Área Principal: Logística e Transportes

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1 Uma Heurística para Roteamento de Frota de Veículos para a Distribuição de Bebidas em uma Região Urbana Marco Antônio Farah Caldas Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria, 156, Bloco E, Niterói, RJ, mcaldas@producao.uff.br Davidson de Almeida Santos Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria, 156, Bloco E, Niterói, RJ, RESUMO O roteamento de veículos em áreas urbanas coloca-se como um dos principais problemas da área de logística. Esse alto nível de complexidade deve-se a multiplicidade de restrições que devem ser consideradas para este tipo de problema e ao impacto gerado em custos no momento em que o roteamento de veículos mostra-se pouco eficiente. Esse estudo desenvolve uma análise comparativa em relação às heurísticas alternativas para roteamentos de frotas de veículos normalmente usadas como apoio à decisão em logística de distribuição em regiões metropolitanas de média e grande complexidade. O estudo tem como objetivo contribuir com análises que permitirão uma melhor compreensão do problema de roteamento em áreas urbanas e verificar em que cenários as alternativas de roteamento adaptam-se melhor quando levados em consideração fatores como custos de transporte e produtividade da frota. O estudo leva em consideração todas as variáveis e restrições relativas a uma operação logística de distribuição em densas áreas urbanas e traz uma aplicação em uma empresa distribuidora de bebidas. PALAVRAS CHAVE: Otimização, Heurísticos, Logística e Roteamento de Veículos Área Principal: Logística e Transportes ABSTRACT Routing vehicles in urban areas poses a major problem in the area of logistics. This high level of complexity occurs due to the multiplicity of restrictions that must be taken into account in this kind of problem. A non appropriate model might lead to unnecessary high costs and inefficient routing. This study develops a comparative analysis on routing alternatives using a set of algorithms with a crescent complexity. Scenarios are built and tested using data from daily logistics operation of a beverage company. The study aims to contribute for a better understanding of the Vehicle le Routing Problem VRP when vehicles are routed in urban areas and have to follow a complex set of restrictions. KEYWORDS. Optimization, Heuristics, Logistics, Vehicle Routing Problem. Main Area: Logistics and Transportation 813

2 1. Introdução As atividades de distribuição de empresa compreendem toda a movimentação e estocagem de bens. Segundo Christofides (1981) a última etapa nessa movimentação (da central de distribuição para os consumidores), constitui-se como o elo mais caro da cadeia de distribuição. Para Bodin et al. (1983) o sucesso na realização dessa etapa depende do desenvolvimento racional do planejamento e execução da atividade de transporte. A relevância dos problemas de distribuição está relacionada à magnitude dos custos associados a essa atividade. Conseqüentemente, torna-se evidente a relevância dos problemas de distribuição e, por conseguinte as questões referentes ao sistema de roteamento e programação de veículos, já que estas se constituem como os fatores que determinarão o quão eficiente será a distribuição de determinado produto. O sistema de roteamento é definido como um conjunto organizado de meios que objetiva o atendimento de demandas localizadas nos arcos e/ou nos vértices de alguma rede de transportes. No caso de roteamento de veículos, o objetivo mais comum é utilizar-se de uma frota de veículos para atender a um conjunto de pedidos de entrega, cujas demandas estão localizadas nos nós da rede denominados destino. Para atender a esses pedidos, um conjunto de restrições deve ser respeitado. Essas restrições podem ser as mais diversas, como: capacidade limitada dos veículos, capacidade limitada dos arcos ou dos nós; tamanho da frota; quantidade de nós; tempo de entrega; etc. As inúmeras pesquisas sobre a roteamento de veículos colocam essa área de estudo como um dos maiores sucessos da pesquisa operacional nas últimas décadas. Isso se deve a atuação conjunta entre teoria e prática. Por um lado a pesquisa operacional tem desenvolvido cada vez mais algoritmos que tem um importante papel na implementação de sistemas de roteamento. Por um lado tem-se o desenvolvimento crescente de software e hardware que permitem a execução dos algoritmos estruturados pela área de pesquisa operacional. Este fato também é comprovado pelos inúmeros artigos que vêm sendo publicados ao longo dos anos na literatura especializada. 2. O Problema de Roteamentos de Veículos (Vehicle Routing Problem - VRP) O termo Roteamento de Veículos, enunciado inicialmente em Dantzig e Ramser (1959), apresenta um conjunto de depósitos e um conjunto de clientes dispersos em pontos geográficos, um conjunto de demandas de transporte entre pares de pontos e uma frota de veículos. O objetivo é criar rotas para que os veículos possam transportar as demandas, respeitando uma série de restrições operacionais e minimizando os custos envolvidos. Cada rota se inicia em um depósito e termina no mesmo, formando um ciclo. Esse tipo de problema aparece em um grande número de situações. Pode citar atividades como entrega ou recolhimento de mercadorias, transporte de pessoas, coleta de lixo, entrega postal, operações de fretes, entre outras. Todas essas variantes pertencem ao grupo de problemas NP-Difíceis, ou seja, sua resolução exata provavelmente exige um esforço computacional que cresce exponencialmente com o número de clientes a serem atendidos. Isso não impede que se construam algoritmos heurísticos capazes de encontrar soluções de excelente qualidade para problemas de grande porte, com várias centenas de clientes. O termo roteamento de veículos constitui-se como o processo para a determinação de um ou mais roteiros ou seqüências de paradas a serem cumpridos por veículos de uma frota, objetivando visitar um conjunto de pontos geograficamente dispersos, em locais prédeterminados, que necessitam de atendimento. Além deste deve-se destacar o termo roteirização de veículos que também é utilizado alternativamente por alguns autores. Segundo Laporte e Semet (2002) o problema de roteamento de veículos consiste em definir roteiros de veículos que minimizem o custo total de atendimento, sendo que cada um dos quais deve iniciar e terminar no depósito ou base dos veículos, assegurando que cada ponto seja visitado exatamente uma vez e a demanda em qualquer rota não exceda a capacidade do veículo que a atende. Em contrapartida segundo Cunha (1997) o Problema de Roteamento de Veículos envolve não só aspectos espaciais ou geográficos, mas também temporais, tais como restrições de 814

3 horários de atendimento nos pontos a serem visitados, os problemas são então denominados roteirização e programação de veículos. Para Christofides (1981) o problema de distribuição/roteamento de veículos é considerado como sendo aquele em que os veículos, localizados em um depósito central são requisitados para visitar durante um dado período de tempo clientes geograficamente dispersos, para cumprir suas exigências. Este tipo de problema encontra-se presente em inúmeras situações através das quais se têm as necessidades de distribuir determinada(s) mercadoria(s). Para alguns autores o Problema de Roteamento de Veículos é conhecido como Programação de Veículos (Clark e Wright, 1964; Gaskel, 1967), Despacho de caminhões - Trucks Dispatching - (Dantzig e Ramser, 1959; Christofides e Eilon, 1964). Coexiste uma série de variações do Problema de Roteamento de Veículos, nas quais as operações podem ser de coletas e/ou entregas e o nível de serviço e os veículos podem assumir muitas variedades. Existe uma considerável quantidade de trabalhos acadêmicos que tratam do Problema de Roteamento de Veículos e suas extensões. Pode-se citar como trabalhos importantes na literatura: Laporte (1997) e Laporte, Osman (1995), Golden e Assad (1998), Toth e Vigo (2002), Laporte e Semet (2002) e Aronson (1995). Variantes do VRP: VRP com Restrições de Capacidade - existe uma frota de veículos idênticos, todos com certa capacidade e um único depósito. As demandas são sempre todas do depósito para um cliente (ou todas dos clientes para o depósito). O objetivo é atender as demandas respeitando a capacidade dos veículos. Cada cliente só é visitado por um único veículo. O objetivo é encontrar um conjunto de rotas com menor custo. Não há restrições adicionais sobre as rotas, essa é provavelmente a mais básica variante do PRV; VRP com restrições de Janela de Tempo - é o mesmo problema anterior, com a restrição adicional de que cada cliente só pode ser atendido durante certo horário, chamado de janela de tempo. Essa variante, exige que se conheçam os tempos de deslocamento dos veículos, bem como os tempos de atendimento em cada cliente. VRP com Frota Heterogênea podem existir vários tipos de veículos na frota, com diferentes capacidades, tempos de deslocamento e custos operacionais. Normalmente, existem as chamadas restrições de docagem, determinados clientes não podem ser atendidos por certos tipos de veículos. VRP com Entrega Dividida - é a extensão do PRVC em que é permitido que um cliente possa ser atendido por diferentes veículos se isto possibilitar uma redução do custo da rota.; VRP com Entrega e Coleta nesse caso, pode haver demandas que são coletadas em um determinado cliente para serem entregues em outro cliente. As rotas ainda devem se iniciar e terminar no depósito. VPR Multi-depósito nesse caso, os veículos estão distribuídos por vários depósitos. Eventualmente, uma rota pode começar em um depósito e terminar em outro. As variantes apresentadas acima são apenas amostras dos tipos de VPR que podem ocorrer na prática. Existem um número considerável de outras restrições e combinações destas restrições que geram novas extensões. Algumas dessas restrições, não mencionadas anteriormente são: prioridade de entrega e/ou recolhimento, restrição quanto ao horário de uso de um veículo, restrições relacionadas a motoristas, taxa de ocupação mínima dos veículos, valor máximo da carga embarcada em um veículo, entre tantas outras. Nesse estudo, foi utilizado o Problema Generalizado de Atribuição - PGA (Fisher, M.L. e Jaikumar,R 1981) com a aplicação de relaxação e reformulação do PGA para um problema de cobertura de conjuntos. Esses conjuntos se baseiam na formação de agrupamento de clientes, fazendo com que rotas de territórios diferentes não tenham interação alguma. Cada conjunto é resolvido através da aplicação do algoritmo do caixeiro viajante. Além disso, internamente à essas soluções simples de programação linear, são aplicados métodos r-opt nos quais ocorre interação entre as rotas, apresentando um grau crescente de possibilidade de inserção de clientes 815

4 de outra rota. Os territórios são demarcados através de regiões geográficas específicas de uma determinada região metropolitana. Formulação do PGA aproximado ao VRP. Para cada veículo, uma semente para localização de zonas de operação de um veículo é escolhida. Isso permite o cálculo de uma medida aproximada de uma distância extra percorrida se o cliente j é servido pelo veículo i. Assumindo uma matriz simétrica de distâncias dij, um veículo viajando do depósito 0, para a distância semente i, e retornando, viajaria uma distância total de 2d 0i. Se esse veículo visitar o cliente j durante sua viagem total (ida e volta), a distância adicional viajada será: c ij =d 0j +d ij d 0i. A quantidade cij pode ser usada como uma medida aproximada, permitindo PGA de ser formulado de tal maneira que sua função objetivo é uma aproximação da distância total percorrida na solução do VRP. Seja: Se wj é a demanda dos produtos requeridos pelo cliente j, j = 1,,n, e Wi é a capacidade do veículo i, i = 1,,m, então a formulação do PGA é dada por: (1) (2) x ij {0,1} for all i and j. O último somatório na função objetivo é incluído para fazer uma aproximação da distância total percorrida. Esse termo pode ser ignorado quando ele for uma constante. O número de veículos, m, deve ser fixado para que as sementes possam ser escolhidas. No entanto, o PGA pode ser resolvido para diferentes valores de m para o número de veículos os quais minimizem a distância total ou, alternativamente, para determinar o número mínimo de veículos que admitam uma solução possível. A heurística usa relaxação Lagrangeana das restrições em (2) (Baker, B.M., Sheasby, J. 1999). Com a alocação de clientes à veículos, uma heurística do caixeiro viajante (Traveling Salesman Problem TSP) pode ser aplicada a cada veículo, no entanto, na formulação do PGA descrita acima, isso não é necessariamente feito para toda solução possível gerada. Quando isso é feito, uma aproximação rápida pode ser obtida através de heurísticas de buscas locais. Essas heurísticas têm como objetivo a redução gradativa dos custos das rotas. Para isso, ela se baseia em três conceitos fundamentais: mecanismo para alterar a solução inicial, estratégias de soluções alternativas e critério da parada. A solução é melhorada/aperfeiçoada por intermédio de trocas sucessivas de arestas visando à redução dos custos das rotas. Dentre esses o mais utilizado é o r- 816

5 opt, onde r é o número de arestas a serem trocadas. Nesse processo de geração de soluções por intermédio da troca de arestas o objetivo é encontrar uma solução superior a anterior, no momento que não houver mais possibilidade de melhorias tem-se a solução denominada r-ótima. Devendo-se destacar que quanto maior o valor de r melhor será a solução obtida, porém, maior será o tempo computacional empregado. Rota 1 a Rota 2 a b d b d c e c e 0 0 Figura 1: Representação gráfica do método r-opt da troca de nós na rota A figura 1 mostra um exemplo de busca local com a aplicação do movimento 2-opt. Com a inserção de dois clientes na rota 1 e a mudança na seqüência da mesma, a solução foi aperfeiçoada comparativamente a primeira solução na qual a rota atendia aos nós com um custo superior à segunda. Mediante isso, tem-se a eliminação das arestas (a,0) e (d,c) e a adição das arestas (d,a) e (c,0).vários autores têm desenvolvido heurísticas de buscas locais (Uchoa, E, Caldas, M, Lima, F.Q. e Drummond, L. 2006) A seguir serão apresentadas os cenários de roteamento que foram criados e testados a partir das seguintes características básicas: pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e próximos uns dos outros, pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e afastados um dos outros e pontos de venda ao redor de um Centro de Distribuição. 3- Análises comparativas de cenários de roteamento Para a implementação das análises comparativas baseadas na utilização do algoritmo descrito anteriormente, foram criados cenários específicos. Como foi apresentado anteriormente, dois cenários baseados na configuração espacial da região metropolitana foram criados: 1- Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e próximos uns dos outros. Esse cenário refere-se à situação na qual existem pontos concentrados em uma determinada área e que são muito próximos um dos outros, viabilizando a possibilidade de interação entre as rotas que realizarão o atendimento desta área. 2- Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e afastados um dos outros. Esse cenário refere-se à situação na qual se tem pontos concentrados em uma determinada área, porém, afastados um dos outros. O número de pontos atendidos, bem como a frota foram exatamente iguais ao cenário 1. Outro aspecto importante na formação dos cenários simulados de roteamento refere-se aos itens que compõem os parâmetros de roteamento e que se colocarão como restrições a resolução das dos cenários. Esses parâmetros são: distância por rota, número de clientes por rota, tempo em rota, tempo de deslocamento, tempo de espera por rota e número de rotas, média máxima de quilômetros por hora, tempo máximo antes da hora extra e remuneração por hora e 817

6 por hora extra da equipe de entrega, o custo por quilometragem percorrida e o custo por hora. Os demais itens não serão utilizados em virtude de sua difícil mensuração e de não estarem prontamente registrados em nenhuma fonte de informação da empresa distribuidora de bebidas. Os itens distância por rota, número de clientes por rota, tempo em rota, tempo de deslocamento, tempo de espera por rota foram calculados por intermédio da média e o maior valor registrado, em cada nível de volume, das rotas que realizam o atendimento das áreas (pontos concentrados próximos um dos outros, pontos concentrados e afastados um dos outros e pontos concentrados ao redor da Central de Distribuição CDD) descritas no primeiro parágrafo. Para essa mensuração foram analisados cerca de 206 dias de entrega excetuando-se Domingo. Para o desenvolvimento das análises comparativas serão consideradas 4 alternativas de roteamento: alternativa (1) baseado no algoritmo de Fisher e Jaikumar priorizando a formação de grupos de pontos de venda (clusterização), fazendo com que as rotas sejam formadas com pontos de venda do mesmo território; alternativas (2), (3) e (4) são baseadas em variações crescentes da possibilidade de inserção e redução de rotas (r-opt). Na Figura 2 é apresentado um fluxo que relaciona as alternativas de roteamento em relação ao embasamento teórico que estrutura a forma de resolução das mesmas: Alternativa de roteamento (1) Fisher e Jaikumar (1981) Baseia-se na formação de agrupamento de clientes, fazendo com que rotas de territórios diferentes não tenham interação alguma. Alternativa de roteamento (2) Alternativa de roteamento (3) Alternativa de roteamento (4) Uso do algoritmo de Fisher e Jaikumar com a inserção dos métodos r-opt nos quais ocorre interação entre as rotas, apresentando um grau crescente (2-opt,3- opt e 4opt) de possibilidade de inserção de clientes de outra rota. Figura 2: Fluxo relacionando as alternativas de roteamento em relação as suas características básicas de resolução. Cenário (1): Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e próximos uns dos outros. Alternativas Tempo Médio em Rotas (h: mm) Média de Km Nº Rotas Custo total (R$) Recarga (nº viagens) Alternativa (1) 05: Alternativa (2) 05: Alternativa (3) 05: Alternativa (4) 05: Tabela 1 Resultados do Cenário 1 818

7 Cenário (2): Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e afastados um dos outros. Alternativas Média de Tempo (h: mm) Média de Km Nº Rotas Custo total (R$) Recarga (nº viagens) Alternativa (1) 5: Alternativa (2) 6: Alternativa (3) 8: Alternativa (4) 8: Tabela 2 Resultados do Cenário 2 Pode-se notar com os resultados acima que, para duas situações espaciais diferentes, onde as condições logísticas são exatamente as mesmas, uma modelagem se mostrou bastante superior à outra, usando-se o mesmo conjunto de algoritmos. Apesar de os centros de gravidade de ambas as regiões relativas ao cenário 1 e cenário 2 ficarem a uma distância semelhante com relação ao centro de distribuição da empresa e o número de pontos atendidos foi exatamente o mesmo nos dois casos, o que mudou foi a lógica de sequenciamento de rotas. Tanto os tempos médios em rota como os custos para a forma geográfica do cenário 1 foram substancialmente menores levando à conclusão que essas heurísticas funcionam melhor na situação (a) mostrada na figura abaixo. A figura abaixo mostra as possíveis formas de distribuição espacial dos pontos a serem atendidos pelos veículos com relação a um centro de distribuição. A figura (a) representa a forma geográfica do cenário 1 e a figura (d) representa a forma geográfica do cenário 2. Figura 3 Possíveis formas geográficas de posicionamento de clientes a serem atendidos em relação a um Centro de Distribuição 819

8 4 Conclusão e Comentários O trabalho teve como objetivo precípuo a adequação das alternativas de roteamento em relação a dois cenários simulados que tiveram como característica básica o posicionamento geográfico dos pontos de venda em relação a uma central de distribuição. Para o desenvolvimento das análises comparativas foram consideradas 4 alternativas de roteamento: alternativa (1) baseado no algoritmo de Fisher e Jaikumar priorizando a formação de grupos de pontos de venda (clusterização), fazendo com que as rotas sejam formadas com pontos de venda do mesmo território; alternativas (2), (3) e (4) são baseadas em variações crescentes da possibilidade de inserção e redução de rotas (r-opt). Esses algoritmos foram os mesmos para dois cenários: - Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e próximos uns dos outros, - Pontos de venda concentrados em uma determinada região geográfica e afastados um dos outros. Um melhor desempenho dos algoritmos foi encontrado para o cenário 1. Nesse cenário, tanto os tempos médios em rota como os custos foram substancialmente menores levando à conclusão que esses algoritmos funcionam melhor para essa situação. No entanto, as heurísticas r-opt funcionaram melhor no cenário 2 mostrando que talvez nesse caso a troca de nós e links pode trazer uma melhoria mais significativa nesses casos. Referências Aronson L. D., (1995). Algorithms for vehicle routing A survey. Faculty of Technical Mathematics and Informatics. Baker, B.M., Sheasby, J. (1999) Extensions to the generalised assignment heuristic for vehicle routing European Journal of Operation Research Bodin, L. D.; Golden, B.; Assad, A.; Ball, M. (1983). Routing and scheduling of vehicle and crews: The state of the art. Computers and Operational Research Clarke, G. & Wright, J. V., (1964). Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points. Operations Research Cunha, C. B. (1997). Uma contribuição para o problema de roteirização de veículos com restrições operacionais. São Paulo. Tese (Doutorado). Escola Politécnica Universidade São Paulo, Departamento de Engenharia de Transportes, Universidade de São Paulo. Christofides, N.; Eilon, S. (1969). An algorithm for the vehicle Dispatching problem. Operational Research, n. 20, p Christofides, N.; Mingozzi, A.; Toth, P. (1978). The vehicle routing problem. Urbino Working Paper, July, Christofides, N.; Mingozzi, A.; Toth, P.; Sandi, C. (1979).Combinatorial optimization. John Wiley, Chichester. Christofides, N. (1981). Uses of a vehicle routing and scheduling system in strategic distribution planning. Scandinavian Journal of Mat Admin. Dantzig, G., Ramser, J., (1959). The truck dispatching Problem. Management Science. Feo, T. A., e. Resende, M. G. C., Greedy randomized adaptive search procedure. Journal of Global Optimization. Fisher, M. L.; Jaikumar, R. (1981). A generalized assignment heuristic for vehicle routing. Networks. Gaskell, T. J. (1967). Bases for vehicle fleet scheduling. Operational Research. Golden B. L. e Assad A. A., (1998). Vehicle Routing: Methods and Studies, North-Holland, Amsterdan. Laporte G., (1997). Vehicle routing. Em M. Dell Amico, F. Maffioli, e S. Martello, editores, Annotated Bibliographies in Combinatorial Optimization, Wiley, Chichester, UK. Laporte G. e Osman I.H., (1995). Routing problems: a bibliography. Annals of operations. Annals of Operations Research. 820

9 Laporte, G. e Semet, F., (2002). Classical Heuristics for the Capacitated VRP. Em The vehicle routing problem (P. Toth e D. Vigo Eds.). Toth P. e Vigo D. Eds., (2002). The Vehicle Routing Problem, SIAM Monographs Discrete Mathematics and Applications. Uchoa, E, Caldas, M, Lima, F.Q. e Drummond, L. (2006) - Algoritmos para Problemas Reais de Roteamento de Veículos: Uma Análise Comparativa - Anais do XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional 821