EEL002 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

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1 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo EE00 ONERSÃO EETROMEÂNI DE ENERGI TEORI Revisão: José Eugenio lmeida 1 / 110

2 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo IRUITOS TRIFÁSIOS 1 Geração de FEMs Senoidais 11 Monofásicas Da física tem-se que, quando um condutor é colocado em um campo magnético, desde que haja uma variação deste campo no condutor, será induzida no mesmo uma força eletromotriz - fem - dada pela equação: e E sen ( ω t) (1) MÁX onde: E MÁX Sω sendo: - Indução ou Densidade de fluxo S - Área da espira ω - freqüência angular Esta situação fica melhor esclarecida através da figura abaixo: Figura 1 Geração de fem senoidal Revisão: José Eugenio lmeida / 110

3 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo No caso da figura 1 a variação do campo magnético se dá pelo fato do condutor estar girando embora os pólos indutores (N e S) permaneçam fixos Mas no caso de geradores reais, pode ocorrer que o condutor esteja fixo e os pólos serem girantes, havendo, portanto, como anteriormente, uma variação de campo magnético sobre o condutor figura ilustra: a N S a' a a' - representa o condutor (ou espira) + - ω Figura - Esquemático de um gerador monofásico Em realidade no gerador monofásico real não existe um único condutor, mas uma série deles ligados entre si, de forma que tenhamos dois terminais, o que caracteriza o sistema monofásico 1 Trifásicas s fems trifásicas são geradas da mesma forma que as monofásicas Um sistema trifásico nada mais é que um conjunto de três sistemas monofásicos que estão defasados entre si de 10º elétricos (defasagem dos fasores das fems); para tanto os condutores (espiras) estão conectados convenientemente como mostra a figura a seguir Pelo sentido de giro dos pólos indutores (NS) na figura, teremos que na espira bb haverá a indução de fem cujo valor máximo ocorre 10º após a ocorrência do valor Revisão: José Eugenio lmeida / 110

4 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo máximo da fem da espira aa' e o valor máximo da fem da espira cc' ocorrerá 40º após o da fem da espira aa', de forma que pode-se escrever: + b' N a ω c' - c S a' b Figura - Esquemático de um gerador trifásico e e e e e e aa' bb' cc' ou aa' bb' cc' E E E E E E MÁX MÁX MÁX MÁX MÁX MÁX sen( ω t) sen( ω t π ) 4 sen( ω t π ) sen( ω t) sen( ω t π ) sen( ω t + π ) () () Nota: tente-se ao fato de que nos geradores trifásicos reais aa', bb' e cc' são bobinas constituídas de diversas espiras e que ocupam todo o espaço, diferentemente daquilo mostrado no modelo da Figura partir do conjunto de equações () ou () pode-se fazer a representação fasorial das fems como a seguir: Revisão: José Eugenio lmeida 4 / 110

5 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo E aa' Ee j0 E bb' Ee j10 (4) j40 j10 E cc' Ee Ee onde: E EMX Seqüência de Fases O conjunto de equações () e () são válidas para o indutor (pólos indutores) girando no sentido indicado na figura Entretanto o mesmo poderia girar em sentido contrário e então e e e aa' bb' cc' E E E MÁX MÁX MÁX sen( ω t) cujos fasores seriam: sen( ω t + π ) (5) sen( ω t π ) E aa' Ee j0 E bb' Ee j10 E cc' Ee j10 (6) Fazendo E aa' E1, E bb' E, E cc' E, têm-se os seguintes diagramas fasoriais, correspondendo a chamada seqüência de fases direta ou positiva - equações (4) - e seqüência de fases inversa ou negativa - equações (6): Figura 4 - Seqüência de fases Revisão: José Eugenio lmeida 5 / 110

6 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo FEMs de Fase e de inha 1 FEMs Geradas por Gerador onectado em Y (Estrela) omo foi dito anteriormente o sistema trifásico nada mais é que a combinação de três sistemas monofásicos defasados entre si de 10º representação de tal assertiva pode ser feita como abaixo: c' c a a' b' b Figura 5 - Três sistemas monofásicos Em termos práticos é interessante, todavia, que, por exemplo, ligue-se os terminais a', b' e c' entre si resultando em: c fase c a' b' c' a fase a neutro b Figura 6 - Gerador Trifásico em Y fase b Revisão: José Eugenio lmeida 6 / 110

7 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo À conexão da figura 6 dá-se o nome de conexão Estrela e representa-se por Y inda mais, o ponto de coincidência entre a', b' e c' é chamado de ponto neutro e o condutor dali retirado é chamado de fio neutro ou simplesmente neutro Os condutores retirados dos terminais a, b e c, são chamados de, respectivamente, fase a, fase b e fase c partir daí pode-se construir o diagrama de fasores das fems geradas em cada bobina, ou seja: E cn E an OS: seqüência de fases adotada é a direta E bn Figura 7 - Diagrama fasorial para as fems de fase s fems acima representadas são aquelas entre fase e neutro, ou seja são as fems nas próprias bobinas Entretanto, em termos práticos é bastante comum o interesse e a necessidade das fems entre, por exemplo, a fase a e a fase b, daí pode-se obter: E ab - fem entre as fases a e b bc - fem entre as fases E b e c E agora define-se: E ca - fem entre as fases c e a an, E bn e E cn - fems entre fase e neutro ou fems DE FSE E ab, E bc e E ca - fems entre fases ou fems DE INH E Revisão: José Eugenio lmeida 7 / 110

8 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Por outro lado, a análise da Figura 6 mostra: an E a E n E bn ( E b E n E ) an E bn E E a E n E b + E n E a E b E ab ogo: E ab E an E bn nalogamente: E bc E bn E cn e E ca E cn E an omo E na E an, E nb E bn e E nc E cn então pode-se escrever: E E + E ab an nb E E + E bc bn nc E E + E ca cn na (7) Revisão: José Eugenio lmeida 8 / 110

9 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo união do conjunto de equações (7) com a figura 7, leva-nos a: E ca E cn E nb E ab E na E an E bn E nc E bc Figura 8 Diagrama Fasorial para as fems de fase e de linha - onexão Y Se se tomar, de acordo com a figura 8, as fems de fase como sendo: j0º an E e E j10º bn E e E j10º cn E e E Tem-se, por exemplo: j0º j60º Eab Ean + Enb E e + E e E + j + + j [ j ] j0º [ cos0º sen 0º cos60º sen 60º ] 1 1 E 1+ j0+ + j E + j E + j E cos 0º + sen 0º Eab Ee Revisão: José Eugenio lmeida 9 / 110

10 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Desenvolvimentos análogos levariam a: Ebc Eca E e E e j90º j150º Portanto: "Fems de linha são, na conexão Y, vezes maior que as de fase e estão desfasadas das mesmas, na seqüência de fases direta, de 0º, ou + j0º E E f e (8) onde: E - fem de linha E f - fem de fase correspondente FEMS Geradas por Gerador onectado em (Delta ou Triângulo) gora, poder-se-ia tomar as três bobinas da figura 5 e ligá-las da seguinte forma: fase c c( a') a( b') fase a b( c') Figura 9 Gerador Trifásico ligado em fase b Revisão: José Eugenio lmeida 10 / 110

11 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo À conexão da figura 9 dá-se o nome de conexão Triângulo ou Delta e representase por Note que as fems de linha, neste caso, são as próprias fems geradas nas bobinas, logo: "Fems de linha são, na conexão, as próprias fems de fase" Pode-se, por exemplo, fazer a seguinte representação fasorial, tomando referência: E ca E ab na E ab E bc Figura 10 Diagrama Fasorial para as fems de fase e de linha onexão 4 argas Trifásicas s cargas elétricas podem ser classificadas segundo diversas formas, a saber: 41 Tipos de arga Quanto ao Ângulo jϕ a ) e, ϕ 0º Sendo ϕ 0º, não haverá defasagem entre a tensão aplicada a esta impedância e a corrente que por ela circula, tem-se então a chamada carga Puramente Resistiva cosϕ + j senϕ fazendo cosϕ R senϕ X, Revisão: José Eugenio lmeida 11 / 110

12 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo logo R + jx entretanto ϕ 0º, portanto R e X 0, logo: R jϕ b ) e, ϕ 90º Sendo ϕ 90º a corrente na impedância estará defasada de 90º em atraso com relação à tensão aplicada à mesma, tem-se então a chamada carga Puramente Indutiva cosϕ + j senϕ sendo cosϕ R senϕ X, vem R + jx omo ϕ 90º, tem-se R 0 e X, portanto: jx jϕ c ) e, ϕ 90º Sendo ϕ -90º, a corrente nesta impedância estará defasada de 90º adiantada com relação à tensão na impedância, tem-se então a chamada carga Puramente apacitiva cosϕ + j senϕ sendo cosϕ R e senϕ X, vem R + jx Porém, sendo ϕ -90º, tem-se R 0 e -X, portanto: jx jϕ d ) e, 0º < ϕ < 90º Neste caso, a impedância faz com que haja um defasamento da corrente para a tensão de 90º < ϕ < 0º, portanto a carga é do tipo Resistiva e Indutiva Revisão: José Eugenio lmeida 1 / 110

13 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo cosϕ + j senϕ R - parte Resistiva omo 0º< ϕ < 90º, vem: R + jx X - parte Indutiva R + jx jϕ e ) e, 90º < ϕ < 0º gora o defasamento da corrente com relação a tensão será de 0º < ϕ < 90º, logo a carga é do tipo: Resistiva e apacitiva cosϕ + j senϕ omo -90º< ϕ < 0º: R + jx R jx R - parte Resistiva X - parte apacitiva f) arga com R,, Este caso não é independente dos outros, pois dependendo das particularidades da impedância em estudo tem-se ou o caso a) ou o d) ou o e) f1) R,, com equivalência de aspectos Se o aspecto indutivo da carga for equivalente a seu aspecto capacitivo, tem-se a chamada ressonância, e então a carga será "vista" como sendo simplesmente uma resistência, logo tem-se o caso a) f) R,,, com preponderância do aspecto indutivo Se o aspecto indutivo da carga for preponderante ao aspecto capacitivo, a carga será "vista" como sendo resistiva e indutiva e portanto aplica-se o caso d) Revisão: José Eugenio lmeida 1 / 110

14 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo f) R,,, com preponderância do aspecto capacitivo Por outro lado, se o aspecto capacitivo da carga for preponderante ao indutivo, a mesma será "vista como sendo resistiva e capacitiva, logo tem-se o caso e) Todos estes casos são melhores visualizados através dos diagramas de fasores de tensões e correntes: I aso a R R I I aso b j X I Revisão: José Eugenio lmeida 14 / 110

15 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo I aso c I - j X aso d I R R j X ϕ I ϕ tg -1 X R aso e I I R R ϕ -jx Revisão: José Eugenio lmeida 15 / 110

16 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 4 Tipos de argas Quanto à onexão No item anterior, viu-se todos os tipos de cargas possíveis, quanto a variação do ângulo da impedância gora, dependendo da forma como são conectadas, tem-se as possibilidades existentes nos sistemas trifásicos Tomadas três impedâncias quaisquer, estas podem ser ligadas como a seguir: a) arga em Delta ou Triângulo ( ) a a b c 1 ou 1 c b Figura 1 - arga trifásica ligada em Revisão: José Eugenio lmeida 16 / 110

17 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo ou como abaixo: b) arga em Estrela (Y) a a b c 1 ou 1 n n b c Figura 1 - arga trifásica ligada em Y 4 Tipos de argas Quanto à Igualdade ou não das Impedâncias - argas Equilibradas e Desequilibradas Se as três impedâncias das figuras 1 ou 1, forem de tal forma que: 1 - diz-se que a carga é Equilibrada Por outro lado, se: 1 ou 1 ou 1 ou 1, diz-se que a arga é Desequilibrada OS: Para os objetivos deste trabalho, sempre serão consideradas carga equilibradas Revisão: José Eugenio lmeida 17 / 110

18 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 5 orrentes de inha e de Fase Seja um gerador alimentando uma carga como na figura a seguir, I I b a g g N I N Ib I a I c Gerador g arga I c Figura 14 - Gerador em Y alimentando carga em Y Na figura 14, tem-se: - Gerador Trifásico Y - arga Trifásica Y - c - Impedância da carga - g - Impedância do gerador - I, I, I - correntes do gerador para a carga (correntes de linha) - I n - corrente da carga para o gerador - I a, I b, I c - correntes na carga (correntes de fase) s correntes nas linhas que chegam à carga I, I, I linha s correntes nas impedâncias da carga I a, I b, I c, são chamadas de correntes de, são chamadas de correntes de fase Revisão: José Eugenio lmeida 18 / 110

19 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 51 orrentes de inha e de Fase em uma arga igada em Y Pela figura 14 observa-se que é a própria corrente, o mesmo acontecendo I I b I I c com e e, e com e, ou seja para a carga em Y as correntes de linha são as próprias correntes de fase I I a álculo das orrentes an I a bn I b cn I c omo não se considerou impedâncias para as linhas a, b e c (ide figura 14), pode-se dizer que: an N bn N cn N 1) N, N e N diferem das fems E N, E N e E N pelas quedas de tensão internas ao gerador e são chamadas de tensões Para a fase, pex, poderia ser escrito: E N N + g I, onde: E N - fem gerada N - Tensão nos terminais e N g I - Queda de tensão no gerador ogo: N I I a c N I I b c N I I c c Revisão: José Eugenio lmeida 19 / 110

20 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Por outro lado, suponha-se que os terminais,, e N do gerador estejam curto-circuitados, então : I E N g I E N g I E N g omo N, E N E e E N tem mesmo módulo e estão defasadas entre si de 10º e a impedância é sempre a mesma, pode-se afirmar que: I, I e I têm mesmo módulo e estão defasados entre si de 10º Por extensão do raciocínio N, N e N e portanto an, bn e an estariam também defasados de 10º e teriam mesmo módulo, respectivamente álculo das orrentes Seja: an e j0º bn e j10º cn e + j10º c e jα Então: I a e I e jα jα I b j(10 α ) j(10 α ) Ic e I e e j ( 10+ α ) j(10+ α ) I e Na figura 14, tem-se: I n I a + I b + I c Revisão: José Eugenio lmeida 0 / 110

21 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo logo: I n I{(cosα jsenα) + [cos(10º + α) jsen(10º + α)] + [cos(10º α ) + jsen(10º α )]} I{cosα jsenα + cos10º cosα sen10º senα j sen10º cosα jsenα cos10º + + cos10º cosα + sen10º senα + j sen10º cosα jsenα cos10º} I{cosα j senα + cos10 cosα j senα cos10} 1 1 I cosα jsenα + cosα jsenα I{cosα jsenα cosα + jsen α } I{0} n 0 I (9) onclusão: "Se a carga for equilibrada, a corrente no neutro da Y, será nula" Pode-se, então fazer o seguinte quadro para a conexão Y: jβ f e ± j0º f e (1) (1) ±0º, dependendo então da seqüência de fases tomada No caso da seqüência direta temos +0º, e no caso da seqüência inversa tem-se -0º jγ I f I e I I f I n 0 (10) Revisão: José Eugenio lmeida 1 / 110

22 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 5 orrentes de inha e de Fase em uma arga igada em Seja e figura 15 abaixo: I I b g N g I ab I bc I ca Gerador g c a arga I Figura 15 - Gerador em Y alimentando carga em Na figura 15, tem-se: - Gerador trifásico em Y - arga trifásica em - c - impedância de carga - I, I, I - correntes de linha - I ab, I bc, I ca - correntes de fase álculo das orrentes de Fase Seja: j j(10 ) (10 ) ab ϕ bc ϕ + ca ϕ e e e j Revisão: José Eugenio lmeida / 110

23 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo então, sendo jϕ e, vem: j0º j0º j10º j10º j10º j10º I ab e I e I bc e I e I ca e I e álculo das orrentes de inha plicando Kirchoff à carga da figura 15, vem: I I ab I ca I I bc I ab I I ca I bc alcule-se então por exemplo I : j0º I I ab I ca I e I[cos0º + jsen 0º cos10º j sen10º] 1 I 1 + j0 j I j I e j10º I J Multiplicando e dividindo por, vem: 1 1 I I j como cos( ± 0º ) e sen( 0º ou10º ) em: I I e j0º Revisão: José Eugenio lmeida / 110

24 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo nalogamente: I I e j150º I I e + j90º ou seja: "Na conexão, as correntes de linha são vezes maior que as correntes de fase e estão defasadas das respectivas correntes de fase de ±0º (1) (1) ±0º dependendo aqui também, da seqüência de fases adotada No caso desenvolvido 0º que é de seqüência de fases direta om isso, pode-se fazer o seguinte quadro para a conexão f e jβ f jγ I f I e I I f e ± j0º (11) onclusão Final Supondo três impedâncias em Y de valor e jψ, tem-se o seguinte Diagrama Fasorial para a Seqüência de Fases Direta: ca cn ab I 0 ϕ ϕ ϕ 0 an I 0 I bn bc Figura 16 Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Y Revisão: José Eugenio lmeida 4 / 110

25 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Se as impedâncias estivessem agora em, ter-se-ia: ca ab I ca 0 I c I ϕ ϕ 0 b I bc ϕ I 0 ab I a bc Figura 17 Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em 6 onversão -Y e Y- Por vezes é muito útil transformar uma carga em uma equivalente em Y e vice-versa Neste caso, a equivalência de cargas significa dizer que: estando as cargas equivalentes em ou Y, as tensões e correntes de linha não são alterados, ou seja, continuam as mesmas Sejam as cargas como as da figura abaixo: I I I I 6 I Figura 18 - argas Equilibradas I Revisão: José Eugenio lmeida 5 / 110

26 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Para a carga em Y, pode-se escrever: N N 4 I 5 I () Para a carga em, tem-se: I I () Mas: I I I I I + I () I I I I I I (D) Substituindo () e (D) em (), vem: I I I I Da figura 18, tem-se: I 1, logo: I I I I I I Revisão: José Eugenio lmeida 6 / 110

27 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo I I (E) omparando () e (E), vem: (F) Por analogia: omo (carga em, equilibrada) e (carga em, equilibrada), pode-se fazer: Y 6 5 4, donde a partir, por exemplo, de (F), vem: + + Y Y (1) por outro lado: Y (1) Revisão: José Eugenio lmeida 7 / 110

28 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 7 ircuito Monofásico Equivalente a um ircuito Trifásico Desde que a carga do sistema trifásico seja equilibrada, uma simplificação pode ser operada nos sistemas trifásicos Uma vez que em sendo a carga equilibrada as correntes e as tensões apenas diferem entre si quanto ao angulo de fase, pode-se calcular uma grandeza e obter as outras duas através de defasagem de ±10º 71 arga em Y Seja e carga Y a seguir: I I I N Sendo j0º j10º + j10º e e e e jψ Tem-se: I e I e I e j(0 + ψ)º j(150 + ψ)º j(90 ψ)º Ora, bastava calcular, por exemplo, e com ±10º obtém-se e pode ser obtido do seguinte circuito: I I I I Revisão: José Eugenio lmeida 8 / 110

29 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo I e-j0 omo N j0º e, poder-se-ia para a Seqüência de Fases Direta, fazer: Figura 19 - ircuito 1 Equivalente, com carga em Y e SF Direta 7 arga em No item anterior viu-se a equivalência -Y, portanto a simplificação desenvolvida no sub-item 71 pode ser agora aplicada para carga em, como aquela a seguir: I I I I I I Revisão: José Eugenio lmeida 9 / 110

30 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Supondo: j0º j10º j10º e e e e jα em: I e jα I e e j( 10+ α ) j(10 α ) I E portanto: I e j(0+ α ) I e j(150+ α ) I e j(90 α ) Podemos simplificar a partir de: I I I I I I I I I N e portanto equivale a, por exemplo: I N ~ Revisão: José Eugenio lmeida 0 / 110

31 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo N e j0º e j0º logo: j( 0+ α )º j(0+α )º I e e e j(0+ α )º j10º j(0+α )º j10º I e e I e e Donde: j(150+ α )º I e j(90+ α )º I e Portanto, para SF direta e carga em, tem-se: I e-j0 Figura 0 - ircuito 1 equivalente com carga em e SF direta De posse dos conhecimentos para o cálculo das correntes e das tensões em cargas trifásicas, em Y ou, resta agora o cálculo e a medição da potência nos sistemas trifásicos Revisão: José Eugenio lmeida 1 / 110

32 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 8 álculo e Medição de Potência em Sistemas Trifásicos Seja uma carga ligada a um sistema monofásico como na figura 1 I e jϕ Figura 1 - ircuito monofásico potência "consumida pela carga é dada por: a) Potência tiva, Real ou Wattada P I cosϕ (14) Onde ϕ além de ser o ângulo da carga é também o ângulo de defasagem entre a tensão aplicada à carga e a corrente na carga b) Potência Reativa ou Dewattada Q I senϕ (15) c) Potência parente S I (16) Sendo as unidades: P W, kw, MW, etc Q r, kr, Mr, etc S, k, M, etc Revisão: José Eugenio lmeida / 110

33 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Das equações (14), (15) e (16) pode-se montar o chamado triângulo de Potências: S I ϕ Q P Figura - Triângulo de Potências Por outro lado considerando uma carga do tipo ϕ tg 1 X R, vem: R + jx jϕ e onde X ϕ R Figura - Triângulo de Impedâncias Das figuras e, temos: R P I cos ϕ R cosϕ cosϕ P I omo P I I R I, vem: P RI * (17) R E Q I senϕ X senϕ omo I, vem: X sen ϕ X Q I Q I I X Q XI * (18) Revisão: José Eugenio lmeida / 110

34 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo E mais: S I S I I S I (19) Resumindo: P I cosϕ P RI * Q I senϕ Q XI * (0) S I S I * Desde que R e X estejam em série 81 Potências para arga em Y Seja agora uma carga trifásica, por exemplo, ligada em Y I I I N Figura 4 ircuito Trifásico em Y Na seqüência de fases direta tem-se: N 0º, N 150º e N 90º, logo: I N e j( 0+ α ) N j(10+ α ) N j(90+ α ) I e I e fazendo I e de acordo com o que foi mostrado para circuito monofásico, vem: P I cosα P I cosα P I cosα Revisão: José Eugenio lmeida 4 / 110

35 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo onde: P - potência ativa consumida pela impedância da fase ; P - potência ativa consumida pela impedância da fase ; P - potência ativa consumida pela impedância da fase ; α - É sempre o ângulo entre a tensão na impedância (tensão de fase) e, a corrente na impedância (corrente de fase) (ide ângulo entre N e I, N e I, N e I ) que é o próprio ângulo da impedância potência ativa total consumida pelas três impedâncias é: P TOT I cosα (1) omo é o módulo de N, N e N e I é o módulo de I, I e I pode-se rescrever: f f P I cosα () TOT Onde: f - tensão de fase I f - corrente de fase Portanto: potência ativa total é dada por três vezes o produto entre o módulo da tensão de fase, o módulo da corrente de fase e o cosseno do ângulo entre o fasor tensão de fase e o fasor corrente de fase nalogamente: Q I senα Q I senα Q I senα Q TOT I senα () Revisão: José Eugenio lmeida 5 / 110

36 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Ou f f Q I senα (4) TOT E mais: S I S I S I S TOT I (5) Ou S I (6) TOT f f Por outro lado, na conexão estrela, tem-se: I I f f ogo em () temos: P TOT I cosα I cosα P I cosα (7) TOT Na equação (), tem-se: Q TOT I senα I senα Q I senα (8) TOT Finalmente na equação (6), vem: S TOT TOT I I S I (9) Revisão: José Eugenio lmeida 6 / 110

37 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo tenção: omo para a conexão Y, a tensão de linha está defasada da tensão de fase, o ângulo α não é, nas equações (7) e (8), o ângulo entre e I 8 Potências para arga em Se a carga agora estiver em, tem-se: I I I I I I Figura 5 ircuito Trifásico em Para este caso: I I I e e e jα j(10+ α ) j(10 α ) Fazendo I e de acordo com o que foi mostrando para circuito monofásico, tem-se: P I cosα P I cosα P I cosα Revisão: José Eugenio lmeida 7 / 110

38 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Note que α é sempre o ângulo entre tensão na impedância (tensão de fase) e corrente na impedância (corrente de fase), veja o ângulo entre e, e I I, e I ogo: P TOT I cosα (0) Ou ainda f f P I cosα (1) TOT E mais: Q TOT I senα () ou f f Q I senα () TOT E S TOT I (4) Ou S I (5) TOT f f Por outro lado na conexão, tem-se: I f I f Revisão: José Eugenio lmeida 8 / 110

39 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo ogo em (1) vem: I I P TOT cosα cosα P I cosα (6) TOT Em (), vem: I I Q TOT senα senα Q I senα (7) TOT Finalmente em (5), vem: I I S TOT S I (8) TOT TENÇÃO: omo para a conexão, a corrente de linha está defasada da corrente de fase, o ângulo α não é, nas equações (6) e (7), o ângulo entre e I 8 Medição de Potência Uma vez que já foi mostrado o cálculo das potências em sistemas trifásicos, mostrar-se-á agora como efetuar as medições presenta-se direto ao uso de dois wattímetros, conhecido como onexão ron ou Processo de londel conexão ron é efetuada como a seguir: Revisão: José Eugenio lmeida 9 / 110

40 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo W W (a) ou W (b) W ou W (c) W Figura 6 Formas de medição de potência com dois wattímetros 8a Medição para carga em Y Supondo a medição sendo efetuada como da forma abaixo: I W1 a I W b N I c Revisão: José Eugenio lmeida 40 / 110

41 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo O wattímetro W 1 indicará: 1 I cos( I ) W 1 I cos( I ) W Seja: e j0º e jϕ, 0 < ϕ < 90º ogo: N ϕ I I N ϕ ϕ I N Do Diagrama Fasorial, tem-se: e j180º j00º j60º e ou e ogo: 60º I 0º + ϕ Portanto: I 0º ϕ Revisão: José Eugenio lmeida 41 / 110

42 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Então, como e I I, vem: W I cos(0º ) (9) 1 ϕ Já o wattímetro W indicará: W W I cos( I ) I cos( I ) Do Diagrama Fasorial, vem: N 0º N I ϕ I 0º + ϕ omo e I I, vem: W Icos(0º + ϕ) (40) 8b Medição para carga em Supondo a medição sendo efetuada como a seguir: I W1 a I ab I W b I bc I c I ca Revisão: José Eugenio lmeida 4 / 110

43 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo O wattímetro W 1 indicará: W1 I cos( I ) W1 I cos( I ) Se e j0º j e ϕ,0 < ϕ < 90º, vem I ca ϕ ϕ I I bc ϕ I ab I Do Diagrama Fasorial, vem: I 0º +ϕ j180º j60º e e 60º ogo: I 0º ϕ omo e I I, vem: W I cos(0º ) (41) 1 ϕ O wattímetro W, por sua vez, indicará: W I cos( I ) W I cos( I ) Revisão: José Eugenio lmeida 4 / 110

44 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Do Diagrama Fasorial, tem-se: I bc ϕ I I bc 0º I 0º +ϕ omo e I I, vem: W Icos(0º + ϕ) (4) Das equações (9), (40) ou (41), (4), vem: W + W 1 I I I [ cos(0º ϕ ) + cos(0º + ϕ) ] [ cos0º cosϕ + sen0ºsenϕ + cos0º cosϕ sen0ºsenϕ] [ cos0º cosϕ] W 1 + W I cosϕ I cosϕ W + W I cosϕ (4) 1 1 omparando-se a equação (4) com as equações (7) e (6), conclui-se: soma algébrica adiante ver-se-á porque algébrica das indicações dos dois wattímetros em conexão ron é igual a potência ativa total da carga trifásica 8c Particularidades da onexão ron c1 arga ôhmica - ϕ 0º W I W 1 I cos 0º cos 0º Revisão: José Eugenio lmeida 44 / 110

45 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Ou seja: W 1 W onclusão: Os dois instrumentos indicam o mesmo valor, portanto bastaria o uso de um só, e multiplicar sua indicação por dois c arga indutiva - ϕ 0º W I W 1 I cos0º cos 60º ogo: 1 1 W I W I onclusão: Um dos wattímetros acusa o dobro do outro c arga indutiva - ϕ 60º W I W 1 I cos( 0º ) cos 90º ogo: W1 I W 0 onclusão: Um dos instrumentos tem indicação nula umentando-se o ângulo acima de 60º, o instrumento que indicava zero, respectivo a cos(0º+ϕ), passará a indicar valores negativos; POR ISSO NTERIORMENTE FIRMOU-SE: SOM GÉRI c4 arga indutiva - ϕ 90º W I W 1 I cos( 60º ) cos10º Revisão: José Eugenio lmeida 45 / 110

46 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo ogo: W 1 I 1 W I 1 onclusão: Os dois wattímetros indicam os mesmos valores, porém com sinais contrários, o que resulta em W TOT 0, que é coerente pois ϕ 90º é para carga puramente indutiva, ou seja, não consome potência ativa 8d Potência Reativa Das equações anteriores temos: W 1 I cos( 0º ψ ) W I cos(0º + ψ ) Então: W [ cos0º cosψ + sen 0º senψ cos0º cosψ sen 0º senψ ] 1 W I + Então: W W 1 1 W W I I (sen 0º senψ ) senψ Portanto: ( W 1 W ) I senψ omo I senψ Q, vem: Q ( W 1 W ) (44) onclusão: om a indicação dos dois wattímetros da onexão ron pode-se também obter a potência reativa consumida pela carga equilibrada Revisão: José Eugenio lmeida 46 / 110

47 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 9 orreção do Fator de Potência 91 Definição O fator de potência é a relação entre a potência ativa e a potência aparente num sistema, ou seja: F P P S No triângulo de potências de um sistema (figura 7), vê-se que o fator de potência nada mais é que o cosseno do ângulo (ϕ) entre a potência ativa e a potência aparente S Q ϕ P Figura 7 - Triângulo de Potências 9 O porquê do aumento do FP eja alguns dos motivos que fazem com que haja a preocupação em aumentar (melhorar) o fp (cosϕ) de um sistema Revisão: José Eugenio lmeida 47 / 110

48 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 91 Sobrecarga nos abos Na figura 8, observa-se que, para uma mesma potência ativa (produtora de trabalho), existem dois valores de potência aparente (S1) e (S) S S 1 Q ϕ1 ϕ P Q1 Figura 8 - omparação para cosϕ 1 >cosϕ Ora observemos que para ϕ 1 < ϕ, temos S 1 < S, portanto Q 1 < Q e P 1 P ogo o ideal é transmitir S 1, pois: S 1 I 1 e S I omo S 1 < S, tem-se que: I 1 < I Ou seja sendo maior que I, ou todos os cabos estão sobrecarregados (foram I 1 dimensionados levando em conta dimensionados levando em conta ) Portanto: I I 1 ) ou o seu custo foi mais alto (foram "Para uma mesma tensão, quanto menor o fp, maior será a corrente", o que não é desejável Revisão: José Eugenio lmeida 48 / 110

49 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 9 umento das quedas de Tensão om relação a figura 9 pode-se escrever o seguinte: I S p Eg ~ P arga Figura 9 - Ilustração para aumento de quedas p E g p I s Onde: p - tensão em qualquer ponto do sistema (neste caso nos terminais de carga) E g - fem da geração I s - corrente na sistema p impedância total até a carga em, é óbvio que quanto maior for a corrente, maiores serão as quedas de tensão p I s (ide figura 9) Então é interesse diminuir o valor de s I Revisão: José Eugenio lmeida 49 / 110

50 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 9 Sobretaxa nas contas a pagar Uma vez que os problemas resultantes do exposto nos itens 91 e 9, afetam diretamente as concessionárias, as mesmas exigem que o fp mínimo de cada instalação seja 0,9 Se o fp de um determinado consumidor estiver abaixo desse mínimo o mesmo é obrigado a pagar uma sobretaxa às concessionárias Isto faz com que os consumidores procurem melhorar (corrigir) o fator de potência de sua instalação 9 ausas de aixo Fator de Potência s causas mais comuns que fazem com que o fp de uma determinada instalação seja baixo, são: - nível de tensão elevada (acima do valor nominal); - motores que trabalham, sem justa causa, grande parte do tempo a vazio (sem carga); - transformadores de grande potência alimentando, durante longo período, pequenas cargas; - transformadores que ficam por longo período a vazio (sem carga); - motores superdimensionados para os respectivos acionamentos; - luminárias com reator (quando usados reatores de baixo fp) Revisão: José Eugenio lmeida 50 / 110

51 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 94 omo orrigir (melhorar) o Fator de Potência 941 Introdução Seja a instalação mostrada na figura 0a, que tem o triângulo de potências mostrado na Figura 0b S P + j Q Q Q1 + Q ϕ P P1 + P M 1 M P1 + j Q1 P + j Q (a) Figura 0 - onfiguração de uma instalação e seu triângulo de potências (b) Se: P cos ϕ < 0,9 S ou seja: fp < 0,9 É conveniente que se melhore o fp (ou seja diminuir ϕ) omo as cargas de uma maneira geral são do tipo indutivas (transformadores, reatores, motores, etc), para que se diminua ϕ basta que se coloque junto a esses equipamentos, outros que tenham sob o aspecto da correntes, efeito contrário ou seja "cargas" do tipo capacitivas figura 1 esclarece Revisão: José Eugenio lmeida 51 / 110

52 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo S ϕ ϕ 1 Q Q S1 Q1 P Figura 1 - orreção do fp Supôs-se que uma carga indutiva "puxe " do sistema a potência S P + jq, e que o fp (cosϕ ) estava abaixo do desejável olocou-se então cargas capacitivas cuja potência era Q c, de forma que o fp (cosϕ 1 ) melhorou com relação ao anterior Para que se evite problemas futuros é importante que se mostre o novo jogo de potências: Q - potência reativa necessária à carga (indutiva); Q c - potência reativa imposta pela nova carga (capacitiva); Q 1 - potência reativa entregue pelo sistema à carga, após a melhoria do fp Importante: " carga do sistema sempre precisa de Q quando não há correção, Q é fornecido pelo sistema Quando há a correção Q é parte fornecido pelo sistema (Q 1 ) e parte pela carga capacitiva corretora (Q c ) Revisão: José Eugenio lmeida 5 / 110

53 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 94 álculo de Q c Observe-se na figura 1 que: Q tgϕ P Q1 tgϕ1 P Ora: Q Q Q 1 Q 1 P tgϕ Q P tgϕ c 1 Portanto: Q P( tgϕ tgϕ ) c 1 Nota: Há tabelas que dado o cosϕ (fp a ser corrigido) e o cosϕ 1 (fp desejado) nos dão diretamente o valor de (tgϕ -tgϕ 1 ) asta então multiplicar por P 94 Tipos de "cargas capacitivas" usadas para o fornecimento de Q c Fundamentalmente há dois tipos de equipamentos usados para correção do fp, sejam: - capacitores estáticos - motores síncronos superexcitados Os capacitores estáticos constituem a solução mais prática para as indústrias em geral, pois os condensadores síncronos (motores síncronos superexcitados) a par das suas vantagens, têm pelo menos uma desvantagem muito grande, qual seja: contribuem para o curto-circuito (quando de sua ocorrência) no sistema Revisão: José Eugenio lmeida 5 / 110

54 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 944 omo igar Deve-se ligar os capacitores em paralelo com a carga, pois em série acarretariam quedas de tensão entre a linha e a carga No caso de sistemas trifásicos, a conexão triângulo ( ) é mais vantajosa que a conexão estrela (Y) (ide observação no final) Seja: Q Q c c I senϕ ϕ 90º senϕ 1 I onexão Y: X X X I X c Q y X c Q y X c Revisão: José Eugenio lmeida 54 / 110

55 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo onexão : X X X I f X c I I f X c Q c X X c c Portanto: Sob o aspecto de potência a conexão é melhor que a conexão Y OS: Entretanto, a tensão aplicada ao capacitor no sistema é vezes maior que no sistema Y e portanto sob o aspecto de isolamento há o encarecimento do capacitor ogo deve-se ter uma solução de compromisso!!! Revisão: José Eugenio lmeida 55 / 110

56 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Tabela com os valores de (tgϕ - tgϕ 1 ) em função de cosϕ e cosϕ 1 cosϕ a ser corrig ido cosϕ 1 desejado osϕ a ser corrig ido cosϕ 1 desejado 0,0 4,899 4,570 4,415 4,79 4,149 0,61 1,99 0,970 0,815 0,679 0,549 0,1 4,656 4,7 4,171 4,06,906 0,6 1,66 0,97 0,781 0,646 0,515 0, 4,4 4,104,949,81,68 0,6 1, 0,904 0,748 0,61 0,48 0, 4,1,90,747,611,481 0,64 1,01 0,87 0,716 0,581 0,450 0,4 4,045,716,561,45,95 0,65 1,169 0,840 0,685 0,549 0,419 0,5,87,544,89,5,1 0,66 1,18 0,810 0,654 0,518 0,88 0,6,714,85,99,094,964 0,67 1,108 0,779 0,64 0,488 0,58 0,7,566,8,08,946,816 0,68 1,078 0,750 0,594 0,458 0,8 0,8,49,100,944,809,679 0,69 1,049 0,70 0,565 0,49 0,98 0,9,00,971,816,680,550 0,70 1,00 0,691 0,56 0,400 0,70 0,0,180,851,696,560,40 0,71 0,99 0,66 0,507 0,7 0,41 0,1,067,78,58,447,17 0,7 0,964 0,65 0,480 0,44 0,14 0,,961,6,476,41,11 0,7 0,96 0,608 0,45 0,16 0,186 0,,851,5,76,41,111 0,74 0,909 0,580 0,45 0,89 0,158 0,4,766,47,8,146,016 0,75 0,88 0,55 0,98 0,6 0,1 0,5,676,47,19,056 1,96 0,76 0,855 0,57 0,71 0,5 0,105 0,6,59,6,107 1,97 1,84 0,77 0,89 0,500 0,44 0,09 0,078 0,7,511,18,07 1,891 1,761 0,78 0,80 0,474 0,18 0,18 0,05 0,8,44,105 1,950 1,814 1,684 0,79 0,776 0,447 0,9 0,156 0,06 0,9,61,0 1,877 1,741 1,611 0,80 0,750 0,41 0,66 0,10-0,40,91 1,96 1,807 1,671 1,541 0,81 0,74 0,95 0,40 0,104-0,41,5 1,896 1,740 1,605 1,475 0,8 0,698 0,69 0,14 0,078-0,4,161 1,8 1,676 1,541 1,410 0,8 0,67 0,4 0,188 0,05-0,4,100 1,771 1,615 1,480 1,49 0,84 0,646 0,17 0,16 0,06-0,44,041 1,71 1,557 1,41 1,91 0,85 0,60 0,91 0, ,45 1,985 1,656 1,501 1,65 1,5 0,86 0,59 0,65 0, Revisão: José Eugenio lmeida 56 / 110

57 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo 0,46 1,90 1,60 1,446 1,10 1,180 0,87 0,567 0,8 0, ,47 1,877 1,548 1,9 1,57 1,18 0,88 0,540 0,11 0, ,48 1,86 1,499 1,4 1,08 1,077 0,89 0,51 0,18 0, ,49 1,779 1,450 1,95 1,159 1,09 0,90 0,484 0, ,50 1,7 1,40 1,48 1,11 0,98 0,91 0,456 0, ,51 1,687 1,58 1,0 1,067 0,96 0,9 0,46 0, ,5 1,64 1,14 1,158 1, 0,89 0,9 0,95 0, ,5 1,600 1,71 1,116 0,980 0,850 0,94 0,6 0, ,54 1,559 1,0 1,074 0,99 0,808 0,95 0, ,55 1,518 1,189 1,04 0,898 0,768 0,96 0, ,56 1,479 1,150 0,995 0,859 0,79 0,97 0, ,57 1,44 1,11 0,957 0,8 0,691 0,98 0, ,58 1,405 1,076 0,90 0,785 0,654 0,99 0, ,59 1,68 1,040 0,884 0,748 0,618 1, ,60 1, 1,004 0,849 0,71 0, Revisão: José Eugenio lmeida 57 / 110

58 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo EE00 ONERSÃO EETROMEÂNI DE ENERGI EXERÍIOS Revisão: José Eugenio lmeida 58 / 110

59 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Exemplo 1: Dadas as tensões tensões: 1 60 º, 0 º, º e º, determinar as a) b) c) Solução: penas com o objetivo de facilitar o acompanhamento da solução, foi construído o diagrama mostrado na figura 7, pois ele não é necessário Figura 7 a) b) º º 5,196 + j,000+,000 j5,196 8,196 j,196 8, º º 6 60º 0º º + j0,000+j5,196 1, j5,196 5, 91100,89º Também poderia ter sido tomado c) Há várias possibilidades no cálculo de 5, por exemplo: Revisão: José Eugenio lmeida 59 / 110

60 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Mas, a melhor delas, porque menos trabalhosa, é: º 8, º 5, 91100,89 (0 + j4) (8,196 j,196) ( 1, j5,196) 7,196 + j1, 000 7, 65 17, 09º Especificação e Rendimento Exemplo : char o rendimento de operação de um motor elétrico que desenvolve 1 [], enquanto absorve uma potência de 900 [W] Solução: P P 900[ W] saida n ,8% entrada 1 x76 W/ Exemplo : char a potência absorvida por um motor de 5 [], completamente carregado a plena carga, que opera com um rendimento de 80% Solução: P 5 x76 W/ n 0,8 saida Pentrada 4600[W] 4, 6 KW Exemplo 4: Um motor elétrico ca aciona um gerador cc Se o motor operar com um rendimento de 90% e o gerador com um rendimento de 80%, e se a potência absorvida pelo motor for de 5 [KW], qual a potência desenvolvida pelo gerador? Solução: P saida n n MnG Pentrada saida M G entrada P n n P 0,9x0,8x5,6 KW Exemplo 5: Um motor elétrico desenvolve ½ [], enquanto está operando com um rendimento de 85% char o custo para operá-lo continuamente durante um dia se o custo da energia (livre de impostos, taxa de iluminação pública, etc) é de R$ 0,64 por KWh Solução: potência de entrada do motor é: Revisão: José Eugenio lmeida 60 / 110

61 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo P e 0,5x0, 76 W 0,85 [ K ] O consumo de energia durante 1 dia (4 horas) é: 0,5x0, 76x4 WE Pex4 KW 0,85 E o custo total da energia é: E usto W x0,80 R$ portanto, 0,5x0,76x4x0,8 usto R$8,1 0,85 Seqüência de Fases Exemplo 6: Qual é a seqüência de fases de um alternador trifásico ligado em Y para o qual EN 700 0º EN º? E também, quanto vale EN? e Solução: isto que EN se atrasa em relação a EN em 10º, e que os primeiros subscritos são e, respectivamente, segue na seqüência de fases Portanto, a seqüência de fases é, a seqüência de fases negativa ou inversa Obviamente, EN avança em 10º, mas tem o mesmo módulo (valor eficaz) Então, EN 700 0º 10º º + figura 0 ilustra a presente situação EN w EN 140º 0º REFERÊNI R 100º EN Figura 0 Revisão: José Eugenio lmeida 61 / 110

62 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Exemplo 7: Qual é a seqüência de fases de um circuito trifásico no qual º [ ] e º? Que tensão de linha tem um ângulo que difere de 10º dos ângulos dos ângulos destas tensões? Solução: seqüência de fases pode ser encontrada dos ângulos das tensões e dos primeiros (ou dos ângulos) subscritos isto que avança em 10º, e visto que os primeiros subscritos são e, respectivamente, está imediatamente à frente de na seqüência de fases Portanto, a seqüência de fases tem que ser ou, equivalente,, a seqüência de fases negativa terceira tensão de linha é ou ou, porque apenas e de -- não foram usadas juntas nos subscritos terceira tensão de linha correta, aquela que tem um ângulo diferindo em 10º daqueles de e, é, visto que duas tensões de linha de um grupo trifásico equilibrado não podem ter subscritos começando com a mesma letra, como seria o caso se º Este resultado também pode ser obtido calculando e : fosse usado ssim, º º ( ) ( ) ( ) 1800 cos10º jsen10º + cos110º + jsen110º ,9848 j0,176 0,40 + j0, , j0, º difere de e em 60º, e não pode mesmo se a resposta Por outro lado, º º NOT: No caso de alternador trifásico ligado em delta ou triângulo ( ), as fems de linha são iguais às fems de fase Revisão: José Eugenio lmeida 6 / 110

63 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo argas Trifásicas Exemplo 8: onverter o mostrado na figura 8 (a) no Y da figura 7 (a) para: a) + j5[ Ω ], 600º [ Ω ] e 4 0º [ Ω ] 1 b) 1 6º [ Ω ] 1 1 Figura 8 (a) N (b) (a) Figura 7 Solução: a) Todas as três fórmulas da conversão 1 Y tem o mesmo denominador, que é : ( ) j º + 4 0º 1,1,66º Ω Então: ( + j5 )( 4 0º ), 9,04º 1 1,78 6,8º ,1, 66º 1,1, 66º [ Ω ] ( + j5 )( 60º ) 5 79,04º ,1, 66º 1,1, 66º,6756,4º Ω Revisão: José Eugenio lmeida 6 / 110

64 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo ( 60º )( 4 0º ) 4 10º,8,7º Ω ,1, 66º 1,1, 66º b) Sendo todas as três impedâncias do iguais, todas as três impedâncias do Y são iguais e cada uma vale um terço da impedância comum do : 16º Y 46º Ω Exemplo 9: onverter o Y mostrado na figura 7 a no da figura 8 a para: a) 10[ Ω ], 6 j8[ Ω ], 90º [ Ω ] b) 4 j7[ Ω ] Y 1 1 (a) (b) Figura 8 Solução: a) Todas as três fórmulas da conversão Y tem o mesmo numerador, que é ( ) ( )( ) ( ) j j8 9 0º º 1,6 17,7º Ω Então, + + 1,6 17,7º Ω 1 5,7 47,7º 90º + + 1,6 17,7º Ω, 17,7º ,6 17,7º 1,6 17,7º 6 J8 10 5,1º,5,4º [ Ω ] Revisão: José Eugenio lmeida 64 / 110

65 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo b) Sendo todas as três impedâncias de Y iguais, todas as três impedâncias do são iguais e cada uma é igual ao triplo da impedância comum de Y Portanto, 1 j7 1 j14, -60,º Ω 1 Y Y Exemplo 10: onverter o Y indicado na figura 40 num equivalente ( ) N N Figura 40 Figura 41 Solução: Pelas fórmulas da conversão Y, (circuito aberto) 0 O circuito equivalente está mostrado na figura 41 E uma rápida comparação das figuras 40 e 41 revelam que as mesmas são iguais argas em Paralelo Exemplo 11: Determinar a estrela equivalente das cargas cargas, e 1 para:, e em estrela paralela ao delta das a) 10[ Ω ], 6 j8[ Ω ], 90º [ Ω ] 1 + [ Ω ], 60º [ Ω ], 4 0º [ Ω ] j5 Revisão: José Eugenio lmeida 65 / 110

66 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo b) 4 j7[ Ω ] Y 1 1 6º Ω Solução: a) omo as cargas são desequilibradas, a conexão em Y deve ser primeiramente convertida num equivalente Esta conversão, no entanto, já foi realizada no exemplo 9, dando os valores seguintes: ' 1 ' ' 5,7 47,7º Ω, 17,7º [ Ω ],5,4º Ω gora as duas cargas em estão em paralelo, como indicado na figura 45 a, e podem ser convertidas num único equivalente (figura 45 b), combinando-se as impedâncias ligadas em paralelo, a saber:, 1 ' ' " " " 1 com com e com, para produzir, e, respectivamente Então, ' 1 ' 1 ( + ) ( ) 1 ' j5 5,7 47,7º 1 " 6, 08 45,95º j5+5,7 47,7º 1 ' ( ) ( ) ' 6 0º, 17,7º [ Ω ] " 4,941,5º Ω + 6 0º+, 17,7º ' ( ) ( ) ' 4 0º, 5,4º ",69 9,48º Ω + 4 0º+, 5,4º 1 1 (a) Figura 45 Revisão: José Eugenio lmeida 66 / 110

67 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo " " 1 ' ' ' " (b) (c) Figura 45 Finalmente, o ' " " 1 e " da figura 45b é convertido no Y equivalente mostrado na figura 45c, onde ' " " " ' " " 1, " Sendo " " " " 6, 08 45,95º 4,94 1,5º, 69 9, 48º 9, 06 11,16º 1 Portanto, ( 6,08 45,95º )(,69 9,48º ) ',48 57,7º Ω 9, 06 11,16º ( 6,08 45,95º )( 4,94 1,5º ) ',1 47,º Ω 9,06 11,16º ( 4,941,5º )(,69 9,48º ) ',01 91,1º 9, 06 11,16º [ Ω] Revisão: José Eugenio lmeida 67 / 110

68 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo c) gora as cargas são equilibradas e o deve ser inicialmente convertido num Y equilibrado equivalente Esta conversão foi efetuada no exemplo 8 dando: ' " Y Y Y ' Y Y ( 4 j7 )( 46º ),49 4,6º,758,46º [ Ω ] + 4 j º 8,601,7º Exemplo 1: Uma carga trifásica equilibrada em Y tem uma tensão de fase N 17 50º [ ] seqüência de fases é, achar as tensões, e Se a Solução: Fazendo-se o diagrama fasorial para a seqüência de fases inversa ou negativa, e das tensões de linha especificadas, pode-se notar que a tensão de linha atraso com relação a tensão de fase a N Portanto, 17 50º 0º 0 0º [ ] têm um ângulo de 0º em Obviamente, seu módulo é maior por um fator igual Da mesma forma, considerando que está 10º em avanço relativamente a imediatamente à frente do primeiro subscrito de 0 0º 10º 0 140º, porque seu primeiro subscrito está na seqüência de fases, + Da mesma forma, deve atrasar em 10º ogo, 0 0º 10º 0 100º Exemplo 1: Quais são as tensões de fase para uma carga trifásica em estrela, equilibrada, na qual º? seqüência de fases é Solução: Partindo do diagrama fasorial para a seqüência de fases, e do grupo de tensões de linha que inclui, pode-se notar que N avança em 0º Obviamente, o módulo de 1800 N é menor por um fator Portanto, N º º [ ] Da seqüência de fases e da relação do primeiro subscrito, avança em 10º, e atrasa-se de N em 10º ssim, N º + 10º º N º 10º º N N N Revisão: José Eugenio lmeida 68 / 110

69 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo arga em Equilibrada-orrentes de inha e de Fase Exemplo 14: Uma carga trifásica equilibrada ligada em estrela tem a tensão de fase 54 45º [ ] N Se a seqüência de fases é (negativa), achar as tensões de linha, e Solução: Do diagrama fasorial para uma carga equilibrada ligada em Y com seqüência, pode-se notar que a tensão em atrasa-se de 0º em relação a tensão de fase E também, que seu módulo é maior pelo fator relativamente a N Portanto, do fato de que tem um avanço de 10º, porque seu primeiro subscrito está imediatamente à frente do primeiro subscrito de na seqüência de fases inversa, º + 10º º Da mesma forma, deve atrasar-se de em 10º ogo, º 10º º Exemplo 15: Quais são as tensões de fase para uma carga trifásica equilibrada ligada em estrela se 1,8 0º K [ ], com seqüência de fases direta? Solução: De açordo com o diagrama fasorial para uma carga Y com seqüência de fases positivas (), e do grupo de tensões de linha que inclui, pode-se notar que avança em 0º Obviamente, o módulo de N é menor por um fator igual a 1800 N 0º + 0º º [ ] N Portanto, Da seqüência de fases e da relação do primeiro subscrito, avança em 10º ogo: N N N 7967, 410º [ ] e N 7967, 4 10º [ ] Exemplo 16: Num circuito trifásico trifilar, achar as correntes fasoriais de linha para uma carga 00º Ω equilibrada ligada em estrela na qual cada impedância de fase é seqüência de fases é e N 105º [ ] Y Revisão: José Eugenio lmeida 69 / 110

70 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Solução: corrente de linha I é obtida pelo quociente da tensão da fase pela impedância da Y fase : 10 5º I 415º 0 0º N s outras correntes de linha podem ser determinadas de tem o mesmo módulo de em 10º Portanto, I I 4 15º 10º 4 105º I 415º + 10º 415º I e da seqüência de fases Elas e, para a seqüência de fases dada, atrasam e avançam I Exemplo 17: Num circuito trifilar trifásico, equilibrado, com seqüência de fases, a corrente de linha I 400º char as outras correntes de linha Solução: Estando o circuito equilibrado, todas as três correntes de linha tem o mesmo módulo: 40 [] E sendo a seqüência de fases a direta (), com precedendo, avança I em 10º Pela mesma razão ( segue ), I atrasa em relação a I em 10º onseqüentemente, I 40 0º + 10º º I 40 0º 10º º I Exemplo 18: Qual é a corrente de linha I I 4085º [ ] e I 70 0º? num circuito trifilar trifásico, desequilibrado, no qual Solução: De acordo com a lei de Kirchhoff, a soma das três correntes de linha é zero, isto é: I+ I+ I 0 Então, I I I 40 85º 70 0º 4,7418,4º Revisão: José Eugenio lmeida 70 / 110

71 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Exemplo 19: ada fase de um alternador trifásico ligado em estrela (figura 15) libera uma corrente de cosφ de 80% indutivo 5[] para uma tensão de fase de 0[] e um fator de potência ( ) Qual é a tensão no terminal do gerador? Qual a potência desenvolvida em cada fase? Qual a potência trifásica (total) desenvolvida? a In Eab Eca Ean I n Ebn c Ecn Ebc b I I Figura 15 Solução: tensão no terminal do gerador é a tensão de linha: F 81 potência desenvolvida em cada fase é dada por : P I cosφ F F F 0x5x0, W 4,4 KW potência trifásica é a soma das potências liberadas pelas três fases do alternador omo a potência liberada em cada fase é a mesma, T F P P x W 1, KW Exemplo 0: Uma carga ligada em Y, equilibrada, de impedâncias 50 0º uma fonte de 1470 [], trifilar trifásica char a corrente (eficaz) de linha Y Ω é excitada por Solução: ada corrente de linha é igual a tensão de fase da carga 1470 / 700[ ] dividida pelo módulo da impedância de fase: 50[ Ω ] Portanto, I 700 / [ ] Y Revisão: José Eugenio lmeida 71 / 110

72 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof José Policarpo Exemplo 1: char as correntes fasoriais de linha para uma carga equilibrada ligada em Y, constituída 600º Ω, excitada por uma fonte trifásica Uma das tensões de de impedâncias fase é N 10 5º [ ] Y e a seqüência de fases é positiva () Solução: corrente de linha I pode ser encontrada dividindo-se a tensão da fase pela Y impedância de fase E as outras correntes de linha podem ser encontradas de I coma a ajuda de fases Portanto, I N 10 5º Y 15º 600º N isto que a sequência de fases é, o ângulo de I é 10º a mais que o de I Obviamente, os módulos das correntes são iguais ogo, mesma forma, o ângulo de é 10º menor : I 15º 10º 15º + Da I I 15º 10º 105º [ ] Exemplo : char as correntes fasoriais de linha para uma carga ligada em Y, equilibrada, constituída 50 5º Ω, alimentada por um sistema trifilar no qual de impedâncias Y 060º seqüência de fases é Solução: De acordo com a figura 7, a tensão de fase N tem um ângulo que é 0º maior do que aquele de e um módulo que é menor por um fator de 1/ Portanto, N 0 60º + 0º 17 90º corrente de linha I é I N 17 90º Y,54 15º 50 5º Revisão: José Eugenio lmeida 7 / 110

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