Modelos lineares de otimização aos quais eventualmente se incorporam restrições

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1 Capítulo 2 Programação Linear 21 Introdução Modelos lineares de otimização aos quais eventualmente se incorporam restrições de integralidade das variáveis de decisão são os mais utilizados em planejamento Quando do surgimento do método Simplex para Programação Linear, argumentava-se que modelos lineares não seriam adequados para representar problemas reais, uma vez que quase todos os problemas de interesse possuiam características não lineares Entretanto, o método Simplex tornou possível resolver problemas relativamente grandes (em termos de número de variáveis e restrições), o que nenhum outro método era capaz à época Uma melhor compreensão das potencialidades e limitações da modelagem linear levou a inúmeras aplicações práticas do método Rapidamente constatou-se que a aplicabilidade da modelagem linear poderia ser substancialmente espandida se fosse possível tratar problemas com variáveis de decisão restritas a valores inteiros ou binários (0 ou 1), o que permitiria incorporar à modelagem de problemas de planejamento um tipo importante de não linearidade Desenvolvimentos nesta linha deram origem às Programações Inteira, Inteira/Mista e Combinatória, cujos métodos podem ser vistos como extensões dos métodos da Programação Linear A modelagem linear e a solução de problemas de produção por meio do método Simplex são os principais objetivos deste capítulo Por conveniência, modelos com variáveis de decisão inteiras ou binárias são também considerados; métodos adequados para tratar estes modelos serão discutidos a partir do Capítulo 3 22 Hipóteses básicas Uma empresa pode ser vista como um sistema que transforma recursos em produtos por meio de métodos ou tecnologias adequadas Tipicamente os recursos consistem de matérias primas, força de trabalho (homens/hora), disponibilidade de equipamentos e bens intermediários, adquiridos de outras empresas Os produtos 9

2 10 Capítulo 2 Programação Linear podem ser bens ou serviços acabados para consumo, ou intermediários, a serem comercializados com outras empresas Certas hipóteses são necessárias para que modelos lineares representem adequadamente problemas de produção Proporcionalidade Modelos lineares adotam a hipótese de que se o custo de produção de uma unidade (custo unitário) de um produto j é c j, então x j unidades do produto custam c j x j Se p j é o preço unitário de venda do produto j, então x j unidades do produto são vendidas por p j x j Na modelagem linear, se a produção de uma unidade do produto j consome a ij unidades do recurso i, então x j unidades do produto consomem a ij x j do recurso i A hipótese de proporcionalidade pode deixar de corresponder à realidade Exemplo: o custo (preço) unitário de produção (venda) pode decrescer a partir de um significativo aumento da quantidade produzida (vendida) Aditividade Pela hipótese da aditividade, se os custos unitários de produção de dois produtos, j e k, são c j e c k, respectivamente, então o custo total para produzir x j e x k unidades dos produtos é c j x j + c k x k, o mesmo aplicando-se ao valor total de venda de produtos Se a produção de uma unidade do produto j e de uma unidade do produto k consomem a ij e a ik unidades do recurso i, respectivamente, então o consumo total do recurso i é a ij x j + a ik x k A hipótese de aditividade implica que produtos podem ser produzidos independentemente Pode deixar de ser válida se houver interação entre produções Exemplo: dois produtos utilizam um mesmo recurso com diferentes eficiências Divisibilidade Significa que as variáveis de decisão podem assumir qualquer valor real, isto é, valores fracionários (não inteiros) representam decisões viáveis A hipótese de divisibilidade pode ser adotada quando as variáveis de decisão significam, por exemplo, quanto produzir de cada produto, e produtos não acabados durante um período de produção (dia, semana, mês, ano, etc) podem ser acabados no período seguinte Entretanto, se significarem quantidades de produtos para entregas em datas pré determinadas, variáveis de decisão assumindo apenas valores inteiros podem ser necessárias Existem ainda situações nas quais deve-se selecionar que produtos produzir dentro de uma lista de produtos possíveis Para indicar seleção ou atribuição, usa-se geralmente variáveis de decisão binárias: valores iguais a 1 indicam que os custos de produção e recursos utilizados pelos produtos assim selecionados devem ser con-

3 23 Modelos lineares 11 tabilizados; valores iguais a 0 indicam exatamente o contrário Determinismo Os parâmetros presentes no modelo custos, preços unitários, recursos são precisamente conhecidos Assume-se que eventuais incertezas quanto a estes parâmetros foram eliminadas e que dispõe-se de um modelo determinístico equivalente A hipótese de determinismo costuma ser afetada pelo período de planejamento Em períodos longos, as previsões de demandas e recursos tornam-se mais imprecisas, dificultando a determinação de custos de produção e preços de venda de produtos 23 Modelos lineares As hipóteses de proporcionalidade e aditividade levam a modelos de otimização integralmente representados por funções lineares Uma função z = z(x) é linear nas variáveis de decisão x 1, x 2,, x n quando existem coeficientes α 1, α 2,, α n tais que z(x) = α 1 x 1 + α 2 x α n x n Supondo que x 1, x 2,, x n são as quantidades produzidas de n produtos e c 1, c 2,, c n são os custos unitários de produção associados, então o custo total de uma empresa pode ser expresso por meio da função linear z c (x) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n A rigor, z c (x) é o custo total variável (com as quantidades produzidas) da empresa Geralmente existe uma segunda parcela de custo, chamada de custo total fixo, incorrido pela empresa independentemente das quantidades produzidas, que deve ser somado a z c para se obter o custo total de produção Entretando, a existência de custos fixos não gera dificuldades para a solução de problemas de programação linear De forma análoga, a receita total e o lucro total da empresa são expressos pelas funções lineares e z r (x) = p 1 x 1 + p 2 x p n x n z l (x) = z r (x) z c (x), respectivamente As funções z c, z r e z l são exemplos de funções objetivos para problemas de produção modelados por meio da abordagem linear As hipóteses de proporcionalidade e aditividade permitem que as restrições do problema sejam representadas por equações e/ou inequações lineares nas variáveis de decisão Especificamente, se a ij denota a quantidade de um recurso i utilizado

4 12 Capítulo 2 Programação Linear para produzir uma unidade do produto j, e b i é a quantidade total disponível do recurso, então a escolha das quantidades a produzir deve respeitar a desigualdade a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i Deve haver uma desigualdade deste tipo para cada tipo de recurso utilizado Se b i, i = 1, 2,, m denotarem as quantidades totais de m recursos disponíveis e o objetivo do problema for maximizar a receita total decorrente da produção da empresa, então o problema de otimização linear correspondente será dado por maximizar z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, x 1 0, x 2 0,, x n 0 (21) No problema (21) adota-se a hipótese da divisibilidade: as variáveis de decisão são quaisquer reais não negativos Formulações similares, mas envolvendo diferentes interpretações para variáveis de decisão e restrições a serem satisfeitas são muito freqüentes em programação linear Exemplo 21 (Problema da dieta) O chamado problema da dieta foi o primeiro problema linear formulado e resolvido com o uso de métodos de programação linear Assume-se que estejam disponíveis n diferentes alimentos (carne, leite, ovos, suco de laranja, ) e que o custo unitário do i-ésimo alimento é c i, i = 1, 2,, n A dieta deve atender a exigências diárias mínimas de m diferentes nutrientes (vitaminas, proteínas, carboidratos, ) Os níveis mínimos de nutrientes são representados por b j, j = 1, 2,, m; supõe-se que cada alimento i possui a ij unidades do nutriente j por unidade do alimento i Se as quantidades totais (não-negativas) dos n alimentos forem representadas por x 1, x 2,, x n, o problema da dieta assume a forma minimizar c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, x 1 0, x 2 0,, x n 0 A formulação do problema da dieta pode ser refinada de várias maneiras É possível, por exemplo, que a solução de mínimo custo seja tal que poucos alimentos (apenas os mais baratos) façam parte da dieta diária Uma forma de evitar a saturação do indivíduo com uma dieta muito simples é incorporar restrições com valores máximos para as quantidades de alimentos, isto é, incorporar restrições de desigualdade do tipo x i x i, i = 1, 2,, n A nova dieta será, provavelmente, mais diversificada, embora também mais cara do que a original

5 24 Forma padrão 13 Uma hipótese mais realista seria imaginar que as quantidades dos alimentos devem ser determinadas na forma de porções (porções de carne, porções de arroz, ), ao invés de quantidades arbitrárias de alimentos (As primeiras aplicações do problema da dieta visavam oferecer uma dieta diária de baixo custo para o Exército Americano e a dieta deveria ser servida em porções) Se levarmos em conta esta hipótese, o problema passa a envolver variáveis de decisão inteiras não-negativas 24 Forma padrão Para modelos de programação linear é possível estabelecer uma formulação matemática geral conhecida como forma padrão: qualquer problema de programação linear pode ser convenientemente manipulado e colocado nesta forma A partir de uma forma padrão torna-se mais fácil desenvolver e implementar métodos como o Simplex, a ser discutido neste capítulo A forma padrão de um problema de programação linear é a seguinte: minimizar z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, x 1 0, x 2 0,, x n 0 (22) As constantes c i, b j e a ij, i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, m caracterizam um problema particular de programação linear Um problema na forma padrão (22) possui n variáveis de decisão, m restrições de igualdade e a função objetivo deve ser minimizada Assume-se ainda que b j 0 para j = 1, 2,, m Procedimentos simples podem ser adotados para se chegar à forma padrão de um problema de programação linear qualquer Variáveis de excesso Suponha que o problema linear original apresenta uma restrição de desigualdade do tipo a j1 x 1 + a j2 x a jn x n b j A restrição de desigualdade pode ser substituída por uma restrição de igualdade introduzindo-se uma variável adicional x n+1, não-negativa, conhecida como variável de excesso: a j1 x 1 + a j2 x a jn x n x n+1 = b j Introduz-se tantas variáveis de excesso quantas forem as restrições do tipo presentes no modelo original Um novo conjunto de variáveis será formado pelas variáveis de decisão originais mais as variáveis de excesso

6 14 Capítulo 2 Programação Linear Variáveis de folga Suponha agora que o problema linear original apresenta uma restrição de desigualdade do tipo a j1 x 1 + a j2 x a jn x n b j A restrição de desigualdade pode ser substituída por uma restrição de igualdade introduzindo-se uma variável adicional x n+1, não-negativa, conhecida como variável de folga: a j1 x 1 + a j2 x a jn x n + x n+1 = b j Do mesmo modo, introduz-se tantas variáveis de folga quantas forem as restrições do tipo presentes no modelo original O novo conjunto de variáveis será formado pelas variáveis de decisão originais mais as eventuais variáveis de excesso e de folga Variáveis livres Pode ocorrer da formulação original do problema apresentar uma ou mais variáveis de decisão irrestritas ou livres, isto é, sem sinal definido Entretanto, a forma padrão exige variáveis não negativas Essa dificuldade pode ser contornada reescrevendo-se cada variável livre x j como a diferênça de duas outras variáveis não-negativas, x j1 e x j2, ou seja x j = x j1 x j2 A idéia é que qualquer quantidade (positiva, nula ou negativa) pode ser representada como a diferênça de duas quantidades não-negativas Faz-se então a substituição de cada variável livre por uma diferênça de variáveis não-negativas e incorpora-se as novas variáveis à lista de variáveis de decisão do problema Não-negatividade dos b j s Por razões a serem detalhadas oportunamente, exige-se que as constantes b j, j = 1, 2,, m nos lados direitos das restrições do problema (22) sejam todas nãonegativas Esta exigência pode ser atendidad multiplicando-se por 1 ambos os lados de todas restrições tais que b j < 0 O resultado são novas restrições com lados direitos positivos Problemas de maximização Certos problemas de programação linear envolvem maximizar funções objetivos, como a receita de uma empresa O objetivo do problema se expressaria como sujeito às restrições maximizar z(x) = p 1 x 1 + p 2 x p n x n, (23)

7 25 Exemplos ilustrativos 15 Assuma que x = (x 1, x 2,, x n) é uma solução ótima para o problema (23) Da otimalidade de x conclui-se que para toda solução viável x Neste caso, z(x ) z(x) z(x ) z(x) e x é também uma solução ótima para o problema de minimizar z(x) sujeito às mesmas restrições Portanto, a substituição de maximizar por minimizar, seguida da troca dos sinais dos coeficientes da função objetivo, fornece problemas equivalentes do ponto de vista das variáveis de decisão Os valores absolutos das funções objetivos serão iguais, porém com sinais trocados Constante na função objetivo A soma de uma constante qualquer a uma função objetivo não altera o problema do ponto de vista das variáveis de decisão De fato, se x é uma solução ótima para o problema de minimizar z(x) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, sujeito às restrições, então x também é uma solução ótima para o problema de minimizar z(x) + c 0, sendo c 0 uma constante qualquer, uma vez que z(x ) + c 0 z(x) + c 0 para toda solução viável x Constantes em funções objetivos geralmente surgem da consideração de custos fixos ou de reformulações visando formas padrões Podem ser desconsideradas para a obtenção de soluções ótimas e então somadas aos valores ótimos das funções objetivos 25 Exemplos ilustrativos Embora seja possível colocar qualquer problema de programação linear na forma padrão (22), não existe um procedimento sistemático para obter o modelo de otimização básico do problema Uso criterioso das hipóteses e treinamento exaustivo são essenciais para se ganhar habilidade em modelagem de problemas de produção Exemplo 22 Uma joalheria produz dois diferentes tipos de estojos de madeira para jogos de xadrez O primeiro, menor, requer 3 horas de trabalho de torneamento; o segundo, maior, requer 2 horas A empresa possui 4 tornos operados por trabalhadores treinados, os quais trabalham, cada, 40 horas por semana O estojo menor demanda 1 kg de madeira; o maior demanda 3 kg A empresa pode obter no máximo 200 kg de madeira por semana Os lucros unitários da empresa são de $20 e $5 por unidade de estojo maior e menor, respectivamente Deseja-se prescrever um

8 16 Capítulo 2 Programação Linear programa de produção que vise maximizar o lucro total da empresa com a venda dos estojos Sejam x 1 e x 2 as quantidades (não negativas) de estojos de menor e maior dimensões, respectivamente, produzidas durante uma semana Para obter uma restrição sobre horas trabalhadas, observa-se que a empresa possui 4 operadores que trabalham, cada, 40 horas por semana nos tornos Portanto, a empresa dispõe de 160 horas de torneamento por semana Dadas as diferentes quantidades de horas necessárias para tornear os estojos, obtém-se a restrição de capacidade 3x 1 + 2x A segunda restrição de capacidade, envolvendo as quantidades de madeira utilizadas por unidade de estojos e a disponibilidade semanal de madeira para produção, é dada por x 1 + 3x O modelo de otimização para a empresa então seria maximizar z = 5x x 2 sujeito a 3x 1 + 2x 2 160, x 1 + 3x 2 200, com x 1 0 e x 2 0 Para obter a forma padrão do problema, introduz-se duas variáveis de folga adicionais, x 3 e x 4, transforma-se maximizar em minimizar e trocam-se os sinais dos coeficientes da função objetivo O problema resultante será minimizar z = 5x 1 20x 2 sujeito a 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 160, x 1 + 3x 2 + x 4 = 200, com x 1 0, x 2 0, x 3 0 e x 4 0 As hipóteses de proporcionalidade, aditividade e divisibilidade, implícitas na descrição textual do problema, tornaram mais simples sua formulação matemática Na prática, um operador de torno provavelmente levaria mais tempo para tornear as primeiras unidades de estojos dos que as subseqüentes Com a hipótese de proporcionalidade, assume-se tempos iguais para todas as unidades de um mesmo tipo Além disto, não são considerados os tempos necessários para ajustes dos tornos (desligamento, limpeza, instalação de novas ferramentas, religamento) quando estes passam a tornear estojos de tipos diferentes Com a hipótese da aditividade, assume-se que os tempos de ajustes podem ser desprezados, e os tempos de torneamento efetivos, simplesmente somados Finalmente, como se trata da produção semanal da empresa e não existem prazos para entrega de estojos, estojos nãoacabados numa semana podem ser acabados na semana seguinte, o que valida a hipótese de divisibilidade Exemplo 23 Um fazendeiro utiliza no mínimo 400 kg de ração especial por dia A ração é uma mistura de milho e soja com as composições indicadas na tabela 21

9 25 Exemplos ilustrativos 17 Tabela 21: Dados do problema de dieta kg/kg de alimento Alimento Proteína Fibra Custo ($/kg) Milho Soja Um mínimo de 30% e um máximo de 5% da quantidade total de alimento consumida por dia são estabelecidos para as quantidades totais de proteína e fibra presentes na dieta O fazendeiro deseja determinar a mistura de milho e soja que produz uma dieta diária de mínimo custo Sejam x 1 e x 2 as quantidades (não negativas) em kg de milho e soja na dieta diária procurada pelo fazendeiro Como no mínimo 400 kg de ração são utilizados, ou ainda ou seja, x 1 + x A prescrição para consumo de proteínas implica numa restrição do tipo Do mesmo modo, para fibra, 009x x 2 030(x 1 + x 2 ), 021x 1 030x x x 2 005(x 1 + x 2 ), 003x 1 001x 2 0 O modelo linear de otimização para a dieta diária seria minimizar z = 060x x 2 sujeito a 021x 1 030x 2 0, 003x 1 001x 2 0, x 1 + x 2 400, com x 1 0 e x 2 0 A forma padrão do problema é obtida introduzindo-se uma variável de folga na primeira restrição e variáveis de excesso na segunda e terceira restrições Exemplo 24 Um restaurante fast food vende dois tipos de sanduíches Os sanduíches utilizam 120 g e 90 g de carne, respectivamente O restaurante abre as portas com 90 kg de carne em estoque, mas pode comprar mais carne a $050/kg, preço que inclui o custo de entrega Qualquer excesso de carne no final do dia é doado para uma instituição de caridade Os lucros do restaurante com os sanduíches são de $020 e $015 por unidade, respectivamente; o restaurante não espera vender mais do que 900 sandíches por dia Quantos sanduíches de cada tipo o restaurante deveria produzir para maximizar seu lucro diário?

10 18 Capítulo 2 Programação Linear Sejam x 1 e x 2 as quantidades (não negativas) de sanduíches dos tipos 1 e 2 a serem produzidas Se o restaurante se mantiver dentro do limite de 90 kg de carne por dia, então 012x x 2 90 Porém, o restaurante pode adquirir mais carne, e, neste caso, 012x x 2 90 A princípio, não se sabe qual das alternativas será mais vantajosa para o restaurante: operar com folga ou excesso de carne Uma solução é introduzir uma variável adicional x 3, livre, representando quantidade de carne, e escrever a restrição sobre utilização de carne como 012x x 2 + x 3 = 90 A variável x 3 pode ser representada como a diferênça de variáveis não negativas: x 3 = x 31 x 32 A restrição é então reescrita como 012x x 2 + x 31 x 32 = 90 Se x 3 0, o restaurante opera com folga de carne e o lucro total será 020x x 2 Por outro lado, se x 3 < 0, o restaurante incorrerá num custo adicional por comprar carne Por motivos que serão detalhados quando da discussão do método Simplex, as variáveis x 31 e x 32 não poderão assumir valores positivos simultâneamente Neste caso, se x 3 < 0, então x 31 = 0 e x 32 > 0, de tal forma que o lucro total do restaurante pode ser escrito como 020x x 2 050x 32 O modelo linear de otimização para o restaurante seria maximizar z = 020x x 2 050x 32 sujeito a 012x x 2 + x 31 x 32 = 90, x 1 + x 2 900, com x 1 0, x 2 0, x 31 0 e x 32 0 Para obter a forma padrão do problema, deve-se introduzir uma variável de folga na última restrição, substituir maximizar por minimizar, e trocar os sinais dos coeficientes da função objetivo Exemplo 25 Um banco precisa formular uma política de empréstimos envolvendo uma quantia máxima de $12 milhões A tabela 22 apresenta os parâmetros utilizados nos diferentes tipos de empréstimos com os quais o banco opera Tabela 22: Parâmetros utilizados pelo banco Tipo de Taxa Probabilidade Empréstimo de Juros de default Pessoal Automotivo Habitacional Agrícola Comercial

11 25 Exemplos ilustrativos 19 Probabilidade de default significa probabilidade de que o empréstimo não seja recuperado, e que portanto também não renda juros A concorrência com outras instituições financeiras obriga o banco a alocar no mínimo 40% dos recursos para empréstimos agrícolas e comerciais Para apoiar a indústria civil da região, os recursos alocados para empréstimos habitacionais devem corresponder a, no mínimo, 50% dos recursos alocados para empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais A política de banco estabelece que razão entre o montante total de empréstimos default e o total de empréstimos deve ser de 004 O objetivo do banco é distribuir os recursos disponíveis entre as diferentes formas de empréstimos de forma a obter o maior lucro possível, entendido como a diferênça entre a receita total decorrente de juros e o montante total perdido por default As quantidades (não negativas) abaixo representam os montantes (em milhões) a serem empregados em cada tipo de empréstimo x 1 : x 2 : x 3 : x 4 : x 5 : pessoais; automotivos; habitacionais; agrícolas; comerciais Como o máximo disponível para empréstimos é $12 (em milhões), x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 12 Empréstimos agrícolas e comerciais devem representar no mínimo 40% do máximo disponível: x 4 + x 5 48 Empréstimos habitacionais devem corresponder a no mínimo 50% dos empréstimos pessoais, automotivos e habitacionais: ou seja, x 3 050(x 1 + x 2 + x 3 ), 050x x 2 050x 3 0 A política da empresa quanto a empréstimos default pode ser expressa como 010x x x x x 5 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x (24) O numerador de (24) é quanto o banco espera perder com a alocação de recursos A desigualdade (24) é equivalente a 006x x 2 001x x 4 002x 5 0 O lucro total do banco é dado por z = 014(090x 1 ) + 013(093x 2 ) + 012(097x 3 ) (095x 4 ) + 010(098x 5 ) (010x x x x x 5 ) (25)

12 20 Capítulo 2 Programação Linear A primeira parcela do lado direito de (25) é quanto o banco espera receber de juros sobre os empréstimos; a segunda parcela contabiliza a perda devida a empréstimos default A função objetivo (25) pode ser simplificada para z = 0026x x x x x 5 O modelo linear de otimização para o problema do banco seria maximizar z = 0026x x x x x 5 sujeito a 006x x 2 001x x 4 002x 5 0, 050x x 2 050x 3 0, x 4 + x 5 48, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 12, com x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 e x 5 0 A forma padrão do problema é facilmente obtida introduzindo-se variáveis de folga na primeira, segunda e quarta restrições, uma variável de excesso na terceira restrição, alterando-se maximizar para minimizar, e trocando-se os sinais dos coeficientes da função objetivo 26 Modelos com variáveis inteiras Alguns modelos importantes de planejamento exigem que parte ou todas as variáveis de decisão sejam variáveis inteiras, isto é, variáveis que podem assumir somente valores inteiros Como caso especial, variáveis binárias assumem apenas os valores inteiros 0 ou 1 Costuma-se referir a um modelo linear com variáveis inteiras como um modelo de programação linear inteira, embora, rigorosamente falando, um modelo deste tipo não seja mais linear Um modelo de programação linear inteira é puro se contém somente variáveis inteiras; misto, se parte das variáveis assume valores inteiros e a parte complementar, reais Certos modelos de programação linear inteira podem ser abordados por meio do método Simplex, na qual a hipótese de divisibilidade é adotada, e ainda assim obter-se decisões ótimas inteiras Além disso, quando o modelo linear exibe certas propriedades estruturais, é possível obter soluções ótimas inteiras por meio de métodos especializados de programação linear, discutidos no Capítulo 3 do curso No caso geral será necessário utilizar métodos específicos para resolver problemas de programação linear inteira Alguns destes métodos, os mais simples e gerais, são tratados no Capítulo 4 do curso A modelagem de problemas de planejamento que envolvam variáveis inteiras será introduzida neste capítulo Exemplo 26 Uma empresa de planejamento de transportes urbanos está analisando a implantação de um novo sistema de transporte de massa por ônibus Um estudo inicial visa determinar a quantidade mínima de ônibus que devem ser colocados em operação para atender a demanda de passageiros Após coletar informações, o engenheiro de tráfego da empresa observou que o número mínimo de ônibus necessários para atender a demanda varia conforme a hora do dia, como ilustra a figura 21, permanecendo constante a cada período de 4 horas, ou turnos Cada

13 26 Modelos com variáveis inteiras 21 ônibus deve começar a circular no início de um dos turnos indicados e permanecer circulando por 8 horas consecutivas Deseja-se determinar a quantidade mínima de ônibus em operação por dia que atenda a demanda de passageiros Uma primeira abordagem seria imaginar três períodos de oito horas (dois turnos), de 8h às 16h, de 16h às 24h e de 24h às 8h, e definir x 1, x 2 e x 3 como os números de ônibus começando o circular nos inícios destes períodos O modelo de otimização correspondente seria: minimizar sujeito a z = x 1 + x 2 + x 3 x 1 10, x 2 12 e x 3 8, com x 1, x 2 e x 3 representando variáveis inteiras não-negativas O número mínimo de ônibus por dia seria 30 Entretanto, a abordagem adotada introduz uma restrição que o problema original não possui, uma vez que os ônibus podem começar a circular nos inícios de quaisquer turnos PSfrag replacements No de Ônibus Hora do Dia Figura 21: Demanda de ônibus por turnos Sejam então 1, 2, 3, 4, 5 e 6 índices indicativos dos turnos começando às 24h, 4h, 8h, 12h, 16h e 20h Seja x i o número de ônibus que começam a circular no início do turno i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Aos ônibus x 1 que começam a circular às 24h somam-se os ônibus que começam às 20h, e para atender a demanda do turno de 4 horas que começa às 24h, deve-se impor que x 1 + x 6 4 Procedendo da mesma maneira nos turnos subseqüentes de 4 horas, obtém-se o seguinte modelo de otimização para o problema da empresa de transportes: minimizar z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 sujeito a x 1 + x 6 4, x 1 + x 2 8, x 2 + x 3 10, (26) x 3 + x 4 7, x 4 + x 5 12, x 5 + x 6 4,

14 22 Capítulo 2 Programação Linear com x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 e x 6 variáveis inteiras não-negativas (Observe que a forma padrão da programação linear não se aplica a problemas com variáveis inteiras) É possível mostrar que por meio do modelo (26), chega-se ao número mínimo de 26 ônibus em circulação por dia Exemplo 27 Cinco projetos estão sendo avaliados num horizonte de planejamento de três anos A tabela 23 fornece as receitas esperadas de cada projeto, juntamento com o gasto previsto e o capital disponível para investimento por ano Os valores encontram-se em $ milhões Deseja-se determinar quais projetos devem ser executados no horizonte de 3 anos de forma obter a maior receita possível O problema se resume a determinar se um projeto será ou não executado, o que pode ser convenientemente representado por uma variável binária: para i = 1, 2, 3, 4, 5, define-se 1, se o projeto i é executado, x i = 0, caso contrário Tabela 23: Parâmetros dos cinco projetos Despesa Anual Projeto Receita Capital O modelo de programação linear inteira a ser utilizado para determinar que projetos executar seria maximizar z = 20x x x x x 5 sujeito a 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 7x 4 + 8x 5 25, (27) x 1 + 7x 2 + 9x 3 + 4x 4 + 6x 5 25, 8x x 2 + 2x 3 + x x 5 25, com x 1, x 2, x 3, x 4 e x 5 variáveis binárias É interessante notar que existem 25 = 32 maneiras de se atribuir valores iguais a 0 ou 1 para x 1, x 2, x 3, x 4 e x 5, e assim obter diferentes soluções para o problema Um método simples, que funcionaria para o modelo (27) seria: 1 Determine todas as possíveis combinações de x 1, x 2, x 3, x 4 e x 5 : {(0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0),, (1, 1, 1, 1, 1)};

15 26 Modelos com variáveis inteiras 23 2 Dentre as combinações obtidas, descarte as que não sejam viáveis, como por exemplo, (1, 1, 1, 1, 1); 3 Dentre as combinações viáveis, obtenha uma pode existir mais de uma que forneça o maior valor para z Este tipo de estratégia, chamada de solução por enumeração, é claramente limitada a modelos que apresentem um pequeno número de variáveis binárias Exemplo 28 Três companhias telefônicas estão disputando sua preferência para chamadas de longa distância Os serviços oferecidos pelas companhias envolvem um custo fixo mensal assinatura e um custo variável por minuto, resumidos na tabela 24 Tabela 24: Custos em $ por companhia Companhia Mensal Por Minuto Você utiliza uma média de 200 minutos em chamadas de longa distância por mês, não paga a assinatura da companhia caso não faça nenhuma chamada por meio dela, e pode distribuir livremente suas chamadas entre as três companhias Como você deve utilizar os serviços das companhias de forma a minimizar o valor da sua conta telefônica mensal? O modelo para este problema envolve custos fixos e custos variáveis, que precisam ser refletidos nas variáveis de decisão Sejam então x 1, x 2 e x 3 as quantidades em minutos utilizadas com ligações por meio das companhias 1, 2 e 3 Defina também, para i = 1, 2, 3, 1, se x i > 0, y i = 0, se x i = 0 As variáveis binárias y 1, y 2 e y 3 indicam em que situação os custos fixos das companhias devem ser levados em conta Uma maneira de garantir que y i = 1 se x i > 0 é definindo um número positivo M suficientemente grande e introduzindo a desigualdade x i My i, i = 1, 2, 3 Como x 1 200, i = 1, 2, 3, uma escolha conveniente é M = 200 (Valores menores introduziriam restrições adicionais no modelo) O modelo de otimização que você deveria utilizar seria minimizar z = 025x x x y y y 3 sujeito a x 1 + x 2 + x 3 = 200, x 1 200y 1, (28) x 2 200y 2, x 3 200y 3,

16 24 Capítulo 2 Programação Linear com x 1, x 2 e x 3, variáveis não-negativas, e y 1, y 2 e y 3, variáveis binárias O modelo de programação inteira (28) é misto, pois envolve variáveis reais e inteiras (binárias) Existem 2 3 = 8 combinações de valores para y 1, y 2 e y 3 ; somente (0, 0, 0) não é viável Como para cada combinação viável (28) transforma-se num modelo de programação linear, uma estratégia de solução seria: resolva os problemas de programação linear viáveis e determine a solução ótima que forneça o menor valor Como comentado anteriormente, estratégias de enumeração são limitadas a problemas com poucas variáveis binárias Exemplo 29 O departamento responsável pela segurança de uma universidade está discutindo a instalação de telefones públicos em localizações apropriadas do campus O departamento deseja instalar o menor número de telefones possível, mas de forma que cada uma das ruas principais seja atendida por no mínimo um telefone A figura 22 é um mapa com as principais ruas do campus, indicadas por letras de A a K Como o departamento deve alocar os telefones? Um telefone localizado em cruzamentos de ruas serve a no mínimo duas ruas Como existem 8 cruzamentos, numeradas de 1 a 8 na figura 22, no máximo 8 telefones serão necessários É conveniente entãopsfrag definirreplacements as seguintes variáveis binárias: para i = 1, 2,, 8, 1, se um telefone é instalado no cruzamento i, x i = 0, caso contrário A B I K G F 4 C 5 H J E Figura 22: Mapa do campus principais ruas No mínimo um telefone deve atender cada uma das 11 ruas, identificadas por A, B,, K Para atender a rua A, por exemplo, é possível instalar um telefone no cruzamento 1 ou no cruzamento 2 Uma maneira de indicar esta restrição é por meio da desigualdade x 1 + x 2 1 D

17 27 Solução gráfica de problemas lineares 25 Restrições similares são obtidas para cada uma das ruas do compus O modelo de programação linear inteira que o departamento de segurança do campus deve resolver é minimizar z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 sujeito a x 1 + x 2 1, (A) x 2 + x 3 1, (B) x 4 + x 5 1, (C) x 7 + x 8 1, (D) x 6 + x 7 1, (E) (29) x 2 + x 6 1, (F ) x 1 + x 6 1, (G) x 4 + x 7 1, (H) x 2 + x 4 1, (I) x 5 + x 8 1, (J) x 3 + x 5 1, (K) com x 1, i = 1, 2,, 8, variáveis binárias Problemas da forma (29) são chamados de problemas de cobertura Um problema geral de cobertura apresenta zeros ou uns como coeficientes dos lados esquerdos das restrições, restrições do tipo 1, e eventualmente custos não unitários No modelo (29) admite-se implicitamente que os custos de instalação dos telefones são iguais 27 Solução gráfica de problemas lineares Problemas de programação linear com até duas variáveis de decisão podem ser representados e resolvidos graficamente Embora limitada, a representação gráfica permite evidenciar propriedades e as diversas situações que podem ser encontradas ao se resolver problemas com um número maior de variáveis Para efeito de exposição, considere o seguinte problema de programação linear: maximizar z = x 1 + 2x 2 sujeito a x 1 + x 2 8, (210) x 1 + 2x 2 4, 2x 1 x 2 12, com x 1 0 e x 2 0 Considere o plano x 1 x 2, com os eixos das abcissas e das ordenadas representando possíveis valores para as variáveis de decisão x 1 e x 2 Cada uma das restrições descreve uma região do plano Para obter a região associada à restrição x 1 + x 2 8, descreve-se inicialmente a reta x 1 + x 2 = 8, que passa pelos pontos (0, 8) e (8, 0) A reta x 1 + x 2 = 8 divide o plano em dois semiplanos, x 1 + x 2 8 e x 1 +x 2 8 A região x 1 +x 2 8 corresponde ao semiplano que contém a origem do plano, pois Repete-se o procedimento para todas as restrições presentes no modelo A interseção das regiões descritas pelos semiplanos representa a região viável do problema, ilustrada na figura 23

18 PSfrag replacements 26 Capítulo 2 Programação Linear 8 6 x 2 x 1 + x 2 = 8 x 1 + 2x 2 = 4 4 2x 1 x 2 = c z = x 1 z = 12 z = 8 z = 4 z = 0 z = 4 Figura 23: Representação gráfica do problema (210) A região viável possui infinitos pontos e, em princípio, qualquer um deles pode ser uma solução ótima do problema Para determinar qual deles produz o maior valor para z, usa-se o fato de que x 1 +2x 2 = z descreve uma família de retas paralelas de inclinação 05 parametrizada pelo valor de z Diferentes valores de z levam a diferentes pontos de cruzamento com os eixos x 1 e x 2 Retas correspondentes a valores selecionados de z encontram-se representadas na figura 23 Para determinar o sentido de crescimento de z, utiliza-se o conceito de gradiente de uma função num ponto O vetor gradiente de qualquer função diferenciável z = z(x) de n variáveis num ponto x = (x 1, x 2,, x n ), denotado por z(x), é o vetor formado pelas primeiras derivadas parciais da função no ponto considerado: ( z(x) z(x) =, z(x),, z(x) x 1 x 2 x n O vetor gradiente indica o sentido de maior crescimento da função no entorno do ponto considerado Observa-se que o vetor gradiente de uma função linear, é constante e dado por z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, c = (c 1, c 2,, c n ) No caso do exemplo ilustrativo, c = (1, 2) O sentido do gradiente está indicado na figura 23 O vetor gradiente é ortogonal a qualquer reta que descreva um valor para a função objetivo Dois vetores x, y de n componentes são ortogonais se o seu )

19 27 Solução gráfica de problemas lineares 27 produto escalar, definido por x 1 y 1 + x 2 y 2 + x n y n, é igual a zero Sejam então x, y dois pontos quaisquer pertencentes à reta correspondente a um valor z = z 0 para a função objetivo Neste caso, x 1 +2x 2 = y 1 +2y 2 = z 0, e portanto (x 1 y 1 ) + 2(x 2 y 2 ) = 0, indicando que os vetores c e x y, este último sobre a reta associada a z 0, são ortogonais A maximização do valor da função-objetivo no problema (210) pode ser conduzida da seguinte forma: percorre-se a região viável do problema no sentido do gradiente (aumentando continuamente o valor da função-objetivo) até que a fronteira da região seja eventualmente atingida O valor máximo da função-objetivo na região viável é dado pelo valor da reta que toca a fronteira, no caso z = 12 Qualquer ponto pertencente à reta de valor z = 12 que também pertença à fronteira é uma solução ótima do problema No caso do exemplo ilustrativo (210), existe apenas uma solução ótima, x = (4, 4) Se o objetivo do problema (210) fosse, ao invés de maximizar, minimizar o valor de z, adotar-se-ia a direção contrária à do gradiente aquela de maior decrescimento da função O valor mínimo da função-objetivo seria z = 0, obtido no ponto x = (0, 0) As análises de situações mais gerais, a seguir, aplicam-se também a problemas de minimização Soluções ótimas únicas e múltiplas A resolução gráfica do problema (210) conduz a uma solução ótima única Entretanto, é possível que exista mais de uma solução ótima para um dado problema de programação linear Considere novamente o problema (210), mas suponha que a função-objetivo foi alterada para z = x 1 + x 2 O procedimento gráfico sugerido fará então com que a reta correspondente ao maior valor de z toque a fronteira em múltiplos pontos sobre a reta x 1 + x 2 = 8 O valor máximo da função-objetivo será z = 8 e qualquer ponto no segmento de reta que liga os pontos (4, 4) e (20/3, 4/3) é uma solução ótima do problema Problemas ilimitados Nos exemplos tratados até o momento foi possível obter valores máximos limitados para a função-objetivo por meio de uma ou mais soluções ótimas Existem situações, quase sempre decorrentes de formulações inadequadas do problema, nas quais não é possível limitar superiormente o valor da função-objetivo Suponha que as restrições x 1 + x 2 8 e 2x 1 x 2 12 do problema (210) são removidas, como ilustra a figura 24 A região viável torna-se aberta na direção do gradiente, e

20 28 Capítulo 2 Programação Linear PSfrag replacements sempre será possível obter um valor para a função objetivo maior do que o anterior Um problema linear com essa característica é chamado de ilimitado O valor de z tende a + e não é possível caracterizar uma solução ótima para o problema 8 x x 1 + x 1 2x+ 2 x= 2 4= 8 2x 1 x 2 = 12 2 c z = x 1 z = 8 4 z = 4 z = z = 0 3 Figura 24: Representação gráfica problema ilimitado Problemas inviáveis Diz-se que um problema de programação linear é viável se existe pelo menos um ponto que satisfaz todas as restrições do problema, ou seja, se a região viável do problema é não-vazia Caso contrário, diz-se que o problema é inviável Todos os exemplos discutidos até agora referem-se a problemas viáveis Entretanto, formulações inadequadas podem levar a problemas inviáveis Considere, por exemplo, o problema (210) com os sinais da segunda e terceira restrições lineares invertidos: maximizar z = x 1 + 2x 2 sujeito a x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 4, 2x 1 x 2 12, (211) com x 1 0 e x 2 0 Esta modificação é suficiente para tornar o problema (211) inviável: a interseção dos semiplanos gerados pelas três restrições é vazia, como ilustra a figura 25

21 PSfrag replacements 28 Revisão de álgebra linear e matrizes x 2 x 1 + x 2 = 8 x 1 + 2x 2 = 4 4 2x 1 x 2 = c z = x 1 z = 12 z = 8 4 z = 4 z = 0 Figura 25: Representação gráfica problema inviável Propriedade fundamental da programação linear A interseção das restrições do problema (210) descreve um polígono, com pontos extremos e arestas conhecidas A região viável de um problema com mais de duas variáveis seria descrita por um poliedro Os cinco pontos extremos da região viável do problema (210) são (0, 0), (0, 2), (4, 4), (20/3, 4/3), (6, 0) Cinco arestas ligam estes pontos extremos A análise gráfica do problema (210) sugere que soluções ótimas podem ser caracterizadas de duas formas: como um ponto extremo ou como um conjunto de pontos sobre uma aresta da região viável Mas, mesmo neste último caso, pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo da região viável Esta conclusão pode ser generalizada: se um problema de programação linear qualquer tiver soluções viáveis ótimas, uma delas será um ponto extremo da região viável Assim, embora a região viável do problema geralmente contenha uma infinidade de pontos, para resolvêlo basta analisar um número finito de pontos extremos Para resolver (210), por exemplo, bastaria calcular z nos pontos extremos da região viável e declarar solução ótima aquele que produzisse o maior valor O método Simplex para programação linear nada mais é do que uma busca orientada de soluções ótimas como pontos extremos da região viável do problema considerado 28 Revisão de álgebra linear e matrizes Interpretações geométricas como as apresentadas na seção anterior são úteis, mas naturalmente limitadas a problemas com duas ou três variáveis de decisão, no máximo Em dimensões maiores é necessário generalizar noções como as de ponto

22 30 Capítulo 2 Programação Linear e reta, e adotar uma representação adequada para os problemas tratados Nesta seção são revistos os principais conceitos de álgebra linear e matrizes aplicáveis ao estudo de programação linear Cada conjunto x = (x 1, x 2,, x n ) de valores possíveis para as variáveis de decisão de um problema linear pode ser visto como um vetor do espaço linear R n, o que se denota como x R n As quantidades x 1, x 2,, x n são as componentes do vetor x Dois vetores x, y R n são iguais se x i = y i para todo i = 1, 2,, n A soma de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar são definidas no R n como x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ), αx = (αx 1, αx 2,, αx n ), α R O vetor nulo do R n é o vetor composto por n valores reais iguais a zero: 0 = (0, 0,, 0) A distinção entre o vetor nulo do R n e o real zero será estabelecida pelo contexto A notação x j i será empregada para representar a i-ésima componente de um vetor x j Vetores podem ser representados graficamente associando-se as componentes do vetor a eixos cartesianos O vetor nulo é representado na intersecção dos eixos, denominada de origem, e um vetor qualquer, como um segmento orientado a partir da origem A figura 26 ilustra as operações de soma e produto por PSfrag replacements escalar no R 2 x 2 + y 2 x + y αx x 2 y 2 x y x (α > 1) 0 x 1 y 1 x 1 + y 1 0 Figura 26: Operações básicas com vetores do R 2 Combinação linear Seja C = {x 1, x 2,, x k } um conjunto qualquer de k vetores do R n Sejam ainda α 1, α 2,, α k escalares reais quaisquer Uma expressão da forma α 1 x 1 + α 2 x α k x k é chamada de combinação linear dos vetores de C, e resulta num vetor do R n Observe o emprego das operações de soma, dois-a-dois, e de multiplicação de vetores por escalares, introduzidas anteriormente

23 28 Revisão de álgebra linear e matrizes 31 Exemplo 210 Assuma k = 2, x 1 = (1, 0, 1), x 2 = ( 4, 1, 2), α 1 = 1 e α 2 = 2 Então α 1 x 1 + α 2 x 2 = 1 (1, 0, 1) + ( 2) ( 4, 1, 2) = ( 3, 2, 5) Uma combinação linear de vetores pode ser representada graficamente deslocando-se α 2 x 2 para a extremidade de α 1 x 1, e assim sucessivamente, até deslocar-se α k x k para a de α k 1 x k 1 A ligação da origem com a extremidade deslocada de α k x k resulta no vetor gerado pela combinação linear Dependência linear Seja C = {x 1, x 2,, x k } um conjunto qualquer de k vetores do R n Diz-se que C é linearmente dependente se existem escalares α 1, α 2,, α k, não todos nulos, tais que k α j x j = α 1 x 1 + α 2 x α k x k = 0 (212) j=1 Se a igualdade (212) for verdadeira somente se α 1 = α 2 = = α k = 0, diz-se então que C é linearmente independente Exemplo 211 Assuma k = 2, x 1 = (1, 0, 1) e x 2 = ( 4, 1, 2) A partir de (212), obtém-se α 1 x 1 + α 2 x 2 = (α 1 4α 2, α 2, α 1 + 2α 2 ) = (0, 0, 0) Da igualdade de vetores, chega-se ao sistema de equações α 1 4α 2 = 0, (213) α 2 = 0, (214) α 1 + 2α 2 = 0 (215) Como a única solução possível para o sistema (213)-(215) é α 1 = α 2 = 0, o conjunto C = {(1, 0, 1), ( 4, 1, 2)} é linearmente independente Se um conjunto de vetores é linearmente independente, costuma-se dizer que os vetores do conjunto são linearmente independentes Base e dimensão Um conjunto C = {x 1, x 2,, x k }, com x j R n, j = 1, 2,, k, é uma base do R n se C é linearmente independente e qualquer vetor do R n pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C Diz-se neste caso que o conjunto C gera o R n

24 32 Capítulo 2 Programação Linear Exemplo 212 (a) O conjunto C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0} é linearmente independente, mas nem todos os vetores do R 3 podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de C, como por exemplo x = (0, 0, 1) Logo, C não é uma base do R 3 ; (b) O conjunto C = {1, 0), (0, 1), (1, 1)} não é linearmente independente, mas gera o R 2 Dado um vetor qualquer x = (x 1, x 2 ), basta definir os escalares α 1 = x 1, α 2 = x 2 e α 3 = 0 para obter x como combinação dos vetores de C: Entretanto, C não é uma base do R 2 ; x = x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) + 0(1, 1) (c) Os conjuntos C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e C = {(1, 0), (0, 1)} são bases do R 3 e R 2, do mesmo modo que C = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} e C = {(1, 1), (0, 1)} Seja C = {x 1, x 2,, x k } uma base do R n existem escalares α 1, α 2,, α k tais que x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α n x k Então para um dado x R n Os escalares α 1, α 2,, α k são chamados de representação de x na base C A representação de um vetor varia conforme a base considerada, como ilustra a figura 27 β 1 y 1 PSfrag replacements α 1 x 1 y 1 x x 1 x 2 0 y 2 β 2 y 2 α 2 x 2 Figura 27: Diferentes representações para um vetor do R 2 É possível mostrar que a representação de um vetor numa dada base é única, e que todas as bases possuem exatamente o mesmo número de vetores O conjunto de n vetores C = {(1, 0,, 0), (0, 1,, 0),, (0, 0,, 1)}

25 28 Revisão de álgebra linear e matrizes 33 é chamado de base canônica do R n É linearmente independente e qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos seus vetores A representação de um vetor qualquer x na base canônica é α 1 = x 1, α 2 = x 2,, α n = x n, se confundindo com o próprio vetor Uma vez que o número de vetores na base canônica é igual a n, e dado que todas as bases devem conter o mesmo número de vetores, conclui-se que todas as bases do R n possuem n vetores A dimensão de um espaço linear é igual ao número de vetores nas suas bases Portanto, a dimensão do R n é igual a n Produto escalar e norma O produto escalar de dois vetores x, y R n é o escalar definido como x, y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n Dois vetores x, y R n são ortogonais se x, y = 0 Um vetor x R n é ortogonal a um conjunto qualquer de vetores C = {x 1, x 2,, x k } se x, x j = 0 para todo j = 1, 2,, k A norma euclidiana de um vetor x R n é o escalar definido por x = ( x x x 2 n) 1/2 O ângulo θ no intervalo [0, π] formado por dois vetores não-nulos x, y R n pode ser definido como x, y cos θ = x y Conjuntos poliedrais Seja c R n e α R um vetor não-nulo e um escalar qualquer, respectivamente O conjunto dos pontos H = {x R n : c 1 x 1 + c 2 x c n x n = α} é chamado de hiperplano Hiperplanos assumem as formas conhecidas de retas e planos no R 2 e R 3, respectivamente Cada hiperplano determina dois semi-espaços no R n : H = {x R n : c 1 x 1 + c 2 x c n x n α} e H + = {x R n : c 1 x 1 + c 2 x c n x n α} A intersecção de um número finito de semi-espaços descreve um poliedro no R n A figura 28 ilustra poliedros (polígonos) no R 2 descritos por semi-espaços (semiplanos) As regiões determinadas pelos subespaços estão indicadas por setas Um poliedro pode ser aberto (figura 28(a)) ou fechado (figura 28(b)), dependendo dos semi-espaços considerados

26 34 Capítulo 2 Programação Linear Poliedros podem ser caracterizados por meio dos seus pontos extremos, como x 1, x 2 e x 3 nas figuras 28(a) e 28(b), e direções extremas, como d 1 e d 2 na figura 28(a) x 1 d 1 x 2 x 2 x 3 PSfrag replacements d 2 x y y x 1 x x 3 (a) (b) Figura 28: Poliedros no R 2 descritos por semi-espaços Poliedros são conjuntos convexos, no sentido de que se x e y são vetores quaisquer contidos num poliedro, então o vetor x = λx + (1 λ)y, λ [0, 1], chamado de combinação convexa de x e y, também pertence ao poliedro, qualquer que seja λ [0, 1] As combinações convexas de dois vetores descrevem um segmento de reta cujas extremidades são os vetores, como ilustra a figura 28 Matrizes Uma matriz é qualquer arranjo retangular de números Se o retângulo possui m linhas e n colunas, diz-se que a matriz tem dimensão m n O conjunto das matrizes reais de dimensão m n é denotado por R m n Uma matriz A R m n genérica seria a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Uma matriz A R m n pode também ser denotada como A = {a ij } Duas matrizes A, B R m n são iguais se a ij = b ij para todo i = 1, 2,, m e todo j = 1, 2,, n A matriz 0 R m n é a matriz composta apenas por elementos nulos

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