pode ter a forma que desejarmos, mas será de maior utilidade quando usada de forma compatível com a simetria do problema específico em estudo. Decorre disso que, às vezes, a superfície gaussiana toma a forma esférica, a forma cilíndrica ou qualquer outra forma simétrica. Porém essa superfície deve ser sempre uma superfície fechada, de modo a obtermos uma clara distinção entre pontos internos, pontos sobre a superfície e pontos exteriores à mesma. 3

14 luxo elétrico - Se A é a área de uma superfície S que foi colocada num campo elétrico uniforme E, define-se como fluxo do campo elétrico, ou fluxo do vetor E, através da superfície S como: Φ E = E A = E A cosθ onde θ é a inclinação do vetor normal à área em relação ao vetor campo elétrico. Lei de Gauss - A Lei de Gauss nos diz que o luxo Elétrico através de uma superfície fechada é igual ao somatório das cargas internas a esta superfície, dividido pela constante dielétrica do meio (no caso mais comum, o vácuo): Qint Φ E = ε De acordo com a definição de fluxo elétrico vista anteriormente, considerando uma superfície fechada com áreas tão pequenas quanto necessárias A i, pelas quais está passando um campo E i constante, temos: n Qint Φ E = EA i i cosθi = i = ε Obs.: As cargas internas no caso da utilização de elementos com distribuição uniforme de cargas, são obtidas a partir das densidades de carga: - Linear: λ = Q/L - Superficial: σ = Q/S - Volumétrica: ρ = Q/V Para aplicar a lei de Gauss devemos utilizar as duas definições dadas acima para calcular o fluxo através de uma superfície gaussiana. As superfícies gaussianas devem ser escolhidas conforme cada caso, tendo em mente a simplificação dos produtos escalares da primeira parte da equação (de maneira a, normalmente, manter o campo elétrico constante em toda a superfície, e os vetores campo elétrico e área paralelos cos θ = ). Como superfícies gaussianas utilizamos figuras espaciais com simetria central (cubo, esfera) e axial (cilindro). De maneira geral, podemos dizer que a utilização da Lei de Gauss é uma poderosa ferramenta na resolução de problemas que apresentam alto grau de simetria. Observe os seguintes exemplos: Exemplo : Apliquemos a lei de Gauss às superfícies fechadas S, S, S 3 e S 4 abaixo: (9) 35- Exemplo : io infinito carregado uniformemente A figura ao lado mostra um trecho de um fio fino carregado, infinito, de densidade linear de carga λ. Determinemos uma expressão para o módulo do campo elétrico a uma distância r do fio. Por motivos de simetria, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r e altura h, co-axial com o fio. Também por motivos de simetria, sabemos que ao longo da superfície lateral do cilindro o campo elétrico tem a mesma intensidade e que este é normal à superfície e aponta para fora dela (cos α = ). Aplicando a Lei de Gauss, temos: λ ε Φ E = Q int ε EA = λh ε E(πrh) = λh E = πε r Exemplo 3: Casca esférica uniformemente carregada a-) campo elétrico num ponto exterior à casca (r > R externo ) A figura abaixo nos mostra uma casca esférica de raio R uniformemente carregada com carga Q. Desejamos deduzir o valor do campo elétrico num ponto externo a esta, situado a uma distância r do centro da mesma. Por motivos de simetria, tomemos como nossa superfície uma esfera de raio r concêntrica com a casca. Aplicando a Lei de Gauss, facilmente chegamos a n Φ int E = Q Q Q EA i i cosθi = E 4πr E i ε = = ε = 4πε r Como k = 4πε, temos que kq E = (como na lei de Coulomb) r O que nos permite concluir que: Uma casca esférica uniformemente carregada comporta-se, para pontos externos, como se toda a sua carga estivesse concentrada no seu centro. b-) campo elétrico num ponto interior à casca (r < R interno ) Devemos agora encontrar o módulo do campo elétrico produzido pela casca num ponto interno a uma distância r do seu centro. Por motivos de simetria, escolhamos uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a casca. Aplicando a Lei de Gauss a esta superfície, como não há cargas internas a ela, podemos concluir que E = O que nos permite afirmar que: Uma casca esférica uniformemente carregada não exerce força elétrica sobre uma partícula carregada colocada em seu interior. c-) campo elétrico num ponto da casca (R interno < r <R externo ) Resolva este caso como exercício. Se houver dificuldades, olhe o exercício resolvido do vestibular ITA-, que fala da aplicação da Lei de Gauss na Gravitação. - Superfície S : O campo elétrico aponta para fora da superfície em todos os seus pontos. Portanto, o fluxo é positivo e também o é a carga líquida no interior da superfície. - Superfície S : O campo elétrico aponta para dentro em todos os seus pontos. Portanto o fluxo é negativo e também o é a carga envolvida pela superfície. - Superfície S 3 : Esta superfície não envolve cargas elétricas. A Lei de Gauss exige que o fluxo seja nulo através dessa superfície. Isto é razoável, pois as linhas de força passam através dessa superfície, dirigindo-se da carga positiva envolvida por S até a carga negativa em S. - Superfície S 4 : Esta superfície encerra uma carga líquida nula, pois as cargas positivas e negativas têm o mesmo módulo. A lei de Gauss exige que o fluxo através dela seja zero. As linhas de força que partem da carga positiva e saem de S 4 fazem a curva e entram de voltam pela parte inferior, em direção à carga negativa. 4 Exemplo: (ITA ) Um fio de densidade linear de carga positiva λ atravessa três superfícies fechadas A, B e C, de formas respectivamente cilíndrica, esférica e cúbica, como mostra a figura. Sabe-se que A tem comprimento L = diâmetro de B = comprimento de um lado de C, e que o raio da base de A é a metade do raio da esfera B. Sobre o fluxo do campo elétrico, φ, através de cada superfície fechada, pode-se concluir que A B C L a) φ A = φ B = φ C b) φ A > φ B > φ C c) φ A < φ B < φ C d) φ A / =.φ B = φ C e) φ A =.φ B = φ C SOLUÇÃO Pela Lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico (φ ) através de uma superfície fechada depende das cargas internas (q i ) e da permissividade elétrica do meio (ε). Sendo o valor da carga interna q i calculado por λ.l, e sendo λ e L iguais nas três superfícies, para um mesmo meio, temos φ A = φ B = φ C. λ

15 Existem formulações da Lei de Gauss para outros campos de vetores além do campo elétrico. Vamos discutir os casos do campo magnético e do campo gravitacional. LEI DE GAUSS CAMPO MAGNÉTICO Lei de Gauss para campo magnético As definições aqui são totalmente análogas ao caso do campo elétrico. O fluxo magnético de um campo magnético uniforme B através de uma superfície S, de área A, é definido como: Φ B = B A cosθ, onde θ é o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor normal à superfície S. Note que, entretanto, não podemos fazer uma analogia com relação à carga elétrica, pois na natureza não existe qualquer espécie de pólo magnético isolado (mono-pólo magnético). Pense no caso simples de um ímã em forma de barra. Ele tem dois pólos, norte e sul. Se partirmos esse ímã ao meio, não conseguiremos obter um pólo norte e um pólo sul, isolados, mas sim dois novos ímãs menores, cada qual com seus pólos norte e sul. A lei de Gauss para o magnetismo vem a ser então a formulação matemática para a inexistência de tais pólos isolados: O fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é nulo n B i i i i = Ou, matematicamente, Φ = BAcosθ = Em outras palavras, numa superfície fechada, todo vetor do campo magnético que entra por uma face, deve sair por alguma outra face. Observe, na figura a seguir, como todas as linhas de indução formam caminhos fechados, de modo que toda linha que entra na superfície pontilhada S também sai dela. Assim, o fluxo magnético através de S é zero. LEI DE GAUSS CAMPO GRAVITACIONAL Lei de Gauss para campo gravitacional aqui, o campo gravitacional g n criado por um conjunto de n massas M = mk é k = definido como a aceleração a que uma partícula fica submetida devido à atração gravitacional exercida pelo conjunto de massas sobre essa partícula. O caso mais comum é aquele em que M representa a massa de um planeta e a partícula é colocada nas imediações desse planeta, ficando submetida à aceleração da gravidade local. luxo gravitacional analogamente aos fluxos elétrico e magnético, definiremos o fluxo gravitacional de um campo gravitacional g através de uma superfície S, de área A, como Φ G = g A cosθ, onde θ é o ângulo entre o vetor campo gravitacional e o vetor normal à superfície S. Levando em consideração a constante de gravitação universal G, ao passo que o análogo da carga elétrica q teremos uma massa puntiforme m. (9) 35- A lei da Gauss para a gravitação afirma então que, para : n Φ G = 4π G mk k = no qual o fluxo gravitacional Φ G é calculado através de qualquer superfície fechada (gaussiana) que encerre o conjunto das n massas m k. O sinal negativo do lado direito desta relação significa que o campo gravitacional é um campo de atração, assim como o campo elétrico criado por uma carga puntiforme negativa é de aproximação. Exemplo: Calcule a aceleração da gravidade na superfície de um planeta esférico de massa M e raio R. Resolução: g De acordo com a lei de Gauss, temos que: Φ G = 4π G m n n k = O fluxo gravitacional através da superfície esférica S do planeta é: Φ G = g A cos θ = g (4 π R ) ( ), observando que o ângulo entre a normal n e o campo g é θ = 8, como mostra a figura anterior. Assim: G M g 4π R = 4 π G M g = R O caso acima reflete exatamente o que se observa na gravitação segundo Newton. Entretanto, em alguns casos, a análise é um pouco mais complicada: Exemplo: (ITA ) Uma casca esférica tem raio interno R, raio externo R e massa M distribuída uniformemente. Uma massa puntiforme m está localizada no interior dessa casca, a uma distância d de seu centro ( R < d < R ). O módulo da força gravitacional entre as massas é : a). c) GMm 3 3 ( R d ) 3 3 GMm( d R e) ) 3 3 d ( R R) b) GMm d) GMm 3 3 d ( d R ) SOLUÇÃO A aceleração da gravidade no ponto a uma distância d do centro da casca pode ser calculada utilizando-se uma superfície gaussiana esférica de raio d. Temos que: Φ G = g A cos θ = g (4 π d ) ( ) (I) Note que este fluxo também pode ser mensurado considerando a n massa interna desta superfície: Φ G = 4π G mk = 4π G mint k = Considerando a densidade da casca constante, temos: 3 3 m mint M d R ρ = = = m int = M V π( d R R ) π( R R ) R d R Assim, Φ G = 4π G mint = 4π G M (II) R 3 3 R Assim temos, igualando (I) e (II): (4 ) 4 d R G M d g π d = π G M g = R R R d R R A força de atração gravitacional sobre m, é dada portanto por: G M d R GMm( d R) = m g = m = d R R d ( R R ) k 5

16 GRAVITAÇÃO Gravitação é um tema agradável ao ITA e podemos encontrar exercícios sobre o assunto em todas as suas provas. Dentre os tópicos relacionados, temos: Leis de Kepler Lei de Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas em torno de um astro central, o qual ocupa um dos focos. Lei das Áreas: O vetor raio que une o sol a um planeta varre áreas iguais no plano da órbita em tempos iguais. (9) 35-. GM. De onde temos que vescape =, que a velocidade mínima onde R o objeto pode alcançar um estado de inércia no espaço (U=). Nota - As trajetórias de lançamentos: De acordo com a velocidade de lançamento, podemos ter algumas possibilidades de curvas descritas devido à atração gravitacional entre dois corpos. Considerando que um corpo é lançado perpendicularmente à linha que une os dois centros de massa, repare nas seguintes possibilidades: Portanto, a área varrida é proporcional ao tempo t: A A t = t,, 3,4 3,4 Lei dos Períodos: O quadrado dos períodos de revolução dos planetas em torno do Sol são proporcionais ao cubo dos raios médios de suas órbitas (ou semi-eixos maiores da elipse). 3 Rmáx + Rmín T = kr. Onde: R =, e A constante k pode ser verificada através da Gravitação de Newton, ao considerarmos um movimento circular, cuja resultante centrípeta é GMm.. dada pela força de atração gravitacional = : R GMm.. mv. GM. GM. = = v v = R R R R. π.r. π. R GM. Como no movimento circular v =, temos que = T T R T 4. π Assim k = = V máx 3 R retardado R min Sol GM. R máx acelerado V min Observação: Considerando o período medido em anos (o período sideral da Terra), e R em unidades astronômicas (definida como a distância média da Terra ao Sol), fica claro que a constante k, característica de cada sistema, apresenta valor, para o nosso sistema solar. Gravitação Universal de Newton: Qualquer partícula no universo atrai outra partícula segundo a GMm.. equação: G = R Velocidade de Escape: Um objeto pode escapar da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R se sua velocidade, quando próximo à superfície do corpo for pelo menos igual à velocidade de escape: Assim, a velocidade mínima de lançamento de um corpo para que ele não sofra atração do outro (energia potencial nula) será tal que ele chegará no ponto final de sua trajetória também com velocidade nula. Sabendo que a energia potencial de um corpo sob ação de um campo GMm.. gravitacional é dada por U =, temos que, por conservação d de energia: K + U = K + U ( ) ( ) antes depois. escape... + = + lim.. d mv GMm m GMm R d mv. escape GMm.. + = + R Velocidade de lançamento menor que a velocidade de escape: GM - Se v <, teremos que o corpo descreve (na realidade R descreveria) uma elipse onde o planeta ocuparia o foco mais afastado do ponto de lançamento GM - Se v =, teremos que o corpo descreve uma circunferência R GM GM - Se < v <, teremos que o corpo descreverá uma R R elipse, onde o planeta ocuparia o foco mais próximo do ponto de lançamento Velocidade de lançamento maior ou igual à velocidade de escape: - Se v = GM R, teremos que o corpo descreverá uma parábola - Se v > GM R, teremos que o corpo descreverá uma hipérbole Devido à incidência de exercícios de Gravitação no ITA, o próximo exemplo pode sugerir que o assunto sempre é cobrado com uma alta complexidade, o que não é verdade. Na realidade, ele leva em consideração alguns conceitos que são importantes e que poderão ajudar a afinar seus conhecimentos sobre o assunto: Exemplo: (ITA 3) Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem advir de irregularidades na distribuição de sua massa. Considere a Terra como uma esfera de raio R e densidade ρ, uniforme, com uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu interior. A distância entre os centros O, da Terra, e C, da cavidade, é d, que pode variar de (zero) até R a, causando, assim, uma variação do campo gravitacional em um ponto P, sobre a superfície da Terra, alinhado com O e C. (Veja a figura). Seja G a intensidade do campo gravitacional em P sem a existência da cavidade na Terra, e G, a intensidade do campo no mesmo ponto, considerando a existência da cavidade. Então, o valor máximo da variação relativa: (G G )/G, que se obtém ao deslocar a posição da cavidade, é a) a 3 /[(R-a) R] b) (a/r) 3 c) (a/r) d) a/r e) nulo. Solução: 6

17 Este problema pode ser resolvido supondo que a cavidade não gere campo gravitacional. Será considerado que a cavidade é constituída por duas massas sobrepostas, de mesma densidade em módulo (mas com sinais trocados). Assim, apenas matematicamente, iremos considerar que o efeito da massa positiva que estaria na cavidade seria cancelado pelo efeito da massa negativa, resultando um efeito de ausência de massa. Cuidado, pois não existe massa negativa (nem seu efeito propriamente dito, que será de repulsão). Este artifício será utilizado apenas para resultar numa ausência de massa total, o que pode ocorrer fisicamente. Assumindo que teremos dois efeitos como um todo (a soma do efeito sem a cavidade com o efeito da nossa massa negativa ) teremos que a gravidade com a cavidade, no ponto P será dada por: G. ( M' ) GM. ' GM. ' G = G+ Gmassa negativa = G+ = G G G = R d R d R d ( ) ( ) ( ) Onde M é o módulo da massa da cavidade. Mas, como a densidade é constante, temos que 3 M M' a ρ = = M' = M πr πa R 3 3 Assim, temos que: 3 a GM. 3 3 GMa.. G G = R = 3 ( R d) R ( R d) Note nossa variável d influencia na variação do campo gravitacional, que será máxima, quanto menor o denominador (maior d). Assim, ocorrerá a máxima variação quando d = R a (a cavidade tangencia o ponto P). Substituindo, teremos: 3 3 GMa.. GMa.. GMa.. G G = R R ( R a) = Ra = R GM. Como temos que G =, podemos dizer: R GM. a a G G a G G = = G = (Alternativa D) R R R G R INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Indução eletromagnética - Estabelecimento de uma força eletromotriz num circuito por efeito da variação de um fluxo magnético que o atravessa. Indutância: propriedade de indução de força eletromotriz em um circuito por efeito da variação de uma corrente que passa pelo próprio circuito (auto-indutância) ou por um circuito próximo (indutância V mútua). Unidade: henry, H =. A/s E L = di dt di dφ B di Temos portanto que E = L N = L, dt dt dt Assim, NΦ = Li. Unidade: Wb = H A B Definições em física: solenóide. [do grego solenoeidés, em forma de tubo.] S. m. ísica. Indutor constituído por um conjunto de espiras circulares paralelas e muito próximas, com o mesmo eixo retilíneo. bobina. [Do francês bobine.] S. f. ísica. Agrupamento de espiras de um condutor elétrico, enroladas em torno de um suporte ou de um núcleo de material ferromagnético, e que, num circuito, funciona como indutor. Indutância de um solenóide: espira. [Do grego speíra, pelo latim spira.] S. f. Engenharia elétrica. Parte elementar de um enrolamento, cujas extremidades são, em geral, muito próximas uma da outra. toróide. [de toro + -óide.] S. m. Geometria. Sólido gerado pela rotação de uma superfície plana fechada em torno de um eixo que não lhe seja secante. (9) 35- L = N µ l N é o número de espiras; µ, a permeabilidade do núcleo; A é a área da secção reta do núcleo em metros quadrados e l é o comprimento do núcleo em metros. Ação de um indutor em circuitos E A Ao ligar a chave, a corrente num indutor NÃO pode instantaneamente E passar de zero a um valor finito, pois L = implicaria L =. De di dt fato, toda corrente leva algum tempo para se instalar, mas num circuito sem um indutor, esse tempo é da ordem de -9 s e pode ser desprezado, e, havendo um indutor, pode ser necessário um tempo muito maior ( s ou mais) para se instalar uma corrente da ordem de E / R. Este assunto já foi cobrado no ITA há mais de anos. Recentemente, ele não vinha sendo solicitado até o vestibular de 6 que cobrou um conceito simples de auto-indutância. Portanto, recomendamos atenção à este tópico, pois existe uma tendência da banca estar abordando novamente este tema em 7, provavelmente com um grau maior de aprofundamento. Observe o exemplo que foi cobrado em 6: Exemplo: (ITA-6) Um solenóide com núcleo de ar tem autoindutância L. Outro solenóide, também com núcleo de ar, tem a metade do número de espiras do primeiro solenóide,,5 do seu comprimento e,5 de sua seção transversal. A auto-indutância do segundo solenóide é: a), L b),5 L c),5 L d) 5, L e), L Resolução: A auto-indutância de um solenóide é dada por: L = N µ Assim, para os dois solenóides em questão, teremos A L = N µ R L A A ( ) N, 5 A A = µ =,5,5 µ = µ = (,5 ) L N N L Portanto, L =,5 L =,5 L (alternativa C) COMENTÁRIOS INAIS Os conceitos descritos neste material estão apenas em caráter de resumo e serão de grande valia para você se esforçou durante todo o ano visando apenas um objetivo: ser aprovado. Ele engloba uma pequena parte do universo que você conhece da ísica. Acredite que a realização deste seu objetivo não está apenas no estudo deste material (na realidade ele provavelmente contribuirá pouco se comparado com todo o esforço que você fez durante sua vida escolar). Confie no trabalho que você realizou ao longo de 6 e também nos anos anteriores que contribuíram para você chegar onde chegou: certamente suas vitórias serão sempre acompanhadas de trabalho duro e muito esforço e com certeza, este é um dos critérios que é avaliado nas provas de admissão do ITA. Auto-indutância de uma bobina solenoidal: 7

18 O PORTUGUÊS NO ITA A prova de português do ITA dos últimos anos tem valorizado bastante a leitura e a interpretação de textos. Aparecem em número considerável questões as quais exigem que o candidato retire informações de textos ou ainda interprete o texto como um todo para fazer inferências. Vejamos alguns exemplos de enunciados que contemplam este tipo de questão: ITA/4 Questão : Em relação ao Texto, assinale a opção que contém a idéia que não pode ser pressuposta... Questão : Em relação ao Texto, é possível inferir que... ITA/5 Questão : Assinale a opção que não pode ser inferida do texto... Questão 4: Em relação ao Texto, aponte a opção correta... ITA/6 Questão : Considerando o contexto e os vários pontos de vista presentes no texto, aponte a opção que, da perspectiva dos ricos, NÃO constitui atributo da Daslu... Questão 7: Assinale a opção que pode ser inferida do texto... A prova, contudo, também contempla tópicos essenciais de gramática, mas de uma forma aplicada, ou seja, não tem sido uma prática comum a cobrança da gramática normativa descontextualizada, com pura nomenclatura ou classificação. As questões, na verdade, estão ou vinculadas à leitura dos textos fornecidos pela prova ou a enunciados completos. Ou seja, até mesmo nas questões ditas de gramática, o candidato deve ficar atento à leitura e à interpretação. Vejamos alguns exercícios (e suas respectivas resoluções) das provas de 4, 5 e 6 que ilustram este tipo de abordagem: (ITA/4) Os trechos abaixo foram baseados em Retratos do entardecer, de Marcos Pivetta, publicado na revista Pesquisa apesp, maio/3. Neles, foram feitas alterações para a formação de períodos distintos. Leia-os com atenção, buscando observar se o último período de cada trecho estabelece uma relação de conclusão ou conseqüência com os anteriores do mesmo trecho. I. Os preocupantes índices de deterioração em idosos (...) são um indício de que uma série de problemas devem aparecer num futuro próximo, em especial doenças como o mal de Alzheimer, e perda de autonomia para a realização de tarefas cotidianas. Esses idosos, se a deterioração mental avançar, terão de ser assistidos por alguém diuturnamente. (p. 37-8) II. (...) o nível de escolaridade dos idosos parece se comportar como um marcador de sua condição geral de saúde, sobretudo de seus aspectos cognitivos. Aparentemente, quanto maior o grau de educação formal do entrevistado, menor seu desconforto físico e mental. (p. 36) III. Embora a relação entre distúrbios cognitivos e escolaridade realmente exista, ela deve ser um pouco relativizada. Os idosos sem estudo têm mais dificuldade em responder ao questionário dos pesquisadores. Muita gente com pouca ou nenhuma escolaridade acaba sendo rotulada, erroneamente, de demente ou portadora de problemas mentais. (p. 38) Pode-se afirmar que o último período do mesmo trecho constitui uma conclusão ou conseqüência em: a) I e II. b) I e III. c) apenas a II. d) II e III. e) todas. Resposta: alternativa B. Em I, a idéia é de conseqüência; em II, a idéia é de explicação; e em III, a idéia é de conclusão. (ITA/5) Das opções abaixo, cujos textos foram extraídos do Manual do Proprietário de um carro, a única alternativa que não apresenta inadequação quanto à construção ou ao emprego de palavra é: a) Se o veículo costuma permanecer imobilizado por mais de duas semanas ou se é utilizado em pequenos percursos, com freqüência não diária (...) adicione um frasco de aditivo. (9) 35- b) Algumas [instruções], todavia, merecem atenção especial, em virtude das graves conseqüências que sua não observância pode representar para a integridade física dos ocupantes e para o funcionamento do veículo. c) Ao calibrar os pneus, não se esqueça de examinar também o de reserva. Veja instrução na Seção 7, sob Pneus. d) Somente se a utilização do veículo ocorrer essencialmente nas rodovias asfaltadas na maior parte do tempo é que se pode proceder à troca de óleo a cada 6 meses ou. km, o que primeiro ocorrer. e) O uso dos cintos de segurança deve também ser rigorosamente observado em veículos equipados com sistema Air bag, que atua como complemento a este sistema. Resposta: alternativa A. Em B, ocorre inadequação no emprego do verbo representar. Melhor seria causar. Em C, a preposição sob foi empregada no lugar de sobre. Em D, ocorre o deslocamento da locução adverbial na maior parte do tempo, que tanto pode referir-se ao verbo ocorrer quanto à palavra asfaltadas, provocando uma ambigüidade. Em E, o pronome que pode referir-se a sistema Air bag, tornando a frase incoerente, uma vez que o pronome este também se refere a sistema. (ITA/6) Considere as frases abaixo: I. De um político a outro: Com o meu passado, aceito qualquer presente. (Millôr ernandes) II. erroviário morto saca dinheiro da conta [...]. O quê? Morto saca dinheiro vivo? (José Simão) III. Navegar é preciso, viver é impreciso. (Millôr ernandes) IV. Uma voz quente deixava Maria gelada. No contexto de qual(is) frase(s) os termos grifados funcionam como antônimos? a) apenas em I. b) apenas em II. c) apenas em III. d) apenas em II, III e IV. e) em todas. Resposta: alternativa C. Da frase mencionada na alternativa C, entende-se que navegar exige precisão, não admitindo qualquer tipo de erro ou engano, opondo-se ao termo impreciso, que qualifica o viver, uma vez que não se pode prever (com exatidão) o amanhã. Entretanto, polêmica é a afirmação contida na alternativa A, uma vez que dela também se pode absorver o sentido de antonímia expresso pelos vocábulos passado (temporalidade relativa ao ontem) e presente (temporalidade correspondente ao hoje). Neste caso, a questão não apresenta resposta correspondente. Quanto à Literatura, o vestibular do ITA não fornece uma lista de leituras obrigatórias. Assim, exige-se que o candidato domine as características gerais dos movimentos literários, além de que tenha conhecimento dos momentos importantes da Literatura. É fato que, nos últimos anos, a prova tem cobrado autores consagrados e obras canônicas, o que não dificulta o desempenho de um candidato relativamente bem preparado nesta área. No que diz respeito à prova de Redação, o vestibular do ITA costuma trazer temas atuais sobre os quais o candidato já tenha feito algum tipo de reflexão no decorrer de sua vida. Cabe chamar a atenção para alguns aspectos essenciais que serão, certamente, avaliados clareza e consistência dos argumentos em defesa de um ponto de vista sobre o assunto, coesão e coerência do texto e domínio do português padrão. É importante também tomar alguns cuidados na hora de escrever a sua redação, os quais poderão conferir-lhe um melhor desempenho: - se for solicitada a criação de um título, que este seja pertinente ao texto submetido para avaliação; - não copiar ou parafrasear os textos dados, que servem apenas de ponto de partida para a sua reflexão; - ter muito cuidado com a parte estética do seu texto: apresente uma folha limpa, evite rasuras, faça margens regulares e letra legível. 8

19 A MATEMÁTICA NO ITA O vestibular de Matemática do ITA é, provavelmente, o mais justo do país. Isso se deve ao fato dessa prova ser reconhecidamente a mais abrangente possível: raramente algum tópico do Ensino Médio não é cobrado. Isso, para o candidato, traz vantagens e desvantagens. Vantagens no sentido de que existem várias questões que são de assuntos conhecidos, e desvantagens no sentido de que podem existir temas que o aluno não domine. Porém, até nisso se faz justiça: não é possível contar apenas com a sorte, uma vez que a prova é bem variada. E, além de uma prova bem diversificada, uma marca interessante é a mistura de vários temas numa única questão (cossenos misturados com logaritmos, progressões misturadas com circunferências, etc.), sempre com o intuito de aumentar o nível de dificuldade e favorecendo o domínio de diversos temas. Mas, não é só o conhecimento que é fundamental. A prova não mede apenas o quanto o candidato sabe, mas sim como o candidato lida com o que sabe. Ao longo dos anos, várias questões são tais que a aplicação de fórmulas é praticamente inviável, o que força o candidato a ter algo a mais. Não adianta apenas conhecer milhares de fórmulas. Um bom raciocínio é peça fundamental nesse vestibular. Assim, o que se espera dos candidatos é conhecimento razoável aliado com bom raciocínio. Neste material temos uma análise do vestibular de Matemática do ITA. Procuraremos ajudá-lo a melhorar o seu desempenho com algumas dicas que serão de grande valia na hora da prova. Bons estudos! O exercício a seguir, retirado do vestibular de 5, ilustra um fato interessante da prova do ITA: normalmente, existem dois ou mais modos para se resolver um exercício. Destes, um é razoavelmente rápido, enquanto o outro é mais trabalhoso. QUESTÃO: Sobre o número x = é correto afirmar: a) x ]; [ d) x é irracional b) x é racional e) x ];3 [ c) x é irracional Num primeiro instante, é fácil chutar que x provavelmente é irracional. Mas, isso não nos serve de muita coisa, afinal não conseguimos encontrar nenhuma resposta que nos satisfaça apenas chutando. Uma primeira tentativa de resolução poderia ser a seguinte: x = UMA QUESTÃO INTERESSANTE (x 3 ) = 7 4 x x = x x = Essa tentativa nos leva a uma equação do segundo grau não muito agradável, que exigirá um tempo razoável só pra terminar as contas. Este caminho com certeza nos levará a uma resposta correta, mas a questão não é essa. Será que não existe um outro modo, menos trabalhoso, para se resolver esse exercício? A resposta é sim. Observe que = ( 3 ) = ( 3 ). Assim: x = = x = TEORIA DOS CONJUNTOS No último ano o tópico de Teoria dos Conjuntos rendeu um total de 3 questões, ou seja, % da prova. Pode parecer pouco, mas na verdade esse foi um dos tópicos mais cobrados, justamente por ser um tema que exige boa capacidade de abstração por parte dos candidatos. Conjunto: é uma coleção de elementos. a) vazio: não possui elementos b) unitário: possui um único elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos 3 9 (9) 35- Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Caso contrário, x A. x A. Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, A B. Operações com conjuntos: a) união: A B = {x / x A ou x B} b) intersecção: A B = {x / x A e x B} c) diferença: A B = {x / x A e x B}. Complementar: se A B então o complementar de A com relação à B é o conjunto = B A. C B A União de dois conjuntos: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, então o conjunto P(A) possui n elementos. Partições de um conjunto: seja A um conjunto não-vazio e finito. Dizemos que P = {A,A,...,An } é uma partição de A se cada conjunto em P é não-vazio, se a união de todos os elementos em P é igual ao conjunto A e se a intersecção desses conjuntos, tomados dois a dois, sempre é vazia. Exemplo: A = {,, 3, 4, 5} azendo A = {,, 3} e A = {4, 5}, temos que A { } e A A = A {A,A } é uma partição de A. A = Agora, uma questão muito interessantes do último vestibular: QUESTÃO: Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A,B S então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é: a) n- b) n/, se n for par, e (n + )/ se n for ímpar; c) n+ d) n - e) n- + Se A e B são conjuntos em S, temos que eles possuem, no máximo, n elementos. Considere A n um conjunto em S com n elementos. Assim, se B está em S, B é subconjunto de A n, e, portanto, deve possuir n elementos (se B tem n elementos então B = A n ). Afirmamos que B é o único subconjunto com n elementos. De fato, se existir um conjunto C com n - elementos com C B então teríamos que B C e C B, o que contraria nossa hipótese. Logo, B é único. Seja então B = A n-. Prosseguindo com o raciocínio, montamos a seguinte cadeia de inclusões: { } = A A... An An Essa seqüência é a maior possível, e respeita as condições impostas por S. Logo, o número máximo de elementos que S pode ter é n +. Como comentário, essa foi uma questão que exigiu uma boa dose de raciocínio por parte dos candidatos, e ilustra bem um vestibular que não quer apenas fórmulas decoradas. MISTURANDO TEMAS DIERENTES A prova de Matemática do ITA também é famosa por sua grande capacidade de misturar conceitos distintos. Como exemplo, temos a seguinte questão, retirada do vestibular do último ano (se você sentir dificuldades, revise os tópicos, que seguem a questão): QUESTÃO: Determine para quais valores de x (-π/,π/) vale a desigualdade log cosx (4sen x - ) - log cosx (4 - sec x) >

20 Temos aqui a presença de trigonometria e logaritmos. Tanto um quanto o outro são fundamentais para a resolução desse exercício. A partir da condição de existência da base, temos: π π π π cos x > e cos x x e x ; < x < ou < x < C ada logaritmo deve existir separadamente, o que implica em duas situações: π π π π 4sen x > sen x < ou sen x > < x < ou < x < 6 6 π π π π < x < ou < x < sec x > < sec x < como cos x >, temos apenas que π π sec x < cos x > < x <. 3 3 Aplicando finalmente as propriedades dos logaritmos, temos: 4sen x log (4sen x ) log(4 sec x) log cos x = cos x > 4 sec x Lembrando que no domínio considerado temos < cos x<, segue então que, ao aplicar a definição de logaritmo, temos que inverter a desigualdade. Assim: 4sen x 4sen x log cos x > < cos x 4 sec x 4 sec x 4sen x 4sen x cos x(4 sec x) cos x < < 4 sec x 4 sec x Considerando apenas o numerador da fração, temos: 4sen x cos x(4 sec x) = 4sen x 4cos x + cos x. cos = (4cos x 4sen x) + = cos x Assim, a desigualdade fica: cos x cos x < > 4 sec x 4 sec x Por uma das condições de existência, é obrigatório que π π 4 sec x > cos x > < x <. Considerando todos os 4 4 π π π π intervalos, chegamos em < x < ou < x < A seguir, forneceremos algumas ferramentas que podem ajudá-lo na prova, a respeito destes dois assuntos. sen x + cos x = sec x = cos ecx = ORMULÁRIO DE TRIGONOMETRIA cos x senx órmulas básicas tg x + = sec x x cot gx+ = cosecx senx tgx = cos x cos x cot gx = = senx Soma e subtração de arcos sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a tga + tgb tg(a + b) = sen(a b) = sena.cosb senb.cosa tga.tgb cos( a + b) = cos a.cob sen a.senb cos( a b) = cosa.cob + sena.senb cos x = cos x sen x cos x =.cos x cos x = sen x sen x = sen x sen x x sen = ± cos x Arco duplo Arco triplo Arco metade x + cos x cos = ± tgx tga tgb tg(a b) = + tga.tgb sen x =.senx.cos x.tgx tg x = tg x 3 cos 3 = 4cos 3.cos x x x x tg = ± cos x + cos x (9) 35- Transformação de soma em produto sen( p + q) + sen( p q) =. senp.cosq p + q p q sen p + sen q =.sen cos p q p + q sen p sen q =.sen cos p + q p q cos p + cos q =.cos cos p + q p q cos p cos q =.sen sen sen(p + q) tgp + tgq = cosp.cos q sen(p q) tgp tgq = cos p.cos q LOGARITMOS Definição de logaritmo: a base > e base logbase x = a base = x, onde x > Resumo das propriedades: ) logb (xy) = logb x + logb y ) logb(x / y) = logb x logb y n 3) logb x = n.logb x logc x 4) logb x = (mudança de base) log b c Desigualdades envolvendo logaritmos Base > logbase x > logbase y x > y (crescente) < Base < log x > log y x y (decrescente) base base < PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Um tópico bastante freqüente na prova de Matemática do ITA é determinantes. Vamos relembrar suas propriedades, a partir de algumas definições: Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento a ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>, o determinante D ij, de ordem n -, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a ij. Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-) i+j.d ij. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Cálculo do determinante para ordens e A = (a) det(a) = a = a a A = b c det(a) = ad bc d Propriedades ) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. ) det(a) = det(a t ). 3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. 4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo. 6) det(a - ) = /det A. 7) det(a.b) = det A.det B 8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.a) = k n. det A

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