Distribuições de Probabilidade

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1 Distribuições de Probabilidade Pedro Paulo Balestrassi

2 Conceito Complete a tabela: A freqüência relativa f i =n i /n comumente é associada à probabilidade. Espaço Amostral n(e) Evento n(a) P(A) Resultados de um Exame de Sangue (HIV) 30 Resultados Positivos 3 0,1 Testes de estatistica 14 Resultados > /14 Pedro Paulo Balestrassi

3 Variáveis Aleatórias Pedro Paulo Balestrassi

4 Variáveis Aleatórias Espaço Amostral E Exemplifique Variável Aleatória X Números Reais x Distribuição ou fdp f(x) Distribuição de Probabilidade fdp - Função Densidade Pedro Paulo Balestrassi

5 Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade 64 Pedro Paulo Balestrassi

6 Função de Distribuição Acumulada (F(x)) Suponhamos que a variável aleatória X assuma os três valores 0,1 e 2, com probabilidade 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Pedro Paulo Balestrassi

7 Esperança Matemática Ex.: Seja X uma v.a. que assume os seguintes valores e tenha a seguinte distribuição de probabilidade: Use <Calc> <Calculator> Use o Programa EXCEL E Cálculo da Esperança Matemática X ) = xi f ( x ) = 15(0.56) + 10(0.23) + 5(0.02) + ( 5)(0.19) = 9, 85 ( i Pedro Paulo Balestrassi

8 Esperança Matemática Ex.: Seja X uma v.a. que assume os seguintes valores e tenha a seguinte distribuição de probabilidade: Cálculo da Esperança Matemática E X ) = xi f ( x ) = 15(0.56) + 10(0.23) + 5(0.02) + ( 5)(0.19) = 9, 85 ( i Obs. Z = 1 2X Z 20,10, -10} 1 = {30, Z 2 = X + 2 Z 2 = {17,12, 7,-3} E( Z 1 ) = E(2X ) = 2E( X ) = 19.7 E( Z 2 ) = E( X + 2) = 2 + E( X ) = Pedro Paulo Balestrassi

9 A Variância de uma Variável Aleatória Definimos a variância de X denotada por Var(X), S 2 ou σ 2, da seguinte maneira: [ 2 ( X E( )) ] [ ] 2 ( ) Var( X ) = E X Var( X ) = E X µ Uma outra expressão para a variância é: Var [ ] E( X ) = E( ) 2 ( X ) = E( X ) X µ A raiz quadrada positiva de Var(X) é o desvio padrão de X, DP(X), S ou σ. Pedro Paulo Balestrassi

10 A Variância de uma Variável Aleatória Para o Exemplo Var( X ) = E( X ) E( X ) = E( X ) µ 2 [ ] 2 2 anterior: 2 Use <Calc> <Calculator> Use o Programa EXCEL 7.56 Pedro Paulo Balestrassi

11 Exercício: O tempo T, em minutos, necessário para um operário de uma indústria processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: T P 2 0,1 3 0,1 4 0,3 5 0,2 6 0,2 7 0,1 Use o Programa EXCEL Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de U$ 2.0 mas se ele processa uma peça em menos de 6 minutos, ganha U$ 0.5 por minuto poupado (por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de U$ 1.0). Qual a média e a variância da quantia ganha por peça? Pedro Paulo Balestrassi

12 Exercício: Observe a mudança da distribuição de probabilidade: T P G P Use o Programa EXCEL Pedro Paulo Balestrassi

13 Distribuições Contínuas Área da curva é unitária Probabilidade está associada a área P f ( x) 0 f b ( x) = 1 ( a X b) = f ( x) dx ( b > a a) f(x) => fdp Função densidade de probabilidade Algumas Distribuições Contínuas: Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t) Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Lognormal Weibull Pedro Paulo Balestrassi

14 Distribuição Normal (ou Gaussiana) Observe no programa Quality Gamebox o Processo de Construção de uma Distribuição Normal. A distribuição mais importante em Estatística ( The Bell Curve ) Aplicação: Cite variáveis, em sua área de interesse, que tem uma distribuição Normal. Complete a tabela Descrição da Variável Média (estimada) Desvio Padrão (estimada) Pedro Paulo Balestrassi

15 Statdisk Use o programa Statdisk <Analysis> <Probability Distribution> <Normal Distribution> Observe em <Options> os valores acumulados Pedro Paulo Balestrassi

16 <Calc> <Probability Distributions> Pedro Paulo Balestrassi

17 Exercício Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida: a) Entre 100 e 115 b) Entre 100 e 90 c) Superior a 110 d) Inferior a 95 e) Inferior a 105 f) Superior a 97 g) Entre 105 e 112 h) Entre 89 e 93 i) 98 Dica: Crie uma coluna com os valores no Minitab Crie uma coluna com os valores 0,74...0,32... no Minitab Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade: a) P(X>k)=0,26 b) P(X<k)=0,32 c) P(k1<100<k2)=0,47 (k1 e k2 simétricos em relação a 100) Pedro Paulo Balestrassi

18 Target e Upper Spec. Limit X : N ( µ ; σ ) mm Ponto de Inflexão 1s 1s p(d) TT 3s USL Pedro Paulo Balestrassi

19 Normal Reduzida ou Padronizada ϕ(z) z = x µ σ Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados Z Bench z Z: N(0; 1) µ-3σ µ -2σ µ -σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ x : N( µ ; σ ) Pedro Paulo Balestrassi X Qual o formato da curva acumulada?

20 Regra Alguns intervalos simétricos que são usados freqüentemente. Probabilidade do valor da amostra 40% 30% 20% 10% 0% -4-3 P(µ σ X 1.00 σ) = P(µ σ X µ σ) = 0.90 P(µ σ X µ σ) = 0.95 P(µ σ X µ σ) = P(µ σ X µ σ) = 0.99 P(µ σ X µ σ) = % 95% 99.73% 0 Número de Desvios Padrão da Média Pedro Paulo Balestrassi

21 Exemplo Cumulative Probability Suponha que X: N(100; 2) e que desejamos avaliar P(X 104). P(x 104) = = F(104) z0 = 2 z x z = = Φ( 2) = Pedro Paulo Balestrassi

22 Exemplo Usando Normal Reduzida A tensão de ruptura (em newtons) de uma fibra sintética é representada por X e distribuída como N(800; 12). O controle de qualidade na fabricação da fibra exige uma tensão de no mínimo 772 N. Uma amostra da fibra é randomicamente testada. A probabilidade de obtermos P(X 772) é obtido a partir de: P ( ) X < x µ = P σ = P = Φ < ( Z < 2.33) ( 2.33) = σ = 3 σ = 1 P(X 772)=1 - P(X <77 2) = x z Pedro Paulo Balestrassi

23 Normal Probability Plot Gere uma sequência de dados qualquer. Ex.: 100 valores Weibull (5,8) e faça o gráfico Probability Plot Percent % 10% 10% 10% 10% 10% 1 Observe: Dados no eixo X Data e Espaços diferentes no eixo Y são Propositais devido aos percentis da curva Normal! Pedro Paulo Balestrassi

24 Testando Normalidade 3 Maneiras de Ver se Seus Dados estão Distribuídos Normalmente Normal Probability Plots Norm al Distribution Frequency Frequency Frequency C1 Normal Probability Plots C2 Normal Probability Plots C3 Probability A verage: 70 S td Dev: N of dat a: 500 Probability A verage: 70 S td Dev: 10 N of dat a: 500 Probability Normal 100 Pos Skew Po sitive Skewed Distribution Neg Skew 96 p-val ue: Anderson-Darl ing Normali ty Test A-Squared: Anderson-Darl ing Normali ty Test 60 A-Squared: p-val ue: A verage: 70 Anderson-Darl ing Normali ty Test Pedro Paulo Balestrassi S td Dev: 10 A-Squared: AlliedSignal N of dat a: 500 Ne gative Skewe d Dis trib utio n p-val ue: Se Se o Teste de de Normalidade mostrar um "valor-p" Menor que 0,05, então os os dados NÃO ESTÃO bem representados por uma distribuição normal Used With Permission Dr. Steve Zinkgraf

25 Teste Anderson-Darling A distribuição pode ser considerada Normal Exercício: Gere diferentes sequências de dados de uma forma aleatória e teste a normalidade usando o Minitab Pedro Paulo Balestrassi

26 Soma de Normais Processo A Processo B Tempo Total (A+B)? 3 7 X X = 3 = 7 s = 1 s = 2 S A+ B = S 2 A 1+ 2 = 3 + S 2 B = (1) 2 Incorreto; + (2) 2 = 5 = 2.23 Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão Pedro Paulo Balestrassi

27 Diferença de Normais Linha A Diferença: Linha A Linha B Linha B? XA B = XA - XB = 3-7 = - 4 X = 3 X = 7 s = 1 s = 2 S A B = S 2 A + S 2 B = (1) 2 + (2) 2 = 5 = 2.23 Correto 1 2= 1 Incorreto Pedro Paulo Balestrassi

28 Pratique O orçamento de uma empresa para uma certa conta é R$ 100. Variações de 3% acima e abaixo deste valor são consideradas aceitáveis, ou seja, de R$ 97 a R$ 103. Sabese, pela análise de dados históricos, que a variação nesta conta obedece à distribuição normal, com média de R$ 99 e desvio-padrão de R$ 1,25. Que porcentagem de vezes o orçamento encontra-se fora da faixa aceitável? Resp 5,55% Pedro Paulo Balestrassi

29 Exercícios 1. Em um banco há uma norma de que nenhum cliente deve permanecer na fila por mais de 15 minutos. Se o tempo de espera é normal, com média 9,45 minutos e desvio-padrão de 2,75 minutos, em que porcentagem das vezes a norma não é cumprida? 2. O tempo que Alarico leva do seu trabalho até sua casa tem distribuição normal, com média 90 minutos e desvio-padrão de 5 minutos. Qual é a probabilidade dele levar mais do que 110 minutos no trajeto? 3. Uma pessoa precisa pegar um trem que parte pontualmente em 20 min, podendo optar por dois trajetos para chegar à estação: T 1 ou T 2. Sabe-se que o tempo para percorrer T 1 é normal com média 18 min e desvio-padrão de 5 min, e idem para T 2, mas com média 20 min e desvio-padrão 2 min. Qual é a melhor decisão de trajeto? Sabendo que o trem está com atraso de 3 min, qual é a melhor decisão agora? Pedro Paulo Balestrassi

30 Distribuição Uniforme Pratique no Minitab: O raciocínio é o mesmo que para distribuições normais 1/3 f(x) 3 6 x Medidas de uma certa temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. Qual a probabilidade de termos uma temperatura: a) entre 3 e 4? b) Maior do que 5? c) Igual a 4? Observe o cálculo simples de área. Pedro Paulo Balestrassi

31 Distribuição Exponencial f ( x) = λ λ x e, x 0 com λ R,( λ > 0) = 0, outros valores E( X ) = DP( X ) = 1 λ Ex.: Um componente eletrônico é conhecido por ter sua vida útil representada por uma fdp exponencial com tempo médio de falha E(X) de 10 5 horas (logo λ = 10-5 ). Suponha que desejamos determinar a fração de componentes que poderão falhar antes da vida média ou valor esperado. λ f(x) P T 1 1 λ λx λx 1 λ = 0 λe = dx = e 1 0 λ = 1 e Esse resultado indica que 63,212% x dos componentes irão falhar antes de 10 5 horas. E( X ) = 1 λ Pedro Paulo Balestrassi

32 Distribuições Discretas Algumas Distribuições Discretas A Distribuição Binomial A Distribuição de Poisson A Distribuição Geométrica A Distribuição de Pascal A Distribuição Multinomial A Distribuição Hipergeométrica A soma das frequências é unitária n i= 1 f f ( x ) i 0 ( ) = 1 x i ( X = x ) f ( ) P = i x i A probabilidade é a frequência Ex.: Reclamações de clientes num período, número de erros em um relatório, porcentagem de peças defeituosas num lote, etc. Pedro Paulo Balestrassi

33 A Distribuição Binomial Use o programa Statdisk <Analysis> <Probability Distribution> <Binomial Distribution> Observe em <Options> os valores acumulados Pedro Paulo Balestrassi

34 A Distribuição Binomial Ex.: A probabilidade de um teste Burn in / Burn out queimar um componente eletrônico é 0,2. Colocando-se três componentes sob teste, qual a probabilidade de que pelo menos dois deles se queime? x E = {QQQ, QQN, QNQ, NQQ, NNQ, NQN, QNN, NNN} onde Q e N representam a queima ou não do componente P(x) P ( X = x) n x n x = p (1 p) x = 0 para outros P{NNN} = P(X = 0) = q 3 = (0.8) 3 P{NNQ} + P{NQN} + P{QNN} = P(X = 1) = 3pq 2 = 3(0.2)(0.8) 2 P{QQN} + P{QNQ} + P{NQQ} = P(X = 2) = 3p 2 q = 3(0.2) 2 (0.8) P{QQQ} = P(X = 3) = p 3 = (0.2) 3 x = 01,,2, Ln valores P(X 2) = P(X=2) + P(X= 3) = 3p 2 q + p 3 = = 10,4% E(X) = np e Var (X) = npq X: Número de Queimas Q Faça no Minitab! Pedro Paulo Balestrassi

35 Exercício Suponha que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0.2 de funcionar durante o tempo de garantia. São ensaiadas 20 válvulas. a) Qual a probabilidade de que delas, exatamente k, funcionem durante o tempo de garantia (k = 0, 1, 2,... 20)? b) Qual a probabilidade de que 4 funcionem durante o tempo de garantia? c) Qual o número médio e a variância de lâmpadas que irão funcionar durante o tempo de garantia? Aqui: X Número de válvulas que funcionam durante o tempo de garantia. p = 0.2 X = 0, 1, 2, Pedro Paulo Balestrassi

36 Resposta E(X) = np e Var (X) = npq P(X = x) com média E(x) = np = 20.(0.2) = 4 e desvio padrão npq = P( X = k) 20 = k 20 ( ) k ( ) k Pedro Paulo Balestrassi x

37 A Distribuição de Poisson α k e α P( X = k) = X = 0,1, 2, L k! E( X ) = Var( X ) = α O Processo de Poisson Ex.: Em uma experiência de laboratório passam, em média, por um contador, quatro partículas radioativas por milissegundo. Qual a probabilidade de entrarem no contador seis partículas em determinado milissegundo? Utilizando a distribuição de Poisson com α = 4, temos então que: P( X = 6) = e 4 4 6! 6 = Pedro Paulo Balestrassi

38 A Distribuição de Poisson Ex.: Chegam, em média, 10 navios-tanque por dia a um movimentado porto, que tem capacidade para 15 desses navios. Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais navios tanque tenham de ficar ao largo, aguardando vaga? Temos aqui que, para α = 10: P( X > 15) = 1 P( X 15) = = Ex.: Uma central telefônica recebe em média 300 chamadas por hora e pode processar no máximo 10 ligações por minuto. Estimar a probabilidade de a capacidade da mesa ser ultrapassada. Temos agora: α = 300/60 = 5 chamadas/minuto em média P( X > 10) = 1 P( X 10) = = = 1,4% Pedro Paulo Balestrassi

39 Aproximação da Distribuição Binomial Ex.: Consideremos um experimento binomial com n = 200, p = 0.04 em que se pede a probabilidade de, no máximo, 5 sucessos. O cálculo direto é impraticável, usando a Distribuição Binomial P( X 5) = 5 k = (0.04) k k (0.96) 5 k α = np = (200) (0.04) = 8 P(X 5) = Obtido de Tabela (ou micro) usando a Distribuição de Poisson Pedro Paulo Balestrassi

40 Aproximação da Distribuição Binomial Ex.: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. a) Determinar a probabilidade de que de indivíduos injetados, exatamente 3 tenham reação negativa. Usando a distribuição binomial com n = e p = temos: P( X = 3) = (0.001) (0.999) 3 O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pela aproximação de Poisson temos: 2 3 α = np = (2000) (0.001) = 2 P( X = 2 3! = b) Determinar a probabilidade de que de indivíduos injetados, mais de 4 tenham reação negativa. P( X > 4) = 1 [ P( X = 4) + P( X = 3) + P( X = 2) + P( X = 1) + P( X = 0) ] e 2 e 2 e 2 e 2 = ! 3! 1! 0! = 1 e = Pedro Paulo Balestrassi ) = e

41 Exercício A quantidade média de caminhões que chegam a uma empresa por dia é de 60 veículos. As instalações podem atender até um total de 75 veículos por dia. Qual a probabilidade de que caminhões fiquem esperando na fila? Qual a probabilidade de que em uma semana com 6 dias trabalhados, caminhões fiquem em fila em dois dias? Pedro Paulo Balestrassi

42 Crystal Ball Lidando com Distribuições no Excel Crystal Ball é um software que roda em Excel; Y=f(X) Y é a resposta de um modelo e X é representada por uma (ou mais) Distribuição de Probabilidade O método de geração de repetidas amostras de X com o respectivo cálculo de Y é chamado de Simulação de Monte Carlo. Pedro Paulo Balestrassi

43 Crystal Ball - Detalhes Crystal Ball... é usado apenas em processos que possam ser modelados pelo Excel. Em casos mais complexos, softwares como o ARENA ou ProModel são melhores; só pode fazer previsões dadas as suas suposições iniciais. Portanto, suposições pobres originarão resultados pobres! deveria ser usado para aproximações. Os valores extremos não são confiáveis; Pedro Paulo Balestrassi

44 Simulação: Crystal Ball Utilize o Crystal Ball para... fazer previsões das saídas na forma de amplitude de valores associados às suas probabilidades fornecer estatísticas da variável de saída ajustar distribuições aos dados de entrada ou saída realizar análise de sensibilidade das variáveis independentes do modelo. Pedro Paulo Balestrassi

45 Exemplo Imagine-se como um potencial comprador de um complexo de apartamentos. Você deseja comprá-los e, posteriormente, alugá-los. Após uma pesquisa de mercado, você verifica que o número de unidades alugadas em qualquer mês está entre 30 e 40 unidades. O valor do aluguel na região do complexo é de aproximadamente $500/mês, e as despesas mensais de aproximadamente $ Quão lucrativo você espera que seja o seu empreendimento? Pedro Paulo Balestrassi

46 Passo 1: Crie a planilha no Excel Planilha Excel Crie uma equação para a previsão de Y Pedro Paulo Balestrassi

47 Barra de Ferramentas do Crystal Ball A seguinte barra deve aparecer no Excel O Crystal Ball é uma adds in. Pedro Paulo Balestrassi

48 Passo 2: Defina suposições Defina suas suposições (X) usando o conhecimento e os dados do processo Número de Unidades alugadas: é uma Distribuição Uniforme com amplitude entre 30 e 40; Selecione a célula correspondente ao Número de unidades alugadas (D5); Selecione DEFINE ASSUMPTION na barra de ferramentas; em seguida, selecione: Uniform Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER Pedro Paulo Balestrassi

49 Distribution Gallery Pedro Paulo Balestrassi

50 Aluguel por unidade Aluguel por unidade: Distribuição Triangular, com valor mais provável de $500/mês, com valor mínimo de $450 e máximo de $575. Selecione a célula correspondente ao valor do aluguel (D6); Selecione DEFINE ASSUMPTION e escolha Triangular Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER, e depois em OK. Pedro Paulo Balestrassi

51 Triangular Distributiom Pedro Paulo Balestrassi

52 Despesas Mensais Despesas Mensais: Distribuição Normal com média $ e Desvio Padrão de $1.000; Selecione a célula correspondente à Despesas Mensais (D7); Selecione DEFINE ASSUMPTION, selecione: Normal Distribution, Click OK. Entre com os valores conforme indicado. Click ENTER, e OK. Pedro Paulo Balestrassi

53 Normal Distribution Pedro Paulo Balestrassi

54 Passo 3: Y (Lucro ou Prejuízo) Defina a variável de previsão Y Selecione a célula correspondente ao LUCRO OU PREJUÍZO (D9) Selecione DEFINE FORECAST ; Pedro Paulo Balestrassi

55 Y (Lucro ou Prejuízo) Pedro Paulo Balestrassi

56 Passo 4: Simulação de Monte Carlo Defina suas preferências para rodar a simulação; Entre com: Número máximo de Interações (Simulações) (Trials) Informe o critério de parada da simulação; Selecione OPTIONS: Selecione Sensitivity Analysis Click OK Pedro Paulo Balestrassi

57 Run Preferences Pedro Paulo Balestrassi

58 Passo 5: Rodando a Simulação Pedro Paulo Balestrassi

59 Resultados: Forecast Qual a probabilidade do empreendimento ser lucrativo? Entre com ZERO no limite inferior (Isto significa a probabilidade de se ter lucro com o negócio P(X>0)). Pedro Paulo Balestrassi

60 Resultados: Statistics / Percentiles Pedro Paulo Balestrassi

61 Resultados: Statistics Pedro Paulo Balestrassi

62 Resultados: Percentiles Pedro Paulo Balestrassi

63 Resultados: Best Fitting Para uma previsão particular, uma Distribuição de Probabilidades pode ser ajustada aos dados. Pedro Paulo Balestrassi

64 Resultados: Best Fitting Pedro Paulo Balestrassi

65 Resultados: Best Fitting Pedro Paulo Balestrassi

66 Resultados: Best Fitting Vá clicando em NEXT DISTRIBUTION até encontrar a distribuição que melhor se ajusta aos dados. Pedro Paulo Balestrassi

67 Resultados: Best Fitting Ao encontrá-la, clique em Accept e OK. Como fazer isso no Minitab? Pedro Paulo Balestrassi

68 Resultados:Análise de Sensibilidade Quanto maior for a porcentagem, maior a colaboração da variável para o valor de Y. Pedro Paulo Balestrassi

69 Crystal Ball: Outras Funções Para copiar e colar células de suposição Para rodar a simulação novamente Para criar relatórios Pedro Paulo Balestrassi

70 Relatórios Crystal Ball criará um relatório de resumo dos resultados. Isto inclui gráficos e objetos que poderão ser copiados para o Word ou Powerpoint. Pedro Paulo Balestrassi

71 Churrasco Faça o planejamento de um churrasco usando uma planilha Excel com o Crystal Ball. Faça estimativas do número de convidados, preço de ingredientes, custos, aluguel, etc... Obtenha a distribuição do custo por indivíduo, etc... Pedro Paulo Balestrassi

72 À luta! Livro Texto: Montgomery/Runger Capítulo 3: Seção 3.8 Capítulo 4: Seção 4.4 Seção 4.6 Seção 4.9 Capítulo 5: Seção 5.6 Seção 5.9 Resolva exercícios com resposta! Pedro Paulo Balestrassi