Um protótipo de mercado de ações usando Algoritmos Genéticos

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1 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp Um protótpo de mercado de ações usando Algortmos Genétcos W. Fretas Departamento de Físca, PUC-Ro Resumo O modelo estuda a cração de um mercado artfcal onde os agentes nteragem entre s comprando e vendendo ações de acordo com sua própra estratéga. Com o objetvo de descobrr quas fatores proporconaram maor rentabldade ao captal dos agentes fo usada técnca de algortmos genétcos. Na nova população com algortmos genétcos os agentes têm suas prncpas característcas codfcadas em um cromossomo que será evoluído ao longo das gerações. Index erms Algortmos Genétcos, Agentes. Palavras chave Algortmos Genétcos, Agentes. O I. INRODUÇÃO S mercados de ações apresentam uma quantdade de fatores e ndcadores que são orundos do comportamento de mlhares de ndvíduos nteragndo mutuamente, város desses ndcadores são funções de séres hstórcas de preços que são negocadas cotdanamente por todo o planeta. Essas séres de preços possuem um comportamento característco e que na maora das vezes ndepende do lugar onde está sendo negocada, apresentam anda grandes altas ou quedas (grandes flutuações) em uma freqüênca maor do que a esperada. O motvo pelo qual essas flutuações ocorrem anda está em aberto. Assm como anda não está defndo se essas flutuações são causadas por fatores puramente nerentes a nteração dos ndvíduos ou por fatores externos, polítca, catástrofes naturas, escândalos. Os físcos vêm a bastante tempo usando técncas como a teora de campos médos, grupo de renormalzação e analse de escala para explorar sstemas complexos, onde a nteração entre as partículas é mas mportante do que o estado ndvdual de cada partícula. Esses métodos vêm sendo aplcados a sstemas socas e sstemas ecológcos e para sso estabelecem regras para nteração entre os ndvíduos - ao nvés de partículas - e analsam o seu comportamento coletvo. No presente trabalho, va ser nvestgado um sstema onde não exstem fatores externos. Um mercado de ações artfcal va ser crado, e nesse mercado todos os agentes são especuladores, sto é, negocam com o únco objetvo de aumentar o própro captal. Não há flantropa, um agente não permanece no mercado se estver perdendo dnhero. Junto a sso va exstr uma abordagem evoluconára onde cada agente é caracterzado por um cromossomo. Uma espéce de Darwnsmo é aplcado a substtução dos agentes que não apresentam uma boa performance, fazendo com que a população evolua para o conjunto de estratégas que melhorem os seus desempenhos. A. O Modelo II. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA O modelo fo orgnalmente proposto e smulado por Caldarell et al. [1] e consste em um número N (por exemplo, N = 1000), dentfcados por um índce = 1,..., N. Os agentes são ncados com a mesma quantdade de captal C (0) dstrbuído entre M (0), que representa a quantdade de atvo lvre de rsco (dnhero), e S (0), que é a quantdade de atvos negocáves. O captal de um agente em qualquer nstante de tempo t é defndo por: C ( = M ( S (, + onde é o preço da ação no nstante t. As varações do captal dos agentes se dão por negocação,.e., transformações smultâneas entre M ( e S ( e por mudanças no preço do atvo. O modelo consdera a exstênca de somente um atvo, uma moeda estrangera, por exemplo.

2 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp Cada agente negoca baseado em sua própra estratéga X (, que recomenda que ele compre ou venda uma quantdade do atvo. As estratégas são aleatóras entre os agentes, e constantes no tempo para cada agente. Com o objetvo de atualzar a dstrbução de estratégas da população o agente com o menor captal C ( é substtuído por um novo agente com um nova estratéga, o que sera uma espéce de recclagem do mercado onde o ndvíduo com o por desempenho é elmnado. Essa medda tenta reproduzr o que acontece em mercados reas onde nvestdores runs desaparecem rapdamente. Outro mportante ponto é a ausênca de fatores externos, quantdades exógenas. A sére temporal de preços do atvo é a únca nformação dsponível para auxlar na tomada de decsões dos agentes, ou seja, uma quantdade endógena. Dessa manera as estratégas dos agentes só pode depender do hstórco dos preços, [, t 1), 2),K] X ( = f t X (S ( é a quantdade que o agente decde comprar (X (>0) ou vender (X (<0). A função f é parametrzada por um conjunto de l ndcadores I k. Aqu va ser usado apenas um ndcador, I 1, defndo por: I 1 = ln t ln t 1) é o retorno logarítmco do preço do atvo. Os símbolos denotam médas móves em uma janela. As estratégas ndvduas são defndas através de um conjunto de pesos η k que os agentes aplcam ao ndcador I k para compor a função f. Cada agente forma um ndcador global de acordo com a segunte expressão: x = l k = 1 η I ({ p}) k k A estratéga é uma smples função f do ndcador global x X ( = f ( x ) que deve ter as seguntes propredades: 1. f(x) 1, desde que X ( representa uma fração da quantdade de atvos que va ser negocado no nstante t; 2. snal(f) = snal(x), ou seja, ndcadores negatvos recomenda ordens de venda e ndcadores postvos ordens de compra; 3. f(x) 0 para x, faz com que o comportamento dos agentes fque mas cauteloso na presença de fortes osclações. Para reproduzr esse comportamento a função escolhda é: x f ( x) = 3 1+ ( x 2) 4 A quantdade de atvos ( quem um agente decde vender ( (<0) ou comprar ( (>0) é dada por: γ M ( S ( S ( = X ( S ( + 2τ onde o prmero termo é pura especulação e o segundo termo ntroduz um caráter raconal fazendo com que a ação fnal dependa de M ( e de S (. A motvação para esse segundo termo é que todo agente de acordo com a sua attude frente ao rsco tenha uma posção preferda na balança entre atvos com e sem rsco. Em um período queto, onde é estaconáro, na medda que o agente negoca ele tenta reequlbrar o seu portfolo com o objetvo de obter melhores posções para reagr a futuros movmentos do preço. A razão atvo/dnhero ótma nessa stuação é dada por

3 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp ps γ = M e é alcançado em um tempo de ordem τ. A nterpretação do segundo termo é obtda com a anulação do prmero termo com sendo estaconáro os ndcadores I k se anulam. Para smular estratégas aleatóras os parâmetrosη k, τ e γ são escolhdos aleatoramente. Estes números caracterzam completamente um agente. B. Execução das ordens e formação do preço A formação do preço e a execução das ordens são determnadas pela demanda e oferta. Os agentes submetem suas ordens ( () e a demanda D( e oferta O( são calculadas a cada nstante t como somas das ordens ndvduas D( = N = 1 O( = ( Θ N = 1 [ S( ] ( Θ [ S( ], onde Θ(x) é a função degrau de Heavysde. Se D( > O(, a ação é normalzada para que todos os agentes possam partcpar da negocação, logo: O( ( = ( D( ( = ( se se ( > 0 ( < 0 dessa forma cada agente que quser comprar obtém uma fração da sua ordem ncal, S ( < (. O oposto acontece para D( < O(, reduzndo a ordem de venda. As regras para negocação dos agentes podem ser resumdas em: S ( t + 1) = S ( + ( M ( t + 1) = M ( t + 1) ( para ( > 0 (ordem de compra) a quantdade de atvos S ( aumenta e o dnhero M ( dmnu, o oposto acontece com uma ordem de venda. O novo preço é calculado através da le de demanda e oferta: t = D( + 1). O( note que o preço cresce quando há demanda e ca quando aumenta a oferta. A dnâmca do modelo obedece ao fluxograma a segur: III. MODELAGEM COM ALGORIMOS GENÉICOS Com o objetvo de descobrr fatores predomnantes na tomada de decsão dos agentes, fo usada a técnca de busca através de algortmos genétcos, que evolu uma população de ndvíduos, onde cada ndvíduo é uma possível solução do problema. A população é ncada aleatoramente e cada ndvíduo é representado pelos parâmetros η k, τ e γ, que caracterzam completamente um agente. Essas nformações são fundamentas e por sso vão ser usadas na

4 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp codfcação do agente. O cromossomo será formado da segunte manera: Como todos os parâmetros são números reas defndos em um ntervalo usou-se a representação em bnára, por ter baxa cardnaldade e dessa forma maxmzar a quantdade de schemata. Cada parâmetro va ser codfcado em uma strng de bts de tamanho b que juntas vão formar um cromossomo de tamanho L, logo L =. Com a ntrodução dos algortmos genétcos o agente va possur um cromossomo que contem os seus parâmetros e também as quantas M e S, de forma que negocação entre os agentes contnua nalterada. Essa nova abordagem mplca dretamente na regra de recclagem dos ndvíduos como veremos a segur. No modelo orgnal a cada nstante t o agente com menor captal é substtuído por um novo agente com uma nova estratéga. Essa operação é realzada no módulo de recclagem desenhado no Fluxograma 1. A nova regra de recclagem, que concde com a reprodução do algortmo genétco, va elmnar os ndvíduos com os pores desempenhos. Cada ndvíduo va ser avalado pela quantdade de vezes que a estratéga dele proporconou aumento no seu captal. O ndvíduo possu uma quantdade W (wnnngs) que é ncrementada de 1 se o captal dele aumentou naquela rodada. Sendo o número de rodadas que ele partcpou, a razão W na avalação dos ndvíduos. é o percentual de vtóras que o ndvíduo teve ao longo das rodadas. Essa razão, portanto fo usada A técnca de reprodução utlzada fo Steady-State com a ntenção de não alterar demasadamente o modelo, sto é, o modelo orgnal substtu o agente mas pobre a cada recclagem, com a reprodução Steady-State os GAP ndvíduos com por desempenho vão ser substtuídos. Para que um ndvíduo seja corretamente avalado ele precsa de uma quantdade chances (δ, fo usado δ=10) para testar a sua estratéga. Dferentemente do modelo orgnal em que a recclagem ocorre a cada nstante t, aqu a recclagem acontece a cada δ passos. Dessa forma a duração de cada geração é δ tamanho da população. b N GAP, onde N é o Para evtar problemas na seleção dos ndvíduos usamos normalzação lnear, pos as avalações pertencem ao ntervalo 0,1, que é um ntervalo pequeno e sso podera favorecer alguns ndvíduos. [ ] Os operadores usados na reprodução foram: () mutação por nversão, sto é, selecona-se uma posção do cromossomo e nverte o bt nessa posção, e () crossover de 1 ponto. É mportante levar em consderação a natureza co-evoluconára do modelo. As estratégas são evoluídas para maxmzar o desempenho dos agentes e sso não está vnculado a um melhor comportamento do mercado, ou seja, tendênca postva para o crescmento do preço. Outra questão é que conforme a população converge para uma solução ela se torna menos heterogênea e em um mercado com pouca dversdade de estratégas o preço do atvo tende a fcar estaconáro. A. Fguras e abelas IV. RESULADOS Aqu encontram-se as tabelas com os parâmetros usados nas smulações e os gráfcos com as meddas de desempenho. γ 0 a 2 τ 20 a 200 amanho da população (N) 100 η,1-10 a 10 Quantdade de passos (S) 2000 Período da Méda Móvel () 100 abela 1 Parâmetros utlzados no modelo sem algortmos genétcos. Com a ntenção de smplfcar o modelo adotamos somente um ndcador, I 1, o retorno logarítmco, como já fo menconado anterormente, o peso referente a esse ndcador é η,1. Esses valores foram escolhdos por produzrem uma boa sére de preços no modelo sem algortmos genétcos. amanho da população (N) 100

5 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp axa de Crossover (p c ) 0.7 axa de mutação (p m ) 0.2 δ 10 GAP 2 Normalzação Lnear Mn=1, Max=100 Gerações 20 Rodadas 10 abela 2 Parâmetros utlzados nas smulações com algortmos genétcos. Fgura 1 Curva de avalação de desempenho onlne do algortmo genétco (damantes azus) versus o desempenho do modelo orgnal (trângulos verdes). Foram fetas médas para 20 gerações em 10 rodadas do programa. É bem vsível a convergênca do Algortmo Genétco frente ao ensemble de estratégas aleatóras do modelo orgnal. Fgura 2 Evolução do parâmetro γ para 20 gerações e 10 rodadas.

6 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp Fgura 3 Evolução do parâmetro τ para 20 gerações e 10 rodadas. Fgura 4 Evolução do parâmetro η 1 para 20 gerações e 10 rodadas. Fgura 5 Sére de preços produzda no modelo com algortmos genétcos.

7 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp Fgura 6 Retornos logartmos da sére de preços, utlzado como ndcador I 1. V. CONCLUSÃO Os resultados encontrados mostram que as estratégas evoluídas convergem para uma performance de 50% de acertos que sgnfca na prátca que eles, em méda, erram tanto quanto acertam. Um fator mportante a ser levando em conta aqu é o ndcador escolhdo, o retorno logartmo, que possu smetra com a orgem, os pesos η,1 também são defndos em um ntervalo smétrco e a função utldade da estratéga também possu smetra com a orgem. Se um agente atrbu um peso negatvo a esse ndcador sgnfca, de acordo com f(x), que para retornos postvos a estratéga recomenda que ele compre e para retornos negatvos a estratéga recomenda que ele venda. Observando o gráfco de retornos da Fgura 6, fca bem claro que eles são smetrcamente dstrbuídos. Dessa manera estratégas com η,1 >0 e η, 1<0, são dêntcas, em outras palavras, em méda o ndcador η, 1 sera nulo. Isso fca evdente na Fgura 5 que mostra a evolução onlne do parâmetro nas gerações. Uma prmera medda no sentdo de contornar essa lmtação é a nclusão de outros ndcadores como a volatldade e o retorno absoluto que não possuem smetra e também ndcadores com médas móves de dferentes períodos que por serem fltros podem trazer nformações de dferentes pontos da sére. Os parâmetros que fazem parte do termo raconal, γ e τ, apresentaram convergênca, como pode ser observado nos gráfcos das Fguras 2 e 3, respectvamente. Os valores dessas convergêncas representam os pontos em que o segundo termo da ação melhor se acomoda em relação ao prmero permtndo que o agente execute estratéga recomendada apenas efetuando a sua função de raconalzar o comportamento do agente. Fo possível observar que o algortmo genétco evoluu as estratégas até o lmte mposto pelo própro modelo e, além dsso, mostrou onde os parâmetros do termo raconal podem se posconar para proporconar uma melhor utlzação da estratéga pelo agente e sso abre espaço para tentatvas dferentes de evolução, que não tenha caráter co-evoluconára.

8 > REVISA DE INELIGÊNCIA COMPUACIONAL APLICADA (ISSN: XXXXXXX), Vol. X, No. Y, pp REFERENCES [1] G. Caldarell, M. Marsl and Y.C. Zhang, A prototype model of stock exchange, Europhyscs Letters 40, 1997, pp [2] J.D. Farmer, Physcsts attempt to scale the vory towers of fnance, Computng n Scence and Engneerng 1, 1999, pp [3] J.D. Farmer, owards Agent-Based Models for Investment, AIMR, 2001, pp. 61. [4] B. LeBaron, Evoluton and me Horzons n an Agent-Based Stock Market, Macroeconomc Dynamcs, 5, 2001, pp [5] H. J. Blok, On he Nature of Stock Market: Smulatons and Experments, [6] J. Vot, he Statstcal Mechancs of Fnancal Markets, exts and Monographs n Physcs, 2001, Sprnger-Verlag. [7] L. Davs, Handbook of Genetc Algorthms, 1991, VNR New York. [8] D. E. Goldberg, Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng. Readng Mass.: Addson-Wesley.