F E ESTUDOS I. Cidadania, Instituição e Património. Economia e Desenvolvimento Regional. Finanças e Contabilidade. Gestão e Apoio à Decisão

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2 ESTUDOS I Cdadana, Insttução e Patrmóno Economa e Desenvolvmento Regonal Fnanças e Contabldade Gestão e Apoo à Decsão Modelos Aplcados à Economa e à Gestão A Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve F E Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve 2004

3 COMISSÃO EDITORIAL Antóno Covas Carlos Cânddo Duarte Trgueros Efgéno da Luz Rebelo João Albno da Slva João Guerrero Paulo M.M. Rodrgues Ru Nunes FICHA TÉCNICA Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Campus de Gambelas, Faro Tel Fax E-mal: Webste: Título Estudos I - Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Autor Város Edtor Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve Morada: Campus de Gambelas Localdade: FARO Códgo Postal: Complação e Desgn Gráfco Susy A. Rodrgues Revsão de Formatação e Pagnação Lída Rodrgues Fotoltos e Impressão Servços Gráfcos da Unversdade do Algarve ISBN Data: Depósto Legal /04 Tragem 500 exemplares Data Novembro 2004 RESERVADOS TODOS OS DIREITOS REPRODUÇÃO PROIBIDA

4 Modelos de avalação de hpotecas: uma revsão de lteratura Crstna Perera Vegas Faculdade de Economa, Unversdade do Algarve José Azevedo Perera Insttuto Superor de Economa e Gestão, Unversdade Técnca de Lsboa Resumo Este artgo analsa os modelos de avalação de actvos hpotecáros baseados na técnca de análse de fluxos contngentes. Trata-se de modelos que tendem a consderar duas fontes de ncerteza: o rsco de taxa de juro e o rsco de ncumprmento. Tal facto permte-lhes ncorporar, em smultâneo, o efeto nduzdo pela opção de compra amercana nerente à possbldade detda pelo devedor de termnar o contrato antecpadamente, medante o pagamento do empréstmo, e o efeto nduzdo pela opção de venda, que corresponde à possbldade de ncumprmento, também detda pelo devedor. A coexstênca de ambas as opções e das correspondentes fontes de rsco tende a dfcultar sgnfcatvamente o desenvolvmento dos respectvos modelos de avalação. Esta área de nvestgação tem sdo marcada durante os últmos anos pela emergênca de modelos de avalação mas sofstcados e aproxmados da realdade, que tomam em consderação outros aspectos capazes de nfluencar a decsão de antecpar o pagamento ou de ncumprr, tas como os custos de transacção e outras motvações de natureza não puramente fnancera. Palavras-chave: Avalação de hpotecas, avalação de opções, pré-pagamento, ncumprmento. Abstract Ths artcle revews the lterature on contngent clams mortgage valuaton models. These models take nto consderaton two sources of uncertanty: nterest rate rsk and prepayment rsk. Gven the specfc characterstcs of most mortgage contracts, mortgage valuaton models should be able to take nto account the Amercan call opton to prepay the loan as well as the put opton to default, both held by the mortgagor. The need to take nto consderaton, smultaneously, both optons and the correspondng rsk sources has been a major techncal hurdle to the development of mortgage valuaton models capable of properly descrbng the underlyng economc realty. The recent past has seen the development of more sophstcated models ncorporatng other features that affect the decsons to prepay or default, lke transacton costs and non-fnance drven factors. Keywords: Mortgage valuaton, opton prcng, prepayment, default. 597

5 Vegas e Perera 1. Introdução O mercado dos actvos hpotecáros tem crescdo sgnfcatvamente durante as últmas duas décadas. Tal evolução tem sdo evdente tanto ao nível do mercado prmáro como do mercado secundáro. Efectvamente, de acordo com dados apresentados em Março de 2002, os títulos hpotecáros representam cerca de ¼ da captalzação global do mercado obrgaconsta amercano, exstndo alguns mercados mportantes nos quas o respectvo peso é anda superor, como se pode constatar através do Quadro 1. Quadro 1. Peso dos Títulos Hpotecáros no Mercado Obrgaconsta Estados Undos da Amérca 24% (**) Alemanha 44% ( * ) Dnamarca 59% ( * ) Chle 33% (***) Malása 11% (**) Legenda: (*) 1999, (**) 2000, (***) meados de 2001 Fonte: Hassler e Chquer (2002) Como sera de esperar, a este aumento do peso fnancero dos títulos hpotecáros tem vndo a corresponder um ncremento do esforço académco colocado no desenvolvmento de modelos adequados à respectva valorzação. Segundo Hendershott e Van Order (1987), os prmeros estudos de avalação de actvos hpotecáros desenvolvdos nos Estados Undos tnham como prncpal factor de motvação a necessdade de encontrar explcações raconas para as dferenças regstadas entre os valores das curvas de rendmento baseadas em títulos emtdos pelo Tesouro e os valores das curvas de rendmento calculadas com base em actvos hpotecáros emtdos pelas agêncas governamentas amercanas. Apesar dos notáves progressos entretanto regstados no domíno da dentfcação dos factores mas relevantes para efetos da avalação de actvos hpotecáros, exste anda um sgnfcatvo percurso de nvestgação a percorrer no sentdo de tornar os modelos de avalação mas adaptados à realdade. O presente artgo pretende precsamente analsar os modelos de avalação exstentes nesta área que recorrem a enquadramentos de análse de fluxos contngentes. A mportânca da utlzação da análse de fluxos contngentes na avalação de actvos hpotecáros tem vndo a ser reconhecda desde há mas de duas décadas (Fndlay e Capozza, 1977). Um modelo de valorzação deste tpo de actvos deve ncorporar, em smultâneo, o efeto nduzdo pela opção de compra amercana nerente à possbldade detda pelo devedor de termnar o contrato antecpadamente, medante o pagamento do empréstmo, bem como o efeto nduzdo pela opção de venda, que corresponde à possbldade de ncumprmento, também detda pelo devedor. De facto, de acordo com Case e Shller (1996), os nvestdores que efectuam aplcações no mercado de actvos hpotecáros assumem posções curtas em dos tpos de opções: opções de compra relatvas à dívda de longo prazo e opções de venda relatvas à propredade hpotecada. No prmero caso, a opção exstente resulta da 598

6 Modelo de avalação de hpotecas possbldade conferda ao devedor do empréstmo de o lqudar em qualquer momento do tempo, suportando um conjunto maor ou menor (nalguns casos nulo) de penaldades contratuas. No caso de se tratar de um empréstmo de taxa fxa, tenderão a verfcar-se condções propícas ao exercíco da opção de compra caso as taxas de juro de mercado regstem quebras, facto que mplcará um aumento automátco do valor de mercado da dívda nerente aos correspondentes empréstmos. Por sua vez, o exercíco da opção de venda tende a ocorrer em casos nos quas o valor da propredade sofre quebras sgnfcatvas relatvamente ao valor que lhe corresponda no momento do empréstmo. Em conformdade com o que acaba de ser afrmado, os modelos de análse de fluxos contngentes utlzados na avalação de produtos hpotecáros tendem a consderar duas fontes de ncerteza: o rsco de taxa de juro e rsco de ncumprmento. A coexstênca de ambas as opções anterormente menconadas e das correspondentes fontes de rsco tende a dfcultar sgnfcatvamente o desenvolvmento de modelos de avalação aproprados. Com efeto, as possbldades detdas pelo devedor para pôr termo ao respectvo empréstmo, quer por va do respectvo pré-pagamento quer por va do ncumprmento, consttuem fontes de ncerteza relatvamente aos fluxos fnanceros futuros, de dfícl modelação. A decsão do devedor é condconada, em smultâneo, pela evolução da curva de taxas de juro no futuro e pela evolução do preço do móvel hpotecado. A opção de pré-pagamento num actvo hpotecáro é equvalente a uma opção de compra amercana sobre uma obrgação em que o actvo subjacente é uma obrgação com fluxos monetáros equvalentes aos pagamentos remanescentes assocados ao empréstmo hpotecáro. Por sua vez, a opção de ncumprmento pode ser assmlada a uma opção de venda amercana cujo actvo subjacente é a construção hpotecada 1. Os modelos de avalação de fluxos contngentes desenhados com o ntuto de valorzar actvos hpotecáros assumem normalmente que o objectvo do devedor consste em mnmzar o valor de mercado do empréstmo. Isto é assume-se que o devedor, enquanto agente económco raconal, procura mnmzar o valor actualzado do contrato que o lga à entdade fnancadora. Em ordem a que tal objectvo possa ser alcançado, devem ser tomados em consderação não apenas os pagamentos de captal e juros assocados ao contrato, mas também todos os restantes fluxos de natureza fnancera assocados às opções de ncumprmento e pré-pagamento exstentes. Em moldes smplfcados, poder-se-á afrmar que o devedor tende a ncumprr quando o valor do móvel hpotecado atnge um valor nferor ao valor actualzado do empréstmo. Alternatvamente, tenderá também a proceder ao reembolso antecpado do empréstmo caso o montante total a despender seja nferor ao respectvo valor actualzado, facto que poderá acontecer caso se regste uma stuação de descda das taxas de juro no mercado. Os modelos de fluxos contngentes destnados à avalação de produtos hpotecáros regstaram uma evolução sgnfcatva ao longo das duas últmas décadas. Nas varantes mas smples, como as patentes em Dunn e McConnell (1981b) e Kau, 1 Pode também ser modelada, provavelmente de forma anda mas adequada, como uma European compound opton. Ou seja, como uma sequênca de opções de compra europeas, com vencmentos em cada uma das datas de pagamento nerentes ao empréstmo (vejam-se, por exemplo, Kau, Keenan, Muller e Epperson, 1995 e Azevedo-Perera et al., 2002, 2003). 599

7 Vegas e Perera Keenan, Muller e Epperson (1992), admte-se um comportamento puramente optmzante, por parte do devedor, que procede ao pré-pagamento sempre que tal decsão se mostrar a melhor em termos fnanceros. Tal decsão reflecte-se de medato no comportamento do nvestdor perante o actvo hpotecáro. A passagem do tempo permtu o desenvolvmento de modelos progressvamente mas sofstcados e aproxmados da realdade nos quas são tomados em consderação factores como os custos de transacção, bem como motvações de natureza não puramente fnancera capazes de nfluencar a decsão de antecpar o pagamento ou de ncumprr. Também se tem vndo a admtr progressvamente que estas decsões dvergem não somente entre contratos, mas também, para o mesmo tpo de contratos, entre emtentes. Stanton (1995), por exemplo, apresenta um trabalho de avalação dos actvos hpotecáros que engloba um modelo de pré-pagamento no qual o comportamento heterogéneo dos emtentes dos actvos se encontra assocado aos custos de transacção. Por sua vez, a modelação do ncumprmento como uma opção de venda amercana detda pelo devedor, um enquadramento de avalação ncalmente proposto em Foster e Van Order (1984,1985) e posterormente desenvolvdo em Epperson, Kau, Keenan e Muller (1985), tem-se tornado comum na lteratura da especaldade. A boa compreensão das característcas e componentes dos contratos hpotecáros permtda pela modelação em enquadramentos de avalação de fluxos contngentes capazes de tomar em consderação as opções de ncumprmento e de prépagamento tem não apenas mportânca académca, mas também mplcações prátcas, uma vez que o prcng dos actvos tende naturalmente a melhorar em consequênca da progressva adopção pelos dferentes bancos de nvestmento de modelos com estas característcas. Enumeram-se de seguda, os város pontos abordados no artgo. Após a ntrodução é descrta de forma breve a organzação do mercado hpotecáro e os prncpas tpos de actvos que nele são transacconados. O ponto segunte do trabalho debruça-se sobre a avalação dos actvos hpotecáros, abordando em detalhe os prncpas factores de rsco e a forma medante a qual podem ser ncorporados nos exercícos de avalação. É dada ênfase especal aos processos estocástcos subjacentes às varáves relevantes do modelo taxa de juro e valor da propredade bem como às opções de pré-pagamento e de ncumprmento nerentes aos modelos de avalação dos actvos hpotecáros, procurando evdencar os moldes em que o valor destas opções afecta o preço dos actvos. Anda neste ponto, é deduzda a equação dferencal parcal geral que permte obter o valor dos actvos fnanceros, sendo feta uma breve alusão aos prncpas métodos de solução utlzados na lteratura. No quarto ponto, são referdos alguns dos modelos de avalação exstentes na lteratura. Incluem-se aqu quer modelos de matrz conceptual, quer modelos de característcas empírcas. Paralelamente, são também dentfcadas as opções alvo de modelação em cada artgo: pré-pagamento, ncumprmento ou ambas. O últmo ponto apresenta a conclusão. 600

8 Modelo de avalação de hpotecas 2. Breve Descrção do Mercado Hpotecáro O mercado hpotecáro, que representa uma parcela sgnfcatva do volume global de negócos do sector fnancero, encontra-se subdvddo em três grandes segmentos. O prmero corresponde aos actvos físcos casas ou propredades que sendo objecto de garanta, subjazem à emssão dos títulos. O segundo é consttuído pelo mercado prmáro no qual são emtdos e subscrtos os títulos hpotecáros. Por últmo, o tercero segmento corresponde às transacções em mercado secundáro dos actvos anterormente emtdos. Neste artgo é dada especal atenção ao mercado dos actvos fnanceros de natureza hpotecára e às própras hpotecas. No entanto, mporta salentar que os actvos físcos subjacentes são também alvo de ntensa nvestgação, uma vez que a análse do comportamento do respectvo valor é fundamental à valorzação da opção de ncumprmento embutda nos actvos hpotecáros. No mercado amercano, que dada a respectva dmensão relatva consttu o prncpal referencal de nvestgação da comundade centífca que se dedca ao estudo desta temátca, a grande maora dos actvos hpotecáros tem assocada uma taxa de juro fxa. Consequentemente, o montante dos juros a suportar pelos devedores dos empréstmos encontra-se determnado no momento da respectva contracção. Exstem, no entanto, actvos hpotecáros cujos juros são determnados com base numa taxa varável ao longo da vda do empréstmo, outros cujas prestações peródcas são crescentes com o tempo de vda do actvo e, anda, outros cujas prestações peródcas de captal e juros são ajustadas em função da taxa de nflação, com o objectvo de reflectrem a evolução do preço da construção hpotecada. No que se refere ao tpo de actvo físco subjacente, os actvos hpotecáros encontram-se subdvddos em dos grandes grupos: os actvos hpotecáros resdencas e os actvos hpotecáros comercas. No prmero caso, trata-se de actvos garantdos por casas partculares. Por oposção, os segundos são títulos de dívda garantdos por propredades como centros comercas, hotés, escrtóros e complexos ndustras. Apesar destes últmos representarem uma parcela sgnfcatva do volume global de transacções de actvos hpotecáros, o número de estudos relatvos à sua avalação tem sdo relatvamente reduzdo, quando comparado com o volume de nvestgação produzdo a respeto dos actvos hpotecáros de natureza resdencal. Alguns dos poucos exemplos de modelos de avalação desenvolvdos neste domíno são Ttman e Torous (1989), Kau, Keenan, Muller e Epperson (1987, 1990), Rddough e Thompson (1993), Chlds, Ott e Rddough (1996) e Cochett e Vandell (1999). 3. Avalação de Actvos Hpotecáros como Dervados 3.1. O Efeto da Incerteza Os actvos hpotecáros são actvos fnanceros que ncorporam duas fontes de ncerteza. Uma dessas fontes é consttuída pelas taxas de juro que é necessáro utlzar em ordem a avalar o empréstmo hpotecáro. A evolução da taxa de juro não é conhecda com certeza. Esta ncerteza condcona a forma como os pagamentos das 601

9 Vegas e Perera prestações futuras ocorrerão. Ou seja, pode levar ao pagamento antecpado do empréstmo caso o valor actual dos pagamentos futuros seja nferor ao valor do actvo em questão. Outra das fontes de ncerteza relatva à modelação da avalação dos actvos hpotecáros dz respeto à evolução do valor da propredade. Quando se avala este tpo de contratos e caso o valor da propredade hpotecada seja nferor ao valor presente do actvo é possível que os devedores dos empréstmos hpotecáros não paguem as prestações que faltam ncorrendo no ncumprmento do contrato. Um dos maores desafos nerentes à modelação fnancera consste na representação matemátca destas fontes de rsco e em tomá-las em consderação de forma adequada no processo de avalação Os Processos Estocástcos Utlzados na Modelação do Comportamento das Varáves Relevantes: Taxa de Juro e Preço da Propredade O valor actualzado dos actvos hpotecáros é normalmente calculado medante a utlzação de uma estrutura de avalação estocástca assente em modelos de arbtragem em tempo contínuo. O valor de um actvo fnancero é determnado de acordo com as especfcações e os pressupostos nerentes às varáves de estado utlzadas, que são descrtas por processos estocástcos. Como o valor do actvo fnancero é função dos pressupostos assumdos na caracterzação do comportamento das varáves ncorporadas no modelo, é fundamental que o processo estocástco segudo por estas varáves retrate, o mas fdedgnamente possível, a dnâmca seguda pelo mercado. Por exemplo, Black e Scholes (1973) e Merton (1973) modelaram o preço das acções através de um processo estocástco denomnado movmento geométrco brownano, consegundo obter uma solução fechada para o valor de uma opção de compra Europea sobre uma acção. Este pressuposto, normalmente utlzado na modelação do comportamento do preço das acções tem também encontrado aplcação no mercado dos actvos hpotecáros. De facto, trata-se de uma abordagem que tem sdo frequentemente utlzada na modelação do valor da propredade, nos modelos de avalação de actvos hpotecáros. Por sua vez Vascek (1977), modelou o comportamento dos preços dos actvos de rendmento fxo, através da utlzação de uma varável de estado assocada à taxa de juro de curto prazo. A taxa de juro é então descrta através de uma equação dferencal estocástca, que segue um processo de Ornsten-Uhlenbeck, com a segunte confguração: r dt dz r r dr k (1) onde r é a taxa de juro nstantânea que oscla em redor da sua méda de longo prazo,, em função de uma determnada taxa de ajustamento, k. Esta equação dferencal estocástca é composta por um termo não aleatóro, que consttu a tendênca de varação nstantânea da taxa de juro, e de um termo aleatóro, que nclu a varânca da 602

10 Modelo de avalação de hpotecas taxa de juro r e um ncremento dferencal dz. Por seu lado, z, smbolza um processo de Wener padrão. Fazendo apelo à regra de dferencação de Itô, este autor refere que o preço da obrgação, P, pode ser defndo pela segunte equação dferencal estocástca: dp 2 P P 1 P (2) 2 t r 2 r 2 t, T, r dt dr dr Tendo por base os prncípos referdos e após algumas transformações algébrcas, Vascek obteve a segunte equação dferencal parcal para a estrutura a prazo de taxas de juro: P t 2 P 1 P r r (3) 2 r 2 r 2 k r rp 0 Esta formulação base permtu a Vascek a apresentação de uma solução fechada para o valor de uma obrgação de cupão zero. Outro dos modelos de referênca neste domíno é o modelo de Cox, Ingersoll e Ross (1985). Trata-se de um modelo que consubstanca algumas alterações em relação ao anterormente menconado modelo de Vascek (1977). Admte-se que a taxa de juro de curto prazo segue, neste caso, um processo de reversão na drecção da méda, com a segunte confguração: r dt r rdzr dr k (4) A prncpal dferença, em relação ao modelo de Vascek, resde na componente desvo-padrão. Também, através da utlzação deste últmo processo estocástco caracterzador da evolução da taxa de juro, é possível obter uma solução fechada relatva ao preço dos actvos de rendmento fxo com comportamento semelhante a uma obrgação cupão zero. Para além destes dos trabalhos de referênca, exstem outras propostas, defenddas por dferentes autores, relatvas ao processo estocástco representatvo da evolução da taxa de juro. Chen e Yang (1995) comparam a exequbldade de quatro dferentes processos estocástcos, caracterzadores da estrutura a prazo das taxas de juro para avalar um actvo hpotecáro com opção de pré-pagamento. O processo de Ornsten-Uhlenbeck é confrontado com três outros processos: o processo raz quadrada méda revertda defndo por Cox, Ingersoll e Ross (1985), o processo log normal padrão 2 que Dothan (1978) empregou para modelar a estrutura a prazo das obrgações de cupão zero e o processo bnomal dscreto de Ho e Lee (1986). Utlzando estes dferentes processos estocástcos, o estudo em causa analsa e compara os resultados obtdos na valorzação de soberanos e de actvos hpotecáros emtdos por agêncas governamentas amercanas. As suas conclusões apontam no sentdo de que o modelo que avala os 2 Este processo estocástco é, normalmente, utlzado nos actvos hpotecáros para defnr o comportamento do móvel hpotecado. 603

11 Vegas e Perera actvos hpotecáros é menos sensível a dferenças verfcadas na defnção do processo estocástco que caracterza a evolução da taxa de juro de curto prazo, quando comparado com o modelo que avala uma smples obrgação com cupão. Tal facto é justfcado pela nclusão de uma função de pré-pagamento no modelo que avala os actvos hpotecáros. No que se refere ao desempenho que os dferentes processos estocástcos proporconam na avalação dos actvos hpotecáros verfca-se que os resultados obtdos são satsfatóros e relatvamente semelhantes quando se utlza o processo de Vascek (1977) ou o de Cox, Ingersoll e Ross (1985). Em relação a este últmo, mporta menconar a vantagem de não permtr taxas de juro negatvas, em resultado do modo medante o qual é defnda a componente aleatóra do respectvo processo estocástco. A especfcação mas utlzada na bblografa da especaldade é, provavelmente, a que fo orgnalmente proposta por Cox, Ingersoll e Ross (1985). Nos estudos de avalação de actvos hpotecáros, este modelo tem-se tornado uma referênca na modelação do rsco da estrutura a prazo de taxas de juro. O seu desempenho neste tpo de estrutura fo analsado em Archer e Lng (1995), tendo obtdo bons resultados quando comparado com o modelo de ausênca de arbtragem de Black, Derman e Toy (1990). Város artgos de avalação de actvos hpotecáros têm adoptado, ao longo das últmas duas décadas, este modelo para defnr o comportamento da taxa de juro de curto prazo. Entre eles, mporta referr os trabalhos de Dunn e McConnel (1981a, 1981b), Buser e Hendershott (1984), Brennan e Schwartz (1985), Hendershott e Van Order (1987), Kau et al. (1987, 1990, 1992, 1993a, 1993b, 1995), Ttman e Torous (1989), Schwartz e Torous (1992), Rddough e Thompson (1993), Hardng (1994), Qugley e Van Order (1995), Kau e Keenan (1995), Stanton (1995), Stanton e Wallace (1997), Yang e Mars (1996), Deng (1997), Hllard, Kaw e Slawson (1998), Azevedo-Perera, Newton e Paxson (2000, 2002, 2003). Durante o período de tempo que medou entre a publcação dos referdos artgos de Vascek (1977) e Cox, Ingersoll e Ross (1985), Brennan e Schwartz (1979) desenvolveram um modelo com característcas semelhantes aos dos modelos anterormente referdos, com a dferença de apresentar a nclusão de duas varáves de estado, a taxa de juro de curto prazo e a taxa de juro de longo prazo, para caracterzar a estrutura a prazo de taxas de juro. Dava-se, assm, níco ao estudo de modelos de arbtragem a mas de uma varável estocástca. O objectvo prncpal contnuava a ser a construção de uma estrutura a prazo de taxas de juro através do cálculo do preço das obrgações cupão zero. A partr daqu, fcaram estabelecdos os alcerces que permtram a prolferação de modelos de arbtragem a uma e a mas varáves de estado. Baseados neste tpo de abordagem surgram város modelos de avalação dos actvos hpotecáros que utlzam como varáves de estado, a taxa de juro de curto prazo e a de longo prazo. Brenann e Schwartz (1985) e Schwartz e Torous (1989a,b) desenvolveram modelos de avalação de actvos hpotecáros onde o comportamento da estrutura a prazo de taxas de juro é defndo pela taxa de juro de curto prazo, r, e pela taxa de juro de longo prazo, l. Nestes trabalhos, os processos estocástcos relatvos às varáves de estado têm a segunte confguração: 604

12 Modelo de avalação de hpotecas dr dl a b l r dt rdz r r a b l c r dt l (5) lldz Onde a 1, b1, a2, b2 e c2 são os parâmetros dos processos estocástcos das duas varáves do modelo e se refere ao desvo padrão da varável, (com r,l). Por sua vez, z z, são processos Wener padrão que verfcam as seguntes gualdades: r e l dzdz j jdt, para r, l, j r, l, j e j j (6) dzdz j dt, para r, l, j r, l e j onde j desgna o coefcente de correlação nstantâneo entre a varável e a j. Nestes trabalhos é assumdo que o comportamento da curva de taxas de juro pode ser descrto em função da dnâmca seguda por estas duas varáves de estado. De acordo com Kau e Keenan (1995), a utlzação das duas varáves proporcona a vantagem de conceder ao modelo um maor número de graus de lberdade na representação da estrutura a prazo; por outro lado proporcona a desvantagem de aumentar sgnfcatvamente a complexdade de cálculos necessáros para a obtenção da solução. Daí que, este tpo de modelos, normalmente, só seja utlzado em contextos em que a estrutura a prazo é consderada a únca fonte de ncerteza. Quando se utlzam outras varáves, como o valor da propredade hpotecada, para explcar o comportamento do valor dos actvos, a evolução da taxa de juro é na quase totaldade dos casos representada por uma únca varável de estado, geralmente a taxa de juro de curto prazo modelada de acordo com o processo sugerdo por Cox, Ingersoll e Ross (1985). Nos últmos anos têm surgdo trabalhos que apresentam outras combnações de varáves para representar o comportamento da curva de taxas de juro. Exemplo dsso é o trabalho de Balduzz et al. (2000), que desenvolve e mplementa emprcamente um modelo com duas varáves de estado: a taxa de juro de curto prazo e o nível médo da taxa de juro. Neste modelo os processos estocástcos relatvos às duas varáves têm a segunte confguração: k r dt dz r r a b dt dw dr (7) d Em relação à varável taxa de juro de curto prazo o processo estocástco corresponde ao defndo em (1). No que dz respeto à varável nível médo da taxa de juro,, os parâmetros a, b e são constantes dadas. Tal como fo referdo para dz r, também dw corresponde a um processo de Wener padrão, pelo que dz r dw dt, com a representar o coefcente de correlação. Partndo desta confguração, os autores conseguem determnar uma solução fechada que permte avalar obrgações e estmar os parâmetros do modelo que proporconam um melhor desempenho para a solução encontrada. No respectvo entender, a ntrodução da segunda varável menconada na representação da curva de taxas de juro melhora a avalação de obrgações, e de 605

13 Vegas e Perera opções sobre obrgações de longo prazo, com a característca adconal de ser relatvamente smples de determnar. No que se refere à outra varável de estado consderada na grande maora dos trabalhos académcos que se debruçam sobre a avalação de actvos hpotecáros o valor da casa ou da propredade exste um consenso mas alargado, entre académcos, acerca do processo estocástco mas capaz de representar. A quase totaldade da lteratura exstente nesta área do conhecmento consdera, para esta varável, o segunte processo estocástco: b Bdt Bdz B B db (8) Onde B representa o valor da casa ou da propredade, corresponde ao rendmento nstantâneo esperado na propredade, b representa a taxa de rendmento contínua da propredade, B o desvo padrão nstantâneo e z B o processo de Wener padrão. Cunnngham e Hendershott (1984), Epperson et al. (1985), Kau et al. (1987, 1990, 1992, 1993a, 1993b, 1995), Ttman e Torous (1989), Schwartz e Torous (1992), Deng (1997), Hllard, Kau e Slawson (1998), Yang, Bust e Megbolugbe (1998) Cochett e Vandell (1999), Azevedo-Perera et al. (2000, 2002, 2003), Downng, Stanton e Wallace (2003), consttuem exemplos de trabalhos que utlzam esta abordagem As Opções de Pré-Pagamento e de Incumprmento Os modelos clásscos de avalação de actvos hpotecáros tendem a atrbur ao devedor três possbldades de escolha em cada momento do tempo: pré-pagamento, ncumprmento ou manutenção do empréstmo por va do pagamento da prestação (contnuação), até à próxma data de decsão. Em qualquer dos casos, o objectvo últmo do devedor hpotecáro consste em mnmzar o custo do empréstmo 3. Consderemos, como prmera hpótese, que na data de vencmento de uma determnada prestação, t, o devedor do empréstmo resolve pagar a totaldade da sua dívda. No momento do exercíco da opção de pré-pagamento, o respectvo valor tem necessaramente de corresponder a: C t r, B A t, r, B MB t, (9) MB t corresponde ao valor do empréstmo por amortzar na data t e A t r, B onde, é o valor actual das prestações do empréstmo que não foram pagas até à data t. Paralelamente, neste mesmo momento do tempo, o valor da opção de ncumprmento é necessaramente nulo (quem paga não pode em smultâneo ncumprr): t, r, B 0 P (10) 3 A formulação utlzada nesta parte do trabalho é baseada em Ln e Buttmer (2002) 606

14 Modelo de avalação de hpotecas Alternatvamente, nessa mesma data, t, o devedor do empréstmo pode não efectuar o pagamento da prestação em dívda, exercendo a respectva opção de ncumprmento. Neste caso, o valor da opção exercda corresponde a 4 : P t r, B A t, r, B B t, (11) onde B t corresponde ao valor do móvel hpotecado, na data t. Deste modo, o valor da opção de ncumprmento corresponde à dferença entre o valor actualzado dos pagamentos futuros assocados ao empréstmo e o valor da construção hpotecada. O exercíco da opção de ncumprmento só fará sentdo caso a construção atnja um valor nferor ao do actvo hpotecáro. Tal stuação equvale a admtr que o devedor do empréstmo vende o móvel ao credor hpotecáro por um preço gual a B t. Caso o devedor do empréstmo exerça a opção de ncumprmento, o valor da opção de prépagamento dexa de exstr (quem ncumpre não pode, em smultâneo, pré-pagar): t, r, B 0 C (12) A tercera alternatva possível consste em admtr que na data t, o devedor do empréstmo efectue o pagamento da prestação em dívda, garantndo assm a possbldade de exercíco futuro de qualquer uma das opções de que dspõe. Nestas crcunstâncas, no momento t, o valor de cada uma das opções corresponde, ao valor (esperado) actualzado dos payoffs que poderá proporconar no futuro: t r, B E t, r B t, r, B E t, r B C, C, (13) P P, Paralelamente, o valor do actvo corresponde ao valor actualzado dos pagamentos futuros deduzdo do valor (também actualzado) das opções de prépagamento e de ncumprmento: A t, r, B E t, r, B E t, r B (14) C P, Numa stuação de ncumprmento do devedor do empréstmo, o valor da hpoteca guala o valor do móvel. Alternatvamente, caso seja exercda a opção de pré-pagamento, o valor da hpoteca concde com o valor do empréstmo amortzado. A grande dfculdade nerente à avalação dos contratos hpotecáros resde no cálculo dos valores das opções de pré-pagamento e ncumprmento. No caso, boa parte dos exercícos de modelação que têm vndo a ser mplementados tende a tratar ambos os dretos em causa como opções Amercanas passíves de ser exercdas em qualquer momento. A lteratura publcada neste domíno tem vndo a regstar alguns avanços durante os últmos anos. No entanto, não exste anda uma fórmula consensual que permta determnar, explctamente, o valor deste tpo de opções. Exstem sm, algumas abordagens que permtem obter aproxmações satsfatóras para o problema. Merecem partcular salênca, os trabalhos de Carr (1998) e de Bunch e Johnson 4 No caso, trata-se de um payoff, uma vez que se trata de uma opção exercda. 607

15 Vegas e Perera (2000), que apresentam avanços sgnfcatvos no cálculo do valor da opção de venda amercana medante o recurso a soluções quas-explíctas. A dervação de uma expressão para o chamado preço crítco do actvo subjacente a uma opção de venda amercana consttu um dos objectvos do artgo de Bunch e Jonhson (2000). Uma vez determnado o valor desta varável, os autores utlzam-no na determnação do valor da opção de venda amercana, medante a utlzação do método proposto em Huang, Subrahmanyam e Yu (1996). De acordo com este trabalho, o valor de uma opção de venda amercana é dado pelo valor da opção de venda europea correspondente, calculado nos termos propostos por Black e Scholes (1973), acrescdo de um prémo resultante da possbldade de exercíco da opção em qualquer momento. A obtenção de uma solução fechada para o valor deste prémo mpõe a necessdade de que seja conhecda a expressão que permte determnar o preço crítco do actvo subjacente. Este preço crítco corresponde ao valor mas alto do preço do actvo subjacente para o qual a opção de venda deve ser exercda. Este resultado é obtdo gualando a zero a dervada da expressão que permte determnar o preço da opção de venda amercana em relação ao tempo e resolvendo esta gualdade em ordem ao valor do actvo subjacente. A expressão encontrada para o actvo subjacente corresponde ao preço crítco 5. A obtenção deste valor é uma condção fundamental para a determnação do valor da opção de venda amercana. No caso dos actvos hpotecáros, o preço crítco do actvo subjacente 6 permte obter o valor lmte da propredade hpotecada. Este valor corresponde à zona de frontera na qual se passa de uma stuação de ncumprmento para uma stuação na qual os pagamentos das prestações devem contnuar normalmente. O preço crítco assume mportânca acrescda no caso da avalação dos actvos hpotecáros comercas, dado o facto de as respectvas condções contratuas permtrem que no exercíco de modelação e prcng seja normalmente gnorada a opção de pré-pagamento. Importa, no entanto, referr que a solução de Bunch e Johnson (200) é apenas válda para opções de venda amercanas cujo actvo subjacente não dstrbua dvdendos. No caso dos actvos hpotecáros exste um parâmetro com tratamento smlar aos dvdendos. Trata-se da taxa de rendmento contínuo proporconado pelo móvel que, na prátca, tende a exstr sempre. Consequentemente, a extensão do resultado de Bunch e Johnson (2000) à avalação moblára mpõe a necessdade de admssão de um pressuposto muto pouco consentâneo com a realdade do mercado. Outro trabalho de referênca neste domíno é o de Carr (1998). Também neste artgo são determnados o valor da opção de venda Amercana e o preço crítco do respectvo actvo subjacente. Neste caso, a dervação da expressão que permte determnar o valor crítco é apresentada para três hpóteses dstntas: nexstênca de dvdendos (tal como em Bunch e Johnson, 2000), dvdendos constantes e dvdendos proporconas ao valor do actvo subjacente. Enquanto que para as duas prmeras soluções é possível apresentar uma expressão explícta para o valor crítco, no caso da tercera hpótese, o valor crítco é determnado mplctamente. Tal facto acarreta maor complexdade na determnação do seu valor. A aplcação deste tpo de 5 Quando a dervada do preço da opção de venda amercana em relação ao tempo é nula, o valor da opção não depende do tempo, sendo óptmo exercê-la medatamente, pelo que o preço do actvo subjacente é gual ao preço crítco. 6 Para os actvos hpotecáros o actvo subjacente da opção de venda corresponde ao valor da propredade hpotecada. 608

16 Modelo de avalação de hpotecas resultados aos actvos hpotecáros permtra uma aproxmação dos respectvos modelos de avalação à realdade. Ou seja, com base em Carr (1998) deverá ser possível deduzr uma expressão para o valor frontera da propredade hpotecada, sto é, para o valor lmte a partr do qual é óptmo para o devedor do empréstmo o exercíco da opção de ncumprmento. Esta dedução é passível de ser realzada caso se consdere constante o rendmento obtdo com a propredade hpotecada. Na hpótese deste rendmento ser proporconal ao valor da propredade, a dedução de uma expressão para o valor frontera da propredade é de extrema complexdade Métodos de Solução A equação geral que permte obter o valor dos actvos é desenvolvda em duas etapas. A prmera etapa consste na dervação da equação geral de avalação de um dervado fnancero, cujo valor depende de váras varáves estocástcas. Dado que os actvos hpotecáros consttuem dervados fnanceros, a respectva valorzação é passível de ser conseguda medante a aplcação conjunta da equação geral de avalação com as condções de frontera adequadas à tomada em consderação da respectva realdade contratual. A segunda etapa do exercíco de valorzação de um actvo hpotecáro consste precsamente em dentfcar a equação dferencal a respetar e as respectvas condções de frontera. Por fm, a tercera fase do exercíco de valorzação consste em resolver a equação dferencal parcal sujeta às condções lmte mpostas, extrando um valor para os actvos em questão. Na avalação de dervados fnanceros é utlzada a teora geral dos processos dferencas estocástcos, tal como é aplcada no domíno da matemátca fnancera. A prmera etapa defne os actvos a avalar e os processos estocástcos nerentes às varáves de estado utlzadas. O passo segunte consste em dervar a equação dferencal parcal relatva ao valor do actvo hpotecáro, admtndo ausênca de oportundades de arbtragem. Consderando uma cartera consttuída por n 1 actvos hpotecáros, cujo valor depende de n varáves de estado, é, de seguda, deduzda a equação dferencal parcal que pode ser aplcada a cada caso concreto juntamente com as condções fronteras adequadas 7. Deste modo, é crada uma cartera consttuída por uma combnação lnear de n 1 actvos hpotecáros, ao menor rsco, e com valor facal dado por : n 1 1 a V com a (15) onde a e V correspondem ao montante e ao valor, respectvamente, do actvo hpotecáro na cartera de actvos. De seguda consdere-se o aumento na rqueza obtdo durante um período de tempo curto, Rqueza : 7 A formulação segunte é baseada em Olver (1998), com as convenentes adaptações para os actvos hpotecáros. 609

17 Vegas e Perera n 1 Rqueza a V (16) Conforme atrás menconado, V V x1, x2,..., xn, t, onde x1, x2,..., xn são n varáves de estado que seguem o processo dferencal estocástco geral: 1 dx dt dz com 1,2,..., n (17) Assm sendo, é possível aplcar a fórmula de Itô de dmensão n : 2 2 V V 1 V 2 V V t x x x x com j e, j 1,2,..., n 2 j (18) t x 2 x x x Sendo a cartera lvre de rsco, o aumento da rqueza deve corresponder ao produto do respectvo valor facal pela taxa de juro dos actvos sem rsco, r. Caso contráro encontrar-nos-íamos em presença de uma oportundade de arbtragem. Daqu é possível extrar: j n 1 1 Rqueza r t Rqueza r av t (19) Com base neste resultado é possível apresentar a equação dferencal parcal relatva ao valor do actvo geral V, cuja formulação é o resultado da dnâmca seguda pelas n varáves subjacentes ao modelo: V t n 1 n 2 V 1 V j j (20) x 2 x x rv 0, j 1 j Onde o parâmetro, relatvo à varável de estado x, representa o preço de mercado do rsco de x. A gualdade (20) representa a equação (dferencal parcal) geral de avalação de actvos hpotecáros. A formulação precsa assumda pela equação dferencal parcal no processo de valorzação específca de cada tpo de actvo hpotecáro depende das especfcações e dos pressupostos nerentes às varáves de estado utlzadas que são descrtas por processos estocástcos. É mprescndível que o processo estocástco segudo por estas varáves retrate, o mas fdedgnamente possível, a dnâmca seguda pelo mercado. A aplcação de dferentes varáves bem como de dferentes processos estocástcos produzrá dferentes cenáros de avalação. O valor do actvo é passível de ser obtdo através da resolução da equação dferencal parcal sujeta às condções de frontera adequadas, decorrentes das opções de pré-pagamento e de ncumprmento mplíctas. A lteratura da especaldade tem, na esmagadora maora dos casos, apresentado apenas soluções numércas, para este tpo 610

18 Modelo de avalação de hpotecas de enquadramento de avalação. Em ordem a obter estas mesmas soluções numércas, é necessáro recorrer a complexas técncas de computação, facto que torna o processo demasado moroso e dspendoso. As técncas numércas utlzadas para determnar o valor dos actvos dervados podem ser classfcados como métodos forward e métodos backward. Os métodos forward, como a smulação de Monte Carlo, utlzam a nformação presente e passada para estmar os fluxos monetáros decorrentes do empréstmo hpotecáro e consequentemente avalam os actvos em questão. Como o térmno do contrato pode acontecer antecpadamente, por va do exercíco das opções de pré-pagamento e de ncumprmento, é necessáro estmar a taxa de antecpação do termo do mesmo, analsando o comportamento do devedor do empréstmo para dferentes cenáros da evolução das varáves estocástcas do modelo. Por outro lado, os métodos forward, como o método bnomal ou o método das dferenças fntas, avalam o actvo de acordo com a nformação presente e futura. Este tpo de estrutura de avalação é mas adequado para avalar actvos hpotecáros, uma vez que permte tratar de forma endógena o exercíco de qualquer das opções embutdas no contrato hpotecáro que possbltam o respectvo termo antecpado. Na data de maturdade, o valor do contrato hpotecáro é conhecdo para cada um dos potencas estados da natureza. Através da consderação da equação geral de avalação e das condções de frontera adequadas, é matematcamente possível determnar também o valor desse mesmo contrato no momento do tempo medatamente anteror. Segundo recursvamente este procedmento, é possível determnar o valor do actvo no momento presente. O método das dferenças fntas é um dos procedmentos mas utlzados neste domíno. Wlmott, Dewynne e Howson (1993) e Clewlow e Strckland (1998) apresentam uma descrção detalhada do funconamento deste método. 4. Modelos na Lteratura Durante os últmos anos fo publcado um conjunto de modelos de avalação de fluxos contngentes destnados à avalação de actvos hpotecáros que toma em consderação, smultaneamente, as opções de pré pagamento e de ncumprmento. De entre estes merecem destaque os trabalhos de Kau et al. (1992, 1995), Kau e Keenan (1995) e Deng, Qugley e Van Order (2000). Kau e Keenan (1995) apresentam uma revsão da lteratura da especaldade publcada até meados da década de noventa. Conforme fo menconado na ntrodução, no domíno das hpotecas sobre móves de natureza resdencal, os prmeros trabalhos que utlzaram modelos de fluxos contngentes para avalar os actvos hpotecáros com opção de pré-pagamento devem-se a Dunn e McConnell (1981a,b). Abordagens smlares são, no entanto, apresentadas numa sére de trabalhos posterores. Brennan e Schwartz (1985) desenvolveram um modelo de avalação dos actvos hpotecáros sujetos a rsco de pré-pagamento, no qual utlzaram como varáves de estado a taxa de juro de curto prazo e a taxa de juro de longo prazo. Tmms (1985), consderou especfcamente a exstênca de custos de transacção assocados à opção de pré-pagamento. Schwartz e Torous (1989a) analsaram emprcamente o comportamento do pré-pagamento e 611

19 Vegas e Perera utlzam essa nformação para o desenvolvmento de um modelo de avalação. Recentemente, Stanton e Wallace (1997), apresentaram mas um modelo de fluxos contngentes capaz de avalar este tpo de actvos, apresentando um algortmo numérco para resolver o problema da valorzação dos efetos nduzdos pelos prépagamentos e generalzando este tpo de análse através da consderação da possbldade de exstênca de pré-pagamento nduzdos por razões exógenas. Paralelamente surgram outros trabalhos relatvos à avalação de actvos hpotecáros cujo foco prncpal resde na opção de ncumprmento. Neste âmbto, Cunnngan e Hendershott (1984) e Epperson et al. (1985) desenvolvem modelos aplcáves a este tpo de avalação com a nclusão de opções de venda. Por sua vez, no que respeta ao tratamento e avalação dos efetos nduzdos pelas opções de ncumprmento, uma das referêncas poneras deve-se a Leung (1989). Trata-se de um modelo de avalação de actvos hpotecáros que tem a partculardade de consderar apenas a opção de ncumprmento. Apresenta soluções analítcas e resultados estatístcos comparáves para o valor dos actvos hpotecáros que apresentem como característca a nexstênca de opção de pré-pagamento. O modelo utlza duas varáves de estado para caracterzar o comportamento dos actvos em questão: o preço da obrgação cupão zero e o preço do móvel. O trabalho recorre ao método do valor esperado de Cox e Ross (1976) para avalar o actvo hpotecáro com uma opção de ncumprmento, argumentando que este método é mas rápdo do que o método das dferenças fntas, de utlzação mas frequente. No domíno paralelo da nvestgação sobre métodos de avalação de actvos hpotecáros comercas, mporta menconar a recente revsão de lteratura ncluída no trabalho de Fu, LaCour-Lttle e Vandell (2002), tomando em consderação tanto modelos centrados na valorzação da opção de pré-pagamento, como modelos centrados na valorzação da opção de ncumprmentos e modelos que consderam smultaneamente ambas as opções. Em termos hstórcos, no domíno da valorzação de actvos hpotecáros comercas, uma das prmeras referêncas a consderar é Vandell (1984), um dos prmeros estudos a analsar o rsco de ncumprmento em actvos hpotecáros comercas. O respectvo modelo consdera o ncumprmento como resultado da exstênca de fluxos monetáros adversos, ou do facto de o valor líqudo do contrato ter valor negatvo. É reconhecda a exstênca de nteracções entre os fluxos monetáros decorrentes do empréstmo e o valor líqudo do contrato, que possuem mplcações ao nível do rsco de ncumprmento. O artgo coloca anda partcular enfâse no papel que no entender deve ser destnado à regulamentação das consequêncas do ncumprmento e à necessdade de tomar em consderação toda a nformação volátl relatva à propredade, ao mercado e às condções económcas no exercíco de avalação. Ttman e Torous (1989), consttu outro trabalho de referênca nesta área. O trabalho nclu um modelo de avalação de actvos hpotecáros que consdera a opção de ncumprmento, baseando-se na noção de que o devedor do empréstmo hpotecáro exerce a opção de ncumprmento sempre que o valor da construção hpotecada atnge um montante nferor ao da correspondente hpoteca. Os dados utlzados para a estmação empírca são as taxas dos títulos hpotecáros comercas, cotadas por companhas de seguros para períodos de 3, 5, 7 e 10 anos. Os parâmetros para os processos taxas de juro são estmados a partr do preço das obrgações do Tesouro. O modelo explca uma parte sgnfcatva do nível do prémo 612

20 Modelo de avalação de hpotecas de ncumprmento e as alterações que são verfcadas ao longo dos períodos. No entanto, como é observado pelos autores do artgo, os resultados obtdos são muto sensíves aos valores escolhdos para os parâmetros. Vandell (1992), avala a relação entre, por um lado, o ncumprmento nos actvos hpotecáros comercas e, por outro lado, as característcas do contrato, da propredade hpotecada, do devedor do empréstmo, do mercado e do meo envolvente económco geral. Para tal utlza o maor conjunto de dados, dsponível publcamente, relatvo à ncdênca do ncumprmento nos hpotecáros comercas. O artgo apresenta-se como um nstrumento útl na determnação do rsco de ncumprmento futuro, segundo cenáros económcos alternatvos. Vandell et al. (1993) analsam também o ncumprmento assocado aos actvos hpotecáros comercas, e tal como Vandell (1992), estudam a probabldade de ncumprmento assocada aos referdos actvos. Tanto quanto é do nosso conhecmento, este trabalho apresenta a prmera tentatva empírca de utlzação da base de dados de empréstmos comercas efectuados por uma grande companha de seguros. Os resultados empírcos confrmam a mportânca dos valores das prestações e da propredade na explcação dos níves de ncumprmento. Cochett e Vandell (1999), nvestgam também o rsco de ncumprmento, utlzando para o efeto o modelo bnomal mult-período (Rendleman e Bartter, 1979 e Cox, Ross e Rubnsten, 1979). De resto, os métodos numércos utlzados na solução dos problemas de avalação de actvos hpotecáros comercas têm varado frequentemente nos trabalhos que têm vndo a ser publcados, ao longo das últmas duas décadas. Por exemplo Ttman e Torous (1989) e Kau et al. (1987, 1990) utlzam o método das dferenças fntas, enquanto que Rddough e Thompson (1993) e Chlds, Ott e Rddough (1996) empregam o método de smulação de Monte Carlo. Os últmos anos têm vndo a ser marcados pela publcação de modelos de avalação de actvos hpotecáros mas sofstcados, que tentam conclar o trabalho conceptual com a análse empírca. Cochett, Deng, Gao e Yao (2002), utlzam um conjunto de dados de uma grande companha de seguros, aplcando uma estrutura orgnalmente desenvolvda por Deng, Qugley e Van Order (1996, 2000) para o mercado dos actvos hpotecáros resdencas, num trabalho que ncde especfcamente sobre actvos hpotecáros de natureza comercal. Os seus resultados confrmam que a evolução do valor das opções de compra e venda contrbu sgnfcatvamente para explcar os níves efectvos de pré-pagamento e ncumprmento de hpotecas comercas. Os custos de transacção são outro dos aspectos que assume um papel de relevo na explcação dos casos de conclusão antecpada do contrato. Downng, Stanton e Wallace (2003), desenvolvem e testam emprcamente um modelo de avalação estrutural que avala as opções de prépagamento e de ncumprmento ncluídas num contrato hpotecáro, como funções endógenas das fontes subjacentes de ncerteza. Neste artgo, ao contráro do que fo assumdo noutros trabalhos do mesmo tpo, como Dunn e McConnell (1981a, 1981b), são também tomados em consderação factores exógenos capazes de nfluencar o exercíco das opções de ncumprmento e de pré-pagamento. Nomeadamente, são consderados os custos de transacção assocados à decsão de ncumprr ou de prépagar o empréstmo, salentando-se o facto de exstrem dferenças nos níves que estes custos apresentam para dferentes tpos de nvestdores. Paralelamente, é anda tomado em consderação o facto de o valor das opções de ncumprmento e de pré-pagamento 613

21 Vegas e Perera poder também ser condconado por factores de natureza não estrtamente fnancera que podem condconar a decsão do devedor hpotecáro. Outros estudos que merecem referênca especal pelo seu caracter novador à data da publcação são Colln-Dufresne e Hardng (1999) e Yang, Bust e Megbolugbe (1998). Colln-Dufresne e Hardng (1999) deduzem uma solução fechada para os actvos hpotecáros resdencas de taxa fxa, utlzando uma únca varável de estado, a taxa de juro de curto prazo, que segue um processo de Ornsten Uhlenbeck. No seu estudo ncorporam um modelo empírco de pré-pagamento, através da utlzação de dados hstórcos. Tem sdo demonstrado noutros artgos, nomeadamente em Kau et al. (1992), que, potencalmente, a modelação dos actvos hpotecáros medante o recurso a mas de uma varável de estado, proporcona resultados mas fáves. No entanto, os autores apresentam uma lsta de vantagens nerentes à apresentação de uma solução fechada com a utlzação de uma únca varável de estado. Nomeadamente, esta solução permte determnar, rapdamente, os valores assumdos por varáves relevantes para a gestão de carteras de títulos, tas como o valor, a duração e a convexdade. Esta capacdade faclta a efectvação de análses de optmzação e de munzação de carteras mas complexas, as quas, de outro modo, causaram volumosos cálculos matemátcos. Por últmo, convrá menconar o caso nvulgar de modelação a três factores, no domíno da avalação de actvos hpotecáros. Yang, Bust e Megbolugbe (1998) ntroduzem um tercero processo estocástco o rendmento obtdo com o móvel hpotecado no modelo de avalação usual, que nclu normalmente apenas a taxa de juro e o preço do móvel, chegando a uma formulação que lhes possblta o cálculo das probabldades de ncumprmentos e de pré-pagamento. 5. Conclusão O estudo hstórco da lteratura dedcada à avalação de actvos hpotecáros revela que a análse de fluxos contngentes tem vndo a ser utlzada na avalação deste tpo de actvos desde há mas de duas décadas. Nestes casos, os modelos de avalação dos actvos hpotecáros, para além de ncluírem um método de valorzação dos cash flows esperados correspondentes aos reembolsos de captal e juros, devem nclur especfcamente o tratamento de duas opções facultadas ao devedor hpotecáro: uma opção de compra, cujo exercíco torna possível termnar antecpadamente o contrato hpotecáro, através do pré-pagamento da dívda; e uma opção de venda, cujo exercíco, por va do ncumprmento, é também possível obter o mesmo efeto termnal. Os últmos anos têm sdo marcados pela emergênca de modelos que tentam conclar o tratamento teórco do processo de avalação com nputs de natureza empírca. Em paralelo, recentemente, merecem também destaque os trabalhos destnados ao cálculo de probabldades de ncumprmento e de pré-pagamento nerentes aos dversos contratos hpotecáros. Um domíno anda pouco explorado neste campo de nvestgação, respeta ao desenvolvmento de soluções fechadas para a avalação de actvos hpotecáros. Contudo a complexdade do tratamento matemátco que é nduzdo pela exstênca 614

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