Sintonia do controlador PID, com Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas.

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1 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Sintonia do controlador PID, com Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas. Dissertação de Mestrado Engenharia Electrotécnica e de Computadores Joaquim Jesus Pereira 28

2 Sintonia do controlador PID, com Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Joaquim Jesus Pereira Licenciado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Departamento de Engenharias da Universidade Trás-os-Montes e Alto Douro. Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do programa do curso de Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Orientador Científico: Professor Doutor José Paulo Barroso de Moura Oliveira Professor auxiliar do Departamento Engenharias Universidade Trás-os-Montes e Alto Douro Co-orientador Científico: Professor Doutor José Boaventura Ribeiro da Cunha Professor auxiliar do Departamento Engenharias Universidade Trás-os-Montes e Alto Douro ii

3 Agradecimentos Chegado a este momento é minha intenção expressar os mais sinceros agradecimentos às várias pessoas que, em diferentes momentos, deram o seu contributo para a concretização deste projecto. Ao Professor Paulo Oliveira, orientador desta dissertação que desde o início, depositou toda a confiança em mim e sempre me apoiou durante a execução deste trabalho. Gostaria de manifestar o meu reconhecimento pela forma como delineou as linhas deste trabalho e pelos ensinamentos prestados durante a sua realização. Quero ainda agradecer o constante incentivo e pela serenidade que sempre me transmitiu, um muito e reconhecido obrigado. Ao Professor José Boaventura, agradeço todo o apoio prestado na escrita desta dissertação e a cooperação ao longo do percurso académico. Agradeço em especial ao Professor Eduardo Pires, pela ajuda prestada na implementação dos algoritmos multi-objectivos, assim como pelos esclarecimentos de alguns conceitos mais específicos desta área. A todos os professores e colegas que directa ou indirectamente contribuíram para a realização deste trabalho. Aos meus Amigos, em quem tantas vezes pensei ao longo destes anos, que sempre me apoiaram e entusiasmaram, compreendendo sempre a minha indisponibilidade. À minha família, em especial à minha mãe e ao meu irmão, pelo apoio, compreensão e paciência que me têm sempre dedicado. A Todos, Muito Obrigado. iii

4 Dedicatória Á minha mãe Maria Almeida e Irmão Agostinho Pereira. iv

5 Resumo A maior parte das malhas industriais de controlo utilizam um controlador com acção proporcional, integrativa e derivativa (PID). É de muita utilidade desenvolver ferramentas informáticas de suporte ao projecto deste tipo de controladores, particularmente utilizando técnicas de optimização inspiradas em comportamentos biológicos e naturais. O desenvolvimento de uma ferramenta de simulação que permita projectar controladores do tipo PID é o objectivo global desta dissertação. O conjunto de teste deve conter modelos que representam as dinâmicas mais comuns na indústria de controlo de processos. O algoritmo evolutivo seleccionado é o Algoritmo de Optimização com Grupo de Partículas (PSO), por ter demonstrado ter bom desempenho num leque alargado de aplicações. O PSO é um algoritmo simples, capaz de solucionar problemas bastantes complexos. O algoritmo PSO implementado é testado na optimização de um conjunto de funções uni-objectivo padrão, seguindo-se a optimização do controlador PID. O objectivo de projecto é a optimização da resposta a um degrau aplicado à entrada de referência do sistema ou na entrada de perturbação da saída controlada. Os resultados obtidos são comparados com técnicas clássicas de sintonia. Uma implementação do algoritmo de optimização multi-objectivo por grupo de partículas (MOPSO) é testada num conjunto de funções padrão, seguindo-se a optimização multi-objectivo do controlador PID. Dois objectivos de projecto foram considerados simultaneamente: i) a optimização da resposta a um degrau aplicado na entrada da referência; ii) a optimização da resposta a uma perturbação em degrau aplicada na saída controlada. Palavras-chave: Controlador PID, Algoritmos evolutivos, Sistema por Grupo de Partículas e Optimização Multi-Objectivo. v

6 Abstract The great majority of industrial control loops are controlled by using a controller with proportional, integral and derivative (PID) controllers. The development of software tools to design this type of controllers is very useful, namely by using optimization techniques inspired in biological and natural behaviours. The global objective of this dissertation is to develop a simulation tool which allows the Project of PID controllers. The plant test set should include models which represent some of the most usual dynamics within the process control industry. The evolutionary algorithm selected is the Particle Swarm Optimization (PSO), due to the good performance shown in a broad application set. The PSO algorithm is simple and capable of solving complex problems. The PSO algorithm implemented is tested in optimization a set of standard functions, followed by the PID controller s optimization. The design objective is the set-point-tracking. The results are compared with the ones archived with classics tuning techniques. An implementation of the multi-objective particle swarm optimization algorithm (MOPSO) is tested in a set of standard functions followed by the multi-objective optimization of PID controllers. Two design objectives were considered simultaneously: i) the set-point tracking response; ii) the output disturbance rejection. Keywords: PID control, Evolutionary algorithms, Particle Swarm Systems, Multi- Objective Optimization. vi

7 Índice Capítulo Introdução.... Motivação....2 Objectivos da Dissertação Organização da Dissertação... 3 Capítulo 2 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Algoritmos Evolutivos Introdução ao Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Algoritmo PSO Padrão Topologias Aplicações Variantes do algoritmo PSO... 7 Capítulo 3 Algoritmos de Optimização Multi-Objectivo por Grupo de Partículas Conceitos Básicos Formulação Frente de Pareto Metas na Optimização Multi-objectivo Optimização Uni-Objectivo vs Multi-objectivo Operador de dominância Pareto Propriedades da relação de dominância Optimalidade de Pareto MOPSO Estrutura típica do MOPSO Selecção e actualização das partículas guias Promoção da diversidade Algoritmos Evolutivos com preservação da elite Diferentes métodos de Implementação do MOPSO Ordenação Lexicográfica Aproximação com Subpopulações Aproximações baseadas na Frente Pareto... 4 vii

8 3.7 MOPSO implementado Algoritmo MaxiMin Capítulo 4 Optimização de Funções Uni-Objectivo Função Esférica Função de Ackley Função de Shaffer Capítulo 5 Optimização de Funções Multi-objectivo Função Função Função Função Função Notas finais Capítulo 6 Controlador Proporcional Integrativo e Derivativo Enquadramento histórico do controlador PID Controlador PID Estrutura de Controlo Utilizado Estrutura com Ruído Rejeições de Perturbações Capítulo 7 Optimização Uni-objectivo do PID com o PSO Processo I Simulação com perturbações aleatórias na saída do sistema Processo II Simulação com perturbações aleatórias na saída do sistema Processo III Simulação com perturbações aleatórias na saída do sistema Processo IV Simulação com perturbações aleatórias na saída do sistema Sistema com perturbação na saída controlada Processo I Processo II Processo III Processo IV... 2 viii

9 7.6 Notas finais... 3 Capítulo 8 Comparação da sintonia PSO vs outros Métodos Processo I Processo II Processo III Processo IV... 9 Capítulo 9 Optimização Multi-objectivo do PID com MOPSO Processo I Processo II Processo III Processo IV... 2 Capítulo Conclusão e Trabalho Futuro Referências Bibliografia ix

10 Índice de Figuras FIGURA 2. - UM CARDUME E UM BANDO DE PÁSSAROS, QUE SE DESLOCAM EM GRUPO FIGURA 2.2 ALGORITMO DE OPTIMIZAÇÃO COM GRUPO DE PARTÍCULAS FIGURA FLUXOGRAMA DO ALGORITMO PSO, (COELHO, 23) FIGURA 2.4 TOPOLOGIA EM ANEL (CÍRCULO REPRESENTA UMA PARTÍCULA) FIGURA TOPOLOGIA COMPLETAMENTE LIGADA (FULL CONNECTED) FIGURA 2.6 TOPOLOGIA EM ESTRELA FIGURA TOPOLOGIA ÁRVORE FIGURA ARTIGOS RELACIONADOS COM O ALGORITMO PSO, (RICARDO POLI, 27) FIGURA 3. - OPÇÕES NA COMPRA DE UM AUTOMÓVEL FIGURA DISTRIBUIÇÃO DE SOLUÇÕES NA FRENTE DE PARETO FIGURA CONJUNTOS ÓPTIMOS DE PARETO FIGURA SOLUÇÕES LOCAIS E GLOBAIS DE PARETO FIGURA FLUXOGRAMA GENÉRICO DO MOPSO... 3 FIGURA CÁLCULO DA DENSIDADE NO MÉTODO CROWDING DISTANCE (DEB ET AL., 22) FIGURA EXEMPLO DE NICHOS FIGURA ESQUEMA DO MODELO NSGAII, (DEB, 2) FIGURA MÉTODO MOPSO EM HU E EBERHART, ( 22) FIGURA 3. - MOPSO MODELO PARSOPOULOS E VRAHATIS (22)... 4 FIGURA 3. - PROCESSO DE SELECÇÃO UTILIZADO EM HANNE (999), COM A APTIDÃO NA POPULAÇÃO DO HIPERCUBO FIGURA MOPSO DE COELLO E LECHUNGA (22) FIGURA MÉTODO SIGMA PARA DOIS OBJECTIVOS FIGURA SELECÇÃO DO LOCAL GBEST PARA CADA PARTÍCULA DO GRUPO FIGURA 3.5 SOLUÇÕES NÃO-DOMINADAS NO ALGORITMO MAXIMIN... 5 FIGURA 4. - ESPAÇO DE PESQUISA DEFINIDO PELA FUNÇÃO ESFÉRICA (4.) FIGURA DESEMPENHO DA FUNÇÃO (4.) PARA UMA POPULAÇÃO COM PARTÍCULAS FIGURA DESEMPENHO DA FUNÇÃO (4.), PARA UMA POPULAÇÃO COM 3 PARTÍCULAS FIGURA DESEMPENHO DA FUNÇÃO (4.) PARA UMA POPULAÇÃO COM 5 PARTÍCULAS FIGURA EVOLUÇÃO DE UMA POPULAÇÃO DE 5 PARTÍCULAS AO LONGO DAS ITERAÇÕES FIGURA ESPAÇO DE PESQUISA DEFINIDO PARA A FUNÇÃO DE ACKELY (4.2) FIGURA DESEMPENHO PARA UMA POPULAÇÃO DE 5 PARTÍCULAS FIGURA EVOLUÇÃO DAS PARTÍCULAS AO LONGO DAS ITERAÇÕES FIGURA ESPAÇO DE PESQUISA DEFINIDO PARA A FUNÇÃO SHAFFER FIGURA 4. - EVOLUÇÃO DAS PARTÍCULAS AO LONGO DAS ITERAÇÕES FIGURA 5. - OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F, UMA SIMULAÇÃO... 6 FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F, MELHOR DE CEM SIMULAÇÕES FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F2, UMA SIMULAÇÃO FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F2, MELHOR DE SIMULAÇÕES FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F3, PARA UMA SIMULAÇÃO FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F3, O MELHOR DE CEM SIMULAÇÕES FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F4, PARA UMA SIMULAÇÃO FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F4, O MELHOR DE CEM SIMULAÇÕES FIGURA OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F5, UMA SIMULAÇÃO COM ITERAÇÕES FIGURA 5. - OPTIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO F5, O MELHOR DE ITERAÇÕES FIGURA 6.- SISTEMA DE CONTROLO COM O CONTROLADOR PID FIGURA CONTROLADOR PID COM ACÇÃO DERIVATIVA SOBRE O SINAL DE SAÍDA FIGURA CONTROLADOR PID COM ADIÇÃO DE RUÍDO ALEATÓRIO NA SAÍDA FIGURA 6.4 SINAL RUÍDO PRS x

11 FIGURA CONTROLADOR PID COM PERTURBAÇÃO FIGURA 7. - RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.), EN=2 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES MODELO (7.), EN=2 E POP= FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.), EN=3 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES, MODELO (7.), EN=3 E POP= FIGURA SINAL DE SAÍDA IDEAL (Y) E SINAL DE SAÍDA COM ADIÇÃO DE RUÍDO (Y*), MODELO (7.), EN=2 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO IDEAL (U) E COM ADIÇÃO DE RUÍDO (U*) REFERENTES À FIGURA ANTERIOR FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.2), T= E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES, MODELO (7.2), T= E POP= FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.2), T= E POP= FIGURA 7. - EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS 5 ITERAÇÕES, MODELO (7.2), FIGURA 7. - SINAL DE SAÍDA IDEAL (Y) E SINAL DE SAÍDA COM ADIÇÃO DE RUÍDO (Y*), MODELO (7.2), T= E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO IDEAL U E COM ADIÇÃO DE RUÍDO REFERENTES U* FIGURA ANTERIOR FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.3), N = 2 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES, MODELO (7.3), N = 2 E POP= FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.3), N = 8 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS 5 ITERAÇÕES, MODELO (7.3), N = 8 E POP= FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.3), N = 2 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO IDEAL U E COM ADIÇÃO DE RUÍDO U* REFERENTE À FIGURA ANTERIOR FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.4), Α= 2 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES, MODELO (7.4), Α= 2 E POP= FIGURA RESPOSTA AO DEGRAU PARA O MODELO (7.4), Α= 5 E POP= FIGURA EVOLUÇÃO DO VALOR ITAE COM O DECORRER DAS ITERAÇÕES, MODELO (7.4), = 5 E POP= FIGURA SINAL DE SAÍDA IDEAL (Y) E SINAL DE SAÍDA COM ADIÇÃO DE RUÍDO (Y*), MODELO (7.4), = 5 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO IDEAL (U) E COM ADIÇÃO DE RUÍDO (U*), MODELO (7.4), = 5 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.), EN= 2 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.), EN= 2 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.2), T= 2 E POP=9.... FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.2), T= 2 E POP=9.... FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.3), N= 2 E POP=9.... FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.3), N= 2 E POP= xi

12 FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.4), Α= 2 E POP= FIGURA SINAL DE CONTROLO (U) E RESPECTIVO SINAL DE SAÍDA (Y), MODELO (7.4), Α= 2 E POP= FIGURA 8. - COMPARAÇÃO DE VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA DO PROCESSO I FIGURA COMPARAÇÃO DE VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA DO PROCESSO II FIGURA COMPARAÇÃO DE VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA DO PROCESSO III FIGURA COMPARAÇÃO DE VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA DO PROCESSO IV.... FIGURA 9. - FRENTE NÃO DOMINADA PARA OS DOIS OBJECTIVOS... 2 FIGURA FRENTE DE PARETO E RESPECTIVAS SAÍDAS DO SISTEMA FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA O SEGUIMENTO DA REFERÊNCIA FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA A REJEIÇÃO DE PERTURBAÇÕES FIGURA FRENTE NÃO DOMINADA OBTIDA PARA O PROCESSO II... 5 FIGURA RESPOSTA A UM DEGRAU APLICADA A ENTRADA DE REFERENCIA y E A UM DEGRAU APLICADO PERTURBAÇÃO y *, PARA AS TRÊS SOLUÇÕES NÃO DOMINADAS NA TABELA FIGURA RESPOSTA A UM DEGRAU UNITÁRIO PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO REPRESENTADA NA FIGURA FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA A REJEIÇÃO DE PERTURBAÇÕES... 7 FIGURA FRENTE NÃO DOMINADA OBTIDA PARA O PROCESSO III, COM N=... 8 FIGURA 9. - RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA A REJEIÇÃO DE PERTURBAÇÕES (Y*) E SEGUIMENTO DA REFERÊNCIA (Y) FIGURA 9. - FRENTE NÃO DOMINADA OBTIDA PARA O PROCESSO III, COM N= FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA A REJEIÇÃO DE PERTURBAÇÕES (Y*) E SEGUIMENTO DA REFERÊNCIA (Y) FIGURA FRENTE NÃO DOMINADA OBTIDA PARA O PROCESSO II... 2 FIGURA RESPOSTA A UM DEGRAU APLICADA NA ENTRADA y E A UM DEGRAU APLICADO PERTURBAÇÃO y *... 2 FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA A REJEIÇÃO DE PERTURBAÇÕES (Y*) FIGURA RESPOSTA PARA TODAS AS SOLUÇÕES DA FRENTE DE PARETO, PARA O SEGUIMENTO DA REFERÊNCIA (Y) xii

13 Índice de Tabelas TABELA 7. - RESULTADOS DE SIMULAÇÃO PARA VÁRIOS ENSAIOS PARA O PROCESSO I TABELA RESULTADO DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO (I), COM RUÍDO INJECTADO NA SAÍDA DO SISTEMA TABELA RESULTADOS DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO II TABELA RESULTADO DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO (II), COM RUÍDO INJECTADO NA SAÍDA DO SISTEMA TABELA RESULTADOS DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO III TABELA RESULTADO DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO III, COM RUÍDO INJECTADO NA SAÍDA DO SISTEMA TABELA RESULTADOS DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO IV TABELA RESULTADO DA SIMULAÇÃO PARA O PROCESSO (IV), COM RUÍDO INJECTADO NA SAÍDA DO SISTEMA TABELA 8. - MÉTODOS DE SINTONIA DO CONTROLADOR PID... 5 TABELA RESULTADOS OBTIDOS PARA OS VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA... 6 TABELA RESULTADOS OBTIDOS COM OS VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA... 7 TABELA RESULTADOS OBTIDOS COM VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA TABELA RESULTADOS OBTIDOS COM VÁRIOS MÉTODOS DE SINTONIA... 9 TABELA 9.- FUNÇÕES OBJECTIVOS VALOR CORRESPONDENTE DOS PARÂMETROS SINTONIA DO PID... 6 xiii

14 Capítulo 28 Capítulo Introdução. Motivação A grande maioria das malhas industriais é controlada pelo controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID). Isto deve-se a vários factores, entre os quais a sua simplicidade conceptual, o seu bom desempenho numa larga gama de sistemas e a sua robustez. Devido ao seu uso generalizado no controlo de processos industriais, múltiplas técnicas têm sido propostas para ajustar os seus parâmetros. Este problema é conhecido como o problema da sintonia. As primeiras regras de sintonia de controladores do tipo PID foram propostas pelos investigadores Ziegler e Nichols (942). Estas regras foram importantes pelo pioneirismo e pela sua simplicidade de aplicação, embora com limitações no âmbito do desempenho conseguido. Desde então muitas outras regras de sintonia e projecto foram propostas (Cohen e Coon, 953), (Kiong et al., 999). O uso de algoritmos evolutivos (AEs) tem despertado muito interesse por ser uma teoria que na prática permite encontrar soluções para problemas de uma forma relativamente fácil. Os algoritmos evolutivos, são algoritmos de optimização e pesquisa inspirados na evolução natural dos seres vivos, que permitem encontrar soluções de problemas. Os problemas com objectivos múltiplos são frequentes em muitos problemas de optimização e constituem uma área científica que tem adquirido grande relevância em diversas aplicações da Engenharia. Na optimização multi-objectivo pretende-se encontrar uma família de soluções óptimas e não uma só solução. As famílias de soluções são obtidas no final de cada simulação e constituem um conjunto de soluções não-dominadas entre todas as funções objectivo do problema. O conjunto de soluções óptimas, também conhecido como soluções não dominadas, pertencem a um conjunto óptimo chamado de Pareto. Um dos problemas inerente à utilização de regras de sintonia é a sua multiplicidade, ou seja existir uma tabela de sintonia para cada tipo de dinâmica de processo. Assim, regras de sintonia foram desenvolvidas para sistemas de primeira ou segunda ordem com tempo morto. Em alguns casos chegavam a não funcionar para sistemas com fase não

15 Introdução mínima, ou para sistemas de ordem superior. Também o aumento significativo do tempo morto implicava uma deterioração significativa do desempenho dos sistemas controlados com controladores do tipo PID. O ideal seria obter um método de sintonia que funcionasse bem independentemente da dinâmica dos sistemas a controlar. A utilização de algoritmos evolutivos como ferramenta de optimização do controlador PID é uma alternativa às técnicas clássicas de sintonia. Nesta dissertação o algoritmo de optimização por Grupo Partículas (De Moura Oliveira, 22), é aplicado na optimização do controlador PID considerando um único objectivo de projecto e dois objectivos de projecto. No último caso é utilizado um algoritmo de optimização multi-objectivo por grupo de partículas multi-objectivo..2 Objectivos da Dissertação Os objectivos deste trabalho estão sumariados nos seguintes pontos, que também constituíram as fases de execução do mesmo: Estudo dos algoritmos PSO e MOPSO. Projecto de controladores PID com algoritmos evolutivos. Neste projecto serão apenas considerados os algoritmos PSO e MOPSO. Desenvolvimento de uma ferramenta de projecto utilizando o Matlab, e o Simulink. Realização de testes de simulação, utilizando PSO, para determinar os parâmetros de sintonia do controlador PID. Realização de comparações com outras técnicas de sintonia do controlador PID. Execução de testes utilizando o MOPSO para a situação de optimização multi-objectivo. 2

16 Introdução.3 Organização da Dissertação Para além deste capítulo introdutório, esta dissertação está organizado em 9 capítulos. O Capítulo 2 apresenta uma revisão do Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas (PSO). No Capítulo 3 descreve-se a metodologia da optimização multi-objectivo. Neste capítulo é ainda apresentado o Algoritmo Evolutivo multi-objectivo MOPSO seleccionado para optimização dos problemas multi-objectivo do controlador PID. No Capítulo 4 são apresentados testes efectuados a algumas funções padrão uniobjectivo com o PSO. Os resultados apresentados pertencem à resolução de funções de um só problema de optimização com o algoritmo PSO. No Capítulo 5 mostram-se os resultados obtidos com a optimização multi-objectivo referentes a funções multi-objectivo citadas como adequadas a este tipo de estudo. Na optimização das funções é utilizado o algoritmo MOPSO. O Capítulo 6 trata do estudo de alguns conceitos do controlador PID, especialmente a dificuldade existente na sintonia dos parâmetros do controlador PID. São apresentados os esquemas dos sistemas a serem optimizados, em pesquisa da solução óptima e no caso dos problemas multi-objectivo no grupo de soluções não-dominadas. A implementação do algoritmo PSO na optimização do controlador PID é descrita no Capítulo 7. É objectivo do algoritmo de optimização encontrar os valores dos parâmetros do controlador do PID para um processo específico, esperando-se obter a resposta óptima do sistema. No Capítulo 8 é realizada uma comparação dos resultados obtidos no capítulo 7, com os resultados obtidos com os métodos clássicos de sintonia do controlador PID. Referemse ainda as respectivas conclusões desta comparação. 3

17 Introdução O Capítulo 9 trata da implementação do algoritmo multi-objectivo MOPSO para a optimização do controlador PID, visando optimizar mais do que um objectivo simultaneamente. Por último, no capítulo é apresentada a síntese com as conclusões da dissertação. São ainda apontadas as principais contribuições feitas por este trabalho para à área de controlo de processos e feitas sugestões para a realização de trabalhos futuros, que possam dar continuidade ao que foi desenvolvido. 4

18 Capitulo 2 28 Capítulo 2 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas 2. Algoritmos Evolutivos Algoritmos evolutivos (AEs) compreendem todos os métodos de pesquisa que têm a sua inspiração em processos naturais, tais como: comportamento social de grupos de animais, reprodução de animais, entre outros. Esses algoritmos baseiam-se na selecção natural como processo de pesquisa da solução óptima, apoiados na teoria de que na natureza os mais aptos prevalecem sobre os menos aptos. Os algoritmos evolutivos possuem características que os tornam mais eficazes do que outros algoritmos na pesquisa de soluções óptimas, das quais se destacam: A capacidade de trabalhar com uma população de soluções simultaneamente, introduzindo assim uma perspectiva global e uma maior diversidade de pesquisa (possibilita uma avaliação mais abrangente do espaço de pesquisa em cada iteração). Tal característica proporciona uma grande capacidade de encontrar óptimos globais em problemas que possuem diversos óptimos locais. Os algoritmos evolutivos trabalham com soluções aleatórias e operadores probabilísticos, o que possibilita uma maior capacidade de fuga de óptimos locais, além de também manter uma maior diversidade da população. A funcionalidade com qualquer tipo de função objectivo, ao contrário de outros algoritmos baseados no cálculo diferencial ou noutro procedimento específico, que geralmente requerem características específicas da função objectivo para funcionarem de forma adequada, como por exemplo, que as mesmas sejam côncavas, convexas ou contínuas. Quanto ao domínio da pesquisa, não é necessário um conhecimento prévio, podendo este ser multidimensional, com ou sem restrições, lineares ou não lineares. 5

19 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas 2.2 Introdução ao Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Quando grupos de seres vivos resolvem problemas na natureza essa capacidade costuma ser atribuída à inteligência do grupo. Os melhores exemplos dessa inteligência são as colónias sociais de insectos como as térmitas, formigas e as abelhas. Desde que foi possível descrever os princípios computacionais desses grupos inteligentes nos meios científicos têm sido desenvolvidas novas técnicas. Uma das melhores técnicas desenvolvidas intitula-se Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas (Particle Swarm Optimization, PSO) proposto por Eberhart e Kennedy, (995). Este método consiste na optimização de uma função objectivo através da troca de informação entre elementos (partículas), como é o caso dum grupo de organismos da mesma espécie: bando de aves e cardumes de peixes (Figura 2.). Figura 2. - Um cardume e um bando de pássaros, que se deslocam em grupo.. A capacidade de alguns animais para se deslocarem de uma forma organizada, resultando numa movimentação colectiva de visualização muito estética, despertou a curiosidade de cientistas acerca das regras que regem o seu comportamento. A sincronização do movimento de bando de pássaros motivou o estudo de modelos que permitam simular o seu comportamento. Um dos estudos pioneiros para desenvolver um modelo comportamental distribuído para bandos de pássaros, rebanhos e cardumes foi proposto por Reynolds (987). Utilizando três regras simples para evitar a colisão entre os pássaros, sincronizar a velocidade do movimento e promover o agrupamento em 6

20 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas redor do centro do bando, Reynolds desenvolveu um programa, conhecido por BOIDS, que simula o movimento sincronizado de um bando. Reynolds comparou o seu modelo com um sistema de partículas criado por Reeves (983), muito utilizado na computação gráfica para modelar fogo, fumo, nuvens e espuma das ondas oceânicas. Wilson (99), escreve que a vantagem da partilha da informação social supera a desvantagem da competitividade e da localização imprevisível dos recursos alimentares. Foi essa hipótese da vantagem evolutiva, da partilha social de informação, que motivou Kennedy e Eberhart (995) a desenvolverem um algoritmo evolutivo que chamaram de Particle Swarm Optimization Algorithm, (PSO). É um algoritmo de optimização não determinístico, eficiente, robusto e de simples implementação computacional. Cada elemento desloca-se no hiperespaço atraído por posições que ele considera promissoras. A expressão Swarm Intelligence (SI) refere-se a uma técnica de inteligência artificial baseada no estudo colectivo de sistemas descentralizados, tendo sido introduzida por Beni e Bang (989) no contexto de sistemas robóticos celulares. Embora o termo swarm tenha como tradução corrente para o português o termo Enxame, neste trabalho será utilizado o termo Grupo (por o algoritmo PSO se basear no movimento de aves e peixes). Uma definição de swarm foi apresentada por Hoffmeyer (99) como um conjunto de agentes (móveis) que são capazes de comunicar entre si, directamente ou indirectamente (agindo no seu meio ambiente), resolvendo colectivamente um problema distribuído. A optimização por bandos de partículas é um método baseado na simulação, no relacionamento social entre os indivíduos de uma população. Nela, cada elemento desloca-se no hiperespaço atraído por posições que ele considera promissoras. Essas posições consideradas promissoras são o resultado da melhor posição que ele obteve e da melhor posição observada na sua vizinhança. Existem contudo outras formas de considerar posições promissoras, sempre baseadas na interacção entre os indivíduos. 7

21 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas 2.3 Algoritmo PSO Padrão No PSO as partículas são geradas aleatoriamente, iniciando o seu movimento pelo espaço de pesquisa com uma velocidade inicial também gerada aleatoriamente. Numa determinada iteração t, cada partícula move-se através de um espaço de pesquisa n- dimensional estando associada a dois conjuntos de vectores: Posição, X t x t, x t,, x t i i i2 in Velocidade, V t v t, v t,, v t i i i2 in A posição de cada partícula é actualizada de acordo com a velocidade actual, o conhecimento adquirido pela partícula e o conhecimento adquirido pelo bando. Neste algoritmo, os ajustes da velocidade e da posição são efectuados por equações algébricas simples. O algoritmo apresentado na Figura 2.2 e o fluxograma apresentado na Figura 2.3, ilustram o princípio de funcionamento deste algoritmo com alguns aperfeiçoamentos relativamente à sua forma original (Shi e Eberhart, 998). t= Inicia o grupo de partículas X (t) Enquanto (! (critério de paragem)) Avalia X (t) t=t+ Enquanto (i tamanho do grupo) Calcular o vector velocidade ( t ) Calcular o vector solução x i ( t ) i i Fim Substituir X (t) por X (t+) Fim Figura 2.2 Algoritmo de optimização com grupo de partículas. v i 8

22 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Figura Fluxograma do algoritmo PSO, (Coelho, 23). Ao longo das iterações, as partículas modificam a sua posição até que um estado relativamente estacionário seja atingido ou até que os limites definidos pelo utilizador sejam excedidos. As velocidades das partículas em cada dimensão são limitadas a um valor máximo V máx. A escolha da partícula que exerce a influência social é um ponto fundamental neste algoritmo. Quando o paradigma foi apresentado pela primeira vez em 995, a partícula que exercia a influência social era sempre a mais bem sucedida do grupo. Quando se começaram a considerar topologias, a partícula que exerce a influência social é a mais bem sucedida entre os vizinhos do indivíduo. O algoritmo original integra dois tipos de aquisição de conhecimento por parte da partícula. Através da sua experiência e através de partilha social com outros membros da população. O primeiro caso foi designado como modelo de conhecimento cognitivo e o último de modelo de conhecimento social (Kennedy, 997). O comportamento de cada partícula é baseado nestes dois tipos de conhecimento e nas suas posições actuais com respeito à pesquisa. Kennedy modelou o comportamento das partículas através das seguintes equações: 9

23 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas co id ( t) p ( t) x ( t) (2.) id id so id p ( t) x ( t) (2.2) gd id v id ( t ) v ( t) * co ( t) 2 * so ( t) (2.3) id id id x ( t ) x ( t) v ( t ) (2.4) id id id Onde: d representa o índice da dimensão, d n partícula i na presente iteração t, pgd, p iteração para um tipo de vizinhança pré definida, id t define a melhor posição da t representa a melhor partícula na corrente co t e so id id t referem-se ao modelo cognitivo e social, respectivamente, para cada partícula i na presente iteração. Os vectores x t e v id id t representam a posição e a velocidade de cada partícula i na época t. O parâmetro é conhecido por constante cognitiva e 2 como constante social, representando números aleatórios uniformemente distribuídos num determinado intervalo. O parâmetro, define um factor de peso, chamado de inércia, que foi incorporado na equação anterior (2.3) por Shi e Eberhart (999), resultando na equação: v id ( t ) ( t)* v ( t) * co ( t) 2 * so ( t) (2.5) id id id Um valor elevado de orienta o algoritmo para uma pesquisa global enquanto que um valor baixo direcciona-o para uma pesquisa local. Por esta razão, normalmente faz-se variar linearmente o factor de inércia a partir de um valor elevado para um mais baixo de forma a conduzir uma pesquisa global no início da pesquisa e local no fim. As três parcelas da equação (2.5) podem ser interpretadas como a confiança que cada partícula tem na sua posição corrente, na sua experiência e na experiência dos seus pares, respectivamente.

24 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas A vizinhança entre partículas pode ser definida por diferentes tamanhos e topologias. Cada partícula pode ter em conta:. A informação social a partir de uma lista de partículas predefinidas no início da evolução. Esta lista pode incorporar todos os indivíduos da população, estando cada indivíduo habilitado a usar a melhor solução encontrada por todos os outros membros. Esta estrutura social ligada em rede é denominada de estrela. É possível definir outras propriedades da lista, onde um indivíduo usa apenas os k vizinhos adjacentes organizados em círculo Kennedy e Eberhart,( 2). 2. A informação física que considera a distância entre indivíduos vizinhos avaliada recorrendo a uma definição métrica. Uma versão simplificada da equação (2.3) foi proposta por Clerc e Kennedy, (2) considerando 2 e definindo uma posição intermédia: p igd p ( t) p ( t) id gd ( t) p ( t) * igd (2.6) 2 entre a melhor posição anterior velocidade regida pela equação: p i e a melhor posição global p g, resultando numa v id ( t ) v ( t) [ p ( t) x ( t)] (2.7) id igd id Clerc (999) propôs a utilização de um coeficiente de restrição incorporado na equação simplificada da velocidade como:

25 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas v id ( t ) x *{ v ( t) [ p ( t) x ( t)]} (2.8) id igd id com 4. O coeficiente de constrição pode ser avaliado utilizando a seguinte equação: x 2* k k (2.9) O efeito deste coeficiente é o de promover a convergência ao logo do tempo. Parâmetros k e 4. são sugeridos em (Keneddy e Eberhart, 2) como valores razoáveis a usar. Outra versão do coeficiente de constrição resulta na seguinte modificação da equação da velocidade: v id ( t) x[ w( t)* v ( t) * co ( t) 2 * so ( t)] (2.) id id id Como já foi referido, a velocidade é limitada a um máximo V max, significando o máximo salto que a velocidade de cada partícula pode dar em cada iteração. O valor seleccionado para esta variável não deve ser muito elevado de forma a evitar oscilações, ou demasiado baixo de forma a ser possível escapar de mínimos locais. O factor de peso de inércia assim como a velocidade máxima foram estudados e relatados por Shi e Eberhart (998). Adicionalmente, a posição de cada partícula pode também ser limitada pela sua gama dinâmica x, min x de forma a impedir o posicionamento de max partículas fora do espaço definido para a pesquisa. 2

26 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas Para facilitar o entendimento de futuros conceitos serão descritas duas expressões. A do deslocamento de cada partícula, a equação (2.), e a respectiva equação (2.2) da actualização da velocidade de cada partícula. xi vi t t ( t) t x i v i (2.) pbest t c r gbest ) v i (t -) c r x i 2 2 ( x i t (2.2) Na equação (2.2) c e c 2 respectivamente. representam as constantes cognitivas e sociais, 2.3 Topologias As partículas tendem a ser influenciadas pelo sucesso de outras a que estão ligadas. Esses vizinhos não são necessariamente partículas que se encontram próximas umas das outras no espaço dos parâmetros. São partículas que estão próximas umas das outras segundo uma determinada topologia que define a estrutura social do Grupo. As partículas podem ser ligadas a outras, conforme um tipo específico de vizinhança, representada com um gráfico. Algumas das topologias de vizinhanças mais comuns são (Kennedy e Eberhart, 2): Gráfico vazio: Nesta topologia, as partículas estão isoladas de qualquer tipo de vizinhança. Cada partícula isolada compara a sua actual posição com a sua melhor posição encontrada até ao momento (pbest). Neste caso, c 2 = na equação 2.2. Esta topologia corresponde ao modelo cognitivo. Melhor local: Nesta topologia, cada partícula é afectada com o melhor desempenho dos seus k vizinhos imediatos. As partículas são influenciadas pela melhor posição na sua vizinhança (lbest), bem como pela própria experiência 3

27 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas passada (pbest). Quando k=2, esta estrutura é equivalente a uma topologia de anel, tal como representado na Figura 2.4. Figura 2.4 Topologia em anel (círculo representa uma partícula). Gráfico totalmente ligado (full connected): Esta topologia é o oposto do gráfico vazio. Nas topologias totalmente ligadas, todas as partículas do grupo estão ligadas às restantes partículas do grupo. Cada partícula usa a sua experiência, com a sua melhor solução até ao momento, pbest, mas, além disso, estas partículas usam o melhor posicionamento da partícula grupo gbest. Esta estrutura é também conhecida por topologia estrela e está ilustrada na Figura 2.5. Figura Topologia completamente ligada (full connected). Rede estrela: Nesta topologia, uma única partícula está ligada a todas as outras e é chamada de partícula focal (Figura 2.6). As restantes partículas estão isoladas umas das outras e toda a informação tem de ser comunicada através da partícula 4

28 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas focal. A partícula focal compara o desempenho de todas as partículas do grupo e ajusta a sua trajectória no sentido do melhor resultado obtido no grupo. Este desempenho é comunicado ao resto do grupo. A esta estrutura pode-se chamar também topologia roda. Figura 2.6 Topologia em estrela. Rede árvore: Nesta topologia (Figura 2.7)., todas as partículas são dispostas segundo uma arquitectura semelhante a uma árvore em que cada nó da árvore contém uma partícula. A partícula é influenciada pela sua melhor posição até ao momento pbest e pela melhor posição da partícula que está directamente acima na árvore (progenitor). Se uma partícula descendente encontrar uma solução que seja melhor do que a melhor solução encontrada até ao momento a partícula nó progenitor, passa a ser a solução da partícula descendente. Desta forma, esta topologia oferece uma vizinhança dinâmica. Esta estrutura é também chamada topologia hierárquica. Figura Topologia árvore. 5

29 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas A topologia e a respectiva vizinhança são susceptíveis de afectar a taxa de convergência, influenciando significativamente o tempo necessário para que as partículas encontrem a localização da melhor região do espaço de pesquisa. Por exemplo, com a topologia totalmente ligada, todas as partículas recebem a informação da melhor solução a partir de qualquer parte do grupo ao mesmo tempo. Assim, quando se utiliza essa topologia, o grupo tende a convergir mais rapidamente do que quando utiliza outras topologias locais. Nas últimas topologias da lista anterior, as informações da melhor posição do grupo levam um tempo superior a serem transferidas no grupo. A topologia totalmente ligada, mais rápida na partilha da informação, é também mais susceptível de sofrer uma prematura convergência (ou seja, a convergir para um local óptimo). 2.4 Aplicações Existe um número muito significativo de aplicações do PSO, como se pode ver pelo número de artigos publicados (Figura 2.8 extraída do estudo efectuado por (Ricardo Poli, 27)). Estando dispersas por diversas fontes, entre as quais, destacamos a base de dados IEEE com aproximadamente artigos. Figura Artigos relacionados com o algoritmo PSO, (Ricardo Poli, 27). 6

30 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas No artigo referenciado, foram estudados apenas documentos presentes da base de dados do IEEE Xplore, aproximadamente 7 artigos tratando o algoritmo PSO, divididos por 26 categorias distintas. Os temas, para além de incluírem o algoritmo PSO, abordam diversas áreas de estudo tais como: Biologia, Medicina, Electrónica, Electrotécnica, Electromagnetismo, Inteligência artificial, Processamento de imagem, entre outras. O sucesso deste algoritmo deve-se sobretudo à sua simplicidade e adaptabilidade a diferentes problemas. A maioria da resolução destes problemas, no presente momento é dominada, por resoluções de difícil implementação. Sendo por isso o algoritmo PSO, a alternativa escolhida por diversas pessoas que encontram neste algoritmo um meio mais prático de resolver os seus problemas. 2.5 Variantes do algoritmo PSO Com o decorrer do tempo, novas variantes do algoritmo PSO canónico foram desenvolvidas. O algoritmo PSO na sua forma canónica apresenta aspectos importantes relacionados com a actualização da velocidade. Se a posição actual de uma partícula coincidir com a melhor posição global a partícula só se moverá afastando-se desse ponto se o seu valor de inércia e a sua velocidade anterior da partícula forem diferentes de zero. Se a velocidade anterior da partícula for próxima de zero, todas as partículas ficam paradas, uma vez que alcançaram a melhor posição global (até ao momento). Isto pode conduzir o algoritmo a uma convergência prematura. Mas na realidade isto não garante que o algoritmo tenha atingido um mínimo global, apenas significa que todas as partículas convergiram para a melhor posição encontrada até ao momento pelo grupo de partículas. Este fenómeno é conhecido pela estagnação, (Van et al. 22). Løvbjerg et al. (2), apresentam um novo método HPSOBS (Hybrid Particle Swarm Optimiser with Breeding and Subpopulations) que combina o PSO com técnicas dos Algoritmos evolutivos introduzindo a procriação (breeding) e sub-populações 7

31 Algoritmo de Optimização por Grupo de Partículas (subpopulations). O método é comparado com o PSO canónico e AGs, obtendo-se resultados promissores. Van et al. (22) desenvolvem uma solução GCPSO (Guaranteed Convergence Particle Swarm Optimiser), baseada em acrescentar um novo parâmetro e adicionar novas equações ao PSO. Esta variante converge mais rapidamente para a solução especialmente quando se trabalha com grupos de partículas pequenos. No seguimento dos trabalhos anteriores Esmin et al. (25), propuseram outro algoritmo híbrido, HPSOM (Optimização por Grupo de Partícula Híbrido com Mutação) que incorpora no PSO um processo típico dos algoritmos genéticos: a mutação da população. Este processo vai permitir que as partículas possam evitar óptimos locais se realizar a pesquisa em diferentes áreas no espaço. Este processo inicia-se pela escolha aleatória da partícula do grupo para a mover para uma posição diferente no espaço de pesquisa. No artigo (Esmin et al., 25), são realizados testes com funções padrão e os resultados são comparados com o PSO tendo o MPSOM atingido uma melhor taxa de convergência e solucionado problemas de estagnação. O algoritmo PSO completamente informado foi proposto por Mendes et al. (24), (Fully Informed Particle Swarm) FIPS. Na variante FIPS, cada indivíduo é atraído para o centro de gravidade das melhores posições obtidas pelas partículas na sua vizinhança. Estudos efectuados (Mendes et al., 24) da comparação entre FIPS e PSO canónico demonstram, que esta variante apresenta resultados muito promissores. Com certas topologias, os resultados obtidos eram muito melhores que os obtidos pelo PSO canónico. Concluiu-se deste estudo que a forma clássica de pensar na criação de novas soluções pode ser posta em causa, e que os comportamentos normativos podem resultar em formas bastantes sofisticadas de resolver problemas. 8

32 Capítulo 3 28 Capítulo 3 Algoritmos de Optimização Multi- Objectivo por Grupo de Partículas Neste capítulo é abordada a problemática da optimização multi-objectivo. É efectuado um estudo do estado da arte sobre os métodos de tornar o algoritmo PSO, desenvolvido para um problema uni-objectivo, num algoritmo multi-objectivo, MOPSO, mantendo as principais características do algoritmo de optimização por grupo de partículas. 3. Conceitos Básicos Um problema de optimização multi-objectivo (Multi-Objective Optimization Problem, MOOP), trabalha com mais de uma função objectivo. Muitos problemas implicam tomar decisões. Decidir é escolher ou optar entre alternativas praticáveis. A maioria das situações da vida real consiste na resolução de problemas com múltiplos critérios, geralmente conflituosos. No entanto, em situações em que a pressão do tempo é elevada, como sejam as situações de crise, resvala-se com facilidade para modelos muito simples, em que apenas um dos critérios de decisão assume particular relevância, levando a pôr de parte outros aspectos do problema. Consequentemente, reduz-se o problema mais complexo a um problema de optimização (minimização ou maximização) do objectivo associado ao critério relevante. Todavia, cada vez mais, a entidade que decide é forçada a considerar uma grande variedade de critérios para avaliação das diferentes alternativas que se lhes oferecem. Pode-se tornar difícil a modelação e a formulação do problema à custa de apenas um critério, devido à complexidade, heterogeneidade, natureza conflituosa e aos compromissos presentes na situação de escolha. Muitos problemas de tomada de decisão implicam considerar vários critérios. Técnicas tradicionais de optimização têm sido usadas para solucionar estes problemas no passado. Estas técnicas originalmente foram formuladas para trabalhar com uma única função objectivo e encontrar uma solução óptima. Assim os vários objectivos são 9

33 Algoritmos de Optimização Multi-objectivo por Grupo de Partículas formulados numa só função, chamada função agregada. Contudo, existem diferenças fundamentais entre a optimização multi-objectivo e de objectivo simples, que serão explicadas neste capítulo. 3.2 Formulação Um MOOP possui um número de funções objectivo a serem optimizadas (a maximizar ou a minimizar). Os MOOP s referem-se aos casos em que as alternativas são definidas indirectamente por um conjunto de restrições matemáticas. Um exemplo clássico de um problema multi-objectivo é determinar a trajectória mais económica para efectuar a entrega/recolha de produtos a um conjunto de clientes duma determinada empresa, em que os critérios de optimização poderiam ser: o tempo, a distância, o consumo energético, etc.. Um MOOP possui um número de funções objectivo a serem optimizadas que podem possuir restrições, que devem ser satisfeitas por qualquer solução, baseado da seguinte descrição (Deb, 2): maximizar/minimizar fm( x), m,2,..., M restritaa g j, j,2,..., J hk ( x), k,2,..., K L U x x x i n i i i,,2,..., (3.) Onde x é o vector de n variáveis de decisão x x x, x,..., T, 2 3 x n. Os valores L xi e U x i, representam o valor mínimo e máximo, respectivamente, para a variável x i. Estes limites definem o espaço de decisão D ou espaço das variáveis de decisão. O vector x i será referido como solução. As desigualdades g j e as igualdades h k são chamadas de funções de restrição. Uma solução x praticável, é a solução que satisfaça funções de restrição (as desigualdades e 2

34 Algoritmos de Optimização Multi-objectivo por Grupo de Partículas igualdades) e os 2 n limites. Em situação contrária a solução não será viável. O conjunto de todas as soluções praticáveis forma a região viável ou espaço de pesquisa S. Cada uma das M funções objectivo: f x), f ( x), f ( x),..., f M ( ), pode ser maximizada ( 2 3 x ou minimizada. Contudo, para trabalhar com os algoritmos de optimização, é necessário converter todas as funções para serem maximizadas ou minimizadas. O vector funções objectivo f (x) adequa um espaço multi-dimensional chamado espaço objectivo Z. Então para cada solução x no espaço de decisão, existe um f (x) no espaço de objectivos. Esta é uma diferença fundamental em relação à optimização de objectivos simples, cujo espaço de objectivos é unidimensional Frente de Pareto Uma decisão implica ter em conta vários factores, com o objectivo de se encontrar a solução que melhor se adequa ao nosso problema. Em alguns casos, podem aparecer várias soluções boas, das quais nenhuma é quantitativamente melhor que a outra. Para exemplificar, apresenta-se o caso da compra de um automóvel. Como critério de compra consideram-se apenas dois objectivos a satisfazer: o conforto e o preço, esquecendo todos os outros critérios que podiam ser considerados. A Figura 3. ilustra algumas alternativas disponíveis na aquisição de um automóvel, com uma relação estabelecida entre a despesa financeira e um determinado nível de conforto. 2

35 Algoritmos de Optimização Multi-objectivo por Grupo de Partículas Custo 25. Soluções Possíveis % 4% 6% 8% % Conforto Figura 3. - Opções na compra de um automóvel. O objectivo de todo o cliente será minimizar o custo e maximizar o conforto do seu veículo. Nesta situação tem-se cinco possíveis opções de compra. Eliminam-se duas delas: a solução, uma vez que está pelo mesmo nível de conforto da solução 5 e é mais onerosa. A solução 2 é eliminada pelo motivo, de por uma despesa superior temos menos conforto. Fica-se com as soluções (3, 5 e 4) como alternativas de compra. Em termos quantitativos nenhuma é melhor que a outra, pois uma é mais confortável que a outra mas a despesa é superior. Encontram-se então um compromisso entre os objectivos. Quanto maior for o conforto do automóvel mais dispendioso será o seu custo ou vice-versa. Pode-se então afirmar que uma solução domina outra se os seus valores são melhores em pelo menos um de todos os objectivos. Por exemplo a solução 5 domina a solução. Não conhecendo à priori a importância relativa de cada objectivo pode-se dizer que as soluções 3, 4 e 5 são igualmente satisfatórias, sendo o conjunto de soluções óptimas. Esse grupo de soluções é chamado conjunto não dominado. As restantes partículas serão o conjunto de soluções dominadas. Os conjuntos referidos têm as seguintes propriedades: As soluções de qualquer par do conjunto não dominado, devem ser não dominadas uma em relação à outra. 22