CONCEITOS DE FRACTAIS E DE PROCESSO DE AUTO- ORGANIZAÇÃO. E"ore Bresciani Filho CLE- UNICAMP / 2014

Transcrição

1 CONCEITOS DE FRACTAIS E DE PROCESSO DE AUTO- ORGANIZAÇÃO E"ore Bresciani Filho CLE- UNICAMP / 2014

2 Antecedentes Em trabalhos anteriores (ver Bresciani & D O"aviano (2000, 2004, 2008)) foram apresentados os conceitos de sistema, sistema dinâmico, sistema dinâmico caóoco, sistema dinâmico térmico, e de organização e auto- organização na perspecova sistêmica: 1 - A auto- organização se caracteriza como um fenômeno de transformação ou de criação de uma organização em um sistema (transformação ou criação organizacional que são emergências do sistema) que decorre fundamentalmente da interação das aovidades predeterminadas, se as houver, com a aovidade autônoma e espontânea de elementos internos, e eventualmente de fronteira do sistema, através de processos recorrentes. A aovidade espontânea decorre da existência de grau mínimo de autonomia dos elementos atuantes. Por sua vez os processos recorrentes precisam estar presentes para que os elementos autônomos, em suas aovidades, se integrem em uma organização com auto- referência. (ver Bresciani & D O"aviano (2000)).

3 2 - As múloplas interações entre as forças ou fatores de influência de estabilidade e as forças de instabilidade, que atuam em um sistema dinâmico, podem promover tanto a organização como a desorganização no sistema. E a convergência e a divergência, ou mais explicitamente a cooperação e a compeoção, entre as forças de estabilidade e de instabilidade podem criar as condições para se ter um sistema dinâmico caóoco. Esse sistema comporta processos que podem ser considerados em parte de organização e em parte de desorganização. (ver Bresciani & D O"aviano (2004)). 3 - Uma condição fundamental do sistema dinâmico caóoco é a sua sensibilidade às condições iniciais. Um dado conjunto de condições iniciais pode permior que se possa prever, com um certo grau de precisão, a evolução dos estados porém sem a exaodão das soluções analíocas. De fato, um certo conjunto de condições iniciais leva a um conjunto de soluções do sistema que caracteriza o que já se idenoficou como atrator do sistema. (ver Bresciani & D O"aviano (2004)).

4 4 O sistema dinâmico caóoco é visto comumente com sendo um sistema com um comportamento aleatório, mas efeovamente tem um comportamento dominantemente conduzido por regras determinísocas, mesmo também quando ocorre aleatoriedade. E é esse comportamento que caracteriza o que muitas vezes se denomina determinismo caóoco. Desse modo o caos determinísoco se refere a sistemas com processos que são também de natureza determinísoca, mas que têm, muitas vezes, um comportamento que não se pode prever ou predizer. (ver Bresciani & D O"aviano (2004)). 5 - O atrator do sistema pode ser considerado como sendo a formação de uma região restrita (no espaço de estados) a paror de uma região mais ampla (no espaço de estados) por meio de uma ação e um controle exercidos dominantemente pelo próprio sistema, com ou sem influência de elementos externos ou de fronteira. Um sistema complexo pode ter muitos atratores, que podem mudar (ou sofrer mutação), em função de determinados parâmetros de controle funcionais e estruturais do sistema. (ver Bresciani & D O"aviano (2004)).

5 6 O aspecto irregular do atrator [atrator estranho] resulta da dinâmica caóoca do sistema que é de natureza determinísoca, não sendo causada por perturbações, flutuações ou ruídos externos de natureza estocásoca. O aspecto fractal se revela através de uma figura cuja forma se repete em escalas dimensionais cada vez menores, portanto mantendo um padrão de semelhança. A trajetória decorrente de atrator estranho não é de fácil idenoficação e pode apresentar oscilações irregulares decorrentes da dinâmica caóoca do sistema. (ver Bresciani & D O"aviano (2004)).

6 ObjeOvo De um desses trabalhos (Bresciani & D O"aviano (2004)) destaca- se a afirmação: Apesar dos sistemas dinâmicos caóocos poderem ser expressos por sistemas de equações matemáocas e, nesse senodo, serem expressos por equações que são determinísocas, os fenômenos representados por essas equações podem não ser determinados e previsíveis. É sob esse ponto de vista que se pode considerar que os sistemas dinâmicos caó5cos podem conter processos que comportam as emergências (transformações e criações) com auto- organização. Essa úloma frase ensejou o objeovo deste trabalho que é contribuir para o aprofundamento do conhecimento dos conceitos de fractais no âmbito da análise dos sistemas dinâmicos complexos que possam conter processos de auto- organização.

7 Fractal A definição original de fractal (adjeovo) de Mandelbrot (1975) é a seguinte: Diz- se de uma figura geométrica ou de um objeto natural que combine as seguintes caracterísocas: a) as suas partes tem a mesma forma ou estrutura que o todo, estando porém em uma escala diferentes e podendo estar um pouco deformadas; b) a sua forma é ou extremamente irregular ou extremamente interrompida ou fragmentada, assim como todo o resto, qualquer que seja a escala de observação; c) contém elementos disontos cujas escalas são muito variadas e cobrem uma vasta gama. E ainda, a definição de objeto fractal: subsotui o termo fractal (substanovo) sempre que é necessário precisar que se trata de um objeto natural, objeto natural que é razoável e úol representar matemaocamente por intermédio de um fractal. E nessa úloma definição fica explicitado o significado de dimensão msica efeova que refere- se às relações entre figuras e objetos, designando o primeiro termo idealizações matemáocas e o segundo dados da realidade.

8 Conjunto de Cantor

9 Curva de Koch

10 Fractal de Mandelbrot Equação : z(n+1) = z(n)ˆ2 + c; c = x + i.y; x = [- 2,1/2], y = [- 2,2], z e c são números complexos z(n+1)

11 A definição de fractal mais atual pode ser realizada a paror de suas propriedades geométricas (adaptando e reunindo as definições de Falconer(2009) e Alligood(1996)). Ou seja, a figura ou objeto fractal refere- se a um conjunto de elementos com as seguintes propriedades: (a) os elementos apresentam formas regulares ou irregulares e detalhadamente finas para diferentes escalas de observação arbitrariamente definidas; (b) essas formas apresentam auto- semelhanças exatas ou aproximadas, eventualmente estatsocas; (c) essas formas não podem ser descritas com uma linguagem geométrica tradicional, tanto local como globalmente; assim sendo define- se um parâmetro caracterísoco denominado dimensão fractal que pode não ser um número inteiro; (d) essas formas podem ser obodas, em alguns casos, matemaocamente de modo recursivo.

12 Sistema dinâmico caóoco e auto- organização O novo paradigma da auto- organização pode ser estudado a paror das considerações de comportamento de sistemas complexos, parocularmente sistemas dinâmicos não lineares caóocos com a formação de atratores estranhos no espaço de estados (ou espaço de fases), sem parocular recorrência aos conceitos estudados na perspecova da sinergéoca (ver Haken (1982)) ou dos sistemas térmicos irreversíveis (dissipaovos e longe das condições equilíbrio) (ver Prigogine &Stenger(1979), conforme destaca Keller (2008, 2009), analisando os trabalhos desenvolvidos no Santa Fe InsOtute. Santa Fe InsOtute fundado em 1984: h"p://

13 O sistema complexo dinâmico referido, apesar de seu comportamento muitas vezes imprevisível, pode apresentar um certo conjunto de comportamentos que se idenofica como sendo decorrente de processo de auto- organização. Esse comportamento é visualizado pelo percurso da trajetória no espaço de estados que converge para uma região denominada atrator estranho, que é de aparência fractal. O processo de auto- organização é dinâmico e pode explorar diferentes trajetórias no espaço de estados; e uma das maneiras de aumentar a variação é submeter o sistema a uma perturbação (ruído, flutuação.) (ver Heylinghen (2008)). Muitos exemplos concretos de auto- organização que emerge por meio da bifurcação e da dinâmica caóoca (parocularmente na msica e na química), podem ser descritos e a caracterização da auto- organização pelo conceito de espaço de estados e de atratores, permite adotar a perspec5va geométrica da auto- organização, que é parocularmente úol para classificar e comparar diferentes Opos de comportamento dinâmico que surgem em um sistema complexo quando variam as condições de restrição (ver Biebricher et al. (1995))

14 Os sistemas determinísocos comuns obedecendo leis simples podem dar origem espontaneamente a comportamentos considerados complexos associados com transições abruptas, múloplos estados ou uma evolução aparentemente aleatória para a qual se refere como um caos determinísoco. Isso sugere que a riqueza da estrutura observada na natureza pode ser analisada a paror da aplicação repeoda de uma lei muito simples. Em outras palavras, a ação de leis elementares sobre um grande número de unidades consotuindo um sistema e sobre um longo período de tempo pode resultar em auto- organização na forma de estruturas inesperadas e eventos ausentes no nível dos elementos consotuintes (conforme já indicava há mais de 20 anos Biebricher et al. (1995)).

15 A maioria dos sistemas naturais que apresentam auto- organização é consotuída de um grande número de unidades elementares que mantém uma intensa interação (ver Biebricher et al.(1995)): (a) no nível microscópico o fenômeno de auto- organização emerge do comportamento coleovo do conjunto, no qual o movimento das partculas são governadas pelas leis fundamentais da msica, essencialmente aquelas da mecânica tradicional, da mecânica quânoca e da eletrodinâmica, e mais recentemente pela teoria do caos determinísoco; (b) no nível mesoscópico, o enfoque se apóia nas equações fenomenológicas, como exemplo, são as equações de cinéoca de reações químicas sem considerações explícitas dos estados de movimentação das moléculas; (c) o nível macroscópico de descrição é frequentemente caracterizado como um nível da termodinâmica. A complexidade no sistema surge por meio de mecanismos de bifurcação e de caos determinísoco.

16 Detalhando para os sistemas msicos e químicos (ver Biebricher et al. (1995)): Dois mecanismos fundamentais permitem que o sistema deixe uma condição de equilíbrio (homeostáoco): a abertura para o meio- ambiente e comportamento não- linear: o meio- ambiente exercerá diferentes Opos de restrições (msicas e químicas) e a resposta a essas restrições tomará a forma de fluxos de matéria, energia e informação; a não- linearidade é expressa pelas interações cooperaovas [ou compeoovas] nas quais a presença de um elemento amplifica [ou reduz] sua própria aovidade ou de um outro elemento de acordo com uma lei que não é de simples proporcionalidade, e tal ambiente pode propiciar a mudança e diversificação, graças à cooperação [e compeoção], e assim como a capacidade de apresentar novidades que podem aparecer espontaneamente no sistema uma vez que as restrições sejam removidas;

17 O despertar das potencialidades do sistema nem sempre acontece gradualmente; pelo contrário pode surgir por meio de eventos súbitos na forma de instabilidades ; e isso significa que quando as restrições impostas pelo meio- ambiente aongem um limite, pequenas perturbações com origem no meio- ambiente, ou pequena flutuações espontâneas que surgem no próprio sistema, tornam- se amplificadas e fora de proporção levando o sistema para fora do seu estado original e em direção a um novo regime. Essa transição lembra a bifurcação; somente o acaso, na forma de uma variação crioca que venha a prevalecer no momento propício, decidirá o percurso a ser seguido. Por essa perda de previsibilidade, o primeiro passo em direção a complexidade e auto- organização é aongido.

18 Mas a bifurcação está longe de ser um evento único; na medida que as restrições agindo no sistema variam, o sistema em geral caminha não somente para uma simples transição, mas para um completa sequência de fenômenos de transições, cujas caracterísocas dependem da natureza das não- linearidades que estão presentes. Em muitos casos, essas transições culminam em um regime que, a despeito de sua origem perfeitamente determinísoca (que é descrita por meio das mesmas leis de evolução), é caracterizado por uma evolução irregular das variáveis no espaço e no tempo parecendo, em muitos aspectos, ao jogo do acaso. Esse fenômeno é conhecido como caos determinísoco.

19 Auto- Organização e Fractais A relação entre a formação de fractais no espaço de estados e o processo de auto- organização pode ser assim estabelecida (ver Heylinghen, 2008): a - o sistema complexo dinâmico apresenta uma trajetória complicada no seu espaço de estados; e assim o processo de auto- organização pode ser visto como um processo que faz com que o sistema percorra uma região no espaço de estados que uma vez aongida não pode mais sair (atrator); b - os sistemas complexos dinâmicos não lineares podem ter múloplos atratores, inclusive de aparência fractal, cada um correspondendo a uma configuração auto- organizada e essa configuração auto- organizada é mais estável do que a exisoa antes da auto- organização.

20 RepeOndo: muitos exemplos concretos de auto- organização que emerge por meio da bifurcação e da dinâmica caóoca (parocularmente na msica e na química), podem ser descritos e a caracterização da auto- organização pelo conceito de espaço de fases e de atratores, permite adotar a perspec5va geométrica da auto- organização, que é parocularmente úol para classificar e comparar diferentes Opos de comportamento dinâmico que surgem em um sistema complexo quando variam as condições de restrição (ver Biebricher et al.(1995)) Existem mais de uma definição de sistema complexo e mais de um critério para medir a complexidade. E um dos modos de medida complexidade de um sistema é a u5lização do conceito de dimensão fractal representa5vo do sistema. A dimensão fractal quanofica o número de cópias de objeto auto- semelhante em cada nível de aumento desse objeto; e de modo equivalente, a dimensão fractal quanofica como o tamanho total (área ou volume) de um objeto mudará a medida que o nível de aumento muda. (ver Loyd (2001); Mitchel (2009)).

21 Pode- se ainda estabelecer uma disonção entre os conceitos de fractais naturais e fractais matemá5cos; a matemáoca da geometria fractal pode ser aplicada para a interpretação de alguns fenômenos naturais, contudo as aplicações tendem a ser mais descriovas do que prediovas (ver Falconer (2009) ). Assim sendo seria razoável formular o conceito de processo de auto- organização natural existente em sistemas naturais, e que em alguns casos pode ser verificado nos fractais naturais (objetos fractais), e de processo de auto- organização ar5ficial decorrente da interpretação matemáoca dos fenômenos naturais e que em alguns casos pode ser verificado nos fractais matemáocos (figuras fractais)?

22 Convém observar que não se está considerando neste trabalho a possibilidade do um computador (máquina) processar um programa (predeterminado) segundo um processamento (de informação) de modo auto- organizado. Está- se sim considerando a possibilidade do computador (máquina) processar um programa (predeterminado) segundo um processamento (de informação) de modo a simular um processo de auto- organizado existente em um sistema natural. Esse processamento de simulação, livremente aqui denominando de processo de auto- organização aroficial decorre da interpretação matemáoca de fenômenos naturais (no caso parocular, aqueles que são considerados como pertencentes a sistemas dinâmicos caóocos com a formação, no espaço de estados, de figuras fractais). A atribuição do qualificaovo aroficial decorre do fato de ser um objeto (modelo matemáoco representaovo do processo de auto- organização) produzido por uma aovidade humana para assim se disonguir do objeto natural decorrente do acaso da natureza; esse processo de auto- organização aroficial de fato é um processo de auto- organização informacional.

23 Referências ALLIGOOD,K.T. & SAUER,T.D. & YORKE, J.A., Chaos An to dynamical systems. N. York: Springer, 1996, 603p. BIEBRICHER, C.K. & NICOLIS, G. & SCHUSTER, P., Self- in the physico- chemical and life sciences. Brussels: European Comission, Report Eur16546, 1995, 128p. (The theoreocal basis of self- organizaoon, p.2-12) FALCONER, K., Fractal geometry and Chichester (West Sussex): J.Wiley, 2009 (2003), 367p. HEYLIGHEN, F., Complexity and self- In: BATES, M. & MAACK, M.N., Encyclopedia of Library and InformaOon Sciences, Taylor & Francis, LLOYD, S. Measures of complexity: A non- exhaus@ve list. IEEE Control Systems Magazine, August, 2001, (Massachuse"s InsOtute of Technology, Laboratory for InformaOon Systems), Apud: MITCHEL, op.cit. MITCHELL, M., Complexity- A guided tour. N. York: Oxford University Press, 2009, 366p. MANDELBROT, B., Objetos fractais. Lisboa: GradaOva, 1998 (Tradução de Les Objects Fractals, 1989(1975)), 300p. [MANDELBROT, B., Fractal: form, chance, dimension. S.Francisco: Freeman, 1977; MANDELBROT, B.,B., The fractal geometry of nature, N.York: Freeman, 1983].

24 Trabalhos publicados BRESCIANI F., E.; D OTTAVIANO, I.M.L., Conceitos básicos de sistêmica. In: D OTTAVIANO, I.M.L., GONZALEZ, M.E.Q. (org.) Auto- organização: estudos interdisciplinares. Campinas: CLE/UNICAMP, p (Coleção CLE, v. 30) BRESCIANI F., E.; D OTTAVIANO, I.M.L., Sistema dinâmico caóoco e auto- organização. In: SOUZA, G.M.; D OTTAVIANO, I.M.L.; GONZALEZ, M.E.Q. (org.). Auto- Organização: estudos interdisciplinares. Campinas: CLE/ UNICAMP, p (Coleção CLE, v. 38) BRESCIANI F., E.; D'OTTAVIANO, I.M.L.; MILANEZ, L.F., Conceitos básicos de sistema térmico e dinâmico. In: BRESCIANI FILHO, E.; D OTTAVIANO, I.M.L.; GONZALES, M.E.Q. (org.). Auto- Organização: estudos interdisciplinares. Campinas: CLE/UNICAMP, p (Coleção CLE, v.52)